2019年江苏高考数学二轮练习教学案(祥解)--函数的实际应用

2019年江苏高考数学二轮练习教学案（祥解）--函数的实际应
用
注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！
1. 零点问题，在掌握二分法的解题步骤基础上，学会分析转化，能够把与之有关的问题化归为方程零点问题、
2. 函数模型的实际应用问题，主要抓住常见函数模型的训练，如幂指对模型，二次函数模型，数列模型，分段函数模型等，解答的重点是在信息整理和建模上、
3. 掌握解函数应用题的方法与步骤：(1) 正确地将实际问题转化为函数模型(建模)；
(2) 用相关的函数知识进行合理的设计，确定最正确的解题方案，进行计算与推理(解模)；
(3) 把计算或推理得到的结果代回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答(检验、作答)、
1. 函数f(x)＝e x
＋x －2的零点为x 0，那么不小于x 0的最小整数为________、
2.关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＝3a ＋25－a 有负实根，那么实数a 的取值范围是________、
3.某工厂的产值月平均增长率为p ，那么年平均增长率为________、
4.某人在2017年初贷款 m 万元，年利率为x ，从次年初开始偿还，每年偿还的金额都是n 万元，到2018年初恰好还清，那么n 的值是________、
【例1】 直线y ＝mx(m ∈R )与函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≤0，
12x 2＋1，x>0的图象恰有3个不
同的公共点，求实数m 的取值范围、
【例2】 某村计划建造一个室内面积为 800 m 2的矩形蔬菜温室、在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地、当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
【例3】 2018年青奥会水上运动项目将在J 地举行、截至2017年底，投资集团B 在J 地共投资100百万元用于房地产和水上运动两个项目的开发、经调研，从2017年初到2018年底的四年间，B 集团预期可从三个方面获得利润：一是房地产项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的20%；二是水上运动项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的算术平方根；三是旅游业，四年可获得利润10百万元、
(1) B 集团的投资应如何分配，才能使这四年总的预期利润最大？
(2) 假设从2018年起，J 地政府每年都要向B 集团征收资源占用费，2018年征收2百万元，以后每年征收的金额比上一年增加10%.假设B 集团投资成功的标准是：从2017年初到2018年底，这四年总的预期利润中值(预期最大利润与最小利润的平均数)不低于总投资
额的18%，问B 集团投资是否成功？
【例4】 函数f(x)＝－x 2＋8x ，g(x)＝6lnx ＋m.
(1) 求f(x)在区间[t ，t ＋1]上的最大值h(t)；
(2) 是否存在实数m ，使得y ＝f(x)的图象与y ＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点？假设存在，求出m 的取值范围；假设不存在，说明理由、
1. (2017·浙江)x 0是函数f(x)＝2x
＋1
1－x 的一个零点、假设x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，那么f(x 1)f(x 2)________0.(填“>”或“<”)、
2.(2017·北京)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ c x ，x<A ，
c A ，x ≥A ，(A ，c 为常数)、工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品
时用时15分钟，那么c 和A 的值分别是________、
3.(2017·浙江)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，假设一月至十月份销售总额至少达7 000万元，那么x 的最小值为________、
4.(2017·重庆)设m ，k 为整数，方程mx 2－kx ＋2＝0在区间(0,1)内有两个不同的实根，
那么m ＋k 的最小值为________、
5.(2017·山东)某企业拟建造如下图的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中
间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为80π
3立方米，且l ≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关、圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元、设该容器的建造费用为y 千元、
(1) 写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2) 求该容器的建造费用最小时的r.
