2013-2014北航数值分析A期末考试试题
数值分析期末考试复习题及其答案
数值分析期末考试复习题及其答案1.已知都有6位有效数字，求绝对误差限.（4分）解:由已知可知,n=62分2分2.已知求（6分）解：1分1分1分= 2分1分3.设（6分）①写出f(x)=0解的Newton迭代格式②当a为何值时，（k=0,1……)产生的序列收敛于解:①Newton迭代格式为： 3分② 3分4.给定线性方程组Ax=b，其中：，用迭代公式（k=0，1……）求解Ax=b,问取什么实数，可使迭代收敛（8分)解：所给迭代公式的迭代矩阵为2分其特征方程为2分即，解得2分要使其满足题意，须使,当且仅当2分5.设方程Ax=b，其中，试讨论解此方程的Jacobi迭代法的收敛性，并建立Gauss—Seidel迭代格式（9分）解：3分2分即，由此可知Jacobi迭代收敛1分Gauss-Seidel迭代格式：（k=0,1,2，3 (3)6.用Doolittle分解计算下列3个线性代数方程组:(i=1，2,3)其中，（12分)解：①A= =LU 3分由Ly=b1，即y= 得y= 1分由Ux1=y，即x1= 得x1= 2分②x2=由Ly=b2=x1,即y= 得y= 1分由Ux2=y，即x2= 得x2= 2分③x3=由Ly=b3=x2，即y= 得y= 1分由Ux3=y，即x3= 得x3= 2分7.已知函数y=f（x)有关数据如下:要求一次数不超过3的H插值多项式,使（6分）解：作重点的差分表，如下:3分=-1+（x+1)-x(x+1）+2x。
x（x+1)= 3分8.有如下函数表：试计算此列表函数的差分表，并利用Newton前插公式给出它的插值多项式（7分）解：由已知条件可作差分表，3分（i=0,1,2，3）为等距插值节点,则Newton向前插值公式为:=4+5x+x（x—1)= 4分9.求f(x)=x在[—1,1]上的二次最佳平方逼近多项式，并求出平方误差（8分)解：令2分取m=1，n=x，k=,计算得:（m，m）==0 （m，n)= =1 （m，k)= =0（n,k）= =0。
北航研究生数值分析作业第一题
北航研究⽣数值分析作业第⼀题北航研究⽣数值分析作业第⼀题：⼀、算法设计⽅案1.要求计算矩阵的最⼤最⼩特征值，通过幂法求得模最⼤的特征值，进⾏⼀定判断即得所求结果；2.求解与给定数值接近的特征值，可以该数做漂移量，新数组特征值倒数的绝对值满⾜反幂法的要求，故通过反幂法即可求得；3.反幂法计算时需要⽅程求解中间过渡向量，需设计Doolite分解求解；4.|A|=|B||C|，故要求解矩阵的秩，只需将Doolite分解后的U矩阵的对⾓线相乘即为矩阵的Det。
算法编译环境：vlsual c++6.0需要编译函数：幂法，反幂法，Doolite分解及⽅程的求解⼆、源程序如下：#include#include#include#includeint Max(int value1,int value2);int Min(int value1,int value2);void Transform(double A[5][501]);double mifa(double A[5][501]);void daizhuangdoolite(double A[5][501],double x[501],double b[501]); double fanmifa(double A[5][501]); double Det(double A[5][501]);/***定义2个判断⼤⼩的函数，便于以后调⽤***/int Max(int value1,int value2){return((value1>value2)?value1:value2);}int Min(int value1,int value2){return ((value1}/*****************************************//***将矩阵值转存在⼀个数组⾥，节省空间***/void Transform(double A[5][501],double b,double c){int i=0,j=0;A[i][j]=0,A[i][j+1]=0;for(j=2;j<=500;j++)A[i][j]=c;i++;j=0;A[i][j]=0;for(j=1;j<=500;j++)A[i][j]=b;i++;for(j=0;j<=500;j++)A[i][j]=(1.64-0.024*(j+1))*sin(0.2*(j+1))-0.64*exp(0.1/(j+1)); i++;for(j=0;j<=499;j++)A[i][j]=b;A[i][j]=0;i++;for(j=0;j<=498;j++)A[i][j]=c;A[i][j]=0,A[i][j+1]=0;}/***转存结束***///⽤于求解模最⼤的特征值，幂法double mifa(double A[5][501]){int s=2,r=2,m=0,i,j;double b2,b1=0,sum,u[501],y[501];for (i=0;i<=500;i++){u[i] = 1.0;}do{sum=0;if(m!=0)b1=b2;m++;for(i=0;i<=500;i++)sum+=u[i]*u[i];for(i=0;i<=500;i++)y[i]=u[i]/sqrt(sum);for(i=0;i<=500;i++){u[i]=0;for(j=Max(i-r,0);j<=Min(i+s,500);j++)u[i]=u[i]+A[i-j+s][j]*y[j];}b2=0;for(i=0;i<=500;i++)b2=b2+y[i]*u[i];}while(fabs(b2-b1)/fabs(b2)>=exp(-12));return b2;}//带状DOOLITE分解，并且求解出⽅程组的解void daizhuangdoolite(double A[5][501],double x[501],double b[501]) { int i,j,k,t,s=2,r=2;double B[5][501],c[501];for(i=0;i<=4;i++){for(j=0;j<=500;j++)B[i][j]=A[i][j];}for(i=0;i<=500;i++)c[i]=b[i];for(k=0;k<=500;k++){for(j=k;j<=Min(k+s,500);j++){for(t=Max(0,Max(k-r,j-s));t<=k-1;t++)B[k-j+s][j]=B[k-j+s][j]-B[k-t+s][t]*B[t-j+s][j]; }for(i=k+1;i<=Min(k+r,500);i++){for(t=Max(0,Max(i-r,k-s));t<=k-1;t++)B[i-k+s][k]=B[i-k+s][k]-B[i-t+s][t]*B[t-k+s][k]; B[i-k+s][k]=B[i-k+s][k]/B[s][k];}}for(i=1;i<=500;i++)for(t=Max(0,i-r);t<=i-1;t++)c[i]=c[i]-B[i-t+s][t]*c[t];x[500]=c[500]/B[s][500];for(i=499;i>=0;i--){x[i]=c[i];for(t=i+1;t<=Min(i+s,500);t++)x[i]=x[i]-B[i-t+s][t]*x[t];x[i]=x[i]/B[s][i];}}//⽤于求解模最⼤的特征值，反幂法double fanmifa(double A[5][501]){int s=2,r=2,m=0,i;double b2,b1=0,sum=0,u[501],y[501];for (i=0;i<=500;i++){u[i] = 1.0;}do{if(m!=0)b1=b2;m++;sum=0;for(i=0;i<=500;i++)sum+=u[i]*u[i];for(i=0;i<=500;i++)y[i]=u[i]/sqrt(sum);daizhuangdoolite(A,u,y);b2=0;for(i=0;i<=500;i++)b2+=y[i]*u[i];}while(fabs(b2-b1)>=fabs(b1)*exp(-12));return 1/b2;}//⾏列式的LU分解，U的主线乘积即位矩阵的DET double Det(double A[5][501]) {int i,j,k,t,s=2,r=2;for(k=0;k<=500;k++){for(j=k;j<=Min(k+s,500);j++){for(t=Max(0,Max(k-r,j-s));t<=k-1;t++)A[k-j+s][j]=A[k-j+s][j]-A[k-t+s][t]*A[t-j+s][j];}for(i=k+1;i<=Min(k+r,500);i++){for(t=Max(0,Max(i-r,k-s));t<=k-1;t++)A[i-k+s][k]=A[i-k+s][k]-A[i-t+s][t]*A[t-k+s][k];A[i-k+s][k]=A[i-k+s][k]/A[s][k];}}double det=1;for(i=0;i<=500;i++)det*=A[s][i];return det;}void main(){double b=0.16,c=-0.064,p,q;int i,j;double A[5][501];Transform(A,b,c); //进⾏A的赋值cout.precision(12); //定义输出精度double lamda1,lamda501,lamdas;double k=mifa(A);if(k>0) //判断求得最⼤以及最⼩的特征值.