高考数学一轮总复习 第40讲 不等式的解法课件 文 新人教A版

)
A．{x|－1＜x＜1}
B．{x|0＜x＜3}
C．{x|0＜x＜1}
D．{x|－1＜x＜3}
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【解析】
原不等式组等价于xx2<x－1 3<0
⇒ －1<x<1 0<x<3
⇒0<x<1.故选 C.
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【点评】 一元二次不等式的求解问题是高中数学的基础 性知识，是解决其他问题的基础．
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素材
(sùcái
)1
设集合 M＝{x|x2－x<0}，N＝{x||x|<2}，则( )
A．M∩N＝∅
B．M∩N＝M
C．M∪N＝M
D．M∪N＝R
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【解析】因为 x2－x<0⇔x(x－1)<0⇔0<x<1. 所以 M＝{x|0<x<1}， 而|x|<2⇔－2<x<2，所以 N＝{x|－2<x<2}． 在数轴上分别表示 M、N(如图)，知：
x1＋x2＝m1－－m2
，
x1·x2＝1－1 m
因为x11＋x12＝x1x＋1x2x2＝m－2，
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所以x121＋x122＝(x11＋x12)2－x12x2 ＝(m－2)2＋2(m－1)≤2. 得 m2－2m≤0，所以 0≤m≤2. 所以 m 的取值范围是{m|0<m<1 或 1<m≤2}．
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1．熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不 等式(组)的解法(jiě fǎ)． 2．掌握简单指数和对数不等式的解法(jiě fǎ) ．
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1．整式不等式的解法：根轴法 步骤：正化，求根，标根，穿线(偶重根打结)，定解． 特例：①一元一次不等式ax b解的讨论；
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【解析】2x2＋2x－4≤(12)－4＝24⇒x2＋2x－4≤4， ⇒x2＋2x－8≤0⇒(x＋4)(x－2)≤0 ⇒－4≤x≤2.
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一 一元(yī yuán)二次不等式(组)的 解法
【例 1】不等式组xx22－ －13＜ x＜00 的解集为(
(3)其次对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出 解集．
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素材
(sùcái )3
关于 x 的方程 x2－(m－1)x＋2－m＝0 的两根为正数，
则 m 的取值范围是( )
A．{m|m≤－1－2 2或 m≥－1＋2 2}
B．{m|1<m<2}
C．{m|m≥2 2－1}
D．{m|－1＋2 2≤m<2}
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三 含参不等式的解法(jiě fǎ)
【例 3】 解关于 x 的不等式axx－－21>1(a≠1)．
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【解析】 原不等式等价于a－1xx－－2a－2>0 ⇔(a－1)(x－aa－ －21)·(x－2)>0.① 当 a>1 时，式①⇔(x－aa－ －21)(x－2)>0， 因为aa－ －21－2＝－a－1 1－1<0，所以aa－ －21<2.
f(x)>2 的解集为( )
A．(1,2)∪(3，＋∞)
B．( 10，＋∞)
C．(1,2)∪( 10，＋∞) D．(1,2)
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【解析】 (1)将不等式变形得 3－x2＋8>3－2x， 则－x2＋8>－2x，从而 x2－2x－8<0， 即(x＋2)(x－4)<0，解得－2<x<4， 所以不等式的解集是{x|－2<x<4}．
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M∩N＝{x|0<x<1}＝M，M∪N＝{x|－2<x<2}＝N， 故选 B.
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二 指数、对数(duìshù)不等式的解法
【例 2】(1)不等式(13)x2－8>3－2x 的解集是__________．
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2ex－1
x<2
(2)设 f(x)＝log3x2－1 x≥2 ，则不等式
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【点评】 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数 有密切关系，解一元二次不等式时必须联想到相应的二次 函数图象和性质，以及相应一元二次方程的根的情况．
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1．一元二次不等式ax2 bx c 0(a 0)的解 集的确定受a的符号、b2 4ac的符号的影响，注 2．解分式不等式的基本思想是等价转化，即 采用正确的方法将分式不等式转化为整式不等式 或不等式组来解决． 3．无理不等式：转化为有理不等式求解． 4．指数不等式与对数不等式：转化为代数不 等式求解．
②一元二次不等式ax2 bx c 0(a 0)解 的讨论． 2．指数不等式的解法：转化为代数不等式
a f x ag(x) a 1 ① __________； a f x ag(x) 0 a 1 ② __________； a f x b(a 0，b 0) f x lga lgb.
