人教版八年级第二学期3月份 质量检测数学试卷含答案

一、选择题
1．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为( )
A．121 B．110 C．100 D．90
2．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，在容器内壁离容器底部4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 cm的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm，则该圆柱底面周长为（）cm．
A．9 B．10 C．18 D．20
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线．若AC＝6，AB＝10，则点D到AB边的距离为（）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
4．如图所示，用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4.用，表示直角三角形的两直角边（），请仔细观察图案.下列关系式中不正确的是（）
A．B．
C．D．
5．已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是( )
A．2n﹣2B．2n﹣1C．2n D．2n+1
6．已知一个直角三角形的两边长分别为1和2，则第三边长是（）
A．3 B．3C．5D．3或5 7．ABC三边长为a、b、c，则下列条件能判断ABC是直角三角形的是（）A．a＝7，b＝8，c＝10 B．a＝41，b＝4，c＝5
C．a＝3，b＝2，c＝5D．a＝3，b＝4，c＝6
8．如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，则BC边上的高AD为（）
A．8 B．9 C．24
5
D．10
9．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是()
A．236
、、B．3、4、5
C．3、4、7D．2、3、4
10．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为5和3，则小正方形的面积为（）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．如图，在四边形ABCD中，22
AD=，3
CD=，
45
ABC ACB ADC
∠=∠=∠=︒，则BD的长为__________．
12．我国古代数学名著《九章算术》中有云：“今有木长二丈，围之三尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”大意为：有一根木头长2丈，上、下底面的周长为3尺，葛生长在木下的一方，绕木7周，葛梢与木头上端刚好齐平，则葛长是______尺．(注：l 丈等于10尺，葛缠木以最短的路径向上生长，误差忽略不计)
13．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，以BC 为斜边作等腰直角BCD ∆，连接DA ，若22AB =，42AC =，则DA 的长为______．
14．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°,以AC 为斜边向外作等腰直角三角形COA ，已知BC=8,OB=102,则另一直角边AB 的长为__________.
15．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的边长分别为5和12，则b 的面积为_________________.
16．如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD 是BAC ∠的角平分线，E 是AD 上的动点，F 是AB 边上的动点，则BE+EF 的最小值为_____．
17．如图，在四边形ABCD 中，AD =4，CD =3，∠ABC =∠ACB =∠ADC =45°，则
2________BD =．
18．如图的实线部分是由Rt ABC ∆经过两次折叠得到的.首先将Rt ABC ∆沿高CH 折叠，使点B 落在斜边上的点B '处，再沿CM 折叠，使点A 落在CB '的延长线上的点A '处.若图中90ACB ∠=︒，15cm BC =，20cm AC =，则MB '的长为______.
19．如图，直线423
y x =
+与x 轴、y 轴分别交于点B 和点A ，点C 是线段OA 上的一点，若将ABC ∆沿BC 折叠，点A 恰好落在x 轴上的'A 处，则点C 的坐标为______.
20．在△ABC 中，∠A=30°，∠B=90°，AC=8，点 D 在边 AB ， 且3，点 P 是△ABC 边上的一个动点，若 AP=2PD 时，则 PD 的长是____________．
三、解答题
21．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD 中，∠ABC =70°，∠BAC =40°，∠ACD =∠ADC =80°，求证：四边形ABCD 是邻和四边形．
（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A 、B 、C 三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点．．．．．．．D ．
，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为邻和四边形．
（3）如图3，△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23，若存在一点D ，使四边形ABCD 是邻和四边形，求邻和四边形ABCD 的面积．
22．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为AC 边上一动点，且不与点A 点C 重合，连接BD 并延长，在BD 延长线上取一点E ，使AE ＝AB ，连接CE ．
（1）若∠AED ＝20°，则∠DEC ＝ 度；
（2）若∠AED ＝a ，试探索∠AED 与∠AEC 有怎样的数量关系？并证明你的猜想； （3）如图2，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，AF 的延长线与EC 的延长线交于点H ，求证：EH 2+CH 2＝2AE 2．
23．阅读与理解：
折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？
分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明ACD AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．
感悟与应用：
（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，试判断AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，12DC BC ==，
①求证：180B D ∠+∠=︒；
②求AB 的长．
24．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿折线A ﹣C ﹣B ﹣A 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．
（1）若点P 在AC 上，且满足PA ＝PB 时，求出此时t 的值；
（2）若点P 恰好在∠BAC 的角平分线上，求t 的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t 为何值时，△BCP 为等腰三角形．
25．Rt ABC ∆中，90CAB ∠=，4AC =，8AB =，M N 、分别是边AB 和CB 上的动点，在图中画出AN MN +值最小时的图形，并直接写出AN MN +的最小值为 .