如果K>0，则它为最⼤特征值值，//并以它为偏移量再⽤⼀次幂法求得新矩阵最⼤特征值，即为最⼤ //与最⼩的特征值的差{lamda501=k;for(i=0;i<=500;i++)A[2][i]=A[2][i]-k;lamda1=mifa(A)+lamda501;for(i=0;i<=500;i++)A[2][i]=A[2][i]+k;}else //如果K<=0，则它为最⼩特征值值，并以它为偏移量再⽤⼀次幂法//求得新矩阵最⼤特征值，即为最⼤与最⼩的特征值的差{lamda1=k;for(i=0;i<=500;i++)A[2][i]=A[2][i]-k;lamda501=mifa(A)+lamda1;for(i=0;i<=500;i++)A[2][i]=A[2][i]+k;}lamdas=fanmifa(A);FILE *fp=fopen("result.txt","w");fprintf(fp,"λ1=%.12e\n",lamda1);fprintf(fp,"λ501=%.12e\n",lamda501);fprintf(fp,"λs=%.12e\n\n",lamdas);fprintf(fp,"\t要求接近的值\t\t\t实际求得的特征值\n");for(i=1;i<=39;i++) //反幂法求得与给定值接近的特征值{p=lamda1+(i+1)*(lamda501-lamda1)/40;for(j=0;j<=500;j++)A[2][j]=A[2][j]-p;q=fanmifa(A)+p;for(j=0;j<=500;j++)A[2][j]=A[2][j]+p;fprintf(fp,"µ%d: %.12e λi%d: %.12e\n",i,p,i,q);}double cond=fabs(mifa(A)/fanmifa(A));double det=Det(A);fprintf(fp,"\ncond(A)=%.12e\n",cond);fprintf(fp,"\ndetA=%.12e\n",det);}三、程序运⾏结果λ1=-1.069936345952e+001λ501=9.722283648681e+000λs=-5.557989086521e-003要求接近的值实际求得的特征值µ1: -9.678281104107e+000 λi1: -9.585702058251e+000µ2: -9.167739926402e+000 λi2: -9.172672423948e+000µ3: -8.657198748697e+000 λi3: -8.652284007885e+000µ4: -8.146657570993e+000 λi4: -8.0934********e+000µ5: -7.636116393288e+000 λi5: -7.659405420574e+000µ6: -7.125575215583e+000 λi6: -7.119684646576e+000µ7: -6.615034037878e+000 λi7: -6.611764337314e+000µ8: -6.104492860173e+000 λi8: -6.0661********e+000µ9: -5.593951682468e+000 λi9: -5.585101045269e+000µ10: -5.0834********e+000 λi10: -5.114083539196e+000µ11: -4.572869327058e+000 λi11: -4.578872177367e+000µ12: -4.062328149353e+000 λi12: -4.096473385708e+000µ13: -3.551786971648e+000 λi13: -3.554211216942e+000µ14: -3.0412********e+000 λi14: -3.0410********e+000µ15: -2.530704616238e+000 λi15: -2.533970334136e+000µ16: -2.020*********e+000 λi16: -2.003230401311e+000µ17: -1.509622260828e+000 λi17: -1.503557606947e+000µ18: -9.990810831232e-001 λi18: -9.935585987809e-001µ19: -4.885399054182e-001 λi19: -4.870426734583e-001µ20: 2.200127228676e-002 λi20: 2.231736249587e-002µ21: 5.325424499917e-001 λi21: 5.324174742068e-001µ22: 1.043083627697e+000 λi22: 1.052898964020e+000µ23: 1.553624805402e+000 λi23: 1.589445977158e+000µ24: 2.064165983107e+000 λi24: 2.060330427561e+000µ25: 2.574707160812e+000 λi25: 2.558075576223e+000µ26: 3.0852********e+000 λi26: 3.080240508465e+000µ27: 3.595789516221e+000 λi27: 3.613620874136e+000µ28: 4.106330693926e+000 λi28: 4.0913********e+000µ29: 4.616871871631e+000 λi29: 4.603035354280e+000µ30: 5.127413049336e+000 λi30: 5.132924284378e+000µ31: 5.637954227041e+000 λi31: 5.594906275501e+000µ32: 6.148495404746e+000 λi32: 6.080933498348e+000µ33: 6.659036582451e+000 λi33: 6.680354121496e+000µ34: 7.169577760156e+000 λi34: 7.293878467852e+000µ35: 7.680118937861e+000 λi35: 7.717111851857e+000µ36: 8.190660115566e+000 λi36: 8.225220016407e+000µ37: 8.701201293271e+000 λi37: 8.648665837870e+000µ38: 9.211742470976e+000 λi38: 9.254200347303e+000µ39: 9.722283648681e+000 λi39: 9.724634099672e+000cond(A)=1.925042185755e+003detA=2.772786141752e+118四、分析如果初始向量选择不当,将导致迭代中X1的系数等于零.但是，由于舍⼊误差的影响,经若⼲步迭代后,.按照基向量展开时,x1的系数可能不等于零。
北航研究生数值分析试题
∗⎞ ⎟的 A1 ⎠
矩阵。
三、（12 分）试用高斯列主元素法求解线性方程组
⎡ 1 3 −2 −4 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡3 ⎤ ⎢ 2 6 −7 −10 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ −2 ⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ −1 −1 5 9 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢14 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x4 ⎦ ⎥ ⎣ −6 ⎦ ⎣ −3 −5 0 15 ⎦ ⎣ 四、（12 分）利用矩阵 A 的三角分解 A = LU 求解下列方程组 ⎛ 1 2 1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 2 3 ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 3 ⎟ ⎜ −1 −3 0 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠
第一章
1、近似数 x = 0.231 关于真值 x = 0.229 有（ （1）1；（2）2；（3）3；（4）4。
∗
绪论
一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分) ）位有效数字。
2、取 3 ≈ 1.732 计算 x = ( 3 − 1) ，下列方法中哪种最好？（
4
）
Ax
∞和
A ∞ 的值分别为（
）
3
(1) 8 , 8 ；
(2) 8 , 7 ；
(3) 8 , 6 ；
(4) 7 , 7 。
5 、若解线性代数方程组的 Gauss 部分选主元方法第二步得到的系数矩阵的第三列向量为
(2
6 3 2 −5 4 2 ) ，则第三步主行是（
T
） (4) 第 6 行。
(1) 第 2 行；
1 − cos x , sin x
x ≠ 0且 x << 1 ；
（2）
1 1− x , − 1+ 2x 1+ x
数值分析试题_A卷与答案
三．求一个次数不高于3的多项式 ，满足下列插值条件：
1
2
3
2
4
12
3
并估计误差。（10分）
四．试用 的牛顿-科特斯求积公式计算定积分 。（10分）
五．用Newton法求 的近似解。（10分）
六．试用Doolittle分解法求解方程组：
2） 的值域是定义域的子集；（2分）
3） 在其定义域内满足李普希兹条件。（2分）
3.解：参照幂法求解主特征值的流程（8分）
步1：输入矩阵A，初始向量v0，误差限，最大迭代次数N;
步2：置k:=1,μ:=0，u0=v0/||v0||∞;
步3：计算vk=Auk-1;
步4：计算
并置mk:=[vk]r, uk:=vk/mk;
（1分）
应用科特斯公式得：
（2分）
