广东省深圳市2019-2020学年高三第二次(4月)调研考试理数试题Word版含解析

广东省深圳市2019-2020学年第二次（4月）调研考试
高三理数试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合,集合,集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题设可得，则，则，应选答案A。

2. 若复数满足(为虚数单位),则复数在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D
【解析】因为，所以，，复数对应的坐标为，复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.
3. 下列命题中的假命题是( )
A. ,
B. ,
C. ,
D. ,
【答案】B
【解析】试题分析：当x=1时，（x-1）2=0,显然选项B错误，故选B。

考点：特称命题与存在命题的真假判断。

4. 各项都是正数的数列满足,且,则( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
【答案】A
【解析】由题设可得，则数列是等比数列，则，即
，所以，则，应选答案A。

5. 在平面直角坐标系中,椭圆的中心为原点,焦点,在轴上,离心率为,点为椭圆上一点,且
的周长为12,那么的方程为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题设可得，又椭圆的定义可得，即
，所以，则椭圆方程为，应选答案D。

6. 已知关于的方程在有两个不等的实根,则的一个值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题设可得，又，所以，则，由题意应选答案D。

7. 如图所示的流程图,若输入某个正整数后,输出的,则输入的的值为( )
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
【答案】C
【解析】由题设中提供的算法流程图可知：；；；
，又由题意，即，也即
，则，应选答案C。

8. 如图所示是一个组合几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
9. 函数的图象大致是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；又时，，即，应选答案B。

点睛：解答本题的关键是借助题设中提供的图像信息，先对函数进行求导得到
，再结合图像信息进行分析判断，从而使得问题获解。

10. 过直线上的点作圆:的两条切线、，当直线，关于直线
对称时，（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题设可知当时，两条切线关于直线对称，此时即为点到直线的距离，即，应选答案B。

点睛：解答本题的难点是如何理解两条切线关于直线对称，从而将问题转化为
，最终求得点到直线的距离，即，从而使得问题获解。

11. 三棱锥中，平面，，是边长为2的等边三角形，则该几何体外接球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
设三角形和三角形的中心分别为，是球心，连接交于，则是平行四边形，外接球半径
所以表面积为故选D.
12. 已知偶函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时有，则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题设构造函数，则，又因为，所以当时，，函数单调递减；又因为函数是上的偶函数，所以当函数
单调递增；由题设不等式可化为，借助函数的单调性可得，即，应选答案B。

点睛：解答本题时，先依据题设条件构建函数，再运用求导法则求得
，进而借助题设条件判定出函数的单调性，借助单调性、奇偶性建立不等式，通过解不等式使得问题获解。

第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知向量，，则__________．
【答案】
【解析】因为，则
，即，应填答案。

14. 历史上有人用向画有内切圆的正方形纸片上随机撒芝麻，用随机模拟方法来估计圆周率的值．如果随机向纸片撒一把芝麻，1000粒落在正方形纸片上的芝麻中有778粒落在正方形内切圆内，那么通过此模拟实验可得的估计值为__________．
【答案】3.112
【解析】由题设可知，则运用几何概型计算公式可得
，应填答案。

点睛：解答本题的关键是依据题设条件与几何概型的计算公式计算其概率，然后再建立方程，求得，从而使得问题获解。

15. 若，满足约束条件则的最小值是__________．
【答案】
【解析】
换出约束条件表示得可行域，如图，原点到直线距离就是的最小值，由点到直线得距离公式可知，，所以的最小值是，故答案为.
16. 某公司为适应市场需求，投入98万元引进新生产设备，并马上投入生产，第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元，则引进该设备__________年后，该公司开始盈利．
【答案】3
【解析】设年后开始盈利，由题意年后所需费用共需万元，由题设可得
，解之得，则年后开始盈利，应填答案。

