2012年高考真题——数学理(上海卷)word版有答案

2012年高考真题——数学理(全国卷新课标版)word版含答案

绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合；,则中所含元素的个数为（）3 8【解】选（2）将2名教师，名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）种种 9种 8种【解】选（3）下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（）的共轭复数为的虚部为【解】选C（4）设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（）【解】选C（5）已知为等比数列，，，则（）7 5 【解】选（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数和实数，输出，则（）为的和2A B+为的算术平均数和分别是中最大的数和最小的数和分别是中最小的数和最大的数【解】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）【解】选（8）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线的准线交于两点，；则C的实轴长为（）【解】选C（9）已知，函数在上单调递减。

则的取值范围是（）15 [,] 2413 [,] 24【解】选（10）已知函数；则的图像大致为（）【解】选（11）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（）【解】选（12）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（）【解】选第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(上海卷)

上海数学(理工农医类)1.(2012上海,理1)计算:3i 1i-+= (i 为虚数单位).1-2i 3i 1i -+=(3i)(1i)(1i)(1i)--+-=233i i i 2--+=1-2i .2.(2012上海,理2)若集合A ={x |2x +1>0},B ={x ||x -1|<2},则A ∩B = .1|x 32x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ A ={x |2x +1>0}=1|2x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭,B ={x ||x -1|<2}={x |-1<x <3},∴A ∩B =1|x 32x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 3.(2012上海,理3)函数f (x )=2sin 1cosx x - 的值域是 .53,-22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ f (x )=2×(-1)-sin x cos x =-2-sin22x ,∵sin 2x ∈[-1,1],∴f (x )∈53,-22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.4.(2012上海,理4)若n =(-2,1)是直线l 的一个法向量,则l 的倾斜角的大小为 (结果用反三角函数值表示).arctan 2 ∵n =(-2,1)是直线l 的一个法向量,∴v =(1,2)是直线l 的一个方向向量,∴l 的斜率为2,即倾斜角的大小为arctan 2.5.(2012上海,理5)在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中,常数项等于 .-160 62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为36C ·(x )3·32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-160. 6.(2012上海,理6)有一列正方体,棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列,体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…,则lim n →∞(V 1+V 2+…+V n )= .87 棱长是以1为首项、12为公比的等比数列,则体积V 1,V 2,…,V n是以1为首项、18为公比的等比数列,所以V 1+V 2+…+V n =111818n ⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=87·118n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦, ∴lim n →∞(V 1+V 2+…+V n )=87. 7.(2012上海,理7)已知函数f (x )=e |x -a |(a 为常数),若f (x )在区间[1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是 .(-∞,1] f (x )=e ,x a,e ,x a,x a a x--⎧>⎨<⎩当x >a 时f (x )单调递增,当x <a 时,f (x )单调递减,又f (x )在[1,+∞)上是增函数,所以a ≤1. 8.(2012上海,理8)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为.如图,由题意知12πl 2=2π, ∴l =2.又展开图为半圆,∴πl =2πr ,∴r =1,体积V =13πr 2h9.(2012上海,理9)已知y =f (x )+x 2是奇函数,且f (1)=1.若g (x )=f (x )+2,则g (-1)= . -1 令H (x )=f (x )+x 2,则H (1)+H (-1)=f (-1)+1+f (1)+1=0,∴f (-1)=-3,∴g (-1)=f (-1)+2=-1.10.(2012上海,理10)如图,在极坐标系中,过点M (2,0)的直线l 与极轴的夹角α=π6.若将l 的极坐标方程写成ρ=f (θ)的形式,则f (θ)=.1πsin θ6⎛⎫- ⎪⎝⎭ 如图所示,根据正弦定理,有5πsin 6ρ=25πsin π6θ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,∴ρ=1πsin θ6⎛⎫- ⎪⎝⎭.11.(2012上海,理11)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示).23若每人都选择两个项目,共有不同的选法222333C C C =27种,而有两人选择的项目完全相同的选法有222332C C A =18种,故填23.12.(2012上海,理12)在平行四边形ABCD 中,∠A =π3,边AB ,AD 的长分别为2,1.若M ,N 分别是边BC ,CD 上的点,且满足||||BM BC =||||CN CD ,则AM ·AN 的取值范围是 . [2,5] 如图,设||||BM BC =||||CN CD =λ, 则λ∈[0,1],AM ·AN =(AB +BM )·(AD +DN )=(AB +λBC )·(AD +(λ-1)CD )=AB·AD +(λ-1)AB ·CD +λBC ·AD +λ(λ-1)BC ·CD=1×2×12+(λ-1)×(-4)+λ×1+λ(λ-1)×(-1)=1+4-4λ+λ-λ2+λ=-(λ+1)2+6.∵λ∈[0,1],∴AM ·AN∈[2,5].13.(2012上海,理13)已知函数y =f (x )的图像是折线段ABC ,其中A (0,0),B 1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭,C (1,0).函数y =xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为 .54由题意f (x )=110,0,211010,x 1,2x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩则xf (x )=22110,0x ,211010x,x 1.2x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩∴xf (x )与x 轴围成图形的面积为12⎰10x 2d x +112⎰(-10x 2+10x )d x =103x 3120|+23112105|3x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=103×18+1053⎛⎫- ⎪⎝⎭-5101438⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭=54.14.(2012上海,理14)如图,AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱,BC =2.若AD =2c ,且AB +BD =AC +CD =2a ,其中a ,c 为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是.23如图: 当AB =BD =AC =CD =a 时, 该棱锥的体积最大. 作AM ⊥BC ,连接DM ,则BC ⊥平面ADM ,AMDM 又AD =2c ,∴S△ADM =∴V D -ABC =V B -ADM +V C-ADM =2315.(2012上海,理15)若1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c =0的一个复数根,则( ). A .b =2,c =3 B .b =-2,c =3 C .b =-2,c =-1D .b =2,c =-1B 由题意知b 2-4c <0,则该方程的复数根为=1.∴b =-2,c =3.16.(2012上海,理16)在△ABC 中,若sin 2A +sin 2B <sin 2C ,则△ABC 的形状是( ). A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .不能确定 C 由正弦定理可知a 2+b 2<c 2,从而cos C =2222a b c ab+-<0,∴C 为钝角,故该三角形为钝角三角形.17.(2012上海,理17)设10≤x 1<x 2<x 3<x 4≤104,x 5=105.随机变量ξ1取值x 1,x 2,x 3,x 4,x 5的概率均为0.2,随机变量ξ2取值122x x +,232x x +,342x x +,452x x +,512x x +的概率也均为0.2.若记D ξ1,D ξ2分别为ξ1,ξ2的方差,则( ).A .D ξ1>D ξ2B .D ξ1=D ξ2C .D ξ1<D ξ2D .D ξ1与D ξ2的大小关系与x 1,x 2,x 3,x 4的取值有关A18.(2012上海,理18)设a n =1n sin π25n ,S n =a 1+a 2+…+a n .在S 1,S 2,…,S 100中,正数的个数是( ). A .25B .50C .75D .100D ∵a n =1n sin 25n π,∴当n ≤24时,a n 均大于0,a 25=0, ∴可知S 1,S 2,…,S 25均大于0.又a 26=126sin 2625π=-126sin π25=-126a 1,∴S 26=2526a 1+a 2+…+a 25>0,而a 27=127sin 2725π=-127sin 225π=-227a 2,∴a 27+a 2>0.同理可得a 28+a 3>0,…,a 49+a 24>0,而a 51到a 74均为正项,a 75=0,a 76到a 99均为负项,且|a 76|<a 51,|a 77|<a 52,…,|a 99|<a 74,a 100=0, 故{S n }中前100项均为正数.19.(2012上海,理19)如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥底面ABCD ,E 是PC 的中点.已知AB =2,AD =PA =2.求: (1)三角形PCD 的面积;(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小. 解:(1)因为PA ⊥底面ABCD ,所以PA ⊥CD .又AD ⊥CD ,所以CD ⊥平面PAD .从而CD ⊥PD .因为PDCD =2, 所以三角形PCD 的面积为12×2×(2)解法一:如图所示,建立空间直角坐标系,则B (2,0,0),C (2,0),E (11). AE =(11),BC =(0,0). 设AE 与BC 的夹角为θ,则cos θ=·||||AE BC AE BCθ=π4.由此知,异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.解法二:取PB 中点F ,连接EF ,AF,则EF ∥BC ,从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角. 在△AEF 中,由EFAFAE =2, 知△AEF 是等腰直角三角形. 所以∠AEF =π4.因此,异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.20.(2012上海,理20)已知函数f (x )=lg (x +1). (1)若0<f (1-2x )-f (x )<1,求x 的取值范围;(2)若g (x )是以2为周期的偶函数,且当0≤x ≤1时,有g (x )=f (x ),求函数y =g (x )(x ∈[1,2])的反函数.解:(1)由220,10x x ->⎧⎨+>⎩得-1<x <1.由0<lg (2-2x )-lg (x +1)=lg 221x x -+<1,得1<221x x -+<10.因为x +1>0,所以x +1<2-2x <10x +10,-23<x <13.由11,21x 33x -<<⎧⎪⎨-<<⎪⎩得-23<x <13.(2)当x ∈[1,2]时,2-x ∈[0,1],因此y =g (x )=g (x -2)=g (2-x )=f (2-x )=lg (3-x ). 由单调性可得y ∈[0,lg 2].因为x =3-10y ,所以所求反函数是y =3-10x ,x ∈[0,lg 2].21.(2012上海,理21)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处,如图.现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线y =1249x 2;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发t 小时后,失事船所在位置的横坐标为7t .(1)当t =0.5时,写出失事船所在位置P 的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向; (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?解:(1)t =0.5时,P 的横坐标x P =7t =72,代入抛物线方程y =1249x 2,得P 的纵坐标y P =3.由|AP/时.由tan ∠OAP =730,得∠OAP =arctan 730,故救援船速度的方向为北偏东arctan 730弧度.(2)设救援船的时速为v 海里,经过t 小时追上失事船,此时位置为(7t ,12t 2). 由vt整理得v 2=144221t t ⎛⎫+⎪⎝⎭+337. 因为t 2+21t ≥2,当且仅当t =1时等号成立.所以v 2≥144×2+337=252,即v ≥25.因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.22.(2012上海,理22)在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C 1:2x 2-y 2=1.(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积; (2)设斜率为1的直线l 交C 1于P ,Q 两点.若l 与圆x 2+y 2=1相切,求证:OP ⊥OQ ;(3)设椭圆C 2:4x 2+y 2=1.若M ,N 分别是C 1,C 2上的动点,且OM ⊥ON ,求证:O 到直线MN 的距离是定值.解:(1)双曲线C 1:22x -y 2=1,左顶点A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,渐近线方程:y.过点A 与渐近线y平行的直线方程为yx ⎭,即y+1.解方程组1y y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得1.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以所求三角形的面积为S =12|OA ||y(2)设直线PQ 的方程是y =x +b .因直线PQ 与已知圆相切,1,即b 2=2.由22,21y x b x y =+⎧⎨-=⎩得x 2-2bx -b 2-1=0. 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则122122b,1.x x x x b +=⎧⎨=--⎩又y 1y 2=(x 1+b )(x 2+b ),所以OP ·OQ=x 1x 2+y 1y 2=2x 1x 2+b (x 1+x 2)+b 2=2(-1-b 2)+2b 2+b 2=b 2-2=0. 故OP ⊥OQ .(3)当直线ON 垂直于x 轴时,|ON |=1,|OM则O 到直线MN当直线ON 不垂直于x 轴时,设直线ON 的方程为y =kx (显然|k则直线OM 的方程为y =-1kx .由22,41y kx x y =⎧⎨+=⎩得222221,4,4x k ky k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 所以|ON |2=2214k k ++.同理|OM |2=22121k k +-.设O 到直线MN 的距离为d ,因为(|OM |2+|ON |2)d 2=|OM |2|ON |2,所以21d =21||OM +21||ON =22331k k ++=3,即d综上,O 到直线MN 的距离是定值.23.(2012上海,理23)对于数集X ={-1,x 1,x 2,…,x n },其中0<x 1<x 2<…<x n ,n ≥2,定义向量集Y ={a |a =(s ,t ),s ∈X ,t ∈X }.若对任意a 1∈Y ,存在a 2∈Y ,使得a 1·a 2=0,则称X 具有性质P .例如{-1,1,2}具有性质P .(1)若x >2,且{-1,1,2,x }具有性质P ,求x 的值; (2)若X 具有性质P ,求证:1∈X ,且当x n >1时,x 1=1;(3)若X 具有性质P ,且x 1=1,x 2=q (q 为常数),求有穷数列x 1,x 2,…,x n 的通项公式. 解:(1)选取a 1=(x ,2),Y 中与a 1垂直的元素必有形式(-1,b ).所以x =2b ,从而x =4.(2)证明:取a 1=(x 1,x 1)∈Y . 设a 2=(s ,t )∈Y 满足a 1·a 2=0. 由(s +t )x 1=0得s +t =0,所以s ,t 异号. 因为-1是X 中唯一的负数,所以s ,t 之中一为-1,另一为1,故1∈X . 假设x k =1,其中1<k <n ,则0<x 1<1<x n .选取a 1=(x 1,x n )∈Y ,并设a 2=(s ,t )∈Y 满足a 1·a 2=0,即sx 1+tx n =0, 则s ,t 异号,从而s ,t 之中恰有一个为-1. 若s =-1,则x 1=tx n >t ≥x 1,矛盾; 若t =-1,则x n =sx 1<s ≤x n ,矛盾. 所以x 1=1.(3)解法一:猜测x i =q i -1,i =1,2,…,n . 记A k ={-1,1,x 2,…,x k },k =2,3,…,n .先证明:若A k +1具有性质P ,则A k 也具有性质P .任取a 1=(s ,t ),s ,t ∈A k ,当s ,t 中出现-1时,显然有a 2满足a 1·a 2=0; 当s ≠-1且t ≠-1时,则s ,t ≥1.因为A k +1具有性质P ,所以有a 2=(s 1,t 1),s 1,t 1∈A k +1,使得a 1·a 2=0,从而s 1和t 1中有一个是-1,不妨设s 1=-1. 假设t 1∈A k +1且t 1∉A k ,则t 1=x k +1.由(s ,t )·(-1,x k +1)=0,得s =tx k +1≥x k +1,与s ∈A k 矛盾. 所以t 1∈A k ,从而A k 也具有性质P . 现用数学归纳法证明:x i =q i -1,i =1,2,…,n . 当n =2时,结论显然成立;假设n =k 时, A k ={-1,1,x 2,…,x k }有性质P , 则x i =q i -1,i =1,2,…,k ;当n =k +1时,若A k +1={-1,1,x 2,…,x k ,x k +1}有性质P ,则A k ={-1,1,x 2,…,x k }也有性质P , 所以A k +1={-1,1,q ,…,q k -1,x k +1}.取a 1=(x k +1,q ),并设a 2=(s ,t )满足a 1·a 2=0.由此可得s =-1或t =-1. 若t =-1,则x k +1=q s≤q ,不可能;所以s =-1,x k +1=qt ≤q k 且x k +1>q k -1, 所以x k +1=q k .综上所述,x i =q i -1,i =1,2,…,n . 解法二:设a 1=(s 1,t 1),a 2=(s 2,t 2), 则a 1·a 2=0等价于11s t =-22t s .记B =,,||||s s X t X s t t ⎧⎫∈∈>⎨⎬⎩⎭,则数集X 具有性质P ,当且仅当数集B 关于原点对称.注意到-1是X 中的唯一负数,B ∩(-∞,0)={-x 2,-x 3,…,-x n }共有n -1个数,所以B ∩(0,+∞)也只有n -1个数. 由于1n n x x -<2n n x x -<…<2n x x <1n x x ,已有n -1个数,对以下三角数阵1n n x x -<2n n x x -<…<2n x x <1n x x 12n n x x --<13n n x x --<…<11n x x - ……21x x注意到1n x x >11n x x ->…>21x x ,所以1n n x x -=12n n x x --=…=21x x ,从而数列的通项为x k =x 1121k x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=q k -1,k =1,2,…,n .。

