高三数学专题复习——应用题答案

高三数学专题复习——应用题
应用题是高考数学试题中一种常见型题，是考察学生对语言表达问题的理解——即对阅读理解能力的考查。

也是考生失分较多的一种题型，解答这类问题的要害是深刻理解题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建立恰当的数学模型。

应用题其实不难，主要是要认真解读题意，了解一些现实意义，读题要认真，要把每句话的含义读懂，要将关键数据等在草稿纸上记下来，使题意一目了然。

这样才能列出有关式子，从而解决问题。

其实，只要列出了有关式子，后面的解答就不难了！ 一、直击高考： （2012文、理21）
海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方
向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，
如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线2
49
12x y =；②定位后救援船即刻沿 直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7． （1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求
救援船速度的大小和方向；
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
二、典例精析
例1：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。

在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数。

当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （Ⅰ）当0200x ≤≤时，求函数()v x
的表达式;
（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）()()x xv x f =可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）
注：本题还是不难理解的，但是对于（Ⅱ）若没有给出()()x xv x f =，直接要你求车流量的最大值，你是否知道就是求()()x xv x f =的呢？
1
2458
40
60
q
p
81
例2：某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k .轮船的最大速度为15海里/小时.当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元.假定运行过程中轮船以速度v 匀速航行．
（1）求k 的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W （燃料费+航行运作费用）的最小值. 解：（1）由题意得燃料费2
1W kv =，把v =10，196W =代入得0.96k =. （2）2100100150
0.96W v v v
⨯=⋅
+
=1500096214400002400v v +≥=， 其中等号当且仅当15000
96v v
=
时成立，解得1500012.51596v ==<，
所以，该轮船航行100海里的总费用W 的最小值为2400（元）.
例3、某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息)．已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q （百件）与销售价p （元／件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月13200元．
（Ⅰ）若当销售价p 为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；
（Ⅱ）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格
定为多少元？ 解：
()
()81588258401402≤≤+-≤≤+-=
p p p p q
当52=p 时，销量36=q （百件）
收入()43200405210036=-⨯元，支出：x 60013200+（x 为职工人数），由收支平衡，得：
50=x （人）
（2）每月收入4060013200⨯--pq ()()
()()()
815837200100408258403720010040)1402(≤≤-⨯-+-≤≤-⨯-+-=
p p p p p p
()()()()
8158690061584078005522
2
≤≤+--≤≤+--=
p p p p 由此可知，当p=55时每月纯收入7800元，
每年是93600元，五年是468000元，正好还清所有债务！
例4：某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放 射性污染指数()f x 与时刻x (时) 的关系为()[]22
2,0,2413
x f x a a x x =-++∈+，其中a 是与气象有关的 参数，且1
[0,]2
a ∈．
（1）令21x t x =
+, []0,24x ∈，写出该函数2
1
x
t x =+的单调区间，并选择其中一种情形进行证明； （2）若用每天()f x 的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作()M a ，求()M a ；
（3）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否 超标？
解（1）单调递增区间为[]0,1；单调递减区间为[]1,24。

证明：任取1201x x ≤<≤，12121222
12()(1)
()()(1)(1)
x x x x t x t x x x ---=
++， 1212()0,(1)0x x x x -<->，所以12121222
12()(1)
()()(1)(1)
x x x x t x t x x x ---=
++0<。

所以函数()t x 在[]0,1上为增函数。

（同理可证在区间[]1,24单调递减） （2）由函数的单调性知max min ()(1)1;()(0)0t x t t x t ====， ∴2110,112x t x x x
⎡⎤=
=∈⎢⎥+⎣⎦+，即t 的取值范围是10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．当10,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，记()223g t t a a =-++ 则()23,0321
,32t a t a g t t a a t ⎧
-++≤≤⎪⎪=⎨⎪++<≤⎪⎩
∵()g t 在[]0,a 上单调递减，在1,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，
且()()2171103,,0232624g a g a g g a ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+
=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭． 故()()1171,0,024********,0,34242g a a a M a a a g a ⎧⎛⎫⎧≤≤+≤≤ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎨
⎪⎪+<≤<≤⎪
⎪⎩⎩. （3）因为当且仅当49a ≤
时，()2M a ≤. 故当409a ≤≤时不超标，当41
92
a <≤时超标． 三、巩固提高
练习：
1、某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率P 与日产量x （件）之间大体满足关系：
()()(
)1
1,96 962 ,3x c x N x
P x c x N ⎧≤≤∈⎪⎪-=⎨⎪>∈⎪⎩其中c为小于的正常数．)()()1 1,96 962 ,3
x c x N x P x c x N ⎧≤≤∈⎪⎪-=⎨⎪>∈⎪⎩其中c为小于的正常数 注：次品率P =次品数生产量
，如0.1P =表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品．
已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元，但每生产一件次品将亏损
2
A
元，故厂方希望定出合适的日产量．
（Ⅰ）试将生产这种仪器每天的盈利额T （元）表示为日产量x （件）的函数； （Ⅱ）当日产量为多少时，可获得最大利润？ 注：()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-
-=p Ax Apx x p A x T 231211
当x ＞c 时，()03
2
2321=⋅-⎪⎭⎫ ⎝
⎛-
=x A Ax x T ，即此时利润为0， 所以()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=--=p Ax Apx x p A x T 231211()()
N x c x N x c x x Ax ∈>∈≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=,,0,1961231
()()
N x c x N x c x x t t t A A ∈>∈≤≤-=⎪⎭⎫
⎝
⎛+-
=,,0,1,961442195可知，当t=12，即x=84时，()x T 最大，
又x ≤c ，∴c ≥84，x 可取得84，在t=12，x=84时()x T 取得最大值，在c ＜84时，x 不能取得84，即t 不能取到12，t ＞12，在t 取最小，即x 取最大值c 时，()x T 最大。

