2021-2022学年湖南省株洲市茶陵县高二下学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年湖南省株洲市茶陵县高二下学期期末数学试题
一、单选题
1．设全集，集合M 满足，则（ ）{1,2,3,4,5}U ={1,3}U M =
A ．
B ．
C ．
D ．2M ∈3M ∈4M ∉5M
∉【答案】A
【分析】先写出集合,然后逐项验证即可
M 【详解】由题知,对比选项知，正确,错误{2,4,5}M =A BCD 故选:A
2．若复数满足，则下列说法正确的是（ ）z (1)2z i i -=A ．的虚部为i
B ．的共轭复数为z z 1z i =-+
C ．对应的点在第二象限
D ．
z 2
z =【答案】C
【分析】先对复数z 进行整理化简得到，再选出正确的选项即可.1z i =-+【详解】∵复数满足
，∴
，化为：.
z ()12z i i
-=()()()
1121z i i i i -+=+1z i =-+
∴的虚部为1，，对应的点
z 1z i =--z ()1,1-故选：C.
【点睛】这个题目考查了复数问题，复数由实部加上虚部和i 构成；复数 的共轭复数为
z a bi =+；复数的几何意义之一就是和点一一对应；复数的模长等于
z a bi =-z a bi =+(,)a b z a bi =+
3．已知点
则与同方向的单位向量为
()()1,3,4,1,
A B -AB
A ．
B ．
C ．
D ．3455⎛⎫
- ⎪⎝
⎭，4355⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，3455⎛⎫- ⎪⎝⎭
，4355⎛⎫- ⎪⎝⎭
，【答案】A
【详解】试题分析：,所以与同方向的单位向量为
(41,13)(3,4)AB =---=- AB
，故选A.
1
34(3,4)(,)
5
55AB e AB ==-=-
【解析】向量运算及相关概念.
4．如图，在棱长为2的正方体中，以其各面中心为顶点构成的多面体为正八面体，则该正八面体的体积为（
）
A
B ．C
D ．4
38
3
【答案】B
的正方形，棱锥的高为
，由体积公式计算可得答案.
1
棱锥的高为，所以该正八面体的体积为.1142133⨯=
故选：B.
5．写算，是一种格子乘法，也是笔算乘法的一种，用以区别筹算与珠算，它由明代数学家吴敬在其撰写的《九章算法比类大全》一书中提出，是从天元式的乘法演变而来.例如计算89×61，将被乘数89
计入上行，乘数61计入右行，然后以乘数61的每位数字乘被乘数89的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后从右下方开始按斜行加起来，满十向上斜行进一，如图，即得5429.类比此法画出354×472的表格，若从表内的18个数字（含相同的数字，表周边数据不算在内）中任取2个数字，则它们之和大于10的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．251815310153451
【答案】D
【分析】画出的表格，从中任取个，得到种不同的取法，再结合它们之和大于的354472⨯22
18C 10取法，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】画出的表格，如图所示，则表内不同的数有，354472⨯0,1,2,3,5,6,8从中任取个，共有种不同的取法，22
18C 其中与各个，与各个，682351从中任取个，它们之和大于的取法为
，
210()()()()()3,8,(5,6),5,8,6,8,6,6,8,8故所求概率为2
18121212222124
.C 15351⨯+
⨯+⨯+⨯+==故选：D.
6．已知奇函数的图象由函数的图象向左平移个单位后得到，则()y g x =()sin(21)f x x =+(0)m m >m 可以是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．1
2π-1
π-1
2
π+1
π+【答案】A
【分析】逐项验证是否等于可得答案.
()g x ()
g x --【详解】当
时，函数的图象向左平移个单位后得到
12m π-=
()sin(21)f x x =+1
2π-，故A 正确；()()g()sin 21sin 2sin 212x x x x g x ππ⎡⎤
-=⎢⎥⎣⎛⎫=+++=-=-- ⎝⎦⎪⎭当时，函数的图象向左平移个单位后得到
1m π=-()sin(21)f x x =+1π-，故B 错误；
()()()
()sin 21sin 121g x x x g x π⎡⎤-=++-≠⎦-=-⎣
当
时，函数的图象向左平移个单位后得到
12m π+=
()sin(21)f x x =+1
2π+，故C 错误；()()()122()sin 21sin 2sin 22g x x x x g x ππ⎡⎤
⎛⎫=+++=-+≠-- ⎪⎝⎭+=+⎢⎥⎣⎦当时，函数的图象向左平移个单位后得到
1m π=+()sin(21)f x x =+1π+，故D 错误；
()()()()sin 21sin 123g x x x g x π⎡⎤+=+++≠⎦-=-⎣故选：A.
