2020福建数学中考突破大一轮(课件+优练)：第四章 三角形 第1部分 课时18
人教版中考数学决胜一轮复习第4章三角形
人教版中考数学决胜一轮复习第4章三角形第四章三角形第1课时角、相交线与平行线1．如图是正方体的表面展开图，则与“前”字相对的字是( B)A．认B．真C．复D．习2．已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是( C)A B C D3．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝70°，∠2＝50°.要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是( B)A．10° B．20°C．50° D．70°4．如图，下列说法错误的是( C)A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．若∠1＝∠2，则a∥cC．若∠3＝∠2，则b∥cD．若∠3＋∠5＝180°，则a∥c5．如图，直线AC∥BD，AO，BO分别是∠BAC，∠ABD的平分线，那么下列结论错误的是( D )A ．∠BAO 与∠CAO 相等B ．∠BAC 与∠ABD 互补 C ．∠BAO 与∠ABO 互余 D ．∠ABO 与∠DBO 不等6．(原创题)若∠α＝42°30′，则∠α的余角的度数是__47.5__°.7．(原创题)如图，直线AB ，CD 相交于点O ，射线OM 平分∠AOC ，过点O 作射线ON ⊥OM .若∠AOM ＝35°，则∠CON 的度数为__55或125__°.8．(原创题)如图，点D 是线段AB 的中点，点C 是线段AD 的中点，CD ＝1 cm ，若点P 是直线AB 上的一点，当BP ＝2 cm 时，AP 的长为__2或6__cm.9．如图，点E 是AD 延长线上一点，如果添加一个条件，使BC ∥AD ，则可添加的条件为__答案不唯一，如∠C ＝∠CDE 等__.(任意添加一个符合题意的条件即可)10．如图，将矩形ABCD 折叠，折痕为EF ，BC 的对应边B ′C ′与CD 交于点M ，若∠B ′MD ＝50°，则∠BEF 的度数为__70__°.11．一个角的余角是这个角的补角的13，求这个角的度数．解：设这个角为x°，则余角为(90－x )°，补角为(180－x )°，由题意得，(90－x )＝13(180－x )，解得x ＝45，即这个角为45°. 12．如图，∠AOB ＝40°，OP 平分∠AOB ，点C 为射线OP 上一点，作CD ⊥OA 于点D ，在∠POB 的内部作CE ∥OB ，求∠DCE 的度数．解：∵∠AOB ＝40°，OP 平分∠AOB ，∴∠AOP ＝∠POB ＝20°.∵CD ⊥OA ，∴∠ODC ＝90°，∴∠DCP ＝∠ODC ＋∠AOP ＝110°.∵CE∥OB ，∠PCE ＝∠POB ＝20°.∴∠DCE ＝∠DCP ＋∠PCE ＝130°.13．取一张长方形的纸片，按如图的方法折叠，然后回答问题．AE 与EF 垂直吗？为什么？解：AE 与EF 垂直．理由如下：根据折叠的性质可知，∠1＝∠AEB′，∠2＝∠FEC′.∵∠1＋∠AEB ＋∠2＋∠FEC ＝180°，∴2(∠AEB′＋∠FEC′)＝180°，∴∠AEB′＋∠FEC′＝90°，即∠AEF ＝90°，故AE 与EF 垂直．14．(改编题)如图，从①∠1＝∠2、 ②∠C ＝∠D 、 ③∠A ＝∠F 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，写出一个正确的命题，并给出证明．你选的条件是：__________，结论是：__________.解：答案不唯一，如选条件：①②，结论：③.证明：如图所示，当∠1＝∠2，则∠3＝∠2，故DB∥EC ，∴∠D ＝∠4.∵∠C ＝∠D ，∴∠4＝∠C ，∴DF∥AC ，∴∠A ＝∠F.15．如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，∠C ＝∠DAC ．(1)尺规作图：作∠ADB 的平分线，交AB 于点E (保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)的条件下，求证：DE ∥AC ． 解：(1)如图：(2)证明：∵∠ADB ＝∠C ＋∠DAC ，∠C ＝∠DAC ，∴∠ADB ＝2∠C ．∵DE 是∠ADB 的平分线，∴∠ADB＝2∠BDE，∴∠BDE＝∠C，∴DE∥AC．第2课时三角形及其性质1．下列图形中，∠1一定大于∠2的是( C)A B C D2．长度分别为2,7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是( C)A．4 B．5C．6 D．93．已知△ABC的三边长分别为4,4,6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( B) A．3条B．4条C．5条D．6条4．如图，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD的大小为( D)A．3 B．4C．4.8 D．55．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE 的度数是( B)A．20° B．35°C．40° D．70°6．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE ⊥AC于点E，则PD＋PE的长是( A)A．4.8 B．4.8或3.8C．3.8 D．57．为了比较5＋1与10的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C ＝90°，BC ＝3，D 在BC 上且BD ＝AC ＝1.通过计算可得5＋1__>__10.(选填“>”“<”或“＝”)8．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股“章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＋AB ＝10，BC ＝3，求AC 的长．如果设AC ＝x ，则可列方程为__x 2＋9＝(10－x )2__.9．(改编题)如图，三角形纸片ABC ，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点E 为AB 中点．沿过点E 的直线折叠，使点B 与点A 重合，折痕EF 交BC 于点F .已知EF ＝32，则BC 的长是__32__.10．(改编题)等腰三角形ABC 中，∠A ＝80°，求∠B 的度数．解：若∠A 为顶角，则∠B ＝(180°－∠A )÷2＝50°；若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B ＝180°－2×80°＝20°；若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B ＝80°；故∠B ＝50°或20°或80°.11．(改编题)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D 点，DE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，求证：BF ＝2DE .证明：过D 作DG ⊥AC 于G.在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 平分∠BAC ，CD ＝DB ．又DE ⊥AB ，DG ⊥AC 于G ，∴DG ＝DE.∵BF ⊥AC ，DG ⊥AC ，∴DG∥BF.又CD ＝DB ，∴CG ＝GF ，∴BF＝2DG ＝2DE.12．如图，已知AC ⊥BC ，垂足为C ，AC ＝4，BC ＝33，将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AD ，连接DC ，DB ．求线段DB 的长度．解：∵AC ＝AD ，∠CAD ＝60°，∴△CAD 是等边三角形．∴CD ＝AC ＝4，∠ACD ＝60°，过点D 作DE ⊥BC 于E.∵AC ⊥BC ，∠ACD ＝60°，∴∠BCD ＝30°.在Rt△CDE 中，CD ＝4，∠BCD ＝30°，∴DE ＝12CD ＝2，CE ＝23，∴BE ＝3.在Rt △DEB 中，由勾股定理得DB ＝7.13．在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答．．．．．．．．．．．．．．．过程．．.解：在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，设BD ＝x ，∴CD ＝14－x.由勾股定理得：AD 2＝AB 2－BD 2＝152－x 2，AD 2＝AC 2－CD 2＝132－(14－x )2，∴152－x 2＝132－(14－x )2，解得x＝9，∴AD ＝12.∴S △ABC ＝12BC·AD ＝12×14×12＝84.14．(2018·重庆)如图，直线AB ∥CD ，△EFG 的顶点F ，G 分别落在AB ，CD 上，GE 交AB 于点H ，GE 平分∠FGD ．若∠EFG ＝90°，∠E ＝35°，求∠EFB 的度数．解：∵在△EFG 中，∠EFG ＝90°，∠E ＝35°，∴∠FGH ＝90°－35°＝55°.∵GE 平分∠FGD ，∴∠FGH ＝∠HGD ＝55°.∵AB∥CD ，∴∠HGD ＝∠FHG ＝55°.∵∠FHG 是△EFH 的外角，∴∠FHG ＝∠EFB ＋∠E.∴∠EFB ＝∠FHG －∠E ＝55°－35°＝20°.15．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BD ＝AD ，DG ＝DC ，E ，F 分别是BG ，AC 的中点． (1)求证：DE ＝DF ，DE ⊥DF ； (2)连接EF ，若AC ＝10，求EF 的长．(1)证明：∵AD ⊥BC 于D ，∴∠BDG ＝∠ADC ＝90°，∵BD ＝AD ，DG ＝DC ，∴△BDG≌△ADC (SAS )，∴BG ＝AC ．∵AD ⊥BC 于D ，E ，F 分别是BG ，AC 的中点，∴DE ＝12BG ，DF ＝12AC ，∴DE ＝DF.∵DE ＝DF ，BD ＝AD ，BE ＝AF ，∴△BDE≌ △ADF (SSS )，∴∠BDE ＝∠ADF ，∴∠EDF ＝∠EDG ＋∠ADF ＝∠EDG ＋∠BDE ＝∠BDG ＝90°，∴DE ⊥DF.(2)解：如图所示：∵AC ＝10，∴DE ＝DF ＝12AC ＝12×10＝5.∵∠EDF ＝90°，∴EF ＝DE 2＋DF 2＝52＋52＝52.第3课时全等三角形1．根据下列已知条件，能画出唯一确定的△ABC的是( C)A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝62．如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能．．判定△POC≌△POD的选项是( D)A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC＝ODC．∠OPC＝∠OPD D．PC＝PD3．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有( C)A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是__答案不唯一，如AB＝ED__(只需写一个，不添加辅助线)．5．如图，已知直线l1∥l2∥3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则正方形的边长为__5__.6．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)和点A 1.画出一个格点△A 1B 1C 1，并使它与△ABC 全等且A 与A 1是对应点．