26．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:
(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述);
(2)证明勾股定理;
(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2
a b +的值.
27．在ABC ∆中，AB AC =，CD 是AB 边上的高，若10,45AB BC ==.
（1）求CD 的长.
（2）动点P 在边AB 上从点A 出发向点B 运动，速度为1个单位/秒；动点Q 在边AC 上从点A 出发向点C 运动，速度为v 个单位秒()v>1，设运动的时间为()0t t >，当点Q 到点C 时，两个点都停止运动.
①若当2v =时，CP BQ =，求t 的值.
②若在运动过程中存在某一时刻，使CP BQ =成立，求v 关于t 的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围.
28．如图1，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且BD : AD : CD ＝2 : 3 : 4，
（1）试说明△ABC 是等腰三角形；
（2）已知S △ABC ＝40cm 2，如图2，动点M 从点B 出发以每秒2cm 的速度沿线段BA 向点A 运动，同时动点N 从点A 出发以每秒1cm 速度沿线段AC 向点C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M 运动的时间为t （秒），
①若△DMN 的边与BC 平行，求t 的值；
②若点E 是边AC 的中点，问在点M 运动的过程中，△MDE 能否成为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．
图1 图2 备用图
29．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，点D 是AC 的中点，点E 是射线DC 上一点，DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，连接CF ，作FH CF ⊥于点F ，交直线AB 于点H ．
（1）如图（1），当点E 在线段DC 上时，判断CF 和FH 的数量关系，并加以证明； （2）如图（2），当点E 在线段DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC △和CFH △面积相等时，点E 与点C 之间的距离；如果不成立，请说明理由．
30．阅读下列材料，并解答其后的问题：
我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ＝()()()()a b c a b c a c b b c a +++-+-+-． （1）（举例应用）已知△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＝4，b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为 ；
（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB ＝（26+42）m ，BC ＝5m ，CD ＝7m ，AD ＝46m ，∠A ＝60°，求该块草地的面积．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，可得四边形AOLP 是正方形，然后求
出正方形的边长，再求出矩形KLMJ 的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，则四边形OALP 是矩形． 90CBF ∠=︒，
90ABC OBF ∴∠+∠=︒， 又直角ABC ∆中，90ABC ACB ∠+∠=︒，
OBF ACB ∴∠=∠，
在OBF ∆和ACB ∆中，
BAC BOF ACB OBF BC BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()OBF ACB AAS ∴∆≅∆，
AC OB =∴，
同理：ACB PGC ∆≅∆，
PC AB ∴=，
OA AP ∴=，
所以，矩形AOLP 是正方形，
边长347AO AB AC =+=+=，
所以，3710KL =+=，4711LM =+=，
因此，矩形KLMJ 的面积为1011110⨯=，
故选B ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键．
2．C
解析：C
【分析】
将容器侧面展开，建立A 关于上边沿的对称点A’，根据两点之间线段最短可知A’B 的长度为最短路径15，构造直角三角形，依据勾股定理可以求出底面周长的一半，乘以2即为所求．
【详解】
解：如图，
将容器侧面展开，作A 关于EF 的对称点'A ，连接'A B ，则'A B 即为最短距离， 根据题意：'15A B cm =，12412BD AE cm =-+=， 2222'15129A D A B BD ∴-=-'==．
所以底面圆的周长为9×2=18cm.
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
3．C
解析：C
【分析】
作DE ⊥AB 于E ，由勾股定理计算出可求BC=8，再利用角平分线的性质得到DE=DC ，设DE=DC=x ，利用等等面积法列方程、解方程即可解答.
【详解】
解：作DE ⊥AB 于E ，如图，
在Rt △ABC 中，BC 22106-8，
∵AD 是△ABC 的一条角平分线，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，
∴DE ＝DC ，
设DE ＝DC ＝x ，
S △ABD ＝12DE •AB ＝12
AC •BD ， 即10x ＝6（8﹣x ），解得x ＝3，
即点D 到AB 边的距离为3．
故答案为C ．
本题考查了角平分线的性质和勾股定理的相关知识，理解角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答本题的关键..
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用勾股定理和正方形的面积公式，对公式进行合适的变形即可判断各个选项是否争取.