（2分）
五．解：由零点定理， 在 内有根。（2分）
由牛顿迭代格式 （4分）
取 得，
（3分）
故取 （1分）
六．解：对系数矩阵做三角分解：
分）
七．解：（1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为
（2分）
其特征多项式为 ，且特征值为
青岛科技大学试题
__2014__年~__2015___年第一学期
课程名称：数值分析专业年级：2014级（研究生）
考生学号：考生姓名：
试卷类型：A卷√B卷□考试方式:开卷√闭卷□
………………………………………………………………………………………………………
一.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
则 （1分）
2.证：牛顿迭代格式为 （3分）
北京航空航天大学《 数据库系统概论 》期末考试卷A卷2013答案
班号学号姓名成绩《数据库系统概论》期末考试卷注意事项：1、考试时间2小时；2、答案写在答题纸上题目：一、……………………………………………………………( 分)二、……………………………………………………………( 分)三、……………………………………………………………( 分)四、……………………………………………………………( 分)五、……………………………………………………………( 分)六、……………………………………………………………( 分)Problem 1: TRUE or FALSE QUESTIONS (30 points).For each of the following statements, indicate whether the entire statement is TRUE or FALSE1. There are five different entities and five binary relationships in an ER diagram. Two of therelationships are 1:1 relationship; 3 of them are M:N. After translating from ER model to Relation model, we can probably get 9 relations (tables). TURE2. An E-R diagram will translate uniquely to a relational schema. FALSE3. 3. A relation with two attributes is always in 3NF, but may not be in BCNF.FALSE4. R ▷◁(S ∩T) = (R ▷◁S)∩(R ▷◁T) TRUE5. In relational algebra, join is a derived operator. TRUE6. In a table, there is exactly one key, but there can be multiple candidate keys.TRUE7. The natural join of two relations R(A,B) and S(C,D), which have no common attributes, is equivalent to their Cartesian product. TRUE8. In SQL, without GROUP BY, we cannot use HAVING.TRUE9. Triggers can operate on insertion, deletion, and updates. TRUE10. There are two relations: Stu_Course(stu_name, course, score), Score_Sum(stu_name, Sum). The user wants to define a constraint as: for the same student, the value of Sum attribute in score_sum table equals the sum of all score attribute values in stu_course table. We can use Check constraint to apply this requirement. FALSEProblem 2: (10 Points)(a) What serial schedule is this equivalent to? If none, then explain why.The serializability graph for the above schedule is: T1→T2 ← T3. Any order that complies with the topological order of the graph like T1 → T3 → T2 is an equivalent serial schedule for our schedule(b) Is this schedule consistent with two phase locking? Explain why.If we assume that all transactions get the locks exactly before the operation and release them afterwards, it is not consistent with two phase locking. This is because T1 releases its lock on B after its second operation while acquiring a lock on D at its last two operations. By removing the last two operations of T1 the schedule becomes 2PL.If we assume that the transactions get all the locks they need at the beginning of the transaction, and release them after the finish the operation, this schedule will be 2PL. The minimum operations that could be added to the schedule will be "T1 reads item A". In this case, T1 has to acquire the lock on A again after releasing its lock on A after its first write.Problem 3: (5 Points)There are two relations:S:Give the answers to the two queries:∏R.A, S.B (σR.A=S.D（R▷◁S）)，R]▷◁S (left outer join of R and S).Problem4: (5 points)Consider a relation R(A,B,C,D,E), with FDs AB → C, C → A, C → BD, D → E Remember Armstrong’s Axioms:1) XY → X (reflexive)2) X → Y => XZ → YZ (augmentation)3) X → Y & Y → Z => X → Z (transitivity)4) X → Y & X → Z => X → YZ (union)5) X → YZ => X → Y & X → Z (decomposition)6) X → Y & YZ →U => XZ → U (pseudo transitivity)(a) Is the FD: ABC -> E implied? Show your derivation. (5 points)ABC → C reflexiveC → BD givenC →D decompositionD →E given(b) Complete the missing values in the following table. The last column is filled in as an examplea. Consider the attribute subsets, X, in the table below.b. Compute the attribute closure of each subset X+(e) Is this relation in BCNF? If you answer is yes, explain why it is. If you answer is no, decompose relation into BCNF, showing your decomposition steps.No it is n ot, the FD, D → E, violates BCNF. We can separate into two relations:1: R (ABCD)2: R (DE)Problem 5: (20 points)Tables 1, 2, and 3 below show an example instance of corporate（企业）database for a coalition（联合）of retail（零售）stores. Those tables maintain information about stores, products, and the inventories(库存) of products in different stores. We assume that all the stores sell each product at the same price in Table 2.Write down queries in relational algebra for the following questions. Please refer to the Store relation, Product relation, and Inventory relation as S, P, and I respectively in your solutions.