最新高中必修二数学下期末模拟试题(带答案)

最新高中必修二数学下期末模拟试题(带答案)
一、选择题
1．已知向量a v ，b v 满足4a =v
，b v 在a v 上的投影（正射影的数量）为-2，则2a b -v v 的最
小值为（ ） A ．43
B ．10
C ．10
D ．8
2．如图，在ABC V 中，90BAC ︒∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
3．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3
D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3
4．已知()()()sin cos ,02
f x x x π
ωϕωϕωϕ=+++＞，
＜，()f x 是奇函数，直线
2y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为
2
π
，则（ ） A ．()f x 在3,88ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭上单调递减 B ．()f x 在0,4π⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减 C ．()f x 在0,
4π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增 D ．()f x 在3,88ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭上单调递增 5．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l m
D ．若//l α，//m α，则//l m
6．函数()23sin 23f x x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．7,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．,22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
D ．5,66ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
7．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x （cm ）
174
176
176
176
178
则y 对x 的线性回归方程为 A ．y = x-1
B ．y = x+1
C ．y =88+
12
x D ．y = 176
8．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +
2π
3
)，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6
个单位长度，得到曲线C 2
B ．把
C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12
个单位长度，得到曲线C 2
C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6
个单位长度，得到曲线C 2
D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个
单位长度，得到曲线C 2
9．已知01a b <<<，则下列不等式不成立．．．的是 A ．1
1()()2
2
a
b
>
B ．ln ln a b >
C ．
11a b
> D ．
11ln ln a b
> 10．已知二项式2(*)n
x n N
⎛
∈ ⎝
的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰
5，则3x 的系数为（ ） A ．14
B ．14-
C ．240
D ．240-
11．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如EF 与HG 交于
点M ，那么 ( ) A ．M 一定在直线AC 上 B ．M 一定在直线BD 上
C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线B
D 上 D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上
12．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12-
B ．10-
C ．10
D ．12
二、填空题
13．已知ABC V ，135B o ∠=，22,4AB BC ==
，求AB AC ⋅=u u u r u u u r
______． 14．函数()2
sin sin 3f x x x =+-的最小值为________.
15．若函数()6,2
3log ,2
a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取
值范围是__________． 16．若
4
2
x π
π
<<
，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．
17．直线l 与圆2
2
240(3)x y x y a a ++-+=<相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为
(0,1)，则直线l 的方程为__________．
18．已知函数42,0()log ,0
x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若1
[()]2f f a =-，则a 的值是________.
19．若1tan 46
πα⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭,则tan α=____________. 20．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱
1AA 于点F ．下列命题正确的为_______________.
①存在点E ，使得11A C //平面1BED F ； ②对于任意的点E ，平面11AC D ⊥平面1BED F ； ③存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ；
④对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变．
三、解答题
21．如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，
4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点． （I ）证明MN ∥平面PAB ； （II ）求四面体N BCM -的体积.
22．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；
（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围. 23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 点为圆心的圆
22:1412600M x y x y +--+=及其上一点(4,2)A .
（1）设圆N 与y 轴相切，与圆M 外切，且圆心在直线6y =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点且BC OA =，求直线l 的方程. 24．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益
()f x 与投资额x 成正比，且投资1万元时的收益为1
8
万元，投资股票等风险型产品的收
益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元， （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？
25．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，
c .
（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率； （Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率.
26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，38522a a a +=+． （1）求n a ； （2）设数列1
{
}n S 的前n 项和为n T ，求证：34
n T <．
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
b r 在a r
上的投影（正射影的数量）为2-可知||cos ,2b a b <>=-r r r ，可求出||2b ≥r ，求2
2a b -r r 的最小值即可得出结果.
【详解】
因为b r 在a r
上的投影（正射影的数量）为2-， 所以||cos ,2b a b <>=-r r r
，
即2
||cos ,b a b =-
<>
r r r ，而1cos ,0a b -≤<><r r ， 所以||2b ≥r
，
因为222222
2(2)44||4||||cos ,4||a b a b a a b b a a b a b b -=-=-⋅+=-<>+r r r r r r r r r r r r r r
22
=1644(2)4||484||b b -⨯⨯-+=+r r
所以2
2484464a b -≥+⨯=r r ，即28a b -≥r r ，故选D.
