2020届宁夏回族自治区银川市兴庆区银川一中高三第五次月考数学(文)试题(解析版)

2020届宁夏回族自治区银川市兴庆区银川一中高三第五次月
考数学（文）试题
一、单选题
1•设集合A {x I x是小于9的正整数}, B 0,3,6,9,10，则AI B （
A. 0,3,6,9
B. 3,6,9
C. 3,6
D. 0,3,6
【答案】C
【解析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可.
【详解】
解：••• A 1,2,3,4,5,6,7,8 , B 0,3,6,9,10 ,
••• AI B 3,6 .
故选：C
【点睛】
本题考查了列举法、描述法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题.
5
2.复数旦的共轭复数是（）
i 2
A. 2 i
B. 2i
C. 2 i
D. 2
【答案】C
【解析】先化简复数代数形式，再根据共轭复数概念求解
【详解】
5因为52 i，所以复数
5
——的共轭复数是2 i，选C.
i2i 2
【点睛】
本题考查复数运算以及共轭复数概念，考查基本求解能力.
3 .函数 f x sin xsin x的最小正周期为（）
4
A. 4
B. 2
C.
D.—
2【答案】C
【解析】由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性, 结论.
【详解】
得出
解：函数f x sinxsin x
sin x 罷i sin x
2
罷cosx
2
.2 1cos2x
2 丄sin2x
22 2 2
辽sin2x 2cos2x
444
1-2 —e , 斗2
sin2x —，其最小正周期为
24 4 2
故选：C
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，属于基础题.
4•若0 b 1 且log a b 1，则（）
A. 0 a b
B. 0 b a 1
C. 0 b 1 a
D. 0 a
a 1
【答案】D
【解析】对a进行分类讨论，然后结合对数函数的单调性即可判断.
【详解】
解：••• 0 b 1 且log a b 1 log a a ,
当a 1时，有0 b 1 a ,
当0 a 1时，有1 b a 0,
故选：D .
【点睛】
本题主要考查了利用对数函数的单调性比较函数值大小，属于基础题.
2
5.数列a n的通项a n 3n 2020 n 1，当取最大值时，n （）
A. 336
B. 337
C. 336或337
D. 338
【答案】B
【解析】根据数列｛a n｝的通项公式，结合二次函数的知识，分析计算即可得到当大值时n的
值.
n取最
【详解】
2 解：依题意，a n 3n 2020 n 1，表示抛物线 数时对应的函数值， 又y 3n 2
2020n 1为开口向下的抛物线，
2020 1010 故到对称轴n 2
3 厂 距离越近的点，函数值越大, 2 3 3
故当n 337时，a n f n 有最大值, 故选：B 【点睛】
本题考查了数列与函数的关系， 考查了二次函数的最大值问题，
主要考查分析和解决问
题的能力，属于基础题.
6 •某几何体的三视图如图所示，俯视图是有一条公共边的两个正三角形•该几何体的
【答案】D
【解析】 画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可.
【详解】 解：由题意，几何体的直观图如图：是两个三棱锥的组合体，底面是正三角形，边长为 2，棱锥的高为1 ,
2
n 3n 2020n 1当n 为正整
A . 2 4 3
B. 2 8「3
C. 4 2 3
D. 8 2.3
表面积为（ ）
所以几何体的表面积为,
【点
睛】
本题考查三视图求解几何体的体积与表面积， 考查空间想象能力以及计算能力， 属于基
础题.
r r r r r r
7 .若向量a 、b 满足a b a b ，则一定有（
）
【答案】A
【解析】对a b a b 两边平方，进行数量积的运算即可得出 【详解】
r r r r
解：••• a b a b ,
r r -a b 0 -
故选：A 【点睛】
本题考查了向量数量积的运算及计算公式，不等式的性质，考查了计算能力，属于基础 题.
