第九章对流传热
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即：
f
d f
2
d
2
d f
3
d
3
0 （9-30a）
这是一个仅为η的函数的三阶非线 性微分方程。对应的边界条件变为：
y 0时, u x 0, y 0时, u y 0, y 时, u u , x 0
0时, f 0 (由9 25得) 0时, f 0 (由9 26得) 时, f ' 1 (由9 25得)
由流体主体至壁面的 温度分布如图所示
tb
为了简化起见，可采用流体平均主体温度与 壁面间的温度差作为流体与壁面的温度差。 全部热阻均集中在壁面附近厚度为 δ f的流体 膜内，在此情况下，膜内的的热阻方式可视为 导热。
根据傅立叶定律，传热速率的表达式为：
q k t f ts A f
（9-1）
平板上和圆管内的温度边界层如图所示： y ts
x
u 0 t0
t0
t t
t0
r r
ts 流体以匀速u0和均匀温度t0流过温度为ts的平 板。由于流体与壁面之间发生热量传递，在y 方 向上流体温度将发生变化。热边界层厚度δt在 x ＝0处也为零，然后随x的增加也逐渐增厚。
圆管内热边界层的形成与发展也类似，热边 界层厚度由进口的零值逐渐增厚，经过一个 x 距 离后，在管中心汇合。
由此可得：
（9-6）
k dt h t0 ts dy
y 0
（9-7）
由此看来，要想求出h，关键是计算 壁面的温度梯度
其步骤是：
运动 方程 速度分 布函数 连续性 方程 能量 方程 温度分 布函数 膜 系数
很显然，只有层流状态下，才能 进行严格的求解，而对于湍流， 目前还只能依靠经验方程。
第二节
2 2 3 2
f 0.16603 2 4.5943 5 104 2.4972 8 106 ……
这就是平板边界层方程（9-10）的精确解。
首先由布拉休斯于1908年提出。 应用该精确解即可求出边界层内的速度分 布、边界层厚度、摩擦曳力及摩擦曳力系 数等。 边界层厚度：根据厚度的定义：
首先对方程（ 9-9 ）作近似变换，式中 t 采用无因次温度代替。 ts t * T t s t0 能量方程写成：
1 2
第三节 边界层能量方程的精确解
现已得知 ux , u y 与x, y 的函数关系，将 其代入能量方程即可对边界层能量方程 求解
边界层能量 方程为：
t t t ux u y 2 x y y
2
y 0时, t ts 边界条件为： y 时, t t0 x 0时, t t 0
对流传热系数（膜系数）
根据湍流传热机理可知，湍流流体与固体 壁面之间有一层层流内层存在，层流的传 热依靠导热，而在湍流主体中主要是靠涡 流传热。
就热阻而论，层流内层将占总对流热阻的 大部分，该层流体虽然很薄，热阻却很大， 温度梯度也很大。湍流核心的温度则较均 匀，热阻很小，温度梯度也很小。
f
tf
'
根据边界条件可得：
c0 c1 c3 c4 0 c c5 …… 2
2 2
其它不为零得系数均可用c2表示，可得 f 的表达式为：
c2 2 1 c 5 11 c 8 f …… 2! 2 5! 4 8!