【详解】
A 中，根据勾股定理
等于大正方形边长的平方，它就是正方形的面积，故正确； B 中，根据小正方形的边长是2它等于三角形较长的直角边减较短的直角边即可得到，正
确；
C 中，根据四个直角三角形的面积和加上小正方形的面积即可得到，正确；
D 中,根据A 可得
，C 可得，结合完全平方公式可以求得，错误.
故选D.
【点睛】
本题考查勾股定理.在A 、B 、C 选项的等式中需理解等式的各个部分表示的几何意义，对于D 选项是由A 、C 选项联立得出的. 5．A
解析：A
【分析】
连续使用勾股定理求直角边和斜边，然后再求面积，观察发现规律，即可正确作答.
【详解】
解：∵△ABC 是边长为1的等腰直角三角形
121111222
ABC S -∆∴=⨯⨯== ， ∴2222AC 112,AD (2)(2)2=+==+=
223212212:2122122
AACD ADE S S --∆∴====⨯⨯== ∴第n 个等腰直角三角形的面积是22n - ，
故答案为A.
【点睛】
本题的难点是运用勾股定理求直角三角形的直角边，同时观察、发现也是解答本题的关键.
6．D
解析：D
当一直角边、斜边为1和2时，第三边==；
当两直角边长为1和2时，第三边==； 故选：D ． 7．B
解析：B
【分析】
根据勾股定理逆定理对每个选项一一判断即可．
【详解】
A 、∵72+82≠102，∴△ABC 不是直角三角形；
B 、∵52+42＝41)2，∴△AB
C 是直角三角形；
C 、∵223252，∴△ABC 不是直角三角形；
D 、∵32+42≠62，∴△ABC 不是直角三角形；
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查勾股定理逆定理，熟记定理是解题关键．
8．C
解析：C
【分析】
本题根据所给的条件得知，△ABC 是直角三角形，再根据三角形的面积相等即可求出BC 边上的高.
【详解】
∵AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，
∴62＋82＝102，∴△ABC 是直角三角形，∠BAC ＝90°，
则由面积公式可知，S △ABC ＝12AB ⋅AC ＝12
BC ⋅AD ， ∴AD ＝
245
.故选C. 【点睛】 本题考查了勾股定理的逆定理，需要先证得三角形为直角三角形，再利用三角形的面积公式求得AD 的值.
9．C
解析：C
【分析】
利用勾股定理的逆定理依次计算各项后即可解答.
【详解】
选项A ，2222)3)6)+≠，不能构成直角三角形；
选项B ，222(3)(4)(5)+≠，不能构成直角三角形；
选项C ，222(3)(4)(7)+=，能构成直角三角形；
选项D ，222(2)(3)(4)+≠，不能构成直角三角形．
故选C ．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
10．A
解析：A
【分析】
根据直角三角形的两直角边长分别为5和3，可计算出正方形的边长，从而得出正方形的面积.
【详解】
解：3和5为两条直角边长时，
小正方形的边长=5-3=2，
∴小正方形的面积22=4；
综上所述：小正方形的面积为4；
故答案选A ．
【点睛】
本题考查了勾股定理及其应用，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键．
二、填空题
11．5
【分析】
作AD′⊥AD ，AD′=AD 构建等腰直角三角形，根据SAS 求证△BAD ≌△CAD′，证得BD=CD′，∠DAD′=90°，然后在Rt △AD′D 和Rt △CD′D 应用勾股定理即可求解．
【详解】
作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD′，如图：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ，
∴∠BAD=∠CAD′，
在△BAD 与△CAD′中，
{BA CA
BAD CAD AD AD =∠=∠=''
，
∴△BAD ≌△CAD′（SAS ），
∴BD=CD′，∠DAD′=90°，
由勾股定理得DD′=2
2()4AD AD +='， ∵∠D′DA+∠ADC=90°，
∴由勾股定理得CD′=22(')5DC DD +=，
∴BD=CD′=5
故答案为5．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，正确引出辅助线构造等腰直角三角形是本题的关键．
12．【分析】
这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．
【详解】
解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，
另一条直角边长7×3=21（尺），
222021+=29（尺）．
答：葛藤长29尺．
故答案为：29．
【点睛】
本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．
13．6或2.