7．函数的零点个数为（ ）()ln cos 4f x x x =-A ．B ．C ．D ．23
45
【答案】B
【分析】函数的零点个数，即函数与的图像在区间
()ln cos 4f x x x =-()ln g x x =()()cos 40h x x x =>上的交点个数，作函数图像，利用数形结合求解.()0,∞+【详解】函数，定义域为
，()ln cos 4f x x x =-()0,∞+令，
，
()ln g x x =()
()cos 40h x x x =>函数的零点个数即函数与的图像在区间
上的交点个数，
()ln cos 4f x x x =-()g x ()h x ()0,∞+作出函数与的图像，如图所示，
()g x ()h x
，，，ππln 122g ⎛⎫
=< ⎪⎝⎭πcos 2π12h ⎛⎫== ⎪⎝⎭ππ22g h ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭，，，
(π)ln π1g =>(π)cos 4π1h ==()()ππg h >函数与的图像在区间上有3个交点，即函数的零点有3个.
()g x ()h x ()0,∞+()ln cos 4f x x x =-故选：B
8．已知
是定义在上的奇函数，其导函数为
且当时，
，则
()
f x R (),
f x '0x ＞()()
ln 0f x f x x x '⋅+
>不等式
的解集为（ ）
()()2
10
x
f x -<
A ．
B ．
()
1,1－()
,1()0,1∞⋃－－C ．D ．,11,()()
∞⋃∞－－＋
1,0)
,()(1⋃∞－＋
【答案】B
【分析】构造新函数，利用导数确定的单调性，从而可得时的正负，()()ln g x f x x =()g x 0x >()f x 利用奇函数性质得出时的正负，然后分类讨论解不等式．0x <()f x 【详解】设，则
，所以在上递增，
()()ln g x f x x =()
()()ln 0f x g x f x x x ''=+
>()g x (0,)+∞又，所以时，，此时，所以，(1)0g =1x >()()ln (1)0g x f x x g =>=ln 0x >()0f x >时，，此时，，所以，
01x <<()()ln (1)0g x f x x g =<=ln 0x <()0f x >所以时，，
(0,1)(1,)x ∈+∞ ()0f x >因为是奇函数，所以时，，
()f x (,1)(1,0)x ∈-∞-- ()0f x <由得或，所以或．2
(1)()0x f x -<210()0x f x ⎧->⎨<⎩210
()0x f x ⎧-<⎨>⎩1x <-01x <<故选：B ．
【点睛】关键点点睛：本题考查用导数解不等式，关键是构造新函数，利用导数确()()ln g x f x x =定单调性后，得出的解．
()0f x >二、多选题9．已知函数
的图象恒过点，则下列函数图象也过点的是（ ）
()()
1101x f x a a a -=+>≠,A A
A ．
B ．
2y =21
y x =-+C ．
D ．()2log 21
y x =+1
2
x y -=【答案】ABC
【解析】根据指数函数的性质，得出的图象恒过点，再结合选项中函数的性质，逐项
()
f x (1,2)A 判定，即可求解.【详解】由题意，函数
，
()()
1101x f x a a a -=+>≠,令，可得，即函数的图象恒过点，
1x =()0112f a =+=()f x (1,2)A
A 中，函数，令时，可得，此时函数过点，满足题意；2y =1x =2y =(1,2)A
B 中，函数
，令时，可得，此时函数过点，满足题意；
21
y x =-+1x =2y =(1,2)A
C 中，函数
，令时，可得，此时函数过点，满足题意；
()2log 21
y x =+1x =2y =(1,2)C D 中，函数，令时，可得，此时函数不过点，不满足题意.
1
2x y -=1x =1y =(1,2)故选：ABC.
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，为上一点，则（ ）22:1
43x y C +=12,F F P C A ．
B ．的周长为
C 12
PF F △5
C ．
D ．
1290F PF ∠<
113
PF ≤≤【答案】CD
【分析】由椭圆方程可确定，根据离心率
，焦点三角形周长为可确定AB 错误；
,a c c
e a =
22a c +当为椭圆短轴端点时最大，由此可确定，知C 正确；
P 12F PF ∠()12max 60F PF ∠=
根据
可知D 正确.