略7．(2018·泰州)如图，∠A ＝∠D ＝90°，AC ＝DB ，AC ，DB 相交于点O .求证：OB ＝OC ．证明：在Rt△ABC 和Rt△DCB中⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AC ，CB ＝BC ，∴Rt△ABC≌Rt△DCB (HL )，∴∠OBC ＝∠OCB ，∴BO ＝CO.8．(改编题)如图，五边形ABCDE 中有一正三角形ACD ，若AB ＝DE ，BC ＝AE ，∠E ＝115°，求∠BAE 的度数．解：∵正三角形ACD ，∴AC ＝AD ，∠ACD ＝∠ADC ＝∠CAD ＝60°，∵AB ＝DE ，BC ＝AE ，∴△ABC≌△AED ，∴∠B ＝∠E ＝115°，∠ACB ＝∠EAD ，∠BAC ＝∠ADE ，∴∠ACB ＋∠BAC ＝∠BAC ＋∠DAE ＝180°－115°＝65°，∴∠BAE ＝∠BAC ＋∠DAE ＋∠CAD ＝65°＋60°＝125°.9．(改编题)如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，连接AC ．已知AC ＝6，求四边形ABCD 的面积．解：过点A 作AE ⊥AC 交CD 的延长线于点E ，∵∠BAD ＝90°，∴∠EAD ＝∠CAB ．在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，∴∠ADC ＋∠B ＝180°.又∠ADC ＋∠ADE ＝180°，∴∠ADE ＝∠B ．在△ADE 和△ABC 中，∵∠EAD ＝∠CAB ，AB ＝AD ，∠ADE ＝∠B ，∴△ADE ≌△ABC ，故四边形ABCD 的面积等于△ACE 的面积，即四边形ABCD 的面积＝12AC ×AE ＝12×6×6＝18.10．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是OA ，OC 的中点，连接BE ，DF .(1)根据题意，补全原形； (2)求证：BE ＝DF . (1)解：如图所示；(2)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC ，BD 交于点O ，∴OB ＝OD ，OA ＝OC ．又∵E ，F 分别是OA ，OC 的中点，∴OE ＝12OA ，OF ＝12OC ，∴OE ＝OF.∵在△BEO 与△DFO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OE ＝OF ，∠BOE ＝∠DOF ，OB ＝OD ，∴△BEO≌△DFO (SAS )，∴BE ＝DF.11．如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，点E ，F 分别在AB ，BC 上(AE ＜BE )，且∠EOF ＝90°，OE ，DA 的延长线交于点M ，OF ，AB 的延长线交于点N ，连接MN .(1)求证：OM ＝ON ；(2)若正方形ABCD 的边长为4，E 为OM 的中点，求MN 的长．解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴OA ＝OB ，∠DAO ＝45°，∠OBA ＝45°，∴∠OAM ＝∠OBN ＝135°，∵∠EOF ＝90°，∠AOB ＝90°，∴∠AOM ＝∠BON ，∴△OAM≌△OBN (ASA )，∴OM ＝ON ；(2)如图，过点O 作OH ⊥AD 于点H ，∵正方形的边长为4，∴OH ＝HA ＝2，∵E 为OM 的中点，∴HM ＝4，则OM ＝22＋42＝25，∴MN ＝2OM ＝210.12．已知：如图①，AD 平分∠BAC ，∠B ＋∠C ＝180°，∠B ＝90°.易知：DB ＝DC ．(1)探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD<90°.求证：DB＝DC．(2)应用：如图③，四边形ABDC中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，则AB－AC ＝__________.(用含a的代数式表示)(1)证明：在AB边上取点E，作∠AED＝∠C．∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD．∵AD ＝AD，∠AED＝∠C，∴△ACD≌△AED(AAS)，∴DC＝DE.∵∠C＋∠B＝180°，∠AED＝∠C，∠AED＋∠DEB＝180°，∴∠DEB＝∠B，∴DE＝DB，∴DB＝DC；(2)应用：2a.第4课时 解直角三角形1．在∠A ，∠B 都是锐角的△ABC 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos A －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B －222＝0，则∠C 的度数是( C )A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°2．△ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方体边长为1)，AD ⊥BC 于D ，下列选项中，错误．．的是( C )A ．sin α＝cos αB ．tanC ＝2 C ．sin β＝cos βD ．tan α＝13．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠BED 的正切值等于( D )A ．255B ．255C ．2D ．124．一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要( D )A ．4sin θ 米2B ．4cos θ 米2C ．(4＋4tan θ) 米2D ．(4＋4tan θ) 米25．在△ABC 中，AB ＝122，AC ＝13，cos ∠B ＝22，则BC 边长为( D ) A ．7 B ．8 C ．8或17D ．7或176．如图，A ，B ，C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC 的值为__1__.7．一般地，当α，β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；sin(α－β)＝sin αcos β－cosαsin β.例如sin 90°＝sin(60°＋30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1.类似地，可以求得sin 15°的值是__6－24__. 8．(原创题)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋|tan 60°－2|＋2cos 30°.解：原式＝4＋2－3＋2×32＝6－3＋3＝6. 9．如图，AD 是△ABC 的中线，tan B ＝13，cos C ＝22，AC ＝ 2.求：(1)BC 的长； (2)sin ∠ADC 的值．解：(1)过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵cos C ＝22，∴∠C ＝45°，在Rt△ACE 中，CE ＝AC·cos C ＝1，∴AE ＝CE ＝1，在Rt△ABE 中，tan B ＝13，即AE BE ＝13，∴BE ＝3AE ＝3，∴BC＝BE ＋CE ＝4；(2)∵AD 是△ABC 的中线，∴CD ＝12BC ＝2，∴DE ＝CD －CE ＝1，∵AE ⊥BC ，DE ＝AE ，∴∠ADC＝45°，∴sin ∠ADC ＝22. 10．如图，有一个三角形的钢架ABC ，∠A ＝30°，∠C ＝45°，AC ＝2(3＋1)m.请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1 m 的圆形门？解：过点B 作BD ⊥AC ，垂足为点D ．在Rt△ABD 中，∠ABD ＝90°－∠A ＝60°，则AD ＝tan ∠ABD ×BD ＝3BD ；在Rt△BCD 中，∠C ＝45°，∴CD ＝BD ．∴AC ＝AD ＋CD ＝3BD ＋BD ＝(3＋1)BD ＝2(3＋1)，解得：BD ＝2＜2.1.故工人师傅搬运此钢架能通过这个直径为2.1 m 的圆形门．11．如图，已知△ABC 中，AB ＝BC ＝5，tan ∠ABC ＝34.(1)求边AC 的长；(2)设边BC 的垂直平分线与边AB 的交点为D ，求AD DB的值．解：(1)过点A 作AE ⊥BC 于点E.在Rt△AEB 中，∠AEB ＝90°，tan ∠ABC ＝AE BE ＝34，设AE ＝3x ，BE ＝4x ，根据勾股定理，得AB ＝5x ＝5，则x ＝1，∴AE ＝3，BE ＝4，∴CE ＝BC －BE ＝5－4＝1.在Rt△AEC 中，∠AEC ＝90°，∴AC ＝AE 2＋CE 2＝32＋12＝10；(2)如图BC 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于F ，则BF ＝CF ＝12BC ＝2.5，∴EF ＝FC －EC＝2.5－1＝1.5.∵∠AEC ＝∠DFC ＝90°，∴DF ∥AE ，∴AD DB ＝EF FB ＝1.52.5＝35.12．小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国——南亚博览会”的竖直标语牌CD ．她在A 点测得标语牌顶端D 处的仰角为42°，测得隧道底端B 处的俯角为30°(B ，C ，D 在同一条直线上)，AB ＝10 m ，隧道高6.5 m(即BC ＝6.5 m)，求标语牌CD 的长(结果保留小数点后一位)．(参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90，3≈1.73)解：过点A 作AE ⊥BC 于点E ，依题意有∠DAE ＝42°，∠BAE ＝30°.在Rt△AEB 中，BE ＝12AB ＝12×10＝5(m )，AE ＝AB ×cos ∠BAE ＝10×cos 30°＝10×32＝53(m )．在Rt△DAE中，∵tan ∠DAE ＝DE AE，∴DE ＝53×tan 42°≈5×1.73×0.90＝7.785(m )．∴CD ＝DE ＋BE －BC ＝7.785＋5－6.5≈6.3(m )．∴标语牌CD 的长约为6.3 m.13．如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC 的高为11 m ，灯杆AB 与灯柱AC 的夹角∠A ＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 长为18 m ，从D ，E 两处测得路灯B 的仰角分别为α和β，且tan α＝6，tan β＝34，求灯杆AB 的长度．解：过点B 作BF ⊥CE ，交CE 于点F ，过点A 作AG ⊥AF ，交BF 于点G ，则FG ＝AC ＝11.由题意得∠BDE ＝α，tan ∠β＝34.设BF ＝3x ，则EF ＝4x ，在Rt△BDF 中，∵tan ∠BDF ＝BFDF ，∴DF ＝BF tan ∠BDF＝3x 6＝12x ，∵DE ＝18(m )，∴12x ＋4x ＝18(m )．∴x ＝4(m )．∴BF ＝12(m )，∴BG ＝BF －GF ＝12－11＝1(m )，∵∠BAC ＝120°，∴∠BAG ＝∠BAC －∠CAG ＝120°－90°＝30°.∴AB ＝2BG ＝2(m )，∴灯杆AB 的长度为2 m.。
第四单元三角形(新)中考数学第一轮中考考点复习公开课PPT2
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命题的真假：正确的命题是_真__命__题___，错误的命题是 _假___命__题__．判断一个命题为假命题时，只需举出一个反例；要 论证一个命题是真命题时，则需要加以推理和证明．
AC∥EF，∠C＝∠F.求证：BC＝DF.
