广东省2009届高三数学模拟试题分类汇总——数列
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
数列
一、选择题
1、〔2009潮州〕等比数列}{n a 的首项与公比分别是复数2(i i +是虚数单位)的实部与虚部,
则数列
}{n a 的前10项的和为〔 〕A
A 20
B 1210
- C 20- D i 2-
2、〔2009揭阳〕已知{}n a 是等差数列,154=a ,555=S ,则过点34(3,(4,),)P a Q a 的直
线的斜率〔 〕A
A .4
B 41
C .-4
D .-14
3、〔2009广东五校〕在等差数列
{}n a 中,12008a =-,其前n 项的和为n S .假设
20072005
2
20072005S S -=,则2008S =〔 〕B
〔A 〕2007- 〔B 〕2008- 〔C 〕2007 〔D 〕2008 4、〔2009番禺〕首项为30-的等差数列,从第7项开始为正,则公差d 的取值范围是 〔 〕C A. 56d ≤<
B. 6d <
C. 56d <≤
D. 5d >
5、〔2009北江中学〕一个等差数列共n 项,其和为90,这个数列的前10项的和为25,后
10项的和为75,则项数n 为 〔 〕C A.14 B.16 6、〔2009珠海〕等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,91318,52S S =-=-,等比数列}
{n b 中,
,,7755a b a b ==则15b 的值为〔 B 〕
A .64
B .-64
C .128
D .-128网 7、〔2009澄海〕.已知等比数列的公比为2,且前四项之和等于1,那么前八项之和等于( )D A.15 B.21 8、〔2009澄海〕记等差数列}{n a 的前项和为n S ,假设||||113a a =,且公差0<d ,则当n S 取最大值时,=n 〔 〕C A .4或5 B .5或6 C .6或7
D .7或8
9、〔2009韶关〕已知等差数列{}n a 满足1231010a a a a ++++=,则有〔 〕 C
A .
11010a a +> B .11010a a +< C .11010a a += D .5151a =
10、〔2009中山一中〕已知在等差数列{
n a }中,,4,1201-==d a 假设)2(≥≤n a S n n ,
则n 的最小值为〔 〕B A .60 B .62 C .70 D .72
二、解答题
1、〔2009深圳福田〕已知数列
{}n a 是等差数列, 256,18a a ==;数列{}n b 的前n 项和是
n T ,且1
12n n T b +=.
(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 求证:数列{}n b 是等比数列;
(Ⅲ) 记
n n n c a b =⋅,求{}n c 的前n 项和n S
解:(Ⅰ)设
{}n a 的公差为d ,则:21a a d =+,514a a d =+,
∵2
6a =,518a =,∴116
418a d a d +=⎧⎨
+=⎩,∴12,4a d ==. ………………………2分 ∴
24(1)42n a n n =+-=-. …………………………………………4分
〔Ⅱ〕当1n =时,11b T =,由11112T b +=,得123b =
. …………………5分 当2n ≥时,112n n T b =-,11
112n n T b --=-,
∴111=() 2n n n n T T b b ----,即11
()
2n n n b b b -=-. …………………………7分 ∴1
1
=3n n b b -. ……………………………………………………………8分 ∴{}n b 是以23为首项,13为公比的等比数列. …………………………………9分
〔Ⅲ〕由〔2〕可知:
1211
()2()333n n n b -=
⋅=⋅. ……………………………10分
∴
11
(42)2()(84)()33n n
n n n c a b n n =⋅=-⋅⋅=-⋅. …………………………………11分 ∴
2112111
11
4()12()(812)()(84)()33
33n n
n n n S c c c c n n --=++
++=⨯+⨯+
+-⨯+-⨯.
∴231
11111
4()12()(812)()(84)()33333n n n S n n +=⨯+⨯+
+-⨯+-⨯.