2012年理数高考试题答案及解析-上海-(5444)

2012上海高考数学试题（理科）答案与解析一．填空题1．计算：3-i =1+i（i 为虚数单位）.【答案】1-2i【解析】3-i (3-i)(1-i)2-4i ===1-2i 1+i(1+i)(1-i)2.【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可.2．若集合}012|{x x A ，}2|1||{x x B，则BA.【答案】3,21【解析】根据集合 A 210x ，解得12x，由12,,13x x 得到，所以3,21BA .【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式的解法.解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴或韦恩图解决.3．函数1sin cos 2)( x x x f 的值域是.【答案】23,25【解析】根据题目22sin 212cos sin )(x x x x f ，因为12sin 1x ，所以23)(25x f .【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的范围、二倍角公式，属于容易题，难度较小.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质.4．若)1,2(n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】2arctan 【解析】设直线的倾斜角为，则2arctan ,2tan.【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小.5．在6)2(xx的二项展开式中，常数项等于.【答案】160【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是333462C ()160T x x.【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为，，，，n V V V 21，则)(lim 21n nV V V .【答案】78【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，788111)(lim 21n nV V V .【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.7．已知函数||)(a x ex f （a 为常数）.若)(x f 在区间),1[上是增函数，则a 的取值范围是.【答案】1,【解析】根据函数,(),x ax ax ae x af x eexa看出当a x 时函数增函数，而已知函数)(x f 在区间,1上为增函数，所以a 的取值范围为：1,.【点评】本题主要考查指数函数单调性，复合函数的单调性的判断，分类讨论在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为.【答案】33【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l ，根据条件得到2212l ，解得母线长2l ，1,22r l r 所以该圆锥的体积为：331231S 3122h V 圆锥.【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意，所求的为体积，不是其他的量，分清图形在展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记牢，属于中低档题.9．已知2)(x x f y是奇函数，且1)1(f ，若2)()(x f x g ，则)1(g .【答案】1【解析】因为函数2)(xx f y为奇函数，所以,3)1(,1)1(,2)1()1(g f f g 所以，又1232)1()1(,3)1(f g f .(1)(1).f f 【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数)(x f y为奇函数，所以有)()(x f x f 这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6，若将l 的极坐标方程写成)(f 的形式，则)(f .【答案】)6sin(1【解析】根据该直线过点)0,2(M ，可以直接写出代数形式的方程为：)2(21xy，将此化成极坐标系下的参数方程即可，化简得)6sin(1)(f .【点评】本题主要考查极坐标系，本部分为选学内容，几乎年年都有所涉及，题目类型以小题为主，复习时，注意掌握基本规律和基础知识即可.对于不常见的曲线的参数方程不作要求.本题属于中档题，难度适中.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.【答案】32【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为32.【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.12．在平行四边形ABCD 中，3A，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足||||||||CD CN BC BM ，则AN AM 的取值范围是.【答案】5,2【解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1,2AD AB ，所以51(0,0),(2,0),(,1)(,1).22A B C D 设1515515151(,1)(), ,- ,- ,(2,()sin ).22224284423N x xBMCN CNx BMx M x x 则根据题意，有)83235,4821(),1,(xx AMx AN . 所以83235)4821(x x x AN AM 2521x，所以2 5.AM AN 642246105510ADCBMN 【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.13．已知函数)(x f y 的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y （10x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为.【答案】45【解析】根据题意得到，110,02()11010,12x x f x x x从而得到22110,02()11010,12x x yxf x xx x 所以围成的面积为45)1010(10121221dxx xxdxS，所以围成的图形的面积为45.【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2BC ，若c AD 2，且a CDACBD AB 2，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是.【答案】13222cac 【解析】据题a CDACBDAB 2，也就是说，线段CD ACBD AB与线段的长度是定值，因为棱AD 与棱BC 互相垂直，当ABD BC平面时，此时有最大值，此时最大值为：13222cac .【点评】本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件构造体积表达式，这是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大.属于中高档试题.二、选择题（20分）15．若i 21是关于x 的实系数方程02c bx x的一个复数根，则（）A ．3,2cb B ．3,2c b C ．1,2c bD ．1,2c b【答案】B【解析】根据实系数方程的根的特点12i 也是该方程的另一个根，所以b i i 22121，即2b ，c i i 3)21)(21(，故答案选择 B.【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算，属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.16．在ABC 中，若C BA222sin sin sin ，则ABC 的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定【答案】C【解析】由正弦定理，得,sin 2,sin 2,sin 2C Rc B R b A Ra 代入得到222abc ，由余弦定理的推理得222cos 02abcCab，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择 A.【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.17．设443211010x x x x ，5510x ，随机变量1取值54321x x x x x 、、、、的概率均为2.0，随机变量2取值222221554433221x x x x x x x x x x 、、、、的概率也均为2.0，若记21DD 、分别为21、的方差，则（）A ．21D D B ．21D D C ．21DDD ．1D与2D的大小关系与4321x x x x 、、、的取值有关【答案】 A【解析】由随机变量21,的取值情况，它们的平均数分别为：1123451(),5x x x x x x ，2334455112211,522222x x x x x x x x x x x x 且随机变量21,的概率都为2.0，所以有1D＞2D.故选择 A.【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题.18．设25sin1n na n，n n a a a S 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（）A ．25B ．50C ．75D ．100【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.三、解答题（74分）：19．（6+6=12分）如图，在四棱锥ABCD P 中，底面ABCD 是矩形，PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2AB，22AD ，2PA，求：（1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小. 【答案及解析】所以三角形PCD 的面积为3232221................6分【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．20．（6+8=14分）已知函数)1lg()(x x f ．（1）若1)()21(0x f x f ，求x 的取值范围；（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10x时，有)()(x f x g ，求函数)(x g y（]2,1[x）的反函数.【答案及解析】，3132x【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识．考查数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题．21．（6+8=14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7．（1）当5.0t时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．（4+6+6=16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：1222yx．（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122yx相切，求证：OQ OP；（3）设椭圆2C ：1422yx，若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且ON OM，求证：O 到直线MN 的距离是定值. 【答案及解析】过点A 与渐近线x y 2平行的直线方程为22,2 1.2y xyx 即1ON ，22OM,则O 到直线MN 的距离为33.设O 到直线MN 的距离为d .【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为x y，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题．23．（4+6+8=18分）对于数集}1{21n x x x X，，，，，其中n x x x 210，2n ，定义向量集},),,(|{X tX s t s a a Y ，若对任意Y a 1，存在Y a 2，使得021a a ，则称X 具有性质P ．例如}2,1,1{具有性质P ．（1）若2x，且},2,1,1{x 具有性质P ，求x 的值；（2）若X 具有性质P ，求证：X 1，且当1n x 时，11x ；（3）若X 具有性质P ，且11x 、q x 2（q 为常数），求有穷数列n x x x ，，，21的通项公式.【答案及解析】必有形式),1(b 显然有2a 满足021a a【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“X具有性质P”这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查集合的基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．。

2012学年高考理科数学年上海卷

2012年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）文科数学（必修+选修Ⅰ）答案解析第Ⅰ卷CF=，选D。

等积法得1，即4444()5555AD AB a b a b==-=-，选D。

平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞6次即可。

【提示】通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图像分析反射的次数即可。

【考点】三角形相似知识的运用第Ⅱ卷【考点】简单线性规划。

5π5255⨯⨯【考点】等角定理、异面直线所成的角的概念。

【考点】数列与三角函数的综合。

18.【答案】（1）解：由224=3S a 得1223()4a a a +=，解得2133a a ==；由335=3S a 得12333()5a a a a ++=，解得3123()62a a a =+=（2）解：由题设知11a =19.【答案】（1）证法一：因为底面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，又PA ⊥底面ABCD ，所以PC BD ⊥设=ACBD F ，连接EF 。

因为AC 2PA =，2PE EC =，故PC EC FC =PC AC ==，证法二：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -设00)C ,，0)D b ,，0)B b ,P ，E ，,0)B b -于是2222(22,0,2),,=,33PA BE b DE b ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，, 从而0PC BE =，0PC DE =，故PC BE PC DE ⊥，⊥ 又BEDE E =，所以PC ⊥平面BDEPABP 平面PBC PAB 内两条相交直线AB ，所以底面所以PD 与平面PBC 所成角为30︒解法二：(00,2)AP =，，(2,0)AB b =-，设(,,m x y =的法向量，则0=0m AP m AB =，，则(,2,0)m b =设(,,)n p q r =的法向量，则00n PC n BE ==，， =0，且，21,n b ⎛⎫=- ，故0m n =，即于是(1,1,n =-，=(2,DP -1,2n DP n DP n DP<>==,60n DP <>=︒所成角和,n DP <>互余，故PD 与平面PBC 所成角为30︒（2）解：五次发球，甲领先时的比分有：3:14:0，这两种情况开始第5次发球时比分为3:1的概率为：22112222220.60.40.60.60.40.40.17280.07680.2496C C C C ⨯⨯+⨯⨯=+=开始第5次发球时比分为4:0的概率为：2222220.60.40.0576C C ⨯=所以开始第5次发球时，甲得分领先的概率为0.24960.05760.3072+=【提示】首先要理解发球的具体情况，然后对于事件的情况分析，讨论，并结合独立事件的概率求解结论。