' 根据 时， f 1 条件确定 c2 0.33206…… 最后可得 f 表达式为：
首先作数量级分析， 令ux的数量级为u0，y的数量级为δ0，则 uy的数量级可根据连续性方程得出，
”表示数量级关系，则上 用符号“ 式可近似写成： u0 u y 0 （9-12） x
u0 故uy的数量级近似为： u y x
u x u y 0 x y
（9-13）
局部膜系数与平均膜系数的关系为：
1 L hm hx dx L 0
（9-4）
hx 为 x 处的膜系数
在实际中求解膜系数时，常将其与壁面附 近流体的温度梯度关联起来。根据傅立叶 定律有：
dt q kA dy
（9-5）
y 0
在该处热量必定以对流方式传递到主体中 去，故q又可表示为：
q hA ts t0
2
（9-9）
根据平板边界层的特点，已经证明在 x dp 0 ， 方向上的压力梯度为零，即 dx 故普兰德边边界层方程可简化为：
u x u x ux ux uy 2 x y y （9-10）
2
连续性方程为： u x 根据流函数ψ的 定义
x
y ux y
u y
δ f 为导热膜厚度，该值不易测定，其大小 与许多因素有关，令
h k
则：
该方程称为牛顿冷却定律， h 称为对流传热系数。
q h t f ts A
f
（9-2）
（9-3）
h与下列因素有关：
⑴ 流体物性
⑵ 壁面的几何形状和粗糙度
⑶ 流体与壁面间的温差 ⑷ 流体速度 ⑸ 层流内层厚度 由于h 实际上表示的是薄层内的传热系数， 故又称为膜系数。
g 为无因次的速度变量，有待求解。
由方程（9-18）得：
ux u0 g （9-19）
将流函数定义式代入上式得：
u0 g (9 20) (9 21)
u0 g d
根据方程（9-17）可求得
u0
x
u0
g d u0 x g d
第一节 对流传热的机理和膜系数
一、传热机理
在流体中进行传热时，大多情况下流体 总是处于运动状态。运动着的流体微团以 内能形式携带着能量由一处移向另一处而 进行热量传递过程，这种过程称为对流传 热。 对流传热包括强制层流、强制湍流、自 然对流、蒸汽冷凝及液体沸腾等形式的传 热过程。
湍流核心
缓冲层 层流内层
(9 26)
(9 27) (9 28) (9 29)
u x u0 '' f x 2x u x u0 '' u0 f y x ux u ''' f 2 y
2 2 0
将上述式子代入边界层方程（9-10）中，得 ： '' ''' ff f 0 （9-30）
ux 0.99时的y值即为 u0
f 0.99时, 求出值为5.0, 则 x 5.0 Re
'
1 2 x
这与前面求出的近似解相吻合
x 4.64 Re x
1 2
3 0
曳力： Fd 0.664b Lu 曳力系数： CD 1.328Re L
1 2
近似解为： CD 1.292 Re L
2t 2t t t ux u y 2 2 x y x y
（9-8）
由于
y 0 , x 0 1 , 所以y<<x t t 2 2 x y
2 2
t t t 可得： u x uy 2 x y y 边界层方程的精确解
（9-23）
令：f 则有： 或：f
g d
u0 x f
u0 x
(9 24)
f 为无因次的流函数，用它代替ψ。于是 可用 f 表示 u x , u y 分别为：
u x u0 f
'
(9 25)
1 u0 ' uy f f 2 x
在层流状态下的流体，由于不存在流体的 旋涡的运动和混合，故在垂直于流体动方向上 的传热为导热。在固体壁面与流体之间的导热， 取决于流体内部的温度梯度，该梯度与流场密 切相关，流速大，温度梯度也大，故在一般情 况下常将固体壁面与流体之间的热量传递过程 统称为对流传热。
在无相变的对流传热中，最为常见的是强制 湍流传热，其原因是此种传热过程可获得较大 的传热速率。 传热机理如下： 湍流流体流经固体壁面时，将形成湍流边 界层，若流体与壁面的温度不同则它们之间将 进行热交换。 设流体温度低于壁面温度，则热流会由壁 面流向流体中。在壁面附近为层流内层、壁面 处的热量首先通过静止的流体层进入层流内层， 此时传热方式为流体分子无规律运动所引起， 为导热。
u0 t0
层厚，边界层以外无温度梯度和速度梯度。
δ
前已推到出边界层内的普兰德边界层方程 ：
2 u x u x 1 dp u x uy u x 2 x y dx y u x u y 0 x y
边界层内的能量方程可简化为：
0
uy x
可将方程（ 9-10 ）变为：
2 2 3 3 2 y xy x y y
y0 边界条件为： y u0
方程（9-11）为三阶非线性偏微分方程，数 学上无法得到分析解。 布拉休斯采用物理直观性并结合数学方法求 解获得了相应的结果，称为布拉休斯解。 求解过程采用“相似变换”方法将方程（911）变为常微分方程，最后求出速度分布方 程。
'
可设为一无穷级数： c2 2 c3 3 c4 4 c5 5 f c0 c1 …… 2! 3! 4! 5!
c0 , c1 , c2 …… 为待定系数，可根据上述边 界条件确定，为此先对
f 求导数f , f , f
'
''
'''
c3 2 c4 3 f c1 c2 …… 2! 3! c4 2 c5 3 '' f c2 c3 …… 2! 3! c5 2 c6 3 ''' f c3 c4 …… 2! 3!
