湘教版九年级数学下册课件：第4章 微专题6 概率的计算(共36张PPT)
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解：(1)y＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2 的图象沿 x 轴翻折， 得 y＝－(x＋1)2.
把 y＝－(x＋1)2 向右平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位，得 y＝－x2＋4，
∴函数 y＝ax2＋bx＋c 的解析式为 y＝－x2＋4；
(2)∵y＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，∴A(－1，0)， 当 y＝0 时，－x2＋4＝0，解得 x＝±2， 则 D(－2，0)，C(2，0)； 当 x＝0 时，y＝－x2＋4＝4，则 B(0，4)， 从点 A，C，D 三个点中任取两个点和点 B 构造三角 形的有：△ACB，△ADB，△CDB， ∵AC＝3，AD＝1，CD＝4，AB＝ 17，BC＝2 5， BD＝2 5，∴△BCD 为等腰三角形， ∴构造的三角形是等腰三角形的概率＝13.
之积出现的情况有 1，2，3，2，4，6，3，6，9.
(2)该游戏对甲、乙双方不公平，理由为积为奇数的
情况有 4 种，偶数有 5 种，
∴P(甲)<P(乙)．
14. 某中学要在全校学生中举办“中国梦·我的梦” 主题演讲比赛，要求每班选一名代表参赛，九年级(1)班 经过投票初选，小亮和小丽票数并列班级第一，现在他 们都想代表本班参赛，经班长与他们协商决定，用他们 学过的掷骰子游戏来确定谁去参赛(胜者参赛)．
(4)设最喜欢“德文化”的 4 个学生分别为甲乙丙 丁，画树状图得：
∵共有 12 种等可能的结果，甲同学被选中的有 6 种 情况，
∴甲同学被选中的概率是：162＝12.
12. (2018·烟台)随着信息技术的迅猛发展，人们去商 场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组 设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢 的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅 不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
数 y＝x2＋2x＋1 的图象的顶点为点 A．函数 y＝ax2＋bx
＋c 的图象的顶点为点 B，和 x 轴的交点为点 C，D(点 D 位于点 C 的左侧)．
(1)求函数 y＝ax2＋bx＋c 的解析式； (2)从点 A，C，D 三个点中任取两个点和点 B 构造 三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率．
解：(2)画树状图为：
共有 12 种等可能的结果数，其中满足 k＜0，b＞0 的有 4 种结果，所以这个一次函数的图象经过第一、二、 四象限的概率＝142＝13.
10. (2018·邵阳节选)如图所示，将二次函数 y＝x2＋ 2x＋1 的图象沿 x 轴翻折，然后向右平移 1 个单位，再向 上平移 4 个单位，得到二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象．函
该一元二次方程有实数根的概率是 2 ．
9. (2018·扬州)4 张相同的卡片上分别写有数字－1、 －3、4、6，将卡片的背面朝上，并洗匀．
1 (1)从中任意抽取 1 张，抽到的数字是奇数的概率是 2；
(2)从中任意抽取 1 张，并将所取卡片上的数字记作 一次函数 y＝kx＋b 中的 k；再从余下的卡片中任意抽取 1 张，并将所取卡片上的数字记作一次函数 y＝kx＋b 中 的 b.利用画树状图或列表的方法，求这个一次函数的图 象经过第一、二、四象限的概率．
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/312021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月31日星期二2021/8/312021/8/312021/8/31 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/312021/8/31August 31, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/312021/8/312021/8/312021/8/31
(3)将微信记为 A、支付宝记为 B、银行卡记为 C， 画树状图如下：
∵共有 9 种等可能的结果，其中两人恰好选择同一 种支付方式的有 3 种，∴两人恰好选择同一种支付方式 的概率为39＝13.