证明：∵AD＝BE， ∴AD－BD＝BE－BD，∴AB＝ED.
∵AC∥EF，∴∠A＝∠E.
∠C＝∠F， 在△ABC 和△EDF 中， ∠A＝∠E，
AB＝ED， ∴△ABC≌△EDF(AAS)，∴BC＝DF.
1．三角形的有关概念及分类
定 义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所
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特 征：任意一个三角形都有三条角平分线，这三条角 平分线交于三角形内一点，这一点叫做三角形的_内__心___．
规 律：(1)三角形两条角平分线的交点一定在第三条角 平分线上．
(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是_A_C__＝__B_C__．
【解析】添加AC＝BC.∵△ABC的两条高线AD，BE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°.在△ ADC和△ BEC中，
∠ ∠AC＝DC∠＝C∠，BEC，∴△ADC≌△BEC(AAS)． AC＝BC，
5．[2019·山西]如图，已知点B，D在线段AE上，AD＝BE，
逆命题：若命题2与命题1的题设、结论正好相反，则这样 的两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命 题，那么另一个命题叫做它的逆命题．
2020福建数学中考突破大一轮(课件+优练)：第一章 数与式 第1部分 课时4
知识点一 分式的相关概念及性质
1．分式的相关概念
(1)概念：如果 A，B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子AB叫做分式．分
式AB中，A 叫做分子，B 叫做分母． (2)分式有意义的条件：①__B__≠_0___.
(3)分式无意义的条件：B＝0.
(4)分式值为 0 的条件：A＝0 且②__B_≠__0___.
2－13＋3＝
1＝ 2
2 2.
7温Βιβλιοθήκη 提示• 分式的化简及求值过程中需注意的问题：(1)先把分式化简，再把分式中未知数对应的值代入求出分 式的值；(2)分式化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式； (3)分式化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当……时，原式 ＝……”；(4)代入求值时，有直接代入法、整体代入法等，解题时可根据题目的具体条件选择合适 的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义．
0
分式的分子与分母乘(或除以)同一个③_不__等__于__0_的整式，分式的值④ 基本• 2性．质分式的_不_基_变_本_性__质，及即相AB关＝概AB念··CC，AB＝AB÷÷CC(C≠0)，其中 A，B，C 是整式
约分
把一个分式的分子与分母的⑤公__因__式____约去，不改变分式的值
通分
把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式
(4)分式的乘方：(ab)n＝abnn(n 为整数)．
3
2．分式的化简及求值 (1)计算括号内的分式，将括号内的异分母分式通分为同分母分式，合并同类项， 把括号去掉，简称去括号． (2)将分式中除号(÷)后面的式子的分子、分母颠倒位置，并把这个式子前的“÷” 变为“×”，保证几个分式之间除了“＋、－”，就只有“×”或“·”，简称除式 变乘式． (3)计算分式乘法，将分式中的多项式因式分解再约去相同因式． (4)最后按照式子顺序，从左到右计算分式加减法，直到化到最简为止． (5)代入求值，代入使原式有意义的数．
2020福建数学中考突破大一轮(课件+优练)：第四章 三角形 第1部分 课时18
15
方法突破
• (1)证明两条线段相等或者两个角相等时，常用的方法是证明这两条线段或者这两个角所在的三角形 全等．当所证的线段或者角不在两个全等的三角形中时，可通过添加辅助线构造全等三角形．它的 步骤是先证全等，再利用全等的性质进行证明．
• (2)探究两条线段的位置关系时，一般也是先利用全等的性质证明角相等，进而利用角之间的关系来 判断线段的位置关系．
• 1．全等三角形的判定定理
简记 SSS (边边边)
SAS (边角边) ASA (角边 角)
图形
判定定理
有三边分别相等的两个三角形全等
有两边和它们的⑤_夹__角_____分别相等的两个三角 形全等 有两角和它们的⑥_夹__边_____分别相等的两个三角 形全等
2
简记 AAS (角角
边)
HL
图形
判定定理 有两角及其中一个角的⑦__对__边____分别相等的两 个三角形全等 斜边和⑧一__条__直__角__边___分别相等的两个直角三角形 全等
知识要点 ·归纳
知识点一 全等三角形及其性质
• 1．概念：能够①_______完_的全两重个合三角形叫做全等三角形．
• 2．性质
• (1)全等三角形的对应边②________，对相应等角③________.
相等
• (2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等．
• (3)全等三角形的周长④________，相面等积相等．
2020福建数学中考突破大一轮(课件+优练)：第二章 方程(组)与不等式(组) 第1部分 课时6
夯实基础
1．方程 x＋2 2＝x－1 1解是(B )
A．x＝43
B．x＝4
C．x＝3
D．x＝－4
2．方程x－x 3＝2－3－3 x的增根是__x_＝__3___.
2
知识点二 分式方程的应用
1．用分式方程解实际问题的一般步骤
【注意】双检验：(1)检验是否是分式方程的解(增根应舍去)；(2)检验是否符合 实际问题．
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6
重难点 ·突破
重点一 分式方程的解法
例 1 (2019·南京)解方程：x－x 1－1＝x2－3 1.
【解答】方程两边同乘(x－1)(x＋1)，得 x(x＋1)－(x－1)(x＋1)＝3， 解得 x＝2. 检验：当 x＝2 时，(x－1)(x＋1)≠0， 所以原分式方程的解为 x＝2.
解：去分母，得 x－2＋3x＝6. 移项、合并同类项，得 4x＝8. 系数化为 1，得 x＝2. 检验：当 x＝2 时，x－2＝0， 所以 x＝2 是原方程的增根， 所以原方程无解．
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2．(2019·广安)解分式方程：x－x 2－1＝x2－44x＋4. 解：方程两边同乘(x－2)2，得 x(x－2)－(x－2)2＝4， 解得 x＝4. 检验：当 x＝4 时，(x－2)2≠0， 所以原方程的解为 x＝4.
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• 【错解分析】解题时忘记变号；方程的解为正数时，还要考虑原方程中的隐含条件：分母不为零. • 【正解】方程两边都乘(X－1)，得M－3＝X－1， • 解得X＝M－2. • ∵方程的解是正数， • ∴M－2＞0且M－2≠1， • 解得M＞2且M≠3， • ∴M的取值范围是M＞2且M≠3.
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• (1)求A，B两种粽子的单价各是多少； • (2)若计划用不超过7 000元的资金再次购进A，B两种粽子共2 600个，已知A，B两种粽子的进价不
2020福建数学中考突破大一轮(课件+优练)：第二章 方程(组)与不等式(组) 第1部分 课时5
步骤
具体做法
去分母
若未知数的系数有分母，则去分母，注意不要漏乘不含分母的项
去• 括3．号解一元若一方次方程程中的有步括骤号，括号前是负号，去括号后括号里面各项要④__变__号____
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记 住移项要⑤_变__号_____)
合并同类项
把方程化成 ax＝b(a≠0)的形式
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方法二：利用代入消元法解二元一次方程组 x＋2y＝0，① 3x＋4y＝6.② 由①，得 x＝－2y.③ 将③代入②，得 3×(－2y)＋4y＝6，解得 y＝－3. 将 y＝－3 代入③，得 x＝6. 故方程组的解为xy＝＝－6，3.
