高二数学圆锥曲线单元检测试卷 试题

高二数学圆锥曲线单元检测试卷
制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅……
日期：2022年二月八日。

〔考试时间是是100分钟 总分120分〕
一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分．在每一小题给出的四个选项里面，只
有一项是哪一项符合要求的．〕
1、12,F F 是椭圆22
1169
x y +=的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于点,A B ，假设||5,AB =那么12||||AF BF +等于〔 〕
〔A 〕11 〔B 〕10 〔C 〕9 〔D 〕16
2、中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率e =，一条准线方程为30x -=的双曲线方程是〔 〕
〔A 〕22134x y -= 〔B 〕22153y x -= 〔C 〕22124x y -= 〔D 〕22
142
y x -= 3、抛物线2
14
y x =关于直线0x y -=对称的抛物线的焦点坐标是〔 〕 〔A 〕(1,0) 〔B 〕1(,0)16 〔C 〕(0,0) 〔D 〕1(0,)16
4、椭圆上一点P 到一个焦点的间隔 恰好等于短半轴的长b ，且它的离心率2
e =
， 那么P 到另一焦点的对应准线的间隔 为〔 〕
〔A 〔B 〕3 〔C 〔D 〕 5、双曲线的两渐近线的夹角是32arctan
4
，那么双曲线的离心率是〔 〕 〔A 〕53 〔B 〕54 〔C 〕53或者54 〔D 〕35或者45 6、以抛物线2
2(0)y px p =>上一点Q 与焦点F 的连线QF 为直径的圆与y 轴的关系是〔 〕
〔A 〕相切 〔B 〕相交 〔C 〕相离 〔D 〕不定
7、设椭圆22162x y +=和双曲线2
213
x y -=的公一共焦点为12,,F F P 是两曲线的一个公一共点， 那么12cos F PF ∠等于〔 〕
〔A 〕14 〔B 〕13 〔C 〕19 〔D 〕35
8、,A B 是抛物线22(0)y px p =>上两点，O 为坐标原点，假设||||OA OB =，且AOB ∆的垂心恰是
此抛物线的焦点，那么直线AB 的方程是〔 〕
〔A 〕x p = 〔B 〕3x p = 〔C 〕32x p = 〔D 〕52
x p = 9、双曲线22
154
x y -=，假设将该双曲线绕着它的右焦点逆时针旋转90︒后，所得双曲线的 一条准线方程是〔 〕
〔A 〕43y =- 〔B 〕43y = 〔C 〕163y = 〔D 〕163
y =- 10、直线10x y --=与实轴在y 轴上的双曲线22(0)x y m m -=≠的交点在以原点为中心、边长为2且
各边分别平行于坐标轴的正方形的内部，那么m 的取值范围是〔 〕
〔A 〕01m << 〔B 〕0m < 〔C 〕10m -<< 〔D 〕1m <-
二、填空题〔此题一共4小题，每一小题4分，一共16分，把答案填在题中横线上．〕
11、椭圆的中心在原点，且有一焦点是抛物线28y x =的焦点，其离心率12
e =
，那么这个椭圆的HY 方程是 ；
12、直线y x b =+与双曲线2221x y -=相交于,A B 两点，假设以AB 的直径的圆过原点，那么b 的值
是 ；
13、直线y x m =+与曲线y =m 的取值范围是 ；
14、对于顶点在原点的抛物线，给出以下条件：
〔1〕焦点在y 轴上；〔2〕焦点在x 轴上；〔3〕抛物线上横坐标为1的点到焦点的间隔 等于6；〔4〕抛
物线通径为5；〔5〕由原点向过焦点的某一条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)
能使这抛物线为2
10y x =的条件是 〔要求填写上适宜条件的序号〕.
三．解答题〔本小题一共5小题，一共54分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．〕
15、〔本小题8分〕
假设抛物线通过直线y =与圆2260x y x +-=的交点，且关于坐标轴对称，求抛物线的HY 方程.
16、〔本小题8分〕 抛物线的顶点为椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>的中心.椭圆的离心率是抛物线离心率的一半，且它们的准
线互相平行。