6.(2017·福建)某商场销售某种商品的经验说明，该商品每日的销售量y(单位：千克)
与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x<6，a 为常数，销
售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克、
(1) 求a 的值；
(2) 假设该商品的成本为3元/千克， 试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大、
(2017·湖南)(本小题总分值12分)如图，长方形物体E 在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动，速度为v(v>0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c(c ∈R )、E 移动时单位时
间内的淋雨量包括两部分：(1) P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v
－c|×S 成正比，比例系数为110；(2) 其他面的淋雨量之和，其值为12，记y 为E 移动过程
中的总淋雨量，当移动距离d ＝100，面积S ＝32时、
(1) 写出y 的表达式；
(2) 设0＜v ≤10,0＜c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少、
解析：(1) 由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为320|v －c|＋12，(2分)
故y ＝100v ⎝ ⎛⎭⎪⎫320|v －c|＋12＝5v (3|v －c|＋10). (6分)
(2) 由(1)知，当0<v ≤c 时，y ＝5v (3c －3v ＋10)＝53c ＋10v
－15 当c<v ≤10时，y ＝5v (3v －3c ＋10)＝510－3c v
＋15. 故y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧ 53c ＋10v －15，0<v ≤c ，510－3c v ＋15，c<v ≤10.( 8分)
① 当0<c ≤103时，y 是关于v 的减函数、故当v ＝10时，y min ＝20－3c 2. (10分) ② 当103<c ≤5时，在(0，c]上，y 是关于v 的减函数；在(c,10]上，y 是关于v 的增函数；
故当v ＝c 时，y min ＝50c . (12分)
第4讲 函数的实际应用
①假设f(－x)＝－f(2＋x)，那么f(x)的图象关于点(1,0)对称；
②假设f(－x)＝f(2＋x)，那么f(x)的图象关于直线x ＝1对称；
③假设y ＝f(x ＋1)是奇函数，那么y ＝f(x)关于点(1,0)对称；
④假设y ＝f(x ＋1)是偶函数，那么y ＝f(x)关于直线x ＝1对称、
【答案】①②③④
2.二次函数y ＝g(x)的导函数的图象与直线y ＝2x 平行，且y ＝g(x)在x ＝－1处取得最
小值m －1(m ≠0)、设函数f(x)＝g x x .
(1)假设曲线y ＝f(x)上的点P 到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m 的值；
(2)k(k ∈R )取何值时，函数y ＝f(x)－kx 存在零点，并求出零点、
解：(1)设g(x)＝ax 2＋bx ＋c ，a ≠0那么g ′(x)＝2ax ＋b ；
又g ′(x)的图象与直线y ＝2x 平行，∴2a ＝2，∴a ＝1.
又g(x)在x ＝－1时取最小值，∴－b 2＝－1，∴b ＝2.
∴g(－1)＝a －b ＋c ＝1－2＋c ＝m －1，∴c ＝m.
∴f(x)＝g x x ＝x ＋m x ＋2.设P(x 0，y 0)，
那么|PQ|2＝x 20＋(y 0－2)2＝x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋m x 02＝2x 20＋m 2x 20
＋2m ≥22m 2＋2m. ∴22m 2＋2m ＝2，∴m ＝2－1或m ＝－2－1.
(2)由y ＝f(x)－kx ＝(1－k)x ＋m x ＋2＝0，
得(1－k)x 2＋2x ＋m ＝0.(*)
当k ＝1时，方程(*)有一解x ＝－m 2，函数y ＝f(x)－kx 有一零点x ＝－m 2；
当k ≠1时，方程(*)Δ＝4－4m(1－k)＞0.
假设m ＞0，k ＞1－1m ，函数y ＝f(x)－kx 有两个零点x ＝－2±4－4m 1－k 21－k
＝1±1－m 1－k
k －1；假设m ＜0，k ＜1－1m ，函数y ＝f(x)－kx 有两个零点x ＝
－2±4－4m 1－k
21－k ＝1±1－m 1－k
k －1
； 当k ≠1时，方程(*)
Δ＝4－4m(1－k)＝0，k ＝1－1
m ，函数y ＝f(x)－kx 有一零点x ＝1
k －1.
基础训练
1.1解析：f(0)＜0，f(1)＞0，x 0∈(0,1)、
2.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，5解析：由3a ＋25－a ＞1，得34＜a ＜5.