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方法突破
• 解二元一次方程组的基本思路是“消元”，代入消元法和加减消元法是解二元一次方程组的两种基 本方法．一般来讲，代入消元法适用于方程组中一个方程的某个未知数的系数为1或－1的情况；加 减消元法适用于两个方程中某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系的情况.
段的门票共10张，总价为15 800元，其中小组赛门票每张850元，决赛门票每张4 500元．若设小李 预定了小组赛门票X张，决赛门票Y张．根据题意，可列方程组为
• ________________________.
x＋y＝10， 850x＋4 500y＝15 800
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(2)设
设未知数(可设直接或⑥__间__接____未知数)
(3)列
根据题意寻找⑦等__量__关__系__列方程(组)
(4)解
解方程(组)
(5)验
检验所求的未知数的值是否符合题意
(6)答
2020福建数学中考突破大一轮(课件+优练)：第二章 方程(组)与不等式(组) 第1部分 课时7
• B．有两个不相等的实数根
• C．只有一个实数根
• D．没有实数根
• 4．设方程X2＋3X－4＝0的两根分别为X1，X2，则X1＋X2＝________，X1·X2＝__－___3___.
－4
6
知识点三 一元二次方程的应用
1．一般步骤：审、设、列、解、验、答． 2．列一元二次方程解应用题的常见关系 (1)平均增长率(下降率)问题 设 a 为基本量，b 为变化后的量， 则aa11＋－xxnn＝＝bbxx为为平平均均增下长降率率，，nn为为增下长降次次数数，.
7
(2)面积问题 面积问题常见图形归纳如下： 第一：如图 1，矩形 ABCD 的长为 a，宽为 b，空白部分的宽为 x，则阴影部分 的面积为(a－2x)(b－2x)．
第二：如图 2，矩形 ABCD 的长为 a，宽为 b，阴影部分的宽为 x，则空白部分 的面积为(a－x)(b－x)．
8
第三：如图 3，矩形 ABCD 的长为 a，宽为 b，阴影部分的宽为 x，则空白部分 的面积为⑨__(_a_－__x_)_(_b_－__x_) ________.
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重点二 一元二次方程根的判别式
•
例2
()
• A．M≤6
关于X的一元二次方程(M－2)X2－4X＋1＝0有两个实数根，则实数M的取值范围是
B
B．M≤6且M≠2
• C．M＜6且M≠2
D．M＜6
【解答】∵关于 x 的一元二次方程(m－2)x2－4x＋1＝0 有两个实数根．
∴m－－422≠－04，m－2×1≥0，
根
2
夯实基础 • 1．一元二次方程(X＋6)2－9＝0的解是___________x__1＝___－__3__，__x.2＝－9 • 2．关于X的方程X2－6X＋9＝0的根是___________x_1_＝_.x2＝3
2020年中考数学高分一轮复习-第四章 三角形(合集课件)
考点突破
如图，AB∥CD，探讨下面图形中∠APC与 ∠PAB、∠PCD的关系，请你对所得到的关系加以 证明． 解：∠APC ＝∠PAB ＋∠PCD；
证明：过P点作PE∥AB，所以∠A＝∠APE. 又因为AB∥CD，所以PE∥CD，所以∠C＝ ∠CPE，所以∠A＋∠C＝∠APE＋∠CPE， ∴∠APC ＝∠PAB ＋∠PCD.
长度最小的是( B ) A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD
例1图
考点突破
考点二：垂线与平行线的性质 (2019·十堰) 如图，直线a∥b，直线
AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝( C ) A．50° B．45° C．40° D．30°
例2图
考点突破
考点三：三线八角与平行线
已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB， ∠1＝∠2，求证：CD⊥AB. 证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC，∴∠DGB ＝∠ACB＝90°，∴DG∥AC，∴∠2 ＝∠ACD，∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠ACD，∴EF∥CD，∴∠AEF ＝∠ADC.∵EF⊥AB，∵∠AEF＝90° ，∴∠ADC＝90°，∴CD⊥AB.
中考特训
一、选择题
1．(2019·湖州) 已知∠α＝60°32′，则
∠α的余角是( A )
A．29°28′
B．29°68′
C．119°28′
D．119°68′
2．(2018·金华) 如图，
∠B的同位角可以是( D )
A．∠1
B．∠2
C．∠3
D．∠4
第2题图
中考特训
3．(2018·怀化) 如图，直线a∥b，∠1＝60°， 则∠2＝( B ) A．30° B．60° C．45° D．120°
2020福建数学中考突破大一轮(课件+优练)：第一章 数与式 第1部分 课时3
知识点四 因式分解
1．概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个
多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
2．基本方法 提公因式法：pa＋pb＋pc＝⑬_来自p_(_a_＋__b_＋__c)
系数：取各项系数的最大公因数
公因式的确定 字母：取各项中都含有的字母或 因式
指数：取各项相同字母的最低次幂
(a＋b)(a－b)＝a2－b2(平方差公式)
乘法公式
拓展：①常见的变形有 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab，(a－b)2＝(a ＋b)2－4ab；
②a2＋b2≥2ab(当且仅当 a＝b 时，取“＝”)常用于求面积最值(选、填题
直接用)
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夯实基础 • 6．计算：X4·X2＝________；x6(3AB3)2＝________； 9a2b6 • 5X2·(－XY)＝______－__5；x3y • (X－2Y)·(－3XY)2＝________9_x__3y__2－___1_8. x2y3
【解答】原式＝x2－6x＋9＋2x＋x2－9 ＝2x2－4x.
当 x＝－ 3时，原式＝2×(－ 3)2－4×(－ 3)＝6＋4 3.
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针对训练
• 5．(2019·宁波)先化简，再求值：(X－2)(X＋2)－X(X－1)，其中X＝3.
解：原式＝x2－4－x2＋x ＝x－4.
当 x＝3 时，原式＝3－4＝－1.
