江苏省常州高级中学2016届高三上学期周练数学试题(10)

江苏省常州高级中学2015-2016学年第一学期高三数学周练（10）
班级 学号 姓名
一、填空题：
1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{－1,0,1}，则A B = ． 2．命题“若实数a 满足2a ≤，则24a <”的否命题是 命题（填“真”、“假”之一）． 3．已知 A ( – 1 , 1 ) ，B ( 2 , – 1 ) ．若直线 AB 上的点 D 满足2-=，则 D 点坐标为 ．
4．函数2sin y x x =-在（0，2π）内的单调增区间为 ． 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若2
2
2
1
()tan 2
b c a A bc +-=
， 则 sin A = . 6．已知数列{}n a 满足262n a n =-，当此数列的前n 项和n S 取最大值时，n 的值是 ． 7．设{}n a 是公比为q 的等比数列，令1(1,2,3,)n n b a n =-= ，若数列{}n b 有连续四项在集合}2,1,3,5,7{--中，则q =____________．
8．在等差数列{}n a 中，已知首项10a >，公差0d >.若122360,100a a a a +≤+≤，则
155a a +的最大值为 ．
9．已知函数5,6()(4)4,62
x a x f x a x x ->⎧⎪
=⎨-+≤⎪⎩，数列{}n a 满足()n a f n =，且数列{}n a 是单调递增数列，则实数a 的取值范围是 ．
10．已知函数)(x f 的值域为[][]0,4(2,2)x ∈-，函数()1,[2,2]g x ax x =-∈-，对 1[2,2]x ∀∈-，总0[,2]x ∃∈-，使得01()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围为 ．
11．已知菱形ABCD 中，对角线AC
BD =1，P 是AD 边上的动点，则PB PC ⋅
的最小值
为 ．
12．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，当x ＞0时，f (x ＋1)＝f (x )
＋f (1)．若直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ． 13．数列{}n a 中，112
a =，*1()(1)(1)
n
n n na a n N n na +=
∈++，则数列{}n a 前2015项的和
为
．
14．已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于*n N ∈，有
1135((2n n n n
n
n k a a a a
a a +++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数)为偶数,k 是使为奇数的正整数)，若存在*m N ∈，当n m >且n a 为奇
数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为 ． 二、解答题： 15．已知向量()()()x f x x x ⋅==+=
,cos 2,1,cos ,22sin 3．
（1）求函数()x f 的最小正周期及对称轴方程；
（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ，若()4=A f ，b =1，△ABC 的面积
为2
3
，求a 的值．
16．已知数列{}n a 、{}n b 中，对任何正整数n 都有：
11213212122n n n n n n a b a b a b a b a b n +---+++++=-- ．
（1）若数列{}n a 是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{}n b 是等比数列；
（2）若数列{}n b 是等比数列，则数列{}n a 是否是等差数列，若是请求出数列{}n a 的通
项公式，若不是请说明理由．
17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ． （1）若数列{}n a 是等比数列，满足231
32a a a =+，且23+a 是2a ，4a 的等差中项，
求数列
{}n a 的通项公式；
（2）是否存在等差数列{}n a ，使对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ⋅=+？若存在，请
求出所有满足条件的等差数列；若不存在，请说明理由．
18．如图，已知海岛A 到海岸公路BC 的距离AB 为50km ，B 、C 间的距离为100km ，
从A 到C ，必须先坐船到BC 上的某一点D ，船速为25km /h ，再乘汽车到C ，车速为50km /h ，记∠=BDA θ． （1）试将由A 到C 所用的时间t 表示为θ的函数()t θ； （2）θ为多少时，由A 到C 所用的时间t 最少？
θD C
B A
19． 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x （a ，b ∈R ）在点（1，f (1)）处的切线方程为y ＋2＝0． （1）求函数f (x )的解析式；
（2）若对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有| f (x 1) －f (x 2)|≤ c ，
求实数c 的最小值；
（3）若过点M （2，m ）（m ≠2）可作曲线y ＝f (x )的三条切线，求实数m 的取值范围．
20． 已知数列{a n }中，2a =1，前n 项和为S n ，且1()
2
n n n a a S -=． （1）求a 1；
（2）证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式； （3）设1
lg 3n n n
a b +=
，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．
江苏省常州高级中学2015-2016学年第一学期高三数学周练（10）参考答案
1．{}
2．真 3．⎪⎭⎫ ⎝⎛-311, 4．⎪⎭
⎫
⎝⎛3
5,3ππ 5．14
6．1213或 7．1
-2-2
或
8．200
9．(4，8）
10. 55,,22
⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣⎭
11．
12
12．22－2； 13．20152016
14. 15或
15．（1）最小正周期T=π，对称轴方程为)(,6
2Z k k x ∈+=
π
π；（2）3 16．解：（1）依题意数列
{}n a 的通项公式是n a n =，
故等式即为
1
122123(1)22n n n n b b b n b nb n +--++++-+=-- ， 同时有
1232123(2)(1)21n
n n n b b b n b n b n ---++++-+-=-- ()2n ≥， 两式相减可得12121n n n b b b b -++++=- ------------------------------3分 可得数列{}n b 的通项公式是12n n b -=，验n =1，2
知数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列． ---------------------------4分 （2）设等比数列{}n b 的首项为b ，公比为q ，则1n n b bq -=，从而有：
1231123122n n n n n n bq a bq a bq a bqa ba n ---+-+++++=-- ，
又234123121n n n n n bq a bq a bq a ba n ----++++=-- ()2n ≥，
故1(21)22n n n n q ba n +--+=-- -----------------------------6分
212
2n n q q q a n b b b
---=
⨯+⨯+， 要使1n n a a +-是与n 无关的常数，必需2q =， ----------------------------8分 即①当等比数列{}n b 的公比2q =时，数列{}n a 是等差数列，其通项公式是n n
a b
=
；
②当等比数列{}n b 的公比不是2时，数列{}n a 不是等差数列． ------------9分 17．解：（Ⅰ）设等比数列
{}n a 的首项为1a ，公比为q ，
依题意，有⎩⎨⎧+=+=+).2(2,
32342231a a a a a a 即⎩⎨⎧+=+=+)2(.42)()1(,3)2(2
131121q a q q a q a q a ……3分
由 )1(得 0232
=+-q q ，解得1=q 或2=q .