3.(1＋p)12－1
4.m 1＋x 3x 2＋3x ＋3解析：m(1＋x)3＝n(1＋x)2＋n(1＋x)＋n.n ＝m 1＋x 3x 2＋3x ＋3.
例题选讲
例1解：作出函数f(x)的图象，可见要使直线y ＝mx(m ∈R )与函数f(x)的图象恰有三
个不同的公共点，只要y ＝12x 2＋1(x ＞0)与直线y ＝mx(m ∈R )有两个交点，即12x 2＋1＝mx 有
两个不等的正根，x 2－2mx ＋2＝0有两个不等的正根，∴{ Δ＝4m 2－8＞0m ＞0，解得m
＞ 2.
变式训练(2017·北京)函数f(x)＝⎩⎨⎧ 2
x ，x ≥2x －13，x ＜2，假设关于x 的方程f(x)＝k 有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是________、
【答案】(0,1)解析：f(x)＝2x (x ≥2)单调递减且值域为(0,1]，f(x)＝(x －1)3(x ＜2)单
调递增且值域为(－∞，1)，f(x)＝k 有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是(0,1)、
例2解：设温室的长为xm ，那么宽为800x m 、由得蔬菜的种植面积为Sm 2：
S ＝(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －4＝800－4x －1 600x ＋8
＝808－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋400x ≤648(当且仅当x ＝400x 即x ＝20时，取“＝”)、
答：当矩形温室的边长分别为20m ，40m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是648m 2. 变式训练某学校拟建一块周长为400m 的操场如下图，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？
解：设中间区域矩形的长、宽分别为xm 、ym ，中间的矩形区域面积为Sm 2.
那么半圆的周长为πy 2m ，因为操场周长为400m ，所以2x ＋2×πy 2＝400，即2x ＋πy ＝400.
∴S ＝xy ＝12π·(2x)·(πy)≤12π·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π
y 2
2＝20 000π， 由
{ 2x ＝πy 2x ＋πy ＝400，解得⎩⎨⎧ x ＝100y ＝200π.当⎩⎨⎧ x ＝100y ＝200π时等号成立、
答：设计矩形的长为100m ，宽约为200π(≈63.7)m 时，面积最大、
例3解：(1)设B 集团用于水上运动项目的投资为x 百万元，四年的总利润为y 百万元，由题意，y ＝0.2(100－x)＋x ＋10＝－0.2x ＋x ＋30，x ∈[0,100]、
即y ＝－0.2(x －2.5)2＋31.25，x ∈[0,10]、 所以当x ＝2.5，即x ＝6.25时，y max ＝31.25.
答：B 集团在水上运动项目投资6.25百万元，所获得的利润最大，为31.25百万元、
(2)由(1)知，在上缴资源占用费前，y max ＝31.25，y min ＝20.
由题意，从2018年到2018年，B 集团需上缴J 地政府资源占用费共为
2(1＋1.11＋1.12)＝6.62百万元、
所以B 集团这四年的预期利润中值为31.25＋202
－6.62＝19.005. 由于19.005100＝19.005%＞18%，所以B 集团投资能成功、
答：B 集团在J 地投资能成功、
注：假设水上运动项目的利润改为该项目投资额的算术平方根的k(k ＞0)倍，如何讨论？
例4解：(1)f(x)＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16.
当t ＋1＜4，即t ＜3时，f(x)在[t ，t ＋1]上单调递增、
h(t)＝f(t ＋1)＝－(t ＋1)2＋8(t ＋1)＝－t 2＋6t ＋7；
当t ≤4≤t ＋1，即3≤t ≤4时，h(t)＝f(4)＝16；
当t ＞4时，f(x)在[t ，t ＋1]上单调递减，h(t)＝f(t)＝－t 2＋8t.