【分析】
由于已知没有图形，当Rt △ABC 固定后，根据“以BC 为斜边作等腰直角△BCD”可知分两种情况讨论：
①当D 点在BC 上方时，如图1，把△ABD 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCE ，证明A 、C 、
E三点共线，在等腰Rt△ADE中，利用勾股定理可求AD长；
②当D点在BC下方时，如图2，把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，证明过程类似于①求解．
【详解】
解：分两种情况讨论：
①当D点在BC上方时，如图1所示，
把△ABD绕点D逆时针旋转90°，得到△DCE，
则∠ABD=∠ECD，CE=AB=22，AD=DE，且∠ADE=90°
在四边形ACDB中，∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°，
∴∠ABD+∠ACD=360°-180°=180°，
∴∠ACD+∠ECD=180°，
∴A、C、E三点共线．
∴AE=AC+CE=42+22=62
在等腰Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，
即2AD2=（62）2，解得AD=6
②当D点在BC下方时，如图2所示，
把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，
则2，∠BAD=∠CED，AD=AE且∠ADE=90°，
所以∠EAD=∠AED=45°，
∴∠BAD=90°+45°=135°，即∠CED=135°，
∴∠CED+∠AED=180°，即A、E、C三点共线．
∴222
在等腰Rt△ADE中，2AD2=AE2=8，解得AD=2．
故答案为：6或2.
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，解决这类等边（或共边）的两个三角形问题，一般是通过旋转的方式作辅助线，转化线段使得已知线段于一个特殊三角形中进行求解． 14．12
【分析】
延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.证∆BCO ≅∠EAO ，再证三角形BOE 是等腰直角三角形，利用勾股定理可得BE=()()222210210220BO EO +=
+=，可得AB=BE-AE.
【详解】
如图，延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.
因为三角形COA 是等腰直角三角形
所以CO=AO,∠AOC=∠BOC+∠AOB=90°
因为∠ABC=90°，∠AOC=90°，
所以∠BAO+∠BCO=180°,
又∠BAO+∠OAE=180° 所以∠BCO=∠OAE
所以∆BCO ≅∠EAO
所以BO=EO, ∠BOC=∠EOA
所以，∠BOE=∠EOA+∠AOB=90°
所以三角形BOE 是等腰直角三角形
所以()()222210210220BO EO +=
+=
所以AB=BE-AE=20-8=12
故答案为：12
【点睛】
考核知识点：全等三角形，勾股定理.构造全等三角形是关键.
15．169
【解析】
解：由于a 、b 、c 都是正方形，所以AC =CD ，∠ACD =90°；
∵∠ACB +∠DCE =∠ACB +∠BAC =90°，即
∠BAC =∠DCE ，∠ABC =∠CED =90°，AC =CD ，∴△ACB ≌△DCE ，∴AB =CE ，BC =DE ； 在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC 2=AB 2+BC 2=AB 2+DE 2，即S b =S a +S c =22512+=169． 故答案为：169．
点睛：此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．
16．12013
【解析】 ∵AB=AC ，AD 是角平分线，
∴AD ⊥BC ，BD=CD ， ∴B 点，C 点关于AD 对称，
如图，过C 作CF ⊥AB 于F ，交AD 于E ，
则CF=BE+FF 的最小值，
根据勾股定理得，AD=12，
利用等面积法得：AB ⋅CF=BC ⋅AD ，
∴CF=BC AD AB ⋅=101213⨯=12013
故答案为
12013. 点睛：本题主要考查的是翻折的性质、垂线段最短、勾股定理的应用及三角形面积的等积法.明确当CF ⊥AB 时，CF 有最小值是解题的关键.
17．41
【解析】
作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD ′，如图：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD 与△CAD ′中，
;BA CA BAD CAD AD AD ＝＝＝⎧⎪∠∠'
⎨⎪⎩
∴△BAD ≌△CAD′（SAS ）， ∴BD=CD′，
∠DAD′=90°，
由勾股定理得22AD AD +' ，
∠D′DA+∠ADC=90°，
由勾股定理得22DC DD +' 41BD 2=41．
故答案是：41．
18．3
【分析】
根据题意利用折叠后图形全等，并利用等量替换和等腰三角形的性质进行综合分析求解.
【详解】
解：由题意可知','ACM A CM BCH B CH ≅≅,
∵15cm BC =，20cm AC =，
∴'15,'20,BC B C cm AC A C cm ====''20155A B cm =-=，
∵90ACB ∠=︒，
∴'A M AB ⊥(等量替换)，CH AB ⊥（三线合一），
∴25,AB cm = 利用勾股定理假设MB '的长为m ，'257AM AM m ==-，则有222(257)5m m +-=，
解得3m =，
所以MB '的长为3.