1a c PF a c
-≤≤+【详解】对于A ，由椭圆方程知：，，离心率
，A 错误；
2a =1c ==∴1
2c e a =
=
对于B ，由椭圆定义知：
，
，
1224
PF PF a +==1222
F F c ==的周长为，B 错误；
12
PF
F ∴△426+=对于C ，当为椭圆短轴端点时，
P 12tan
2
F PF c b ∠
==，，即，
12
122
122tan
2tan 1tan 2F PF F PF F PF ∠∴∠===∠-1260F PF ∴∠= ()12max 60F PF ∠= ，C 正确；
1290F PF ∴∠< 对于D ，，，，D 正确.1min 1PF a c =-= 1max 3PF a c =+=113
PF ∴≤≤故选：CD.
11．在中各角所对得边分别为，，，下列结论正确的有（ ）ABC a b c A ． 则为等边三角形；
cos cos cos a b c
A B C ==
ABC B ．已知
，则；
()()3a b c a b c ab ++
+-=60C ∠= C ．已知
，，则最小内角的度数为；
7a =b =c =30
D ．若，，，解三角形有两解．5a =60A =
6b =【答案】ABC
【分析】根据已知条件，利用正余弦定理解三角形，逐个验证选项.
【详解】由，有，由正弦定理有，故，cos cos cos a b c
A B C ==
cos cos a A b B =sin sin a A b B =cos sin cos sin A A B B =则有，即
，为中内角，所以，
sin cos cos sin 0A B A B -=()sin 0
A B -=,A B ABC A B =同理，则为等边三角形，故A 选项正确；
A C =ABC 由，可得，，为中内角，()()3a b c a b c ab +++-=222a b c ab +-=2221
cos 22a b c C ab +-==C ABC 则有，故B 选项正确；
60C ∠=
已知，，由
，7a =b =c =C ∠222cos 2a b c C ab +-===
为中内角，则有，故C 选项正确；
C ABC 30C ∠=
，，，由正弦定理有，得，则三角形无解，D 选项错5a =60A = 6b =sin sin a b
A B =
sin 1B =>误.故选：ABC
12．如图所示，在长方体
，若分别是的中点，则下列结论
1111ABCD A B C D -,,AB BC E F =11
,AB BC 中成立的是（ ）
A ．EF 与B
B 1垂直
B ．EF ⊥平面BDD 1B 1
C ．EF 与C 1
D 所成的角为45°D ．EF ∥平面A 1B 1C 1D 1
【答案】ABD
【分析】连接A 1B ，运用中位线定理推出EF ∥A 1C 1，结合线面平行和垂直的判定定理和性质定理，分析判断A ，B ，D 正确；再由异面直线所成的角的概念判断C 错误．【详解】解：连A 1B ，A 1C 1，则A 1B 交AB 1于E ，又F 为BC 1中点，
可得EF ∥A 1C 1，由B 1B ⊥平面A 1B 1C 1D 1，可得B 1B ⊥A 1C 1，可得B 1B ⊥EF ，故A 正确；连接D 1B 1，EF ∥A 1C 1，A 1C 1⊥平面BDD 1B 1，可得EF ⊥平面BDD 1B 1，故B 正确；
EF 与C 1D 所成角就是∠A 1C 1D ，∵AA 1的长度不确定，∴∠A 1C 1D 的大小不确定，故C 错误；由E ，F 分别是AB 1，BC 1的中点，得EF ∥A 1C 1，可得EF ∥平面A 1B 1C 1D 1，故D 正确．故选：ABD
．
【点睛】本题考查异面直线的位置关系判定，直线与平面平行和垂直的判定，异面直线所成的角的求法，考查空间想象能力，是中档题．平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为
0,2π⎛⎤ ⎥
⎝⎦两条异面直线所成的角．
三、填空题
13．的展开式中常数项是__________（用数字作答）．
26
2(x x +【答案】240
【分析】写出二项式展开通项，即可求得常数项.6
22x x ⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭【详解】 6
22x x ⎛⎫
+ ⎪
⎝
⎭
其二项式展开通项：()
626
12r
r
r r C x
x T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭
=1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅1236(2)r r r
C x -=⋅当，解得1230r -=4
r =的展开式中常数项是：.∴6
22x x ⎛⎫
+ ⎪
⎝
⎭664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=故答案为：.