8.“ a 2”是“直线ax 2y 3a 0与直线x a 1 y a 2平行”的（ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】当a 2代入直线表达式可得两直线平行，而当两直线平行时，由题可知斜率 都存在，则斜率相等可计算出 a . 【详解】
解：当a 2时，直线ax 2y 3a 0即为2x 2y 3a 0，直线
x a 1 y a 2即为x y 0，此时两直线平行；
a 2
当直线ax 2y 3a 0与直线x a 1 y a 2平行时，
解得a 2或
1 a 1
a 1 ,
当a 2时，2x 2y 6 0与x y 0平行，
当a 1时，x 2y 3
0与x 2y 3重合，不满足条件，
o r
b r
a
A.
o r
b r
a
B
rb
r a
2
r b
r a 2
r b
r a r2a
故当两直线平行时 a 2 •
故“ a 2”是“直线ax 2y 3a 0与直线x a 1 y a 2平行”的充要条 件 故选：C 【点睛】
本题考查命题之间的关系，涉及两直线平行的性质，属于基础题.
3
9 .函数f x sin 2x
3cosx 的一个单调递增区间是（
）
2 c 3
5
A .
,
B. 0,
C. — >
D. —,
4 2
4
4
2 4
【答案】B
【解析】先对已知函数进行化简，然后结合余弦函数与二次函数的单调性及复合函数的 单调性的性质，结合选项即可判断. 【详解】
2
cos2x 3cos x 2cos x 3cos x 1 ,
令t cosx ，贝y t 1,1 ,
则f
t
2t 2 3t
1，开口向下，对称轴t 3 4，
当x
1
, , 4 2 y cosx 不单调，不符合题意,
当x 0,3 时，
4
y cosx 单调递减且cosx
2
,1，即 t 2
故选：B 【点睛】
本题主要考查了复合函数的单调区间的求解，二次函数的性质的应用是求解问题的关 键.
sin 2x
3 2
3cos x ,
根据二次函数的性质可知，当 t
，函数ft 单调递减,
根据复合函数的单调性可知,
3
f x 在0, 上单调递增.
4
10.设m , n 是两条不同的直线, ①若 m , n// ，则m n ②若
// , // ,m ，则m
③若 m// ,
n// ，贝U m//n ④若
，则
//
其中正确命题的序号是（ ）
A .①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④
【答案】A
【解析】根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①是真命题；根据面面平 行的性质结合线面垂直的性质，可得②是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同 一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得 ③④不正确.由此可得本题的答案. 【详解】
解：对于①，因为 n// ，所以经过n 作平面 ，使 I
，可得
n //l
,
又因为m , 1 ，所以m 1，结合n//l 得m n .由此可得①是真命题；
对于②，因为
//
且// ，所以 //，结合m
，可得m
，故②是真命
题；
对于③，设直线 m 、n 是位于正方体上底面所在平面内的相交直线, 而平面 是正方体下底面所在的平面，
则有m//且n//成立，但不能推出 m//n ,故③不正确； 则有 且
，但是
，推不出 // ，故④不正确.
综上所述，其中正确命题的序号是①和②
故选：A 【点睛】
本题给出关于空间线面位置关系的命题， 要我们找出其中的真命题， 着重考查了线面平
行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题.
2 2
11.在平面直角坐标系 xOy 中，F ,、F 2是双曲线 冷
也 1的焦点，以F”为直径
a 2
b 2
的圆与双曲线右支交于 A 、B 两点.若 OAB 是正三角形，则双曲线的离心率为（ ）
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是三个不同的平面，给出下列四个命题:
对于④，设平面 是位于正方体经过同一个顶点的三个面,
12 .设函数f x
x
2 , x 1 x 3,x
1,则函数g x f x
1的零点的个数为（ ）
2
A . 1 B. 2
C. 3
D. 4
【答案】D
【解析】根据函数与方程的关系转化为两个函数图象交点个数问题, 利用数形结合进行
求解即可. 【详解】
作出f x 与y
1 , r 1 ,
x 1 得 f X x 1 , 2 2
1
^x 1的图象，由图象知两个函数共有
4个交点,
则函数g x 的零点个数为4个,
【答案】A
【解析】由题意画出图形，求得 A 的坐标，代入双曲线方程求解双曲线的离心率.
【详解】
解：如图, 由
OAB
是正三角形， 得
A 齐
1 2c ，
2 代入x
2
a 2
y b 2 3c 2 c 2
1，得「 2
4a 4b
1,
••• 3c 2 c 2 a 2
a 2c 2 4a 2 c 2 2 a
整理得：
3e 4 8e 2 4 0，解得
2
e 2或e 2 2 （舍）
3
故选：A 【点睛】
本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题.