类型 5 游戏的公平性 13. 甲、乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相 同的卡片中分别标有数字 1，2，3，现将标有数字的一 面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回； 又将卡片洗匀，乙也从中任意抽取一张，计算甲、乙两 人抽得的两个数字之积，如果积为奇数则甲胜，若积为 偶数则乙胜．
5. 如图，四边形 ABCD 是菱形， E，F，G，H 分
别是各边的中点，随机地向菱形 ABCD 内掷一粒米，则 1
米粒落到阴影区域内的概率是 2 ．
6. 小明随机地向如图所示的正三角形及其内切圆 区域投针，则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率有多大？
解：设正三角形 ABC 内切圆圆心为 O，半径为 r，
类型 4 与统计图(表)结合求概率 11. (2018·永州)永州植物园“清风园”共设 11 个主 题展区．为推进校园文化建设，某校九年级(1)班组织部 分学生到“清风园”参观后，开展“我最喜欢的主题展 区”投票调查．要求学生从“和文化”、“孝文化”、 “德文化”、“理学文化”、“瑶文化”五个展区中选 择一项，根据调查结果绘制出了两幅不完整的条形统计 图和扇形统计图．结合图中信息，回答下列问题．
(1)用列表或画树状图等方法，列出甲、乙两人抽得 的数字之积所有可能出现的情况；
(2)请判断该游戏对甲、乙双方是否公平？并说明理 由．
解：(1)列表如下：
甲乙 1
2
3
1 (1，1) (1，2) (1，3)
2 (2，1) (2，2) (2，3)
3 (3，1) (3，2) (3，3)
所有等可能的情况有 9 种，甲、乙两人抽得的数字
7. (2018·扬州)有 4 根细木棒，长度分别为 2 cm、3
cm、4 cm、5 cm，从中任选 3 根，恰好能搭成一个三角 3
形的概率是 4 ．
8. 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋bx＋c＝0，从－
1，2，3 三个数中任取一个数，作为方程中 b 的值，再
从剩下的两个数中任取一个数作为方程中 c 的值，能使 1
⊙O 切 BC 边于点 D，连接 OD，OB．
则 OD⊥BC，∠OBD＝30°.
设 BC＝a，则 BD＝12a.
(2r)2－r2＝(12a)2，∴r2＝112a2，S⊙O＝π 12a2.
S△ABC＝12AD·BC＝ 43a2，故针扎到其内切圆区域的
概率为
P＝
π 12a2 ＝ 43a2
93π.
类型 3 与代数知识结合求概率
解：(1)本次活动调查的总人数为(45＋50＋15)÷(1－ 15%－30%)＝200 人，
则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 360 °×24050＝81°，故答案为 200、81°；
(2)微信人数为 200×30%＝60 人，银行卡人数为 200×15%＝30 人，补全图形如图；
由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”；
D．329
2. (2018·深圳)一个正六面体的骰子投掷一次得到正 1
面向上的数字为奇数的概率是 2 ．
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/312021/8/31Tuesday, August 31, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 9:17:58 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/312021/8/312021/8/31Aug-2131-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/312021/8/312021/8/31Tuesday, August 31, 2021
第4章 概率 微专题6 概率的计算
专题解读 求概率应掌握以下方法： 1．直接公式法：P(A)＝mn ，其中 n 为所有事件发生 的总次数，m 为事件 A 发生的总次数；
2．求概率的一般步骤：①判断使用列表法或画树状 图法；列表法一般适用于两步计算；画树状图法适用于 两步以上求概率；②不重不漏地列举出所有事件可能出 现的结果，并判断每种事件发生的可能性是否相等；③ 确定所有可能出现的结果数 n 及所求事件 A 出现的结果 数 m；④用公式 P(A)＝mn 求事件 A 发生的概率；
A．14
B．52
C．23
D．59
【解析】连接 AE，AF，EF，过点 F 作 FN⊥AE 于
点 N，∵点 A，B，C，D，E 是边长为 1 的正六边形的
顶点，∴AF＝EF＝1，∠AFE＝120°，∴∠FAE＝30°，
∴AN＝ 23，∴AE＝ 3，同理可得 BD＝BF＝CE＝AC＝ DF＝AE，故从任意一点，连接两点所得的所有线段一共 有 15 种，任取一条线段，取得长度为 3的线段有 6 种 情况，则所求的概率为165＝25.
解：(1)随机选择一天，天气预报可能出现的结果有 7 种，恰好天气预报是晴(记为事件 A)的结果有 4 种，所 以 P(A)＝74 .