本题考查几何的翻折问题，熟练掌握并综合利用等量替换和等腰三角形的性质以及勾股定理分析是解题的关键.
19．（0，
34）. 【分析】 由423
y x =+求出点A 、B 的坐标，利用勾股定理求得AB 的长度，由此得到53122
OA '=
-=，设点C 的坐标为（0，m ），利用勾股定理解得m 的值即可得到答案. 【详解】 在423
y x =+中，当x=0时，得y=2，∴A （0,2） 当y=0时，得4203x +=，∴32x =-，∴B(32
-,0), 在Rt △AOB 中，∠AOB=90︒，OA=2，OB=
32,
∴52AB =
==, ∴53122
OA '=-=, 设点C 的坐标为（0，m ）
由翻折得ABC A BC '≌，
∴2A C AC m '==-，
在Rt A OC '中， 222A C OC A O ''=+,
∴222(2)1m m -=+，解得m=
34， ∴点C 的坐标为（0，
34）. 故答案为：（0，
34
）. 【点睛】
此题考查勾股定理，翻折的性质，题中由翻折得ABC A BC '≌是解题的关键，得到OC 与A’C 的数量关系，利用勾股定理求出点C 的坐标.
20．3【分析】
根据直角三角形的性质求出BC ，勾股定理求出AB ，根据直角三角形的性质列式计算即可．
【详解】
∵∠B=90°，∠A=30°，
∴BC=12AC=12
×8=4， 由勾股定理得，22228443AC BC -=-=
43333AD ∴==
当点P 在AC 上时，∠A=30°，AP=2PD ，
∴∠ADP=90°，
则AD 2+PD 2=AP 2，即（32=（2PD ）2-PD 2，
解得，PD=3，
当点P 在AB 上时，AP=2PD ，3
∴3
当点P 在BC 上时，AP=2PD ，
设PD=x ，则AP=2x ，
由勾股定理得，BP 2=PD 2-BD 2=x 2-3，
()(22223
3x x ∴-=-
解得，15 故答案为：3315
【点睛】
本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）363【分析】
（1）先由三角形的内角和为180°求得∠ACB 的度数，从而根据等腰三角形的判定证得AB=AC=AD ，按照邻和四边形的定义即可得出结论．
（2）以点A 为圆心，AB 长为半径画圆，与网格的交点，以及△ABC 外侧与点B 和点C 组成等边三角形的网格点即为所求．
（3）先根据勾股定理求得AC 的长，再分类计算即可：①当DA=DC=AC 时；②当
CD=CB=BD 时；③当DA=DC=DB 或AB=AD=BD 时．
【详解】
（1）∵∠ACB =180°﹣∠ABC ﹣∠BAC =70°，
∴∠ACB =∠ABC ，
∴AB =AC ．
∵∠ACD =∠ADC ，
∴AC =AD ，
∴AB =AC =AD ．
∴四边形ABCD 是邻和四边形；
（2）如图，格点D 、D'、D''即为所求作的点；
（3）∵在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23，
∴AC =()22222234AB BC +=+=，
显然AB ，BC ，AC 互不相等．
分两种情况讨论：
①当DA =DC =AC=4时，如图所示：
∴△ADC 为等边三角形，
过D 作DG ⊥AC 于G ，则∠ADG =
160302⨯︒=︒， ∴122
AG AD ==， 22224223DG AD AG =-=-=
∴S △ADC =1423432
⨯⨯=S △ABC =12AB×BC =3，
∴S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC=63；
②当CD=CB=BD=23时，如图所示：
∴△BDC为等边三角形，
过D作DE⊥BC于E，则∠BDE=1
6030
2
⨯︒=︒，
∴
1
3
2
BE BD
==
()()
22
222333
DE BD BE
=-=-=，
∴S△BDC=1
23333 2
⨯=
过D作DF⊥AB交AB延长线于F，
∵∠FBD=∠FBC-∠DBC=90︒-60︒=30︒，
∴DF=1
2
3
S△ADB=1
233
2
⨯=，
∴S四边形ABCD=S△BDC+S△ADB=3；
③当DA=DC=DB或AB=AD=BD时，邻和四边形ABCD不存在．
∴邻和四边形ABCD的面积是3或3
【点睛】
本题属于四边形的新定义综合题，考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点，数形结合并读懂定义是解题的关键．
22．（1）45度；（2）∠AEC﹣∠AED＝45°，理由见解析；（3）见解析
【分析】
（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝140°，可得∠CAE＝50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝65°，即可求解；
（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝180°﹣2α，可得∠CAE＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝45°+α，可得结论；
（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，由等腰直角三角形的性质可得EH2EF，CH＝
