复数的三角形式-乘法及其几何意义练习版
复数乘、除运算的三角表示及其几何意义-高一数学新教材导学案(人教A版2019必修第二册)
7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义导学案【学习目标】1.利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题2.注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法【自主学习】知识点1 复数的三角形式的运算设z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，则(1)乘法：z 1·z 2＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．(2)除法：z 1÷z 2＝z 1z 2＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)](其中z 2≠0)，这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． (3)乘方：z n ＝r n (cos nθ＋isin nθ)．(4)开方：n z ＝nr (cos θ＋2k πn ＋isin θ＋2k πn )(k ＝0,1,2，…，n －1)．知识点2 复数三角形式乘、除运算的几何意义两个复数z 1，z 2相乘时，可以像图中所示那样，先分别画出与z 1，z 2对应的向量OZ1→，OZ2→，然后把向量OZ1→绕点O 按逆时针方向旋转一个角θ2(如果θ2<0，就要把OZ1→按顺时针方向旋转一个角|θ2|)，再把它的模变为原来的r 2倍，得到向量OZ →，OZ →表示的复数就是积z 1z 2.这就是复数乘法的几何意义．z 2≠0，z 1z 2的几何意义是把z 的对应向量OZ1→按顺时针方向旋转一个角θ2(如果θ2<0，就要把OZ1→按逆时针方向旋转一个角|θ2|)，再把它的模变为原来的1r 2倍，所得的向量即表示商z 1z 2.【合作探究】探究一 复数的三角形式的乘、除运算 【例1】2(cos π12＋isin π12)·3(cos π6＋isin π6)．[解]2(cos π12＋isin π12)·3(cos π6＋isin π6)＝2·3[cos(π12＋π6)＋isin(π12＋π6)]＝6(cos π4＋isin π4)＝6(22＋22i)＝3＋3i.归纳总结：r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2)＝r 1r 2[cos (θ1＋θ2)＋isin (θ1＋θ2)]计算，简便得多.这就是复数的三角形式乘法运算公式.【练习1】设复数z ＝cos θ＋isin θ，θ∈(π，2π)，求复数z 2＋z 的模和辐角． 解：z 2＋z ＝(cos θ＋isin θ)2＋cos θ＋isin θ ＝cos2θ＋isin2θ＋cos θ＋isin θ ＝(cos2θ＋cos θ)＋i(sin2θ＋sin θ) ＝2cos 3θ2cos θ2＋i(2sin 3θ2cos θ2)＝2cos θ2(cos 32θ＋isin 32θ)＝－2cos θ2⨯⎣⎡⎦⎤cos (－π＋32θ)＋isin (－π＋32θ).∵θ∈(π，2π)，∴θ2∈(π2，π)，∴－2cos θ2>0，所以复数z 2＋z 的模为－2cos θ2，辐角为(2k －1)π＋3θ2(k ∈Z )．探究二 复数的乘、除运算的几何意义【例2】向量OZ →与－1＋i 对应，把OZ →按逆时针方向旋转120°，得到OZ ′→，求与向量OZ ′→对应的复数[解] 将向量OZ →逆时针方向旋转120°，得到OZ ′→，由于模未发生变化，应当是OZ →对应复数乘以1·(cos120°＋isin120°)，即z ′＝(－1＋i)(cos120°＋isin120°)＝2(cos135°＋isin135°)(cos120°＋isin120°)＝2(cos255°＋isin255°)＝1－32－1＋32i. 归纳总结：利用复数乘、除法的几何意义来解决三角形中角的大小问题，十分方便【练习2】如图，已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数证明∠1＋∠2＋∠3＝π2.证明：∈1，∈2，∈3分别等于复数1＋i,2＋i,3＋i 的辐角主值，这样∈1＋∈2＋∈3就是(1＋i)(2＋i)(3＋i)＝10i 的辐角，∈1，∈2，∈3都是锐角，所以∈1＋∈2＋∈3＝π2.课后作业A 组 基础题一、选择题1．复数(sin10°＋icos10°)3的三角形式为( )A ．sin30°＋icos30°B ．cos240°＋isin240°C ．cos30°＋isin30°D ．sin240°＋icos240°【答案】B2．若z ＝cos θ－isin θ，则使z 2＝－1的θ值可能是( )A ．0 B.π2 C ．π D ．2π【答案】B解析：∈z ＝cos θ－isin θ＝cos(－θ)＋isin(－θ)， ∈z 2＝z ·z ＝cos(－2θ)＋isin(－2θ)＝cos2θ－isin2θ＝－1，∈⎩⎪⎨⎪⎧cos2θ＝－1，－sin2θ＝0∈θ＝π2.3．4(cos60°＋isin60°)×3(cos150°＋isin150°)＝( )A ．63＋6iB ．63－6iC ．－63＋6iD ．－63－6i【答案】D解析：4(cos60°＋isin60°)×3(cos150°＋isin150°)＝12[cos(60°＋150°)＋isin(60°＋150°)]＝12(cos210°＋isin210°)＝12⎝⎛⎭⎫－32－12i ＝－63－6i.故选D. 4．复数z 1＝1，z 2是由z 1绕原点O 逆时针方向旋转π6而得到，则arg(z 2－z 12)的值为( )A.π12 B.π3 C.5π12 D.7π12【答案】D5．(多选)设z 1、z 2是复数，arg z 1＝α，arg z 2＝β，则arg(z 1·z 2)有可能是下列情况中的( )A ．α＋βB ．α＋β－2πC ．2π－(α＋β)D ．π＋α＋β【答案】ABC解析：因为arg z 1＝α，arg z 2＝β，所以α∈[0,2π)，β∈[0,2π)，而arg(z 1·z 2)∈[0,2π)，则当α＋β∈[0,2π)时，arg(z 1·z 2)＝α＋β；当α＋β∈[2π，4π)时，α＋β－2π∈[0,2π)，则arg(z 1·z 2)＝α＋β－2π；当α＋β＝π时，2π－(α＋β)＝π＝α＋β，此时arg(z 1·z 2)＝α＋β＝2π－(α＋β)，故选ABC. 二、填空题6．复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是 . 【答案】－32－12i ，32－12i 解析：∵－i ＝cos 3π2＋isin 3π2，其立方根是cos 2k π＋3π23＋isin 2k π＋3π23，k ∈0,1,2，即i ，－32－12i ，32－12i. 三、解答题7．计算：4(cos 4π3＋isin 4π3)÷2(cos 5π6＋isin 5π6)．解：原式＝2[cos(4π3－5π6)＋isin(4π3－5π6)]＝2(cos π2＋isin π2)＝2i.8．把复数z 1与z 2对应的向量OA →，OB →分别按逆时针方向旋转π4和5π3后，重合于向量OM →且模相等，已知z 2＝－1－3i ，求复数z 1的代数形式和它的辐角主值． 解：由复数乘法的几何意义得 z 1(cos π4＋isin π4)＝z 2(cos 5π3＋isin 5π3)，又z 2＝－1－3i ＝2(cos 4π3＋isin 4π3)，∴z 1＝2(cos 4π3＋isin 4π3)·(cos 5π3＋isin 5π3)cos π4＋isin π4＝2[cos(3π－π4)＋isin(3π－π4)]＝－2＋2i ，z 1的辐角主值为3π4.9．计算：3(cos π6＋isin π6)·4(cos π12＋isin π12)．解：原式＝43[cos(π6＋π12)＋isin(π6＋π12)]＝43(cos π4＋isin π4)＝26＋26i.10．若z ＝3(cos π6＋isin π6)，求z 2与z 3的值．解：z 2＝z ·z ＝(3)2[cos(π6＋π6)＋isin(π6＋π6)]＝3(cos π3＋isin π3)＝32＋332i.z 3＝z ·z ·z ＝(3)3[cos(π6×3)＋isin(π6×3)]＝33(cos π2＋isin π2)＝33i.11．在复平面上A ，B 表示复数为α，β(α≠0)，且β＝(1＋i)α，判断△AOB 形状， 并证明S △AOB ＝12|α|2.解：∈AOB 为等腰直角三角形． 证明：∵α≠0，∴β＝(1＋i)α，∴βα＝1＋i ＝2(cos π4＋isin π4)，∴∠AOB ＝π4； ∵OA →，AB →分别表示复数α，β－α， 由β－α＝αi ，得β－αα＝i ＝cos π2＋isin π2，∴∠OAB ＝90°，∴△AOB 为等腰直角三角形． ∴S △AOB ＝12|OA |2＝12|α|2.12．设复数z 1＝3＋i ，复数z 2满足|z 2|＝2，已知z 1·z 22的对应点在虚轴的负半轴上，且arg z 2∈(0，π)，求z 2的代数形式．解：因为z 1＝2(cos π6＋isin π6)，设z 2＝2(cos α＋isin α)，α∈(0，π)，所以z 1z 22＝8[cos(2α＋π6)＋isin(2α＋π6)]．由题设知2α＋π6＝2k π＋3π2(k ∈Z )，所以α＝k π＋2π3(k ∈Z )，又α∈(0，π)，所以α＝2π3，所以z 2＝2(cos 2π3＋isin 2π3)＝－1＋3i.B 组 能力提升一、选择题1．复数z ＝sin π6－icos π6，若z n ＝Z (n ∈N )，则n 的最小值是( )A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】C解析：因为z ＝sin π6－icos π6＝cos 5π3＋isin 5π3，所以z n ＝cos 5n 3π＋isin 5n 3π，Z ＝cos 5π3－isin 5π3＝cos π3＋isin π3.因为z n ＝Z ，所以5n 3π＝π3＋2k π，n ＝6k ＋15，因为n ∈N ，k ∈Z ，所以当k ＝4时，n ＝5.2.设复数z 1＝2sin θ＋icos θ(π4<θ<π2)在复平面上对应向量OZ 1→，将OZ 1→按顺时针方向旋转3π4后得到向量OZ 2→，OZ 2→对应复数z 2＝r (cos φ＋isin φ)，则tan φ＝( )A.2tan θ＋12tan θ－1B.2tan θ－12tan θ＋1C.12tan θ＋1D.12tan θ－1 【答案】A 二、填空题3．(1－3i)7解析：(1－3i)7＝⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫cos 5π3＋isin 5π37 ＝27⎝⎛⎭⎫cos 35π3＋isin 35π3 ＝128⎝⎛⎭⎫12－32i ＝64－643i.三、解答题4．若z ∈C ，|z －2|≤1，求|z |的最大值，最小值和arg z 范围．解：如图，由|z －2|≤1，知z 的轨迹为复平面上以(2,0)为圆心，1为半径的圆面(包括圆周)，|z |表示圆面上任一点到原点的距离．显然1≤|z |≤3，∈|z |max ＝3，|z |min ＝1，另设圆的两条切线为OA ，OB ，A ，B 为切点，由|CA |＝1，|OC |＝2知∈AOC ＝∈BOC ＝π6，∈arg z ∈[0，π6]∈[116π，2π)．5．已知复数z 1＝－2＋i 对应的点为P 1，z 2＝－3＋4i 对应的点为P 2，把向量P 1P 2→绕P 1点按顺时针方向旋转π2后，得到向量P 1P →，求向量P 1P →和点P 对应的复数分别是什么？解：由题意知向量P 1P 2→对应的复数是z 2－z 1＝(－3＋4i)－(－2＋i)＝－1＋3i.再由复数乘法的几何意义得，向量P 1P →对应的复数是(－1＋3i)·⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫－π2＋isin ⎝⎛⎭⎫－π2＝3＋i ，最后由复数加法的几何意义得，向量OP →＝OP 1→＋P 1P →，其对应的复数是(－2＋i)＋(3＋i)＝1＋2i ，故点P 对应的复数为1＋2i.6．已知z ＝－1＋i i －2i ，z 1－z ·z 2＝0，arg z 2＝7π12，若z 1，z 2在复平面上分别对应点A ，B ，且|AB |＝2，求z 1的立方根．解：由题设知z ＝1－i ，因为|AB |＝2，即|z 1－z 2|＝2，所以|z 1－z 2|＝|z z 2－z 2|＝|(1＋i)z 2－z 2|＝|i z 2|＝|z 2|＝2， 又arg z 2＝7π12，所以z 2＝2(cos 7π12＋isin 7π12)，z 1＝z z 2＝(1＋i)z 2＝2(cos π4＋isin π4)·2(cos 7π12＋isin 7π12)＝2(cos 5π6＋isin 5π6)，11 所以z 1的立方根为32[cos 5π6＋2k π3＋isin 5π6＋2k π3]，k ＝0,1,2， 即32(cos 5π18＋isin 5π18)，32(cos 17π18＋isin 17π18)， 32(cos 29π18＋isin 29π18)．。
复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
解:要求点C对应的复数,即求向量对应的复数,结合图形知
=+,故可以先求向量对应的复数.向量可以看作
向量的长度扩大为原来的 3倍,并绕点B按顺时针方向旋转
90°后得到,因为向量对应的复数为(-1+2i)-(1+i)=-2+i,
isin 30°)÷[ 3(cos 60°+isin 60°)]=
( B )
3
(cos
3
30°+
3 1
× [cos(30°-60°)+isin(30°-60°)]=
3
3
1
3 1
[cos(-30°)+isin(-30°)]= - i,故选B.
3
6 6
=1+2i,故点P对应的复数为1+2i.
课堂评价
1.若复数z1=
A.6 2
π
π
6(cos +isin ),z2=2
4
4
B.4 3
C.2 3
π
π
3(cos +isin ),则z1z2的模为
5
5
D. 6
[解析] z1z2的模为 6×2 3=6 2,故选A.
( A )
课堂评价
2.若复数z1=
A.4
B.4i
π
按顺时针方向旋转 后,得到向量1 ,求向量1 和点P对应的复数.