∴
231
12111
1148()8()8()(84)()3333333n n n n n S S S n +-==⨯+⨯+⨯+
+⨯--⨯
211
11()[1()]41338(84)()13313n n n -+⋅-=+⨯--⨯-
11811
4()(84)()333n n n -+=
-⨯--⨯. ………………………………………13分
∴
144(1)()3n
n S n =-+⋅. …………………………………………………14分 2、〔2009金山中学〔一〕〕已知曲线C :xy=1,过C 上一点
),(n n n y x A 作一斜率为
21
+-
=n n x k 的直线交曲线C 于另一点),(111+++n n n y x A ,点列),3,2,1( =n A n 的横
坐标构成数列{n x },其中
7111=
x .
〔1〕求
n x 与1+n x 的关系式;
〔2〕求证:{31
21+
-n
x }是等比数列;
〔3〕求证:
)1,(1)1()1()1()1(33221≥∈<-++-+-+-n N n x x x x n n。
解:〔1〕过C :
x y 1
=
上一点),(n n n y x A 作斜率为n k 的直线交C 于另一点1+n A ,
则
2111
1
11111+-
=⋅-=--
=--=+++++n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x y y k , ----------------------------3分
〔前三个式子各式1分〕
于是有:
21+=+n n n x x x 即:
12
1n n x x +=+
----------------------------4分
〔2〕记
31
21+
-=
n n x a ,则
n
n n
n n n a x x x x a 2)3
1
21(231221312111-=+--=+-+=+-=
++, ----------------6分
因为
023121,711111≠-=+-==
x a x 而,
因此数列{31
21+
-n
x }是等比数列。
----------------------------8分
〔3〕由〔2〕可知:
31)2(12,)2(-
-+
=-=n n n n x a 则,
31
)1(212)1()1(⋅
--+
⋅-=-n n n n n x 。
----------------------9分
当n 为偶数时有:
=-+---n n n n x x )1()1(11
=n n n n n n n n n n n n 21
212222)
312)(312(223121
3121
111111+<⋅+<-++=-++------, -------------11分
于是
①在n 为偶数时有:
12121212121)1()1()1(432221<+++++<
-++-+-n n n x x x 。
----------12分
②在n 为奇数时,前n-1项为偶数项,于是有:
n n n n x x x x )1()1()1()1(11221-+-++-+---
1
3
1211)3
1)2(12(11)1(1<+
+
-=-
-+
-=-=-+<n n n n n x x 。
-----------------13分
综合①②可知原不等式得证。
----------------------------14分 3、〔2009湛江师院附中〕已知数列{}n a 是等差数列,且355,9a a ==,n S 是数列{}n a 的
前n 项和. (Ⅰ)求数列
{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ;
(Ⅱ) 假设数列
{}n b 满足
1
1n n n b S S +=
⋅,且
n T 是数列{}n b 的前n 项和,求n b 与n T .
解:(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d
,由题意可知:31512549a a d a a d =+=⎧⎨
=+=⎩,解得:11,2a d == …3分
∴
1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=- …………………………………5分
21()(121).22n n a a n n n
S n ++-=
== ……………………………6分
(Ⅱ)
11111
(1)1
n n n b n n n n S S +=
==-
++⋅ …………………………8分
123111111111()()()()1.122334111n n
T b b b b n n n n n =+++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++∴ ……………13分
4、〔2009广州天河〕根据如下图的程序框图,将输出的x 、y 值依次分别记为
122008,,,,
,n x x x x ;122008,,
,,
,n y y y y
〔Ⅰ〕求数列
}{n x 的通项公式n x ;
〔Ⅱ〕写出y1,y2,y3,y4,由此猜想出数列{yn}; 的一个通项公式yn ,并证明你的结论; 〔Ⅲ〕求
1122(,2008)n n n z x y x y x y x N n =++
+∈*≤.
解:〔Ⅰ〕由框图,知数列2,1}{11+==+n n n x x x x 中, ……2分
∴
12(1)21(*,2008)n x n n n N n =+-=-∈≤ ……4分
〔Ⅱ〕y1=2,y2=8,y3=26,y4=80.