2CG，由“AAS”可证△AFB≌△CGA，可得AF＝CG，由勾股定理可得结论．
【详解】
解：（1）∵AB＝AC，AE＝AB，
∴AB＝AC＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，∠ACE＝∠AEC，
∵∠AED＝20°，
∴∠ABE＝∠AED＝20°，
∴∠BAE＝140°，且∠BAC＝90°
∴∠CAE＝50°，
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝∠ACE＝65°，
∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，
故答案为：45；
（2）猜想：∠AEC﹣∠AED＝45°，
理由如下：∵∠AED＝∠ABE＝α，
∴∠BAE＝180°﹣2α，
∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣2α，
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝45°+α，
∴∠AEC﹣∠AED＝45°；
（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，
∵∠AEC﹣∠AED＝45°，
∴∠FEH＝45°，
∵AH⊥BE，
∴∠FHE＝∠FEH＝45°，
∴EF＝FH，且∠EFH＝90°，
∴EH2EF，
∵∠FHE＝45°，CG⊥FH，
∴∠GCH＝∠FHE＝45°，
∴GC＝GH，
∴CH2CG，
∵∠BAC＝∠CGA＝90°，
∴∠BAF+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，
∴∠BAF＝∠ACG，且AB＝AC，∠AFB＝∠AGC，
∴△AFB≌△CGA（AAS）
∴AF＝CG，
∴CH AF，
∵在Rt△AEF中，AE2＝AF2+EF2，
AF）2+EF）2＝2AE2，
∴EH2+CH2＝2AE2．
【点睛】
本题是综合了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定的动点问题，三个问题由易到难，在熟练掌握各个相关知识的基础上找到问题之间的内部联系，层层推进去解答是关键.
23．（1）BC−AC＝AD；理由详见解析；（2）①详见解析；②AB=14
【分析】
（1）在CB上截取CE＝CA，连接DE，证△ACD≌△ECD得DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，据此∠CED＝2∠CBA，结合∠CED＝∠CBA＋∠BDE得出∠CBA＝∠BDE，即可得DE＝BE，进而得出答案；
（2）①在AB上截取AM＝AD，连接CM，先证△ADC≌△AMC，得到∠D＝∠AMC，CD＝CM，结合CD＝BC知CM＝CB，据此得∠B＝∠CMB，根据∠CMB＋∠CMA＝180°可得；
②设BN＝a，过点C作CN⊥AB于点N，由CB＝CM知BN＝MN＝a，CN2＝BC2−BN2＝AC2−AN2，可得关于a的方程，解之可得答案．
【详解】
解：（1）BC−AC＝AD．
理由如下：如图（a），在CB上截取CE＝CA，连接DE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠ECD，
又CD＝CD，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，
∴∠CED＝2∠CBA，
∵∠CED＝∠CBA＋∠BDE，
∴∠CBA＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∴AD＝BE，
∵BE＝BC−CE＝BC−AC，
∴BC−AC＝AD．
（2）①如图（b ），在AB 上截取AM ＝AD ，连接CM ，
∵AC 平分∠DAB ，
∴∠DAC ＝∠MAC ，
∵AC ＝AC ，
∴△ADC ≌△AMC （SAS ），
∴∠D ＝∠AMC ，CD ＝CM ＝12，
∵CD ＝BC ＝12，
∴CM ＝CB ，
∴∠B ＝∠CMB ，
∵∠CMB ＋∠CMA ＝180°，
∴∠B ＋∠D ＝180°；
②设BN ＝a ，
过点C 作CN ⊥AB 于点N ，
∵CB ＝CM ＝12，
∴BN ＝MN ＝a ，
在Rt △BCN 中，2222212CN BC BN a --＝＝，
在Rt △ACN 中，2222216(8)CN AC AN a --+＝＝
， 则2222
1216(8)a a --+＝
， 解得：a ＝3，
即BN ＝MN ＝3，
则AB ＝8+3+3=14，
∴AB=14．
【点睛】
本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果．
24．(1) 2516；（2）83t =或6；（3）当153,5,210t =或194
时，△BCP 为等腰三角形．
【分析】
（1）设存在点P ，使得PA PB =，此时2PA PB t ==，42PC t =-，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（2）当点P 在CAB ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，根据勾股定理列方程即可得到结论； （3）在Rt ABC 中，根据勾股定理得到4AC cm =，根据题意得：2AP t =，当P 在AC
