(人教B版)高中数学必修5-3-1-2课后强化作业(含答案)

基础巩固一、选择题
1．已知a、b、c、d均为实数，有下列命题
①若ab＜0，bc－ad＞0，则c
a
－
d
b
＞0；
②若ab＞0，c
a －
d
b
＞0，则bc－ad＞0；
③若bc－ad＞0，c
a －
d
b
＞0，则ab＞0.
其中正确
A．0 B．1 C．2 D．3 [答案] C
[解析] ①∵ab＜0，∴1
ab
＜0，
又∵bc－ad＞0∴
1
ab
·(bc－ad)＜0即
c
a
－
d
b
＜0，
∴①错；
②∵ab＞0，c
a －
d
b
＞0，
∴ab(c
a
－
d
b
)＞0，
即：bc－ad＞0，[: ∴②正确；
③∵c
a
－
d
b
＞0∴
bc－ad
ab
＞0，
又∵bc－ad＞0∴ab＞0∴③正确．
2．(2018-2019学年度辽宁鞍山市第一中学高二期中测试)若a<b<0，则下列不等式不能成立的是( )
A.1
a
>
1
b
B．2a>2b
C．|a|>|b| D．(1
2
)a>(
1
2
)b
[答案] B
[解析] ∵a<b，∴2a<2b，
故选B.
3．设a＋b<0，且a>0，则( )
A．a2<－ab<b2B．b2<－ab<a2
C．a2<b2<－ab D．ab<b2<a2
[答案] A
[解析] ∵a＋b<0，且a>0，∴0<a<－b，
∴a2<－ab<b2.
4．已知a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( ) A．a2＞a＞－a2＞－a B．－a＞a2＞－a2＞a C．－a＞a2＞a＞－a2D．a2＞－a＞a＞－a2 [答案] B
[解析] ∵a2＋a<0，∴0<a2<－a，∴0>－a2>a，
∴a<－a2<a2<－a，故选B.
[点评] 可取特值检验，∵a2＋a<0，即a(a＋1)<0，令a＝－1
2
，则a2＝
1
4
，－a2＝－
1
4
，－a＝
1
2
，∴
1
2
>
1
4
>－
1
4
>
－1
2
，即－a>a2>－a2>a，排除A、C、D，选B.
5．已知|a|<1，则
1
a＋1
与1－a的大小关系为( )
A.
1
a＋1
<1－a B.
1
a＋1
>1－a C.
1
a＋1
≥1－a D.
1
a＋1
≤1－a [答案] C
[解析] 解法一：检验法：令a＝0，则
1
a＋1
＝1－a，排除A、B；
令a＝
1
2
，则
1
a＋1
>1－a，排除D，故选C.
解法二：∵|a|<1，∴1＋a>0，
∴
1
1＋a
－(1－a)＝
a2
1＋a
≥0，
∴
1
a＋1
≥1－a.
6．若a>b>0，则下列不等式中总成立的是( )[:
A.
b
a
>
b＋1
a＋1
B．a＋
1
a
>b＋
1
b C．a＋
1
b
>b＋
1
a
D.
2a＋b
a＋2b
>
a
b
[答案] C
[解析] 解法一：由a>b>0⇒0<
1
a
<
1
b
⇒a＋
1
b
>b＋
1
a
，故选C.
解法二：(特值法)令a＝2，b＝1，排除A、D，再令a＝
1
2
，b＝
1
3
，排除B.
二、填空题
7．已知三个不等式：①ab>0；②c a >d b
；③bc>ad.以其中两个作条件，余下一个为结论，写出两个能成立的不等式
[答案] ⎭
⎪⎬⎪⎫①②⇒③， ⎭⎪⎬⎪⎫①③⇒②， ⎭⎪⎬⎪⎫②③⇒①中任选两个即可． [解析] c a >d b ⇒bc －ad ab ＞0.若③成立，则①成立∴②③⇒①；若③成立即bc ＞ad ，若①成立，则bc ab
＞ad ab ，∴c a ＞d b
∴①③⇒②；若①与②成立显然有③成立． 8．实数a 、b 、c 、d 满足下列两个条件：①d>c ；②a ＋d<b ＋c.则a 、b 的大小关系为________．
[答案] a<b
[解析] ∵d>c ，∴d －c>0，
又∵a ＋d <b ＋c ，
∴b －a>d －c>0，
∴b>a.
三、解答题
9．(1)已知c ＞a ＞b ＞0.求证：a c －a ＞b c －b
. (2)已知a 、b 、m 均为正数，且a ＜b ，求证：a ＋m b ＋m ＞a b
. [解析] (1)∵c ＞a ＞b ＞0∴c －a ＞0，c －b ＞0，
⎭
⎪⎬⎪⎫由a ＞b ＞0⇒1a ＜1b c ＞0⇒c a ＜c b
⎭⎪⎬⎪⎫⇒c －a a ＜c －b b c －a ＞0 c －b ＞0⇒a c －a ＞b c －b . (2)证法一：a ＋m b ＋m －a b ＝－＋， ∵0＜a ＜b ，m ＞0，∴－＋＞0，∴a ＋m b ＋m ＞a b . 证法二：a ＋m b ＋m ＝a ＋b ＋m －b b ＋m ＝1＋a －b b ＋m ＝1－b －a b ＋m ＞ 1－b －a b ＝a b
. 证法三：∵a ，b ，m 均为正数，
∴要证a ＋m b ＋m ＞a b
， 只需证(a ＋m)b ＞a(b ＋m)，
只需证ab ＋bm ＞ab ＋am ，[:
只要证bm ＞am ，
要证bm ＞am ，只需证b ＞a ，又已知b ＞a ，
∴原不等式成立.