2012年上海高考理科数学试卷及答案word版

2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）一、填空题：（本大题共14题，满分56分）1．计算：=+-i i 13__________（i 为虚数单位）． 2．若集合{}{}2|1||,012|<-=>+=x x B x x A ，则B A =__________．3．函数()1sin cos 2-=x x x f 的值域是_____________． 4．若()1,2-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为_____________（结果用反三角函数表示）．5．在62⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，常数项等于____________． 6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为n V V V ,,,21 …，则()n n V V V +++∞→ 21lim =__________．7．已知函数()||a x e x f -=（a 为常数）．若()x f 在区间[)+∞,1上是减函数，则a 的取值范围是________________．8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为_______________．9．已知()2x x f y +=是奇函数，且()11=f ．若()()2+=x f x g ，则()1-g =_______．10．如图，在极坐标系中，过点()0,2M 的直线l 将l 的极坐标方程写成()θρf =的形式，()θf =_______________．11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是__________________（结果用最简分数表示）．12．在平行四边形ABCD 中，4π=∠A ，边AD AB 、的长分别为2、1．若NM、分别是边CD BC 、上的点，且满足=，则∙的取值范围是______________．13．已知函数()x f y =的图象是折线段ABC ，其中，()⎪⎭⎫ ⎝⎛5,210,0B A 、、()0,1C ．函数()()10≤≤=x x xf y 的图象与x 轴围成的图形的面积__________________．14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2=BC ,2c AD =且a CD AC BD AB 2=+=+，其中c a 、体ABCD 的体积的最大值是_________________．二、选择题：（每题5分，共20分） 15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（）()3,2==c b A ； ()3,2=-=c b B ；()1,2-=-=c b C ； ()1,2-==c b D ．16．在A B C ∆中，若C B A 222s i n s i n s i n<+，则A B C ∆的形状是（）()A 锐角三角形； ()B 直角三角形； ()C 钝角三角形； ()D 不能确定．17．设554432110,1010=≤<<<≤x x x x x ．随机变量1ξ取值54321x x x x x 、、、、的概率均为2.0，随机变量2ξ取值222221554433221x x x x x x x x x x +++++、、、、的概率也均为2.0．若记21ξξD D 、分别为21ξξ、的方差，则（）()21ξξD D A >； ()21ξξD D B =；()21ξξD D C <()21ξξD D D 与的大小关系与4321x x x x 、、、的取值有关．18．设25sin 1πn n a n =，n n a a a S +++= 21．在10021,,,S S S 中，正数的个数是（）()25A ； ()50B ； ()75C ； ()100D ．二、解答题： 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，的中点．已知2,22,2===PA AD AB ．求：（1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数()()_1lg x x f +=．（1）若()()1210<--<x f x f ，求x 的取值范围；（2）若()x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有()()x f x g =，求函数()[]()2,1∈=x x g y 的反函数．21．本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．海事救援船对一艘失事船进行定位：以海事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12还是的A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7．（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． A x O Py在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C ．（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l 1C 于Q P 、两点．若l 与圆122=+y x 相切，求证：OQ OP ⊥；（3）设椭圆14:222=+y x C ．若N M 、分别是21C C 、上的动点，且ON OM ⊥，求证：O 到直线MN 的距离是定值．23．本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．对于数集{}n x x x X ,,,,121 -=，其中2,021≥<<<<n x x x n ，定义向量集(){}X t X s t s a a Y ∈∈==,,,| ．若对任意,1Y a ∈ 存在Y a ∈2 ，使得021=∙a a ，则称X 具有性质P ．例如{}2,1,1-具有性质P ．（1）若2>x ，且{}x ,2,1,1-具有性质P ，求x 的值；（2）若X 具有性质P ，求证：X ∈1，且当1>n x 时，11=x ；（3）若X 具有性质P ，且q x x ==211、（q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21 的通项公式．。