上时，BCP 为等腰三角形，得到PC BC =，即423t -=，求得12t =，当P 在AB 上时，BCP 为等腰三角形，若CP PB =，点P 在BC 的垂直平分线上，如图2，过P 作
PE BC ⊥于E ，求得194
t =，若PB BC =，即2343t --=，解得5t =，PC BC =③，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，由射影定理得；2BC BF AB =⋅，列方程
2234352
t --=
⨯，即可得到结论． 【详解】 解：在Rt ABC 中，5AB cm =，3BC cm =，
4AC cm ∴=，
（1）设存在点P ，使得PA PB =，
此时2PA PB t ==，42PC t =-，
在Rt PCB 中，222PC CB PB +=，
即：222(42)3(2)t t -+=，
解得：2516
t =， ∴当2516
t =时，PA PB =； （2）当点P 在BAC ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，
此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，
在Rt BEP 中，222PE BE BP +=，
即：222(24)1(72)t t -+=-，
解得：83
t =，
当6t =时，点P 与A 重合，也符合条件，
∴当83t =或6时，P 在ABC ∆的角平分线上； （3）根据题意得：2AP t =，
当P 在AC 上时，BCP 为等腰三角形，
PC BC ∴=，即423t -=，
12
t ∴=， 当P 在AB 上时，BCP 为等腰三角形，
CP PB =①，点P 在BC 的垂直平分线上，
如图2，过P 作PE BC ⊥于E ，
1322BE BC ∴=
=， 12PB AB ∴=，即52342t --=，解得：194
t =， PB BC =②，即2343t --=，
解得：5t =，
PC BC =③，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，
12
BF BP ∴=， 90ACB ∠=︒，
由射影定理得；2BC BF AB =⋅，
即2234352
t --=⨯，
解得：
53
10
t=，
∴当
15319
,5,
2104
t=或时，BCP为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．
25．作图见解析，32 5
【分析】
作A点关于BC的对称点A'，A'A与BC交于点H，再作A'M⊥AB于点M，与BC交于点N，此时AN+MN最小，连接AN，首先用等积法求出AH的长，易证△ACH≌△A'NH，可得A'N=AC=4，然后设NM=x，利用勾股定理建立方程求出NM的长，A'M的长即为AN+MN的最小值．
【详解】
如图，作A点关于BC的对称点A'，A'A与BC交于点H，再作A'M⊥AB于点M，与BC交于点N，此时AN+MN最小，最小值为A'M的长．
连接AN，
在Rt△ABC中，AC=4，AB=8，
∴2222
AB AC=84=45
++
∵11
AB AC=BC AH 22
⋅⋅
∴
85 45
∵CA⊥AB，A'M⊥AB，
∴CA∥A'M
∴∠C=∠A'NH，
由对称的性质可得AH=A'H，∠AHC=∠A'HN=90°，AN=A'N 在△ACH和△A'NH中，
∵∠C=∠A'NH，∠AHC=∠A'HN，AH=A'H，
∴△ACH≌△A'NH（AAS）
∴A'N=AC=4=AN，
设NM=x，
在Rt △AMN 中，AM 2=AN 2-NM 2=222416-=-x x
在Rt △AA'M 中，，A 'M=A 'N+NM=4+x
∴AM 2=AA '2-A 'M 2=()224-+⎝⎭
x
∴()2
224=16-+-⎝⎭x x 解得125
x = 此时AN MN +的最小值=A'M=A'N+NM=4+
125=325 【点睛】
本题考查了最短路径问题，正确作出辅助线，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）证明见解析；（3）25.
【分析】
（1）直接叙述勾股定理的内容，并用字母表明三边关系；
（2）利用大正方形面积、小正方形面积和4个直角三角形的面积和之间的关系列式整理即可证明；
（3）将原式利用完全平方公式展开，由勾股定理的内容可得出()2a b +为大正方形面积和4个直角三角形的面积和，根据已知条件即可求得.
【详解】
解：（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
在直角三角形中，两条直角边分别为 a 、b ，斜边为 c ，a 2+b 2= c 2．
（2）∵ S 大正方形=c 2，S 小正方形=(b-a)2，4 S Rt △=4×
12ab=2ab ， ∴ c 2=2ab+(b-a)2=2ab+b 2-2ab+a 2=a 2+b 2，
即 a 2+b 2= c 2．
（3）∵ 4 S Rt △= S 大正方形- S 小正方形=13-1=12,
∴ 2ab=12.
