高考数学分项版解析 专题09 圆锥曲线 理

【十年高考】（新课标1专版）高考数学分项版解析 专题09 圆锥曲
线 理
一．基础题组
1. 【2014课标Ⅰ，理4】已知F 为双曲线C :)0(32
2
>=-m m my x 的一个焦点，则点F 到
C 的一条渐近线的距离为（ ）
A. 3
B. 3
C. m 3
D. m 3 【答案】A
2. 【2013课标全国Ⅰ，理4】已知双曲线C ：2222=1x y a b
-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则
C 的渐近线方程为( )．
A ．y ＝14x ±
B ．y ＝13x ±
C ．y ＝1
2
x ± D ．y ＝±x 【答案】：C
【解析】：∵5c e a ==，∴2222
22
54c a b e a a +===.∴a 2＝4b 2，1=2
b a ±.∴渐近线方程为1
2
b y x x a =±±.
3. 【2012全国，理4】设F 1，F 2是椭圆E ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线32
a x =
上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A ．
12 B ．23 C ．34 D ．4
5
【答案】C 【解析】设直线32
a
x =
与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°，在Rt △PF 2M 中，PF 2＝F 1F 2＝2c ，
23 2 a
F M c
=-，
故2
2
3
1
2
cos60
22
a c
F M
PF c
-
︒===，解得
3
4
c
a
=，故离心率
3
4
e=．
4. 【2011全国新课标，理7】设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为( )
A．2B．3C． 2 D． 3
【答案】B
【解析】
5. 【2009全国卷Ⅰ，理4】设双曲线1
2
2
2
2
=
-
b
y
a
x
(a＞0,b＞0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）
A.3
B.2
C.5
D.6
【答案】：C
【解析】：双曲线的一条渐近线为x
a
b
y=,
由
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
=
,1
,
2
x
y
x
a
b
y
消y得0
1
2=
+
-x
a
b
x,
由题意，知Δ=(a
b )2
-4=0. ∴b 2
=4a 2
.
又c 2=a 2+b 2,∴c 2
=a 2
+4a 2
=5a 2
. ∴
5=a
c
. 6. 【2006全国，理3】双曲线mx 2
+y 2
=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（ ） （A ）41-
（B ）-4 （C ）4 （D ）4
1 【答案】A
7. 【2005全国1，理5】已知双曲线)0(1222>=-a y a
x 的一条准线与抛物线x y 62
-=的准
线重合，则该双曲线的离心率为（ ） A ．
23 B ．2
3
C ．26
D ．332
【答案】D 【解析】
8. 【2008全国1，理14】已知抛物线2
1y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ． 【答案】：2.
9. 【2014课标Ⅰ，理20】(本小题满分12分）
已知点A (0,2),椭圆E:22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为32；F 是椭圆E 的右焦点，
直线AF 的斜率为
3
3
，O 为坐标原点 （I ）求E 的方程；
（II ）设过点A 的动直线l 与E 相交于P,Q 两点。

当OPQ ∆的面积最大时，求l 的直线方程.
【答案】（I ）2
214
x y +=；（II ）72y x =-或72y x =-. 【解析】（I ）设右焦点(c,0)F ，由条件知，
223
c =3c = 又3c a =，所以2a =，222
b a
c =-1=．故椭圆E 的方程为
2214
x y +=． （II ）当l x ⊥轴时不合题意，故设直线:l 2y kx =-，1122(x ,y ),Q(x ,y )P ．
将2y kx =-代入2
214
x y +=得22(14k )x 16120kx +-+=．当216(4k 3)0∆=->，即23
k 4
>
时， 21,2
8243k k x ±-=．从而2221241431k k PQ k x +⋅-=+-=．又点O 到直线PQ 的距离d =
，所以OPQ ∆的面积2
1241
OPQ
S d PQ k ∆=⋅=+t =，则0t >，
244
4
4OPQ t S t t t
∆=
=++．因为44t t +≥，当且仅当2
t =时，k =时取等号，且满足
0∆>．所以，当OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为2y x =
-或2y x =-． 10. 【2005全国1，理21】
已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆
于A 、B 两点，+与)1,3(-=共线. （1）求椭圆的离心率；
（2）设M 为椭圆上任意一点，且),(R ∈+=μλλλ，证明2
2
μλ+为定值.