2012年高考理数真题试卷(上海卷)及解析

2012年高考理数真题试卷（上海卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题1.若1+ √2 i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A.b=2，c=3B.b=﹣2，c=3C.b=﹣2，c=﹣1D.b=2，c=﹣12.在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定3.设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104， x5=105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值x1+x22、x2+x32、x3+x42、x4+x52、x5+x12的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（）A.Dξ1＞Dξ2B.Dξ1=Dξ2C.Dξ1＜Dξ2D.Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题（题型注释）4.计算：3−i1+i= （i为虚数单位）．5.若n→=（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）．6.在(x−2x)6的二项展开式中，常数项等于．7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，Vn，…，则limn→∞（V1+V2+…+Vn）═．8.已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．答案第2页，总14页…外…………○…………装………○…………订………线………※※请※※不※※※※在※※装※※订※※线※※内…内…………○…………装………○…………订………线………9.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．10.已知y=f （x ）+x 2是奇函数，且f （1）=1，若g （x ）=f （x ）+2，则g （﹣1）= ． 11.如图，在极坐标系中，过点M （2，0）的直线l 与极轴的夹角a= π6 ，若将l 的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f （θ）= ．12.在平行四边形ABCD 中，∠A= π3 ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM|→|BC|→ =|CN|→|CD|→，则 AM →⋅AN →的取值范围是．13.已知函数y=f （x ）的图象是折线段ABC ，其中A （0，0）、B （ 12 ，5）、C （1，0），函数y=xf （x ）（0≤x≤1）的图象与x 轴围成的图形的面积为．14.如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c ，且AB+BD=AC+CD=2a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是．三、解答题（题型注释）15.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知AB=2，AD=2 √2 ，PA=2，求：（1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小． 16.已知f （x ）=lg （x+1）（1）若0＜f （1﹣2x ）﹣f （x ）＜1，求x 的取值范围；（2）若g （x ）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g （x ）=f （x ），求函数y=g （x ）（x∈[1，2]）的反函数．…………订…………○…………线…………○…级：___________考号：___________…………订…………○…………线…………○…17.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 y =1249x 2 ；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？ 18.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2﹣y 2=1．（1）过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点，若l 与圆x 2+y 2=1相切，求证：OP⊥OQ；（3）设椭圆C 2：4x 2+y 2=1，若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM⊥ON，求证：O 到直线MN 的距离是定值．19.对于数集X={﹣1，x 1 ， x 2 ， …，x n }，其中0＜x 1＜x 2＜…＜x n ， n≥2，定义向量集Y={ a →|a →=（s ，t ），s∈X，t∈X}，若对任意 a 1→∈Y ，存在 a 2→∈Y ，使得 a 1→⋅a 2→=0 ，则称X 具有性质P ．例如{﹣1，1，2}具有性质P ．（1）若x ＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P ，求x 的值；（2）若X 具有性质P ，求证：1∈X，且当x n ＞1时，x 1=1；（3）若X 具有性质P ，且x 1=1、x 2=q （q 为常数），求有穷数列x 1 ， x 2 ， …，x n 的通项公式．答案第4页，总14页○…………外……○…………内……参数答案1.B【解析】1.解：由题意1+ √2 i 是关于x 的实系数方程x 2+bx+c=0 ∴1+2 √2 i ﹣2+b+ √2 bi+c=0 ∴ {−1+b +c =02√2+√2b =0，解得b=﹣2，c=3故选B【考点精析】通过灵活运用复数相等，掌握如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等即可以解答此题． 2.C【解析】2.解：∵sin 2A+sin 2B ＜sin 2C ，由正弦定理可得，a 2+b 2＜c 2由余弦定理可得cosC= a 2+b 2−c 22ab<0∴ π2<C <π∴△ABC 是钝角三角形故选C 3.A【解析】3.解：由随机变量ξ1、ξ2的取值情况，它们的平均数分别为：x ¯= 15 （x 1+x 2+x 3+x 4+x 5）， x′¯ = 15 （ x 1+x 22 + x 2+x 32 + x 3+x 42 + x 4+x 52 + x 5+x12 ）= x ¯ 且随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，所以有Dξ1＞Dξ2 ，故选择A ．【考点精析】解答此题的关键在于理解离散型随机变量及其分布列的相关知识，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x1,x2,.....,xi ,......,xn ，X 取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列． 4.1﹣2i【解析】4.解： 3−i1+i =(3−i)(1−i)(1+i)(1−i)=2−4i 2=1−2i所以答案是1﹣2i【考点精析】掌握复数的乘法与除法是解答本题的根本，需要知道设则；．5.arctan2【解析】5.解：∵ n →=（﹣2，1）是直线l 的一个法向量∴可知直线l 的一个方向向量为（1，2），直线l 的倾斜角为α得，tanα=2 ∴α=arctan2所以答案是：arctan2 6.﹣160【解析】6.解：展开式的通项为T r+1= c 6r x 6﹣r （﹣ 2x ）r =（﹣2）r c 6rx6﹣2r 令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣2）3c 63 =﹣160所以答案是：﹣160 7.87【解析】7.解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为a n 则 a n =(12)n−1∴ V n =a n3 = (18)n−1是以1为首项，以 18 为公比的等比数列则 lim n→∞（V 1+V 2+…+v n ）= lim n→∞1−(18)n1−18= 87所以答案是： 878.（﹣∞，1]【解析】8.解：因为函数f （x ）=e |x ﹣a|（a 为常数）．若f （x ）在区间[1，+∞）上是增函数由复合函数的单调性知，必有t=|x ﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数又t=|x ﹣a|在区间[a ，+∞）上是增函数所以[1，+∞）⊆[a ，+∞），故有a≤1 所以答案是（﹣∞，1] 9.√33π【解析】9.解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl 2 ，所以l=2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，所以圆锥的体积为： 13×π12×√22−1 = √33π ．答案第6页，总14页……装…………○………※※不※※要※※在※※装※※订※※线……装…………○………所以答案是： √33π ．【考点精析】本题主要考查了旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的相关知识点，需要掌握常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球才能正确解答此题． 10.﹣1【解析】10.解：由题意，y=f （x ）+x 2是奇函数，且f （1）=1，所以f （1）+1+f （﹣1）+（﹣1）2=0解得f （﹣1）=﹣3 所以g （﹣1）=f （﹣1）+2=﹣3+2=﹣1 所以答案是：﹣1．【考点精析】认真审题，首先需要了解函数奇偶性的性质(在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇)，还要掌握函数的值(函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法)的相关知识才是答题的关键． 11.1sin(π6−θ)【解析】11.解：取直线l 上任意一点P （ρ，θ），连接OP ，则OP=ρ，∠POM=θ 在三角形POM 中，利用正弦定理可知： ρsin 5π6=2sin(π6−θ)解得ρ=f（θ）= 1sin(π6−θ)所以答案是：1sin(π6−θ)12.[2，5]【解析】12.解：建立如图所示的直角坐标系，则B （2，0），A （0，0）， D （ 12,√32 ），设 |BM|→|BC|→ = |CN|→|CD|→ =λ，λ∈[0，1]， M （2+ λ2,√3λ2 ），N （ 52−2λ,√32），所以 AM →⋅AN →=（2+ λ2,√3λ2 ）•（ 52−2λ,√32 ）=﹣λ2﹣2λ+5，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=﹣1，所以λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]．…线…………○……线…………○…所以答案是：[2，5]．13.54【解析】13.解：由题意可得，f （x ）= {10x,(0≤x ≤12)10−10x,(12≤x ≤1)，∴y=xf（x ）= {10x 2,(0≤x ≤12)10x 2−10x,(12≤x ≤1)，设函数y=xf （x ）（0≤x≤1）的图象与x 轴围成的图形的面积为S ，则S= ∫1210x 2dx+ ∫121（﹣10x 2+10x ）dx =10× x 33|012 +（﹣10）× x 33|121 +10× x 22|121= 512 ﹣ 3512 +5﹣ 54 = 1512 = 54 ．所以答案是： 54 ． 14.23c √a 2−c 2−1【解析】14.解：作BE⊥AD 于E ，连接CE ，则AD⊥平面BEC ，所以CE⊥AD，由题设，B 与C 都是在以AD 为焦点的椭球上，且BE 、CE 都垂直于焦距AD ， AB+BD=AC+CD=2a ，显然△ABD≌△ACD，所以BE=CE ．取BC 中点F ，∴EF⊥BC，EF⊥AD，要求四面体ABCD 的体积的最大值，因为AD 是定值，只需三角形EBC 的面积最大，因为BC 是定值，所以只需EF 最大即可，当△ABD 是等腰直角三角形时几何体的体积最大，∵AB+BD=AC+CD=2a， ∴AB=a，所以EB= √a 2−c 2 ，EF= √a 2−c 2−1 ，所以几何体的体积为： 13×2×√a 2−c 2−1×2c × 12 = 23c √a 2−c 2−1 ．答案第8页，总14页……外…………○………线…………○※……内…………○………线…………○所以答案是： 23c √a 2−c 2−1 ．15.（1）解：∵PA⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ， ∴CD⊥PA．∵矩形ABCD 中，CD⊥AD，而PA 、AD 是平面PAD 的交线． ∴CD⊥平面PDA ，∵PD ⊂平面PDA ，∴CD⊥PD，三角形PCD 是以D 为直角顶点的直角三角形． ∵Rt△PAD 中，AD=2 √2 ，PA=2， ∴PD= √PA 2+AD 2 =2 √3 ．∴三角形PCD 的面积S= 12 ×PD×DC=2 √3 ．（2）解：[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，可得B （2，0，0），C （2，2 √2 ，0），E （1， √2 ，1）．∴ AE → =（1， √2 ，1）， BC →=（0，2 √2 ，0），设 AE →与 BC →夹角为θ，则cosθ=AE →⋅BC→|AE →||BC →|= 2×2√2 = √22 ，∴θ= π4 ，由此可得异面直线BC 与AE 所成的角的大小为 π4 ．[解法二]取PB 的中点F ，连接AF 、EF 、AC ，∵△PBC 中，E 、F 分别是PC 、PB 的中点，∴EF∥BC，∠AEF 或其补角就是异面直线BC 与AE 所成的角．…………○………：___________…………○………∵Rt△PAC 中，PC= √PA 2+AC 2=4． ∴AE= 12 PC=2，∵在△AEF 中，EF= 12 BC= √2 ，AF= 12 PB= √2∴AF 2+EF 2=AE 2，△AEF 是以F 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴∠AEF= π4 ，可得异面直线BC 与AE 所成的角的大小为 π4 ．【解析】15.（1）可以利用线面垂直的判定与性质，证明出三角形PCD 是以D 为直角顶点的直角三角形，然后在Rt△PAD 中，利用勾股定理得到PD=2 √3 ，最后得到三角形PCD 的面积S ；（2）[解法一]建立如图空间直角坐标系，可得B 、C 、E 各点的坐标，从而 AE →=（1， √2 ，1）， BC → =（0，2 √2 ，0），利用空间向量数量积的公式，得到 AE → 与 BC →夹角θ满足：cosθ= √22 ，由此可得异面直线BC 与AE 所成的角的大小为 π4 ；[解法二]取PB 的中点F ，连接AF 、EF ，△PBC 中，利用中位线定理，得到EF∥BC，从而∠AEF 或其补角就是异面直线BC 与AE 所成的角，然后可以通过计算证明出：△AEF 是以F 为直角顶点的等腰直角三角形，所以∠AEF= π4 ，可得异面直线BC 与AE 所成的角的大小为 π4 ．【考点精析】本题主要考查了异面直线及其所成的角和直线与平面垂直的性质的相关知识点，需要掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；垂直于同一个平面的两条直线平行才能正确解答此题． 16.（1）解：f （1﹣2x ）﹣f （x ）=lg （1﹣2x+1）﹣lg （x+1）=lg （2﹣2x ）﹣lg （x+1），要使函数有意义，则由 {2−2x >0x +1>0解得：﹣1＜x ＜1．由0＜lg （2﹣2x ）﹣lg （x+1）=lg 2−2xx+1 ＜1得：1＜ 2−2xx+1 ＜10， ∵x+1＞0，∴x+1＜2﹣2x ＜10x+10，答案第10页，总14页∴ −23<x <13．由 {−1<x <1−23<x <13，得： −23<x <13．（2）解：当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，∴y=g （x ）=g （x ﹣2）=g （2﹣x ）=f （2﹣x ）=lg （3﹣x ），由单调性可知y∈[0，lg2]，又∵x=3﹣10y ，∴所求反函数是y=3﹣10x ，x∈[0，lg2]．【解析】16.（1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可；（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解． 17.（1）解：t=0.5时，P 的横坐标x P =7t= 72 ，代入抛物线方程 y =1249x 2 中，得P 的纵坐标y P =3．由|AP|=√9492，得救援船速度的大小为 √949 海里/时．由tan∠OAP= 730 ，得∠OAP=arctan 730 ，故救援船速度的方向为北偏东arctan 730 弧度．（2）解：设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为（7t ，12t 2）．由vt= √(7t)2+(12t 2+12)2，整理得 v 2=144(t 2+1t2)+337 ．因为 t 2+1t 2≥2 ，当且仅当t=1时等号成立，所以v 2≥144×2+337=252，即v≥25．因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．【解析】17.（1）t=0.5时，确定P 的横坐标，代入抛物线方程 y =1249x 2 中，可得P 的纵坐标，利用|AP|=√9492，即可确定救援船速度的大小和方向；（2）设救援船的时速为v海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为（7t ，12t 2），从而可得vt=√(7t)2+(12t 2+12)2 ，整理得 v 2=144(t 2+1t2)+337 ，利用基本不等式，即可得到结论． 18.（1）解：双曲线C 1：x 212−y 21=1 左顶点A （﹣ √22,0 ），渐近线方程为：y=± √2 x ．过A 与渐近线y= √2 x 平行的直线方程为y= √2 （x+ √22），即y= √2x +1 ，所以 {y =−√2x y =√2x +1 ，解得 {x =−√24y =12．所以所求三角形的面积为S= 12|OA||y|=√28．（2）解：设直线PQ 的方程为y=kx+b ，因直线PQ 与已知圆相切，故√2=1 ，即b 2=2，由 {y =kx +b2x 2−y 2=1，得x 2﹣2bx ﹣b 2﹣1=0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则 {x 1+x 2=2bx 1x 2=−1−b 2，又y 1y 2=（x 1+b ）（x 2+b ）．所以 OP →⋅OQ →=x 1x 2+y 1y 2=2x 1x 2+b （x 1+x 2）+b 2 =2（﹣1﹣b 2）+2b 2+b 2 =b 2﹣2=0．故PO⊥OQ．（3）解：当直线ON 垂直x 轴时，|ON|=1，|OM|= √22 ，则O 到直线MN 的距离为 √33 ．当直线ON 不垂直x 轴时，设直线ON 的方程为：y=kx ，（显然|k|＞ √22 ），则直线OM 的方程为y= −1k x ，由{y =kx 4x 2+y 2=1 得 {x 2=14+k 2y 2=k 24+k2，所以 |ON|2=1+k 24+k 2．同理 |OM|2=1+k 22k 2−1，设O 到直线MN 的距离为d ，因为（|OM|2+|ON|2）d 2=|OM|2|ON|2，所以1d 2=1|OM|2+1|ON|2=3+3k 2k 2+1=3，即d= √33 ．综上，O 到直线MN 的距离是定值．答案第12页，总14页【解析】18.（1）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出三角形的面积．（2）设直线PQ 的方程为y=kx+b ，通过直线PQ 与已知圆相切，得到b 2=2，通过求解 OP →⋅OQ →=0．证明PO⊥OQ．（3）当直线ON 垂直x 轴时，直接求出O 到直线MN 的距离为 √33 ．当直线ON 不垂直x 轴时，设直线ON 的方程为：y=kx ，（显然|k|＞ √22 ），推出直线OM 的方程为y= −1k x ，利用 {y =kx 4x 2+y 2=1，求出 |ON|2=1+k 24+k 2 ， |OM|2=1+k 22k 2−1，设O 到直线MN 的距离为d ，通过（|OM|2+|ON|2）d 2=|OM|2|ON|2 ，求出d= √33 ．推出O 到直线MN 的距离是定值． 19.（1）解：选取 a 1→=（x ，2），则Y中与 a 1→垂直的元素必有形式（﹣1，b ），所以x=2b ，又∵x＞2，∴只有b=2，从而x=4．（2）解：取 a 1→=（x 1，x 1）∈Y，设 a 2→=（s ，t ）∈Y，满足 a 1→⋅a 2→=0 ，可得（s+t ）x 1=0，s+t=0，所以s 、t 异号．因为﹣1是数集X 中唯一的负数，所以s 、t 中的负数必为﹣1，另一个数是1，所以1∈X，假设x k =1，其中1＜k ＜n ，则0＜x 1＜1＜x n ．再取 a 1→=（x 1，x n ）∈Y，设 a 2→=（s ，t ）∈Y，满足 a 1→⋅a 2→=0 ，可得sx 1+tx n =0，所以s 、t 异号，其中一个为﹣1①若s=﹣1，则x 1=tx n ＞t≥x 1，矛盾； ②若t=﹣1，则x n =sx 1＜s≤x n ，矛盾；说明假设不成立，由此可得当x n ＞1时，x 1=1．（3）解：[解法一]猜想：x i =q i ﹣1，i=1，2，3，…，n 记A k ═{﹣1，x 1，x 2，…，x k }，k=2，3，…，n 先证明若A k+1具有性质P ，则A k 也具有性质P ．任取 a 1→=（s ，t ），s 、t∈A k ，当s 、t 中出现﹣1时，显然有 a 2→ 满足 a 1→⋅a 2→=0当s 、t 中都不是﹣1时，满足s≥1且t≥1．因为A k+1具有性质P ，所以有 a 2→=（s 1，t 1），s 1、t 1∈A k+1，使得 a 1→⋅a 2→=0 ，从而s 1、t 1其中有一个为﹣1 不妨设s 1=﹣1，假设t 1∈A k+1，且t 1∉A k ，则t 1=x k+1．由（s ，t ）（﹣1，x k+1）=0，得s=tx k+1≥x k+1，与s∈A k 矛盾．所以t 1∈A k ，从而A k 也具有性质P ．再用数学归纳法，证明x i =q i ﹣1，i=1，2，3，…，n 当n=2时，结论显然成立；假设当n=k 时，A k ═{﹣1，x 1，x 2，…，x k }具有性质P ，则x i =q i ﹣1，i=1，2，…，k当n=k+1时，若A k+1═{﹣1，x 1，x 2，…，x k+1}具有性质P ，则A k ═{﹣1，x 1，x 2，…，x k }具有性质P ，所以A k+1═{﹣1，q ，q 2，…，q k ﹣1，x k+1}．取 a 1→=（x k+1，q ），并设 a 2→=（s ，t ）∈Y，满足 a 1→⋅a 2→=0 ，由此可得s=﹣1或t=﹣1若t=﹣1，则x k+1= qs <q ，不可能所以s=﹣1，x k+1=qt=q j ≤q k 且x k+1＞q k ﹣1，因此x k+1=q k 综上所述，x i =q i ﹣1，i=1，2，3，…，n[解法二]设 a 1→ =（s 1，t 1）， a 2→ =（s 2，t 2），则 a 1→⋅a 2→=0 等价于 s 1t 1=−t2s 2记B={ st |s∈X，t∈X 且|s|＞|t|}，则数集X 具有性质P ，当且仅当数集B 关于原点对称注意到﹣1是集合X 中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x 2，﹣x 3，﹣x 4，…，﹣x n }，共有n ﹣1个数．所以B∩（0，+∞）也有n ﹣1个数．由于 x nxn−1＜ x nxn−2＜ x nxn−3＜…＜ x n x 2<xn x 1，已经有n ﹣1个数对以下三角形数阵： x nxn−1＜ x nxn−2＜ x nxn−3＜…＜ x n x 2<xn x 1，x n x n−2＜ xn−1x n−3＜ xn−1x n−4＜…＜x n−1x 1x 2x 1注意到 xn x 1＞x n−1x 1 ＞ x n−2x 1 ＞…＞ x 2x 1 ，所以 x n x n−1 = x n−1x n−2 =…= x 2x 1从而数列的通项公式是x k =x 1•（ x2x 1）k ﹣1=q k ﹣1，k=1，2，3，…，n ．【解析】19.（1）在Y 中取 a 1→=（x ，2），根据数量积的坐标公式，可得Y 中与 a 1→垂直的元素必有形式（﹣1，b ），所以x=2b ，结合x ＞2，可得x 的值．（2）取 a 1→=（x 1 ， x 1），a 2→ =（s ，t ）根据 a 1→⋅a 2→=0 ，化简可得s+t=0，所以s 、t 异号．而﹣1是数集X 中唯一的负数，所以s 、t 中的负数必为﹣1，另一个数是1，从而证出1∈X，最后通过反证法，可以证明出当x n ＞1时，x 1=1．（3）[解法一]先猜想结论：x i =q i ﹣1 ， i=1，2，3，…，n ．记A k ═{﹣1，x 1 ， x 2 ， …，x k }，k=2，3，…，n ，通过反证法证明出引理：若A k+1具有性质P ，则A k 也具有性质P ．最后用数学归纳法，可证明出x i =q i ﹣1 ， i=1，2，3，…，n ； [解法二]设 a 1→ =（s 1 ， t 1）， a 2→ =（s 2 ， t 2），则 a 1→⋅a 2→=0 等价于 s 1t 1=−t2s 2，得到一正一负的特征，再记B={ st |s∈X，t∈X 且|s|＞|t|}，则可得结论：数集X 具有性质答案第14页，总14页……线…………○……线…………○={﹣x 2 ， ﹣x 3 ， ﹣x 4 ， …，﹣x n }，共有n ﹣1个数，所以B∩（0．+∞）也有n ﹣1个数．最后结合不等式的性质，结合三角形数阵加以说明，可得 x nxn−1= x n−1x n−2=…= x2x 1，最终得到数列的通项公式是x k =x 1•（ x2x 1）k ﹣1=q k ﹣1 ， k=1，2，3，…，n ．【考点精析】利用元素与集合关系的判断对题目进行判断即可得到答案，需要熟知对象与集合的关系是，或者，两者必居其一．。