2
解:由题意知向量1 2 对应的复数是z2-z1=(-3+4i)-(-2+i)=-1+3i.由复数乘法
π
π
的几何意义得,向量1 对应的复数是(-1+3i)·[cos(- )+isin(- )]=3+i.由复数
理解复数的几何意义练习题
理解复数的几何意义练习题在数学中，复数是由一个实部和一个虚部组成的数字。
复数可以用来表示平面上的点，并具有很多有趣的几何意义。
本文将通过几个练习题帮助读者更好地理解复数的几何意义。
1. 练习题一：复数的加法和减法考虑两个复数z1 = a + bi和z2 = c + di，其中a、b、c、d是实数。
我们可以将z1和z2表示为平面上的两个点P1和P2。
根据复数的加法和减法定义，我们知道z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i，z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i。
现在，我们可以进行如下练习：1.1 绘制点P1和P2在平面上的位置。
1.2 计算并绘制结果复数z1 + z2和z1 - z2在平面上的位置。
1.3 通过观察平面上的点，你能得出什么结论？2. 练习题二：复数的乘法考虑两个复数z1 = a + bi和z2 = c + di，其中a、b、c、d是实数。
我们可以将z1和z2表示为平面上的两个点P1和P2。
根据复数的乘法定义，我们知道z1 × z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i。
现在，我们可以进行如下练习：2.1 绘制点P1和P2在平面上的位置。
2.2 计算并绘制结果复数z1 × z2在平面上的位置。
2.3 通过观察平面上的点，你能得出什么结论？3. 练习题三：复数的除法考虑两个非零复数z1 = a + bi和z2 = c + di，其中a、b、c、d是实数。
我们可以将z1和z2表示为平面上的两个点P1和P2。
根据复数的除法定义，我们知道z1 ÷ z2 = [(ac + bd)/(c^2 + d^2)] + [(bc - ad)/(c^2 +d^2)]i。
现在，我们可以进行如下练习：3.1 绘制点P1和P2在平面上的位置。
3.2 计算并绘制结果复数z1 ÷ z2在平面上的位置。
3.3 通过观察平面上的点，你能得出什么结论？通过完成上述练习题，我们可以更加直观地理解复数在平面上的几何意义。
复数的三角形式乘法及其几何意义练习版
复数的三角形式 乘法及其几何意义1、复数的三角形式及运算(1)复数的幅角：设复数Z=a ＋bi 对应向量，以x 轴的正半轴为始边，向量所在的射线(起点为O)为终边的角θ，叫做复数Z 的辐角，记作Arg Z ，其中适合0≤θ<2π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作arg Z ． 说明：不等于零的复数Z 的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍．(2)复数的三角形式：r(cosθ＋isin θ)叫做复数Z =a ＋bi 的三角形式，其中．说明：任何一个复数Z =a ＋bi 均可表示成r(cosθ＋isin θ)的形式．其中r 为Z 的模，θ为Z 的一个辐角． (3)复数的三角形式的运算：设Z=r(cosθ＋isin θ)，Z 1=r 1(cos θ1＋isin θ1)，Z 2=r 2(cos θ2＋isin θ2)．则2、复数的几何意义(1)复数模的几何意义：，即Z 点到原点O 的距离，一般地|Z 1－Z 2|即Z1点到Z 2点的距离． (2)复数加、减法的几何意义图中给出的平方四边形，可以直观地反映出复数加、减法的几何意义．即Z=Z 1＋Z 2，．(3)复数乘、除法的几何意义：设Z 1=r 1(cos θ1＋isin θ1)，则ZZ1的几何意义是把Z 的对应向量按逆时针方向旋转一个角θ1(如果θ1＜0，就要把按顺时针方向旋转一个角|θ1|，再把它的模变为原来的r 1倍，所得向量即表示积ZZ 1，如图，Z 1≠0,的几何意义是把Z 的对应向量按顺时针方向旋转一个角θ1(如果θ1＜0，就要把按逆时针方向旋转一个角|θ1|，再把它的模变为原来的倍，所得的向量即表示商.概念：1、复数的三角形式：设|z|=r （r ≥0），辐角主值：argz=α， 那么复数z =2、复数三角形式的几点要求：⑴ ⑵ ⑶3、回顾练习：⑴下列那一个是复数的三角形式： (A)21(cos 3π-isin 3π) (B) -21(cos 4π+isin 4π) (C)21(sin 54π+icos 54π) (D)cos 56π+isin 56π⑵把下列复数化为三角形式： -3= ；=-i 2123 ; 一、 复数的三角形式的乘法运算：1、定理：设z 1=r 1(cos α+isin α)，z 2=r 2(cos β+isin β)，r 1≥0,r 2≥0 那么：z 1·z 2=此定理用语言叙述为： 【例题1】1、求下列复数的积： ①2(cos12π+isin 12π)∙3(cos 6π+isin 6π) ②3(cos75º+isin75º) ∙3(cos15º+isin15º)③(cos3A +isin3A) ∙ (cos2A -isin2A)定理的推广：设z n =r n (cos αn +isinn α),其中r n ≥0于是：z1z2z 3…z n =r1r2r 3…r n [cos(α1+α2+α3+…+αn )+isin(α1+α2+α3+…+αn )]（当α1=α2=α3=…=αn 时z 1n=cosna +isinn a ）1、将下列乘积的结果直接写出：(如果没有特别声明，计算结果一般保留代数形式) ⑴8(cos6π+isin 6π)∙2 (cos 12π+isin 12π)= ⑵8(cos240º+isin240º)∙2 (cos150º-isin150º)= ⑶3(cos18º+isin18º) ∙2 (cos54º+isin54º) ∙5 (cos108º+isin108º⑷|3(cos 12π-isin 12π)∙ (1+i) ∙2(sin22º+icos22º)|=二、复数乘法的几何意义：⑴两个复数z 1、z2相乘时，可以先画出分别与z1、z2对应的向量1OZ 、2OZ ，然后把向量2OZ 按逆时针方向旋转1θ（1θ<0如何？）再把模变为原来的r1倍，所得的向量OZ 就表示积z 1z 2.*特征：旋转+伸缩变换⑵向量的旋转与伸缩可以转化为两个复数的乘积.【例题2】试说明下列乘法运算可以看成对应向量的如何变化： ⑴8(cos6π+isin 6π)∙2 (cos 12π+isin 12π)： ⑵8(cos240º+isin240º)∙2 (cos210º-isin210º)：⑶3(cos18º+isin18º) ∙2 (cos54º+isin54º) ∙ (cos108º+isin108º)：【例题3】1、OZ 对应复数-1+i,将按逆时针OZ 方向旋转120º后得到Z O '，求对应复数Z O 'z2、（2000全国）把复数3-3i 对应向量按顺时针方向旋转π31，所得向量对应复数为( ) (A)23(B) -23i (C) 3-3i (D) 3+3i3、Z A =1,Z B =3+2i,并且ABC D 是按逆时针方向排列的正方形的四 个顶点，求ZC 与Z D .【反馈练习2】如果向量对OZ 应复数4i ，OZ 逆时针旋转45º后再把模变为原来的倍得到2向量1OZ ，那么与对应1OZ 的复数是2、正⊿ABC 的顶点A 、B 、C 对应复数Z A 、Z B 、Z C ，点A 、B 、C 按逆时针顺序排列，那么（ ） (A) Z C =(Z B -Z A ) ∙ (cos60º+isin60º) (B) Z C =(Z B -Z A ) ∙ (cos60º-isin60º) (C) Z C =Z B ∙ (cos60º+isin60º) (D) Z C =Z A +(Z B -Z A ) ∙ (cos60º+isin60º) 三、知识小结：(1)、积的模等于模的积，积的辐角等于辐角之和 (2)、复数的乘法⇔向量的旋⎬转与伸缩(3)、做复数的乘法运算时，三角形式和代数形式可以交替使用，但是结果一般保留代数形式. 四、练习1、已知0＜α＜π，且，复数Z=tanα－i ． (1)求Z 的三角形式； (2)若|Z|＜2，求argZ 的取值范围．2. 已知复数z i =+1， 求复数z z z 2361-++的模和辐角主值。
人教A版高中数学必修第二册强化练习题-7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义(含答案)
人教A版高中数学必修第二册7.3* 复数的三角表示7.3.1 复数的三角表示式7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义基础过关练题组一 复数的三角形式及其与代数形式的互化)(3)z37π-isin6题组二 复数三角形式的乘、除运算6.已知复数z 1π12+2=3cos π6+isin π6,则z 1z 2的代数形式是( )π4+π12+isin12.(1)在复平面内画出复数z=1-i 对应的向量,并把z=1-i 表示成三角形式;(2)已知z 1=cos θ1+isin θ1,z 2=cos θ2+isin θ2,cos(π+θ1+θ2)=35,θ1,θ2∈0,试求z 1z 2.(结果表示为代数形式)题组三 复数三角形式乘、除运算的几何意义的应用13.(2024江苏南京师范大学附属中学期中)在复平面内,复数z=a+bi(a,b ∈R)和向量OZ =(a,b)一一对应.现把与复数1+2i 对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转90°,所得的向量对应的复数为( )A.-2+i B.-2-i C.2+i D.2-i14.(多选题)已知四边形OABC 为正方形,O 是坐标原点,且点B 在x 轴的上方,向量OA 对应的复数为2+i,则( )A.点B 对应的复数为1+3i B.向量OC 对应的复数为-1+2i C.向量BC 对应的复数为1+2i D.|AC |=1015.(2024上海建平中学期中)在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,向量OA =-3cos π12,3sinπ12,将OA 绕点O 按顺时针方向旋转π4得到向量OB ,则点B 的坐标是 .答案与分层梯度式解析7.3* 复数的三角表示7.3.1 复数的三角表示式7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义基础过关练5.解析 (1)z 1=3cos π4+3sin i=322+322i.(2)z 2=3cos 4π3+i=-32-32i.(3)z 3=22cos 7π6-22sin i=-6+2i.6.D z 1z 2π12+isinπ6+isinπ4+isin =3+3i.故选D.7.B ∵1-3i=232i =2cos -+isin∴(1-3i)2022=22 022cos -20223π+isin -20223π=22 022.故选B.8.AD 设复数z 1=cos θ1+isin θ1,z 2=cos θ2+isin θ2,θ1,θ2∈R,因为OZ 1·OZ 2=0,所以OZ 1⊥OZ 2,即θ1-θ2=±π2+2kπ,k ∈Z,所以z 1z 2=cos θ1+isin θ1cos θ2+isin θ2=cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)=cos±±故选AD.9.答案 -12+32i解析 因为ω=-12+32i=cos 2π3+isin 2π3,所以ω10=cos2π3+isin=cos20π3+isin 20π3=cos 2π3+isin 2π3=-12+32i.10.答案 π3解析 ∵z=3+i,∴z =3-i,∴zz =3+i 3-i==cos π3+isin π3,∴复数z=3+i 与它的共轭复数z 对应的两个向量的夹角为π3.11.解析 (1)8cos4π3+isin×4cos5π6+=32++=32cos 13π6+isin cos π6+isin+12i =163+16i.(2)3(cos 225°+isin 225°)÷[2(cos 150°+isin 150°)]=32[cos(225°-150°)+isin(225°-150°)]=62(cos 75°+isin 75°)=+6+24i =3−34+3+34i.(3)4÷cos π4+isin=4cos-+isin-=22-22i.12.解析 (1)z=1-i在复平面内对应的点为(1,-1),所以z对应的向量如图所示.则90°)=(2+i)i=-1+2i,故B正确;由四边形OABC是正方形可知,BC对应的复数为AO对应的复数,即-(2+i)=-2-i,故C不正确; |AC|=|OB|=10,故D正确.故选ABD.15.答案 -3,2解析 设向量OA 对应的复数是z,则z=-3cos π12+3isin π12=3cos11π12+所以OB 对应的复数是zcos π4+isin π4=44=3cos +=3cos2π3+=-32+332i,所以点B 的坐标是-32。
《复数的三角形式乘、除运算的三角表示及其几何意义》教案、导学案、课后作业
《7.3.2 复数的三角形式乘、除运算的三角表示及其几何意义》教案【教材分析】复数的三角形式乘、除运算的三角表示是对其代数形式乘除运算数形结合的产物，其几何意义充分揭示了其平面图形的变化规律.本节教材内容主要就复数的三角形式乘、除运算及其几何意义进行基本阐述.【教学目标与核心素养】课程目标：1.掌握会进行复数三角形式的乘除运算；2.了解复数的三角形式乘、除运算的三角表示的几何意义.数学学科素养1.数学运算：复数的三角形式乘、除运算;2.直观想象：复数的三角形式乘、除运算的几何意义;3.数学建模：结合复数的三角形式乘、除运算的几何意义和平面图形，数形结合，综合应用，培养学生对数学的学习兴趣.【教学重点和难点】重点：复数三角形式的乘除运算．难点：复数三角形式的乘除运算的几何意义的理解.【教学过程】一、情景导入复数的代数形式有乘除运算，那么复数的三角形式是否可以乘、除运算？如果可以，又以什么规律进行运算？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本86-89页，思考并完成以下问题1、复数的三角形式乘、除运算如何进行？2、复数的三角形式乘、除运算的三角表示的几何意义是？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、复数三角形式的乘法及其几何意义 设的三角形式分别是：z1=r 1(cosθ1+isinθ1),z 2=r 2(cosθ2+isinθ2).则z 1∙z 2=r 1∙r 2[cos (θ1+θ2)+isin (θ1+θ2)].简记为 ：模数相乘，幅角相加几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是．2、复数三角形式的除法及其几何意义 设的三角形式分别是：z1=r 1(cosθ1+isinθ1),z 2=r 2(cosθ2+isinθ2).则z 1÷z 2=r 1r 2[cos (θ1−θ2)+isin (θ1−θ2)].简记为 ：模数相除，幅角相减几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是zz 0．四、典例分析、举一反三题型一 复数的三角形式乘法运算 例1已知，，求，请把结果化为代数形式，并作出几何解释.【答案】;详见解析 【解析】.首先作与对应的向量，，然后把向量绕点O 按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的2倍，这样得到一个长度为3，辐角为的向21Z 、Zz OZ 0z 0z 0z z ⋅21Z 、Zz OZ 0z 0z 13cos sin 266z i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22cos sin 33z i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12z z 3i 123cos sin 2cos sin 26633z z i i ππππ⎛⎫⎛⎫=+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32cos sin 26363i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3cos sin 22i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3i =12,z z 1OZ 2OZ 1OZ 3π2π量（如图）.即为积所对应的向量.解题技巧（复数的三角形式乘法运算的注意事项）两个复数相乘，积还是一个复数，它的模等于各复数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角的和。
(完整版)复数的三角形式及乘除运算
复数的三角形式及乘除运算一、主要内容:复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义.二、学习要求:1．熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值.2．深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式.3．能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围（最值）.4．利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题.5．注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法.三、重点:复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用.四、学习建议:1．复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的.前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示，即Z=a+bi(a,b∈R).二是几何表示，复数Z既可以用复平面上的点Z(a,b)表示，也可以用复平面上的向量来表示.现在需要学习复数的三角表示.既用复数Z的模和辐角来表示，设其模为r，辐角为θ，则Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0).既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化.代数形式r=三角形式Z=a+bi(a,b∈R) Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0)复数三角形式的结构特征是:模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数Z的一个辐角，不一定是辐角主值.例1．下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式:(1) Z1=-2(cosθ+isinθ)(2) Z2=cosθ-isinθ(3) Z3=-sinθ+icosθ(4) Z4=-sinθ-icosθ(5) Z5=cos60°+isin30°分析:由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向.变形时，可按照如下步骤进行:首先确定复数Z对应点所在象限（此处可假定θ为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角.此步骤可简称为“定点→定名→定角”.这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率.解:（1）由“模非负”知，不是三角形式，需做变换:Z1=Z(-cosθ-isinθ)复平面上Z1(-2cosθ,-2sinθ)在第三象限（假定θ为锐角），余弦“-cosθ”已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π+θ”将θ变换到第三象限.∴Z1=Z(-cosθ-isinθ)=2[cos(π+θ)+isin(π+θ)]（2）由“加号连”知，不是三角形式复平面上点Z2(cosθ,-sinθ)在第四象限（假定θ为锐角），不需改变三角函数名称，可用诱导公式“2π-θ”或“-θ”将θ变换到第四象限.∴Z2=cosθ-isinθ=cos(-θ)+isin(-θ)或Z2=cosθ-isinθ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ)考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一.（3）由“余弦前”知，不是三角形式复平面上点Z3(-sinθ,cosθ)在第二象限（假定θ为锐角），需改变三角函数名称，可用诱导公式“+θ”将θ变换到第二象限.∴Z3(-sinθ,cosθ)=cos(+θ)+isin(+θ)同理（4）Z4=-sinθ-icosθ=cos(π-θ)+isin(π-θ)（5）Z5=cos60°+isin30°=+i=(1+i)=·(cos+isin)=(cos+isin)小结:对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点.有了“定点→定名→定角”这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题.例2．求复数Z=1+cosθ+isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值.分析:式子中多3个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”.解:Z=1+cosθ+isinθ=1+(2cos2-1)+2i.sin cos=2cos(cos+isin) (1)∵π<θ<2π∴<<π,∴cos<0∴(1)式右端=-2cos(-cos-isin)=-2cos[cos(π+)]+isin(π+)]∴r=-2cos, ArgZ=π++2kπ(k∈Z)∵<<π∴π<π+<2π，∴argZ=π+.小结:（1）式右端从形式上看似乎就是三角形式.不少同学认为r=2cos, argZ=或ArgZ=错误之处在于他们没有去考虑θ角范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角形式.看了这道例题，你一定能解决如Z1=1-cosθ+isinθ(π<θ<2π) ，Z2=1+cosθ-isinθ(π<θ<2π)等类似问题.例3．将Z=(π<θ<3π)化为三角形式，并求其辐角主值.分析:三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化，再向三角形式转化.解:====cos2θ+isin2θ∵π<θ<3π, ∴<2θ<6π,∴π<2θ-4π<2π，∴argZ=2θ-4π小结:掌握三角变形是解决这类问题的根本.但在此之前的解题方向一定要明确，即要分析式子结构.比较其与三角形式的异同，从而决定变形的方向，采用正确的方法.要求学生做好每道例题后的反思，并能由此及彼，举一反三，达到熟练解决一类问题的目的，如1-itgθ, tgθ+i, i-ctgθ等.2．复数Z的模|Z|的几何意义是:复平面上点Z到原点距离，复数模|Z1-Z2|的几何意义是:复平面上两点Z1，Z2之间距离.辐角几何意义是:以x轴正半轴为角始边，以向量所在射线为终边的角记为ArgZ.在[0，2π)范围内的辐角称辐角主值，记为argZ.要求学生不仅要理解以上所说各几何意义，还要运用几何意义去解决相关问题.例4．若Z∈c，|Z-2|≤1，求｜Ｚ｜的最大，最小值和argZ范围.解:法一，数形结合由|Z-2|≤1，知Ｚ的轨迹为复平面上以（2，0）为圆心，1为半径的圆面（包括圆周），|Z|表示圆面上任一点到原点的距离.显然1≤|Z|≤3, ∴|Z|max=3, |Z|min=1,另设圆的两条切线为OA，OB，A，B为切点，由|CA|=1，|OC|=2知∠AOC=∠BOC=，∴argZ∈[0,]∪[π,2π)法二:用代数形式求解|Z|的最大，最小值，设Z=x+yi(x,y∈R)则由|Z-2|≤1得(x-2)2+y2≤1,∴|Z|=≤=,∵(x-2)2+y2≤1, ∴(x-2)2≤1, ∴-1≤x-2≤1, ∴1≤x≤3,∴1≤4x-3≤9, ∴1≤|Z|≤3.小结:在一题多解的基础上，分析比较各种方法的异同，如何做好方法的选择.各种方法的本质和优势，通过分析与比较都一目了然.例5．复数Z满足arg(Z+3)=π,求|z+6|+|z-3i|最小值.分析:由两个复数模的和取最小值，联想到一个点到两个定点距离和的最小值，将之转化为几何问题来解决应比较简便.解法一:由arg(Z+3)=π,知Z+3的轨迹是一条射线OA，∠xOA=π,而|Z+6|+|Z-3i|=|(z+3)-(-3)|+|(Z+3)-(3+3i)|将B(-3,0)与C(3,3)连结，BC连线与OA交点为D，取Z+3为D点，表示复数时，|Z+6|+|Z-3i|=|BD|+|DC|=|BC|=3, ∴所求最小值=3.法二:由arg(Z+3)=π, 知Z+3的轨迹是射线OA，则Z轨迹应是平行于OA，且过点（-3，0）的射线BM，∴|Z+6|+|Z-3i|就表示射线BM上点到点P(-6,0)和点Q(0,3)距离之和，连结PQ与射线BM交于点N，取E为N点表示复数时，|Z+6|+|Z-3i|=|PN|+|NQ|=|PQ|=3,∴所求最小值=3.小结:两种方法的本质相同，都是将数学式子利用其几何意义转化成几何问题进行解决.如果纯粹用代数方法求解，难度会很大.对有关最值问题，尤其是模（距离）和辐角主值最值问题，用数形结合方法显然较为简便.例6．已知|Z-2i|≤1,求arg(Z-4i)最大值.解：∵|Z-2i|≤1,∴点Z轨迹是以（0，2）为圆心，1为半径的圆面，在其上任取一点Z，连Z与点（0，4）得一以（0，4）为起点，Z为终点的向量，将起点平移到原点，则θ为其对应的辐角主值，显然arg(Z-4i)最大值为π.3．两个复数相乘，积的模等于模的积，辐角为两辐角之和，其几何意义是模的伸缩及对应向量的旋转.两个复数相除，商的模等于模的商（除数不为零），辐角为两辐角之差，其几何意义同乘法.由复数三角形式乘除运算的几何意义，可解决向量或图形的旋转问题，如等腰、等边三角形、直角三角形，平行四边形顶点间的几何何关系利用复数的乘除运算来表示.复数三角形式较之代数形式，在乘除运算中非常方便，可顺利解决多项相乘（乘方），相除及乘除混合运算.例7．若与分别表示复数Z1=1+2i, Z2=7+i, 求∠Z2OZ1并判断ΔOZ1Z2的形状.解:欲求∠Z2OZ1，可计算====∴∠Z2OZ1=且=，由余弦定理，设|OZ1|=k, |OZ2|=2k(k>0)|Z1Z2|2=k2+(2k)2-2k·2k·cos=3k2∴|Z1Z2|=k,而k2+(k)2=(2k)2，∴ΔOZ1Z2为有一锐角为60°的直角三角形.小结:此题中利用除法几何意义来解决三角形中角的大小问题，十分方便.例8．已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A(-1,0)和B(0,8)关于l的对称点都在C上，求直线l与抛物线C的方程.解:如图，建立复平面x0y，设向量、对应复数分别为x1+y1i, x2+y2i.由对称性，|OA'|=|OA|=1, |OB'|=|OB|=8,∴x2+y2i=(x1+y1i)8i=-8y1+8x1i∴设抛物线方程为y2=2px(p>0)则有y12=2px1, y22=2px2,∴x1=, y12=p2, 又|OA'|=1，∴()2+p2=1,∴p=或-（舍）∴抛物线方程为y2=x，直线方程为:y=x.小结:对于解析几何的许多问题，若能借助于复数的向量来表示，常常有意想不到的功效.尤其涉及到特殊位置，特殊关系的图形时，尤显其效.五、易错点1．并不是每一个复数都有唯一确定的辐角主值.如复数零的模为0，辐角主值不确定.2．注意ArgZ与argZ的区别.ArgZ表示复数Z的辐角，而argZ表示复数Z的辐角主值.ArgZ=argZ+2kπ(k∈Z),argZ∈[0,2π), 辐角主值是[0,2π)内的辐角，但辐角不一定是辐角主值.3．复数三角形式的四个要求:模非负，角相同，余弦前，加号连，缺一不可.任何一个不满足，就不是三角形式.4．注意复数三角形式的乘除运算中，向量旋转的方向.六、练习1．写出下列复数的三角形式(1) ai(a∈R)(2) tgθ+i(<θ<π）(3) -（sinθ-icosθ)2．设Z=(-3+3i)n, n∈N，当Z∈R时，n为何值？3．在复平面上A，B表示复数为α,β(α≠0),且β=(1+i)α，判断ΔAOB形状，并证明SΔAOB=|d|2. 参考答案:1．（1）ai=（2）tgθ+i(<θ<π）=-[cos(π-θ)+isin(π-θ)]（3）-(sinθ-icosθ)=[cos(+θ)+isin(+θ)]2．n为4的正整数倍3．法一:∵α≠0，β=（1+i)α∴=1+i=(cos+isin), ∴∠AOB=,∵分别表示复数α，β-α，由β-α=αi，得=i=cos+isin，∴∠OAB=90°,∴ΔAOB为等腰直角三角形.法二:∵||=|α|, ||=|β-α|=|αi|=|α|,∴||=||又||=|β|=|(1+i)α|=|α|,||2+||2=|α|2+|α|2=2|α|2=||2∴ΔAOB为等腰直角三角形，∴SΔAOB=||·||=|α|2.在线测试选择题1．若复数z=(a+i)2的辐角是，则实数a的值是（）A、1B、-1C、-D、-2．已知关于x的实系数方程x2+x+p=0的两虚根a， b满足|a-b|=3，则p的值是（）A、-2B、-C、D、13．设π<θ<，则复数的辐角主值为（）A、2π-3θB、3θ-2πC、3θD、3θ-π4．复数cos+isin经过n次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，则n的值等于（）A、3B、12C、6k-1(k∈Z)D、6k+1(k∈Z)5．