又抛物线与椭圆交于点2(,33M -
，求抛物线与椭圆的方程.
17．〔本小题12分〕设抛物线24(0)y px p =>的准线与x 轴交点为M ，过点M 作直线l 交抛物线与不
同的点,A B 两点.〔1〕求线段AB 中点的轨迹方程；
〔2〕假设线段AB 的垂直平分线交抛物线对称轴与0(,0)N x ，求证：03x p >.
18．〔本小题12分〕如图，在梯形ABCD 中，||2||AB CD =，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，
双曲线过C D E 、、三点，且以,A B 为焦点，当2334
λ≤≤时，求双曲线离心率e 的取值范围.
19．〔本小题14分〕
设双曲线
2
2
2
:1
x
C y
a
-=(0)
a>与直线:1
l x y
+=相交于两个不同的点,A B.
〔1〕求双曲线C的离心率e的取值范围.
〔2〕设直线l与y轴的交点为P，且
5
12
PA PB
=，求a的值.
参考答案
一、 选择题ACDDC ABDAC
二、 填空题11、112
162
2=+y x 12、2±=b 13、2622<≤m 14、⑵⑸
三、 解答题 15、解：由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=06222x y x x y 得⎩⎨⎧==0
0y x 或者⎩⎨⎧-==222y x 因为抛物线关于坐标轴对称且过点〔0，0〕，)22,2(-
所以抛物线的顶点在原点，故设抛物线的方程为)0(22>=p px y 或者py x 22-=)0(>p
84=∴p 或者p 244= 2=∴p 或者22=
p 设抛物线的方程为x y 42=或者y x 22-=
18、因为椭圆的准线垂直于x 轴且它与抛物线的准线互相平行
所以抛物线的焦点在x 轴上，可设抛物线的方程为)0(2≠=a ax y
)362,32(-M 在抛物线上a 3
2)362(2=-∴ 4=∴a ∴抛物线的方程为x y 42= )362,32(-M 在椭圆上 19249422=+∴b
a ① 又2122=-==a
b a a
c e ② 由①②可得3,422==b a ∴ 椭圆的方程是13
42
2=+y x 17、〔1〕)0(42>=p px y 的准线为p x -=故点M 的坐标为)0,(p -
设直线AB 的方程为)(p x k y +=代入px y 42=得
0)2(222222=+-+k p x p pk x k
设线段AB 的中点为),(y x P 那么⎩⎨⎧>--=∆≠04)2(40
4222k p p pk k 即102<<k
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=++=+=+-=-=+=∴k p p x x k y y y k p p k pk p x x x 2)2(2222212122221 消去k 得：)()(22p x p x p y >+= ∴ 线段AB 中点的轨迹方程为)()(22p x p x p y >+=.
〔2〕证明：抛物线)0(42>=p px y 对称轴为x 轴
AB 中点为〔2
2k p p +
-，k p 2〕线段AB 中垂线斜率为k 1- 故线段AB 的中垂线方程为)2(122k
p p x k k p y -+-=- 令0=y 得202k p p x += 由〔1〕可知交点AB 存在那么102<<k 故.30p x > 18、解：如图，以AB 为垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，那么CD ⊥y 轴。

因为双曲线经过
点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称。

依题意，记A ()0 ,c -，C ⎪⎭⎫ ⎝⎛h c , 2，E ()00 ,y x ，其中||2
1AB c =为双曲线的半焦距，h 是梯形的高。

由定比分点坐标公式得
()()122120+-=++-=λλλλc c c x ，λ
λ+=10h y 设双曲线的方程为12222=-b
y a x ，那么离心率a c e =。

由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和a
c e =代入双曲线方程得 142
2
2=-b h e ， ① 1112422
2
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b h e λλλλ ② 由①式得 142
22-=e b
h ， ③
将③式代入②式，整理得 ()λλ214442
+=-e ，故1
312+-=e λ。

由题设4332≤≤λ得，4
3231322≤+-≤e 。

解得 107≤≤e 所以双曲线的离心率的取值范围为
[]10 , 7。

19、解：〔I 〕由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧=+=-.1,1222
y x y a x 有两个不同的实数解.消去y 并整理得 〔1－a 2〕x 2+2a 2x －2a 2=0. ①
.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以 双曲线的离心率
).,2()2,26(
22
6,120.11122
+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a a a
a e 〔II 〕设)1,0(),,(),,(12211P y x B y x A
).1,(12
5)1,(,1252211-=-∴=y x y x PB PA .12521x x =由此得由于x 1，x 2
都是方程①的根，且1－a 2
≠0， .13
17,06028912,,.12125,12121722222222
2
2=>=----=--=a a a
a x a a x a a x 所以由得消去所以
制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。