【专家解析】2012年高考数学(理)真题精校精析(上海卷)(纯word书稿)

2012·上海卷(数学理科)1．[2012·上海卷] 计算：3－i1＋i＝________(i 为虚数单位)．1．1－2i [解析] 考查复数的除法运算，是基础题，复数的除法运算实质就是分母实数化运算．原式＝(3－i )(1－i )1－i 2＝1－2i.2．[2012·上海卷] 若集合A ＝{x |2x ＋1＞0}，B ＝{x ||x －1|＜2}，则A ∩B ＝________. 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3 [解析] 考查集合的交集运算和解绝对值不等式，解此题的关键是解绝对值不等式，再利用数轴求解．解得集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >－12，集合B ＝{x |－1<x <3}，求得A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3.3．[2012·上海卷] 函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 cos x sin x －1的值域是________． 3.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－32 [解析] 考查二阶矩阵和三角函数的值域，以矩阵为载体，实为考查三角函数的值域，易错点是三角函数的化简．f (x )＝－2－sin x cos x ＝－2－12sin2x ，又－1≤sin2x ≤1，所以f (x )＝－2－12sin2x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－32.4．[2012·上海卷] 若＝(－2,1)是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示)．4．arctan2 [解析] 考查直线的法向量和倾斜角，关键是求出直线的斜率．由已知可得直线的斜率k ×1－2＝－1，∴k ＝2，k ＝tan α，所以直线的倾斜角α＝arctan2.5．[2012·上海卷] 在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6的二项展开式中，常数项等于________．5．－160 [解析] 考查二项式定理，主要是二项式的通项公式的运用．由通项公式得T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r 6x 6－2r，令6－2r ＝0，解得r ＝3，所以是第4项为常数项，T 4＝(－2)3C 36＝－160.6．[2012·上海卷] 有一列正方体，棱长组成以1为首项12为公比的等比数列，体积分别记为V 1，V 2，…，V n ，…，则lim n →∞(V 1＋V 2＋…＋V n )＝________.6.87 [解析] 考查等比数列和无穷递缩等比数列的极限，此题只要掌握极限公式即可解决，是简单题型．由已知可知V 1，V 2，V 3，…构成新的等比数列，首项V 1＝1，公比q ＝18，由极限公式得lim n →∞(V 1＋V 2＋…＋V n )＝11－18＝87.7．[2012·上海卷] 已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．7．(－∞，1] [解析] 考查复合函数的单调性，实为求参数a 的取值范围．令t ＝||x －a ，又e>1，函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数，只需函数t ＝||x －a 在[1，＋∞)上是增函数，所以参数a ≤1.8．[2012·上海卷] 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．8.33π [解析] 考查扇形的弧长和面积公式，以及圆锥的体积公式，关键是求出圆锥的半径和高．由已知可得圆锥的母线长l ＝2，底面圆的周长2πr ＝πl ＝2π，所以底面半径r ＝1，由此得圆锥的高h ＝l 2－r 2＝3，由圆锥的体积公式得V ＝13πr 2h ＝33π.9．[2012·上海卷] 已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.9．－1 [解析] 考查函数的奇偶性和转化思想，此题的关键是利用y ＝f (x )＋x 2为奇函数．已知函数y ＝f (x )＋x 2为奇函数，则f (－1)＋(－1)2＝－[f (1)＋1]＝－2，解得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－3＋2＝－1.10．[2012·上海卷] 如图1－1所示，在极坐标系中，过点M (2,0)的直线l 与极轴的夹角α＝π6，若将l 的极坐标方程写成ρ＝f (θ)的形式，则f (θ)＝________.图1－110.1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ [解析] 考查极坐标方程，关键是写出直线的极坐标方程，再按要求化简．由已知得直线方程为y ＝(x －2)tan π6，化简得x －3y －2＝0，转化为极坐标方程为： ρcos θ－3ρsin θ－2＝0，解得ρ＝2cos θ－3sin θ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ，所以 f (θ)＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ.11．[2012·上海卷] 三位同学参加跳高跳远铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．11.23 [解析] 考查古典概率和排列问题，关键是把情况分析清楚，不要漏掉或者重复情况．所有的可能情况有C 23C 23C 23，满足条件有且仅有两人选择的项目完全相同的情况有 C 23C 23C 12，由古典概率公式得P ＝C 23C 23C 12C 23C 23C 23＝23.12．[2012·上海卷] 在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边ABAD 的长分别为21.若MN 分别是边BCCD 上的点，且满足|BM →||BC→|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN→的取值范围是________．12．[2,5] [解析] 令BM →＝nBC →(0≤n ≤1)，则DN →＝(1－n )DC →，在平行四边形ABCD中，AM→＝AB →＋nAD →， AN →＝AD →＋(1－n )AB →，所以AM →·AN →＝(AB →＋nAD →)·[AD→＋(1－n )AB →] ＝－n 2－2n ＋5，而函数f (n )＝－n 2－2n ＋5在[0,1]上是单调递减的，其值域为[2,5]，所以AM →·AN →的取值范围是[2,5]．13．[2012·上海卷] 已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0,0)B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为________．13.54 [解析] 考查分段函数和用定积分求曲边形的面积，考查学生分类讨论思想和转化思想．由已知可得函数的解析式y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，10x －10x 2，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，曲线与x 轴围成区域的面积，可用定积分表示S ＝∫120(10x 2 )d x ＋⎠⎛112(10x －10x 2)d x ＝ 54.图1－214．[2012·上海卷] 如图1－2所示，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC＝2，若AD＝2c，且AB＋BD＝AC＋CD＝2a，其中ac为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是________．14.23c a2－c2－1[解析] 以空间四面体为载体，考查几何体的体积和代数式的最值问题，以及转化思想，解此题的关键是求出侧面三角形ABD的高的最大值．作BE垂直AD于E，连接CE，则CE也垂直AD，且BE＝CE，所以四面体ABCD 的体积V＝13S△BCE·AD＝23c BE2－1，在三角形ABD中，AB＋BD＝2a，AD＝2c，所以AD边上的高BE等于以AD为焦点，长轴为2a的椭圆上的点到x轴的距离，其最大值刚好在点在短轴端点的时候得到，即BE≤a2－c2，所以V＝23c BE2－1≤23c a2－c2－1.15．[2012·上海卷] 若1＋2i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则()A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－115．B[解析] 考查复数的概念和一元二次方程，可利用方程的两根是共轭复数解题．由韦达定理可知：－b＝(1＋2i)＋(1－2i)＝2，∴b＝－2，c＝(1＋2i)(1－2i)＝1＋2＝3，∴c＝3，所以选B.此题还可以直接把复数根1＋2i代入方程中，利用复数相等求解．16．[2012·上海卷] 在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是() A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定16．C[解析] 考查正弦定理和判断三角形的形状，考查考生的转化思想，关键是利用正弦定理，把角转化边，再利用边之间的关系，判断三角形的形状．由正弦定理可把不等式转化为a 2＋b 2<c 2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，所以三角形为钝角三角形．故选C.17．[2012·上海卷] 设10≤x 1<x 2<x 3<x 4≤104，x 5＝105.随机变量ξ1取值x 1x 2x 3x 4x 5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值x 1＋x 22x 2＋x 32x 3＋x 42x 4＋x 52x 5＋x 12的概率也均为0.2.若记Dξ1Dξ2分别为ξ1ξ2的方差，则( )A ．Dξ1＞Dξ2B ．Dξ1＝Dξ2C ．Dξ1＜Dξ2D ．Dξ1与Dξ2的大小关系与x 1x 2x 3x 4的取值有关17．A [解析] 考查样本估计总体的平均数和方差，主要是对方差概念的理解，利用基本不等式求解．由已知可知两个变量的平均数相等，Dξ1＝15[(x －x 1)2＋…＋(x －x 5)2]＝15(x 21＋x 22＋x 23＋x 24＋x 25)－x 2， Dξ2＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 1＋x 222＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 5＋x 122＝ 15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 5＋x 122－x 2 <15(x 21＋x 22＋x 23＋x 24＋x 25)－x 2，所以Dξ1>Dξ2.18．[2012·上海卷] 设a n ＝1n sin n π25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．25B ．50C ．75D ．10018．D [解析] 考查数列求和和转化思想，关键是发现数列为振幅越来越小的摆动数列．令b n ＝sin n π25，周期为50，前n 项和记作：T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，根据三角函数图象的对称性，可知T 1，T 2，…，T 49均大于0，只有两个T 50＝0，T 100＝0，数列a n ＝1n sin n π25为振幅越来越小的摆动数列，||a n ≤||b n ，只有当n ＝1,50,100时相等，故S 1，S 2，…，S 100中正数个数为100.图1－319．[2012·上海卷] 如图1－3所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD .E 是PC 的中点，已知AB ＝2，AD ＝22，P A ＝2，求：(1)三角形PCD 的面积；(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小．19．解：(1)因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD . 又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面P AD . 从而CD ⊥PD .因为PD ＝22＋(22)2＝23，CD ＝2. 所以三角形PCD 的面积为12×2×23＝2 3.(2)解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则B (2,0,0)，C (2,22，0)，E (1，2，1)．AE→＝(1，2，1)，BC →＝(0,22，0)，设AE→与BC →的夹角为θ，则cos θ＝AE →·BC →|AE →||BC →|＝42×22＝22，∴θ＝π4.由此知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.解法二：取PB 中点F ，连接EF AF ，则EF ∥BC ，从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角．在△AEF 中，由EF ＝2AF ＝2AE ＝2知△AEF 是等腰直角三角形，所以∠AEF ＝π4.因此，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.20．[2012·上海卷] 已知函数f (x )＝lg(x ＋1)． (1)若0＜f (1－2x )－f (x )＜1，求x 的取值范围；(2)若g (x )是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x )＝f (x )，求函数y ＝g (x )(x ∈[1,2])的反函数．20．解：(1)由⎩⎨⎧2－2x ＞0，x ＋1＞0，得－1＜x ＜1.由0＜lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝lg 2－2x x ＋1＜1得1＜2－2xx ＋1＜10.因为x ＋1＞0，所以x ＋1＜2－2x ＜10x ＋10，－23＜x ＜13，由⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜1，－23＜x ＜13得－23＜x ＜13.(2)g (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，因此y ＝g (x )＝g (x －2)＝g (2－x )＝f (2－x )＝lg(3－x )．由单调性可得y ∈[0，lg2]．因为x ＝3－10y ，所以所求反函数是y ＝3－10x ，x ∈[0，lg2]．图1－421．[2012·上海卷] 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图1－4.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y ＝1249x 2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .(1)当t ＝0.5时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？21．解：(1)t ＝0.5时，P 的横坐标x P ＝7t ＝72，代入抛物线方程y ＝1249x 2，得P 的纵坐标y P ＝3.由|AP |＝9492，得救援船速度的大小为949海里/时．由tan ∠OAP ＝730，得∠OAP ＝arctan 730，故救援船速度的方向为北偏东arctan 730弧度．(2)设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为(7t,12t 2)．由v t ＝(7t )2＋(12t 2＋12)2，整理得v 2＝144⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋1t 2＋337.因为t 2＋1t 2≥2，当且仅当t ＝1时等号成立．所以v 2≥144×2＋337＝252，即v ≥25.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．22．[2012·上海卷] 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1. (1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l 交C 1于PQ 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ ； (3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1，若MN 分别是C 1C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．22．解：(1)双曲线C 1：x 212－y 2＝1，左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x .过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12.所以所求三角形的面积为S ＝12|OA ||y |＝28.(2)设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b ，因直线PQ 与已知圆相切，故|b |2＝1，即b 2＝2. 由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，2x 2－y 2＝1，得x 2－2bx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)Q (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2b ，x 1x 2＝－1－b 2.又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )，所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2 ＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ .(3)当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝⎛⎭⎪⎫显然|k |＞22，则直线OM 的方程为y ＝－1k x .由⎩⎨⎧ y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝14＋k 2，y 2＝k 24＋k 2，所以|ON |2＝1＋k 24＋k 2. 同理|OM |2＝1＋k 22k 2－1，设O 到直线MN 的距离为d ，因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2.所以1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33. 综上，O 到直线MN 的距离是定值．23．[2012·上海卷] 对于数集X ＝{－1，x 1，x 2，…，x n }，其中0＜x 1＜x 2＜…＜x n ，n ≥2，定义向量集Y ＝{|＝(s ，t )，s ∈X ，t ∈X }，若对任意1∈Y ，存在2∈Y ，使得1·2＝0，则称X 具有性质，例如{－1,1,2}具有性质.(1)若x ＞2，且{－1,1,2，x }具有性质，求x 的值；(2)若X 具有性质，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1＝1；(3)若X 具有性质，且x 1＝1x 2＝q (q 为常数)，求有穷数列x 1，x 2，…，x n 的通项公式．23．解：(1)选取1＝(x,2)，Y 中与1垂直的元素必有形式(－1，b )，所以x ＝2b ，从而x ＝4.(2)证明：取1＝(x 1，x 1)∈Y ，设2＝(s ，t )∈Y ，满足1·2＝0.由(s ＋t )x 1＝0得s ＋t ＝0，所以s ，t 异号．因为－1是X 中唯一的负数，所以s ，t 之中一个为－1，另一个为1，故1∈X . 假设x k ＝1，其中1＜k ＜n ，则0＜x 1＜1＜x n .选取1＝(x 1，x n )∈Y ，并设2＝(s ，t )∈Y 满足1·2＝0，即sx 1＋tx n ＝0，则s ，t 异号，从而s ，t 之中恰有一个为－1.若s ＝－1，则x 1＝tx n ＞t ＞x 1，矛盾；若t ＝－1，则x n ＝sx 1＜s ≤x n ，矛盾．所以x 1＝1.(3)设1＝(s 1，t 1)，2＝(s 2，t 2)，则1·2＝0等价于s 1t 1＝－t 2s 2，记B ＝⎩⎨⎧ s t |}s ∈X ，t ∈X ，|s |＞|t |，则数集X 具有性质当且仅当数集B 关于原点对称．注意到－1是X 中的唯一负数，B ∩(－∞，0)＝{－x 2，－x 3，…，－x n }共有n －1个数，所以B ∩(0，＋∞)也只有n －1个数．由于x n x n －1＜x n x n －2＜…＜x n x 2＜x n x 1，已有n －1个数，对以下三角数阵 x n x n －1＜x n x n －2＜…＜x n x 2＜x n x 1， x n －1x n －2＜x n －1x n －3＜…＜x n －1x 1， …x 2x 1.注意到x n x 1＞x n －1x 1＞…＞x 2x 1，所以x n x n －1＝x n －1x n －2＝…＝x 2x 1，从而数列的通项为x k ＝x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1k －1＝q k －1，k ＝1,2，…，n .。