∴ (a+b)2= a 2+b 2+2ab=c 2+2ab=13+12=25.
【点睛】
本题考查勾股定理的内容及勾股定理的几何验证，利用等面积法证明勾股定理及运用勾股定理是解答此题的关键.
27．（1）CD=8；（2）t=4；（3）12-=
t v t (26t ≤<) 【分析】
（1）作AE ⊥BC 于E ，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=12
BC ，然后利用勾股定理
求出AE，再用等面积法可求出CD的长；
（2）①过B作BF⊥AC于F，易得BF=CD，分别讨论Q点在AF和FC之间时，根据
△BQF≌△CPD，得到PD=QF，建立方程即可求出t的值；
（3）同（2）建立等式关系即可得出关系式，再根据Q在FC之间求出t的取值范围即可.【详解】
解：（1）如图，作AE⊥BC于E，
∵AB=AC，
∴BE=1
2
BC=25
在Rt△ABE中，
()2
222
AE=AB BE=1025=45
--
∵△ABC的面积=11
BC AE=AB CD 22
⋅⋅
∴
BC AE4545 CD===8
AB
⋅⨯
（2）过B作BQ⊥AC，当Q在AF之间时，如图所示，
∵△ABC的面积=11
AC BF=AB CD
22
⋅⋅，AB=AC
∴BF=CD
在Rt△CPD和Rt△BQF中
∵CP=BQ，CD=BF，
∴Rt△CPD≌Rt△BQF（HL）
∴PD=QF
在Rt△ACD中，CD=8，AC=AB=10
∴22AD=AC CD =6-
同理可得AF=6
∴PD=AD=AP=6-t ，QF=AF-AQ=6-2t
由PD=QF 得6-t=6-2t ，解得t=0，
∵t ＞0，
∴此种情况不符合题意，舍去；
当Q 点在FC 之间时，如图所示，
此时PD=6-t ，QF=2t-6
由PD=QF 得6-t=2t-6，
解得t=4，
综上得t 的值为4.
（3）同（2）可知v ＞1时，Q 在AF 之间不存在CP=BQ ，Q 在FC 之间存在CP=BQ ，Q 在F 点时，显然CP ≠BQ ，
∵运动时间为t ，则AP=t ，AQ=vt ，
∴PD=6-t ，QF=vt-6，
由PD=QF 得6-t=vt-6，
整理得12-=t v t
， ∵Q 在FC 之间，即AF ＜AQ ≤AC
∴610<≤vt ，代入12-=t v t
得 61210<-≤t ，解得26t ≤<
所以答案为12-=
t v t (26t ≤<) 【点睛】
本题考查三角形中的动点问题，熟练掌握勾股定理求出等腰三角形的高，利用全等三角形对应边相等建立方程是解题的关键.
28．（1）见详解；（2）①t 值为：
103s 或6s ；②t 值为：4.5或5或4912
． 【分析】
（1）设BD=2x ，AD=3x ，CD=4x ，则AB=5x ，由勾股定理求出AC ，即可得出结论；
（2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN∥BC时，AM=AN；当DN∥BC时，AD=AN；得出方程，解方程即可；
②根据题意得出当点M在DA上，即2＜t≤5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE=DM；如果ED=EM；如果MD=ME=2t-4；分别得出方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）证明：设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，
在Rt△ACD中，AC=5x，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：由（1）知，AB=5x，CD=4x，
∴S△ABC=1
2
×5x×4x=40cm2，而x＞0，
∴x=2cm，
则BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AB=AC=10cm．由运动知，AM=10-2t，AN=t，
①当MN∥BC时，AM=AN，
即10-2t=t，
∴
10
3
t ；
当DN∥BC时，AD=AN，∴6=t，
得：t=6；
∴若△DMN的边与BC平行时，t值为10
3
s或6s．
②存在，理由：
Ⅰ、当点M在BD上，即0≤t＜2时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；Ⅱ、当t=2时，点M运动到点D，不构成三角形
Ⅲ、当点M在DA上，即2＜t≤5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．∵点E是边AC的中点，
∴DE=1
2
AC=5
当DE=DM，则2t-4=5，
∴t=4.5s；
当ED=EM，则点M运动到点A，∴t=5s；
当MD=ME=2t-4，
如图，过点E作EF垂直AB于F，。