2、某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R (x )满足
R (x )=⎩⎨⎧>≤≤-+-)5(
2.10)50( 8.02.44.02x x x x .假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律.
（1）要使工厂有盈利，产品x 应控制在什么范围？
（2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？
注：利润函数()()()()()x x R x G x R x f +-=-=2()()
52.8508.22.34.02>-≤≤-+-=x x x x x
（1）()0>x f ，则1<x<8.2
（2）X=4时，即生产400台时赢利最大，每台产品的售价为()｜x
x R =240。

3、为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，
经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）？
注：当a 、b 各为多少米时，ab 最大，由已知有60242=++a b ab ，302=++∴a b ab ，
1230+-⋅
=b b b ab ，令x b =+1，则⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+-=x x ab 16234，∴当4=x ，即3=b ，6=a 时
ab 最大，即沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

（在得到302=++a b ab 后，也可利用ab ab a b ab 22230+≥++=来解）
4、某厂使用两种零件A 、B 装配两种产品P 、Q ，该厂的生产能力是月产P 产品最多有2500件，月
产Q 产品最多有1200件；而且组装一件P 产品要4个A 、2个B ，组装一件Q 产品要6个A 、8个B ，该厂在某个月能用的A 零件最多14000个；B 零件最多12000个.已知P 产品每件利润1000元，Q 产品每件2000元，欲使月利润最大，需要组装P 、Q 产品各多少件？最大利润多少万元.
讲解：设P 产品生产x 件，Q 产品生产y 件，则：
120008214000
6412002500≤+≤+≤≤y x y x y x ，目标函数y x z 20001000+=， 根据线性规划知识得x=2000,y=1000时z 最大。

——二元不等关系，注意用线性规划！
5、随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员a 2人（140<a 2<420，且a 为偶数），每人每年可创利b 万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员．．．1人，则留岗职员每人每年．．．．
多创利b 01.0万元，但公司需付下岗职员每人每年b 4.0万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的4
3
，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？ 讲解 设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元,则
bx bx b x a y 4.0)01.0)(2(-+-= =ab
x a x b
2])70(2[1002+---
依题意 x a -2≥a 243⋅ ∴0<x ≤2a
. 又140<a 2<420, 70<a <210.
(1)当0<70-a ≤2a
,即70<a ≤140时，70-=a x , y 取到最大值;
(2)当70-a >2a ,即140<a <210时，2
a
x = , y 取到最大值;
综上所述，当70<a ≤140时，应裁员70-a 人；当140<a <210时，应裁员2
a
人.
在多字母的数学问题当中，分类求解时需要搞清：为什么分类？对谁分类？如何分类？
6、某商场经过市场调查分析后得知，2013年从年初开始的前n 个月内，对某种商品需求的累计数)(n f （万件）近似地满足下列关系：12,,3,2,1,)18)(2(90
1
)( =-+=
n n n n n f （Ⅰ）问这一年内，哪几个月需求量超过1.3万件？
（Ⅱ）若在全年销售中，将该产品都在每月初等量投放市场，为了保证该商品全年不脱销，每月初至少要投放多少件商品？（精确到件）
注：（1）月需求量()()1--=n f n f a n =
()
1935390
12++-n n 3.1>，则7314
<<n ，65或n =∴ （2）即求n a 的最大值，1=n 时()30
17
11==f a （万件），2≥n 时()()1--=n f n f a n
= ()
1935390
12++-n n ，N n ∈，显然n=6时，n a 最大为
901213017>，至少要投放13444件。