当1=q
时，不合题意舍；
当2=q 时，代入(2)得21=a ，所以，n
n n a 2221=⋅=- . …………………6分
（Ⅱ）假设存在满足条件的数列{}n a ，设此数列的公差为d ，则 方法1： 211(1)
[(1)][]2(1)2
n n a n d a n d n n -+-+
=+，得 222222111331
()()222222d n a d d n a a d d n n +-+-+=+对*n N ∈恒成立， 则2
2
12211
2,232,23
10,22d a d d a a d d ⎧=⎪⎪
⎪-=⎨⎪
⎪-+=⎪⎩
解得12,2,d a =⎧⎨=⎩或12,2.d a =-⎧⎨=-⎩此时2n a n =，或2n a n =-．
故存在等差数列{}n a ，使对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ⋅=+．其中2n a n =， 或2n a n =-． …………………14分
18． 解：（1）50sin =
AD θ，所以A 到D 所用时间12
sin =t θ----------------------------------2分 5050c o s t a n s i n ==
BD θθθ，50cos 100100sin =-=-CD BD θ
θ
所以D 到C 所用时间2cos 2sin =-t θ
θ
---------------------5分
所以122cos ()2sin -=+=+t t t θ
θθ------------------------7分
（2）2
2
2sin (2cos )cos 12cos ()sin sin ---'==t θθθθ
θθθ----9分 令()0'>t θ1cos 2⇒<θ32⇒<<ππθ；所以(,)32
∈ππ
θ，()t θ单调增；------12分
令0∠=BCA θ，则同理03
<<
π
θθ，()0'<t θ，()t θ单调减-----------------------14分
所以3
=
π
θ，()t θ取到最小值；---------------------------------------------------------15分
答：当3
=
π
θ时，由A 到C 的时间t 最少----------------------------------------------16分
注：若学生写03
<<
π
θ，()0'<t θ，()t θ单调减，不扣分
19. 解：（1）f′(x )＝3ax 2＋2bx －3．…………………………2分
根据题意，得⎩⎨⎧f (1)＝－2，
f′(1)＝0，
即⎩⎨⎧a ＋b －3＝－2，3a ＋2b －3＝0．解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0．
所以f (x )＝x 3－3x ．…………………………………4分 （2）令f′(x )＝0，即3x 2－3＝0．得x ＝±1．
因为f (－1)＝2，f (1)＝－2，
所以当x ∈[－2，2]时，f (x )max ＝2， f (x )min ＝－2．……………………………6分 则对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x 1，x 2， 都有| f (x 1) －f (x 2)|≤| f (x )max －f (x )min |＝4，所以c ≥4．
所以c 的最小值为4．……………………………………………………8分 （3）因为点M （2，m ）（m ≠2）不在曲线y ＝f (x )上，所以可设切点为(x 0，y 0)． 则y 0＝x 3
0－3x 0．
因为f′(x 0)＝3x 20－3，所以切线的斜率为3x 2
0－3．……………………9分 则3x 2
0－3＝x 3
0－3x 0－m
x 0－2
，……………………………………………11分
即2 x 30－6 x 2
0＋6＋m ＝0． 因为过点M （2，m ）（m ≠2）可作曲线y ＝f (x )的三条切线， 所以方程2x 3
0－6 x 2
0＋6＋m ＝0有三个不同的实数解． 所以函数g (x )＝2x 3－6 x 2＋6＋m 有三个不同的零点． 则2
则⎩⎨
⎧<>,0)2(,0)0(g g 即⎩
⎨⎧<->+,02,
06m m 解得－6＜m ＜2．…………………16分
20.解：(1)令n =1，则a 1=S 1=
111()
2
a a -=0．…………………2分 (2)由1()2n n n a a S -=
，即2
n n na
S =， ① 得 1
1(1)2
n n n a S +++=
． ② ②－①，得 1(1)n n n a na +-=． ③ 于是，21(1)n n na n a ++=+．
④
③+④，得212n n n na na na +++=，即212n n n a a a +++=． …………………5分 又a 1=0，a 2=1，a 2－a 1=1，
所以，数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列． 所以，a n =n －1． …………………………………8分
注 在得到③式后，两边相除并利用累乘法，得通项公式并由此说明其为等差数列的，亦相应评分
(3)假设存在正整数数组(p ，q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列，
于是，
21333p q
p q
=+． …………………10分 所以，21
3(
)3
3q p p q =-(☆)． 易知(p ，q )=(2，3)为方程(☆)的一组解．…………………12分 当p ≥3，且p ∈N *时，112(1)224333p p p p p p +++--=<0，故数列{23
p
p
}(p ≥3)为递减数列， 于是
2133p p -≤
3
231
33⨯-<0，所以此时方程(☆)无正整数解． 综上，存在唯一正整数数对(p ，q )=(2，3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列．………16分。