【点睛】
本题主要考查了向量在向量上的正射影，向量的数量积，属于难题.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形． 【详解】
①PA ⊥Q 平面ABC ，,,,PA AB PA AD PA AC PAB ∴⊥⊥⊥∴∆,,PAD PAC ∆∆都是直角三角形；
②90,BAC ABC ︒
∠=∴Q V 是直角三角形； ③,,AD BC ABD ACD ⊥∴∆∆Q 是直角三角形；
④由,PA BC AD BC ⊥⊥得BC ⊥平面PAD ，可知：,,BC PD PBD PCD ⊥∴∆∆也是直角三角形.
综上可知：直角三角形的个数是8个，故选C ．
【点睛】
本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．
3．D
解析：D 【解析】
试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第
天）人数的平均数
为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感
染人数总数为
，又由于方差大于，故这
天中不可能每天都是，可以有一天大于
，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.
考点：众数、中位数、平均数、方差
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
首先整理函数的解析式为()24f x x πωϕ⎛
⎫=
++ ⎪⎝
⎭，由函数为奇函数可得4πϕ=-，
由最小正周期公式可得4ω=，结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可. 【详解】
由函数的解析式可得：()24f x x πωϕ⎛
⎫=
++ ⎪⎝
⎭，
函数为奇函数，则当0x =时：()4
k k Z π
ϕπ+
=∈.令0k =可得4
π
ϕ=-
.
因为直线2y =与函数()f x 的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2
π
结合最小正周期公式可得：
22
ππ
ω
=
，解得：4ω=.
故函数的解析式为：()24f x x =.
当3,88x ππ⎛⎫∈
⎪⎝⎭时，34,22
x ππ
⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，函数在所给区间内单调递减； 当0,
4x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()40,x π∈，函数在所给区间内不具有单调性； 据此可知，只有选项A 的说法正确. 故选A . 【点睛】
本题主要考查辅助角公式的应用，考查了三角函数的周期性、单调性，三角函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断
C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断
D . 【详解】
l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；
l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，
//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B. 【点睛】
本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可. 【详解】 函数的解析式即：
()223sin 23sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
其单调增区间满足：()23222232
k x k k Z π
π
πππ+≤-≤+∈， 解得：()713
1212
k x k k Z ππππ+
≤≤+∈，
令0k =可得函数的一个单调递增区间为713,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 故选A . 【点睛】
本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由已知可得176,176x y ==∴中心点为()176,176， 代入回归方程验证可知，只有方程y =88+
1
2
x 成立，故选C 8．D
解析：D 【解析】
把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x +π12）=cos （2x +π
6
）=sin （2x +
2π
3）的图象，即曲线C 2， 故选D ．
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π
π+
()2
k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π
π+()2
k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等式不成立的选项. 【详解】
依题意01a b <<<，由于12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
为定义域上的减函数，故11()()22a b >，故A 选项不等式成立.由于ln y x =为定义域上的增函数，故ln ln 0a b <<，则11
ln ln a b
>，所以B 选项不等式不成立，D 选项不等式成立.由于01a b <<<，故11
a b
>，所以C 选项不等式成立.综上所述，本小题选B. 【点睛】
本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
由二项展开式的通项公式为()
12r
n r
r
r n T C x -+⎛= ⎝
及展开式中第2项与第3项的二项
式系数之比是2︰5可得：6n =，令展开式通项中x 的指数为3，即可求得2r =，问题
得解． 【详解】
二项展开式的第1r +项的通项公式为()
12r
n r
r
r n T C x -+⎛= ⎝
由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：1
2
:2:5n n C C =. 解得：6n =. 所以()
()3662
16221r
r n r
r r
r r r n
T C x C x
---+⎛==- ⎝
令3
632
r -
=，解得：2r =， 所以3x 的系数为()2
262
621240C --=
故选C 【点睛】
本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．
11．A
解析：A 【解析】
如图，因为EF∩HG=M，
所以M∈EF，M∈HG，
又EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ADC ， 故M∈平面ABC ，M∈平面ADC ， 所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC. 选A. 点睛：证明点在线上常用方法
先找出两个平面，然后确定点是这两个平面的公共点，再确定直线是这两个平面的交线．
12．B
解析：B 【解析】
分析：首先设出等差数列{}n a 的公差为d ，利用等差数列的求和公式，得到公差d 所满足的等量关系式，从而求得结果3d =-，之后应用等差数列的通项公式求得
51421210a a d =+=-=-，从而求得正确结果.
