配套K122018-2019学年高中数学人教B版必修一学案：2.1.1 第1课时 变量与函数的概念

2.1 函 数 2.1.1 函 数
第1课时 变量与函数的概念
[学习目标] 1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域、函数值.
[知识链接]
1.在初中，学习过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，它们的表达形式分别为y ＝kx (k ≠0)，y ＝k
x (k ≠0)，y ＝ax ＋b (a ≠0)，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).
2.反比例函数y ＝k
x (k ≠0)在x ＝0时无意义. [预习导引] 1.函数
(1)函数的定义：设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数.记作y ＝f (x )，x ∈A . (2)函数的定义域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，自变量取值的范围(数集A )叫做这个函数的定义域.
(3)函数的值域：所有函数值构成的集合{y |y ＝f (x )，x ∈A }叫做这个函数的值域. 2.区间
设a ，b ∈R ，且a ＜b .
3.
要点一函数概念的应用
例1设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有()
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案 B
解析
规律方法 1.判断一个对应关系是不是函数关系的方法：(1)A，B必须都是非空数集；(2)A 中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应.
注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余.
2.函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”.
跟踪演练1下列对应或关系式中是A到B的函数的是()
A.A ∈R ，B ∈R ，x 2＋y 2＝1
B.A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：
C.A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝
1x －2
D.A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1 答案 B
解析 对于A 项，x 2＋y 2＝1可化为y ＝±1－x 2，显然对任意x ∈A ，y 值不唯一，故不符合.对于B 项，符合函数的定义.对于C 项，2∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合.对于D 项，－1∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合. 要点二 求函数的定义域 例2 求下列函数的定义域： (1)y ＝(x ＋1)2
x ＋1－1－x ；
(2)y ＝x ＋1|x |－x
.
解 (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋1≠0，1－x ≥0，即⎩⎨⎧
x ≠－1，x ≤1.
所以函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}. (2)要使函数有意义， 必须满足|x |－x ≠0，即|x |≠x ， ∴x ＜0.
∴函数的定义域为{x |x ＜0}.
规律方法 1.当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形：(1)负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；(2)分式中分母不能为0；(3)零次幂的底数不为0；(4)如果f (x )由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；(5)如果函数有实际背景，那么除符合上
述要求外，还要符合实际情况.
2.求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
跟踪演练2 函数f (x )＝x －2＋1
x －3的定义域是( )
A.[2,3)
B.(3，＋∞)
C.[2,3)∪(3，＋∞)
D.(2,3)∪(3，＋∞)
答案 C
解析 要使函数有意义，需满足⎩
⎪⎨⎪⎧
x －2≥0，
x －3≠0，
即x ≥2且x ≠3.
要点三 求函数值或值域 例3 已知f (x )＝
1
1＋x
(x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R). (1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (3)]的值. 解 (1)∵f (x )＝1
1＋x ，
∴f (2)＝11＋2＝1
3.
又∵g (x )＝x 2＋2， ∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f [g (3)]＝f (11)＝
11＋11＝112
. 规律方法 求函数值时，首先要确定出函数的对应法则f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f [g (x )]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f [g (x )]与g [f (x )]的区别.
跟踪演练3 求下列函数的值域. (1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x ＋1；
(3)y ＝
x x ＋1
. 解 (1)(直接法)将x ＝1,2,3,4,5分别代入y ＝2x ＋1计算得函数的值域为{3,5,7,9,11}. (2)(观察法)∵函数的定义域为{x |x ≥0}， ∴x ≥0， ∴x ＋1≥1.
∴函数y ＝x ＋1的值域为[1，＋∞). (3)(分离常数法)∵y ＝
x x ＋1＝1－1x ＋1
， 且定义域为{x |x ≠－1}，∴1
x ＋1≠0，即y ≠1.
∴函数y ＝x
x ＋1
的值域为{y |y ∈R ，且y ≠1}.
1.下列图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )
答案 B
解析 根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B 不正确. 2.函数f (x )＝
x －1
x －2
的定义域为( ) A.[1,2)∪(2，＋∞) B.(1，＋∞) C.[1,2) D.[1，＋∞)
答案 A
解析 由题意可知，要使函数有意义，需满足
⎩⎪⎨⎪⎧
x －1≥0，x －2≠0，
即x ≥1且x ≠2. 3.已知f (x )＝x 2＋x ＋1，则f [f (1)]的值是( ) A.11
B.12
C.13
D.10
答案 C
解析f[f(1)]＝f(3)＝9＋3＋1＝13.
4.下列各组函数中，表示同一个函数的是()
A.y＝x－1和y＝x2－1 x＋1
B.y＝x0和y＝1
C.f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2
D.f(x)＝(x)2
x和g(x)＝
x
(x)2
答案 D
解析A中的函数定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同，故选D.
5.集合{x|－1≤x＜0，或1＜x≤2}用区间表示为________.
答案[－1,0)∪(1,2]
解析结合区间的定义知，用区间表示为[－1,0)∪(1,2].
1.对函数相等的概念的理解：
(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系.函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.
(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对应关系不一定相同.如y＝x与y＝3x的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数.
2.区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合，即用端点所对应的数、“＋∞”(正无穷大)、“－∞”(负无穷大)、方括号(包含端点)、小圆括号(不包含端点)等来表示的部分实数组成的集合.如{x|a＜x≤b}＝(a，b]，{x|x≤b}＝(－∞，b]是数集描述法的变式.。