z为复数，()|z-3|=()|z+3|()-1的图形是（）A、直线B、半实轴长为1的双曲线C、焦点在x轴，半实轴长为的双曲线右支D、不能确定答案与解析答案：1、B 2、C 3、B 4、C 5、C解析：1．∵z=(a+i)2=(a2-1)+2ai， argz=，∴，∴a=-1，本题选B. 2．求根a，b=（Δ=1-4p<0）∵|a-b|=||=3，∴ 4p-1=9， p=，故本题应选C.3．==cos3θ+isin3θ.∵π<θ<，∴3π<3θ<，∴π<3θ-2π<，故本题应选B.4．由题意，得(cos+isin)n=cos+isin=cos-isin由复数相等的定义，得解得=2kπ-，(k∈Z)，∴n=6k-1.故本题应选C.5．依题意，有 |z-3|=|z+3|-1，∴ |z+3|-|z-3|=1.由双曲线定义，此方程表示焦点(±3，0)，2a=1， a=的双曲线右支，故本题应选C.复数三角形式的运算·疑难问题解析1．复数的模与辐角：(1)复数模的性质：｜z1·z2｜=｜z1｜·｜z2｜(2)辐角的性质：积的辐角等于各因数辐角的和．商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．一个复数n次幂(n∈N)的辐角等于这个复数辐角的n倍．注意：(1)辐角与辐角主值的区别，特别是解题过程中的不同点．如下面两个问题：若arg(2-i)=α，arg(3-i)=β，求α+β的值．(α+β∈(3π，4π))若arg(2-i)=α，arg(3-i)=β，求arg[(2-i)(3-i)]的值．(2)两个复数乘积的辐角主值不一定等于两辐角主值的和，商的辐角主值不一定等于辐角主值的差.2．关于数的开方(1)复数的开方法则：r(cosθ+isinθ)的n次方根是几何意义：设对应于复平面上的点，则有：所以，复数z的n次方根，在复平面内表示以原点为中心的正n边形的n个顶点．(2)复数平方根的求法．求-3-4i的平方根．解法一利用复数代数形式．设-3-4i的平方根为x+yi(x，y∈R)，则有(x+yi)2=-3-4i,即(x2-y2)+2xyi=-3-4i，由复数相等条件，得∴-3-4i的平方根是±(1-2i)．法二利用复数的三角形式．3．复数集中的方程．关于实系数的一元二次方程的解法：设ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c∈R，x1，x2为它的两个根)(1)当△=b2-4ac≥0时，方程有两个实数根当△=b2-4ac＜0时，方程有一对共轭虚根(4)二次三项式的因式分解：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)关于复系数的一元二次方程的解法：设ax2+bx+c=0(a≠0，a、b、c∈C，且至少有一个虚数，x1x2为它的两个根)(4)二次三项式的因式分解ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)仍然适用．关于二项方程的解法形如a n x n+a0=0(a0，a n∈C且a n≠0)的方程叫做二项方程，任何一个二项方程都可以化成x n=b(b∈C)的形式，因此都可以通过复数开方来求根．可以充分利用复数z的整体性质，复数z的三种表示方法及其转换来解方程．已知方程x2-4x+p=0两虚数根为α、β，且|α-β|=2求实数p的值．解法1∵实系数一元二次方程虚根共轭设α=a+bi，β=a-bi，(a，b∈R)∴α+β=2a=4，∴a=2又∵|α-β|=2, ∴|2bi|=2得b=±1即两根为2+i，2-i由韦达定理得：p=(2+i)(2-i)=5法2由韦达定理可得：α+β=4，αβ=p于是|α-β|2=|(α-β)2|=|(α+β)2-4αβ|=|42-4p|=4，即|4-p|=1又∵△=42-4p＜0p＞4，∴p-4=1，得p=5说明注意实系数一元二次方程有两个实根与有两个虚根的区别．一等式成立．若有两个虚根则上述等式不成立．因为｜α-β｜2≠(α-β)2．因此在解题时要重视复数与实数知识点之间的区别与联系，要避免出现混淆与干扰．已知方程2x2+3ax+a2-a=0有模为1的根，求实数a的值．分析已知方程有模为1的根，此根可能是实数，也可能是虚数，故求实数a要注意分域讨论．解(1)若所给方程有实根则△=(3a)2-4×2(a2-a)=a2+8a＞0，即a＜-8或a＞0由条件得根必为1或-1，①将x=1代入原方程可得a2+2a+2=0a无实数解．(2)若所给方程有虚根则△=a2+8＜0，即-8＜a＜0即a2-a-2=0，∴a=-1或a=2(舍)已知方程x2-(2i-1)x+3m-i=0有实数根，求实数m．分析求实数m的范围，若用判别式来判断是错误的，因为此方程的系数是复数．利用求根公式或用韦达定理或选用复数相等，解方程组来求实数m均可以．现仅介绍一种方法．解∵x，m∈R，方程变形可得，(x2+x+3m)-(2x+1)i=0复数例题讲解与分析例1．已知x, y互为共轭复数，且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x, y.[思路1]：确定一个复数即分别确定它的实部、虚部或模与一个辐角，设z=a+bi或三角形式，化虚为实。
《复数的三角表示》考点讲解复习与同步训练
《7.3 复数的三角表示》考点讲解【思维导图】【常见考法】考法一复数的三角表示【例1-1】把下列复数的代数形式化成三角形式.（1）3；（2.【例1-2】．把下列复数的三角形式化成代数形式.（1）4cos isin 33ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）553cos isin 44ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【一隅三反】1．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：（1）12+； （2）1i -.2．将下列各复数的三角形式转化为代数形式：（1）sin )i ππ+； （2）11116cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（3）44cossin 33i ππ⎫+⎪⎭； （4）338cos sin 22i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.3．（将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）：（1）2i ； （2）-2i ；（3）1；（4）.考法二 复数的辅角【例2】复数55sin cos 1818z i ππ=-+的辐角主值为（ ） A ．518π B ．169π C ．29π D ．79π【一隅三反】1.复数11z =，2z 由向量1OZ 绕原点O 逆时针方向旋转3π而得到.则21arg()2z z -的值为（ ）A ．6π B ．3πC ．23π D ．43π2．若复数1z =--（i 为虚数单位），则arg z 为（ ） A ．120︒-B ．120°C ．240°D ．210°3．把复数z 1与z 2对应的向量OA OB ，分别按逆时针方向旋转4π和53π后，重合于向量OM 且模相等，已知21z =-，则复数1z 的代数式和它的辐角主值分别是（ ）A ．，34πB ．3,4πC ．,4πD ．,4π考法三 复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义【例3】计算下列各式：（122cos sincos sin 3333i i ππππ⎫⎫+⨯+⎪⎪⎭⎭；（2）()112cos15sin1522i ︒︒⎛⎫+⨯-+⎪⎝⎭；（3）)552cos sin cos135sin13533i i ππ︒︒⎛⎫⎤+÷+⎪⎦⎝⎭；（4）1cos sin 2233i ππ⎛⎫⎤⎫-÷+ ⎪⎪⎥ ⎪⎭⎦⎝⎭.【一隅三反】 1． cosisin3cos isin 2266ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．32 B ．32 C ．32-+ D ．32-2． ()()9cos3isin33cos2isin 2ππππ+÷+=（ ）A ．3B ．3-CD ．3．()()()1cos30sin 302cos60sin 603cos 45sin 452i i i ︒+︒⨯︒+︒⨯︒+︒=（ ）A ．22i + B ．22-C ．22-+ D ．22-- 4．算下列各式，并作出几何解释：（122cossin cos sin 3333i i ππππ⎫⎫+⨯+⎪⎪⎭⎭（2）()112cos 75sin 7522i i ︒︒⎛⎫+⨯-⎪⎝⎭（3）()334cos300sin300cossin 44i i ππ︒︒⎤⎫+÷+⎪⎥⎭⎦（4）12cos sin 233i ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫-÷+ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭.《7.3 复数的三角表示》考点讲解答案解析考法一 复数的三角表示【例1-1】把下列复数的代数形式化成三角形式.（1）3；（2.【答案】（1）11113cosisin 66ππ+⎫=⎪⎭（2）77cos isin244ππ⎛⎫= ⎝+⎪⎭【解析】（1）r ==因为与3对应的点在第四象限，所以()11arg 36π=，所以11113cos isin 66ππ+⎫=⎪⎭.（2）2r ==.对应的点在第四象限，所以)7arg 4π=，77cosisin 244ππ⎛⎫= ⎝+⎪⎭. 【例1-2】．把下列复数的三角形式化成代数形式. （1）4cosisin33ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （2）553cosisin 44ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）2+（2）i 22-- 【解析】（1）4cosisin4cos 4sin i 3333ππππ⎛⎫⎛⎫+==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭144i 222⎛=⨯+⨯=+ ⎝⎭. （2）55553cos isin3cos 3sin i 33i 44442222ππππ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⨯-+⨯-=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【一隅三反】1．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：（1）12+； （2）1i -.【答案】（1）作图见解析;1cos sin 233i ππ+=+（2）作图见解析;771cos sin44i i ππ⎫-=+⎪⎭【解析】（1）复数122i +对应的向量如图所示，则11,cos 2r θ===.因为与12+对应的点在第一象限，所以1arg 23π⎛⎫+=⎪⎝⎭.于是1cos sin 233i ππ+=+.（2）复数1i -对应的向量如图所示，则2r θ====. 因为与1i -对应的点在第四象限，所以7arg(1)4i π-=.于是771cos sin 44i i ππ⎫-=+⎪⎭.当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角θ不一定取主值.例如cos sin 44i ππ⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦也是1i -的三角形式.2．将下列各复数的三角形式转化为代数形式：（1）sin )i ππ+； （2）11116cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（3）44cossin 33i ππ⎫+⎪⎭； （4）338cos sin 22i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）-（2）3i （3）22--（4）8i -【解析】（1）sin )10)i i ππ+=-+⋅=-（2）111116cos sin 636622i i i ππ⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（3）441cossin 332222i ππ⎫⎫+=--=--⎪⎪⎭⎭. （4）338cossin 8(0)822i i i ππ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭. 3．将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）：（1）2i ； （2）-2i ；（3）1；（4）. 【答案】（1）11114cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）332cos sin 22i ππ⎛⎫+⎪⎝⎭；（3）552cos sin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（4sin )i ππ+【解析】（1）∵4r ==，cos 2θ=，1sin 2θ=-，又[0,2)θπ∈，∴116πθ=，∴111124cos sin 66i i ππ⎛⎫-=+⎪⎝⎭. （2）∵2r，cos 0θ=，sin 1θ=-，又[0,2)θπ∈，∴32πθ=， ∴3322cos sin 22i i ππ⎛⎫-=+⎪⎝⎭.（3）∵2r ==，1cos 2θ=，sin θ= 又[0,2)θπ∈，∴53πθ=，∴5512cos sin 33i ππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭.（4）∵r =cos 1θ=-，sin 0θ=，又[0,2)θπ∈，∴θπ=.∴sin )i ππ=+.考法二 复数的辅角【例2】复数55sin cos 1818z i ππ=-+的辐角主值为（ ） A ．518π B ．169π C ．29π D ．79π 【答案】D 【解析】5577sin cos cos sin 181899z i i ππππ=-+=+,故复数z 的辐角主值为79π.故选：D【一隅三反】1.复数11z =，2z 由向量1OZ 绕原点O 逆时针方向旋转3π而得到.则21arg()2z z -的值为（ ）A ．6π B ．3πC ．23π D ．43π 【答案】C【解析】11z =,1cos 0sin 0z i ∴=+,121(cossin )332Z i O OZ ππ=+=+2111()2222z z --∴=+所以复数在第二象限，设幅角为θ，tan θ= 23πθ∴=故选：C2．若复数1z =--（i 为虚数单位），则arg z 为（ ） A ．120︒- B ．120°C ．240°D ．210°【答案】C【解析】由1z =--，得复数z 对应的点在第三象限，且1cos 2θ=-，所以arg 240z ︒=.故选：C.3．把复数z 1与z 2对应的向量OA OB ，分别按逆时针方向旋转4π和53π后，重合于向量OM且模相等，已知21z =-，则复数1z 的代数式和它的辐角主值分别是（ ）A．，34πB．3,4π C ．22,4i π--D ．22,4i π-+【答案】B【解析】由题可知1255cossincos sin 4433z i z i ππππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()11122222z ⎛⎫⎛⎫+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， )()()1111122i z i i i ---∴====++-， 可知1z 对应的坐标为(，则它的辐角主值为34π.故选：B.考法三 复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义【例3】计算下列各式：（122cos sin cos sin 3333i i ππππ⎫⎫+⨯+⎪⎪⎭⎭；（2）()112cos15sin1522i ︒︒⎛⎫+⨯-+ ⎪⎝⎭； （3）)552cos sin cos135sin13533i i ππ︒︒⎛⎫⎤+÷+⎪⎦⎝⎭；（4）1cos sin 2233i ππ⎛⎫⎤⎫-÷+ ⎪⎪⎥ ⎪⎭⎦⎝⎭.【答案】（1）6-；（2）22i -+；（3）1122i -+；（4）44--【解析】（122cossincos sin 3333i i ππππ⎫⎫+⨯+⎪⎪⎭⎭226cos isin 6(cos sin )63333i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. （2）()112cos15sin1522i i ︒︒⎛⎫+⨯-+ ⎪⎝⎭332cos sin cos sin 1212244i i ππππ⎛⎫⎫=+⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭33cos isin 124124ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦551cos sin6622i i ππ⎛⎫⎫=+=-+ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭22=-+.（3）)552cos sin cos135sin13533i i ππ︒︒⎛⎫⎤+÷+⎪⎦⎝⎭55332cos sincos sin 3344i i ππππ⎤⎛⎫⎫=+÷+ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦5353cos sin3434i ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦1111cos sin1212i ππ⎫=+⎪⎭cos sin 1212i ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭44⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭1122i =-+.（4）1cos sin 2233i ππ⎛⎫⎤⎫-÷+ ⎪⎪⎥ ⎪⎭⎦⎝⎭ 55cos sincos sin 3333i i ππππ⎤⎛⎫⎫=+÷+ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦55cos isin3333ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦44cos sin 233i ππ⎫=+⎪⎝⎭1222⎛⎫=⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭44i =--. 【一隅三反】 1． cosisin3cos isin 2266ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．32 B ．32 C ．32-+ D ．32-【答案】C 【解析】cosisin3cos isin 3cos isin 22662626ππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+==+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2233cos isin3322ππ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭.故选：C 2． ()()9cos3isin33cos2isin 2ππππ+÷+=（ ）A ．3B ．3-CD ．【答案】B【解析】()()9cos3isin33cos2isin 2933ππππ+÷+=-÷=-.故选：B 3．()()()1cos30sin 302cos60sin 603cos 45sin 452i i i ︒+︒⨯︒+︒⨯︒+︒=（ ）A ．22i + B ．22i - C ．22-+ D ．22i -- 【答案】C 【解析】()()1cos30sin 302cos60sin 602i i ︒+︒⨯︒+︒⨯()3cos45sin 45i ︒+︒ ()()123cos 306045sin 3060452i =⨯⨯︒+︒+︒+︒+︒+︒⎡⎤⎣⎦ ()3cos135sin135i =︒+︒322i ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭22=-+. 故选：C.4．计算下列各式，并作出几何解释：（122cossin cos sin 3333i i ππππ⎫⎫+⨯+⎪⎪⎭⎭（2）()112cos 75sin 7522i i ︒︒⎛⎫+⨯-⎪⎝⎭（3）()334cos300sin300cossin 44i i ππ︒︒⎤⎫+÷+⎪⎥⎭⎦（4）12cos sin 233i ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫-÷+ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭.【答案】（1）-4，几何解释见解析 （22i +，几何解释见解析 （3）1)1)i -++-，几何解释见解析 （4）14+，几何解释见解析【解析】（1）原式(cos sin )4(10)4i ππ=+=⨯-+=-.几何解释：设1222cos sin,cos sin 3333z i z i ππππ⎫⎫=+=+⎪⎪⎭⎭，作与12,z z 对应的向量12,OZ OZ ，然后把向量1OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转3π，再将其长度伸长为原来的4,辐角为π的 向量OZ ，则OZ 即为积124z z ⋅=-所对应的向量.（2）原式()2cos 75sin 75222i ︒︒⎫=+⨯-⎪⎪⎝⎭())2cos 75sin 75cos315sin 3152︒︒︒︒=+⨯+)1cos390sin 3902i i ︒︒⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭.几何解释：设())12112cos 75sin 75,cos315sin 31522z i z i ︒︒︒︒=+=-=+， 作与12,z z 对应的向量12,OZ OZ ，然后把向量1OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转315°，再将其长度缩短、辐角为6π 的向量OZ ，则OZ 即为积1222z z ⋅=+所对应的向量.（3）原式55334cossin cos sin 3344i i ππππ⎤⎛⎫⎫=+÷+ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦1111cos sincos sin 12121212i i ππππ⎫⎛⎫=+=-+⎪ ⎪⎭⎝⎭1)1)i ⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭. 几何解释：设()1554cos300sin 3004cos sin 33z i i ππ︒︒⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，233cos sin44z i ππ⎫=+⎪⎭作与12,z z 对应的向量12,OZ OZ ， 然后把向量1OZ 绕原点0按顺时针方向旋转34π，再将其长度，得到一个长度为1112π的向量OZ ，则OZ即为121)1)z i z =-+所对应的向量. （4）原式22cossin 2cos sin 3333i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111cos sin 23322244i i ππ⎛⎫⎛⎫=+=⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.几何解释：设1122cos sin ,2cos sin 223333z i z i ππππ⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭， 作与12,z z 对应的向量12,OZ OZ ，然后把向量1OZ绕原点0按顺时针方向旋转3π，再将其长度缩短为原来的12， 得到一个长度为12，辐角为3π的向量OZ ，则OZ即为1214z z =+所对应的向量.《7.3 复数的三角表示（精练）》同步练习【题组一 复数的三角表示】 1．将复数4cos sin 22i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦化成代数形式，正确的是（ ）A ．4B ．-4C ．4iD ．4i -2．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式： （1）6； （2）1+i ； （3）1； （4）12i ；3．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式. （1）1cos sin 244i ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）1cos sin 233i ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； （3）155sin cos 21212i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （4）77cossin 55i ππ+； （5）2cos sin36i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.4．把下列复数表示成代数形式：（1）cos sin 44i ππ⎫+⎪⎭；（2）11118cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （3）9(cos sin )i ππ+ （4）446cos sin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.5．将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）： （1）22i -； （2）20； （3）33i --.6．将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）： （1）-5i ；（2）-10；（3）1-+；（4i -.7．把下列复数表示成三角形式，并且画出与它们对应的向量： （1）4； （2）i -；（3）2i ；（4）12--.【题组二 复数的辅角】1．下列各角不是复数3i -的辐角的是（ ） A ．6π-B ．116πC ．4πD ．356π2．复数sin 45icos45︒︒-的辐角主值是（ ） A ．45︒ B ．135︒C ．225︒D ．315︒3．复数cossin44z i ππ=+的辐角主值是（ ）A ．34π B ．4π C ．34π-D ．4π-4．复数z =，则arg z =_______ .【题组三 复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义】 1． cos sincos sin 6633i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1B ．-1C ．iD ．i -2． ()()4cos60sin603cos150sin150i i ︒+︒⨯︒+︒=（ ）A ．6iB ．6iC ．6i -D ．6i -3． ()4cos sin 2cos sin33i i ππππ⎛⎫+÷+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1+B ．1C ．1-+D ．1--4．()22cos60isin60÷︒+︒=（ ）A ．122+ B ．122- C ．122i + D ．122i - 5．计算： （1）3cossin3cos sin 3366i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2cossincos sin 2244i i ππππ⎫⎫++⎪⎪⎭⎭； （3）2210cos sin 5cos sin 3333i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（4）3312cos sin 6cos sin 2266i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.6．计算： （1）8cossin2cos sin 6644i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）44552cossin 4cos sin 3366i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3))cos240sin 240cos60sin 602i ︒︒︒︒+⨯+； （4）()()()3cos18sin182cos54sin545cos108sin108i ︒︒︒︒︒︒+⨯+⨯+.7．计算：（1）772212cossin 6cos sin 4433i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（2))cos150sin150cos225sin 225i i ︒︒︒︒⎤+÷+⎦； （3）2cossin44i ππ⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭； （4）()2cos120sin120i i ︒︒⎡⎤-÷+⎣⎦.