(2)随机选择连续的两天，天气预报可能出现的结果 有 6 种，恰好天气预报都是晴(记为事件 B)的结果有 2 种，所以 P(B)＝26＝13.
类型 2 借助几何图形求概率 4. 如图，已知点 A，B，C，D，E，F 是边长为 1 的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段， 在连接两点所得的所有线段中取一条线段，取得长度为 3的线段的概率为( B )
(1)参观的学生总人数为 40 人；
(2)在扇形统计图中最喜欢“瑶文化”的学生占参观
总学生数的百分比为 15% ；
(3)补全条形统计图；
(4)从最喜欢“德文化”的学生中随机选两人参加知
识抢答赛，最喜欢“德文化”的学生甲被选中的概率为 1 2．
解：(1)参观的学生总人数为 12÷30%＝40(人)； (2)喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比 为460×100%＝15%； (3)“德文化”的学生数为 40－12－8－10－6＝4， 条形统计图如图．
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
3. 某景区 7 月 1 日～7 月 7 日一周天气预报如 下．小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游．求 下列事件的概率：
(1)随机选择一天，恰好天气预报是晴； (2)随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴．
3．几何图形中阴影部分的事件的概率求法是求出阴 影部分面积占总面积的几分之几，那么其概率就是几分 之几；
4．在重复试验计算概率诸如“第一次取出后放回， 然后第二次再取出计算概率”这类题时要注意两次取得 的结果总数是一致的，如果不放回，那么第二次取出的 结果的总数为第一次取出的结果总数减 1.
专题ห้องสมุดไป่ตู้练
(1)这次活动共调查了 200 人；在扇形统计图中，表 示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 81° ；
(2)将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的 “众数”是“ 微信 ”；
(3)在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支 付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支 付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择 同一种支付方式的概率．
类型 1 直接利用概率公式求概率
1. 时代中学周末有 40 人去体育场观看足球比赛，
40 张票分别为 B 区第 2 排 1 号到 40 号，分票采用随机
抽取的办法，小明第一个抽取，他抽取的座号为 10 号，
接着小亮从其余的票中任意抽取一张，取得的一张恰与
小明邻座的概率是( D )
A．410
B．21
C．319
把 y＝－(x＋1)2 向右平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位，得 y＝－x2＋4，
∴函数 y＝ax2＋bx＋c 的解析式为 y＝－x2＋4；
(2)∵y＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，∴A(－1，0)， 当 y＝0 时，－x2＋4＝0，解得 x＝±2， 则 D(－2，0)，C(2，0)； 当 x＝0 时，y＝－x2＋4＝4，则 B(0，4)， 从点 A，C，D 三个点中任取两个点和点 B 构造三角 形的有：△ACB，△ADB，△CDB， ∵AC＝3，AD＝1，CD＝4，AB＝ 17，BC＝2 5， BD＝2 5，∴△BCD 为等腰三角形， ∴构造的三角形是等腰三角形的概率＝13.
之积出现的情况有 1，2，3，2，4，6，3，6，9.
(2)该游戏对甲、乙双方不公平，理由为积为奇数的
情况有 4 种，偶数有 5 种，
∴P(甲)<P(乙)．
14. 某中学要在全校学生中举办“中国梦·我的梦” 主题演讲比赛，要求每班选一名代表参赛，九年级(1)班 经过投票初选，小亮和小丽票数并列班级第一，现在他 们都想代表本班参赛，经班长与他们协商决定，用他们 学过的掷骰子游戏来确定谁去参赛(胜者参赛)．
(4)设最喜欢“德文化”的 4 个学生分别为甲乙丙 丁，画树状图得：
∵共有 12 种等可能的结果，甲同学被选中的有 6 种 情况，
∴甲同学被选中的概率是：162＝12.
12. (2018·烟台)随着信息技术的迅猛发展，人们去商 场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组 设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢 的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅 不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
数 y＝x2＋2x＋1 的图象的顶点为点 A．函数 y＝ax2＋bx
＋c 的图象的顶点为点 B，和 x 轴的交点为点 C，D(点 D 位于点 C 的左侧)．
(1)求函数 y＝ax2＋bx＋c 的解析式； (2)从点 A，C，D 三个点中任取两个点和点 B 构造 三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率．
解：(2)画树状图为：
共有 12 种等可能的结果数，其中满足 k＜0，b＞0 的有 4 种结果，所以这个一次函数的图象经过第一、二、 四象限的概率＝142＝13.