综上，h(t)＝{ －t 2＋6t ＋7，t ＜316，3≤t ≤4t 2
＋8t ， t ＞4. (2)函数y ＝f(x)的图象与y ＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数φ(x)＝g(x)－f(x)的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点、
∵φ(x)＝x 2－8x ＋6lnx ＋m ，
∴φ′(x)＝2x －8＋6x ＝2x 2－8x ＋6x ＝2
x －1x －3x (x ＞0)，
当x ∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)是增函数；当x ∈(1,3)时，φ′(x)＜0，φ(x)是减函数；当x ∈(3，＋∞)时，φ′(x)＞0，φ(x)是增函数；当x ＝1或x ＝3时，φ′(x)＝0.
∴φ(x)极大值＝φ(1)＝m －7，φ(x)极小值＝φ(3)＝m ＋6ln3－15.
∵当x 充分接近0时，φ(x)＜0，当x 充分大时，φ(x)＞0.
∴要使φ(x)的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
{ φx 极大值＝m －7＞0φx 极小值＝m ＋6ln3－15＜0，即7＜m ＜15－6ln3. 所以存在实数m ，使得函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,15－6ln3)、
高考回顾
1.＜解析：f(x)在(1，＋∞)单调递增，f(x 0)＝0，f(x 1)＜0，f(x 2)＞0.
2.60,16解析：由条件可知，x ≥A 时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满
足第一个分段函数，即f(4)＝c 4＝30c ＝60，f(A)＝60
A ＝15A ＝16.
3.20解析：3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7000，x ≥20.
4.13解析：设f(x)＝mx 2－kx ＋2，那么方程mx 2－kx ＋2＝0在区间(0,1)内有两个不同
的根等价于⎩⎨⎧
f 0f 100＜k 2m ＜1k 2－8m ＞0，因为f(0)＝2，所以f(1)＝m －k ＋2＞0，故抛物线开口向上，于是m ＞0,0＜k ＜2m ，令m ＝1，那么由k 2－8m ＞0，得k ≥
3，那么m ＞k 2≥32，所以m 至少为2，但k 2－8m ＞0，故k 至少为5，又m ＞k 2≥52，所以m 至少
为3，又由m ＞k －2＝5－2，所以m 至少为4，…，依次类推，发现当m ＝6，k ＝7时，m ，k 首次满足所有条件，故m ＋k 的最小值为13.
5.解：(1)因为容器的体积为803π立方米，所以43πr 3＋πr 2l ＝803π，
解得l ＝803r 2－43r ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r ，
由于l ≥2r ，因此0<r ≤2，
所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2
c ＝2πr ×43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r ×3＋4πr 2c ， 因此y ＝160π
r －8r 2＋4πcr 2，定义域为(0,2]、
(2)y ′＝－160πr 2－16r ＋8πcr ＝8π[c －2r 3
－20]
r 2
， 由于c>3，所以c －2>0，当r 3＝20c －2时r ＝320
c －2， 令3
20c －2＝m ，那么m>0，
所以y ′＝8πc －2
r 2(r －m)(r 2＋mr ＋m 2)、 ①当0<m<2即c>9
2时，
当r ＝m 时，y ′＝0；
当r ∈(0，m)时，y ′<0；
当r ∈(m,2)时，y ′>0，
所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点，
②当m ≥2，即3<c ≤9
2时，
当r ∈(0,2)时，y ′<0，函数单调递减，
所以r ＝2是函数y 的最小值点、
综上，当3<c ≤9
2时，建造范围最小时r ＝2；
当c>92时，建造费用最小时r ＝320
c －2.
6.解：(1)因为x ＝5时y ＝11，所以a 2＋10＝11a ＝2.
(2)由(1)知该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获
得的利润：
f(x)＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10x －62＝2＋10(x －3)(x －6)2,3＜x ＜6； f ′(x)＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)，令f ′(x)＝0得x ＝4. 函数f(x)在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，所以当x ＝4时函数f(x)取得最大值f(4)＝42.
答：当销售价格x ＝4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42元、。