2012年上海市高考数学试卷理科学生版

2012年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（56分）：=上海）计算：（i为虚数单位）．（1．4分）（2012?2．（4分）（2012?上海）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=．．的值域是=）（x分）（2012?上海）函数f3．（4的倾斜角ll的一个法向量，则2，1）是直线4．（分）（2012?上海）若=（﹣4．（结果用反三角函数值表示）的大小为的二项展开式中，常数项等于分）4（2012?上海）在．5．（6．（4分）（2012?上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V，V，…，V，…，则（V+V+…+V）═．n211n2xa||﹣（a为常数）．若f（）2012?上海）已知函数f（x=ex）在区间[1，47．（分）（+∞）上是增函数，则a的取值范围是．8．（4分）（2012?上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．2是奇函数，且f（1）=1，若+xg（x）=f上海）已知9．（4分）（2012?y=f（x）（x）+2，则g（﹣1）=．10．（4分）（2012?上海）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极．的形式，则f（θ）=）的极坐标方程写成a=轴的夹角，若将lρ=f（θ上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人（2012?分）11．（4都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是．（结果用最简分数表示）的长分别、，边中，∠上海）在平行四边形（4．12（分）2012?ABCDA=ABAD 的CD上的点，且满足=，则，为2、1若M、N分别是边BC、取值范围是．13．（4分）（2012?上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为．14．（4分）（2012?上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是．：20分）二、选择题（2的一个复数+c=0+bx是关于1+ix的实系数方程x15．（5分）（2012?上海）若）根，则（1﹣b=2，c=，c=﹣1D．﹣，c=3B．b=﹣2，c=3C．b=2．Ab=2222的形状是ABCCsin＜Bsin5分）（2012?上海）在△ABC中，若sin，则△A+．16（）（．不能确定DC．钝角三角形A．锐角三角形B．直角三角形54取值，随机变量x=10ξx＜x＜x≤10，1017．（5分）（2012?上海）设≤x＜125134、、取值、的概率均为0.2，随机变量ξ、x、x、xx、x242315）（ξ分别为、ξ的方差，则、，、的概率也均为0.2若记DξDξ2211 Dξ＞DξA．21=Dξ．BDξ21DξDξ＜．C21．D．Dξ与Dξ的大小关系与x、x、x、x的取值有关41322118．（5分）（2012?上海）设a=sin，S=a+a+…+a，在S，S，…S中，正100n21n12n数的个数是（）A．25B．50C．75D．100分）三、解答题（共小题，满分745PA中，底面ABCDABCD是矩形，分）（2012?上海）如图，在四棱锥P﹣1219．（，求：，PA=2PC的中点，已知AB=2，AD=2是⊥底面ABCD，E的面积；）三角形PCD（1所成的角的大小．AE（2）异面直线BC与）+1）=lg（x14分）（2012?上海）已知f（x20．（的取值范围；x）＜1，求x1﹣2x）﹣f（f（1）若0＜（，求函）（xg（x）=f0g（x）是以2为周期的偶函数，且当≤x≤1时，2（）若）的反函数．2]∈[1，y=g数（x）（x上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前2012?14分）（（21．海里为单1位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以处，如图，现假设：A12海里位长度），则救援船恰好在失事船正南方向；①失事船的移动路径可视为抛物线②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；7t小时后，失事船所在位置的横坐标为③救援船出发t的纵坐标，若此时两船恰好会合，求P）当t=0.5时，写出失事船所在位置1（救援船速度的大小和方向．）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（222．y：2x=1﹣分）（2012?上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C22．（16 1xC的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及1）过C的左顶点引（11轴围成的三角形的面积；22OP=1+y相切，求证：P、Q两点，若l与圆x1（2）设斜率为的直线l交C于1；⊥OQ22，求ONOMC上的动点，且⊥M、N分别是C（3）设椭圆C：4x+y、=1，若212的距离是定值．MN证：O到直线x＜＜x}…，x，其中02012?（上海）对于数集X={﹣1，x，x，23．（18分）2211n存在，，}若对任意，t∈Xsnx，≥2，定义向量集Y={=（s，t），∈X＜＜…n．}2具有性质P．例如，则称X具有性质P{﹣1，1，，使得的值；，求1，，2，x}具有性质Px{x（1）若＞2，且﹣1；x1时，=1＞∈具有性质（2）若XP，求证：1X，且当x1n的，x，，求有穷数列q=qx=1xPX3（）若具有性质，且、（为常数）x…，x n1221通项公式．。

高考真题试卷理科数学(上海卷)答案解析版

2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理）一、填空题（56分）：1．计算：=+-ii 13 （i 为虚数单位）。

【解析】复数i i i i i i i i 21242)1)(1()1)(3(13-=-=-+--=+-。

【答案】i 21-2．若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A 。

【解析】集合}21{}012{->=>+=x x x x A ，}31{}21{<<-=<-=x x x x B ，所以}321{<<-=x x B A ，即)3,21(-。

【答案】)3,21(- 3．函数1sin cos 2)(-= x x x f 的值域是。

【解析】函数x x x x f 2sin 212cos sin 2)(--=--=，因为12sin 1≤≤-x ，所以212sin 2121≤-≤-x ，232sin 21225-≤--≤-x ，即函数)(x f 的值域为]23,25[--。

【答案】]23,25[-- 4．若)1,2(-=是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）。

【解析】【设倾斜角为α，由题意可知，直线的一个方向向量为（1,2），则2tan =α， ∴α=2arctan 。

【答案】2arctan5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于。

【解析】二项展开式的通项为k k k k k k k x C x x C T )2()2(26666661-=-=----+，令026=-k ，得3=k ，所以常数项为160)2(3364-=-=C T 。

【答案】160-6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为，，，，n V V V 21，则=+++∞→)(lim 21n n V V V 。

【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，81为公比的等比数列， ∴1V +2V +…+n V =811811--n =)811(78n -，∴=+++∞→)(lim 21n n V V V 78。

2012年高考数学(理)真题(Word版)——新课标卷(试题+答案解析)

(1)证明：DC1⊥BC；
(2)求二面角A1－BD－C1的大小．
图1－5
20．·设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．
(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4 ，求p的值及圆F的方程；
(2)若ABF三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．
11．A[解析]设三角形ABC的中心为M，球心为O，则OM⊥平面ABC，且OM＝＝ .所以此棱锥的高h＝2OM＝ .所以此棱锥的体积V＝ × ×1× × ＝ .故选A.
12．B[解析]因为y＝ ex和y＝ln(2x)互为反函数，关于直线y＝x对称，所以当曲线y＝ ex和y＝ln(2x)的切线的斜率都为1时，两条切线间的距离即为|PQ|的最小值．令y′＝ ex＝1，得x＝ln2.所以y＝ ex的斜率为1的切线的切点是(ln2,1)，所以切点(ln2,1)到直线y＝x的距离为d＝＝ .所以|PQ|min＝2d＝2 ＝ (1－ln2)．故选B.
a4n＝a4n－1＋2(4n－1)－1，
a4n＋1＝－a4n＋2×4n－1，
a4n＋2＝a4n＋1＋2(4n＋1)－1，
a4n＋3＝－a4n＋2＋2(4n＋2)－1，
a4n＋4＝a4n＋3＋2(4n＋3)－1，
所以a4n＋4＝a4n＋3＋2(4n＋3)－1＝－a4n＋2＋2(4n＋2)－1＋2(4n＋3)－1
即bn＋1＝bn＋16.故数列{bn}是等差数列．
又a2－a1＝2×1－1，①
a3＋a2＝2×2－1，②
a4－a3＝2×3－1，③
②－①得a3＋a1＝2；②＋③得a2＋a4＝8，