(a) Return the name of the stores that have at least one product in their inventories whose unit price is greater than 2 USD.(b) Return the name of the products with the maximum unit price.(c) Each store has an average unit price. It is the average of the unit prices of the products available at the store. Return the average unit prices of all stores. Your query should produce pairs of store names and their average unit prices此题不算分(d) Return the product(s) that are available in at least three stores.Inventory: I1, I2, I3Π(productname)σ(I1.productname=I2.productname and I1.productname=I3.productname and I1.storeid<>I2.storeid and I1.storeid<> I3.storeid and I2.storeid <> I3.storeid)Consider the relations given above. Write down the following queries in SQL.(e) Return the names of the stores that have Tomato and Lettuce（莴苣）in their inventories.(Select StoreNameFrom Store,InventoryWhere Store.StoreID = Inventory.StoreID and Inventory.Product ='Tomato')INTERSECT(Select StoreNameFrom Store,InventoryWhere Store.StoreID = Inventory.StoreID and Inventory.Product ='Lettuce')(f) Return the names of the products whose unit prices are below the average unit price of all the products.Select ProductNameFrom ProductWhere UnitPrice <( Select Avg(UnitPrice)From Product)(g) Each store has an average unit price. It is the average of the unit prices of the products available atthe store. Return the average unit prices of all stores. Your query should produce pairs of store namesand their average unit prices.Select StoreName, Avg(UnitPrice)From Store, Inventory,ProductWhere Store.StoreID = Inventory.StoreID and Inventory.ProductName = Product.ProductNameGroupBy StoreName(h) Return the product(s) that are available in at least three stores.Select ProductNameFrom InventoryGroupBy ProductNameHaving (Count(distinct StoreID) >= 3)Problem 6: (10 points)Consider the following information about a company.• Company has departments.• Department has a name, number, and at most one manager.• Manager is an employee.• Manager has a starting date.• Department controls projects.• Project has name, number.• Each employee has a name, social security number, address, birthdate.• An employee is in exactly one department but may work on several projects.• Record is kept of hours each employee works on each project.• Some employees have a supervisor.(a) Design and draw an ER diagram that captures the information about the company. Pick the most suitable key for each entity. Try to minimize the number of resulting entities and relationships. Be sure to indicate keys and multiplicity constraints. State all assumptions you make.(b) Translate your ER diagram into schema. Try to minimize the number of resultingrelations. Specify the key of each relation in your schema. Solution:Project(Name, Number)Department(Name, Number, managerSSN, ManagerStartDate) Employee(SSN, Name, Address, Birthdate, SupervisorSSN) WorksOn(EmployeeSSN, ProjectName, Hours)Controls(DepartmentName, ProjectName)。
北航数值分析全部三次大作业
北航数值分析全部三次大作业第一次大作业是关于解线性方程组的数值方法。
我们被要求实现各种常用的线性方程组求解算法，例如高斯消元法、LU分解法和迭代法等。
我首先学习了这些算法的原理和实现方法，并借助Python编程语言编写了这些算法的代码。
在实验中，我们使用了不同规模和条件的线性方程组进行测试，并比较了不同算法的性能和精度。
通过这个作业，我深入了解了线性方程组求解的原理和方法，提高了我的编程和数值计算能力。
第二次大作业是关于数值积分的方法。
数值积分是数值分析中的重要内容，它可以用于计算曲线的长度、函数的面积以及求解微分方程等问题。
在这个作业中，我们需要实现不同的数值积分算法，例如矩形法、梯形法和辛普森法等。
我学习了这些算法的原理和实现方法，并使用Python编写了它们的代码。
在实验中，我们计算了不同函数的积分值，并对比了不同算法的精度和效率。
通过这个作业，我深入了解了数值积分的原理和方法，提高了我的编程和数学建模能力。
第三次大作业是关于常微分方程的数值解法。
常微分方程是数值分析中的核心内容之一，它可以用于描述众多物理、化学和生物现象。
在这个作业中，我们需要实现不同的常微分方程求解算法，例如欧拉法、龙格-库塔法和Adams法等。
我学习了这些算法的原理和实现方法，并使用Python编写了它们的代码。
在实验中，我们解决了一些具体的常微分方程问题，并比较了不同算法的精度和效率。
通过这个作业，我深入了解了常微分方程的原理和方法，提高了我的编程和问题求解能力。
总的来说，北航数值分析课程的三次大作业非常有挑战性，但也非常有意义。
通过这些作业，我在数值计算和编程方面得到了很大的提升，也更加深入地了解了数值分析的理论和方法。
虽然这些作业需要大量的时间和精力，但我相信这些努力将会对我未来的学习和工作产生积极的影响。
北航分析研究生数值期末模拟试卷
