数学理卷·2013届浙江省温岭中学高三冲刺模拟考试(2013.05)

本试题卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分, 考试时间120分钟。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

2.每小题选出后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

选择题部分（共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设=U R ，}1|{>=x x P ，}0)2(|{<-=x x x Q ，则=)(Q P C U Y
A ．1|{≤x x 或}2≥x
B ．}1|{≤x x
C ．}2|{≥x x
D ．}0|{≤x x 2．函数
)
2sin(sin )(π
+
=x x x f 的最小正周期为
A ．π4
B ．π2
C ．π
D ．2π
3．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为
A ．-1
B ．3
C ．31
D ．-5
4．下列命题错误的是
A ．若0≥a ，0≥b ，则ab
b
a ≥+2
B ．若ab b
a ≥+2，则0≥a ，0≥b
C ．若0>a ，0>b ，且ab
b
a >+2，则
b a ≠ D ．若ab b
a >+2，且
b a ≠，则0>a ，0>b
5．已知等比数列}{n a 前n 项和为n S ，则“01>a ”是“02013>S ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．已知约束条件
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≥-+≥+-083,012043y x y x y x 若目标函数z =x ＋ay (0≥a )仅在点(2, 2)处取得最大值，则a
的取值范围为
A .310<
<a B . 31
>
a C .
31≥
a D .
210<
<a 7．一个口袋中有编号分别为0，1，2的小球各2个，从这6个球中任取2个，则取出2个球的编号数和的期望为
A ．1
B ．1.5
C ．2
D ．2.5
8．正方形ABCD 沿对角线BD 将ABD ∆折起，使A 点至P 点，连PC ．已知二面角C BD P --的大小为θ，则下列结论错误的是
A ．若ο90=θ，则直线P
B 与平面BCD 所成角大小为ο
45 B ．若直线PB 与平面BCD 所成角大小为ο45，则ο
90=θ
C ．若ο60=θ，则直线B
D 与PC 所成角大小为ο
90 D ．若直线BD 与PC 所成角大小为ο90，则ο
60=θ
9．如图，已知点P 是双曲线C ：)
0,0(12
22
2
>>=-
b a b y a
x 左支上一点，F 1，F 2是双曲线的左、
右两个焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交于M ，N 两点，点N 恰好平分线段PF 2，则双曲线的离心率是 A ．5 B ．2 C ．3 D ．2
10．已知函数)
22sin()(π
π-=x A x f ，)3()(-=x k x g ．已知当1
=A 时，函数)()()(x g x f x h -=
所有零点和为9．则当2=A 时，函数)()()(x g x f x h -=所有零点和为
A ．15
B ．12
C ．9
D ．与k 的取值有关
非选择题部分（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．已知∈m R ，复数i i
m +-1为纯虚数（i 为虚数单位），
则=m ．
12．某几何体的三视图及相应尺寸（单位：cm ）如图所
示，则该几何体的体积为___________． 13．已知
n
n n x a x a x a a ax ++++=+Λ2210)1(，若
7,421==a a ，则a 的值为 ．
14．P 为抛物线C ：
x
y 42=上一点，若P 点到抛物线C 准线
的距离与到顶点距离相等，则P 点到x 轴的距离为_____________．
15．已知函数⎪⎩⎪
⎨
⎧<-≥+=1,21,1)(2x x x x x x x f ，若
)()1(2ax f ax f >+对任意∈x R 恒成立，则实数a 的取值范围为 ．
16．在ABC ∆中，3,4,60AB AC BAC ==∠=o
，若P 是ABC ∆所在平面内一点，且2AP =，
则PB PC ⋅u u u r u u u r
的最大值为 ．
17．平面直角坐标系中，过原点斜率为k 的直线与曲线=y e
1
-x 交于不同的A ，B 两点．分别
过点A ，B 作y 轴的平行线，与曲线x y ln =交于点C ，D ，则直线CD 的斜率为_____ 三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.(本题满分14分)
在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且A 、B 、C 成等差数列。