MXT-2012年上海高考数学理科试题及答案

2012年上海高考数学(理科)试卷一、填空题(本大题共有14题，满分56分) (12上海)1.计算：ii+-13= (i 为虚数单位). (12上海)2.若集合}012|{>+=x x A ，}21|{<-=x x B ，则B A I = . (12上海)3.函数1sin cos 2)(-=x xx f 的值域是 .(12上海)4.若)1,2(-=是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 (结果用反三角函数值表示).(12上海)5.在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 . (12上海)6.有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V Λ .(12上海)7.已知函数||)(a x ex f -=(a 为常数).若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范围是 .(12上海)8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 . (12上海)9.已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g .(12上海)10.如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=.若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf .(12上海)11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示).(12上海)12.在平行四边形ABCD 中，∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD ||||CD BC =，则AN AM ⋅的取值范围是 . (12上海)13.已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，若中A (0,0)，B (21,5)，C (1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为 .(12上海)14.如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c ，且AB+BD=AC+CD=2a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 .二、选择题(本大题共有4题，满分20分) (12上海)15.若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则 ( )(A)3,2==c b .(B)3,2=-=c b .(C)1,2-=-=c b .(D)1,2-==c b .(12上海)16.在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是 ( )(A)锐角三角形.(B)直角三角形.(C)钝角三角形.(D)不能确定.(12上海)17.设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x . 随机变量1ξ取值1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值221x x +、232x x +、243x x +、254x x +、215x x +的概率也为0.2. 若记1ξD 、2ξD 分别为1ξ、2ξ的方差，则( )(A)1ξD >2ξD .(B)1ξD =2ξD .(C)1ξD <2ξD .(D)1ξD 与2ξD 的大小关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关.(12上海)18.设251sin πn n n a =，n na a a S +++=Λ21. 在10021,,,S S S Λ中，正数的个数是 ( )(A)25. (B)50. (C)75. (D)100. 三、解答题(本大题共有5题，满分74分)(12上海)19.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB=2，AD=22，P A=2.求：(1)三角形PCD 的面积；(6分) (2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小.(6分)(12上海)20.已知函数)1lg()(+=x x f .(1) 若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；(6分)(2) 若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数ABCDA BCD P E)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.(8分)(12上海)21.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7. (1)当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(6分)(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8分)(12上海)22.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .(1)过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；(4分)(2)设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OP ⊥OQ ；(6分)(3)设椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O到直线MN 的距离是定值.(6分)(12上海)23.对于数集},,,,1{21n x x x X Λ-=，其中n x x x <<<<Λ210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X 具有性质P . 例如}2,1,1{-=X 具有性质P . (1)若x >2，且},2,1,1{x -，求x 的值；(4分)(2)若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n >1时，x 1=1；(6分)(3)若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q (q 为常数)，求有穷数列n x x x ,,,21Λ的通项公式.(8分)2012年上海高考数学(理科)试卷解答一、填空题(本大题共有14题，满分56分)1.计算：ii+-13= 1－2i (i 为虚数单位).[解析] i i i i i i i i 212413)1)(1()1)(3(13-=--=-+--=+-.2.若集合}012|{>+=x x A ，}21|{<-=x x B ，则B A I =)3,(21- . [解析] ),(21∞+-=A ，)3,1(-=B ，A ∩B =)3,(21-. 3.函数1sin cos 2)(-=x xx f 的值域是],[2325-- .[解析]x x x x f 2sin 2cos sin 2)(21--=--=∈],[2325--.4.若)1,2(-=是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 arctan 2 (结果用反三角函数值表示). [解析] 方向向量)2,1(=，所以2=l k ，倾斜角α=arctan 2. 5.在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于－160 .[解析] 展开式通项rr r r r r r r r r x C x x C T 2666612)1(2)1(---+-=-=，令6－2r =0，得r =3，故常数项为1602336-=⨯-C .6.有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V Λ78 .[解析] 易知V 1,V 2,…,V n ,…是以1为首项，3为公比的等比数列，所以 78121811)(lim ==+++-∞→Vn n V V V Λ. 7.已知函数||)(a x e x f -=(a 为常数).若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范围是 (－∞, 1] . [解析]令||)(a x x g -=，则)()(x g ex f =，由于底数1>e ，故)(x f ↑ )(x g ↑，由)(x g 的图像知)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数时，a ≤1. 8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为π3 .[解析] 如图，ππ2221=l ⇒l =2，又2πr2=πl =2π⇒r =1，所以h=3，故体积ππ33231==h r V .9.已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g －1 . [解析] 2)(x x f y +=是奇函数，则4]1)1([)1()1(22-=+-=-+-f f ，所以3)1(-=-f ， 1. 10.如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l6πα=.若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则 =)(θf )sin(16θπ- .[解析] )0,2(M 的直角坐标也是(2,0)，斜率31=k ，所以其直角坐标方程为23=-y x ，化为极坐标方程为：2sin 3cos =-θρθρ，1)sin cos (2321=-θθρ，1)sin(6=-θρπ，)sin(16θπρ-=，即=)(θf )sin(16θπ-.(或=)(θf )cos(13πθ+)11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是32(结果用最简分数表示). [解析] 设概率p=n k ，则27232323=⋅⋅=C C C n ，求k ，分三步：①选二人，让他们选择的项目相同，有23C 种；②确定上述二人所选择的相同的项目，有13C 种；③确定另一人所选的项目，有12C 种. 所以18121323=⋅⋅=C C C k ，故p=322718=.12.在平行四边形ABCD 中，∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD ||||CD BC =，则AN AM ⋅的取值范围是 [2, 5] . [解析] 如图建系，则A (0,0)，B (2,0)，D (21,23)，C (25,23).t CD BC ==||||∈[0,1]，则t BM =||，t 2||=，所以M (2+2t,23t )，N (25－2t ,23)，故AN AM ⋅=(2+2t)(25－2t )+23t ⋅23=)(6)1(5222t f t t t =++-=+--，因为t ∈[0,1]，所以f (t )递减，(AN AM ⋅)max = f (0)=5，(AN AM ⋅)min = f (1)=2.[评注] 当然从抢分的战略上，可冒用两个特殊点：M 在B (N 在C )和M 在C (N 在D )，而本案恰是在这两点处取得最值，蒙对了，又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了! 13.已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，若中A (0,0)，B (21,5)，C (1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为45.[解析]如图1，⎩⎨⎧≤<-≤≤=1,10100,10)(2121x x x x x f ，所以⎩⎨⎧≤<+-≤≤==1,10100,10)(212212x x x x x x xf y ，易知，y =xf (x )的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同，只是开口方向及顶点位置不同，如图2，封闭图形MND 与OMP 全等，面积相等，故所求面积即为矩形ODMP 的面积S=452521=⨯.[评注]对于曲边图形，上海现行教材中不出微积分，能用微积分求此面积的考生恐是极少的，而对于极大部分考生，等积变换是唯一的出路。

2012学年高考理科数学年上海卷答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) =，{A B a b【提示】由题意，集合选项。

【考点】并集及其运算。

AE=，正方形的边长也为【解析】||1||||||EC CD EC -CED △||||a ba b =成立，则a 与b 方向相同，选项中只有【提示】利用向量共线的充要条件，求已知等式的充要条件，进而可利用命题充要条件的定义得其充分条M 在抛物线上，M∴到焦点的距离等于到准线的距离，即22 4AO POR==2arccos4R【考点】反三角函数的运用，球面距离及相关计算。

【解析】()(f x x=()2f x-，1()f a f +1()g a ∴+()g a ∴为747a a +=【提示】根据()f x =7a +的值。

z ，轴，建立空间直角坐标系。

故10,2,12,1,2DN MA ==-（），（11(,)0||||DN MA DN MA DN MA ==，故D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出DN 与1MA 夹角求出异面直线，又22a c-=【提示】先画出图象，结合图象以及椭圆的定义求出FAB△【提示】（1）求出“至少有一个系统不发生故障”的对立事件的概率，利用至少有一个系统不发生故障的概率为49，可求p的值。

【提示】（1）将21cos sin cos 222()2x x x x f =--化为π()4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即可求得()f x 的最小正周期和值19.【答案】（1）解：连接OC 。

由已知，OCP ∠为直线PC 与平面ABC 所成的角。

设AB 的中点为D ，连接.PD CD 、因为AB BC CA ==，所以CD AB ⊥．因为9060APB PAB ∠=︒∠=︒，，所以PAD △为等边三角形，不妨设2PA =，则14OD OP AB ===，．所以CD =，OC ==。