10. (2018·邵阳节选)如图所示，将二次函数 y＝x2＋ 2x＋1 的图象沿 x 轴翻折，然后向右平移 1 个单位，再向 上平移 4 个单位，得到二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象．函
该一元二次方程有实数根的概率是 2 ．
9. (2018·扬州)4 张相同的卡片上分别写有数字－1、 －3、4、6，将卡片的背面朝上，并洗匀．
1 (1)从中任意抽取 1 张，抽到的数字是奇数的概率是 2；
(2)从中任意抽取 1 张，并将所取卡片上的数字记作 一次函数 y＝kx＋b 中的 k；再从余下的卡片中任意抽取 1 张，并将所取卡片上的数字记作一次函数 y＝kx＋b 中 的 b.利用画树状图或列表的方法，求这个一次函数的图 象经过第一、二、四象限的概率．
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/312021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月31日星期二2021/8/312021/8/312021/8/31 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/312021/8/31August 31, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/312021/8/312021/8/312021/8/31
(3)将微信记为 A、支付宝记为 B、银行卡记为 C， 画树状图如下：
∵共有 9 种等可能的结果，其中两人恰好选择同一 种支付方式的有 3 种，∴两人恰好选择同一种支付方式 的概率为39＝13.
类型 5 游戏的公平性 13. 甲、乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相 同的卡片中分别标有数字 1，2，3，现将标有数字的一 面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回； 又将卡片洗匀，乙也从中任意抽取一张，计算甲、乙两 人抽得的两个数字之积，如果积为奇数则甲胜，若积为 偶数则乙胜．
5. 如图，四边形 ABCD 是菱形， E，F，G，H 分
别是各边的中点，随机地向菱形 ABCD 内掷一粒米，则 1
米粒落到阴影区域内的概率是 2 ．
6. 小明随机地向如图所示的正三角形及其内切圆 区域投针，则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率有多大？
解：设正三角形 ABC 内切圆圆心为 O，半径为 r，
类型 4 与统计图(表)结合求概率 11. (2018·永州)永州植物园“清风园”共设 11 个主 题展区．为推进校园文化建设，某校九年级(1)班组织部 分学生到“清风园”参观后，开展“我最喜欢的主题展 区”投票调查．要求学生从“和文化”、“孝文化”、 “德文化”、“理学文化”、“瑶文化”五个展区中选 择一项，根据调查结果绘制出了两幅不完整的条形统计 图和扇形统计图．结合图中信息，回答下列问题．
(1)用列表或画树状图等方法，列出甲、乙两人抽得 的数字之积所有可能出现的情况；
(2)请判断该游戏对甲、乙双方是否公平？并说明理 由．
解：(1)列表如下：
甲乙 1
2
3
1 (1，1) (1，2) (1，3)
2 (2，1) (2，2) (2，3)
3 (3，1) (3，2) (3，3)
所有等可能的情况有 9 种，甲、乙两人抽得的数字
7. (2018·扬州)有 4 根细木棒，长度分别为 2 cm、3
cm、4 cm、5 cm，从中任选 3 根，恰好能搭成一个三角 3
形的概率是 4 ．
8. 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋bx＋c＝0，从－
1，2，3 三个数中任取一个数，作为方程中 b 的值，再
从剩下的两个数中任取一个数作为方程中 c 的值，能使 1
⊙O 切 BC 边于点 D，连接 OD，OB．
则 OD⊥BC，∠OBD＝30°.
设 BC＝a，则 BD＝12a.
(2r)2－r2＝(12a)2，∴r2＝112a2，S⊙O＝π 12a2.
S△ABC＝12AD·BC＝ 43a2，故针扎到其内切圆区域的
概率为
P＝
π 12a2 ＝ 43a2
93π.