【题组四 综合运用】1．（多选）任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn nz i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）A ．22z z = B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，12z =D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数2． 1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式ix e cos isin x x =+，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，有下列四个结论：①i πe 10+=；②20191122⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭；③i i 2cos e e x x x -=+；④i i 2sin e e x x x -=-.其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②③B ．②④C ．①②D ．①③3．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数i z e i π=-，则||z =（ ）.A B ．1C D ．4．把复数1z 与2z 对应的向量OA ，OB 分别按逆时针方向旋转4π和53π后，与向量OM重合且模相等，已知21z =-，求复数1z 的代数式和它的辐角主值.5．已知(1,1)OP =，将OP 按逆时针方向旋转3π得到OZ ，则Z 点对应的复数为________.6．若复数z 满足111,arg 23z z z z π--⎛⎫== ⎪⎝⎭，则z 的代数形式是z =_____________. 7.一般的，复数都可以表示为()cos sin z r i θθ=+的形式，这也叫做复数的三角表示，17世纪的法国数学家棣莫弗结合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系：如果()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，那么()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，这也称为棣莫弗定理.结合以上定理计算：cos sin cos sin 2244i i ππππ⎫⎫++=⎪⎪⎭⎭______.（结果表示为a bi +，,a b ∈R 的形式）《7.3 复数的三角表示（精练）》同步练习答案解析【题组一 复数的三角表示】1．将复数4cos sin 22i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦化成代数形式，正确的是（ ）A ．4B ．-4C ．4iD ．4i -【答案】D 【解析】4cos sin 22i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()401i =+-⎡⎤⎣⎦4i =-故选：D.2．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：（1）6； （2）1+i ； （3）1； （4）12i ；【答案】（1）6(cos0sin 0)i +,画向量见解析 （2cossin44i ππ⎫+⎪⎭,画向量见解析 （3）552cossin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,画向量见解析 （4）55cos sin 66i ππ+,画向量见解析 【解析】（1）6对应的向量如答图中1OZ ，6,cos 1,sin 0r θθ===，又[0,2)θπ∈，0,66(cos0sin 0)i θ∴=∴=+.（2）1i +对应的向量如答图中2OZ ，2,cos r θθ===又[0,2),4πθπθ∈∴=1cos sin 44i i ππ⎫∴+=+⎪⎭.（3）1-对应的向量如答图中3OZ112,cos ,sin 2r θθ=+===，又5[0,2),3πθπθ∈∴=，5512cos sin 33i ππ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.（4）12i +对应的向量如答图中4OZ ，11,cos 2r θθ===，又5[0,2),6πθπθ∈∴=，155cos sin2266i i ππ∴-+=+.3．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式. （1）1cos sin 244i ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）1cos sin 233i ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（3）155sin cos 21212i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （4）77cossin 55i ππ+； （5）2cossin36i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【答案】（4）是三角形式；（1）（2）（3）（5）不是三角形式. （1）177cossin 244i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）144cos sin 233i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（3）1cos sin 21212i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（5cos sin 44i ππ⎫+⎪⎭. 【解析】（1）中间是“-“号，不是三角形式.1cos sin 244i ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=177cos sin 244i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （2）括号前面是负数，不是三角形式，1cos sin 233i ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=144cos sin 233i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（3）括号内前面是正弦，后面是余弦，不是三角形式，155sin cos 21212i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1cos sin 21212i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （4）是三角形式．（5）括号内前后两个角不相等，不是三角形式，2cossin36i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos sin 44i ππ⎫+⎪⎭4．把下列复数表示成代数形式：（1）cossin44i ππ⎫+⎪⎭； （2）11118cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（3）9(cos sin )i ππ+ （4）446cossin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）33i +；（2）4i ；（3）9-；（4）3--.【解析】（1）原式33i ⎫=+=+⎪⎪⎝⎭；（2）原式18422i i ⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭；（3）原式9(10)9i =⨯-+=-；（4）原式16322⎛⎫=⨯--=-- ⎪ ⎪⎝⎭.5．将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）： （1）22i -； （2）20； （3）33i --.【答案】（1）77cossin 44i ππ⎫+⎪⎭；（2）20(cos0sin 0)i +；（3）55cos sin 44i ππ⎫+⎪⎭【解析】解：（1）∵r ==cos θ=，sin θ=， 又[0,2)θπ∈，∴74πθ=，∴7722cos sin 44i i ππ⎫-=+⎪⎭；（2）∵20r ==，cos 1θ=，sin 0θ=， 又[0,2)θπ∈，∴0θ=， ∴2020(cos0sin0)i =+；（3）∵r ==cos θ=，sin θ=， 又[0,2)θπ∈，∴54πθ=，∴5533cossin 44i i ππ⎫--=+⎪⎭． 6．将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）： （1）-5i ； （2）-10；（3）1-+；（4i -.【答案】（1）335cos sin 22i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）10(cos sin )ππ+；（3）222cos sin 33i ππ⎛⎫+⎪⎝⎭；（4）11112cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【解析】（1）∵5r ==，cos 0,sin 1θθ==-，又[)0,2θ∈π，∴32πθ=，∴3355cos sin 22i i ππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭；（2）∵10r ==，cos 1θ=-，sin 0θ=， 又[)0,2θ∈π，∴θπ=，∴1010(cos sin )i ππ-=+；（3）∵2r ==，1cos 2θ=-，sin θ=又[)0,2θ∈π，∴23πθ=，∴2212cos sin 33i ππ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭；（4）∵2r ==，cos 2θ=，1sin 2θ=-，又[)0,2θ∈π，∴116πθ=11112cos sin 66i i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．7．把下列复数表示成三角形式，并且画出与它们对应的向量：（1）4； （2）i -；（3）2i ；（4）12--. 【答案】（1）44(cos0sin0)i =+；作图见解析（2）33cossin 22i i ππ-=+；作图见解析（3）24cos sin66i i ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭；作图见解析（4）144cos sin 2233i ππ--=+;作图见解析【解析】（1）44(cos0sin0)i =+；（2）33cossin 22i i ππ-=+；（3）24cos sin 66i i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（4）144cos sin233i ππ--=+.14,2,2i i --分别对应向量1234,,,OZ OZ OZ OZ ，如图所示.【题组二 复数的辅角】1．下列各角不是复数3i -的辐角的是（ ） A ．6π-B ．116πC ．4πD ．356π【答案】C【解析】∵6r ==，cos θ=，1sin 2θ=-，∴辐角主值116πθ=，故可以作为复数3i 的辐角的是1126k ππ+，k ∈Z . ∴当1k =-时，11(2)66πππ+-=-； 当0k =时，1111066ππ+=； 当2k =时，1135466πππ+=； 故选：C ．2．复数sin 45icos45︒︒-的辐角主值是（ ） A ．45︒ B ．135︒C ．225︒D ．315︒【答案】D【解析】∵1r ==，cos θ=，sin 2θ=-， ∴辐角主值315θ︒=， 故选：D ． 3．复数cossin44z i ππ=+的辐角主值是（ ）A ．34π B ．4π C ．34π-D ．4π-【答案】B【解析】由辐角主值的定义，知复数cossin44z i ππ=+的辐角主值是4π.故选：B.4．复数z =arg z =_______ .【答案】2π【解析】z == 2= 413i =+ i = 复数z 在复平面内，对应点的坐标为()0,1，点()0,1在y 轴上，所以arg 2z π=，故答案为：2π.【题组三 复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义】 1． cos sincos sin 6633i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1 B ．-1C ．iD ．i -【答案】C【解析】cos sin cos sin 6633i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 6363i ππππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cossin22i ππ=+i =故选：C.2． ()()4cos60sin603cos150sin150i i ︒+︒⨯︒+︒=（ ）A ．6iB ．6iC ．6i -D ．6i --【答案】D【解析】()()4cos60sin603cos150sin150i i ︒+︒⨯︒+︒()()12cos 60150sin 60150i =︒+︒+︒+︒⎡⎤⎣⎦()12cos210sin 210i =︒+︒1122i ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭6i =-故选：D.3． ()4cos sin 2cos sin33i i ππππ⎛⎫+÷+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13i + B ．13i -C ．13i -+D ．13i --【答案】C【解析】4(cos sin )2cos sin 33i i ππππ⎛⎫+÷+ ⎪⎝⎭2cos sin 33i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222cos sin 33i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1=-+故选：C.4． ()22cos60isin60÷︒+︒=（ ）A ．12+ B ．122- C ．122i + D 12i 【答案】B【解析】()()22cos60sin602cos0sin0i i ÷︒+︒=︒+︒÷()2cos60sin60i ︒+︒()()cos 060sin 060i =︒-︒+︒-︒()()1sin 60cos 6022i i =-=︒-+-︒. 故选：B. 5．计算： （1）3cossin3cos sin 3366i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2cossincos sin 2244i i ππππ⎫⎫++⎪⎪⎭⎭；（3）2210cossin 5cos sin 3333i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（4）3312cossin 6cos sin 2266i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.【答案】（1）9i ； （2）； （3）1+； （4）1--.【解析】（1）原式33cos sin 9cos sin 9363622i i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）原式cos sin 2424i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦33cos sin4422i i ππ⎫⎫=+=-+⎪⎪⎪⎭⎭=；（3）原式1022cos sin 2cos sin 5333333i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1212⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭；（4）原式1233cos sin 62626i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦4412cos sin213322i ππ⎛⎫⎛⎫=+=⨯--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 6．计算： （1）8cossin2cos sin 6644i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）44552cossin 4cos sin 3366i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3))cos240sin 240cos60sin 60i ︒︒︒︒++； （4）()()()3cos18sin182cos54sin545cos108sin108i ︒︒︒︒︒︒+⨯+⨯+.【答案】（1）i +（2）4i （3（4）30- 【解析】（1）8cossin2cos sin 6644i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5582cos sin 16cos sin 64641212i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦16i ⎫==+⎪⎪⎝⎭； （2）44552cossin 4cos sin 3366i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4545131324cos sin 8cos sin 363666i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦18422i i ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；（3))cos240sin 240cos60sin 602i i ︒︒︒︒+⨯+()())cos 24060sin 24060cos300sin 30022i i ︒︒︒︒︒︒⎡⎤=+++=+⎣⎦12⎫=-=⎪⎝⎭； （4）()()()3cos18sin182cos54sin545cos108sin108i i i ︒︒︒︒︒︒+⨯+⨯+()()()32cos 1854sin 18545cos108sin108i i ︒︒︒︒︒︒⎡⎤=⨯+++⨯+⎣⎦()()6cos72sin725cos108sin108i i ︒︒︒︒=+⨯+()()()65cos 72108 sin 7210830cos180 sin 180i i ︒︒︒︒︒︒⎡⎤=⨯+++=+⎣⎦30(10)30i =-+⋅=-.另解（4）题还可以这样解：原式()()325cos 1854108sin 1854108i ︒︒︒︒︒︒⎡⎤=⨯⨯+++++⎣⎦()30cos180sin180i ︒︒=+30(10)i =-+⋅30=-.7．计算： （1）772212cossin 6cos sin 4433i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（2))cos150sin150cos225sin 225i i ︒︒︒︒⎤+÷+⎦； （3）2cos sin 44i ππ⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭；（4）()2cos120sin120i i ︒︒⎡⎤-÷+⎣⎦.【答案】（1）22--（2）3344-+-34）144i -+【解析】（1）772212cossin 6cos sin 4433i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦72722cos sin 4343i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦13132cos sin2cos sin 12121212i i ππππ⎛⎫⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24422i ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭；（2))cos150sin150cos 225sin 225i i ︒︒︒︒⎤+÷+⎦()()cos 150225sin 150225i ︒︒︒︒⎤=-+-⎦)cos75sin 75i ︒︒⎫=-=-=⎪⎭；（3）2cossin44i ππ⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭2(cos 0sin 0)cos sin 44i i ππ⎛⎫=+÷+ ⎪⎝⎭2cos 0sin 044i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2cos sin 24422i ππ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）()2cos120sin120i i ︒︒⎡⎤-÷+⎣⎦3322cos sin2cos sin 2233i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦13232155cos sin cos sin 22323266i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111224i i ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. 另解第（3）题还可以这样解：原式222⎛⎫=÷+⎪⎝⎭222⎛⎫- ⎪=⎝⎭⎝⎭=.第（4）题还可以这样解：原式12222i ⎡⎤⎛⎫=-÷⨯-+⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=14i =+. 【题组四 综合运用】1．（多选）任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn nz i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）A ．22z z = B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，122z =- D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数【答案】AC【解析】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z ri θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确；对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cossin332z i ππ=+=，则12z =，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cossin 44nnn n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+， 取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误. 故选：AC.2． 1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式ix e cos isin x x =+，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，有下列四个结论：①i πe 10+=；②20191122⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭；③i i 2cos e e x x x -=+；④i i 2sin e e x x x -=-.其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②③B ．②④C ．①②D ．①③【答案】A【解析】因为i πcos in 1e s i ππ=+=-，故i πe 10+=，故①正确.()()i -i cos sin ,cos sin e e cos sin x x x i x x i x x i x =+=-+-=-，所以i i e e 2cos x x x -+=，i i e e 2sin x x i x --=，故③正确，④错误.而201920191cos isin 2233ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2019i 673i 3e e cos 673isin 6731ππππ⎛⎫===+=- ⎪⎝⎭.故②正确， 故选：A ．3．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数i z e i π=-，则||z =（ ）.A B ．1C D ．【答案】C【解析】由题意得，cos sin 1i z e i i i i πππ=-=+-=--，所以||z ==故选：C4．把复数1z 与2z 对应的向量OA ，OB 分别按逆时针方向旋转4π和53π后，与向量OM重合且模相等，已知21z =-，求复数1z 的代数式和它的辐角主值.【答案】+,34π【解析】由复数乘法的几何意义得1255cos sin cos sin 4433z i z i ππππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,又24412cos sin 33z i ππ⎛⎫=--=+⎪⎝⎭144552cos sin cos sin 3333cos sin44i i z i ππππππ⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+2cos 3sin 344i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=1z 的辐角主值为34π 5．已知(1,1)OP =，将OP 按逆时针方向旋转3π得到OZ ，则Z 点对应的复数为________.【解析】由题意得，P 点对应的复数为1i +， 由复数乘法的几何意义得：11(1)cos sin 3322z i i ππ-+⎛⎫=+⋅+=+ ⎪⎝⎭，.+. 6．若复数z 满足111,arg 23z z z z π--⎛⎫== ⎪⎝⎭，则z 的代数形式是z =_____________.【答案】13+【解析】设01z z z -=，则001,arg 23z z π==，∴011cos sin 23344z ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭=，∴1144z z -=+，解得13z i =+.故答案为：1. 7.一般的，复数都可以表示为()cos sin z r i θθ=+的形式，这也叫做复数的三角表示，17世纪的法国数学家棣莫弗结合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系：如果()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，那么()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，这也称为棣莫弗定理.结合以上定理计算：cos sin cos sin 2244i i ππππ⎫⎫++=⎪⎪⎭⎭______.（结果表示为a bi +，,a b ∈R 的形式）【答案】+cossincos sin 2244i i ππππ⎫⎫++=⎪⎪⎭⎭33cos sin cos sin 242444i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎫+++=+ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎭⎣⎦22i ⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：+．。
第5课时 复数的三角形式习题课
复数乘方法则： ③ 复数乘方法则： [r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ) (n∈N, n≥2) θ θ θ θ ∈ ≥ 复数开方法则： ④复数开方法则： z=r(cosθ θ的 复数 z=r(cosθ+isinθ)的 n 次方根为
n
r (cos
θ + 2kπ θ + 2kπ ) (k = 0,1,2L , n − 1) + i sin n n
[r1 (cos θ 1 + i sin θ 1 )] ÷ [r2 (cos θ 2 + i sin θ 2 )] = r1 [cos(θ 1 − θ 2 ) + i sin( θ 1 − θ 2 )) (r2 ≠ 0) r2
复数乘除法的几何意义就是向量的旋转和伸缩变换 复数乘除法的几何意义就是向量的旋转和伸缩变换.