由此,猜想
31(*,2008).n
n y n N n =-∈≤ ……2分 证明:由框图,知数列{yn}中,yn+1=3yn+2 ∴
)1(311+=++n n y y
∴111
3,1 3.1n n y y y ++=+=+ ……4分
∴数列{yn+1}是以3为首项,3为公比的等比数列。
∴n y +1=3·3n -1=3n
∴
n y =3n -1〔*,2008n N n ∈≤〕 ……6分
〔Ⅲ〕zn=
n n y x y x y x +++ 2211
=1×〔3-1〕+3×〔32-1〕+…+〔2n -1〕〔3n -1〕 =1×3+3×32+…+〔2n -1〕·3n -[1+3+…+〔2n -1〕] 记Sn=1×3+3×32+…+〔2n -1〕·3n ,①
则3Sn=1×32+3×33+…+〔2n -1〕×3n+1 ② ……2分 ①-②,得-2Sn=3+2·32+2·33+…+2·3n -〔2n -1〕·3n+1 =2〔3+32+…+3n 〕-3-〔2n -1〕·3n+1
=2×13·)12(331)
31(3+-----n n n =
113·)12(63++---n n n 63·)1(21
--=+n n ∴
.33·)1(1
+-=+n n n S ……3分 又1+3+…+〔2n -1〕=n2
∴
12(1)33(*,2008)n n z n n n N n +=-⋅+-∈≤. ……4分 5、〔2009广州海珠区〕数列
{}n b ()*
∈N n 是递增的等比数列,且4,53131==+b b b b . (Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式;
(Ⅱ)假设
3log 2+=n n b a ,求证数列{}n a 是等差数列;
(Ⅲ)假设+++322
1
a a a ……46a a m ≤+,求m 的最大值.
解:(Ⅰ)由 ⎩⎨
⎧=+=5
43131b b b b 知
31,b b 是方程0452=+-x x 的两根,注意到n n b b >+1得
4,131==b b .……2分
∴4312
2==b b b 得22=b . ∴4,2,1321===b b b
∴等比数列.{}n b 的公比为212
=b b ,1
112--==∴n n n q b b ……4分
(Ⅱ)
.23132log 3log 1
22+=+-=+=+=-n n b a n n n ……6分 ∵
()[][]12211=+-++=-+n n a a n n ……8分
∴数列{}n a 是首相为3,公差为1的等差数列. ……9分
(Ⅲ) 由(Ⅱ)知数列
{}n a 是首相为3,公差为1的等差数列,有
+++3221a a a ……m a +=++++3212
1a a a a ……1a a m -+
=
()23631213322
m
m m m m m -+
+=-⨯-+⨯+……11分 4846=a
∴482362≤-++m
m m ,整理得08452
≤-+m m ,
解得712≤≤-m .……13分
m ∴的最大值是7. ……14分
6、〔2009湛江21中〕已知数列{}()n a n N *∈是等比数列,且130,2,8.n
a a a >==
(1)求数列
{}n a 的通项公式;
(2)求证:11
111321<++++n a a a a ;
(3)设
1log 22+=n n a b ,求数列{}n b 的前100项和.
.解:(1)设等比数列
{}n a 的公比为q .
则由等比数列的通项公式1
1n n a a q
-=得
31
31a a q -=,
28
4,2q ∴=
=
又
()0,2
2n a q >∴=分
∴数列{}n a 的通项公式是
()12223n n
n a -=⨯=分.
()
123
231111211111112221222212n
n n a a a a ++++
-⨯=
++++=
-
()11,
2n
=-
6分
()11,117,
2n
n ≥∴-
<分
()123
111118.