(Ⅰ) 若a c 2=，求角A 、B 、C 的大小；
(Ⅱ) 当ABC ∆为锐角三角形时，求C B A sin sin sin ++的取值范围。

19 （本题满分14分）
一个口袋中装有大小形状完全相同的3+n 张卡片，其中一张卡片上标有数字1，二张卡片上标有数字2，其余n 张卡片上均标有数字3（*
N n ∈）， 若从这个口袋中随机地抽出
二张卡片，恰有一张卡片上标有数字2的概率是158
，
(Ⅰ)求n 的值
(Ⅱ) 从口袋中随机地抽出2张卡片，设ξ表示抽得二张卡片所标的数字之和，求ξ的分布列和关于ξ的数学期望E ξ 20.(本题满分14分)
如图：四棱锥P-ABCD 的底面是平行四边形，0
60=∠DAB ，平面PAB ⊥ABD ，AP=2AD=4，PD=52，E 为AD 的中点，F 为PB 的中点。

(Ⅰ) 求证：EF ‖平面PCD ；
(Ⅱ) 当二面角A-PD-B 的余弦值为41
时，求AB 的长。

21.(本题满分15分）
以抛物线my x 22
=（0>m ）的顶点O 为圆心的圆，截该抛物线的准线所得的弦长为
m 3
（Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）过圆C 上任一点M 作该圆的切线l ，它与椭圆1
22
2=+y a x （R a ∈，且2>a ）相交
于A 、B 两点，当OB OA ⊥时，求m 的可能取值范围。

22.(本题满分15分)
已知函数
x m x x f --=2)2()(2 ]1,0(∈x ，它的一个极值点是21=
x （Ⅰ）求m 的值及
()
f x 在]1,0(∈x 上的值域；
（Ⅱ）设函数 x x e x g x
2)(-+=，求证：函数)(x f y =与)(x g y =的图象在]1,0(∈x 上
没有公共点。

数学 理科答案
7．C ．记取出2个球的编号数和为X ，则X =0, 1, 2, 3, 4．又15
11
)0(26
=
=
=C X P ，
154)1(26
1212==
=C C C X P ，
15
5)2(2
6
22
1212=+=
=C C C C X P ，
15
4)3(26
1212=
=
=C C C X P ，
15
11
)4(26
=
=
=C X P ． ∴
215141543155215411510)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
=X E ．
8．D ．由于⊥BD 平面PAC ，∴θ任意取值直线BD 与PC 所成角大小均为ο
90．
9．A ．
⎪⎩⎪⎨⎧=+=-22222
221
c
y x b y a x 得，c b y P 2=，∴c b y N 22=，得c ab x N 2=
，从而c c ab x P 2-=．
∵P 是双曲线上，∴
1
)(2
242
22
2=-
-c b b c a c ab ，化简得，b a =2，得5=e ．
10．A ．如图，函数)(x f y =与)(x g y =图象均点过的)0,3(，且均关于点)0,3(对称．∴
)
(x h 零点关于3=x “对称”，∵当1=A 时，
)
(x h 所有零点和为9，∴此时，函数)(x f y =与
)(x g y =图象有三个公共点，此时，)6()6(g f <，得
31
>
k ．当2=A 时，)6()6(g f >且
)(26)9(m ax x f k g =>=，∴)(x h 有5个零点5421,,3,,x x x x ，且64251=+=+x x x x ．
11．1；
12．38；
13．21
；41=a C n ，722=a C n
14．2；得P 点到焦点距离与到顶点距离相等，∴
21
4=
=
p x P ，得2||=P y ．
15．)4,0[；函数)(x f 是R 上的增函数，得ax ax >+12
对任意∈x R 恒成立．
16．37210+；设D 为BC 中点，则
PB PC ⋅u u u r u u u r
AC AB AC AB PA PA AC PA AB PA ⋅++⋅+=+⋅+=)()()(2PA AD ⋅+=210，
由)(2)2(2
222AC AB BC AD +=+得，=
||AD 237
，
∴当PA 与AD 同向时PA AD ⋅最大，最大值为372，∴PB PC ⋅u u u r u u u r
最大值37210+． 17．1；设A ，B 横坐标分别为1x ，2x ．则111-=x e kx ，122-=x e kx ，得11ln 1kx x =-，即
k
x x ln 1ln 11--=，同理k x x ln 1ln 22--=．
直线CD 的斜率为1
)
ln 1()ln 1(ln ln 21212121=------=--x x k x k x x x x x ．
19 （本题满分
14分）
解(Ⅰ)。