常数项
次数 多项式中⑥_次__数__最__高_的项的次数，如 2a3＋b＋3c 的次数是 3
整式
单项式与多项式统称为整式
所含字母⑦__相__同____并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类 同类项 项，所有的常数项都是同类项，如 3 和12
福建省福州市中考数学复习 第四章 三角形 第四节 全等三角形同步训练-人教版初中九年级全册数学试题
第四节全等三角形某某：________ 班级：________ 限时：______分钟1．(2018·某某)如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD()A．∠B＝∠C B．AD＝AEC．BD＝CE D．BE＝CD2．(2018·黔南州)下列各图中a，b，c为三角形的边长，则甲，乙，丙三个三角形和左侧△ABC全等的是( )A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙3．如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，若∠A＝50°，则∠DEF的度数是( )A. 75°B. 70°C. 65°D. 60°4．(2018·某某)如图，AB⊥CD，且AB＝CD.E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为( )A．a＋c B．b＋c C．a－b＋c D．a＋b－c5．(2018·某某)如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是( )A.32B．2 C．22D.106．(2018·某某)在△ABC中，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在BC边上，连接DE，DF，EF，请你添加一个条件________，使△BED与△FDE全等．7．(2018·某某)如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是________．8．(2018·某某质检)如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF且AC＝DF，求证：AB＝DE.9．(2018·某某省卷)如图，已知AC平分∠BAD，AB＝AD.求证：△ABC≌△ADC.10．(2018·某某)如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O.求证：OB＝OC.11．(2018·某某)如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交于点G、H.若AB＝CD，求证：AG＝DH.12．(2017·某某州)如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于点P. 求证：∠AOB＝60°.13．(2018·某某州)如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O. 求证：AD与BE互相平分．14．(2018·某某)已知：如图，点A，F，E，C在同一直线上，AB∥DC，AB＝CD，∠B＝∠D.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG＝5，求AB的长．1．(2018·某某)如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．2．(2018·某某)如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE.(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)当AB＝5时，求CD的长．3．(2018·某某质检)如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，分别以AB，AC为边在AB同侧作等边△ABD 和等边△ACE，连接DE.(1)判断△ADE的形状，并加以证明；(2)过图中两点画一条直线，使其垂直平分图中的某条线段，并说明理由．4．(2018·某某)已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点G，∠BGE＝∠ADE.(1)如图①，求证：AD＝CD；(2)如图②，BH是△ABE的中线，若AE＝2DE，DE＝EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．5．(2018·滨州)已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．(1)如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE＝AF；(2)若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE＝AF吗？请利用图②说明理由．参考答案【基础训练】7．AC ＝BC8．证明： ∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE.在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B＝∠E ∠ACB＝∠DFE，AC ＝DF∴△ABC≌△DEF(AA S )，∴AB＝DE.9．证明：∵AC 平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，在△ABC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠BAC＝∠DAC，AC ＝AC∴△ABC≌△ADC.10．证明：在Rt △ABC 和Rt △DCB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BD ，CB ＝BC ， ∴Rt △ABC≌Rt △DCB(HL )，∴∠OBC＝∠OCB，∴BO＝CO.11．证明： ∵AB∥CD.∴∠A＝∠D.∵EC∥BF.∴∠BHA＝∠CGD.∵AB＝CD ，∴△ABH≌△DCG.∴AH＝DG.∴AG＝DH.12．证明：∵△ABC、△CDE 为等边三角形，∴∠ACB＝∠ECD＝60°，AC ＝BC ，CD ＝CE ，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE 和△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACE＝∠BCD，CE ＝CD ，∴△ACE≌△BCD(S A S )，∴∠CAE＝∠CBD，∵∠AOB＋∠CBD＋∠BPO＝180°，∠BCA ＋∠CAE＋∠APC＝180°，且∠BPO＝∠APC，∴∠AOB＝∠BCA＝60°.13.证明：如解图，连接BD ，AE ，∵FB＝CE ，∴BC＝EF ，又∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABC＝∠DEF，BC ＝EF ，∠ACB＝∠DFE，∴△ABC≌△DEF(A S A)，∴AB＝DE ，又∵AB∥DE，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AD 与BE 互相平分．14．证明：(1)∵AB∥DC，∴∠A＝∠C.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠C，AB ＝CD ，∠B＝∠D，∴△ABE≌△CDF(A S A)；(2)解：∵点E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点，∴EG＝12CD ， ∵EG＝5，∴CD＝10，∵△ABE≌△CDF，∴AB＝CD ＝10.【拔高训练】1．(1)证明：∵AC＝AD ＋DC ，DF ＝DC ＋CF ，且AD ＝CF ，∴AC＝DF ，在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE BC ＝EF ，AC ＝DF∴△ABC≌△DEF(SSS )；(2)解：由(1)可知，∠F＝∠ACB.∵∠A＝55°，∠B＝88°，∴∠ACB＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(55°＋88°)＝37°，∴∠F＝∠ACB＝37°.2．(1)证明：在△AEB 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝DE ∠AEB＝∠DEC，BE ＝EC∴△AEB≌△DEC(S A S )．(2)解：∵△AEB≌△DEC，∴AB＝CD ，∵AB＝5，∴CD＝5.3．解： (1)△ADE 是等腰直角三角形．理由：在等边△ABD 和等边△ACE 中，∵BA＝DA ，CA ＝EA ，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD－∠CAD＝∠CAE－∠CAD.即∠BAC＝∠EAD，∴△ABC≌△A DE.∴BC＝DE ，∠ABC＝∠ADE，∵AB＝BC ＝AD ，∠ABC＝90°，∴AD＝DE ，∠ADE＝90°，即△ADE 是等腰直角三角形．(2)连接CD ，则直线CD 垂直平分线段AE.(或连接BE ，则直线BE 垂直平分线段AC) 理由：由(1)得DA ＝DE.又∵CA＝CE ，∴直线CD 垂直平分线段AE.4．(1)证明：∵∠BGE＝∠ADE，∠BGE＝∠CGF，∴∠ADE＝∠CGF，∵AC⊥BD，BF⊥CD，∴∠ADE＋∠DAE＝∠CGF＋∠GCF，∴∠DAE＝∠GCF，∴AD＝CD.(2)解：△ACD、△ABE、△BCE、△BHG.【解法提示】设DE ＝a ，则AE ＝2DE ＝2a ，EG ＝DE ＝a ，∵S △ADE ＝12AE·DE＝12·2a·a＝a 2， ∵BH 是△ABE 的中线，∴AH＝HE ＝a ，∵AD＝CD ，AC⊥BD，∴CE＝AE ＝2a ，则S △ADC ＝12AC·DE＝12·(2a＋2a)·a＝2a 2＝2S △ADE ； 在△ADE 和△BGE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AE D ＝∠BEG DE ＝GE ，∠ADE＝∠BGE∴△ADE≌△BGE(A S A)，∴BE＝AE ＝2a ，∴S △ABE ＝12AE·BE＝12·2a·2a＝2a 2， S △BCE ＝12CE·BE＝12·2a·2a＝2a 2， S △BHG ＝12HG·BE＝12·(a＋a)·2a＝2a 2， 综上，面积等于△ADE 面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG.5．(1)证明：连接AD ，如解图①所示.第5题解图①∵∠A＝90°，AB ＝AC ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∠EBD＝45°.∵点D 为BC 的中点，∴AD＝12BC ＝BD ，∠FAD＝45°. ∵∠BDE＋∠EDA＝90°，∠EDA＋∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF.在△BDE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD＝∠FAD BD ＝AD ，∠BDE＝∠ADF∴△BDE≌△ADF(A S A)，∴BE＝AF.(2)解：BE ＝AF ，证明如下：连接AD ，如解图②所示.第5题解图②∵∠ABD＝∠BAD＝45°，∴∠EBD＝∠FAD＝135°.∵∠EDB＋∠BDF＝90°，∠BDF＋∠FDA＝90°， ∴∠EDB＝∠FDA.在△EDB 和△FDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD＝∠FADBD ＝AD ∠EDB＝∠FDA，∴△EDB≌△FDA(A S A)，∴BE＝AF.。
福建省中考数学复习 第四章 三角形 第一节 好题随堂演练-人教版初中九年级全册数学试题