n
a a a a ∴
++++
<分
()()()(){}()2132log 21219,212112,,n n n n n b n b b n n b -=+=+-=+--+=⎡⎤⎣⎦∴由分又常数数列是首项为3,公差为2的等差数列11分
∴数列{}n b 的前100项和是
()
10010099
1003210200122
S ⨯=⨯+
⨯=分
7、〔2009深圳九校〕等差数列}{n a 的公差0≠d ,它的一部分组成数列n
k k k k a a a a ,,,,321 为等比数列,其中
11k =,25k =,317k =. 〔Ⅰ〕求等比数列n
k k k k a a a a ,,,,321 的公比q ;
〔Ⅱ〕记
n k n f =)(,求)(n f 的解析式; 〔Ⅲ〕求
n k k k +++ 21的值;
解:〔Ⅰ〕依题意有:1712
5
a a a ⋅= ………………………1分
)16()4(1121d a a d a +=+∴ 解得:d a 21=. ………………………3分
324241115=+=+==
∴d d
d a d a a a q ………………………5分
〔Ⅱ〕解法1:
3
1
=-n n
k k a a ………………………6分
3
)1()1(111=-+-+∴
-d k a d
k a n n ,又d a 21=,
231+=∴-n n k k ………………………8分
)1(311+=+∴-n n k k
}1{+∴n k 是等比数列, ……………………9分 111323)1(1--⋅=+=+∴n n n k k
1321-⋅=∴-n n k 132)(1-⋅=∴-n n f ………………………10分
解法2: ∵n
k a 是等比数列的第n 项,又是等差数列的第
n k 项
∴
1
13n n k a a -=⋅ ………………………7分
1(1)n k n a a k d
=+-
∴1
1
3n a -⋅1(1)n a k d =+- ………………………9分 由〔Ⅰ〕知d a 21=
1321-⋅=∴-n n k
13
2)(1
-⋅=∴-n n f . ………………………10分
〔Ⅲ〕1
331312)331(21
21--=---⋅=-+++=+++-n n n k k k n n
n n ……14分
8、〔2009普宁〕设数列
{}n a 的前项和为n S ,且n
S 11
22n -=-
,{}n b 为等差数列,且1
1a b =,2211()a b b a -=.
〔1〕求数列
{}n a 和{}n b 通项公式;
〔2〕设
n
n n b c a =
,求数列{}n c 的前n 项和n T
〔1〕当1=n 时,111==S a .…………1分
当2≥n 时,
12
1
121
)2
12()2
12(----=---
=-=n n n n n n S S a ,此式对1=n 也成立.
121
-=
∴n n a )(*
N n ∈.…………3分
从而111==a b ,221
12112===
-a a b b .
又因为
{}n b 为等差数列,
∴公差2=d ,…………5分
122)1(1-=⋅-+=∴n n b n .…………6分
〔2〕由〔1〕可知112)12(211
2--⋅-=-=
n n n n n c ,…………7分
所以
122)12(252311-⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n T . ①…………8分
①2得
n n n n n T 2)12(2)32(2523212132⋅-+⋅-++⨯+⨯+⨯=- . ②…………9分
①-②得:
n n n n T 2)12()222(2112⋅--++++=-- …………11分
n
n n 2)12(21)
21(2211⋅----+=-
n n n 2)12(4211⋅---+=+ n n 2)32(3⋅---=.…………13分 n n n T 2)32(3⋅-+=∴.…………14分
9、〔2009广东六校一〕已知数列{}n a 的首项
11
2a =
,前n 项和()2
1n n S n a n =≥.
〔Ⅰ〕求数列
{}n a 的通项公式;
〔Ⅱ〕设10b =,()12n n n S b n S -=≥,n T 为数列{}n b 的前n 项和,求证:
21n n T n <+. 解:〔Ⅰ〕由
11
2a =
,2
n
n S n a =, ① ∴
211(1)n n S n a --=-, ② ①-②得:
22
11(1)n n n n n a S S n a n a --=-=--,即 ()1121n n a n n a n --=≥+, 4分 ∵132
1
1221n n n n n a a a
a a a a a a a ---=⋅⋅
12212143(1)n n n n n n --=
⋅⋅=++,
∴1(1)n a n n =
+。
8分
〔Ⅱ〕∵1n n S n =+,∴()12112n n n S b n S n -==-≥, 10分
∴ 12n n T b b b =+++
22211112n n ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭
()11112231n n n ⎛⎫<-++
+ ⎪ ⎪⨯⨯⨯+⎝⎭
21111n n n n ⎛⎫=--= ⎪++⎝⎭. 故
2
1n n T n <+. 14分
10、〔2009番禺〕已知点
*1122(1,),(2,),,(,)( )n n B y B y B n y n N ∈在直线112y x =+上,点1122(,0),(,0),A x A x 33(,0),A x ……,(,0)n n A x 顺次为x 轴上的点,其中1(01)x a a =<<,
对于任意*n N ∈,点1,,n n n A B A +构成以n B ∠为顶角的等腰三角形, 设1n n n A B A +∆的面积为
n S .