数值分析模拟试卷1一、填空<共30分，每空3分）1 设，则A的谱半径______，A的条件数=________.2 设，则＝________,＝________.3 设，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________.4设是区间［0，1］上权函数为的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则________，________.5设，当________时，必有分解式，其中L为下三角阵，当其对角线元素满足条件________时，这种分解是唯一的.二、<14分）设,<1）试求在上的三次Hermite插值多项式使满足，. <2）写出余项的表达式.三、<14分）设有解方程的迭代公式为，<1）证明均有<为方程的根）；<2）取，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；<3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论.四、(16分> 试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？五、<15分）设有常微分方程的初值问题，试用Taylor展开原理构造形如的方法，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项.六、<15分）已知方程组，其中，<1）试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解此方程组的收敛性.<2）若有迭代公式，试确定一个的取值范围，在这个范围内任取一个值均能使该迭代公式收敛.七、<8分）方程组，其中，A是对称的且非奇异.设A有误差，则原方程组变化为，其中为解的误差向量，试证明.其中和分别为A的按模最大和最小的特征值.数值分析模拟试卷2填空题<每空2分，共30分）1.近似数关于真值有____________位有效数字；2.设可微，求方程根的牛顿迭代格式是_______________________________________________；3.对，差商_________________；________；4.已知，则________________，______________________ ；5.用二分法求方程在区间[0,1]内的根，进行一步后根所在区间为_________，进行二步后根所在区间为_________________；6.求解线性方程组的高斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径_______________；7.为使两点数值求积公式：具有最高的代数精确度，其求积节点应为_____ ,_____,__________.8.求积公式是否是插值型的__________，其代数精度为___________。
北航数值分析A大作业
一、算法设计方案1、解非线性方程组将各拟合节点（x i ，y j ）分别带入非线性方程组，求出与(,)i i x y 相对应的数组te[i][j]，ue[i][j]，求解非线性方程组选择Newton 迭代法，迭代过程中需要求解线性方程组，选择选主元的Doolittle 分解法。
2、二元二次分偏插值对数表z(t,u)进行分片二次代数插值，求得对应（t ij ，u ij ）处的值，即为),(j i y x f 的值。
根据给定的数表，可将整个插值区域分成 16 个小 的区域，故先判断?t ij , u ij ? 所在，的区域，再作此区域的插值，计算 z ij ，相应的Lagrange 形式的插值多项式为：°112211(,)()()(,)m n krkrk m r n p t u l t l u f t u ++=-=-=∑∑其中11()m wk w m k ww kt t l t t t +=-≠-=-∏ (k=m-1, m, m+1) °11()n wr w n r ww ry y l u y y +=-≠-=-∏ (r=n-1, n, n+1)3、曲面拟合从k=1开始逐渐增大k 的值，使用最小二乘法曲面拟合法对z=f(x,y)进行拟合，当710-<σ时结束计算。
拟合基函数φr (x)ψs (y)选择为φr (x)=x r ，ψs (y)=y s 。
拟合系数矩阵c 通过连续两次解线性方程组求得。
[]rsc *=C ，11()()T T T --=C B B B UG G G其中011101011[()]1kk r i k x x x x x x x ϕ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B L LM M M M L ，0011101011[()]1k k s j k y y y y G y y y ψ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L LM M M M L [(,)]i j f x y =U4、观察比较计算)5,,2,1,8,,2,1)(,(),,(****⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=j i y x p y x f j i j i 的值并输出结果，以观察),(y x p 逼近),(y x f 的效果。
(完整)数值分析学期期末考试试题与答案(A),推荐文档
期末考试试卷（A 卷）2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业一、判断题（每小题2分，共10分）1. 用计算机求1000100011n n=∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。
（ ）2. 为了减少误差,进行计算。
（ ）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
（ ）4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。
（ ）5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。
（ ）二、填空题（每空2分，共36分）1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.2. 设1010021,5,1301A x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则1A =_____，2x =______，Ax ∞=_____.3. 已知53()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= .4. 为使求积公式11231()((0)f x dx A f A f A f -≈++⎰的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。
5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1)()(0,1,2,)k k XMX N k +=+=K 产生的向量序列{}()k X收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即.A LU = 若采用高斯消元法解AX B =，其中4221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则L =_______________，U =______________；若使用克劳特消元法解AX B =，则11u =____；若使用平方根方法解AX B =，则11l 与11u 的大小关系为_____（选填：>，<，=，不一定）。
数值分析试卷及答案
数值分析试卷及答案**注意：以下是一份数值分析试卷及答案，试卷和答案分别按照题目和解答的格式排版，以确保整洁美观，语句通顺。
**---数值分析试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 数值分析是研究如何用计算机处理数值计算问题的一门学科。
以下哪个选项不是数值分析的应用领域？A. 金融风险评估B. 天气预测C. 数据挖掘D. 图像处理2. 在数值计算中，稳定性是指算法对于输入数据的微小扰动具有较好的性质。
以下哪个算法是稳定的？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 不动点迭代法D. 雅可比迭代法二、填空题（每题3分，共30分）1. 下面关于插值多项式的说法中，不正确的是：一般情况下，插值多项式的次数等于插值点的个数减1。
2. 线性方程组中，如果系数矩阵A是奇异的，则该方程组可能无解或有无穷多解。
......三、解答题（共50分）1. 请给出用割线法求解非线性方程 f(x) = 0 的迭代格式，并选择合适的初始值进行计算。
解：割线法的迭代公式为：x_(k+1) = x_k - f(x_k) * (x_k - x_(k-1)) / (f(x_k) - f(x_(k-1)))选择初始值 x0 = 1，x1 = 2 进行计算：迭代1次得到：x2 = x1 - f(x1) * (x1 - x0) / (f(x1) - f(x0))迭代2次得到：x3 = x2 - f(x2) * (x2 - x1) / (f(x2) - f(x1))继续迭代直至满足精度要求。
2. 对于一个给定的线性方程组，高斯消元法可以用来求解其解空间中的向量。
请简要描述高斯消元法的基本思想并给出求解步骤。
高斯消元法的基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组化为上三角形式，然后再通过回代求解方程组的未知数。
求解步骤如下：步骤1：将方程组表示为增广矩阵形式，即将系数矩阵和常数向量连接在一起。
步骤2：从第一行开始，选取第一个非零元素作为主元，然后通过行变换将其它行的该列元素消去。
北航数值分析作业第一题