240【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握
的展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
()n
a b +1C r n r r r n T a b -+=
14．将直线绕它上面一点沿逆时针方向旋转，所得到的直线方程是______．1y x =-(15︒
【答案】y
【分析】由直线的倾斜角，得到逆时针方向旋转后的倾斜角，求出旋转后的斜率，1y x =15︒使用点斜式求出旋转后的直线方程即可.
【详解】直线的斜率，倾斜角，1y x =11k =145α=︒
绕直线上一点
沿逆时针方向旋转后，倾斜角，斜率
(15︒2
451560α
=︒+︒=︒
2tan 60k =︒=
∴旋转后得到的直线方程为：，即.
)
1y x =-y =
故答案为：.
y =15．三名旅游爱好者商定，新冠肺炎疫情全面结束后，前往湖北省的武汉、宜昌、黄冈三个城市旅游.如果三人均等可能的前往上述三个城市之一，则他们选择同一个城市的概率是_______.【答案】19
【解析】根据三人均等可能的前往三个城市之一，可得共有种选择情况，他们选择同一城市
3
327=有种情况，即可求得答案.
3【详解】三人均等可能的前往三个城市之一
共有种选择情况，
∴3
327=他们选择同一城市有种情况，
3
概率为.
∴31279=
故答案为：.
1
9【点睛】本题主要考查了求事件概率问题，解题关键是掌握概率计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
16．从抛物线的准线上一点引抛物线的两条切线、，且、为切点，若直线
24x y =l P PA PB A B 的倾斜角为，则点的横坐标为______.
AB 6π
P
【分析】设点
，求出切点弦所在直线的方程，结合已知条件求出的值.
(),1P t -AB t 【详解】设点
，设点
、
，对函数
求导得
，
()
,1P t -()
11,A x y ()
22,B x y 2
4x y =
2x
y '=
所以，直线的方程为，即，即，
PA ()1112x y y x x -=-211122x x x y y -=-112x x
y y =-同理可知，直线的方程为，PB 22
2x x y y =-由于点为直线、的公共点，则
，
P PA PB 1122220220
tx y tx y -+=⎧⎨
-+=⎩所以，点、的坐标满足方程，
A B 220tx y -+=所以，直线的方程为，由题意可得
AB 220tx y -+
=tan
6
2t π
=
t 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的切点弦所在直线的方法如下：
（1）求出两切线与圆锥曲线的切点坐标，利用两点式方程可得出切点弦所在直线的方程；（2）写出圆锥曲线在切点（在圆锥曲线上）处的切线方程，将两切线的公共点代入两切线方程，通过说明两切点的坐标满足某直线方程，可得出切点弦方程.
四、解答题
17．的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A 为锐角，.ABC 22
sin cos 2c a B C ab --=
（1）求A ；
（2）若
，且边上的高为的面积.
b =
BC ABC
【答案】（1）；（2）6π
【分析】（1）先用余弦定理化余弦为边，再用正弦定理化边为角从而求得；
A （2）由余弦定理用表示，然后把三角形的面积用两种方法表示求得，从而可计算出面积．
c a c 【详解】（1）由
得，22
sin cos 2c a B C ab --=
222sin 2cos ab B ab C c a -=-由余弦定理得，所以，
22222
2sin ab B c a b c a +--=-2sin a B b =由正弦定理得，是三角形内角，，2sin sin sin A B B =B sin 0B ≠所以
，又A 为锐角，所以．
1sin 2A =
6A π
=
（2）由（1）
，
，2222232cos 2cos 166a b c bc A c c c π=+-=
+-⋅⋅27
16c =a =
所以11sin 22ABC S bc A a ==⨯△2111222⨯=⨯c =
b ==
111
sin 222ABC S bc A ===△【点睛】思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．利用正弦定理和余弦定理进行边角互化是解题关键．三角形的面积采取了二次计算，通过不同的计算方法得出等式，从而求解．这是一种解题技巧．18．已知等比数列满足
是的等差中项．
{}n a 131,1
a a =+24,a a (1)求数列的通项公式；{}n a (2)记
，求数列
的前项和.
