河北省张家口市东方中学2019年高三数学文模拟试题含解析

河北省张家口市东方中学2019年高三数学文模拟试题
含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数（）（其中）的图象如图所示，为了得到
sin的图象，可以将的图象
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
参考答案：
A
略
2. 用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x2+ax+b=0没有实根
B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根
C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根
D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根
参考答案：
A
【考点】反证法与放缩法．
【专题】证明题；反证法．
【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．
【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，
∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b=0没有实根．
故选：A．
【点评】本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查．
3. 若函数在区间内单调递增，则的取值范围是
A．B．C．D．
参考答案：
A
略
4. 定义等
于（）
A．{1，2，3，4，5} B．{2，3}
C．{1，4，5} D．{6}
参考答案：
答案:D
5. 函数的零点个数为
(A)４(B)３(C)２(D)１参考答案：
B
6. 已知等比数列的公比为正数，且，则=( )
A． B． C． D．2
参考答案：
B
7. 有四个关于三角函数的命题：p1：?A∈R，p2：?A，B∈R，sin（A
﹣B）=sinA﹣sinB；p3：?x∈[0，π]，=sinx，p4：sinx=cosy→x+y=其中假命题是( )
A．P1，P4 B．P2，P4 C．P1，P3 D．P2，P3
参考答案：
A
考点：命题的真假判断与应用．
专题：计算题．
分析：判断特称命题为真只须举特例即可，判断全称命题为真，则需要严格证明，判断特称命题为假，须严格证明，而判断全称命题为假，只须举反例即可．
解答：解：∵恒成立，∴命题p1为假命题
∵当A=0，B=0时，sin（A﹣B）=sinA﹣sinB，∴命题p2为真命题
∵==|sinx|，而x∈[0，π]，∴sinx≥0，∴=sinx∴命题p3为真命题
∵sin=cos0，而+0≠，∴命题p4为假命题
故应选A
点评：本题考查了判断全称命题和特称命题真假的方法，解题时要准确把握命题特点，恰当判断
8. 已知m、n是不重合直线，α、β、γ是不重合平面，则下列命题
①若α⊥γ、β⊥γ则α∥β；
②若m?α、n?α、m∥β、n∥β则α∥β；
③若α∥β、γ∥β则γ∥α；
④若α⊥β、m⊥β则m∥α；
⑤m⊥α、n⊥α则m∥n中，
真命题个数是( )
A．0个B．1个C．2个D．3个
参考答案：
C
考点：空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离．
分析：根据空间直线和平面，平面和平面平行和垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可．
解答：解：①垂直同一平面的两个平面不一定平行，故①错误，
②若m?α、n?α、m∥β、n∥β，则当m，n相交时α∥β，当m，n不相交是，α∥β不成立，故②错误，；
③若α∥β、γ∥β，则γ∥α成立，故③正确；
④若α⊥β、m⊥β，则m∥α或m?α；故④错误；
⑤根据垂直于同一平面的两条直线平行可得若m⊥α、n⊥α，则m∥n成立，故⑤正确．
故真命题有2个，
故选：C
点评：本题主要考查与空间直线和平面位置关系的判断，根据相应的判定定理和性质定理是解决本题的关键．
9. 复数在复平面内对应的点位于
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
参考答案：
D
10. 已知函数的两个极值点分别为x1，x2，且，
，记分别以m，n为横、纵坐标的点表示的平面区域为D，若函数的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为A． B． C． D．
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 各项都为正数的数列，其前项的和为，且，若，且数列的前项的和为
，则= ▲．
参考答案：
略
12. 从、、、、，名学生中随机选出人，被选中的概率为__________．
参考答案：
解：从、、、、，名学生中随机选出人，基本事件总数，被选中包含的基本事件个数，
所以被选中的概率为．
13. 已知函数是上的增函数.当实数取最大值时，若存在点，使得过点的直线与曲线围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等,则点的坐标为 .
参考答案：
【知识点】单元综合B14
由得.
是上的增函数，在上恒成立，即在
上恒成立。