11. 【2015高考新课标1，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2
212
x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<u u u u r u u u u r
，则0y 的取值范围是( )
（A ）（33
（B ）（33
（C ）（223-，22
3
） （D ）（233-，233）
【答案】A
【解析】由题知12(3,0),(3,0)F F -，22
0012
x y -=，所以12MF MF •u u u u r u u u u r = 0000(3,)(3,)x y x y ---•-- =2220
003310x y y +-=-<，解得033
y -<<，故选A.
【考点定位】双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.
12. 【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆
22
1164
x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 【答案】22
325()2
4
x y -+=
【考点定位】椭圆的几何性质；圆的标准方程
13. 【2016高考新课标理数1】已知方程22
2
213x y m n m n
+=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是
（A ）(–1,3) （B ）(–3（C ）(0,3) （D ）3【答案】A
【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以2
2
34m n m n ++-=，解得2
1m =，因为
方程22
113x y n n -=+-表示双曲线，所以1030n n +>⎧⎨->⎩，解得13n n >-⎧⎨<⎩
，所以n 的取值范围是()1,3-，故选A ．
【考点】双曲线的性质
【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c 而不是c ,这一点易出错.
14.【2016高考新课标理数1】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线
于D ，E 两点.已知|AB |=42，|DE|=25，则C 的焦点到准线的距离为 （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 【答案】B 【解析】
试题分析：如图，设抛物线方程为2
2y px =，圆的半径为r ,,AB DE 交x 轴于,C F 点，则
22AC =，即A 点纵坐标为22，则A 点横坐标为
4p ，即4OC p
=，由勾股定理知2222DF OF DO r +==，2222AC OC AO r +==，即22224
(5)()(22)()2p p
+=+，解
得4p =，即C 的焦点到准线的距离为4，故选B.
【考点】抛物线的性质
【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.
二．能力题组
1. 【2014课标Ⅰ，理10】已知抛物线C ：x y 82
=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 得一个焦点，若FQ PF 4=，则=QF （ ） A.
27 B. 3 C. 2
5
D. 2 【答案】B
x
y –1–2–3–4123
4–1
–2–3–4
1
234O
F
2. 【2013课标全国Ⅰ，理10】已知椭圆E ：22
22=1x y a b
+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点
F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．
A ．
22=14536x y + B ．22=13627x y + C ．22=12718x y + D ．22
=1189
x y + 【答案】：D
3. 【2012全国，理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2
＝16x 的准线交于A ，B 两点，||43AB =C 的实轴长为( ) A 2 B ．22 C ．4 D ．8 【答案】C
【解析】设双曲线的方程为22
221x y a a
-=，抛物线的准线为x ＝－4，且||3AB =
A (－4，23)，
B (－4，23-)，将点A 坐标代入双曲线方程得a 2＝4，故a ＝2，故实轴长
为4．
4. 【2006全国，理8】抛物线y=-x 2
上的点到直线0834=-+y x 的距离的最小值是（ ） （A ）
34 （B ）57 （C ）5
8
（D ）3 【答案】B
5. 【2011全国新课标，理14】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，
F 2在x 2
.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为__________．
【答案】
22
1168
x y += 【解析】
6. 【2008全国1，理15】在ABC △中，AB BC =，7
cos 18
B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点
C ，则该椭圆的离心率e = ． 【答案】：
38
. 【解析】设1AB BC ==，7cos 18B =-
则222
252cos 9
AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅= 53AC =，582321,21,3328
c a c e a =+====.