详解：设该等差数列的公差为d ， 根据题中的条件可得3243
3(32)224222
d d d ⨯⨯⨯+
⋅=⨯++⨯+⋅， 整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B.
点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差d 的值，之后利用等差数列的通项公式得到5a 与1a d 和的关系，从而求得结果.
二、填空题
13．16【解析】【分析】由正余弦定理可得由平面向量的数量积公式有：得解【详解】由余弦定理可得：所以由正弦定理得：所以所以即故答案为16【点睛】本题考查了余弦定理正弦定理及向量的数量积属简单题
解析：16 【解析】 【分析】
由正余弦定理可得cos A ∠，
由平面向量的数量积公式有：25
cos 2221016AB AC AB AC A u u u r u u u r u u u r u u u r ⋅=∠==，得解．
【详解】
由余弦定理可得：2222cos13540AC AB BC AB BC =+-⨯=o ，
所以AC = 由正弦定理得：sin sin135
BC AC
A =∠o
，
所以sin 5A ∠=，
所以cos A ∠=
，
即cos 16AB AC AB AC A u u u r u u u r u u u r u u u r
⋅=∠==， 故答案为16 【点睛】
本题考查了余弦定理、正弦定理及向量的数量积，属简单题
14．【解析】【分析】利用换元法令然后利用配方法求其最小值【详解】令则当时函数有最小值故答案为【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值； 解析：134
-
【解析】 【分析】
利用换元法，令sin x t =，[]
1,1t ∈-，然后利用配方法求其最小值． 【详解】
令sin x t =，[]1,1t ∈-，则2
113
324
y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，
当12
t =-
时，函数有最小值134-，故答案为134-.
【点睛】
求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成2
sin sin y a x b x c =++的形式利用配方法求最值；②形如sin sin a x b
y c x d
+=
+的可化为sin ()x y φ=的形式性求最值；③
sin cos y a x b x =+型，可化为)y x φ=+求最值；④形如
()sin cos sin cos y a x x b x x c =±++可设sin cos ,x t ±=换元后利用配方法求最值. 15．【解析】试题分析：由于函数的值域是故当时满足当时由所以所以所以实数的取值范围考点：对数函数的性质及函数的值域【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题解答时要牢记对数函数 解析：(]1,2
【解析】
试题分析：由于函数()()6,2
{
0,13log ,2
a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2
x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥⇒<<，所以实数a 的取值范围12a <≤. 考点：对数函数的性质及函数的值域.
【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当2x >时，由()4f x ≥，得
log 1a x ≥，即log 21a ≥，即可求解实数a 的取值范围.