设，，即不等式在
上恒成立.
设，因为，所以函数在上单调递增，因此。

，即。

又，故。

的最大值为3. 故得，。

将函数的图像向上平移3个长度单位，所得图像相应的函数解析式为，。

由于，所以为奇函数，故的图像关于坐标原点成中心对称。

由此即得函数的图像关于点成中心对称。

这表明存在点，使得过点
的直线若能与函数的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。

【思路点拨】利用导数求出单调性，在求出解析式的坐标。

14. 已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝t a＋(1－t)b，若b·c=0，则t=_____.
参考答案：
2
15. 从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率
为．
参考答案：
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】先求出基本事件总数n==6，再利用列举法求出这两个数的和为3的倍数包含的基本事件个数，由此能求出这两个数的和为3的倍数的槪率．
【解答】解：从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，
基本事件总数n==6，
这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：（1，2），（2，4），共2个，
∴这两个数的和为3的倍数的槪率p=．
故答案为：．
16. 函数y＝log 2 (x2-x-2)的递增区间是．
参考答案：
17. 设，其中成公比为的等比数列，成公差为1的等差数列，则的最小值是 .
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）已知抛物线，过点（2，0）的直线交于，两点，圆是以线段为直径的圆．
（1）证明：坐标原点在圆上；
（2）设圆过点（4，），求直线与圆的方程．
参考答案：
⑴显然，当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．
设，，，
联立：得，
恒大于，，．
∴，即在圆上．
⑵若圆过点，则
化简得解得或
①当时，圆心为，
，，
半径
则圆
②当时，圆心为，
，，
半径
则圆
19. 已知函数f（x）=2lnx﹣x2+ax（a∈R）．
（1）若函数f（x）的图象在x=2处切线的斜率为﹣1，且不等式f（x）≥2x+m在
上有解，求实数m的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜
x2，求证：（其中f′（x）是f（x）的导函数）．
参考答案：
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）通过求导得到函数f（x）的图象在x=2处切线的斜率，由此求得a=2，得到函数解析式，然后利用分离变量法得到m≤2lnx﹣x2，利用导数求出g（x）=2lnx﹣x2在
上的最大值得答案；
（2）由f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），可得方程2lnx ﹣x2+ax=0的两个根为x1，x2，把两根代入方程后作差得到
，求得，然后令换元，再通过构造函数，利用导数求出所构造出函数的最大值小于等于0得答案．
【解答】（1）解：由，
得切线的斜率k=f'（2）=a﹣3=﹣1，∴a=2，
故f（x）=2lnx﹣x2+2x，
由f（x）≥2x+m，得m≤2lnx﹣x2，
∵不等式f（x）≥2x+m在上有解，∴m≤（2lnx﹣x2）max ．
令g（x）=2lnx﹣x2，则，
∵x∈，故g′（x）=0时，x=1．
当时，g'（x）＞0；当1＜x＜e时，g'（x）＜0．
故g（x）在x=1处取得最大值g（1）=﹣1，
∴m≤﹣1；
（2）证明：∵f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），
∴方程2lnx﹣x2+ax=0的两个根为x1，x2，
则，两式相减得，
又，则
，
要证，
即证明，
∵0＜x1＜x2，∴0＜t＜1，
即证明在0＜t＜1上恒成立，
∵，
又0＜t＜1，∴u'（t）＞0，
∴u（t）在（0，1）上是增函数，则u（t）＜u（1）=0，从而知
．
故，即成立．
20. （本小题满分12分）
已知向量，函数.
（I）求函数的单调递增区间；
（II）在中，内角A,B,C的对边分别为已知，求的面积S.
参考答案：
21. （本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，已知，，，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）设 ()，且平面与所成的锐二面角的大小为，试求的值.
参考答案：
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定 G12 G5
（Ⅰ）略（Ⅱ）1
（Ⅰ）因为侧面,
侧面，故,在中,
由余弦定理得：
，
所以，故,所以,而
，平面
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，两两垂直.以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则.
所以,所以,
则，. 设平面的法向量为，则,，
令，则，是平面的一个法
向
量.
平面,是平面的一个法向量，
.
两边平方并化简得，所以或（舍去）
【思路点拨】（Ⅰ）由已知条件推导出AB⊥BC1，BC⊥BC1，由此能证明C1B⊥平面ABC．（Ⅱ）以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．利用向量法能求出λ的值
22. 已知是偶函数，当时，．
（1）求的解析式；
（2）若不等式在时都成立，求的取值范围．
参考答案：
（1）；（2）.
试题分析：（1）当时，，所以，故
；（2）等价于.
试题解析：
（1）当x＜0时，有﹣x＞0，
∵f（x）为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x，
∴．
（2）由题意得x2﹣2x≥mx在1≤x≤2时都成立，即x﹣2≥m在1≤x≤2时都成立，即m≤x﹣2在1≤x≤2时都成立．
而在1≤x≤2时，（x﹣2）min=﹣1，∴m≤﹣1．
考点：函数的奇偶性，解不等式.。