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【分析】 (1)由 Δ>0 求解 m 的范围；(2)由韦达定理 列出 m 的不等式求解．
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【解析】(1)根据题意，m≠1 且 Δ>0， 即 Δ＝(m－2)2－4(m－1)(－1)>0，得 m2>0， 所以 m≠1 且 m≠0.
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(2)在 m≠0 且 m≠1 的条件下，
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x＜2
x≥2
(2)原不等式等价于2ex－1＞2 或log3x2－1＞2 ，
即xx＜＞21 或xx≥ ＞2 10或x＜－ 10 ，
所以 1＜x＜2 或 x＞ 10，故选 C.
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【点评】 (1)考查指数不等式的解法． (2)特殊不等式的求解，转化是一方面，借助于函 数的性质和图象也是解决问题的有效手段．
值范围是( )
A．(0，
2 2)
B．( 22，1)
C．(1， 2)
D．( 2，2)
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0<a<1 【解析】由指数函数与对数函数的图象知 1 ， 1
loga2>42 解得 0<a< 22，故选 A.
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|x－2|<2 4.(2012·永 州 模 拟 ) 不 等 式 组 log2x2－1>1 的 解 集 为
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素材
(sùcái
)2
若不等式 x2－2ax＋a>0 对 x∈R 恒成立，则关于 t 的
不等式 a2t＋1<at2＋2t－3<1 的解集为( )
A．1<t<2
B．－2<t<1
C．－2<t<2
D．－3<t<2
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【解析】若不等式 x2－2ax＋a>0 对 x∈R 恒成立， 则 Δ＝4a2－4a<0，所以 0<a<1. 又 a2t＋1<at2＋2t－3<1，则 2t＋1>t2＋2t－3>0， 即2t2t＋＋21t>－t23＋>02t－3 ，所以 1<t<2.
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【点评】 (1)含参数的一元二次不等式，若二次项系 数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不 易因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不 漏．
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(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为 零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解 集的形式．
() A．(0， 3)
B．( 3，2)
C．( 3，4)
D．(2,4)
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【解析】由|x－2|<2 得 0<x<4；由 x2－1>2 得 x> 3或 x< － 3，取交集得 3<x<4，故选 C.
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5.不等式 2x2＋2x－4≤(21)－4 的解集为 [－4,2] .
f (x) 0
④
g
(x)
0
f (x) g(x)
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1.(2012·湖 南 卷 ) 不 等 式 x2 － 5x ＋ 6≤0 的 解 集 为 ________．
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【解析】由 x2－5x＋6≤0，得(x－3)(x－2)≤0，从而得不 等式 x2－5x＋6≤0 的解集为{x|2≤x≤3}．
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2.(2012·重庆卷)不等式xx－ ＋12<0 的解集为( )
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－2)
C．(－2，1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
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【解析】xx－ ＋12<0⇒(x－1)(x＋2)<0⇒－2<x<1.
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3.(2012·全国新课标卷)当 0<x≤21时，4x<logax，则 a 的取
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3．对数不等式的解法：转化为代数不等式
loga f x logag xa 1 ③
；
loga f x logag x0 a 1 ④
.
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【要点指南】：
f (x) 0
①f
x
g
x ；②f
x
g
x ；③
g
(
x)
0
；
f (x) g(x)
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【解析】 设方程 x2－(m－1)x＋2－m＝0 的两根为正
数 x1、x2.
Δ≥0
m－12－42－m≥0
则有x1＋x2>0 ，即m－1>0
，
x1·x2>0
2－m>0
所以－1＋2 2≤m<2.
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பைடு நூலகம்
备选(bèi xuǎn)例题
已知抛物线 y＝(m－1)x2＋(m－2)x－1(x∈R)． (1)当 m 为何值时，抛物线与 x 轴有两个交点？ (2)若关于 x 的方程(m－1)x2＋(m－2)x－1＝0 的两 个不等实根的倒数平方和不大于 2，求 m 的取值范围．
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所以原不等式的解集为(－∞，aa－ －21)∪(2，＋∞)， 当 a<1 时，式①⇔(x－aa－ －21)(x－2)<0， 由 2－aa－ －21＝a－a 1知， 当 0<a<1 时，aa－ －21>2，原不等式的解集为(2，aa－ －21)；
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当 a＝0 时，原不等式等价于(x－2)2<0，解集为∅； 当 a<0 时，aa－ －21<2，原不等式的解集为(aa－ －21，2)． 综上所述，当 a<0 时，解集为(aa－ －21，2)； 当 a＝0 时，解集为∅； 当 0<a<1 时，解集为(2，aa－ －21)； 当 a>1 时，解集为(－∞，aa－ －21)∪(2，＋∞)．