π 2
例题： 例题： 例 4 ． 复 数 z1 与 2+4i 的 积 是 2-16i ， 复 数 z2 满 足
z 1 ⋅ z 2 − ( 7 − 16i ) = −1 .如果复数 z1 的辐角主值是α，z2 的辐角 如果复数 的辐角主值是α i
主值是β 主值是β，求α+β的值 β的值. 分析与解答： 分析与解答： β 的一个辐角； ①α+β是 z1·z2 的一个辐角； 并由此确定α 的范围； ②必须先求出 z1 和 z2，并由此确定α、β的范围；
分析与解答： 分析与解答： 根据题意我们不妨画出草图，以便分析. 根据题意我们不妨画出草图，以便分析 根据平面几何的知识， 根据平面几何的知识，我们知道正方形的一条对角线 将正方形分成两个全等的等腰直角三角形，而且斜边是直 将正方形分成两个全等的等腰直角三角形， 角边的 2 倍.
复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
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第七章 复数
20
＝
2
cos
152π＋isin 152π
×
22cos 74π＋isin 74π
＝
2
×
2 2
cos
152π＋47π＋isin
152π＋74π
＝cos
26 12
π＋isin
26 12
π
＝cos
π 6
＋isin
π 6
＝
3 2
＋12
i.
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第七章 复数
21
π4＋isin
π 4
，z2＝12
cos
π6＋
isin
π 6
，则 z1z2 的辐
角的主值为( )
A．1π2
B．π6
C．π4
√D．51π2
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第七章 复数
34
解析：因为 z1z2＝4cos
π4＋isin
π
4
×12
cos
π6＋isin
π
6
＝2cos
π4＋π6＋isin
π4＋π6
＝_r1_r_2[_c_o_s_(θ_1_＋__θ_2_)＋__i_si_n_(_θ_1＋__θ_2_)]
＝_zzrr1212__＝[_c_orr_s12（ （_(θ_1cc_－oo_ss_θ_θθ2_12)＋ ＋＋__iii_sss_iiinnn_(_θθθ_121） ）_－__θ_2_)]
两个复数相除，商的模等于
3 2
cos
π6＋isin
π 6
×
2cos
π3＋isin
【2019秋人教必修2】7.37.3.17.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
17.3* 复数的三角表示 7.3.1 复数的三角表示式7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义课标要求素养要求通过复数的几何意义，了解复数的三角表示；了解复数的代数表示与三角表示之间的关系；了解复数乘除运算的三角表示及其几何意义.通过了解复数的三角表示及复数乘、除的几何意义，体会数学抽象及数学运算素养.教材知识探究前面已经学习过了复数的两种表示.一是代数表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )；二是几何表示，复数z 既可以用复平面上的点Z (a ，b )表示，也可以用复平面上的向量OZ→来表示.现在需要学习复数的三角表示，即用复数z 的模和辐角来表示复数. 问题 复数的三角形式在复数的运算中有怎样的作用？提示复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好由复数的代数形式向三角形式的转化是非常有必要的.1.复数的三角形式一般地，任何一个复数z＝a＋b i都可以表示成r(cos__θ＋isin__θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ→所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋b i的辐角，r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋b i的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a＋b i叫做复数的代数表示式，简称代数形式.2.辐角主值规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg__z.3.复数三角形式的乘法两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)].4.复数三角形式的除法23两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.r 1（cos θ1＋isin θ1）r 2（cos θ2＋isin θ2）＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)].教材拓展补遗[微判断]1.任何一个不为零的复数的辐角有无限多个.(√)2.复数0的辐角是任意的.(√)3.复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式可以转化为代数形式.(√)[微训练]1.复数1＋i 的辐角主值为( )A.π6B.π3C.π4D.π2解析 因为复数1＋i 对应的点在第一象限，所以arg(1＋i)＝π4.答案 C2.将复数i对应的向量ON→绕原点按逆时针方向旋转π3，得到向量OM→，则OM→对应的复数是( )A.32＋12i B.－32＋12iC.－32－12i D.32－12i解析i＝cos π2＋isinπ2，将ON→绕原点按逆时针方向旋转π3得到OM→＝cos 5π6＋isin 5π6＝－32＋12i.答案 B3.若z＝cos 30°＋isin 30°，则arg z2＝( )A.30°B.60°C.90°D.120°解析因为z＝cos 30°＋isin 30°，则z2＝(cos 30°＋isin 30°)2＝(cos 30°＋isin 30°)×(cos 30°＋isin 30°)＝cos 60°＋isin 60°，故arg z2＝60°.答案 B4[微思考]1.复数的辐角有怎样的特征？提示任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍，复数0因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.2.你能根据复数的三角形式来解释i2＝－1的几何意义吗？提示i本身可以用坐标平面上y轴的点(0，1)表示.而i2＝i×i表示把y轴上的点(0，1)绕原点逆时针转90度，就变为x轴上的点(－1，0).题型一复数的代数形式化为三角形式【例1】将下列复数代数式化成三角形式：(1)3＋i；(2)1－i.解(1)r＝（3）2＋12＝2，所以cos θ＝3 2，对应的点在第一象限，所以arg(3＋i)＝π6，56所以3＋i ＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos π6＋isin π6.(2)r ＝12＋（－1）2＝2，所以cos θ＝22，对应的点在第四象限，所以arg(1－i)＝7π4，所以1－i ＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos 7π4＋isin 7π4.规律方法 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤：(1)先求复数的模；(2)决定辐角所在的象限；(3)根据象限求出辐角；(4)求出复数的三角形式.【训练1】 复数z ＝3－i 的三角形式为( )A.2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos 2π3＋isin 2π3B.2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos 5π3－isin 5π3C.2⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos 7π6－isin 7π6D.2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos 11π6＋isin 11π6 解析 因为r ＝2，所以cos θ＝32，与z ＝3－i 对应的点在第四象限，所以7arg(3－i)＝11π6，所以z ＝3－i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos 11π6＋isin 11π6. 答案 D题型二 复数的三角形式化为代数形式【例2】 复数z ＝3⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin 2π3＋icos 2π3化为代数形式为( )A.32＋32i B.－32＋32iC.－32－32iD.32－32i 解析 z ＝3⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin 2π3＋icos 2π3＝3sin 2π3＋3icos 2π3＝3×32＋i3×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12 ＝32－32i. 答案 D8规律方法 将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数三角形式z ＝r (cos A ＋isin A )，代数形式为z ＝x ＋y i ，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x ＝r cos A ，y ＝r sin A .【训练2】 将复数z ＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π4化为代数形式为________. 解析 z ＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos π4－isin π4＝2×cos π4－i2×sin π4＝1－i.答案 1－i题型三 复数三角形式的乘法运算【例3】 计算：(1)2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos 2π3＋isin 2π3×3⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos 5π6＋isin 5π6；(2)2(cos 5°＋isin 5°)×4(cos 30°＋isin 30°)×12(cos 25°＋isin 25°).解 (1)2⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos 2π3＋isin 2π3×3⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos 5π6＋isin 5π6＝23⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos 3π2＋isin 3π29＝－23i.(2)2(cos 5°＋isin 5°)×4(cos 30°＋isin 30°)×12(cos 25°＋isin 25°)＝8(cos 35°＋isin 35°)×12(cos 25°＋isin 25°)＝4(cos 60°＋isin 60°)＝2＋23i.规律方法 直接利用复数三角形式的乘法运算法则进行运算，即两个复数相乘，所得的结果是模相乘，辐角相加.【训练3】 计算：(3＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝________.解析 法一 (3＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝2(cos 30°＋isin 30°)(cos 60°＋isin 60°)＝2(cos 90°＋isin 90°)＝2i.法二 (3＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝⎝⎛⎭⎫3＋i ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋32i ＝32＋32i ＋12i －32＝2i.10答案 2i题型四 复数三角形式的除法运算【例4】 (1)设π<θ<5π4，则复数cos 2θ＋isin 2θcos θ－isin θ的辐角主值为( )A.2π－3θB.3θ－2πC.3θD.3θ－π解析 cos 2θ＋isin 2θcos θ－isin θ＝cos 2θ＋isin 2θcos （－θ）＋isin （－θ）＝cos 3θ＋isin 3θ，∵π<θ<5π4，∴3π<3θ<15π4，∴π<3θ－2π<7π4，故本题应选B.答案 B(2)计算：8⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos 7π6＋isin 7π6÷⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos π3＋isin π3.解 8⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos 7π6＋isin 7π6÷⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos π3＋isin π311＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos 5π6＋isin 5π6＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32＋12i＝－3＋i.规律方法 直接利用复数三角形式的除法运算法则进行运算，即两个复数相除，所得的结果是模相除，辐角相减.【训练4】 计算：2i÷⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12（cos 30°＋isin 30°）.解 2i÷⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12（cos 30°＋isin 30°）＝2(cos 90°＋isin 90°)÷⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12（cos 30°＋isin 30°）＝4(cos 60°＋isin 60°)＝2＋23i.一、素养落地1.通过了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，体会数学抽象素养.通过了解复数乘除运算的三角表示及其几何意义体会数学运算素养.122.代数形式与三角形式的互化：3.复数三角形式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数z 的一个辐角，不一定是辐角主值.二、素养训练1.将复数i 对应的向量ON →绕原点按顺时针方向旋转π3，得到向量OM →，则OM→对应的复数是( )A.32＋12i B.－32＋12i C.－32－12i D.32－12i解析 i ＝cos π2＋isin π2，将OM →绕原点按顺时针方向旋转π3得到OM →＝cos π6＋isin π6＝32＋12i.答案 A132.将复数z ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin π3＋icos π3化为代数形式为________.解析 z ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin π3＋icos π3＝8×32＋8×12i ＝43＋4i.答案 43＋4i3.arg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12－32i ＝________.解析 复数z ＝－12－32i 对应的点位于第三象限，且cos θ＝－12，所以arg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12－32i ＝4π3.答案 4π34.计算(cos π＋isin π)÷⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos π3＋isin π3＝________.解析 (cos π＋isin π)÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos π3＋isin π3＝cos 2π3＋isin 2π3＝－12＋32i.答案 －12＋32i14基础达标一、选择题1.复数z 1＝1，z 2由z 1绕原点O 逆时针方向旋转π6而得到，则arg(z 2z 1)的值为( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析 由题可知z 1＝1＝cos 0＋isin 0，z 2＝cos π6＋isin π6，所以z 2z 1＝cos π6＋isin π6，所以arg(z 2z 1)＝π6.答案 B2.复数－12＋32i 的三角形式是( )A.cos 60°＋isin 60°B.－cos 60°＋isin 60°C.cos 120°＋isin 60°D.cos 120°＋isin 120°15解析 令z ＝－12＋32i ＝a ＋b i ，则r ＝|z |＝1，a ＝－12，b ＝32，⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝a r ＝－12，sin θ＝b r ＝32.∴可取θ＝120°. ∴z ＝cos 120°＋isin 120°＝－12＋32i.答案 D3.设A ，B ，C 是△ABC 的内角，z ＝(cos A ＋isin A )÷(cos B ＋isin B )·(cos C ＋isinC )是一个实数，则△ABC 是( ) A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.形状不能确定解析 arg z ＝A －B ＋C ＝π－2B ＝0，则B ＝π2.答案 C164.复数cos π3＋isin π3经过n 次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n 的值等于( )A.3B.12C.6k －1(k ∈Z )D.6k ＋1(k ∈Z )解析 由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos π3＋isin π3n ＝cos n π3＋isin n π3＝cos π3－isin π3，由复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧cos n π3＝cos π3＝12，sin n π3＝－sin π3＝－32.解得n π3＝2k π－π3(k ∈Z )，∴n ＝6k －1.答案 C5.复数z ＝cosπ15＋isin π15是方程x 5＋α＝0的一个根，那么α的值为( ) A.32＋12iB.12＋32i C.－32－12iD.－12－32i17解析 因为z ＝cosπ15＋isin π15是方程x 5＋α＝0的一个根， 所以α＝－x 5＝－⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos π15＋isin π155＝－cos π3－isin π3＝－12－32i.答案 D二、填空题6.设z ＝1＋i ，则复数z 2－3z ＋6z ＋1的三角形式是________.解析 将z ＝1＋i 代入z 2－3z ＋6z ＋1，得原式＝（1＋i ）2－3（1＋i ）＋61＋i ＋1＝3－i2＋i＝1－i＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos 7π4＋isin 7π4.答案2⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos 7π4＋isin 7π4187.3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos 512π＋isin 512π·6⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos 56π＋isin 56π＝______.解析3⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos 512π＋isin 512π·6⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos 56π＋isin 56π＝32⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos 5π4＋isin 54π＝32⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22－22i＝－3－3i.答案 －3－3i8.设(1＋i)z ＝i ，则复数z 的三角形式为________. 解析 ∵(1＋i)z ＝i ，∴z ＝i1＋i ＝i （1－i ）2＝12(1＋i)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos π4＋isin π4. 答案22⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos π4＋isin π4 三、解答题9.写出下列复数的三角形式：19(1)a i(a ∈R )；(2)tan θ＋i ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2<θ<π；(3)－3(sin θ－icos θ).解(1)a i ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos π2＋isin π2（a ≥0）－a ⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos 32π＋isin 32π（a <0）(2)tan θ＋i ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2<θ<π＝－1cos θ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32π－θ＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32π－θ (3)－3(sin θ－icos θ)＝3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋θ＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋θ 10.求证：(1)[r (cos θ＋isin θ)]2＝r 2(cos 2θ＋isin 2θ)； (2)[r (cos θ＋isin θ)]3＝r 3(cos 3θ＋isin 3θ). 证明 (1)[r (cos θ＋isin θ)]2＝r 2(cos θ＋isin θ)2 ＝r 2(cos 2 θ－sin 2θ＋2icos θsin θ)20＝r 2(cos 2θ＋isin 2θ)，所以待证式成立.(2)[r (cos θ＋isin θ)]3＝[r (cos θ＋isin θ)]2· [r (cos θ＋isin θ)]＝r 2(cos 2θ＋isin 2θ)·r (cos θ＋isin θ)＝r 3[cos(2θ＋θ)＋isin(2θ＋θ)]＝r 3(cos 3θ＋isin 3θ)，所以待证式成立.能力提升11.若复数⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋i 1－i n 为实数，则正整数n 的最小值是( ) A.1B.2C.3D.4解析 因为1＋i 1－i ＝2i 2＝i ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋i 1－i n ＝i n 为实数，所以n 的最小值为2. 答案 B12.设z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，z 3＝sinπ12＋icos π12，求z 1·z 32i 9·z－3的值.21解 ∵z 1＝3＋i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos π6＋isin π6，z 2＝1－i ＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos 7π4＋isin 7π4，∴待求式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos π6＋isin π6·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos 7π4＋isin 7π43i 8·i·⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin π12－icos π12＝42⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos π6＋isin π6⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos21π4＋isin 21π4cos π12＋isinπ12＝42⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋21π4－π12＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋21π4－π12 ＝42⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π＋π3＋isin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫5π＋π3＝－22－26i.创新猜想13.(多填题)复数2＋2i 的辐角主值为________，化为三角形式为________.22解析 因为复数2＋2i 对应的点在第一象限，所以arg(2＋2i)＝π4，所以对应的三角形式为22⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos π4＋isin π4.答案π422⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos π4＋isin π414.(多填题)计算：z ＝2÷⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos π6＋isin π6＝______，则|z |＝________. 解析 2÷⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos π6＋isin π6＝2(cos 0＋isin 0)÷⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos π6＋isin π6 ＝4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π6＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π6＝23－2i ，则|z |＝|23－2i|＝（23）2＋（－2）2＝16＝4.答案 23－2i 4。
复数乘除运算的三角表示式及其几何意义高一数学系列
.