二、热边界层 定义：流体流过固体壁面时，其流体温 度与壁面不同，则壁面附近的流体受壁面 温度的影响将建立一个温度梯度。一般将 流体流动存在温度梯度的区域定义为热边 界层。 热边界层的形成与发展过程与流速边界 层相似。为方便，通常规定：流体与壁面 间的温度差（ ts t ）达到最大温差的 ％ ts 99 t 0 时的 y 方向距离为热边界层的厚度 t 。 t 是 x 的函数。
将（9-14）代入 （9-15）得：
ux u0 ～y u0 x
（9-16）
u0 令 x, y y （9-17） x ux 与 相似，将这种关系用如下得 显然 u0 函数形式描述： ux g （9-18） u0
为无因次的位置变量，它可代替 x 和y 事实上， 这两个自变量，这种交换自变量的方法称为变量 的相似变换。
热流体层流内层进入缓冲层，此层既有流体 微团的层流流动，也存在一些使流体微团在热 流方向上作旋涡运动的宏观运动，故在缓冲层 内兼有导热和涡流传热两种传热方式。
热流最后由缓冲层进入湍流核心，在这里， 流体剧烈湍动，涡流传热较分子传热剧烈的多， 导热可忽略不计。 有相变的传热过程——沸腾和冷凝传热的机 理与湍流有些不同。主要由于有相的变化，界 面不断骚动，故而传热速率大大加快，但其仍 然按对流传热的规律处理。
层流下的热量传递
严格地讲，层流状态下的传热，也会因 为非等温因素存在密度差，导致自然对流 传热，所以下面讨论的层流传热只能指理 想情况。 一、平板壁面层流传热的精确解 与壁面温度不同的流体，在平板壁面 作稳态平行层流时，在壁面附近将同时建 立速度边界层和温度边界层。两种边界层 厚度一般不相等。
大多数情况下，速度边界层较温度边界 最关键问题是边界层内的温度分布。
将其代入方程（9-10），可得如下数量级 的近似关系： u u u u
u0
0
x
0
0
x
0 2
由此得δ的数 x （9-14） 量级为： u0 1 或写成： （9-14a） x Re x 假定在平板前缘不同的 x 距离处，速度分布的 形状是相似的，即：
ux y ～ （9-15） u0
f
d f
2
d
2
d f
3
d
3
0 （9-30a）
这是一个仅为η的函数的三阶非线 性微分方程。对应的边界条件变为：
y 0时, u x 0, y 0时, u y 0, y 时, u u , x 0
0时, f 0 (由9 25得) 0时, f 0 (由9 26得) 时, f ' 1 (由9 25得)
由流体主体至壁面的 温度分布如图所示
tb
为了简化起见，可采用流体平均主体温度与 壁面间的温度差作为流体与壁面的温度差。 全部热阻均集中在壁面附近厚度为 δ f的流体 膜内，在此情况下，膜内的的热阻方式可视为 导热。
根据傅立叶定律，传热速率的表达式为：
q k t f ts A f
（9-1）
平板上和圆管内的温度边界层如图所示： y ts
x
u 0 t0
t0
t t
t0
r r
ts 流体以匀速u0和均匀温度t0流过温度为ts的平 板。由于流体与壁面之间发生热量传递，在y 方 向上流体温度将发生变化。热边界层厚度δt在 x ＝0处也为零，然后随x的增加也逐渐增厚。
圆管内热边界层的形成与发展也类似，热边 界层厚度由进口的零值逐渐增厚，经过一个 x 距 离后，在管中心汇合。
由此可得：
（9-6）
k dt h t0 ts dy
y 0
（9-7）
由此看来，要想求出h，关键是计算 壁面的温度梯度
其步骤是：
运动 方程 速度分 布函数 连续性 方程 能量 方程 温度分 布函数 膜 系数
很显然，只有层流状态下，才能 进行严格的求解，而对于湍流， 目前还只能依靠经验方程。
第二节
2 2 3 2
f 0.16603 2 4.5943 5 104 2.4972 8 106 ……
这就是平板边界层方程（9-10）的精确解。
首先由布拉休斯于1908年提出。 应用该精确解即可求出边界层内的速度分 布、边界层厚度、摩擦曳力及摩擦曳力系 数等。 边界层厚度：根据厚度的定义：
首先对方程（ 9-9 ）作近似变换，式中 t 采用无因次温度代替。 ts t * T t s t0 能量方程写成：
1 2
第三节 边界层能量方程的精确解
现已得知 ux , u y 与x, y 的函数关系，将 其代入能量方程即可对边界层能量方程 求解
边界层能量 方程为：
t t t ux u y 2 x y y
2
y 0时, t ts 边界条件为： y 时, t t0 x 0时, t t 0
对流传热系数（膜系数）
根据湍流传热机理可知，湍流流体与固体 壁面之间有一层层流内层存在，层流的传 热依靠导热，而在湍流主体中主要是靠涡 流传热。
就热阻而论，层流内层将占总对流热阻的 大部分，该层流体虽然很薄，热阻却很大， 温度梯度也很大。湍流核心的温度则较均 匀，热阻很小，温度梯度也很小。
f
tf
'
根据边界条件可得：
c0 c1 c3 c4 0 c c5 …… 2
2 2
其它不为零得系数均可用c2表示，可得 f 的表达式为：
c2 2 1 c 5 11 c 8 f …… 2! 2 5! 4 8!