第一节好题随堂演练1. (2018·某某改编)下列命题是真命题的是( )A．两直线平行，同位角相等B．相似三角形的面积比等于相似比C．菱形的对角线相等D．相等的两个角是同位角2. (2018·某某)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD.下列说法错误的是( )A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOE＋∠BOD＝90°C．∠AOC＝∠AOE D．∠AOD＋∠BOD＝180°3. (2018·某某)如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是( )A．∠4，∠2 B. ∠2，∠6C. ∠5，∠4D. ∠2，∠44. (2018·滨州)如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是( )A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4C．∠1＋∠3＝180° D. ∠3＋∠4＝180°5.(2018·某某)如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2＝44°，那么∠1的度数是( )A．14° B．15° C．16° D．17°6. (2018·黔南州)若∠α＝35°，则∠α的补角为__________°.7.如图，若∠1＋∠2＝180°，∠3＝110°，则∠4＝__________°.8. (2018·某某)如图，AB∥CD，∠1＝∠2，求证：AM∥.参考答案8．证明：∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠ECD，∵∠1＝∠2，∴∠EAM＝∠E，∴AM∥.。
福建省2020届中考数学总复习：章检测卷四 三角形 (1)
福建省20届中考数学总复习:章检测卷四三角形(时间：60分钟分值：100分)一、选择题(每小题4分，共40分)1．下面长度的三条线段，其中能组成三角形的是(D)A．3，5，10 B．10，4，6C．3，1，1 D．4，6，92．如图，AB∥CD，点E在线段BC上．若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数为(D)第2题图A．50° B．55°C．60° D．70°3．下列线段或直线中，能把三角形的面积分成相等的两部分的是(B)A．三角形的角平分线B．三角形的中线C．三角形的高D．三角形任意一边的垂直平分线4．下列命题中，是假命题的是(B)A．垂线段最短B．相等的角是对顶角C．同旁内角互补，两直线平行D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直5．如图，A，B两点被一座山隔开，M，N分别是AC，BC的中点，测量MN的长为40 m，那么AB的长度为(B)第5题图A．40 m B．80 mC．160 m D．不能确定6．小明在AB＝AC的等腰三角形中，以点B为圆心，BC长为半径画弧交AC于点D，得到如图所示的图形．则下列结论中一定正确的是(D)第6题图A．AD＝CD B．AD＝BDC．∠ABD＝∠CBD D．∠BAD＝∠CBD7．如图，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，则CD＝(D)第7题图A．3 B．4 C．4.8 D．58．如图，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为(D)第8题图A．15° B．30° C．45° D．60°9．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BE，CF分别是AC，AB边上的高，连接EF，则EF∶BC的值为(A)第9题图A．1∶2 B．2∶3 C．1∶4 D．2∶510．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端A到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端C距离地面1.5米，则小巷的宽度为(A)第10题图A．2.7米B．2.5米C．2米D．1.8米二、填空题(每小题4分，共24分)11．将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则α的度数是75° .第11题图第12题图12．在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB.当∠A＝50°时，∠BOC＝115°.13．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC ≌ △BEC(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是 AC＝BC(答案不唯一) ．第13题图第14题图14．如图，AD为△ABC的中线，若△ABC的面积为40，AB＝8，则D点到AB边的距离为 5 . 15．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为90 m结果保留根号)第15题图第16题图16．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP ＝3米，PD＝15米，那么该古城墙的高度CD是 10 米．三、解答题(本大题共4小题，共36分)17．(8分)如图，AB∥CD，E，F分别为AB，CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC，BF相交于点G，H.若AB＝CD，求证：AG＝DH.第17题图证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D.∵CE∥BF，∴∠AHB＝∠DGC.在△ABH和△DCG中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠D，∠AHB＝∠DGC，AB ＝DC ，∴△ABH≌△DCG(AAS)，∴AH＝DG. ∵AH＝AG ＋GH ，DG ＝DH ＋GH ， ∴AG＝DH.18．(8分)如图，△ABC，△ADE 均为等腰直角三角形，点D ，E ，C 在同一条直线上，连接BD.第18题图(1)求证：△ADB≌△AEC； (2)求∠BDC 的度数．(1)证明：∵△ABC，△ADE 均为等腰直角三角形， ∴AD＝AE ，AB ＝AC ，∠DAE＝∠BAC＝90°. ∴∠DAE－∠BAE＝∠BAC－∠BAE， ∴∠DAB＝∠EAC.在△ADB 和△AEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AE ，∠DAB＝∠EAC，AB ＝AC ，∴△ADB≌△AEC(SAS)． (2)解：∵△ADB≌△AEC， ∴∠ADB＝∠AEC.∵△ADE 为等腰直角三角形，∴∠AED＝∠ADE＝45°，∴∠AEC＝180°－∠AED＝180°－45°＝135°， ∴∠AEC＝∠ADB＝135°，∴∠BDC＝∠ADB－∠ADE＝135°－45°＝90°.19．(10分)如图，在△ABC 中，∠ABC＝45°，AD⊥BC 于D ，BE⊥AC 于E ，交AD 于F.第19题图(1)求证：△BDF≌△ADC；(2)若BD ＝4，DC ＝3，求线段BE 的长． (1)证明：∵AD⊥BC，∠ABC＝45°， ∴∠ABC＝∠BAD＝45°，∴AD＝BD.∵DA⊥BC，BE⊥AC，∴∠C＋∠DAC＝90°，∠C＋∠DBE＝90°， ∴∠DAC＝∠DBE，在△BDF 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DBF＝∠DAC，BD ＝AD ，∠FDB＝∠ADC＝90°，∴△BDF≌△ADC(ASA)． (2)解：∵△BDF≌△ADC，∴AD＝BD ＝4，CD ＝DF ＝3，BF ＝AC ， ∴BF＝BD 2＋DF 2＝5， ∴AC＝5.∵S △ABC ＝12BC·AD＝12AC·BE，∴7×4＝5×BE， ∴BE＝285. 20．(10分)如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行并使直角边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上．已知DE ＝0.5米，EF ＝0.25米，且测点D 到地面的距离DG ＝1.5米，到旗杆的水平距离DC ＝25米，求旗杆AB 的高度．第20题图解：∵∠ADC＝∠FDE，∠ACD＝∠FED＝90°， ∴△ACD ∽△FED， ∴AC EF ＝CD DE ，即AC 0.25＝250.5，解得AC ＝12.5. ∵AB⊥BG，DG⊥BG，DC⊥AB， ∴∠ABG＝∠BGD＝∠DCB＝90°， ∴四边形BGDC 是矩形， ∴BC＝DG ＝1.5米，∴AB＝AC ＋BC ＝12.5＋1.5＝14(米)． 答：旗杆AB 的高度是14米．。
福建省中考数学复习 第四章 三角形 第一节 课件
【分析】由已知条件能推出结论的为真命题，反之为假命题． 【自主解答】A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故 A选项正确；B.正三角形不是中心对称图形，故B选项错误； C.线段既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项错误； D.菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项错误．
1. (2017·雅安)下列命题中的真命题是( D )
(2018·泰安)如图，将一张含有30°角的三角形纸片的两个 顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠2＝44°，则∠1的大小 为( A )
A. 14° B. 16° C. 90°－α D. α －44°
考点三 命题的判断 例3(2017·福建)下列关于图形对称性的命题，正确的是 () A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形
①相等的角是对顶角；②矩形的对角线互相平分且相等；
③垂直于半径的直线是圆的切线；④顺次连接四边形各边
中点所得四边形是平行四边形．
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
2. (2018·衡阳)下列命题是假命题的是( C ) A．正五边形的内角和为540° B．矩形的对角线相等 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．圆内接四边形的对角互补
第四章 三角形
考点一 线段的相关计算 例1(2017·福建)已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B 的右侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示，若BC＝ 2AB，则点C表示的数是 ．
【分析】根据BC＝2AB，且点C在B的右侧，以及A、B所表示 的数可求得点C表示的数． 【自主解答】根据BC＝2AB，点C在B的右侧，点A、B表示的 数分别是1，3，可得AB＝2，则BC＝4，即可求得点C表示的 数是7.
2020中考数学一轮新优化复习 第一部分 第四章 三角形 第20讲 相似三角形真题精选
第一部分 第四章 第20讲命题点1 相似三角形的判定与性质(2018年6考，2017年5考，2016年桂林考)1．(2018·玉林6题3分)两三角形的相似比是2∶3，则其面积之比是( C ) A ．2∶ 3 B ．2∶3 C ．4∶9D ．8∶272．(2018·贵港10题3分)如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，AB ＝3AE .若S 四边形BCFE ＝16，则S △ABC ＝( B )A ．16B ．18C ．20D ．243．(2018·梧州11题3分)如图，AG ∶GD ＝4∶1，BD ∶DC ＝2∶3，则AE ∶EC 的值是( D )A ．3∶2B ．4∶3C ．6∶5D ．8∶54．(2016·贵港12题3分)如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，CE 平分∠BCD 交AB 于点E ，交BD 于点F ，且∠ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE .下列结论：①∠ACD ＝30°；②S □ABCD ＝AC ·BC ；③OE ∶AC ＝3∶6；④S △OCF ＝2S △OEF .成立的个数有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．(2018·桂林12题3分)如图，在平面直角坐标系中，M ，N ，C 三点的坐标分别为(12，1)，(3,1)，(3,0)，点A 为线段MN 上的一个动点，连接AC ，过点A 作AB ⊥AC 交y 轴于点B ，当点A 从M 运动到N 时，点B 随之运动．设点B 的坐标为(0，b )，则b 的取值范围是( B )A ．－14≤b ≤1B ．－54≤b ≤1C ．－94≤b ≤12D ．－94≤b ≤16．(2018·河池14题3分)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD AB ＝13，DE ＝2，则BC 的长为__6__.7．