B.
3
C. 2
D.
5
【点睛】
本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合或者定义法是解决本题的关键.
二、填空题
13 •已知命题：若一个整数的末位数字是 0，则这个整数能被 5整除.写出它的逆命题:
【答案】若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是 0
【解析】 根据逆命题的定义，原命题的条件做结论，结论当条件，写出即可. 【详解】
解：原命题：若一个整数的末位数字是
0，则这个整数能被 5整除;
则，逆命题：若一个整数能被 5整除，则这个整数的末位数字是 0. 故答案为：若一个整数能被 5整除，则这个整数的末位数字是 0.
【点睛】
本题考查了命题的逆命题的写法，注意语句的连贯性和表达的准确性，属于基础题.
1 sin 2
cos2
【答案】1
3
【解析】由利用二倍角公式将式子化成齐次式，结合同角基本关系化简可求. 【详解】
如
1 解：T tan
2，
2
14 .若 tan
则
1 si n2
2 2
sin cos 2sin cos
cos 2
2 . 2
cos sin
故选：D
tan 2 tan 1 1
1 tan23
1
故答案为：丄
3
【点睛】
本题主要考查了同角平分关系及商的关系在求解三角函数值中的应用，属于基础试题.
2 o
15•已知实数x、y满足x 1 y2 1，则z 3x 4y 2的最大值为___________________ .
【答案】10
【解析】把z 3x 4y 2变形为z 2 3x 4y ,所以当直线3x 4y m 0在y轴
上截距最小时，z取最大值，由题意可知点P在圆（x 1）2 y2 1上或圆内，当直线
3x 4y m 0与圆（x 1）2 y2 1相切时，截距最小值，从而求出z的最大值.
【详解】
2 o
解：•••实数x、y满足x 1 y2 1 ,
2 o
设点P x, y，则点P在圆x 1 y21上或圆内，
Q z 3x 4y 2
3x 4 y 2 z 0
令直线为3x 4y m 0 m 2 z
2
•••当直线3x 4y m 0与圆x 1 y21，相切时，m取得最值，
3 m c 厂亠
•d 1 ,• 3 m 5 , m 2 或8,
•m的最小值为8 ,
•- z 2 m的最大值为8,
•z的最大值为10,
故答案为：10
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，是中档题.
3 2
16.若曲线y x x在点P处的切线I与直线y x垂直，则切线|的方程为_____________ ,
5
【答案】y x 或y x 1
27
【解析】根据题意可设P （x 。

,沟3
X 。

2
），并且可据题意得出y x 3 x 2在点P 处的切线 斜率为1,从而可得
出3x 02 2X 0 1，解出x 0，从而可得出点 P 的坐标，根据直线的点 斜式方程进而求出切线的方程. 【详解】
3
2
3
2
2
解：据题意设P X o ,X o X o ，且y x x 在点P 处的切线斜率为1, y' 3x 2x ,
2
1
3x o
2x o
1
，解得 X o —，或 1 ,
3
1 4 .P ^,—，或 P 1,0 ,
3
27
5
.切线I 的方程为y x 一或y x 1.
27
5
故答案为：y x 或y x 1. 27
【点睛】
本题考查了相互垂直的直线的斜率的关系，导数的几何意义，直线的点斜式方程，考查 了计算能力，属于基础题.
三、解答题
17 .已知a n n N 是等比数列，其前n 项和& 2n p , p 为常数.
(1)求P 的值；
(2)设 b n
na n ，求数列
b n n N
的前n 项和T n .
【答案】 (1)
p 1 ; (2)
T n
n 1 2n 1
【解析】
(1) 求出
a 1 2
p , a 2
S
2
S j 2 , a 3 S 3 S 2
4
，禾U 用等比数列，
列方程解出；
(2)写出数列{a n } , ({b n }的通项公式，根据错位相消法，求出即可. 【详解】 解：(1 )
a
1
2 p
,
a
2
S
2
S 2 ,
a
3
S
3
S
2
4
,
a 3 a 2
a n 是等比数列，—
2
,解得印1 , p 1 ；
a2 B
(2)由(I)得a1 1，公比为2, a n= 2n-1, b n n2n 1,
T n1 20 2 21 3 22L n 1 2n 2n2n 1,
所以，2T n 1 21 2 22 3 23L n 1 2n 1n2n,错位相减得，T n 20 21 22 L 2n 1 n2n 2n 1 n2n,
所以T n n 1 2n1 .【点睛】
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其用错位相消法求前题.