7. 【2012全国，理20】设抛物线C ：x 2
＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．
(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；
(2)若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．
8. 【2010新课标，理20】（12分）(理)设F1，F2分别是椭圆E：
2
2
x
a
＋
2
2
y
b
＝1(a＞b＞0)的左、
右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求E的离心率；
(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．
故椭圆E的方程为
22
189
x y
＝1.
9. 【2009全国卷Ⅰ，理21】
如图，已知抛物线E:y2=x与圆M:(x－4)2+y2=r2(r＞0）相交于A、B、C、D四个点. （Ⅰ）求r的取值范围;
(Ⅱ)当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标.
三．拔高题组
1. 【2011全国，理10】已知抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos∠AFB ＝( )
A.
45 B ．35 C ．35- D ．45
- 【答案】：D
【解析】：不妨设,A B 分别在x 轴下方和上方，焦点(1,0)F 联立2424
y x y x ⎧=⎨=-⎩，
易得(1,2),(4,4),A B 且2,4AF BF ==，AF x ⊥轴4cos sin .5
AFB BFx ∴∠=-∠=- 注：如果本题计算弦长AB ，再用余弦定理求解会稍显繁琐。

2. 【2010新课标，理12】已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )
A.23x －26y ＝1
B.24x －25y ＝1
C.26x －23y ＝1
D.2
5
x －24y ＝1
【答案】：B
3. 【2009全国卷Ⅰ，理12】已知椭圆C:12
22
=+y x 的右焦点为F ，右准线为l ，点A∈l,线段AF 交C 于点B.若3=,则||=（ ）
A.2
B.2
C.3
D.3 【答案】:A 【解析】:(方法一)
由已知得2=
a ,b=1,c=1,
∴F(1,0),准线l:22
==c
a x .
在Rt△ABB 1中，2
2
||2||2||||cos 11=
==
∠BF BF AB BB ABB , ∴2
2
cos =
∠BFH .
点F 到l 的距离为112||2
=-=-=c c
a FH , ∴22
2
1
cos ||||==∠=
BFH FH AF .
4. 【2011全国新课标，理20】在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线y
＝－3上，M 点满足MB u u u r ∥OA u u u r ，MA AB MB BA ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
，M 点的轨迹为曲线C ．
(1)求C 的方程；
(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．
5. 【2011全国，理21】已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：2
2
12y x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为2的直线l 与C 交于A ，B 两点，点P 满足OA OB OP ++=0u u u r u u u r u u u r
(1)证明：点P在C上；
(2)设点P关于点O的对称点为Q，证明：A，P，B，Q四点在同一圆上．
故|NP|＝|NA|.
又|NP|＝|NQ|，|NA|＝|NB|，
所以|NA|＝|NP|＝|NB|＝|NQ|，
由此知A，P，B，Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上．
6. 【2008全国1，理21】（本小题满分12分）
双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的
直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB u u u r u u u r u u u r 、
、成等差数列，且BF u u u r 与FA u u u r
同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
7. 【2006全国，理20】
在平面直角坐标系xOy 中，有一个以
)3,0(1-F 和)3,0(2F 为焦点、
离心率为2
3
的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x 、y 轴的交点分别为A 、B ，且向量OB OA OM +=，求： （Ⅰ）点M 的轨迹方程； （Ⅱ）OM 的最小值。

（Ⅱ）222||y x OM +=Θ，
1
441142
2
2-+
=-
=
x x y ，
∴ .95451
4
1||2
2
2=+≥+-+
-=x x 且当1
4
122
-=
-x x ，即13>=x 时，上式取等号 故||的最小值为3
8. 【2015高考新课标1，理20】在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =2
4
x 与直线y kx a =+(a ＞
0)交与M ,N 两点，
（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由. 【答案】
0y a --=
0y a ++=（Ⅱ）存在
【考点定位】抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力 9. 【2016高考新课标理数1】设圆2
2
2150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .
（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；
（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.
【答案】（I ）13
42
2=+y x （0≠y ）；（II ）)38,12[
【考点】圆锥曲线综合问题
【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.。