由题设
1582
312
11=++n n C C C ，即03522=--n n ，解得3=n (Ⅱ) ξ取值为3，4，5，6.
则152)3(26031211===C C C C P ξ； 154
)4(2
61
302110422=+==C C C C C C P ξ； )
5(=ξP 156********==C C C C ； 153)6(2
62
30201===C C C C P ξ ξ的分布列为：
∴E ξ=
31415701536156515441523==⨯+⨯+⨯+⨯
20.(本题满分14分)
证明(Ⅰ) ：如图，设G 为PC 的中点，因为F 为PB 的中点，所以FG ║BC ║ED ，又 E 为AD 的中点，由已知得：FG=ED=1，所以四边形EFGD 为平行四边形。

所以EF ║GD ，因为EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ，所以EF ‖平面PCD ；
(Ⅱ)解 在PAD ∆中，AD=2，PA=4，PD=52，满足
222AD PA PD +=，所以0
90=∠PAD ，即AD
PA ⊥（1），在底面ABCD 中，过点D 作AB DH
⊥，H 为
垂足，因为平面ABD PAB ⊥，由面面垂直的性质可知：
⊥DH 平面PAB ，所以PA DH ⊥（2），由（1）（2）
可得：⊥PA 平面ADH ，即⊥PA 底面ABCD 。

以H 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，HD 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，则P （-1，0，4），A （-1，0，0），D （0，3-，0）设B （a ，0，0），这样可得：)4,0,0(=AP ，)4,3,1(--=PD ，)0,3,(a DB =，
设平面PAD 的法向量为),,(1111z y x n =，则⎩⎨
⎧
=--=0
43041111z y x z ， 取)0,1,3(1=n ，又设平面PBD 的法向量为),,(2222z y x =，则⎩⎨
⎧=--=+0
430
322222z y x y ax ，取
)4)
1(3,
,3(2a a n +-=
由题设
4
116
)1(3323,cos 2
2
21=
++
+->=
<a a a
n n ，整理得0352632
=+-a a ：由此可求得
,
35=a 或7=a （不合题意，舍去）所以AB=38，故当二面角A-PD-B 的余弦值为41时，AB 的长为38。

(注：本题也可用几何法解答，过程略) 21.(本题满分15分）
解（Ⅰ）：已知抛物线的准线方程是
2m
y -
=（0>m ），由于圆C 截抛物线的准线所得的
弦长为m 3，所以圆C 的半径m m m r =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=2
2
232，故所求圆的方程是
222m y x =+
22.(本题满分15分) 解（Ⅰ）：令0)2()2()2)(2(4)(22=--+--='x m x x m x x f ，由题设，
21=x 满足方程，由此解得：1=m 或7=m 。

（1）当1=m 时，分析可知：()f x 在102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上是减函数；在]1,21[∈x 上是增函数；
由此可求得，故 当]1,0[∈x 时，()f x 的值域为]1,0[。

（2）当7=m 时，同样可得：()f x 在102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上是减函数；在
]1,21[∈x 上是增函数，当]1,0[∈x 时，
()f x 的值域为]25,24[。

解（Ⅱ）x x e x g x 2)(-+= ， 所以2
21)(-+='x e x g x ，因为]1,0(∈x ，所以
x x 21≥+，所以x x
+≥1121
（1），设)1()(x e x h x +-=，则1)(-='x e x h ，当]
1,0(∈x 时，01)(>-='x e x h 即)1()(x e x h x +-=为增函数，故当]1,0(∈x 有)0()(h x h >，即
0)1(>+-x e x ， 所以)1(x e x +>（2），由（1）（2）得，当]1,0(∈x 时，0211)1(221
)(≥-+++≥-+='x x x e x g x 。

所以
x x e x g x 2)(-+=在]1,0(∈x 上为增函数，又因为)(x g 在x=0处与]1,0(∈x 图象相连，故对于]1,0(∈x 有)0()(g x g >，即
12)(>-+=x x e x g x ； 由（Ⅰ）知：（1）当1=m 时：
x m x x f --=2)2()(2
在]1,0(∈x 上的值域为]1,0[ ，而12)(>-+=x x e x g x ；所以)()(x g x f <，故函数)(x f y =与)(x g y =的图象在]1,0(∈x 上没有公共点。

（2）当7=m 时，
x m x x f --=2)2()(2
在]1,0(∈x 上的值域为]25,24[ ，由于]1,0(∈x 所以242122)(<++≤++<-+=e x x e x x e x g x x ，所以)()(x g x f >，故函数)(x f y =与)(x g y =的图象在]1,0(∈x 上也没有公共点。

综上所述，函数)(x f y =与)(x g y =的图象在]1,0(∈x 上没有公共点。