数值分析作业第一题一、 算法设计方案利用带状Dollittle 分解，将A[501][501]转存到数组C[5][501]，以节省存储空间1、计算λ1和λ501首先使用幂法求出矩阵的按模最大的特征值λ0：如果λ0>0，则其必为按模最大值，因此λ501=λ0，然后采用原点平移法，平移量为λ501，使用幂法迭代求出矩阵A -λ501I 的按模最大的特征值，其特征值按从小到大排列应为λ1-λ501、λ2-λ501、……、0。
因此A-λ501I 的按模最大的特征值应为λ1-λ501。
又因为λ501的值已求得，由此可直接求出λ1。
2、计算λSλS 为矩阵A 按模最小的特征值，可以通过反幂法直接求出。
3、计算λikλik 是对矩阵A 进行λik 平移后，再用反幂法求出按模最小的特征值λmin ，λik =λik +λmin 。
4、计算矩阵A 的条件数计算cond （A ）2和行列式det(A)矩阵A 的条件数为n12cond λλ）（ A ，其中λ1和λn 分别是矩阵A 的模最大和最小特征值，直接利用上面求得的结果直接计算。
矩阵A 的行列式可先对矩阵A 进行LU 分解后，det(A)等于U 所有对角线上元素的乘积。
二、源程序：#include<math.h>#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<iostream.h>#define s 2#define r 2int Max(int v1,int v2);int Min(int v1,int v2);int maxt(int v1,int v2,int v3);void storage(double C[5][501],double b,double c);double mifa(double C[5][501]);void LU(double C[5][501]);double fmifa(double C[5][501]);int Max(int v1,int v2) //求两个数的最大值{ return((v1>v2)?v1:v2);}int Min(int v1,int v2) //求两个数最小值{ return ((v1<v2)?v1:v2);}int maxt(int v1,int v2,int v3) //求三个数最大值{ int t;if(v1>v2) t=v1;else t=v2;if(t<v3) t=v3;return(t);}/***将矩阵值转存在一个数组里，以节省存储空间***/void storage(double C[5][501],double b,double c){ int i=0,j=0;C[i][j]=0,C[i][j+1]=0;for(j=2;j<=500;j++)C[i][j]=c;i++;j=0;C[i][j]=0;for(j=1;j<=500;j++)C[i][j]=b;i++;for(j=0;j<=500;j++)C[i][j]=(1.64-0.024*(j+1))*sin(0.2*(j+1))-0.64*exp(0.1/(j+1));i++;for(j=0;j<=499;j++)C[i][j]=b;C[i][j]=0;i++;for(j=0;j<=498;j++)C[i][j]=c;C[i][j]=0,C[i][j+1]=0;}//用于求解最大的特征值，幂法double mifa(double C[5][501]){ int m=0,i,j;double b2,b1=0,sum;double u[501],y[501];for (i=0;i<501;i++){ u[i] = 1.0;}do{ sum=0;if(m!=0)b1=b2;m++;for(i=0;i<=500;i++)sum+=u[i]*u[i];for(i=0;i<=500;i++)y[i]=u[i]/sqrt(sum);for(i=0;i<=500;i++){ u[i]=0;for(j=Max(i-r,0);j<=Min(i+s,500);j++)u[i]=u[i]+C[i-j+s][j]*y[j];}b2=0;for(i=0;i<=500;i++)b2=b2+y[i]*u[i];}while(fabs(b2-b1)/fabs(b2)>=1.0e-12);return b2;}/*****行列式LU分解*****/void LU(double C[5][501]){ double sum;int k,i,j;for(k=1;k<=501;k++){ for(j=k;j<=Min(k+s,501);j++){ sum=0;for(i=maxt(1,k-r,j-s);i<=k-1;i++)sum+=C[k-i+s][i-1]*C[i-j+s][j-1];C[k-j+s][j-1]-=sum;}for(j=k+1;j<=Min(k+r,501);j++){ sum=0;for(i=maxt(1,j-r,k-s);i<=k-1;i++)sum+=C[j-i+s][i-1]*C[i-k+s][k-1];C[j-k+s][k-1]=(C[j-k+s][k-1]-sum)/C[s][k-1];}}}/***带状DOOLITE分解，并且求解出方程组的解***/void solve(double C[5][501],double x[501],double b[501]){ int i,j,k,t;double B[5][501],c[501];for(i=0;i<=4;i++){ for(j=0;j<=500;j++)B[i][j]=C[i][j];}for(i=0;i<=500;i++)c[i]=b[i];for(k=0;k<=500;k++){ for(j=k;j<=Min(k+s,500);j++){ for(t=Max(0,Max(k-r,j-s));t<=k-1;t++)B[k-j+s][j]=B[k-j+s][j]-B[k-t+s][t]*B[t-j+s][j];}for(i=k+1;i<=Min(k+r,500);i++){ for(t=Max(0,Max(i-r,k-s));t<=k-1;t++)B[i-k+s][k]=B[i-k+s][k]-B[i-t+s][t]*B[t-k+s][k];B[i-k+s][k]=B[i-k+s][k]/B[s][k];}}for(i=1;i<=500;i++)for(t=Max(0,i-r);t<=i-1;t++)c[i]=c[i]-B[i-t+s][t]*c[t];x[500]=c[500]/B[s][500];for(i=499;i>=0;i--){ x[i]=c[i];for(t=i+1;t<=Min(i+s,500);t++)x[i]=x[i]-B[i-t+s][t]*x[t];x[i]=x[i]/B[s][i];}}//用于求解模最大的特征值，反幂法double fmifa(double C[5][501]){ int m=0,i;double b2,b1=0,sum=0,u[501],y[501];for (i=0;i<=500;i++){ [i] = 1.0;}do{ if(m!=0)b1=b2;m++;sum=0;for(i=0;i<=500;i++)sum+=u[i]*u[i];for(i=0;i<=500;i++)y[i]=u[i]/sqrt(sum);solve(C,u,y);b2=0;for(i=0;i<=500;i++)b2+=y[i]*u[i];}while(fabs(b2-b1)/fabs(b2)>=1.0e-12);return 1/b2;}/***主程序***/void main(){ double b=0.16,c=-0.064,det=1.0;int i;double C[5][501],cond;storage(C,b,c); //进行C的赋值cout.precision(12); //定义输出精度double k1=mifa(C); //利用幂法计算矩阵的最大特征值和最小特征值if(k1<0)printf("λ1=%.12e\n",k1);else if(k1>=0)printf("λ501=%.12e\n",k1);for(i=0;i<501;i++)C[2][i]=C[2][i]-k1;double k2=mifa(C)+k1;if(k2<0)printf("λ1=%.12e\n",k2);else if(k2>=0)printf("λ501=%.12e\n",k2);storage(C,b,c);double k3=fmifa(C); //利用反幂法计算矩阵A的按模最小特征值printf("λs=%.12e\n",k3);storage(C,b,c); //计算最接近特征值double u[39]={0};for(i=0;i<39;i++){ u[i]=k1+(i+1)*(k2-k1)/40;C[2][i]=C[2][i]-u[i];u[i]=fmifa(C)+u[i];printf("与数u%d 最接近的特征值λ%d: %.12e\n",i+1,i+1,u[i]);}if(k1>0) //计算矩阵A的条件数，取2范数cond=fabs(k1/k3);else if(k1<0)cond=fabs(k2/k3);storage(C,b,c);LU(C); //利用LU分解计算矩阵A的行列式for(i=0;i<501;i++)det*=C[2][i];printf("\ncond(A)=%.12e\n",cond);printf("\ndet(A)=%.12e\n",det);}三、计算结果：四、结果分析迭代初始向量的选择对果有一定的影响，选择不同的初始向量可能会得到不同阶的特征值。
北京航空航天大学《工科数学分析》考试试题及参考答案(2012-2013第一学期)
f x e
'
e
cos x ln sin x
cos 2 x sin x cos x sin x ln sin x . sin x
dy dy dx cos t t sin t 4）解： . dx cos t t sin t dt dt
m 满足什么条件，函数在 x 0 可导.