【提示】（1）连接OC 。

由已知，OCP ∠为直线PC 与平面ABC 所成的角。

上海高考数学试题(理科)答案与解析.doc

2012上海高考数学试题（理科）答案与解析一．填空题 1．计算：3-i=1+i（i 为虚数单位）. 【答案】1-2i 【解析】3-i (3-i)(1-i)2-4i ===1-2i 1+i (1+i)(1-i)2. 【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可.2．若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A . 【答案】 ⎪⎭⎫⎝⎛-3,21 【解析】根据集合A 210x +>，解得12x >-，由12,,13x x --<<得到，所以⎪⎭⎫⎝⎛-=3,21B A .【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式的解法.解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴或韦恩图解决. 3．函数1sin cos 2)(-= x x x f 的值域是 .【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡--23,25 【解析】根据题目22sin 212cos sin )(--=--=x x x x f ，因为12sin 1≤≤-x ，所以23)(25-≤≤-x f . 【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的范围、二倍角公式，属于容易题，难度较小.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质.4．若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】2arctan【解析】设直线的倾斜角为α，则2arctan ,2tan ==αα.【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小. 5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 . 【答案】160-【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是333462C ()160T x x=-=- . 【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为，，，，n V V V 21，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .【答案】78【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，788111)(lim 21=-=+++∞→n n V V V . 【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合. 7．已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）.若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是 . 【答案】(]1,∞-【解析】根据函数,(),x a x ax a e x a f x ee x a---+⎧≥⎪==⎨<⎪⎩看出当a x ≥时函数增函数，而已知函数)(x f 在区间[)+∞,1上为增函数，所以a 的取值范围为：(]1,∞- .【点评】本题主要考查指数函数单调性，复合函数的单调性的判断，分类讨论在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 . 【答案】33π 【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为r ，母线长为l ，根据条件得到ππ2212=l ，解得母线长2=l ，1,22===r l r πππ所以该圆锥的体积为：ππ331231S 3122=-⨯==h V 圆锥.【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意，所求的为体积，不是其他的量，分清图形在展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记牢，属于中低档题.9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g . 【答案】1- 【解析】因为函数2)(x x f y +=为奇函数，所以,3)1(,1)1(,2)1()1(==+=g f f g 所以，又1232)1()1(,3)1(-=+-=+-=--=-f g f .(1)(1).f f -=-【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数)(x f y =为奇函数，所以有)()(x f x f -=-这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=，若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf .【答案】)6sin(1θπ-【解析】根据该直线过点)0,2(M ，可以直接写出代数形式的方程为：)2(21-=x y ，将此化成极坐标系下的参数方程即可，化简得)6sin(1)(θπθ-=f .【点评】本题主要考查极坐标系，本部分为选学内容，几乎年年都有所涉及，题目类型以小题为主，复习时，注意掌握基本规律和基础知识即可.对于不常见的曲线的参数方程不作要求.本题属于中档题，难度适中.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）. 【答案】32 【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为32. 【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.12．在平行四边形ABCD 中，3π=∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD ||||CD BC =AN AM ⋅的取值范围是 .【答案】[]5,2【解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1,2==AD AB ，所以51(0,0),(2,0),(,1)(,1).22A B C D 设1515515151(,1)(), , - , - , (2,()sin ).22224284423N x x BM CN CN x BM x M x x π≤≤===+--则根据题意，有)83235,4821(),1,(xx AM x AN --==→→.所以83235)4821(x x x AN AM -+-=•→→⎪⎭⎫⎝⎛≤≤2521x ，所以2 5.AM AN →→≤•≤642246105510ADCBMN【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.13．已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 . 【答案】45 【解析】根据题意得到，110,02()11010,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤⎪⎩从而得到22110,02()11010,12x x y xf x x x x ⎧≤≤⎪⎪==⎨⎪-+<≤⎪⎩所以围成的面积为45)1010(10121221=+-+=⎰⎰dx x x xdx S ，所以围成的图形的面积为45 .【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大. 14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2=BC ，若c AD 2=，且a CD AC BD AB 2=+=+，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 . 【答案】13222--c a c 【解析】据题a CD AC BD AB 2=+=+，也就是说，线段CD AC BD AB ++与线段的长度是定值，因为棱AD 与棱BC 互相垂直，当ABD BC 平面⊥时，此时有最大值，此时最大值为：13222--c a c . 【点评】本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件构造体积表达式，这是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大.属于中高档试题.二、选择题（20分） 15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（）A ．3,2==c bB ．3,2=-=c bC ．1,2-=-=c bD ．1,2-==c b 【答案】 B【解析】根据实系数方程的根的特点1也是该方程的另一个根，所以b i i -==-++22121，即2-=b ，c i i ==+-3)21)(21(，故答案选择B.【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算，属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.16．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定【答案】C【解析】由正弦定理，得,sin 2,sin 2,sin 2C RcB R b A R a ===代入得到222a b c +<，由余弦定理的推理得222cos 02a b c C ab+-=<，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择A.【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x ，随机变量1ξ取值54321x x x x x 、、、、的概率均为2.0，随机变量2ξ取值222221554433221x x x x x x x x x x +++++、、、、的概率也均为2.0，若记21ξξD D 、分别为21ξξ、的方差，则（） A ．21ξξD D > B ．21ξξD D =C ．21ξξD D < D ．1ξD 与2ξD 的大小关系与4321x x x x 、、、的取值有关【答案】 A【解析】由随机变量21,ξξ的取值情况，它们的平均数分别为：1123451(),5x x x x x x =++++，2334455112211,522222x x x x x x x x x x x x +++++⎛⎫=++++= ⎪⎝⎭且随机变量21,ξξ的概率都为2.0，所以有1ξD ＞2ξD . 故选择A.【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题. 18．设25sin1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（） A ．25 B ．50 C ．75 D ．100 【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形， P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB=2， AD=22，P A=2.求：（1）三角形PCD 的面积；（6分）（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.（6分）[解]（1）因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ，又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面P AD ，从而CD ⊥PD . ……3分因为PD=32)22(222=+，CD =2，所以三角形PCD 的面积为3232221=⨯⨯.（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，则B (2, 0, 0)，C (2, 22,0)，E (1, 2, 1)，)1,2,1(=AE ，)0,22,0(=BC . ……8 设AE 与BC 的夹角为θ，则222224||||cos ===⨯⋅BC AE BC AE θ，θ=4π. 由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π ……12分 [解法二]取PB 中点F ，连接EF 、AF ，则 EF ∥BC ，从而∠AEF （或其补角）是异面直线 BC 与AE 所成的角 ……8分在AEF ∆中，由EF =2、AF =2、AE =2知AEF ∆是等腰直角三角形，所以∠AEF =4π.因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π ……12分【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题． 20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分） [解]（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x x x x 得101122<<+-x x . ……3分因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x .由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . ……6分（2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==. ……10分由单调性可得]2lg ,0[∈y .yA B CDP EF因为yx 103-=，所以所求反函数是xy 103-=，]2lg ,0[∈x . ……14分【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识．考查数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题．21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8[解]（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程y =中，得P 的纵坐标y P =3. ……2分由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时. ……4分由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度. ……6分（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v .……10分因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分 22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；（4分）（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证： OP ⊥OQ ；（6分）（3）设椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值.（6分） [解]（1）双曲线1:21212=-y C x ，左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：x y 2±=.过点A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为)(222+=x y ，即12+=x y . 解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x . ……2分所以所求三角形的面积1为8221||||==y OA S . ……4分（2）设直线PQ 的方程是b x y +=.因直线与已知圆相切，故12||=b ，即22=b . ……6分由⎩⎨⎧=-+=1222y x b x y ，得01222=---b bx x .设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎩⎨⎧--==+1222121b x x bx x . 又2，所以221212121)(2b x x b x x y y x x OQ OP +++=+=⋅022)1(2222=-=+⋅+--=b b b b b ，故OP ⊥OQ . ……10分（3）当直线ON 垂直于x 轴时， |ON |=1，|OM |=22，则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为kx y =（显然22||>k ），则直线OM 的方程为x y k1-=. 由⎩⎨⎧=+=1422y x kx y ，得⎪⎩⎪⎨⎧==++22242412k k k y x ，所以22412||k k ON ++=.同理121222||-+=k k OM . ……13分设O 到直线MN 的距离为d ，因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+，所以3133||1||1122222==+=++k k ON OM d ，即d =33.综上，O 到直线MN 的距离是定值. ……16分【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为x y ±=，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题．23．对于数集},,,,1{21n x x x X -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X 具有性质P . 例如}2,1,1{-=X 具有性质P . （1）若x ＞2，且},2,1,1{x -，求x 的值；（4分）（2）若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1=1；（6分）（3）若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q （q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21 的通项公式.（8分）[解]（1）选取)2,(1x a =，Y 中与1a 垂直的元素必有形式),1(b -. ……2分所以x =2b ，从而x =4. ……4分（2）证明：取Y x x a ∈=),(111.设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a .由0)(1=+x t s 得0=+t s ，所以s 、t 异号.因为-1是X 中唯一的负数，所以s 、t 中之一为-1，另一为1，故1∈X . ……7分假设1=k x ，其中n k <<1，则n x x <<<101.选取Y x x a n ∈=),(11，并设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a ，即01=+n tx sx ，则s 、t 异号，从而s 、t 之中恰有一个为-1.若s =-1，则2，矛盾；若t =-1，则n n x s sx x ≤<=1，矛盾.所以x 1=1. ……10分（3）[解法一]猜测1-=i i q x ，i =1, 2, …, n . ……12分记},,,1,1{2k k x x A -=，k =2, 3, …, n . 先证明：若1+k A 具有性质P ，则k A 也具有性质P.任取),(1t s a =，s 、t ∈k A .当s 、t 中出现-1时，显然有2a 满足021=⋅a a ；当1-≠s 且1-≠t 时，s 、t ≥1.因为1+k A 具有性质P ，所以有),(112t s a =，1s 、1t ∈1+k A ，使得021=⋅a a ，从而1s 和1t 中有一个是-1，不妨设1s =-1.假设1t ∈1+k A 且1t ∉k A ，则11+=k x t .由0),1(),(1=-⋅+k x t s ，得11++≥=k k x tx s ，与s ∈k A 矛盾.所以1t ∈k A .从而k A 也具有性质P. ……15分现用数学归纳法证明：1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .当n =2时，结论显然成立；假设n=k 时，},,,1,1{2k k x x A -=有性质P ，则1-=i i q x ，i =1, 2, …, k ；当n=k +1时，若},,,,1,1{121++-=k k k x x x A 有性质P ，则},,,1,1{2k k x x A -=也有性质P ，所以},,,,1,1{111+-+-=k k k x q q A .取),(11q x a k +=，并设),(2t s a =满足021=⋅a a ，即01=++qt s x k .由此可得s与t 中有且只有一个为-1.若1-=t ，则1，不可能；所以1-=s ，k k k q q q qt x =⋅≤=-+11，又11-+>k k q x ，所以kk q x =+1. 综上所述，1-=i i q x 1-=i i q x ，i =1, 2, …, n . ……18分[解法二]设),(111t s a =，),(222t s a =，则021=⋅a a 等价于2211s tt s -=.记|}|||,,|{t s X t X s B ts >∈∈=，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于原点对称. ……14分注意到-1是X 中的唯一负数，},,,{)0,(32n x x x B ---=-∞ 共有n -1个数，所以),0(∞+ B 也只有n -1个数. 由于1221x x x x x x x x n n n n n n<<<<-- ，已有n -1个数，对以下三角数阵1221x x x x x x x x n n n n n n <<<<--113121x x x x x x n n n n n -----<<<……12x x 注意到12111x x x x x x n n >>>- ，所以12211x x x x x x n n n n ===--- ，从而数列的通项公式为111)(12--==k k x xk q x x ，k =1, 2, …, n . ……18分【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“X具有性质P”这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查集合的基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．。

2012年上海理科高考数学试题及答案

2( b 2 1) b 2b b 2 b 2 2 0, 故 OP ± OQ. ••…10 分 (3)当直线ON 垂直于x 轴时，|ON|=1, |OM|= 22，贝U O 到直线MN 的距离为33 . 一 ………一^ 、 .一. _2设O 到直线MN 的距离为d,因为(|OM |所以 1212 12 3k 23 3,即 d=:d 2 |OM |2 |ON |2 k 2 13综上，O 到直线MN 的距离是定值.23.对于数集 X ( 1,x 1,x 2, , x n ｝,其中 0 x 1 x 2X ｝.若对于任意a1 Y ，存在a? Y ，使得a1 a 2 0 ,则称X具有性质P.例如X ( 1,1, 2｝具有性质P.(1)若 x>2,且｛ 1, 1, 2, x ｝，求 x 的值；(4 分)(2) 若X 具有性质P,求证：1 X,且当x n>1时，x 〔=1; (6分) (3)若X 具有性质P,且x 〔=1, x 2=q (q 为常数)，求有穷数列 x 〔，x 2,, x n 的通项公式.(8分)［解］(1)选取a 1 (x, 2), 丫中与a 1垂直的元素必有形式(1, b).……2分所以x=2b,从而x=4...... 4分(2) 证明：取 a 1 (x 1, x 1) Y .设 a 2 (s, t) Y 满足 a1 a 2 0.由(s t)x 〔 0得s t 0,所以s 、t 异号.因为-1是X 中唯一的负数，所以 s 、t 中之一为-1,另一为1, 故1 X. ……7分假设x k 1，其中1 k n,则0 x 〔 1 x n .选取 a 〔 (x 〔，x n )Y ,并设 a 2 (s,t) Y满足a1 a 2 0,即 s%tx n0 ,则s 、t 异号，从而s 、t 之中恰有一个为-1. 若s=-1,则2,矛盾；若 t =-1,则 x n sx 1 s x n ，矛盾. 所以x 1=1.……10分___i 1八(3) ［解法一］猜测x q , i=1,2,…，n.……12分记 A k { 1,1, x 2,, x k } , k =2, 3, ■" , n.先证明：若A k 1具有性质P,则A k 也具有性质P.任取a 1 (s, t) , s 、t A k .当s 、t 中出现-1时，显然有a 2满足a1 a 2 0；当s 1且t 1时，s 、t 消. 因为A k1具有性质P,所以有a 2 (s1,t1) , &、t 1A k1,使得a1 a 2 0,从而s 1和t 1中有一个是-1,不妨设§ =-1.当直线设直线 ON 不垂直于 ON 的方程为由y 2 4x 2 kx 2 y 同理|OM |2x 轴时, kx 2 x2y(显然| k| 14kk ,所以 k 2 22 )，则直线OM |ON |2 4 k ：的方程为y 1x. 13分_2 2 _ 2 _ 2|ON | )d |OM | |ON | ,..... 16分xn, n 2 ,定义向量集Y (a|a (s,t),s X,t假设t1 A k 1 且t1 A k ,则t1 x k 1.由(s, t) ( 1, x k 1) 0 ,得s tx k 1 x k 1,与2 2 22( b 1) b 2b b b 2 0, 故 OPLOQ.••…10 分(3)当直线ON 垂直于x 轴时，|ON|=1, |OM|= I ,贝U O 到直线MN 的距离为33 .当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y kx (显然| k| ；),贝U 直线OM 的方程为y 〔 x .29222设O 到直线MN 的距离为d,因为(|OM| |ON I )d |OM I I ON I , 所以 L 1 212 3k 2 33,即 d=:.d 2 |OM |2 |ON |2 k 2 13综上，O 到直线MN 的距离是定值. ……16分23.对于数集X ( 1,X1,X2, , Xn},其中0 Xi X 2 Xn , n 2 ,定义向量集X).若对于任意& Y ,存在a 2 Y ,使得务& 0 ,则称X具有性质R 例如X ( 1,1,2｝具有性质P.(1) 若 x>2,且｛ 1, 1, 2, X ｝，求 x 的值；(4 分)(2) 若X 具有性质P,求证：1 X,且当Xn>1时，xi=1; (6分) (3) 若X 具有性质P,且xi=i, x2=q (q 为常数)，求有穷数列 Xi,X2, , Xn 的通项公式.(8分)［解］(1)选取务(x,2), Y 中与&垂直的元素必有形式(1, b).……2分所以x=2b,从而x=4....... 4分(2) 证明：取％ (x 〔，Xi) Y.设去(s, t) Y 满足角a 2 0.由(s t)xi 。