' 根据 时， f 1 条件确定 c2 0.33206…… 最后可得 f 表达式为：
首先作数量级分析， 令ux的数量级为u0，y的数量级为δ0，则 uy的数量级可根据连续性方程得出，
”表示数量级关系，则上 用符号“ 式可近似写成： u0 u y 0 （9-12） x
u0 故uy的数量级近似为： u y x
u x u y 0 x y
（9-13）
局部膜系数与平均膜系数的关系为：
1 L hm hx dx L 0
（9-4）
hx 为 x 处的膜系数
在实际中求解膜系数时，常将其与壁面附 近流体的温度梯度关联起来。根据傅立叶 定律有：
dt q kA dy
（9-5）
y 0
在该处热量必定以对流方式传递到主体中 去，故q又可表示为：
q hA ts t0
2
（9-9）
根据平板边界层的特点，已经证明在 x dp 0 ， 方向上的压力梯度为零，即 dx 故普兰德边边界层方程可简化为：
u x u x ux ux uy 2 x y y （9-10）
2
连续性方程为： u x 根据流函数ψ的 定义
x
y ux y
u y
δ f 为导热膜厚度，该值不易测定，其大小 与许多因素有关，令
h k
则：
该方程称为牛顿冷却定律， h 称为对流传热系数。
q h t f ts A
f
（9-2）
（9-3）
h与下列因素有关：
⑴ 流体物性
⑵ 壁面的几何形状和粗糙度
⑶ 流体与壁面间的温差 ⑷ 流体速度 ⑸ 层流内层厚度 由于h 实际上表示的是薄层内的传热系数， 故又称为膜系数。
g 为无因次的速度变量，有待求解。
由方程（9-18）得：
ux u0 g （9-19）
将流函数定义式代入上式得：
u0 g (9 20) (9 21)
u0 g d
根据方程（9-17）可求得
u0
x
u0
g d u0 x g d
第一节 对流传热的机理和膜系数
一、传热机理
在流体中进行传热时，大多情况下流体 总是处于运动状态。运动着的流体微团以 内能形式携带着能量由一处移向另一处而 进行热量传递过程，这种过程称为对流传 热。 对流传热包括强制层流、强制湍流、自 然对流、蒸汽冷凝及液体沸腾等形式的传 热过程。
湍流核心
缓冲层 层流内层
(9 26)
(9 27) (9 28) (9 29)
u x u0 '' f x 2x u x u0 '' u0 f y x ux u ''' f 2 y
2 2 0
将上述式子代入边界层方程（9-10）中，得 ： '' ''' ff f 0 （9-30）
ux 0.99时的y值即为 u0
f 0.99时, 求出值为5.0, 则 x 5.0 Re
'
1 2 x
这与前面求出的近似解相吻合
x 4.64 Re x
1 2
3 0
曳力： Fd 0.664b Lu 曳力系数： CD 1.328Re L
1 2
近似解为： CD 1.292 Re L
2t 2t t t ux u y 2 2 x y x y
（9-8）
由于
y 0 , x 0 1 , 所以y<<x t t 2 2 x y
2 2
t t t 可得： u x uy 2 x y y 边界层方程的精确解
（9-23）
令：f 则有： 或：f
g d
u0 x f
u0 x
(9 24)
f 为无因次的流函数，用它代替ψ。于是 可用 f 表示 u x , u y 分别为：
u x u0 f
'
(9 25)
1 u0 ' uy f f 2 x
在层流状态下的流体，由于不存在流体的 旋涡的运动和混合，故在垂直于流体动方向上 的传热为导热。在固体壁面与流体之间的导热， 取决于流体内部的温度梯度，该梯度与流场密 切相关，流速大，温度梯度也大，故在一般情 况下常将固体壁面与流体之间的热量传递过程 统称为对流传热。