7．设复数 z 满足 z－3z 的辐角的主值为5π4 ，z＋1 的模为 10 ， 求复数 z.
解：设 z＝x＋yi(x，y∈R).
由|z＋1|＝ 10 ，得|(x＋1)＋yi|＝ 10 ，
所以 (x＋1)2＋y2＝10.
又 z－3z＝(x＋yi)－3(x－yi)＝－2x＋4yi，
由 arg(z－3z)＝5π4
[cos(1
2
)
i
sin(1
2 )]
r1 (cos 1
i sin1)，
所以根据复数除法的定义，有
r1 (cos 1 r2 (cos2
i sin1) i sin2 )
r1 r2
[cos(1
2)
i sin(1
2 )]
这就是说，两个复数相除, 商的模等于被除数模除以除数的模所得的 商, 商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
r
r
0 arg z 2
复数的三角形式和代数形式可以根据需要进行互化.
复数的代数形式的乘除运算法则
(1) (a bi)(c di)
(2) (a bi) (c di)
ac adi bci bd (ac bd) (ad bc)i
a bi (a bi) (c di) c di (c di) (c di)
学习目标
1.了解复数乘、除运算的三角表示（重点） 2.了解复数乘、除运算的几何意义 3.会利用复数三角形式进行复数乘、除运算 （重点、难点）
复数的两种形式
代数形式
三角形式
z a bi
z =r cos i sin
实部 a 虚部 b
辐角
联系
辐角主值
r a2 b2 ,cos a ,sin b
复数的三角形式-乘法及其几何意义练习版
复数的三角形式乘法及其几何意义1、复数的三角形式及运算(1) 复数的幅角：设复数Z=a+ bi对应向量--，以x轴的正半轴为始边，向量「丄所在的射线(起点为O) 为终边的角B,叫做复数Z的辐角，记作ArgZ,其中适合O WB <2的辐角B的值，叫做辐角的主值，记作argZ.说明：不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2n的整数倍.r =JQ + Z'l 0? cos^ =—-(2) 复数的三角形式：r(cos # isin 叫做复数Z=a+ bi的三角形式，其中尸尸说明：任何一个复数Z=a + bi均可表示成r(cos俨isin 的形式.其中r为Z的模，B为Z的一个辐角.⑶复数的三角形式的运算：设Z=r(cos 弘isin Q )Z i=r i(cos 1+ isin 1), Z2=r2(cos 2+ isin 2).贝y①^袪；=代［遊〔耳+煜)十,十色)］②^注；勺=2心啲-直)-诙口倒-佥)］爲!就)%吃③®方：g"=严(阿劇十订in腮)④方：極~ =治［as日+ 2" +/ sdn日+Jfc = 0,1,2, L)2、复数的几何意义(1)复数模的几何意义：〔7'，，即Z点到原点O的距离,即Z1点到Z2点的距离.(2)复数加、减法的几何意义图中给出的平方四边形，可以直观地反映出复数加、减法的几何意义.般地|Z1—Z2I °|也再把它的模变为原来的 r i 倍，所得向量 J 即表示积ZZ 1,如图，Z 1工叶 的几何意义是把Z 的对应向量 按顺时针方向旋转一个角 班如果av0，就要把 丄；按逆时针方向旋转一个角| q,再把它的模变为原来的倍, 所得的向量即表示商'：1 .概念：1、复数的三角形式：设|z|=r (r > 0),辐角主值：argz=, 那么复数z=2、复数三角形式的几点要求：⑴ _____________ ⑵ ____________ ⑶ ___________3、回顾练习： ⑴下列那一个是复数的三角形式：-3=、复数的三角形式的乘法运算:),Z 2=r 2(cos +isin ) , r 1 > 0,r 2> 0那E 么：Z 1 • Z 2= ______________________________________此定理用语言叙述为： _________________________________________________【例题1】1、求下列复数的积：① .2 (cos —+isin —) ? . 3 (cos —+isin —) 12 12 6 6② 3(cos75 o+isin75 o) ? , 3 (cos15 o+isin15 o)③ (cos3A+is in 3A) ? (cos2A-isi n2A)定理的推广：设 Z n = r n (COS n +isinn ),其中r n > 0 于是： Z 1Z 2Z 3…Z n = r 1「2r 3 …r n [cos( 1+ 2+ 3+…+ n ) + isin( 1+ 2+ 3 +…+ n )](当 1= 2= 3=・・・= n 时 z 「=cosna+isinna )1、将下列乘积的结果直接写出： (如果没有特别声明，计算结果一般保留代数形式 )⑴ 8(cos —+is in —) ?2 (cos —+is in —)= _____________6 6 12 12⑵ 8(cos240 o+isin240 o) ?2 (cos150 o-isin150 o)= ___________⑶ 3(cos18 o+isin18 o) ?2 (cos54 o+isin54 o) ?5 (cos108 o+isin 108 o)= _______________⑷ |3(cos — -isin —)？ (1+i) ? . 2 (sin22 o+icos22 o)|=12 12二、复数乘法的几何意义：⑴两个复数Z 1、Z 2相乘时，可以先画出分别与 Z 1、Z 2对应的向量OZ 1、OZ 2，然后把向量OZ 2按逆时针方向旋转 1 ( 1<0如何？)再把模变为原来的r 1倍，所得的向量 OZ 就表示积 乙Z 2.1 (A) (cos _-isin _) (B)-23 3 ⑵把下列复数化为三角形式：1(cos 2 +isin -) (C) 1(sin 4 4 2 —+icos — ) (D)cos — +isin - 5 51、定理：设 Z 1=r 1(cos +isin*特征：旋转+伸缩变换⑵向量的旋转与伸缩可以转化为两个复数的乘积【例题2】试说明下列乘法运算可以看成对应向量的如何变化:⑴ 8(cos —+isin — )?2 (cos —+isin —):6 6 12 12⑵ 8(cos240 o+isin240 o) ?2 (cos210 o-isin210 o): ⑶ 3(cos18 o+isin 18 o) ?2 (cos54 o+isin54 o)A2、(2000全国)把复数3-3i 对应向量按顺时针方向旋转 -，所得向量对应复数为 3 (A)2 .. 3 (B) -23 i (C) .. 3 -3i (D) 3+ . 3 i 3、Z A =1,Z B =3+2i,并且ABCD 是按逆时针方向排列的正方形的四 个顶点，求Z C 与Z D .【反馈练习2】如果向量OZ 对应复数4i ，OZ 逆时针旋转45。
复数三角式练习题
复数的三角形式复数的三角形式的概念()cos sin z r i θθ=+叫做复数()z a b i a b =+∈R 、的三角形式，其中r z =，始边为x 轴正半轴，终边为OZ的角叫做复数z a bi =+的辐角，记为Arg z ．复数z a bi =+在[]0,2π中的辐角叫做复数z 的辐角主值，记为arg z ．复数的三角形式的运算1．已知复数()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+ ()12,0r r ≥，则()()()()12111222121212cos sin cos sin cos sin z z r i r i r r i θθθθθθθθ=+⋅+=+++⎡⎤⎣⎦，积两个复数相乘，积的模等于复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．2．已知复数()1111c o s s i n z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+ ()12,0r r ≥，则()()()()11111121222222cos sin cos sin cos sin r i z r i z r i r θθθθθθθθ+==-+-⎡⎤⎣⎦+．即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的的辐角的差．3．设()111cos sin r i θθ+对应的向量为1OZ，由()()()()111222121212cos sin cos sin cos sin r i r i r r i θθθθθθθθ+⋅+=+++⎡⎤⎣⎦可知，把1OZ 绕点O 逆时针旋转角2θ（当20θ<，实际上是顺时针旋转角2θ-）；再把1OZ的模换成21r OZ ⋅，即得积()()111222cos sin cos sin r i r i θθθθ+⋅+对应的向量OZ ．设()111cos sin r i θθ+对应的向量为1OZ，由复数三角形式的除法法则()()()()111112122222cos sin cos sin cos sin r i r i r i r θθθθθθθθ+=-+-⎡⎤⎣⎦+()20r ≠知，把1OZ 绕点O顺时针旋转角2θ（当20θ<，实际上是逆时针旋转角2θ-）；再把1OZ 的模换成121OZ r，即得商()()111222cos sin cos sin r i r i θθθθ++对应的向量．4．()()()cos sin cos sin nn r i r n i n n θθθθ+=+∈⎡⎤⎣⎦*N ，即复数的()n n ∈*N 次幂的模等于这个复数的模的n 次幂，它的辐角等于这个复数辐角的n 倍． 5．复数的开方复数()cos sin z r i θθ=+的n 次方根是22cossin k k k z i n nπθπθ++⎫=+⎪⎭，其中0,1,2,,1k n =-复数n 次方根的几何意义若nx b =，则称x 为复数b 的n 次方根．这些根是复平面内的n 个点，这些点均匀地分布在由复数的开方公式，可求得1nx =（n 为自然数，且2n ≥）的n 个根为()22cos sin 0,1,2,,1k k k i k n n n ππε⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭ ，它们都是1的n 次方根，称为n 次单位根．由复数的乘方公式，有122cos sin kkk i n n ππεε⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，于是，全部n 次单位根可以表示为211111,,,,n εεε- ．性质1 全部n 次单位根之和为0，即()21111102n n εεε-++++=≥ ．性质 2 两个单位根j ε，k ε的乘积仍是一个单位根，且j k j k εεε+=，当j k n +≥时，j k l εε+=，这里l 是j k +除以n 的余数．练习1. 复数1-的三角形式是_____________________．2. 把17173cossin 99i ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭为三角形式，得_____________________．3. 把复数⎪⎭⎫⎝⎛≤<+-=20sin cos 1πθθθi z 化为三角式，并求出它的模和辐角主值． 4. 已知复数11z =，复数2z 是由1z 的对应点绕原点按逆时针方向旋转02πθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭而得到，则()21arg z z -的值为_____________________． 5. 设复数z 满足42ππθ<<，则复数21z -位于第________象限． 6. 设πθπ<<2，则复数(1)(cos sin )z i i θθ=+-的辐角主值是______________．7. 已知复数i a ai a z --+=26的辐角主值是45π，则实数a 的值是_______________．8. 复数3)170cos 170(sin ︒-︒=i z 的三角形式是______________________．9. 复数()4z i =的辐角主值为_____________________．10. 求整数m ，n 的充要条件，使得)()1mnii =+成立．11. 已知集合{}11≤-=z z M ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=12arg πz z N ，则M N 在复平面内所表示的图形面积是____________________．12. 若复数z 满足1=z ，则)2arg(i z -的取值范围是____________________． 13. 已知复数z ，且6)3arg(π=+z ，则z 的最小值是____________________．14. 方程44)1()(i i x +=+的解是____________________．15. 在复数范围内解方程：)432i x i =．16. 已知ω是方程510x -=的一个虚根，则()()211ωωω++=_______________．17. 若121z=，则213z z z +++= ________________．18. 设()7f x x =，()23246111x x x g x x x x=+++++，已知复数a 适合()1f a =，求()g a 的值．19. 已知方程6310x x ++=，求证：在复平面上连结1与以方程根为顶点的多边形各顶点的所有线段之积等于3．20. 设复数3cos 2sin z i θθ=+．求函数arg r z θ=-的最大值以及对应的θ值． 21. 在复平面上，定点()2,0A ，动点B 对应的复数B z 满足1B z =．以AB 为一边作正方形ABCD （按顺时针方向排列）．求顶点C 和D 的轨迹方程． 22. 若()100021x x ++的展开式为220000122000a a x a x a x ++++ ，求0369a a a a a +++++ 的值．。
2021_2022学年新教材高中数学第7章复数7.3.2复数乘除运算的三角表示及其几何意义巩固练习含
7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义课后训练巩固提升1.已知复数z 1=√2(cosπ12+isin π12),z 2=√3(cos π6+isin π6),则z 1z 2的代数形式是() A.√6(cos π4+isin π4)B.√6(cos π12+isin π12) C.√3−√3iD.√3+√3i 解析:z 1z 2=√2×√3cos (π12+π6)+isinπ12+π6 =√6(cos π4+isin π4)=√6(√22+√22i)=√3+√3i .故选D .2.2÷[√2(cos π5+isin π5)]的三角形式是()A.2√2(cos π5+isin π5)B.√2(cos 3π10+isin 3π10)C.√2[cos (-π5)+isin (-π5)]D.√2(cos 4π5+isin 4π5)=2(cos0+isin0)√2(cos π5+isin π5)=√2[cos (-π5)+isin (-π5)],故选C .3.设3+4i 的辐角的主值为θ,则(3+4i)·i 的辐角的主值是()A.π2+θB.π2-θC.θ-π2D.3π2-θ,(3+4i)·i 对应的向量是由复数3+4i 对应的向量绕点O 按逆时针方向旋转π2得到的,所以(3+4i)·i 的辐角的主值为θ+π2,故选A .4.在复平面内,把与复数a+b i(a ,b ∈R)对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转90°后所得向量对应的复数为()A.a-b iB.-a+b iC.b-a iD.-b+a i 所求复数为a+bicos90°+isin90°=a+bi i =-(a+b i)i =b-a i,故选C .5.设z 1=1-2i,z 2=1+i,z 3=-1+3i,则arg z 1+arg z 2+arg z 3=()A.π2B.3π2C.5π2D.7π2z 1·z 2·z 3=(1-2i)(1+i)(-1+3i)=(3-i)(-1+3i)=10i,∴arg z 1+arg z 2+arg z 3=π2+2k π,k ∈Z .∵arg z 1∈(3π2,2π),arg z 2∈(0,π2),arg z 3∈(π2,π), ∴arg z 1+arg z 2+arg z 3∈(2π,7π2), ∴arg z 1+arg z 2+arg z 3=5π2.6.√3(cos 5π12+isin 5π12)·√6(cos5π6+isin 5π6)=.(用代数形式表示)=3√2[cos (5π12+5π6)+isin (5π12+5π6)] =3√2(cos5π4+isin 5π4)=3√2(-√22-√22i) =-3-3i .3-3i7.arg(3-i)+arg(2-i)=.-i)(2-i)=5-5i =5√2[cos (-π4)+isin (-π4)],∵arg(3-i)∈(3π2,2π),arg(2-i)∈(3π2,2π), ∴arg(3-i)+arg(2-i)∈(3π,4π).∴arg(3-i)+arg(2-i)=-π4+4π=15π4.8.已知复平面内向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为2+i,点A 对应的复数为-1,现将AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点A 按顺时针方向旋转90°后得到的向量为AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点C 对应的复数为.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为2+icos90°+isin90°=2+i i =-(2+i)i =1-2i,∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴OC⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为-1+(1-2i)=-2i . 即点C 对应的复数为-2i .2i9.写出下列复数z 的倒数1z 的模与辐角: (1)z=10(cos π3+isin π3); (2)z=2(sin 3π4+icos 3π4). (1)1z =cos0+isin010(cos π3+isin π3)=110[cos (0-π3)+isin (0-π3)]=110[cos (-π3)+isin (-π3)]. 所以1z 的模为110,辐角为-π3+2k π. (2)复数2(sin3π4+icos 3π4)=√2−√2i,r=2,对应的点在第四象限,且cos θ=√22,取θ=-π4,所以2(sin 3π4+icos 3π4)=2[cos (-π4)+isin (-π4)].1z =cos0+isin02[cos(-π4)+isin(-π4)]=12(cos π4+isin π4). 所以1z 的模为12,辐角为π4+2k π.10.设复数z 1=√3+i,复数z 2满足|z 2|=2,已知z 1·z 22的对应点在虚轴的负半轴上,且arg z 2∈(0,π),求z 2的代数形式.z 1=2(cos π6+isin π6),设z 2=2(cos α+isin α),α∈(0,π),则z 1z 22=8[cos (2α+π6)+isin (2α+π6)].由题设知2α+π6=2k π+3π2(k ∈Z), 所以α=k π+2π3(k ∈Z). 又因为α∈(0,π),所以α=2π3, 所以z 2=2(cos 2π3+isin 2π3)=-1+√3i .。
高中数学必修二 7 3 2 复数的三角形式乘、除运算的三角表示及其几何意义 同步练习(含答案)