(2016·桂林17题3分)如图，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，CD ＝1，CH ⊥BD 于H ，点O 是AB 中点，连接OH ，则OH ＝58．(2018·梧州18题3分)如图，点C 为Rt △ACB 与Rt △DCE 的公共点，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，连接AD ，BE ，过点C 作CF ⊥AD 于点F ，延长FC 交BE 于点G .若AC ＝BC ＝25，CE ＝15，DC ＝20，则EG BG 的值为__34__.9．(2016·梧州25题10分)在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，H 为BE 上的一点，EH BH＝3，连接CH 并延长交AB 于点G ，连接GE 并延长交AD 的延长线于点F .(1)求证：EC BG ＝EH BH；(2)若∠CGF ＝90°，求AB BC的值． (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴CD ∥AB ，AD ＝BC ，AB ＝CD ，AD ∥BC ， ∴△CEH ∽△GBH ，∴EC BG ＝EH BH.(2)解：作EM ⊥AB 于点M ，如答图所示，第9题答图则EM ＝BC ＝AD ，AM ＝DE ， ∵E 为CD 的中点，∴DE ＝CE ，设DE ＝CE ＝3a ，则AB ＝CD ＝6a ， 由(1)得EC BG ＝EHBH＝3，∴BG ＝13CE ＝a ，∴AG ＝5a .∵∠EDF ＝90°＝∠EGC ，∠DEF ＝∠GEC ， ∴△DEF ∽△GEC ，∴DE GE ＝EF EC， 即EG ·EF ＝DE ·EC .∵CD ∥AB ，∴EF FG ＝DE AG ＝35，∴EF EG ＝32，∴EF ＝32EG ，∴EG ·32EG ＝3a ·3a ，解得EG ＝6a .在Rt △EMG 中，GM ＝2a ， ∴EM ＝EG 2－GM 2＝2a ，∴ABBC＝6a 2a＝3 2.命题点2 相似三角形的应用(2018年贵港考)10．(2018·贵港26题10分)已知：A ，B 两点在直线l 的同一侧，线段AO ，BM 均是直线l 的垂线段，且BM 在AO 的右边，AO ＝2BM ，将BM 沿直线l 向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP ＝90°不变，BP 边与直线l 相交于点P .(1)当P 与O 重合时(如图2所示)，设点C 是AO 的中点，连接BC .求证：四边形OCBM 是正方形； (2)请利用如图1所示的情形，求证：AB PB ＝OM BM；(3)若AO ＝26，且当MO ＝2PO 时，请直接写出AB 和PB 的长．第10题图解：(1)∵2BM ＝AO,2CO ＝AO ，∴BM ＝CO . ∵AO ⊥OM ，BM ⊥OM ，∴AO ∥BM ， ∴四边形OCBM 是平行四边形．∵∠BMO ＝90°，∴四边形OCBM 是矩形． ∵∠ABP ＝90°，点C 是AO 的中点，∴OC ＝BC ， ∴四边形OCBM 是正方形．第10题答图1(2)如答图1，连接AP ，OB ，∵∠ABP ＝∠AOP ＝90°，∴A ，B ，O ，P 四点共圆， 由圆周角定理可知∠APB ＝∠AOB ， ∵AO ∥BM ，∴∠AOB ＝∠OBM ，∴∠APB ＝∠OBM ， ∴△APB ∽△OBM ，∴AB PB ＝OM BM.(3)分两种情况：①当点P 在点O 的左侧时，如答图2所示．过点B 作BD ⊥AO 于点D . 设PO ＝x ，则BD ＝MO ＝2x ，PM ＝PO ＋MO ＝3x . ∵∠AOM ＝∠ABO ＝90°，∴A ，O ，P ，B 四点共圆， ∴∠BPM ＝∠A ，∴△ABD ∽△PBM ， ∴AD PM ＝BD BM，即63x＝2x 6，解得x ＝1(负值已舍去)， ∴AB ＝AD 2＋BD 2＝62＋x2＝6＋4＝10，PB ＝PM 2＋BM 2＝x2＋62＝9＋6＝15.②当点P 在点O 的右侧时，如答图3所示， 过点B 作BD ⊥OA 于点D ， ∵MO ＝2PO ， ∴点P 是OM 的中点， 设PM ＝x ，则BD ＝2x . ∵∠AOM ＝∠ABP ＝90°， ∴A ，O ，P ，B 四点共圆， ∴四边形AOPB 是圆内接四边形，∴∠BPM ＝∠A ，∴△ABD ∽△PBM ，∴AD BD ＝PM BM， 又易证四边形ODBM 是矩形，AO ＝2BM ， ∴AD ＝BM ＝6， ∴62x ＝x6，解得x ＝3，∴BD ＝2x ＝23，∴AB ＝AD 2＋DB 2＝32，PB ＝BM 2＋PM 2＝3.综上所述，AB ＝10，PB ＝15，或AB ＝32，PB ＝3.第10题答图2命题点3 位似(2018年百色考，2017年柳州考，2016年2考)11．(2018·百色17题3分)如图，已知△ABC 与△A ′B ′C ′是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，且OAOA ′＝12.若点A (－1,0)，点C (12，1)，则A ′C ′＝12.(2016·柳州21题6分)如图，以原点O 为位似中心，把△OAB 放大后得到△OCD ，求△OAB 与△OCD 的相似比．解：∵点B 的坐标是(4,0)，点D 的坐标是(6,0)， ∴OB ＝4，OD ＝6，∴OB OD ＝46＝23. ∵△OAB 与△OCD 关于点O 位似， ∴△OAB 与△OCD 的相似比为2∶3.。
福建省中考数学总复习 第四单元 三角形 课时训练24 相似三角形的应用练习-人教版初中九年级全册数学
课时训练24 相似三角形的应用限时：30分钟夯实基础1．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中较小多边形的周长为36 cm，则较大多边形的周长为()A．48 cmB．54 cmC．56 cmD．64 cm2．[2018·滨州]在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，8)，B(10，2)．若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的1后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为()2A．(5，1)B．(4，3)C．(3，4)D．(1，5)3．如图K24－1，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是()图K24－14．如图K24－2，一X矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD 相似，则a∶b＝()图K24－2A．2∶1B．√2∶1C．3∶√3D．3∶25．[2017·某某]如图K24－3，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1．△AOB与△A'OB'是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3∶2，点A，B都在格点上，则点B'的坐标是．图K24－36．如图K24－4，已知零件的外径为30 mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)测量零件的内孔直径AB．若OC∶OA＝1∶2，且量得CD＝12 mm，则零件的厚度x＝mm．图K24－47．如图K24－5，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的每个顶点都在格点上，延长DC与过点B的水平网格线交于点E，则线段CE的长为．图K24－58．[2017·凉山州]如图K24－6，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米(结果保留根号)？图K24－6能力提升9．[2017·某某]如图K24－7，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE＝BC＝0．5米，A，B，C三点共线)，把一面镜子水平放置在台阶上的点G处，测得CG＝15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝3米，小明身高EF＝1．6米，则凉亭的高度AB约为()图K24－7A．8．5米B．9米C．8米D．10米10．[2018·某某]如图K24－8，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，CD与BE，AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP·MD＝MA·ME；③2CB2＝CP·CM．其中正确的是()图K24－8A．①②③B．①C．①②D．②③11．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，把它加工成正方形零件如图K24－9①，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．(1)求证：△AEF∽△ABC；(2)求这个正方形零件的边长；(3)如果把它加工成矩形零件，如图②，问这个矩形的最大面积是多少？图K24－9拓展练习12．如图K24－10①，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图②，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N．若AD＝2，则MN＝．图K24－1013．[2018·眉山]如图K24－11①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB＝AC＝BD，点M为BC中点，N为线段AM 上的点，且MB＝MN．(1)求证：BN平分∠ABE；(2)若BD＝1，连接DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；(3)如图②，若点F为AB的中点，连接FN，FM，求证：△MFN∽△BDC．图K24－11参考答案1．A2．C[解析] 根据题意得点C 的坐标为6×12，8×12，即C (3，4)． 3．B4．B5．(－2，43)[解析] 由题意，将点B 的横、纵坐标都乘−23得点B'的坐标．∵B 的坐标为(3，－2)，∴B'的坐标为(－2，43)．6．37．√528．解：如图，延长OC ，AB 交于点P ． ∵∠ABC ＝120°，∴∠PBC ＝60°． ∵∠OCB ＝∠A ＝90°，∴∠P ＝30°．∵AD ＝20，∴OA ＝12AD ＝10．∵BC ＝2，∴在Rt △CPB 中，PC ＝BC ·tan60°＝2√3，PB ＝2BC ＝4． ∵∠P ＝∠P ，∠PCB ＝∠A ，∴△PCB ∽△PAO ，∴PPPP ＝PPPP ，∴PA ＝PP ·PP PP ＝2√3×102＝10√3，∴AB ＝PA －PB ＝10√3−4． 答：路灯的灯柱AB 高应该设计为(10√3−4)米．9．A[解析] 由光线反射可知∠FGE＝∠AGC，又∵∠FEG＝∠ACG＝90°，∴△FEG∽△ACG，∴FE∶AC＝EG∶CG，∴1．6∶AC＝3∶15，∴AC＝8，∴AB＝AC＋BC＝8．5．10．A[解析] 由题意可知AC＝√2AB，AD＝√2AE，∴PPPP ＝PPPP，∵∠BAC＝∠EAD，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，所以①正确;∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，∵∠PME＝∠AMD，∴△PME∽△AMD，∴PPPP ＝PPPP，∴MP·MD＝MA·ME，所以②正确;∵∠BEA＝∠CDA，∴P，E，D，A四点共圆，∴∠APD＝∠AED＝90°，∵∠CAE＝180°－∠BAC－∠EAD＝90°，∴△CAP∽△CMA，∴AC2＝CP·CM，∵AC＝√2AB＝√2CB，∴2CB2＝CP·CM，所以③正确．故选A．11．解：(1)证明：∵四边形EGHF为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC．(2)设正方形零件的边长为a，在正方形EFHG中，EF∥BC．∵AD⊥BC，∴AK⊥EF．∵△AEF∽△ABC，∴P120＝80－P80，解得a＝48，∴正方形零件的边长为48 mm．(3)设EG ＝x ，矩形EGHF 的面积为y ， ∵△AEF ∽△ABC ，∴PP 120＝80－P 80，∴EF ＝32(80－x )，∴y ＝32(80－x )·x ＝−32(x －40)2＋2400，∴当x ＝40时，y 最大，且最大值为2400， ∴矩形EGHF 的最大面积为2400 mm 2．12．