18. ABC 的角A、B、C 的对边为a、b、c , 2sin2CcosC
(1)求角C ；
(2)求证：a b 2c.
【答案】(1) C -(2)证明见解析
3
【解析】(1)利用两角和差的正弦公式进行化简即可
(2)结合正弦定理或余弦定理，以及基本不等式进行证明.
【详解】n项和公式，中档sin3C sin2C.
解: 1) 2sin 2ccosC sin3C 2sin2CcosC sin 2C C sin2C cosC cos2Csin C sin 2C C sinC ,
sin2C 2sin CcosC ,
所以sin C 2sin C cosC ,
因为0 C ，所以sinC cosC
(2)(方法一) 由正弦定理 - sin A
si
nC
sin B
2 "
3 sin A sin - A
3
3sin A
2
辽cosA
2
2sin
a b
所以，J
c
(方法二)由余弦定理c2a2b22abcosC a2 b2 ab,由基本不等式
2 2 2 2
4c 4a 4b 4ab a b2 3 2 2
a b 4ab
1
又 B 1D 11 DD 1 D 1，所以 EF 平面DB 1D 1.
(2)解：由(I)知,
V
E B 1D 1F
B 1D 1
F
EF
2 2 2 2
a b 6ab 4ab a b 2ab ,
所以，4c 2 a b 2, a b 2c .
【点睛】
本题主要考查解三角形的应用，
结合两角和差的三角公式以及余弦定理，
正弦定理结合
基本不等式是解决本题的关键•难度中等.
19 •如图，ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，E 、F 分别是CC i 、BQ 的中点.
(2)右
AA
1
1
，求点F 到平面EBQ 1的距离.
【答案】(1)证明见解析 (2) _!
6
【解析】(1)连接AG ，交BD 1于G ,连接FG ,证明C 1EFG 是平行四边形，推出
EF / /C |G ，证明 EF B 1D 1, EF DD 1 , 即可证明EF 平面DB 1D 1.
(2)通过V F EB 1D 1 V E B 1D 1F ，转化求解点 A 到面DEF 的距离. 【详解】
(1)证明：连接A 1C 1，交B 1D 1于G ，连接FG ,
1 依题意，G 是B 1D 1的中点，FG//DD 1，且FG -DD 1 ,
2
1
E 是CC 1的中点，所以C 1E//D D 1，且GE - DD 1 ,
所以C 1E//FG ，且C 1E FG , C 1EFG 是平行四边形，
EF//GG ，又因为 B 1D 1 C 1G , DD 1 C 1G ，所以 EF B 1D 1, EF DD 1 ,
解：(1 )依题意，2c 2 , e
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1 1
1 --BP FG EF —— 3 2
12 '
设点F 到平面EB 1D 1的距离为h ,
计算能力，是中档题.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线I 经过椭圆的右焦点且不与坐标轴垂直，设直线 I 与椭圆交于R 、F 2两点,
uuu 1 uuur umr
OF - OR 0P 2 ( O 是坐标系的原点)，证明：直线I 与直线0P 的斜率之积为常
2
数.
2 2
【答案】(1) —
1
(2)证明见解析
4 3
【解析】(1)利用已知条件求出 a 2, b .3，得到椭圆方程.
2 2
乞壬1
(2)右焦点为F(1,0)，设直线I 的方程为y k(x 1)(k
01)，由 4
3 ，设P (X | ,
y k(x 1)
y)、P 2(X 2, y 2)、P(x o , y o )，利用韦达定理，求出直线 OP 的斜率，然后推出 k op k 3为常数.
4
【详解】
c 1 a 2
则
V EB ,D !
1 1 1 3
h 3 2 眄 EG h
V
E BQ 1F
，即一
6
h 丄解得h 12 12
.6 6
即点A'到面DEF 的距离为—6 .
6
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用,
等体积法的应用，考查空间想象能力以及
2 2
20 .已知椭圆-y
2
,2
a b
1 a b 0的焦距为2，离心率为丄.