证明:数列
{}n y 是等差数列; 求21n S -;〔用a 和n 的代数式表示〕
设数列2121n n S S -⎧⎫⎨⎬⎩
⎭前n 项和为n T ,判断n T 与834n n +(*n N ∈)的大小,并证明你的结论;
x
解:〔1〕由于点*1122(1,),(2,),,(,)( )n n B y B y B n y n N ∈在直线112y x =+上, 则112n y n =+, ……1分 因此11
2n n y y +-=
,所以数列{}n y 是等差数列 ……2分 〔2〕由已知有1,2n n x x n ++=,那么12,n
n x x n ++= ……3分 同理122(1),n n x x n +++=+
以上两式相减,得
22n n x x +-=, ……4分 ∴
13521,,,...,,...n x x x x -成等差数列;2462,,,...,,...n x x x x 也成等差数列, ∴211(1)222n x x n n a -=+-⨯=+-, ……5分 22(1)2(2)(1)22n x x n a n n a =+-⨯=-+-⨯=- ……6分
点212(22,0),(2,0)n n A n a A n a -+--,则2122(1)n n A A a -=-,2212n n A A a +=, 而11,2n y n =+ ∴
212122*********(1)(1)(1)22n n n n A B A n n n S S a y a y a ---∆--+==⨯-⨯=-=-⨯ ……8分 〔3〕由(1)得:222122212(1)2n n n n A B A n n S S a y ay a n +∆==⨯⨯==+, ……9分 则2
221(1)(1)(21)1(1)(21)(1)(21)2228n n a a n n a a n n n n S S --+++-++++⎛⎫=≤⨯= ⎪⎝⎭
而2210n n S S ->,则
18(1)(21)n n k T k k =≥++∑, ……11分 即
11161116(22)(21)2122n n n k k T k k k k ==⎛⎫≥=- ⎪++++⎝⎭∑∑ ∴
11111116()()()34562122n T n n ⎛⎫≥-+-++- ⎪++⎝⎭ ∴11111111116()()()2()345621224622n T n n n ⎛⎫≥++++++-+++ ⎪+++⎝⎭ ∴11111623222n T n
n n ⎛⎫≥+++- ⎪+++⎝⎭
……12分
由于 11222
n n +>++, 2223422n n n ++++<
=,
234n >+, 从而 11422234n n n +>
+++, ……13分 同理:11432134
n n n +>
+++
…… 11422234n n n +>+++
以上1n +个不等式相加得:1114(1)2()232234n n n n n ++++>++++
即1112(1)232234n n n n n ++++>++++,
从而
2(1)181634234n n n T n n +⎛⎫>-= ⎪++⎝⎭ ……14分 说明:〔1〕也可由数学归纳法证明 111111345621222(34)n n n n -+-++->+++;
〔2〕此题也可以求出{}n x 的通项公式,由12,n n x x n ++=两边同时除以1(1)n +-,
1112(1),(1)(1)n n n n n x x n +++-=⨯--- 令(1)n n n x b =
-,则112(1),n n n b b n ++-=⨯-
12132321()()()()n n n b b b b b b b b b b -=+-+-+-++-(2)n ≥ 2342[(1)1(1)2(1)3
(1)(1)]n n b a n =-+-⨯+-⨯+-⨯++--(2)n ≥
利用错位相减法可求出: 2234(1)1(1)(21)12[(1)1(1)2(1)3
(1)(1)](1)(1)22n n n
n n n n --+-⨯-+-⨯+-⨯+-⨯++--=+--= 则(1)(21)122n n n a b --+-==, 则21(1)(12)(1)2n n
n n n a x b -+--=-=,1n =时,也符合上式, 则21(1)(12)(1)2n n
n n n a x b -+--=-=对任意正整数n 都成立. 下同上述解法。