13[解析] 由折叠可知：DE ＝1，HC ＝EH ，EM ＝BC ， 设EH ＝HC ＝x ，则DH ＝2－x ，在Rt △DEH 中，∵EH 2＝DE 2＋DH 2，∴x 2＝12＋(2－x )2，解得x ＝54，DH ＝2−54＝34，∵∠A ＝∠NEH ＝∠D ＝90°，∴∠AEN ＋∠DEH ＝∠DEH ＋∠EHD ＝90°， ∴∠AEN ＝∠EHD ，∴△NEA ∽△EHD ，∴PP PP ＝PP PP ，∴PP 1＝5434，∴EN ＝53，∴MN ＝EM －EN ＝BC －EN ＝2−53＝13，故填13．13．[解析] (1)利用等腰三角形的三线合一性质可以得到∠CAM ＝∠BAM ，AM ⊥BC ，由MN ＝MB 可得∠MNB ＝ ∠MBN ，再根据角的和差关系及外角性质即可证得．(2)利用(1)中的结论可证得AN ＝DN ，再依据平行四边形性质，等量代换可得BC ＝AN ，在Rt △AMB 中用勾股定理可求得BM 的长，即可求得BC 的长．(3)根据中位线的性质及线段的比例关系可以证得PPPP ＝PPPP ，再依据中位线的平行关系和已知垂直关系，证明∠NMF ＝∠CBD ，从而证明△MFN ∽△BDC ．解：(1)证明：∵AB ＝AC ，M 为BC 中点，∴AM ⊥BC ，∠CAM ＝∠BAM ，又∵AC ⊥BD ，∴∠CAM ＝∠CBE ． 即∠MAB ＝∠CBE ．∵MB ＝MN ，∴∠MNB ＝∠MBN ，∵∠MNB ＝∠MAB ＋∠NBA ，∠MBN ＝∠CBD ＋∠DBN ， ∴∠DBN ＝∠NBA ，即BN 平分∠ABE ．(2)在△ABN 与△DBN 中，{PP ＝PP ，∠PPP ＝∠PPP ，PP ＝PP ，∴△ABN ≌△DBN ，∴DN ＝AN ．∵四边形DNBC 为平行四边形，∴BC ＝DN ，∴AN ＝BC ．在Rt △AMB 中，设BM ＝x ，则MN ＝x ，AN ＝2x ，则x 2＋(3x )2＝12，解得：x ＝√1010(负值舍去)， ∴BC ＝√105． (3)证明：∵点F ，M 分别是AB ，BC 的中点，∴FM ∥AC ，FM ＝12AC ．∵AC ＝BD ，∴FM ＝12BD ，即PP PP ＝12．∵△BMN 是等腰直角三角形， ∴NM ＝BM ＝12BC ，即PP PP ＝12， ∴PP PP ＝PP PP．∵AM ⊥BC ，∴∠NMF ＋∠FMB ＝90°． ∵FM ∥AC ，∴∠ACB ＝∠FMB ．∵∠CEB ＝90°，∴∠ACB ＋∠CBD ＝90°．∴∠CBD＋∠FMB＝90°，∴∠NMF＝∠CBD．∴△MFN∽△BDC．。
2020年福建中考数学一轮复习：三角形【知识点 练习】
三角形1、线⎧⎪⎨⎪⎩概念：三角形顶点与对边中点的连线中线几何语言性质：中线将三角形的面积一分为二()()+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩概念画法几何语言角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等几何语言判定定理：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上几何语言⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩概念几何语言垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直性质2：垂线段最短()()+⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩概念画法几何语言线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等几何语言逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上几何语言()⎧⎪⎨⎪⎩概念三角形中位线几何语言性质定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半几何语言⎧⎫⇒⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎪⎪⎪⎪⎪⇒⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎭⎩同位角相等性质定理内错角相等同旁内角互补同位角相等平行线几何语言内错角相等同旁内角互补判定定理平行于同一直线的两条直线在同一平面内平行在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行2、三角形角：周角、平角、余角、补角相交线：两点确定一条直线，两点之间线段最短三角形全等的判定定理：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL()()4560⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩o o 等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合三线合一性质：等腰直角三角形的两个底角相等且等于等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角）等腰三角形的三边/三角关系等腰三角形如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等等角对等边三个角都相等的三角形是等边三角形判定：等边三角形判定有一个角是的等腰三角形是等边三角形直⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩o 角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半30⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩o 直角三角形的两个锐角互余直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半直角三角形勾股定理如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形为直角三角形判定：勾股定理逆定理解直角三角形掌握sin 、cos 、tan 的概念及常见的三角函数值⎧⎨⎩三角形三边关系定理及推论三角形内角和定理及推论练习题1.若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（）A.6B.3C.2D.112.在ΔABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，则∠A的度数为（）A.100°B.80°C.60°D.40°3.如图，将两个大小、形状完全相同的ΔABC和ΔA'B‘C‘拼在一起，其中点A‘和点A重合，点C‘落在边AB上，连接B‘C。
2024年福建省中考数学一轮知识点++训练复习+课件++4.8 锐角三角形
9.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，以点A为圆心，
BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为
半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值
是 .
10.在直角△ABC中，∠C＝90°，＋＝，∠C的角平分线
交AB于点D，且CD＝2，斜边AB的值是 3 .
3
（1）＋cos 45° cos 30°；
解：（1）原式＝＝－＝0；
11.计算：
（2）－sin 60°（1－sin 30°）；
（2）原式＝；
（3）－ －tan 45°.
（3）原式＝－（－1）－1＝.
12.如图，在△ABC中，O是角平分线AD、BE的交点.若AB＝AC
形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形；
（2）当AB＝5，tan ∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF时，求BD
的长.
解：（2）在Rt△ABE中，tan ∠ABE＝，设AE＝3a，则BE＝4a，由勾股定理得：（3a）2＋（4a）2＝52，解
则cos B＝ .
5.已知∠A是△ABC的内角，且cos＝，则tan A
＝ .6.（2022·绥化）定义一种运算：
sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β，sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin β.例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°＋30°）＝×＋×
线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且AE＝2BF，
连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH.如图，
已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD
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第一部分 第四章 课时18
命题点 全等三角形的判定与性质
1．(2017·福建)如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BE ＝CF .求证：∠A ＝∠D .
证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋CE ＝CF ＋CE ，即BC ＝EF .
在△ABC 和△DEF 中，
⎩⎪⎨⎪⎧ AB ＝DE ，AC ＝DF ，
BC ＝EF ，
∴△ABC ≌△DEF (SSS)，∴∠A ＝∠D .
拓展训练
2．(2019·福州质检)如图，已知∠1＝∠2，∠B ＝∠D .
求证：CB ＝CD .
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠ACB ＝∠ACD .
在△ACB 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠B ＝∠D ，∠ACB ＝∠ACD ，
AC ＝AC ，
∴△ACB ≌△ACD (AAS)，∴CB ＝CD .
3．(2019·泉州质检)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BE ⊥AC 于点E ，CD ⊥AB 于点D . 求证：BD ＝CE .
证明：证法一：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴∠BDC ＝∠CEB ＝90°.
∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB .
在△BCD 和△CBE 中，
⎩⎪⎨⎪⎧ ∠BDC ＝∠CEB ，∠DBC ＝∠ECB ，
BC ＝CB ，
∴△BCD ≌△CBE (AAS)，∴BD ＝CE .
证法二：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，
∴∠ADC ＝∠AEB ＝90°.
在△ADC 和△AEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠ADC ＝∠AEB ，∠A ＝∠A ，
AC ＝AB ，
∴△ADC ≌△AEB (AAS)，∴AD ＝AE ，
∴AB －AD ＝AC －AE ，即BD ＝CE .
4．(2019·漳州质检)求证：等腰三角形两底角的平分线相等．(要求：画出图形，写出已知、求证，并给予证明)
解：画图如答图．
已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ，CE 都是△ABC 的角平分线．
求证：BD ＝CE .
证明：证法一：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB .
∵BD ，CE 都是△ABC 的角平分线，
∴∠1＝12∠ABC ，∠2＝12
∠ACB ，∴∠1＝∠2. 在△BCD 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠1＝∠2，BC ＝CB ，
∠DCB ＝∠EBC ，
∴△BCD ≌△CBE (ASA)，∴BD ＝CE .
证法二：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB .
∵BD ，CE 都是△ABC 的角平分线，
∴∠3＝12∠ABC ，∠4＝12
∠ACB ，∴∠3＝∠4. 在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠3＝∠4，AB ＝AC ，
∠A ＝∠A ，
∴△ABD ≌△ACE (ASA)，∴BD ＝CE .。