2. 证明下面问题（10 分） 设 s 0, x1 0, xn1
1 s x , 证明数列 xn 单调有界，且极限为 s . n 2 x n
1 , 用 Cauchy 收敛定理证明 xn 收敛. 2n
5.
1) 用反证法证明. 假设存在 q a, b , g q 0 . 则根据拉格朗日中值定理
' g a g q g ' x1 a q 0 得到 g x1 0, x1 a, q
g b g q g ' x2 b q 0 得到 g ' x2 0, x2 q , b
7.
(10 分）证明下面问题 设 f x 定义在 a, b 上. 如果对 a, b 内任何收敛的点列 xn 都有 lim f xn 存在, 则
n
f 在 a, b 上一致连续.
8. (10 分）附加题 (下面两个题目任选其一) 1) 设函数 f
n 1 2 n cos x Cn cos 2 x 1 Cn cos n x , x Cn n1
二、第一次考试题目及答案
1. 计算下面各题（满分 40 分，每个题目 5 分） 1) 2) 计算极限 lim
x 0
北航数值分析A大作业
一、算法设计方案1、解非线性方程组将各拟合节点（x i ，y j ）分别带入非线性方程组，求出与(,)i i x y 相对应的数组te[i][j]，ue[i][j]，求解非线性方程组选择Newton 迭代法，迭代过程中需要求解线性方程组，选择选主元的Doolittle 分解法。
2、二元二次分偏插值对数表z(t,u)进行分片二次代数插值，求得对应（t ij ，u ij ）处的值，即为),(j i y x f 的值。
根据给定的数表，可将整个插值区域分成 16 个小 的区域，故先判断(t i j , u ij ) 所在，的区域，再作此区域的插值，计算 z ij ，相应的Lagrange 形式的插值多项式为：112211(,)()()(,)m n k r k r k m r n p t u l t l u f t u ++=-=-=∑∑ 其中11()m w k w m k w w k t t l t t t +=-≠-=-∏ (k=m-1, m, m+1) 11()n w r w n r w w r y y l u y y +=-≠-=-∏ (r=n-1, n, n+1)3、曲面拟合 从k=1开始逐渐增大k 的值，使用最小二乘法曲面拟合法对z=f(x,y)进行拟合，当710-<σ时结束计算。
拟合基函数φr (x)ψs (y)选择为φr (x)=x r ，ψs (y)=y s 。
拟合系数矩阵c 通过连续两次解线性方程组求得。
[]rsc *=C ，11()()T T T --=C B B B UG G G其中0011101011[()]1k k r i k x x x x x x x ϕ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，0011101011[()]1k k s j k y y y y G y y y ψ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦[(,)]i j f x y =U4、观察比较计算)5,,2,1,8,,2,1)(,(),,(****⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=j i y x p y x f j i j i 的值并输出结果，以观察),(y x p 逼近),(y x f 的效果。
数值分析期末考试复习题及其答案
《计篥方法P 实验报告1. 已知X ； =325413, X ； =0.325413都有6位有效数字，求绝对误差限。
(4 分)解：由已知可知，n 二6X ： =0.325413x1()6* =6北一n = 0,绝对误差限^ =丄 xl0° =0.522X ； =0・325413xl0°,k=(U—〃 = —6,绝对误差限& =-xl0"62・ -2分心（"刃=皿{1,8,32} = 32 1分|H|2 =732=4^23. 设/(x) = (x 2-«)3(6 分)① 写岀f (x)二0解的Newton 迭代格式②当a 为何值时，仏|=卩(忑)(k 二0,1……)产生的序列伉｝收敛于、伍【值分析期末考试复习题及其答案1 02.已知4= 02 0 -2解：”州=max{l,4,8} = &分4求IKMJK （6分） 4||^||x =max{l,6,6} = 6,分皿讥如)分_1 0 0 ■ '1A TA = 0 2-20 4 40 0■ 24 二 08 0 -2 4.0 32_w ：①Newton 迭代格式为：丿（忑）0（戈）=竺+丄6 6%(屛-°)' _ 5x k a , ・・ , ,6忑(X ；_G )26 6x©⑴三一曲曲以血）卜10—6/~vF<1,即-2<“ <22时迭代收敛 4・给定线性方程组Ax 二b,其中：A =3 -1用迭代公式牙=才「+a(b- Ax (k}) (k=0,1 ........... )求解 Ax 二b, 问取什么实数Q ，可使迭代收敛 （8分）-a 1 一2a.其特征方程为|刀-=八° 一3a}2（X=02分aA-(l -2<z)即，解得=l-a,22 =l-4a2分 要使其满足题意，须使p （B ） < 1,当且仅当0 vav0・52分'12 -2"丁111,b = 6 2 2 1.7.迭代法的收敛性，并建立Gauss-Seidel 迭代格式 （9分）解：A=L+D+UB, =-D~\L + U)= -1-2 -2 0 -22 -1 0|/1/ — By | = A 3= 0,/lj = = Aj = 0即p （B y ） = 0<l,由此可知Jacobi 迭代收敛1一 3a-la所给迭代公式的迭代矩阵为B = I — aA =2分试讨论解此方程的Jacobi5. 