点睛：解答本题的关键是依据题设条件与实际意义建立不等式关系，然后通过解不等式求得不等式的解集，从而使得问题获解。

解答时，先算出年后所需费用为万元，再算出利润满足的不等式，解之得，则年后开始盈利，使得问题获解。

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在中，角、、所对的边分别为、、，且．
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若，且的面积为，求边上的中线的大小．
【答案】（I）；（II）.
【解析】试题分析：（1）运用正弦定理建立方程求解；（2）依据题设条件及面积公式建立方程求得，再运用余弦定理求解：
试题解析：
解：（Ⅰ）由正弦定理：，又由已知，
所以，，
因为，所以．
（Ⅱ）由已知，则是等腰三角形，，设，
，
由已知的面积为，得，，
中，由余弦定理，，所以．
18. 如图，点是平行四边形所在平面外一点，是等边三角形，点在平面的正投影恰好是中点.
（1）求证：平面；
（2）若，，求点到平面的距离. 【答案】（I）详见解析；（II）.
（Ⅱ）解：∵点在平面的正投影恰好是中点，
∴平面，是的中点，
又，平面，
∴，．
在中，是的中点，，
∴是等腰直角三角形，，，
在等边中，，
在中，，
在等腰中，．
设点到平面的距离为，
由，得，
∴．
19. “大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号.某生产企业积极响应号召，大力研发新产品.为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如下表所示：
已知.
（1）求出的值；
（2）已知变量，具有线性相关关系，求产品销量（件）关于试销单价（元）的线性回归方程；（3）用表示用正确的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值.当销售数据的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”.现从6个销售数据中任取2个，求抽取的2个销售数据中至少有1个是“好数据”的概率.
【答案】（I）；（II）；（III）.
【解析】试题分析：（1）借助题设条件直接求解；（2）运用相关系数公式求解；（3）依据题设条件及新定义的概念和概率公式求解：
试题解析：
解：（Ⅰ），可求得．
（Ⅱ），
，
所以所求的线性回归方程为．
（Ⅲ）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．
与销售数据对比可知满足（1,2，…，6）的共有3个“好数据”：、、．从6个销售数据中任意抽取2个的所有可能结果有种，
其中2个数据中至少有一个是“好数据”的结果有种，
于是从抽得2个数据中至少有一个销售数据中的产品销量不超过80的概率为．
20. 已知动点到定直线的距离比到定点的距离大.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线交轨迹于，两点，直线，分别交直线于点，，证明以为直径的圆被轴截得的弦长为定值，并求出此定值.
【答案】（I）；（II）详见解析.
【解析】试题分析：（1）依据题设条件及两点间距离公式建立方程分析求解；（2）依据题设条件建立直线，的方程，再运用坐标之间的关系分析探求：
试题解析：
解：（Ⅰ）设点的坐标为，因为定点在定直线：的右侧，
且动点到定直线：的距离比到定点的距离大，
所以且，
化简得，即，
轨迹的方程为．
（Ⅱ）设，（），则，，∵，，三点共线，
∴，
∴，
又，∴，
直线的方程为，令，得．
同理可得．
所以以为直径的圆的方程为，
即．
将代入上式，可得，
令，即或，
故以为直径的圆被轴截得的弦长为定值4．
点睛：解析几何是高中数学中重要的知识与内容，也是高考重点考查的重要考点与热点。

这类问题的设置旨在考查借助直角坐标的关系求解几何图形问题。

求解第一问时充分依据题设条件，运用两点间距离公式建立等量关系，通过化简使得问题获解；解答第二问时，先设，，在借助题设中的条件建立以为直径的圆的方程为，探究其最值关系，从而使得问题获解。

21. 已知函数，（，为自然对数的底数），且
在点处的切线方程为.
（1）求实数，的值；
（2）求证：.
【答案】（I），；（II）详见解析.
【解析】试题分析：（1）依据题设条件借助导数的几何意义建立方程组，通过解方程组使得问题获解；（2）先将不等式进行等价转化，再构造函数运用导数知识分析推证：
试题解析：
解：（Ⅰ）∵，
∴，且，
又在点处的切线方程为，
∴切点为，
∴
∴，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，且的定义域为，
令，
则，
令，显然在为减函数，且，，
∴，使得，即，
当时，，∴，∴为增函数；
当时，，∴，∴为减函数．
∴，
又∵，∴，，
∴，即，
∴．
点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，设立了两个问题，旨在考查导数的几何意义及导数在研究函数的单调性、最值（极值）等方面的综合运用。

求解第一问时，依据题设条件借助导数的几何意义建立方程组
，通过解方程组使得问题获解；求解第二问时，先将不等式进行等价转化，再构造函数令
，然后运用导数知识进行分析推证。

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（），且曲线与直线有且仅有一个公共点．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设、为曲线上的两点，且，求的最大值．
【答案】（I）；（II）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）将直线参数方程与圆的极坐标方程都化为直角坐标方程，根据圆心到直线的距离等于半径求解；（Ⅱ）
，根据三角函数的有界性求解.
试题解析：（Ⅰ）直线的普通方程是，
曲线的直角坐标方程是，
依题意直线与圆相切，则，解得或，
因为，所以．
（Ⅱ）如图，不妨设，，则，，
，
所以，即，时，最大值是．
23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数的最大值（）．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若（，），试比较与的大小．
【答案】（I）；（II）.
【解析】试题分析：（1）分三种情况讨论函数的单调性，可得的最大值为，故；（2）根据（1）的结论，展开后根据基本不等式求解即可.
试题解析：（1）由于
的最大值为，故.
（2）∵，且，，
∴，当且仅当，即，等号成立．
所以.。