在无相变的对流传热中，最为常见的是强制 湍流传热，其原因是此种传热过程可获得较大 的传热速率。 传热机理如下： 湍流流体流经固体壁面时，将形成湍流边 界层，若流体与壁面的温度不同则它们之间将 进行热交换。 设流体温度低于壁面温度，则热流会由壁 面流向流体中。在壁面附近为层流内层、壁面 处的热量首先通过静止的流体层进入层流内层， 此时传热方式为流体分子无规律运动所引起， 为导热。
u0 t0
层厚，边界层以外无温度梯度和速度梯度。
δ
前已推到出边界层内的普兰德边界层方程 ：
2 u x u x 1 dp u x uy u x 2 x y dx y u x u y 0 x y
边界层内的能量方程可简化为：
0
uy x
可将方程（ 9-10 ）变为：
2 2 3 3 2 y xy x y y
y0 边界条件为： y u0
方程（9-11）为三阶非线性偏微分方程，数 学上无法得到分析解。 布拉休斯采用物理直观性并结合数学方法求 解获得了相应的结果，称为布拉休斯解。 求解过程采用“相似变换”方法将方程（911）变为常微分方程，最后求出速度分布方 程。
'
可设为一无穷级数： c2 2 c3 3 c4 4 c5 5 f c0 c1 …… 2! 3! 4! 5!
c0 , c1 , c2 …… 为待定系数，可根据上述边 界条件确定，为此先对
f 求导数f , f , f
'
''
'''
c3 2 c4 3 f c1 c2 …… 2! 3! c4 2 c5 3 '' f c2 c3 …… 2! 3! c5 2 c6 3 ''' f c3 c4 …… 2! 3!
二、热边界层 定义：流体流过固体壁面时，其流体温 度与壁面不同，则壁面附近的流体受壁面 温度的影响将建立一个温度梯度。一般将 流体流动存在温度梯度的区域定义为热边 界层。 热边界层的形成与发展过程与流速边界 层相似。为方便，通常规定：流体与壁面 间的温度差（ ts t ）达到最大温差的 ％ ts 99 t 0 时的 y 方向距离为热边界层的厚度 t 。 t 是 x 的函数。
将（9-14）代入 （9-15）得：
ux u0 ～y u0 x
（9-16）
u0 令 x, y y （9-17） x ux 与 相似，将这种关系用如下得 显然 u0 函数形式描述： ux g （9-18） u0
为无因次的位置变量，它可代替 x 和y 事实上， 这两个自变量，这种交换自变量的方法称为变量 的相似变换。
热流体层流内层进入缓冲层，此层既有流体 微团的层流流动，也存在一些使流体微团在热 流方向上作旋涡运动的宏观运动，故在缓冲层 内兼有导热和涡流传热两种传热方式。
热流最后由缓冲层进入湍流核心，在这里， 流体剧烈湍动，涡流传热较分子传热剧烈的多， 导热可忽略不计。 有相变的传热过程——沸腾和冷凝传热的机 理与湍流有些不同。主要由于有相的变化，界 面不断骚动，故而传热速率大大加快，但其仍 然按对流传热的规律处理。
层流下的热量传递
严格地讲，层流状态下的传热，也会因 为非等温因素存在密度差，导致自然对流 传热，所以下面讨论的层流传热只能指理 想情况。 一、平板壁面层流传热的精确解 与壁面温度不同的流体，在平板壁面 作稳态平行层流时，在壁面附近将同时建 立速度边界层和温度边界层。两种边界层 厚度一般不相等。
大多数情况下，速度边界层较温度边界 最关键问题是边界层内的温度分布。
将其代入方程（9-10），可得如下数量级 的近似关系： u u u u
u0
0
x
0
0
x
0 2
由此得δ的数 x （9-14） 量级为： u0 1 或写成： （9-14a） x Re x 假定在平板前缘不同的 x 距离处，速度分布的 形状是相似的，即：
ux y ～ （9-15） u0