2018版高考数学(人教A版理)一轮复习教师用书 第2章 第12节 导数与函数的极值、最值 Word版含解析

第十二节导数与函数的极值、最值[考纲传真] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．
1．函数的极值与导数的关系
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
2．函数的最值与导数的关系
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的极大值一定比极小值大．()
(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．()
(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()
(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．()
[答案](1)×(2)×(3)√(4)×
2．(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图2-12-1所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为()
图2-12-1
A．1 B.2
C.3
D.4
A[导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．] 3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数
关系式为y＝－1
3x
3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为
()
A．13万件 B.11万件
C．9万件 D.7万件
C[y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9或x＝－9(舍去)．
当x∈(0,9)时，y′＞0，当x∈(9，＋∞)时，y′＜0，
则当x＝9时，y有最大值．
即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]
4．(2016·四川高考)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝() A．－4 B.－2
C．4 D.2
D[由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，
f ′(x )>0；当－2<x <2时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．
∴f (x )在x ＝2处取得极小值，∴a ＝2.]
5．函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1,2]上的最大值是________．
8 [y ′＝6x 2－4x ，令y ′＝0，
得x ＝0或x ＝23.
∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23＝－827， f (2)＝8，∴最大值为8.]
利用导数研究函数的极值问题
设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )
的图象如图2-12-2所示，则下列结论中一定成立的是( )
图2-12-2
A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)
B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)
C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)
D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)
D [由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当
1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．]
☞角度2 求函数的极值
求函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )的极值．
[解] 由f ′(x )＝1－a x ＝x －a x ，x ＞0知：
(1)当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；5分
(2)当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .
又当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，9分
从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值.12分
☞角度3 已知极值求参数
(1)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围
是( )
【导学号：01772087】
A ．(－∞，0) B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 C ．(0,1) D.(0，＋∞)
(2)设f (x )＝ln(1＋x )－x －ax 2，若f (x )在x ＝1处取得极值，则a 的值为________．
(1)B (2)－14 [(1)∵f (x )＝x (ln x －ax )，
∴f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，
故f ′(x )在(0，＋∞)上有两个不同的零点，
令f ′(x )＝0，则2a ＝ln x ＋1x ，
设g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝－ln x x 2，
∴g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
又∵当x →0时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0，
而g (x )max ＝g (1)＝1，
∴只需0＜2a ＜1⇒0＜a ＜12.
(2)由题意知，f (x )的定义域为(－1，＋∞)，
且f ′(x )＝11＋x －2ax －1＝－2ax 2
－(2a ＋1)x
1＋x ，
由题意得，f ′(1)＝0，则－2a －2a －1＝0，
得a ＝－14，又当a ＝－14时，
f ′(x )＝12x 2－12x 1＋x ＝12x (x －1)
1＋x ，
当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0；
当x ＞1时，f ′(x )＞0，
∴f (1)是函数f (x )的极小值，
∴a ＝－14.]
[规律方法] 利用导数研究函数极值的一般流程
利用导数解决函数的最值问题
ax (1)求函数f (x )的单调区间；
(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1a ，2a 上的最大值． [解] (1)f (x )＝x －e ax (a ＞0)，则f ′(x )＝1－a e ax ，
令f ′(x )＝1－a e ax
＝0，则x ＝1a ln 1a .3分 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x
⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ln 1a 1a ln 1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ln 1a ，＋∞ f ′(x )
＋ 0 －
f (x )
极大值 故函数f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ln 1a ；减区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ln 1a ，＋∞.6分 (2)当1a ln 1a ≥2a ，即0＜a ≤1e 2时，
f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a ＝2a －e 2；9分 当1a ＜1a ln 1a ＜2a ，即1e 2＜a ＜1e 时，
f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ln 1a ＝1a ln 1a －1a ； 当1a ln 1a ≤1a ，即a ≥1e 时，
f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＝1a －e.12分 [规律方法] 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值、最小值的步骤：
(1)求函数在(a ，b )内的极值；
(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；
(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值．
[变式训练1] (2017·石家庄质检(二))若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，若t ＝ab ，则t 的最大值为( )
A ．2
B.3
C.6
D.9
D [f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，a ＋b ＝6，又a ＞0，
b ＞0，则t ＝ab ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，故选D.] 利用导数研究生活中的优化问题
克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3
＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a 的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
[解] (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a 2＋10＝11，a ＝2.5分
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3
＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润为
f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2x －3＋10(x －6)2
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6.7分
从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由上表可得，x＝4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值，9分
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.12分[规律方法]利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)，并确定其定义域；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)回归实际问题作答．
[变式训练2]某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系y＝1
3x
3－
39
2x
2
－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则速度应定为________.
【导学号：01772088】40[由y′＝x2－39x－40＝0，
得x＝－1或x＝40，
由于0＜x＜40时，y′＜0；
x＞40时，y′＞0.
所以当x＝40时，y有最小值．]
[思想与方法]
1．可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．
2．求闭区间上可导函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断，直接与端点的函数值比较即可．
3．如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．
4．若函数f(x)在定义域A上存在最大值与最小值，则：
(1)对任意x∈A，f(x)＞0⇔f(x)min＞0；
(2)存在x∈A，f(x)＞0⇔f(x)max＞0.
[易错与防范]
1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．
2．导数为零的点不一定是极值点．对含参数的求极值问题，应注意分类讨论．
3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．
4．利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义．。