7.3.2 复数的三角形式乘、除运算的三角表示及其几何意义（用时45分钟）【选题明细表】基础巩固1．已知i 为虚数单位，1isin60)z ︒︒=+，2icos30)z ︒︒=-，则12z z ⋅=（ ） A ．4(cos90sin 90)i ︒︒+B ．4(cos30sin 30)i ︒︒+C ．4(cos30sin 30)i ︒︒-D ．4(cos 0sin 0)i ︒︒+【答案】D【解析】222(sin30cos30)(cos300isin300)z i ︒︒︒︒=-=+，12sin60)(cos300isin300)4(cos360 isin360)z z i ︒︒︒︒︒︒∴⋅+⋅+=+.故选：D.2．()22cos60isin60÷︒+︒=（ ）A ．12+ B ．12- C 12i + D 12i - 【答案】B【解析】()()22cos60sin602cos0sin0i i ÷︒+︒=︒+︒÷()2cos60sin60i ︒+︒()()cos 060sin 060i =︒-︒+︒-︒()()1sin 60cos 602i =-=︒+-︒. 故选：B.3．计算()()()3cos270sin 2701cos 90sin 903i i ︒︒︒︒+⎡⎤-+-⎣⎦的结果是（ ）A ．-9B ．9C ．-1D ．1【答案】B【解析】()()()3cos270sin 2701cos 90sin 903i i ︒︒︒︒+⎡⎤-+-⎣⎦()()9cos 27090sin 27090 i ︒︒︒︒⎡⎤=+++⎣⎦()9cos360sin3609i ︒︒=+=，故选：B ．4．将复数1+对应的向量ON 绕原点按顺时针方向旋转2π，得到的向量为1ON ，那么1ON 对应的复数是（ ）Ai - Bi + C．i - D．i【答案】A【解析】复数1的三角形式是2cossin33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,向量1ON 对应的复数是2cos sin 332cos sin 66cos sin 22i i i ππππππ⎛⎫+ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦+故选：A5．()()()1cos30sin 302cos60sin 603cos 45sin 452i i i ︒+︒⨯︒+︒⨯︒+︒=（ ） A．22+ B．22- C．22i -+ D．22-- 【答案】C【解析】()()1cos30sin 302cos60sin 602i i ︒+︒⨯︒+︒⨯()3cos45sin 45i ︒+︒ ()()123cos 306045sin 3060452i =⨯⨯︒+︒+︒+︒+︒+︒⎡⎤⎣⎦ ()3cos135sin135i =︒+︒322⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭22i =-+. 故选：C.6．复数1cossin33i ππ+的代数形式是_____________.【答案】122-【解析】11cossin332cosisin33i ππππ=-=+.故答案为：12-. 7．在复平面内，把与复数i -对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为z ，则复数z 是_____________.（用代数形式表示）.【答案】z =【解析】由题意得()()()cos 45isin 45i i 22z ⎛⎫=︒+︒⨯-=+⨯- ⎪⎪⎝⎭22=-. 8．计算下列各式，并作出几何解释：（122cossin cos sin 3333i i ππππ⎫⎫+⨯+⎪⎪⎭⎭（2）()112cos 75sin 7522i i ︒︒⎛⎫+⨯-⎪⎝⎭（3）()334cos300sin300cossin 44i i ππ︒︒⎤⎫+÷+⎪⎥⎭⎦（4）12cos sin 233i ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫-+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭.【答案】（1）-4，几何解释见解析 （2+，几何解释见解析 （3）1)1)i -+-，几何解释见解析 （4）14+，几何解释见解析【解析】（1）原式(cos sin )4(10)4i ππ=+=⨯-+=-.几何解释：设1222cos sin ,cos sin 3333z i z i ππππ⎫⎫=+=+⎪⎪⎭⎭，作与12,z z 对应的向量12,OZ OZ ，然后把向量1OZ绕原点O 按逆时针方向旋转3π，再将其长度伸长为原来的4,辐角为π的 向量OZ ，则OZ 即为积124z z ⋅=-所对应的向量.（2）原式()2cos 75sin 75i ︒︒⎫=+⎪⎪⎝⎭()()2cos 75sin 75cos315sin 3152︒︒︒︒=+⨯+)1cos390sin 3902i i ︒︒⎫=+==⎪⎪⎝⎭.几何解释：设()()12112cos 75sin 75,cos315sin 315222z i z i ︒︒︒︒=+=-=+， 作与12,z z 对应的向量12,OZ OZ ，然后把向量1OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转315°，再将其长度缩短为原来的2、辐角为6π 的向量OZ ，则OZ 即为积12z z ⋅=+所对应的向量.（3）原式55334cossin cos sin 3344i i ππππ⎤⎛⎫⎫=+÷+ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦1111cos sincos sin 12121212i i ππππ⎫⎛⎫=+=-+⎪ ⎪⎭⎝⎭1)1)i⎛⎫==-+⎪⎪⎝⎭.几何解释：设()1554cos300sin3004cos sin33z i iππ︒︒⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，233cos sin44z iππ⎫=+⎪⎭作与12,z z对应的向量12,OZ OZ，然后把向量1OZ绕原点0按顺时针方向旋转34π，再将其长度，辐角为1112π的向量OZ，则OZ即为121)1)ziz=-+所对应的向量.（4）原式22cos sin2cos sin3333i iππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+÷+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111cos sin23322244iππ⎛⎫⎛⎫=+=⨯+=+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.几何解释：设1122cos sin,2cos sin23333z i z iππππ⎛⎫=-+=+=+⎪⎝⎭，作与12,z z对应的向量12,OZ OZ，然后把向量1OZ绕原点0按顺时针方向旋转3π，再将其长度缩短为原来的12，得到一个长度为12，辐角为3π的向量OZ，则OZ即为1214zz=所对应的向量.能力提升9．复数cossin1515z i ππ=+是方程50x α-=的一个根，那么α的值等于（ ）A 12i B ．12+ C 12i D ．12-- 【答案】B【解析】由题意得,51cos sin cos sin 1515332i ππππα⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭ 故选：B10．设12z i =-对应的向量为OZ ，将OZ 绕原点按顺时针方向旋转30︒所得向量对应的复数的虚部为________.【答案】【解析】所得向量对应的复数为()()(12)cos 30sin 30i i ︒︒⎡⎤-⋅-+-⎣⎦1(12)22i i ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，故虚部为，故答案为：12+-． 11．把复数1z 与2z 对应的向量OA ，OB 分别按逆时针方向旋转4π和53π后，与向量OM 重合且模相等，已知21z =-，求复数1z 的代数式和它的辐角主值.【答案】+,34π【解析】由复数乘法的几何意义得1255cossincos sin 4433z i z i ππππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又244132cossin 33z i i ππ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭144552cos sin cos sin 3333cos sin44i i z i ππππππ⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+2cos 3sin 344i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22i =-+ 1z 的辐角主值为34π 素养达成12．如图，复平面内的是△ABC 等边三角形，它的两个顶点A ，B 的坐标分别为0) ,)(1(2,1，，求点C 的坐标.【答案】C 坐标为3313+-⎝⎭【解析】将原点0平移至A 点，建立平面直角坐标系'xAy ，则||2,AB =22122cos sin 44AB i i ππ⎫⎫∴=+=+=+⎪⎪⎪⎭⎭， 将AB 绕点A 顺时针方向旋转3π得 2cos sin cos sin 4433AC i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos sin cos sin 43431212i i ππππππ⎤⎛⎫⎛⎫⎫=-+-=- ⎪ ⎪⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎭⎦⎫==⎪⎪⎝⎭， ∴在原平面直角坐标系xOy 中，点C 坐标为+⎝⎭，即⎝⎭.。
人教版高中数学必修第二册7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 同步练习(含解析)
人教版高中数学必修第二册7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义同步练习（含解析）人教版高中数学必修第二册7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.若复数z=cos+isin,则z2= ()A.-2iB.1+iC.1-iD.2i2.若复数z=2cos+isin,则|z3|= ()A.16B.8C.2D.3.若复数z=cos+isin,则arg(z2)= ()A. B.C. D.4.若复数z=-cos-isin,则= ()A.+iB.-+iC.--iD.-i5.若θ∈-,0,则复数z=cos θ+isin θ(i为虚数单位)在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.若z=cos θ+isin θ(θ∈R,i是虚数单位),则|z-2-2i|的最小值是()A.2B.C.2+1D.2-17.若复数z1=cos 2θ-isin 2θ,z2=cos θ-isin θ,则z1z2= ()A.-cos 3θ-isin 3θB.-cos 3θ+isin 3θC.cos 3θ-isin 3θD.cos 3θ+isin 3θ8.在复平面内,复数z=a+bi(a∈R,b∈R)对应的向量为(O为坐标原点),设||=r,以射线Ox为始边,OZ为终边逆时针旋转的角为θ,则z=r(cos θ+isin θ),法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理:若z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].由棣莫弗定理导出了复数的乘方公式:zn=[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ),则(-1+i)10= ()A.1024-1024iB.-1024+1024iC.512-512iD.-512+512i二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.若复数z=2cos+isin,则z2=.10.若复数z1=2cos+isin,z2=cos+i·sin,则z1z2的辐角的主值为.11.8i÷2(cos 45°+isin 45°)=.12.设z1=-2+2i在复平面内对应的向量为,将绕点O按顺时针方向旋转150°,并将其模变为原来的,所得向量对应的复数z2=(用代数形式表示).三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)把复数z1与z2在复平面内对应的向量,分别按逆时针方向旋转和后,重合于向量且模相等,已知z2=-1-i,求复数z1的代数式和它的辐角的主值.14.(10分)已知复数z的实部大于零,且满足z=(cos θ+isin θ)(θ∈R),z2的虚部为2.(1)求复数z;(2)设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求·的值.15.(5分)化简:=.16.(15分)如图L7-3-1所示,复平面内的∈ABC是等边三角形,它的两个顶点A,B的坐标分别是(2,0),(4,2).(1)求向量对应的复数;(2)求点C的坐标.图L7-3-1参考答案与解析1.D[解析] z2=()2cos+isin=2i,故选D.2.A[解析] z3=(2)3cos+isin=16i,则|z3|=16,故选A.3.A[解析] z2=3cos+isin=3cos+isin,则arg(z2)=,故选A.4.B[解析] ==×=-cos+isin=-+i,故选B.5.D[解析] ∈θ∈-,0,∈cos θ>0,sin θ<0,∈复数z=cos θ+isin θ对应的点在第四象限.6.D[解析] 由复数的几何意义可知z=cos θ+isin θ在复平面内对应的点在单位圆上,而|z-2-2i|表示该单位圆上的点到复数2+2i对应的点Z 的距离,如图,由图可知,|z-2-2i|的最小值应为点A到Z的距离,因为|OZ|==2,圆的半径为1,故|z-2-2i|的最小值为2-1,故选D.7.C[解析] z1z2=(cos 2θ-isin 2θ)(cos θ-isin θ)=[cos(-2θ)+isin(-2θ)][cos(-θ)+isin(-θ)]=cos(-2θ-θ)+isin(-2θ-θ)=cos3θ-isin 3θ,故选C.8.D[解析] (-1+i)10=2cos+sini10=210cos+isin=210-+i=-512+512i.9.-4[解析] z2=4(cos π+isin π)=-4.10.[解析] 因为z1z2=2cos+isin×cos+isin=cos++isin+=cos+isin,所以z1z2的辐角的主值为.11.2+2i[解析] 8i÷2(cos 45°+isin 45°)=8(cos 90°+isin 90°)÷2(cos 45°+isin 45°)=4[cos(90°-45°)+isin(90°-45°)]=4(cos 45°+isin 45°)=2+2i.12.-i[解析] z1=-2+2i=4-+i=4(cos 120°+isin 120°),根据题设条件得z2=4(cos 120°+isin 120°)×[cos(-150°)+isin(-150°)]=2[cos(120°-150°)+isin(120°-150°)]=2[cos(-30°)+isin(-30°)]=-i.13.解:由复数乘法的几何意义得z1cos+isin=z2cos+isin.∈z2=-1-i =2cos+isin,∈z1==2cos3π-+isin3π-=-+i,z1的辐角的主值为.14.解:(1)由题知z2=2(cos 2θ+isin 2θ),则sin 2θ=1,解得θ=kπ+(k∈Z),∈z=coskπ++isinkπ+,又复数z的实部大于零,∈z=1+i.(2)由(1)知z=1+i,z2=2i,则z-z2=1-i,∈A(1,1),B(0,2),C(1,-1),∈=(-1,1),=(0,-2),∈·=-1×0+1×(-2)=-2.15.cos θ-isin θ[解析] 原式==cos(9θ-2θ-6θ-2θ)+isin(9θ-2θ-6θ-2θ)=cos(-θ)+isin(-θ)=cos θ-isin θ. 16.解:(1)因为点A,B的坐标分别是(2,0),(4,2),所以=(2,0),=(4,2),所以=-=(4,2)-(2,0)=(2,2),故向量对应的复数为2+2i.(2)由题可知向量对应的复数为(2+2i)[cos(-60°)+isin(-60°)]=(2+2i)-i=(1+)+(1-)i,故=(1+,1-),所以=+=(3+,1-),所以点C的坐标是(3+,1-).。
7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义-【新教材】人教A版(2019)解析)
2020-2021学学学学学学学学A学学2019学学学学学学7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．选择题1. 若复数z 1=√2(cos π12+isin π12)，z 1=2(cos π12+isin π12)，则|1z1z 2|= ( )A. √24B. √22C. √2D. 2√22. 若复数z 1=4(cos π4+isin π4)，z 2=12(cos π6+isin π6)，z 3=√2(cos5π3−isin5π3)，则z 2z 3z 1= ( )A. √28−√28i B. 18−18iC. √28+√28i D. 18+18i3. 若复数，则arg(z 2)= ( )A. 2π5B. 4π5C. 6π5D.12π54.12(cos30°+isin30°)×2(cos60°+isin60°)×3(cos45°+isin45°)= ( )A. 3√22+3√22i B. 3√22−3√22i C. −3√22+3√22i D. −3√22−3√22i 5. 若复数，则z 2= ( )A. −2iB. 1+iC. 1−iD. 2i6. 若z =cosθ+isinθ(θ∈R,i 是虚数单位)，则|z −2−2i|的最小值是( )A. 2√2B. √2C. 2√2+1D. 2√2−17. 若复数z =2√2(cos π6+isin π6)，则|z 3|= ( )A. 16√2B. 8C. 2√2D. √28. 在复平面内，复数z =a +bi(a ∈R,b ∈R)对应向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)，设|OZ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，以射线Ox 为始边，OZ 为终边逆时针旋转的角为θ，则z =r(cosθ+isinθ)，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：z 1=r 1(cosθ1+isinθ1)，z 2=r 2(cosθ2+isinθ2)，则z 1z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)],，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：z n =[r(cosθ+isinθ)]n =r n (cosnθ+isinnθ)，则(−1+√3i)10=( )A. 1024−1024√3iB. −1024+1024√3iC. 512−512√3iD. −512+512√3i9. 复数是方程x 5+α=0的一个根，那么α的值为 ( )A. √32+12iB. 12+√32i C. −√32−12iD. −12−√32i10. 设A ，B ，C 是△ABC 的内角，z =(cos A +isin A)÷(cos B +isin B)·(cos C +isin C)是一个实数，则△ABC 是( )A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 形状不能确定11. (多选)复数，若z n =z(n ∈N)，则n 的值可以是 ( )A. 1B. 3C. 5D. 11二．填空题 12.(√3+i)51+√3i=_______．13. (−12+√32i)(−12−√32i)(1+i)=_______．14. 若复数，z 2=12(cos π4+i ⋅sin π4)，则z 1z 2的辐角的主值为 ．15. 设z 1=−2+2√3i 在复平面内对应的向量为OZ⃗⃗⃗⃗⃗ ，将OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 按顺时针方向旋转150°，并将其模变为原来的12，所得向量对应的复数z 2=_________(用代数形式表示)．16. 化简：(cos 9θ+isin9θ)(cos 2θ−isin2θ)(cos 6θ+isin6θ)(cos 2θ+isin2θ)= ． 三．解答题17. 计算下列各式的值(结果写成三角形式)(1)4(cos π6+isin π6)×2(cos3π4+isin3π4)；．18. 如图所示，复平面内的△ABC 是等边三角形，它的两个顶点A ，B 的坐标分别是(2,0)，(4,2)．(1)求向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数； (2)求点C 的坐标．19. 已知复数z 的实部大于零，且满足，z 2的虚部为2．(1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z −z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则、考查了推理能力与计算能力，利用三角函数求出z，再利用复数的运算法则、即可得出．【解答】由题意知，则|1z1z2|=12√2=√24，故选A．