16．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值
解析：-8 【解析】 试题分析：2tan 1tan 1,4
2
x
x x π
π
∴∴Q
设2tan t x =
()()()2
22141222
2142248111t t t y t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----当且仅当
2t =时成立
考点：函数单调性与最值
17．【解析】【分析】【详解】设圆心直线的斜率为弦AB 的中点为的斜率为则所以由点斜式得
解析：10x y -+=. 【解析】 【分析】 【详解】
设圆心O ，直线l 的斜率为k ，弦AB 的中点为P ，PO 的斜率为op k ，21
10
op k -=
--则l PO ⊥，所以k (1)11op k k k ⋅=⋅-=-∴=由点斜式得1y x =+．
18．-1或2【解析】【分析】根据函数值的正负由可得求出再对分类讨论代入解析式即可求解【详解】当时当当所以或故答案为:或【点睛】本题考查求复合函数值认真审题理解分段函数的解析式考查分类讨论思想属于中档题
解析：-1或2 【解析】 【分析】
根据函数值的正负，由1
[()]02
f f a =-
<，可得()0f a >，求出()f a ，再对a 分类讨
论，代入解析式，即可求解. 【详解】
当0x ≤时，()0,f x >1
[()]02
f f a =-
<， 411
[()]log (()),()22
f f a f a f a ∴==-∴=，
当41
0,()log ,22
a f a a a >==∴=， 当1
0,()2,12
a
a f a a ≤==∴=-， 所以1a =-或2a =. 故答案为:1-或2. 【点睛】
本题考查求复合函数值，认真审题理解分段函数的解析式，考查分类讨论思想，属于中档题.
19．【解析】故答案为 解析：75
【解析】
1tan tan 1
7446tan tan 144511tan tan
644ππαππααππα⎛⎫-++ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=-+=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦--- ⎪⎝
⎭
故答案为7
5
.
20．①②④【解析】【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可【详解】①当为棱上的一中点时此时也为棱上的一个中点此时//满足//平面故①正确；②连结则平面因为平面
解析：①②④ 【解析】 【分析】
根据线面平行和线面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可． 【详解】
①当E 为棱1CC 上的一中点时，此时F 也为棱1AA 上的一个中点，此时11A C //EF ，满足11A C //平面1BED F ，故①正确；
②连结1BD ，则1B D ⊥平面11AC D ，因为1BD ⊂平面1BED F ，所以平面11A C D ⊥平面
1BED F ，故②正确；
③1BD ⊂平面1BED F ，不可能存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ，故③错误； ④四棱锥11B BED F -的体积等于1111D BB F D BB E V V --+，设正方体的棱长为1. ∵无论E 、F 在何点，三角形1BB E 的面积为
11
1122⨯⨯=为定值，三棱锥11D BB E -的高111D C =，保持不变，三角形1BB F 的面积为11
1122
⨯⨯=为定值，三棱锥11D BB F -的高为111D A =，保持不变.
∴四棱锥11B BED F -的体积为定值，故④正确. 故答案为①②④. 【点睛】
本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，解答本题的关键正确利用分割法求空间几何体的体积的方法，综合性较强，难度较大．
三、解答题
21．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)4
53
. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MN AT P ，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N-BCM 的高，即点N 到底面的距离为棱PA 的一半，由此可顺利求得结果． 试题解析：（Ⅰ）由已知得
，取
的中点T ，连接
，由N 为
中点知，.
又，故平行且等于，四边形AMNT 为平行四边形，于是
.
因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
（Ⅱ）因为平面
，N 为
的中点，
所以N 到平面的距离为.
取的中点
，连结
.由得，.
由
得到
的距离为
，故1
45252
BCM S =
⨯=V
所以四面体
的体积145
323
N BCM BCM PA V S -=
⨯⨯=
V . 【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积
【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解． 22．(1) 3
C π
=.(2) (23,4].
【解析】 【分析】
（1）根据题意，由余弦定理求得1
cos 2
C =
，即可求解C 角的值； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到4sin 6a b A π⎛⎫
+=+ ⎪⎝
⎭
，再根据ABC ∆为锐角三角形，求得6
2
A π
π
<<
，利用三角函数的图象与性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意知()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=，
由余弦定理可知，222cos 1
22
a b c C ab +-==，
又∵(0,)C π∈，∴3
C π
=
.
（2）由正弦定理可知，24
3
sin sin 3sin 3
a b A B
π===，即443,333
a A
b B == ∴43(sin sin )3a b A B +=
+423sin sin 33A A π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦ 232cos A A =+4sin 6A π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
又∵ABC ∆为锐角三角形，∴02
2032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<
⎪⎩
，即，
则
23
6
3A π
π
π<+
<
，所以234sin 46A π⎛
⎫<+≤ ⎪⎝
⎭，
综上+a b 的取值范围为(23,4]. 【点睛】
本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
23．（1）22
(1)(6)1x y -+-=（2）2150x y -+=或250x y --=.