能 力 提 升
一、选择题
1．已知a 、b 为非零实数，且a<b ，则下列
A ．a 2<b 2
B ．ab 2<a 2
b C.1ab 2<1
a 2
b D.b a <a b [答案] C
[解析] 对于A 可举反例，如－2<1，可得(－2)2>12故A 错，对于B 要使ab 2<a 2
b 成立，即ab(b －a)<0成立，而此时a b 的符号不确定，故B 错．
对于D 要使b a <a b 成立，即b 2－a 2ab
<0成立，ab 的符号也不确定．故D 错． 2．若－π2<α<β<π2
，则α－β的取值范围是( ) A ．(－π，π)
B ．(0，π)
C ．(－π，0)
D ．{0} [答案] C
[解析] ∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2
， 又－π2<α<π2，∴－π<α－β<π， 又α<β，∴α－β<0，∴－π<α－β<0.
3．已知函数f(x)＝x 3，x 1，x 2，x 3∈R ，x 1＋x 2<0，x 2＋x 3<0，x 3＋x 1<0，那么f(x 1)＋f(x 2)＋f(x 3)的值( )
A ．一定大于0
B ．一定小于0
C ．等于0
D ．正负都有可能
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝x 3是单调递增函数，x 1<－x 2，x 2<－x 3，x 3<－x 1，∴f(x 1)<f(－x 2)，f(x 2)<f(－x 3)，f(x 3)<f(－x 1)，
又∵f(x)为奇函数，
∴f(x 1)<－f(x 2)，f(x 2)<－f(x 3)，f(x 3)<－f(x 1)，
∴f(x 1)＋f(x 2)<0，f(x 2)＋f(x 3)<0，f(x 3)＋f(x 1)<0
∴f(x 1)＋f(x 2)＋f(x 3)<0.
4．若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a|＞|b|；③a ＜b ；④b a ＋a b
＞2.其中正确的有( ) A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 [答案] B
[解析] ∵1a ＜1b
＜0，∴a ＜0，b ＜0，a ＞b ，故③错； ∴ab ＞0，∴a ＋b<0<ab ，故①成立；
又0＞a ＞b ，∴|a|＜|b|.∴②错；
∵b a ＋a b ＝b 2＋a 2ab ＝－2＋2ab ab ＝－
2ab ＋2
且a －b ＜0，ab ＞0，∴b a ＋a b
＞2，∴④成立． ∴①④正确．选B.
二、填空题
5．若a>0，b>0则a ＋b ________a ＋b(填上适当的等号或不等号)．
[答案] >
[解析] ∵a>0，b>0，∴(a ＋b)2
＝a ＋b ＋2ab ， (a ＋b)2＝a ＋b ，∴(a ＋b)2>(a ＋b)2，即a ＋b>a ＋b.
6．设a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0，则p ＝b a ，q ＝a b ，r ＝b ＋m a ＋m ，s ＝a ＋n b ＋n 的大小顺序是________________． [答案] p ＜r ＜s ＜q
[解析] 取a ＝4，b ＝2，m ＝3，n ＝1，则p ＝12，q ＝2，r ＝57，s ＝53
则p ＜r ＜s ＜q(特值探路)． 具体比较如下：
p －r ＝b a －b ＋m a ＋m ＝－＋＜0，∴p ＜r. ∵a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0
∴a ＋m ＞b ＋m ＞0.a ＋n ＞b ＋n ＞0，
∴b ＋m a ＋m ＜1，a ＋n b ＋n
＞1，∴r ＜s. 或r －s ＝b ＋m a ＋m －a ＋n b ＋n ＝－＋a ＋m ＋＋＋＜0.
∴r ＜s.s －q ＝a ＋n b ＋n －a b ＝－＋＜0， ∴s ＜q.∴p ＜r ＜s ＜q.
三、解答题
7．如果30＜x ＜42,16＜y ＜24.分别求x ＋y 、x －2y 及x y
的取值范围．[: [解析] 46＜x ＋y ＜66；－48＜－2y ＜－32；
∴－18＜x －2y ＜10；
∵30<x<42，124＜1y ＜116，∴3024＜x y ＜4216
， 即54＜x y ＜218
. 8．已知a ＞0，b ＞0，a≠b，n ∈N 且n≥2，比较a n ＋b n 与a n －1b ＋ab n －1的大小．
[解析] (a n ＋b n )－(a
n －1b ＋ab n －1)＝a n －1(a －b)＋b n －1(b －a)＝(a －b)(a n －1－b n －1)， (1)当a ＞b ＞0时，a
n －1＞b n －1，∴(a －b)(a n －1－b n －1)＞0，[: (2)当0＜a ＜b 时，a n －1＜b n －1，∴(a －b)(a n －1－b n －1)＞0，
∴对任意a ＞0，b ＞0，a≠b，总有(a －b)(a n －1－b n －1)＞0.∴a n ＋b n ＞a n －1b ＋ab n －1.
9．某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的收费标准、车型都是一样的，试根据此单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
[解析] 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，
则y 1＝x ＋34x·(n－1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45
xn ， y 1－y 2＝14x ＋34xn －45
xn ＝14x －120xn ＝14x(1－n 5
)． 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n>5时，y 1<y 2；
当n<5时，y 1>y 2.
因此，当此单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．。