121
log n n n b a a ++={}n b n n S 【答案】(1)
1
2n n a -=(2)1
(1)22
n n S n +=-⨯+【分析】（1）结合等比数列性质，将全部代换为与
有关的形式，结合等差中项性质化
234
,,a a a 1,a q
简即可求解；
（2）结合（1）可得，由错位相减法可求.
2n
n b n =⋅n S
【详解】（1）设等比数列
的公比为q ，
{}n a ，又
，∴，，；
()324
21a a a +=+11
a =()()232211q q q q q +=+=+2q =1
2n n a -=（2）
，
121log 2n
n n n b a a n ++==⨯①，
1212222n n S n =⨯+⨯++⨯ ②，
231212222n n S n +=⨯+⨯++⨯ ①-②得：，
121
1212122n n n S n +-=⨯+⨯++⨯-⨯ .
1(1)22n n S n +=-⨯+19．如图，四边形是正方形，平面，，，，为ABCD PA ⊥ABCD //EB PA 4AB PA ==2EB =F 的中点．
PD
(1)求证：平面；
//BD PEC (2)求平面与平面夹角的余弦.PCD PCE 【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）利用空间向量共线的坐标表示以及线面平行的判定定理证明；（2）利用空间向量的坐标运算计算平面与平面所成角的余弦值.
【详解】（1）证明：依题意，平面．
PA ⊥ABCD 如图，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向，A AD AB AP x y z 建立空间直角坐标系．
依题意，可得
，
，，
()
000A ，，()
040B ，，(4,4,0)C ，，，．
(4,0,0)D ()004P ，，(0,4,2)E (2,0,2)F 取的中点，连接．
PC M EM 因为，，，(2,2,2)M (2,2,0)EM =- (4,4,0)BD =- 所以，所以．
2BD EM =
//BD EM 又因为平面，平面，EM ⊂PEC BD ⊄PEC 所以平面．
//BD PEC （2）因为,所以，
PA AD =AF PD ⊥又因为平面，平面，PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD 所以，且,,PA CD ⊥CD AD ⊥PA AD A ⋂=所以平面，
CD ⊥PAD 又因为平面，所以，AF ⊂PAD CD AF ⊥且平面,,,PD CD D PD CD ⋂=⊂PCD 所以平面,平面,
AF ⊥PCD PC ⊂PCD 所以，，，平面，
AF PC ⊥PD PC P ⋂=PD PC ⊂PCD 所以平面，故
为平面的一个法向量．AF ⊥PCD (2,0,2)AF = PCD 设平面的法向量为
，
PCE ()
n x y z =
，，因为(4,4,4),(0,4,2),
PC PE =-=-
所以即，
00n PC n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 4440420x y z y z +-=⎧⎨-=⎩令，得，，故．
1y =-=1x -2z =-(1,1,2)n =---
所以
|cos ,|AF n <>==
所以平面与平面
PCD PCE 20．新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标．某车企随机调查了今年3月份购买本车企生产的汽车的100位车主，经统计其购车种类与性别情况如下表：
单位：人
购置新能源汽车
购置传统燃油汽车总计男性501060女性251540总计
75
25
100
(1)根据表中数据，在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，是否可以认为购车种类与性别有关；(2)用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽车的概率，从该车企今年3月份售出的汽车中，随机抽取3辆汽车，设被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为X ，求X 的分布列及数学期望．
附：
，．2
2
()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=
++++n a b c d =+++()
2P k αχ=≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828
【答案】(1)购车种类与性别有关；(2)X 的分布列见解析，
.
3
()4E X =
【分析】（1）根据给定数表，求出的观测值，再与临界值表比对即可作答.
2
χ（2）求出抽取传统燃油汽车的概率、X 的所有可能值，利用二项分布求出分布列及期望作答.【详解】（1）设零假设为
：购车种类与性别无关，
0H
根据数表可得，
22
100(15502510)50 5.024
752560409χ⨯-⨯==>⨯⨯⨯所以零假设
是错的，即在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，可以认为购车种类与性别有关.
0H （2）随机抽取1辆汽车属于传统燃油汽车的概率为
，251
1004=被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为X ，X 的可能值为：0，1，2，3，依题意，
，，
1(3,)4X B ()0
3
031327
0C 4464P X ⎛⎫
⎛⎫==⋅=
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭，，
()1
2
13
13271C 4464P X ⎛⎫
⎛⎫==⋅= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
()2
1
231392C 4464P X ⎛⎫⎛⎫
==⋅=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
()3
33
1313C 4464P X ⎛⎫
⎛⎫
==⋅=
⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭所以X 的分布列为：X 0123P
2764
2764
964
164
X 的数学期望
.