【解析】 【分析】
（1）根据由圆心在直线y =6上，可设()0,6N x ，再由圆N 与y 轴相切，与圆M 外切得到圆N 的半径为0x 和0075-=+x x 得解.
（2）由直线l 平行于OA ，求得直线l 的斜率，设出直线l 的方程，求得圆心M 到直线l 的距离，再根据垂径定理确定等量关系，求直线方程. 【详解】
（1）圆M 的标准方程为22
(7)(6)25-+-=x y ，所以圆心M （7，6），半径为5,.
由圆N 圆心在直线y =6上，可设()0,6N x 因为圆N 与y 轴相切，与圆M 外切 所以007<<x ，圆N 的半径为0x 从而0075-=+x x 解得01x =.
所以圆N 的标准方程为2
2
(1)(6)1x y -+-=. （2）因为直线l 平行于OA ，所以直线l 的斜率为201
402
-=-. 设直线l 的方程为1
2
y x m =
+，即220x y m -+= 则圆心M 到直线l 的距离
==d
因为===BC OA 而2
2
2
2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
BC MC d 所以2
(25)2555
-=+m
解得152
m = 或52m =-.
故直线l 的方程为2150x y -+=或250x y --=.
【点睛】
本题主要考查了直线方程，圆的方程，直线与直线，直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力和数形结合的思想，属于中档题.
24．（1）()1,()0)8f x x g x x =
=≥；（2）投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元. 【解析】 【分析】
（1）投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，用待定系数法求这两种产品的收益和投资的函数关系；
（2）由（1）的结论，设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为
20x -万元，这时可构造出一个关于收益y 的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解. 【详解】
（1）依题意设()1,()f x k x g x k ==，
1211
(1),(1)82f k g k ====，
()1
,()0)8f x x g x x ==≥；
（2）设投资股票等风险型产品为x 万元，
则投资债券等稳健型产品为20x -万元，
1
(20)()(20)8y f x g x x =-+=-
21
2)3,0208
x =-+≤≤Q ，
2,4x ==万元时，收益最大max 3y =万元， 20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元， 投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元. 【点睛】
本题考查函数应用题，考查正比例函数、二次函数的最值、待定系数法等基础知识与基本方法，属于中档题. 25．（1）19；（2）89
. 【解析】
试题分析：（1）所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种，而满足a b c +=的
(,,)a b c 共计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率；
（2）所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数
字a 、b 、c 完全相同”的(,,)a b c 共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求．
试题解析：（1） 所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种， 而满足a b c +=的(,,)a b c 有(1,1,2)、(1,2,3)、(2,1,3)共计3个 故“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率为
31279
= （2） 所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种
满足“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的(,,)a b c 有(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)共计三个
故“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的概率为
31279
= 所以“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 不完全相同”的概率为18199
-= 考点：独立事件的概率．
【方法点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．
26．（1）21n a n =+；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）设公差为d ，由28S =，385
22a a a +=+可得11
12829282a d a d a d +=⎧
⎨+=++⎩，，解得13a =，2d =，从而可得结果；（2） 由（1），21n a n =+，则有
()2
32122n n S n n n =
++=+，则()11111222n
S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，利用裂项相消法求解即可. 【详解】
（1）设公差为d ，由题1112829282a d a d a d +=⎧
⎨+=++⎩，
，解得13a =，2d =．
所以21n a n =+．
（2） 由（1），21n a n =+，则有()232122
n n
S n n n =
++=+． 则()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
．
所以n T 1111111
1111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111112212n n ⎛⎫=
+-- ⎪++⎝⎭ 34
<． 【点睛】
本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的
方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭；（2）
1
k
=
； （3）
()()1
111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭
；（4）
()()11
122
n n n =
++()()()11
112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦
；此外，需注意裂项之后相消的过程中
容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.。