设方程Ax 二b,其中A =Gauss-Seidel 迭代格式：X 严=5-2垮）+2宅） ＜垮+—6-尤严—才 兀严）=7 — 2#申一 2卅Z用Doolittle 分解汁算下列3个线性代数方程组：Ax f =b, (i=l,2,3)其中"2 1 r4' A = 2 3 2 ,s = 7 2 3 4 96. 解: 上2 =兀］上3 =X2 （12分） ① Ax l =b 、x\ =A=由 Ly=bl,由 lxl=y, ②虹=b 2=LU 即y= 4791 10 0 11 12 得xl 二12 0'2 1 rT 2 32 x2= 12 3 4.11 0 o'TT1 1 oy= 1得y= 01 1 11由 Ly=b2=xl,即 (k=0,1,2, 3……)"2 1r丁「OS由Ux2=y,即 02 1 x2= 0得x2二 00 0 2③山3 =仏"2 1r'0.5'2 3 2 x3= 023 4.)0 0"'0.5 '由 Ly=b3=x2,即 1 10 y= 0得y 二 -0.51 110 .0 .'2 1r0.5 ''0.375 -由Ux3二y,即2 1 x3= -0.5得x3二 -0.250 2要求一次数不超过3的H 插值多项式，使 H 3(x /) = y r ,/73(x 1) = y I解：作重点的差分表，如下:H 3(X)= f[x {)] + /[x^x^ ](x-x Q ) + f[x 0,x^x { ](x-x ())(x-x I ) + /[xD ,x p x p x 2](x-x 0)(x-x I )2 二T+(x+l)-x(x+l)+2x. x(x+l)二2x 3 + x 27•已知 函 数 8.有如下函数表:关 数 据(6分)试讣算此列表函数的差分表，并利用Newton前插公式给出它的插值多项式(7分) 解：由已知条件可作差分表，x f = x0 + ih = i (i=0, 1, 2, 3 )为等距插值节点,则Newton向前插值公式为:N3 = f0 + 气評农 + +(—。
数值分析 计算方法 期末试卷3及参考答案
数值分析计算方法期末试卷3及参考答案数值分析计算方法期末试卷3及参考答案数值分析(计算方法)期末试卷3及参考答案一．填空题(每空3分后，共30分后)1.截断误差2.-x(x-2)，x(x-1)，103.14.=x-x2xk-f(xk)k2x(x5.6，5，26，9k-f'k)1.结构轻节点的差商表中：所以，要求的newton插值为：n3(x)=-5(x-1)+2(x-1)(x-2)+(x-1)(x-2)(x-3)插值余项是：r(x)=f'''(ξ)(x-1)2(x-2)或：r(x)=f[x,1,2,3,4](x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=x3-4x2+32.（1）解：f(x)=1时，左=⎰10f(x)dx=1，右=a0+a1，左＝右得：a0+a1=1f(x)=x时，左=⎰1f(x)dx=102，右=b10+a1，左＝右得：b0+a1=2f(x)=x2时，左=⎰10f(x)dx=13，右=a1，左＝右得：a1=13联立上述三个方程，解得：0=3,b0=6,a1=3f(x)=x3时，左=⎰1110f(x)dx=4，右=a1=3，左≠右所以，该求积公式的代数精度是2（2）解：过点0，1构造f(x)的hermite 插值h2(x)，因为该求积公式代数精度为2，所以有：⎰h2(x)dx=a0h2(0)+a1h2(0)+b0h2(0)=a0f(0)+a1f(1)+b'0f(0)其求积余项为：r(f)=⎰1f(x)dx-[a0f(0)+a'01f(1)+b0f(0)]f'''(η)0f(x)dx-⎰0h2(x)dx=⎰(x-1)dx=f'''(ζ)123!⎰0x(x-1)dx=-f'''(ζ)72所以，k=-3.解：改进的euler公式是：具体内容至本题中，解的公式就是：⎰n+1=yn+0.2(3xn+2yn)=1.4yn+0.6xn⎰⎰yn+1=yn+0.1[3xn+2yn+3xn+1+2n+1]⎰y(0)=1⎰⎰n+1=yn+hf(xn,yn)⎰yn+1=yn+[f(xn,yn)+f(xn+1,n+1)]⎰⎰2代入求解得：1=1.4,y1=1.542=2.276,y2=2.48324．解：设f(x)=x3+2x-5,则f'(x)=3x2+2,牛顿迭代公式为：xk+1=xk-将x0=1.5代入上式，得f(xk)f'(xk)3xk+2xk-5=xk-23xk+232xk+53xk+2x1=1.34286，x2=1.37012，x3=1.32920,x4=1.32827,x5=1.32826x5-x4=0.00001所以，方程的近似根x5=1.328265．解，jacobi迭代公式是：⎰k+152k1k⎰x1=3-3x2-3x3⎰⎰k+13k⎰x2=-x12⎰k+1⎰x3=4-x1k+1⎰⎰gauss-seidel迭代公式是：⎰k+152k1k⎰x1=3-3x2-3x3⎰⎰k+13k+1⎰x2=-x12⎰k+1⎰x3=4-x1k+1⎰⎰(2)设其系数矩阵是a，将a分解为：a=d-l-u，其中⎰d=300⎰⎰000⎰⎰0-2020⎰⎰，l=-200⎰⎰001⎰⎰,u=00⎰⎰-100⎰⎰⎰00jacobi 运算矩阵就是：⎰⎰0-2-1⎰bj=d-1(l+u)=00⎰⎰-200⎰⎰⎰001⎰⎰⎰-100⎰⎰⎰-100⎰⎰⎰-100⎰⎰⎰gauss-seidel迭代矩阵是：b-l)-1u=300⎰⎰0-2-1⎰220⎰⎰000⎰j=(d⎰101⎰⎰⎰⎰000⎰⎰⎰20=10⎰⎰6-230⎰0-2⎰00⎰-206⎰⎰⎰00二．证明-1⎰0⎰⎰0⎰⎰=1⎰0-2302⎰02-1⎰证明：x1a0>0且xk+1=2x)⇒xk>0所以存有：xak+1=1(xkx)≥12k2即：数列xk有下界；x2kk+1=2(xk+x)≤2(xk+x)=xk由单调递减且有下界的数列极限存在可知序列xk极限存在。