2
V
F EB ,D !
【点睛】
2
x o , f' x 1
解得 c 1, a 2, b 3,
F 1,0，设直线|的方程为y k x 1 k 0 ,
2 2
乞y~ 1 I o 2
2 2
由 4
3 得 4k 3 x 8k x 4k 12
0,
y k x 1
,
y o 3 直线OP 的斜率为k o P
o X o
4k
3
二k op k 为常数.
4
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用, 椭圆
方程的求法，考查转化思想以及计算
能力，是中档题.
2
21 .设函数f x ax 3ln x —,其中a 为常数. x ， (1)当a 1时，求证：f x 有且仅有一个零点;
f x 在定义域内既有极大值，又有极小值，求 a 的取值范围.
仅有一个零点;
【详解】
(1) f x x 3ln x 2,
x
解 f ' x o ，得 X 1 , x 2,
(2)因为函数f(x)在定义域内既有极大值，又有极小值，所以 f (x) o 有两个正根,
再利用根与系数的关系即可求出
a 的取值范围.
(2)证明：右焦点为
设 P X 1,%、P X 2, y 2
P X o , y o ，则为 x 2
8k 2 4k 2 3
X o
4k 2 4k 2 3
y o k X o 1 3k 4k 2 3
(2)若函数
【答案】(1)
证明见解析(2)
必
【解析】(1)
利用导数求出函数的单调性和极值，结合极值的大小即可证出 f(x)有且
标方程为3 cos sin 2 0 .
因为极大值f 1 1 0,所以f x 在0,1无零点，从而在
0,2无零点,
e 4 12 -24 16 12 1 0，所以
f x 在 e
即f x 有且仅有一个零点;
(2) f' x •••函数f x 在定义域内既有极大值，又有极小值，••• f ' x 0有两个正根,
2
即h x ax 3x 2 0有两个正根 为、x ?,
9 8a 0
所以，x | x 2 — 0 ,
a
2
xx 2 一 0
a
9
解得0 a
8
9
• a 的取值范围为 0,-
8
【点睛】 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，以及根与系数的关系，是中档题.
一—
x cos 22 .在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
(为参数,
y cos2 1
0 ).以坐标原点0为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 |的极坐
又因为 f 2
1 31 n
2 0, f e 4
2,e 4有零点，因为f x 在2,
单调递增，所以f x 在2,
有唯一零点,
3x 2 ,
(1) 求C 和I 的直角坐标方程； (2) 求C 和I 交点的直角坐标.
2
1 1
【答案】(1) y 2x x 1 , 3x y 2 0 (2)
-,—
2 2
【解析】(1)由曲线C 的参数方程，结合二倍角的余弦可得曲线 C 的直角坐标方程为
y 2x (|x|, 1)，由3 cos sin 2 0，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得
直线I 的直角坐标方程；
(2)直接联立两曲线的直角坐标方程求解得答案. 【详解】
得 y cos2
1 2cos 2
•/ x
• C 和I 交点为
【点睛】 本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，是基础题. 23 .设 x, y R ，且 x y 1 .
1
(1)
若x 2y —,求x 的取值范围；
2
、 1 1
(2)
求证： 1
2
1 9.
x y
1 5 【答案】(1)
, ( 2)证明见解析
6
1
【解析】(1)原不等式即为|3x 2|,
，直接解出即可;
解：(1)由曲线C 的参数方程为
cos 为参数，0
cos2 1
),
•••曲线C 的直角坐标方程为
2x 2
(2)
cos sin
可得直线
I 的直角坐标方程为3x y 2 0 ；
由3x
2x
，解得
••• x 的取值范围为
2
xy ，
由基本不等式,
所以 2
1 A 1
1 — 9.
x y
xy
【点睛】 本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式的运用，考查化简求解能力及逻辑推理能 力，属于基础题.
1)1
xy ，再利用基本不等式即可得证・
【详解】
解：(1) 由x, y R
，且x y 1
3x 2
1 解得-x
2
2
2 1可知， x 2y 1
即
3x 2
-,
2 2
5
1 5
0,1
—,且
—
6
2 6
(2) 证明:
2
x
~2~
x
2
y
~-
y
xy 1 .xy
1
1
(2)通过化简可得(—2
1)(
:
x
y。