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了复数的运算与三角函数综合应用．根据复数运算法则求z1z2，然后根据公式化简．【解答】解：由题意知，故选D．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了复数的三角形式，由复数的三角形式运算法则计算，可得arg(z2)的值．【解答】解：z2=3(cos12π5+isin12π5)=3(cos2π5+isin2π5)，则，故选A．4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查三角函数的化简求值和证明，根据题意求得答案．【解答】故选C．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了复数的三角形式，由复数的三角形式运算法则计算即可．【解答】解：，故选D．6.【答案】D【解析】解：由复数的几何意义可知：z=cosθ+isinθ表示的点在单位圆上，而|z−2−2i|表示该单位圆上的点到复数2+2i表示的点Z的距离，由图象可知：|z−2−2i|的最小值应为点A到Z的距离，而OZ=√22+22=2√2，圆的半径为1，故|z−2−2i|的最小值为2√2−1，故选D易得复数z表示的点在单位圆上，而要求的值为单位圆上的点到复数2+2i表示的点Z的距离，由数形结合的思想可得答案．本题考查复数的模长的最值，涉及复数的几何意义和数形结合的思想，属基础题．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查了复数的三角形式，由，可得结果．【解答】解：，则|z3|=16√2，故选A．8.【答案】D【解析】解：根据复数乘方公式：z n=[r(cosθ+isinθ)]n=r n(cosnθ+isinnθ)，得(−1+√3i)10=210[cos(10×2π3)+isin(10×2π3)]=1024(cos20π3+isin20π3)=1024(−12+√32i)=−512+512√3i．故选：D．根据复数乘方公式：z n=[r(cosθ+isinθ)]n=r n(cosnθ+isinnθ)，直接求解即可．本题考查了复数乘方公式z n=[r(cosθ+isinθ)]n=r n(cosnθ+isinnθ)，属基础题．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查了复数的运算，三角恒等变换，属于基础题．根据题意将z代入方程，然后根据二倍角公式与和角公式即可求解．【解答】解：因为是方程x5+a=0的一个根，所以．故选D．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的三角形式，属于基础题．由题意得arg z=A−B+C=π−2B=0求B，即可．【解答】解：因为z=(cos A+isin A)÷(cos B+isin B)·(cos C+isin C)是一个实数，所以arg z=A−B+C=π−2B=0，∴B=π2．故△ABC是直角三角形．故选C．11.【答案】CD【解析】【分析】本题主要考查复数的三角形式，掌握复数的运算是解答本题的关键．利用复数的三角形式运算即可．【解答】解：因为，所以，，因为z n=z，所以5n3π=π3+2kπ，n=6k+15，因为n∈N，k∈Z，所以当k=4时，n=5；当k=9时，n=11，故n的值可以是5或11．故选CD．12.【答案】16i【解析】【分析】本题考查复数四则运算，对复数分母实数化，再化简运算即可．【解答】方法一(化为三角形式)：方法二(利用ω=−12+√32i的性质)：设ω=−12+√32i，则ω2=−12−√32i，ω3=1.∵√3+i=−2i(−12+√32i)=−2iω，1+√3i=−2(−12−√32i)=−2ω2，∴(√3+i)51+√3i=(−2iω)5−2ω2=(−2)5⋅i5⋅ω5−2ω2=24⋅i⋅ω3=16i13.【答案】1+i【解析】【分析】本题考查复数的四则运算，属于基础题型.解答时即可以使用复数的代数形式运算求解，也可以使用复数的三角形式运算求解，解答过程依运算律运算即可．【解答】解：方法一(化为三角形式方法二(利用共轭复数的性质)：设ω=−12+√32i，则|ω|=1，．14.【答案】7π12【解析】【分析】本题主要考查了复数的四则运算及三角形式，考查了计算能力．利用复数的四则运算，可得，由此可得其辐角的主值．【解答】解：因为，．所以z1z2的辐角的主值为7π12．故答案为7π1215.【答案】【解析】【分析】⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O按本题考查了复数的三角形式，先将化成三角形式，再由将OZ，得顺时针方向旋转150°，并将其模变为原来的12，由复数的三角形式计算即可．【解答】解：，根据题设条件得．故答案为．16.【答案】cosθ−isinθ【解析】【分析】本题考查了复数的三角形式，由复数的三角形式运算法则计算即可．【解答】解：原式．故答案为cosθ−isinθ．17.【答案】解：．【解析】本题主要考查了复数的三角运算，属于基础题． (1)利用复数的三角运算的乘法运算法则计算出结果； (2)利用复数的三角运算的除法运算法则计算出结果．18.【答案】解：(1)因为点A ，B 的坐标分别是(2,0)，(4,2)，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2)， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2)−(2,0)=(2,2)， 故向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为2+2i ． (2)由题可知向量AC⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为，故AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+√3,1−√3)， 所以OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3+√3,1−√3)， 所以点C 的坐标是(3+√3,1−√3)．【解析】本题考查了复数的代数表示及其几何意义和复数的三角形式 ，是基础题． (1)先得出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再得出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由复数的几何意义可得结果； (2)由题可知向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为，可得向量AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，得出OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，可得点C 的坐标．19.【答案】解：(1)因为z 2=2(cos 2θ−sin 2θ+2sinθcosθi )=2cos2θ+2sin2θi ，所以2sin2θ=2， 则sin2θ=1，所以2θ=π2+2kπ，k ∈Z ，又因为z 的实部大于0，则θ=π4+2kπ，k ∈Z ，所以cosθ=sinθ=√22， 则z =1+i ；(2)因为z 2=2i ，z −z 2=1−i ，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1,−1)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1)⋅(0,−2)=−2． 【解析】此题考查复数的运算，复数的几何意义，及平面向量的数量积及坐标运算．(1)因为z 2=2(cos 2θ−sin 2θ+2sinθcosθi )=2cos2θ+2sin2θi ，由虚部为2，求出θ的值，求出复数z ；(2)分别计算出z 、z 2、z −z 2，得出对应的点，从而求出向量的数量积．。
高中数学必修二课后习题复数的三角表示式 7-3-2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义(含答案)
第七章复数7.3* 复数的三角表示7.3.1 复数的三角表示式7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义课后篇巩固提升必备知识基础练1.(2021河南郑州期末)已知z=cos π3+isin π3,则下列结论正确的是( )A.z 2的实部为1B.z 2=z-1C.z 2=zD.|z 2|=2解析z=cos π3+isin π3=12+√32i .z 2=12+√32i 2=14−34+√32i =-12+√32i,其实部为-12,故A 错误;z-1=-12+√32i =z 2,故B 正确;z =12−√32i ≠z 2,故C 错误;|z 2|=-122+√322=1,故D 错误.故选B .2.将复数z=-2√3+2i 化成三角形式是 .(cos 56π+isin 56π)|z|=√(-2√3)2+22=4,设辐角为θ,tan θ=-√33,且点(-2√3,2)在第二象限,得辐角主值为56π,故z=4(cos 56π+isin 56π).3.[2(cos 60°+isin 60°)]3= .8=23[cos(60°×3)+isin(60°×3)]=8(cos 180°+isin 180°)=-8.4.计算:4(cos 80°+isin 80°)÷[2(cos 320°+isin 320°)].°+isin 80°)÷[2(cos 320°+isin 320°)]=42[cos(80°-320°)+isin(80°-320°)] =2[cos(-240°)+isin(-240°)] =2(-12+√32i)=-1+√3i .5.已知z 1=12(cos π3+isin π3),z 2=6cos π6+isin π6,计算z 1z 2,并说明其几何意义.解z 1z 2=12×6×cos (π3+π6)+isin π3+π6=3(cos π2+isin π2)=3i .首先作复数z 1对应的向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,然后将OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 按逆时针方向旋转π6,再将其长度伸长为原来的6倍,得到的向量即为z 1z 2所对应向量.6.已知复数z=r (cos θ+isin θ),r ≠0,求1z 的三角形式.=(cos0°+isin0°)r (cosθ+isinθ)=1r [cos(0°-θ)+isin(0°-θ)]=1r[cos(-θ)+isin(-θ)].关键能力提升练7.复数z=-1+(1+i 1-i )2 021的辐角主值为.因为1+i 1-i =i,所以(1+i 1-i )2 021=i 2 021=i .所以z=-1+i =√2cos 3π4+isin 3π4, 所以复数z 的辐角主值为3π4.8.(12-√32i)20÷(3i)= .-√36+16i解析原式=[cos (-π3)+isin (-π3)]20÷3cos π2+isin π2=cos (-20π3)+isin (-20π3)÷3cos π2+isin π2=cos 4π3+isin4π3÷3cos π2+isin π2=13cos4π3−π2+isin (4π3-π2)=13cos 5π6+isin5π6=13(-√32+12i)=-√36+16i . 9.莱昂哈德·欧拉发现并证明了欧拉公式e i θ=cos θ+isin θ,从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式e πi +1=0,它是数学里令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来:两个超越数(自然对数的底数e,圆周率π),两个单位(虚数单位i,自然数单位1)以及0.请你根据欧拉公式:e i θ=cos θ+isin θ,解决以下问题:(1)试将复数e π3i写成a+b i(a,b∈R,i是虚数单位)的形式;(2)试求复数e π3i+12的模.根据欧拉公式可得e π3i=cosπ3+isinπ3=12+√32i.(2)由题意可知e π3i+12=12+√32i+12=1+√32i,因此,|e π3i+12|=√12+(√32)2=√72.10.已知复数z的模为2,实部为√3,求复数z的代数形式和三角形式.,可设z=√3+b i(b∈R).∵|z|=2,∴√3+b2=2,解得b=±1,∴z=√3+i或z=√3-i.化为三角形式,得z=2cosπ6+isinπ6或z=2cos(-π6)+isin(-π6).11.计算下列各式的值:(1)(-12+√32i)·2cosπ3+isinπ3;(2)3(cos 63°+isin 63°)·2(cos 99°+isin 99°)·5(cos 108°+isin 108°).解(1)(-12+√32i)·2cosπ3+isinπ3=cos2π3+isin2π3·2cosπ3+isinπ3=2(cos π+isin π)=-2.(2)3(cos 63°+isin 63°)·2(cos 99°+isin 99°)·5(cos 108°+isin 108°) =30(cos 270°+isin 270°)=-30i.12.求证:(cos3θ+isin3θ)3·(cos2θ+isin2θ)7(cos4θ+isin4θ)6=cos θ-isin θ.=(cos9θ+isin9θ)·(cos14θ+isin14θ)(cos24θ+isin24θ)=(cos23θ+isin23θ)(cos24θ+isin24θ)=cos(-θ)+isin(-θ)=cos θ-isin θ=右边.学科素养创新练13.已知k是实数,ω是非零复数,且满足arg ω=3π4,(1+ω)2+(1+i)2=1+kω.。
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复数的三角形式乘法及其几何意义
1、复数的三角形式及运算
(1)复数的幅角：设复数Z=a＋bi对应向量，以x轴的正半轴为始边，向量所在的射线(起点为O)为终边的角θ，叫做复数Z的辐角，记作ArgZ，其中适合0≤θ<2π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argZ．说明：不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍．
(2)复数的三角形式：r(cosθ＋isinθ)叫做复数Z=a＋bi的三角形式，其中．
说明：任何一个复数Z=a＋bi均可表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中r为Z的模，θ为Z的一个辐角．
(3)复数的三角形式的运算：
设Z=r(cosθ＋isinθ)，Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，Z2=r2(cosθ2＋isinθ2)．则
2、复数的几何意义
(1)复数模的几何意义：，即Z点到原点O的距离，一般地|Z1－Z2|
即Z1点到Z2点的距离．
(2)复数加、减法的几何意义
图中给出的平方四边形，可以直观地反映出复数加、减法的几何意义．
即Z=Z 1＋Z2，．
(3)复数乘、除法的几何意义：
设Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，则ZZ1的几何意义是把Z的对应向量按逆
时针方向旋转一个角θ1(如果θ1＜0，就要把按顺时针方向旋转一个角
|θ1|，再把它的模变为原来的r 1倍，所得向量即表示积ZZ 1，如图，Z 1≠0,的几何意义是把Z 的对应向量
按顺时针方向旋转一个角θ1(如果θ1＜0，就要把按逆时针方向旋转一个角|θ1|，再把它的模变为原来的倍，
所得的向量即表示商.
概念：1、复数的三角形式：设|z|=r （r ≥0），辐角主值：argz=α，
那么复数z=
2、复数三角形式的几点要求：⑴ ⑵ ⑶
3、回顾练习：
⑴下列那一个是复数的三角形式： (A)
21(cos 3π-isin 3π
) (B) -21(cos 4π+isin 4π) (C)21(sin 54π+icos 54π) (D)cos 56π+isin 5
6π
⑵把下列复数化为三角形式： -3= ；
=-i 2
1
23 ; 一、 复数的三角形式的乘法运算：
1、定理：设z 1=r 1(cos α+isin α)，z 2=r 2(cos β+isin β)，r 1≥0,r 2≥0 那么：z 1·z 2=
此定理用语言叙述为： 【例题1】
1、求下列复数的积： ①2(cos
12π+isin 12π)•3(cos 6π+isin 6
π) ②3(cos75º+isin75º) •3(cos15º+isin15º)
③(cos3A+isin3A) • (cos2A-isin2A)
定理的推广：设z n =r n (cos αn +isin αn ),其中r n ≥0
于是：z 1z 2z 3…z n =r 1r 2r 3…r n [cos(α1+α2+α3+…+αn )+isin(α1+α2+α3+…+αn )]
（当α1=α2=α3=…=αn 时z 1n
=cosna+isinna ）
1、将下列乘积的结果直接写出：(如果没有特别声明，计算结果一般保留代数形式) ⑴8(cos
6π+isin 6π)•2 (cos 12π+isin 12
π)= ⑵8(cos240º+isin240º)•2 (cos150º-isin150º)=
⑶3(cos18º+isin18º) •2 (cos54º+isin54º) •5 (cos108º+isin108º)=
⑷|3(cos 12π-isin 12
π
)• (1+i) •2(sin22º+icos22º)|=
二、复数乘法的几何意义：
⑴两个复数z 1、z 2相乘时，可以先画出分别与z 1、z 2对应的向量
1OZ 、2OZ ，然后把向量2OZ 按逆时针方向旋转1θ（1θ<0如何？）
再把模变为原来的r 1倍，所得的向量OZ 就表示积z 1z 2.
*特征：旋转+伸缩变换
⑵向量的旋转与伸缩可以转化为两个复数的乘积.
【例题2】试说明下列乘法运算可以看成对应向量的如何变化： ⑴8(cos
6π+isin 6π)•2 (cos 12π+isin 12
π)： ⑵8(cos240º+isin240º)•2 (cos210º-isin210º)：
⑶3(cos18º+isin18º) •2 (cos54º+isin54º) • (cos108º+isin108º)： 【例题3】
1、OZ 对应复数-1+i,将OZ 按逆时针方向旋转120º后得到Z O '， 求Z O '对应复数z
2、（2000全国）把复数3-3i 对应向量按顺时针方向旋转π3
1
，所得向量对应复数为( )
(A)23 (B) -23i (C) 3-3i (D) 3+3i
3、Z A =1,Z B =3+2i,并且ABCD 是按逆时针方向排列的正方形的四 个顶点，求Z C 与Z D .
【反馈练习2】如果向量OZ 对应复数4i ，OZ 逆时针旋转45º后再把模变为原来的2倍得到向量1OZ ，那么与
1OZ 对应的复数是
2、正⊿ABC 的顶点A 、B 、C 对应复数Z A 、Z B 、Z C ，点A 、B 、C 按逆时针顺序排列，那么（ ） (A) Z C =(Z B -Z A ) • (cos60º+isin60º) (B) Z C =(Z B -Z A ) • (cos60º-isin60º) (C) Z C =Z B • (cos60º+isin60º) (D) Z C =Z A +(Z B -Z A ) • (cos60º+isin60º) 三、知识小结：(1)、积的模等于模的积，积的辐角等于辐角之和 (2)、复数的乘法⇔向量的旋转与伸缩
(3)、做复数的乘法运算时，三角形式和代数形式可以交替使用，但是结果一般保留代数形式. 四、练习
1、已知0＜α＜π，且，复数Z=tanα－i ．
(1)求Z 的三角形式； (2)若|Z|＜2，求argZ 的取值范围．
O x
y
Z Z '
120º
O
x
y Z Z
x
·
O
y
Z
O A
B
C
D
x
y
2. 已知复数z i =+1， 求复数z z z 236
1
-++的模和辐角主值。
3. 求复数132
7
++（）的模及辐角主值。
i
4. 已知复数z z z z z z i z z 1212121211751
5
,，满足，且，求的值。
==+=-+⋅ 5. 求使532320+
⎛⎝ ⎫⎭
⎪
⎪⎪
⎪>i n n
的最小自然数。
6. 设z z i z i z ⋅-+-++-
=（12123)(),
（1）求z 的最大值和最小值。
（2）求复数z 的实部和虚部之和的最大值和最小值。
7. 已知231z i -+≤，（1）求|z|的最值；（2）求argz 的取值范围。