7. 某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A(m 2)的宿舍楼.已知土地的征用费为2388元/m 2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍.经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/m 2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m 2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用.（总费用为建筑费用和征地费用之和）.
讲解: 想想看, 需要引入哪些字母? 怎样建构数学模型?
设楼高为n 层，总费用为y 元，则征地面积为25.2m n
A ，征地费用为n
A 5970元，楼层建筑费用为
[445+445+（445+30）+（445+30×2）+…+445+30×（n －2）]·
A n
n n A )4003015(++=元，从而 A A n
n A n A nA n A y 1000)4006000
15(40030155970≥++=+++=
（元） 当且仅当n
n 600015= , n=20（层）时，总费用y 最少.
故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时, 最少总费用为1000A 元.
实际应用题的数列模型是近两年高考命题的热门话题, 涉及到等差数列, 等比数列, 递归数列等知识点, 化归转化是解答的通性同法.
B
A
C
D O
8、位于A 处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A 相距202 海里的B 处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A 北偏东45θ︒+(
)0
0450<<θ的C 处，135
=AC ．在
离观测站A 的正南方某处E ，13
13
2cos -
=∠EAC （1）求θcos ； （2）求该船的行驶速度v （海里/小时）；
（1）13
133cos 1sin ,13132cos 2
=∠-=∠∴-=∠EAC EAC EAC 2分 EAC EAC EAC ∠⋅+∠⋅=⎪⎭
⎫
⎝⎛∠-=sin 43sin cos 43cos 43cos cos πππθ =26
2651313322)13132(22=⨯+-⨯-
（2）利用余弦定理55,125cos 22
22=∴=⋅⋅-+=BC AC AB AC AB BC θ
该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为55海里， 该船的行驶速度5153
15
5==
v （海里/小时） 9、如图，在半径为20cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上．
（1）请你在下列两个小题中选择一题作答．．．．．．
即可： ①设BOC θ∠=，矩形ABCD 的面积为()S g θ=，求()g θ的表达式，并写出θ的范围． ②设(cm)BC x =，矩形ABCD 的面积为()S f x =，求()f x 的表达式，并写出x 的范围． （2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积．
①由BOC θ∠=，得20cos ,20sin OB BC θθ==，其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
所以()2800sin cos 400sin 2S g AB BC OB BC θθθθ==⋅=⋅== 即()400sin 2g θθ=，0,
2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
②连接OC ，则2
400OB x =-(020)x <<
所以2()2400S f x AB BC x x ==⋅=-(020)x << 即2()2400f x x x =-(020)x <<． （2）①由()400sin 2S g θθ==,得当sin 21θ=即当4
π
θ=时，S 取最大值2
400cm ．
此时20sin
102cm 4
BC π
==，当BC 取102cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为2400cm
②2
2
2
2
2
()24002(400)(400)400f x x x x x x x =-=-≤+-=，
θ
北
C
B
A
E
当且仅当22400x x =-，即102x =时，S 取最大值2
400cm ． 当BC 取102cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为2
400cm ．
10、某医药研究所开发一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药
后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间x （小时）之间满足21
1(01)2(1)41
x x ax
x x a
y a x --⎧<<⎪⎪+=⎨⋅⎪>⎪⎩+， 其对应曲线（如图所示）过点16
(2,
)5
.[来源学科网]
（1）试求药量峰值（y 的最大值）与达峰时间（y 取最大值 时对应的x 值）； （2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效， 那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时 间？（精确到0.01小时） [来源学#科#网]
【解析】将16
(2,
)5
代入函数可得：8a =，∴2218,011
()2,141x x x
x x f x x +-⎧<<⎪⎪+=⎨⎪≥⎪⎩+
⑴当(0,1)x ∈时，288()11x f x x x x ==
++ ∵12x x +>，∴0()4f x <<,当[1,)x ∈+∞时，221242424
()1142412114244
x x x x x x x x f x +-⋅⋅====
+⨯+++ ∵22x
≥ ∴
11
2142
x x ⨯+≥，∴0()4f x <≤,∴当1x =时，有最大值为max (1)4y f == ⑵∵()f x 在(0,1)上单调增，在[1,)+∞上单调减，最大值为4 ∴()1f x =在(0,1)和[1,)+∞各有一解 当(0,1)x ∈时，28()11
x
f x x =
=+，解得：415x =- 当[1,)x ∈+∞时，2
1
2()141
x x f x +-==+，解得：2log (8215)x =+ ∴当2[415,log (8215)]x ∈-+时，为有效时间区间 ∴有效的持续时间为：2log (8215)(415) 3.85+--≈小时
高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型, 另外,估测计算型和信息迁移型也时有出现.当然,数学高考应用性问题关注当前国内外的政治,经济,文化, 紧扣时代的主旋律,凸显了学科综合的特色,是历年高考命题的一道亮丽的风景线.
达峰时间
y
x
药量峰值。