类型 3 与代数知识结合求概率
解：(1)本次活动调查的总人数为(45＋50＋15)÷(1－ 15%－30%)＝200 人，
则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 360 °×24050＝81°，故答案为 200、81°；
(2)微信人数为 200×30%＝60 人，银行卡人数为 200×15%＝30 人，补全图形如图；
由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”；
D．329
2. (2018·深圳)一个正六面体的骰子投掷一次得到正 1
面向上的数字为奇数的概率是 2 ．
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/312021/8/31Tuesday, August 31, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 9:17:58 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/312021/8/312021/8/31Aug-2131-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/312021/8/312021/8/31Tuesday, August 31, 2021
第4章 概率 微专题6 概率的计算
专题解读 求概率应掌握以下方法： 1．直接公式法：P(A)＝mn ，其中 n 为所有事件发生 的总次数，m 为事件 A 发生的总次数；
2．求概率的一般步骤：①判断使用列表法或画树状 图法；列表法一般适用于两步计算；画树状图法适用于 两步以上求概率；②不重不漏地列举出所有事件可能出 现的结果，并判断每种事件发生的可能性是否相等；③ 确定所有可能出现的结果数 n 及所求事件 A 出现的结果 数 m；④用公式 P(A)＝mn 求事件 A 发生的概率；
A．14
B．52
C．23
D．59
【解析】连接 AE，AF，EF，过点 F 作 FN⊥AE 于
点 N，∵点 A，B，C，D，E 是边长为 1 的正六边形的
顶点，∴AF＝EF＝1，∠AFE＝120°，∴∠FAE＝30°，
∴AN＝ 23，∴AE＝ 3，同理可得 BD＝BF＝CE＝AC＝ DF＝AE，故从任意一点，连接两点所得的所有线段一共 有 15 种，任取一条线段，取得长度为 3的线段有 6 种 情况，则所求的概率为165＝25.
解：(1)随机选择一天，天气预报可能出现的结果有 7 种，恰好天气预报是晴(记为事件 A)的结果有 4 种，所 以 P(A)＝74 .
(2)随机选择连续的两天，天气预报可能出现的结果 有 6 种，恰好天气预报都是晴(记为事件 B)的结果有 2 种，所以 P(B)＝26＝13.
类型 2 借助几何图形求概率 4. 如图，已知点 A，B，C，D，E，F 是边长为 1 的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段， 在连接两点所得的所有线段中取一条线段，取得长度为 3的线段的概率为( B )
(1)参观的学生总人数为 40 人；
(2)在扇形统计图中最喜欢“瑶文化”的学生占参观
总学生数的百分比为 15% ；
(3)补全条形统计图；
(4)从最喜欢“德文化”的学生中随机选两人参加知
识抢答赛，最喜欢“德文化”的学生甲被选中的概率为 1 2．
解：(1)参观的学生总人数为 12÷30%＝40(人)； (2)喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比 为460×100%＝15%； (3)“德文化”的学生数为 40－12－8－10－6＝4， 条形统计图如图．
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
3. 某景区 7 月 1 日～7 月 7 日一周天气预报如 下．小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游．求 下列事件的概率：
(1)随机选择一天，恰好天气预报是晴； (2)随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴．
3．几何图形中阴影部分的事件的概率求法是求出阴 影部分面积占总面积的几分之几，那么其概率就是几分 之几；
4．在重复试验计算概率诸如“第一次取出后放回， 然后第二次再取出计算概率”这类题时要注意两次取得 的结果总数是一致的，如果不放回，那么第二次取出的 结果的总数为第一次取出的结果总数减 1.
专题ห้องสมุดไป่ตู้练
(1)这次活动共调查了 200 人；在扇形统计图中，表 示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 81° ；
(2)将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的 “众数”是“ 微信 ”；
(3)在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支 付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支 付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择 同一种支付方式的概率．
类型 1 直接利用概率公式求概率
1. 时代中学周末有 40 人去体育场观看足球比赛，
40 张票分别为 B 区第 2 排 1 号到 40 号，分票采用随机
抽取的办法，小明第一个抽取，他抽取的座号为 10 号，
接着小亮从其余的票中任意抽取一张，取得的一张恰与
小明邻座的概率是( D )
A．410
B．21
C．319