13()344E X =⨯
=21．已知点坐标为，点，分别为椭圆的左、右顶点，直线
P ()0,2-A B ()22
22:10x y E a b a b +=>>交于点，是等腰直角三角形，且.
BP E Q ABP 32PQ QB
= （1）求椭圆的方程；
E （2）设过点的动直线与相交于，两点，当坐标原点位于以为直径的圆外时，求P l E M N O MN 直线斜率的取值范围.
l
【答案】（1）；（2）
.2214x y +=2,2⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）首先根据是等腰直角三角形和得到，，根据得
ABP ()0,2P -2a =()2,0B 32PQ QB =
到，再将代入椭圆方程即可得到答案.
64,55Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭64,55Q ⎛⎫
- ⎪⎝⎭22214x y b +=（2）设直线为，联立直线与椭圆得到，根据得到
，
2y kx =-(
)
2
2
1416120k x kx +-+=0∆>234k >
根据原点位于以为直径的圆外，得到，再利用根系关系即可得到答案.
O MN 0OM ON ⋅>
【详解】（1）因为是等腰直角三角形，
，所以，
ABP ()
0,2P -2a =()
2,0B 设，因为，所以，
()00,Q x y 32PQ QB = ()()00003
,22,2x y x y +=--所以，解得，即.()0000
322
322x x y y ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪+=-⎪
⎩006545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩64,55Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭将代入椭圆方程得，
64,55Q ⎛⎫
- ⎪⎝⎭22214x y b +=21b =所以椭圆E 的方程为.
2
21
4x y +=（2）依题意得，直线的斜率存在，方程设为，l 2y kx =-联立，整理得，
22
2
14y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()
22
1416120k x kx +-+=因直线与有两个交点，故，解得
.
l E ()()2
2
1648140k k
∆=--+>23
4k >
设
，
，
()
11,M x y ()
22,N x y 由根与系数的关系得，12212
216141214k x x k x x k ⎧
+=⎪⎪+⎨
⎪=⎪
+⎩因坐标原点位于以为直径的圆外，
O MN 所以，即，0OM ON ⋅> 12120x x y y +>又由
()()()()212121212121222124
x x y y x x kx kx k x x k x x +=+--=+-++，
()222121612401414k
k k
k k =+⋅
-⋅+>++解得
，
2
4k <综上：或
2344k <<2k <<2k -<<【点睛】本题第一问考查椭圆的标准方程，第二问考查直线与椭圆的位置关系，同时考查学生的计算能力，属于中档题.22．已知函数
.
()21
x f x e ax x =---(1)当时，求曲线
在点处的切线的方程；
1a =()
y f x =()()1,1f
(2)若，求实数的取值范围.
()0
f x ≥a 【答案】(1)()3y e x
=-(2)(
],0-∞【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可点斜式求切线方程；
（2）可转化为恒成立，先证当时，上式不恒成立，再证当时，放缩
2
1x e ax x ≥++0a >0a ≤，构造函数，利用导数证明即可.
211ax x x ++≤+()e 1x
h x x =--1x e x ≥+【详解】（1）因为，当时，切点为
，
()21x f x e x x =---1x =()1,3e -求导
，故切线斜率
，
()21x f x e x '=--()13
k f e '==-所以所求切线方程为
.
()3y e x
=-（2）等价于恒成立，
()0f x ≥2
1x e ax x ≥++当时，上式不恒成立，证明如下：
0a >当时，，当
时，，
0x <1x
e <1
x a <-
()21111ax x x ax ++=++>从而不恒成立，
2
1x e ax x ≥++当时，，下面先证明，
0a ≤211ax x x ++≤+1x
e x ≥+令
，则
，
()1
x h x e x =--()1
x h x e '=-当时，，
单调递减；当时，
，
单调递增，
0x <()0
h x '<()
h x 0x >()0
h x '>()
h x 所以
，即
，
()()min 00
h x h ==()0
h x ≥所以，而，故，
1x
e x ≥+211ax x x ++≤+21x e ax x ≥++综上，若，则实数的取值范围为.
()0
f x ≥a (],0-∞。