圆内接四边形综合题

例2：如图，正方形ABCD 的而积为5, E 、F 分别为CD 、DA 的中点，BE 、CF 相交于P, 求AP 的
长
5 一 5∙∣— ×2^ /-AP= 5
乙 例3、如图，四边形ABCD 内接于00, CB=CD=4. AC 与BD 相交于E, AE=6,线段BE 和DE 的长都
是正整数，求BD 的长
例&如圏 四边形ABCD 内接于Od CB=CD=4, AC 与ED 相交于E, A £=6,线段BE 和DE 旳
长都是正整数，求ED 的长
⅛ β∕ &： = & ・■• ZBDe=ZPBC
T ZBAC=ZBDC/. ZBAC=ZDBC
XZACB=ZBCΣ /.∆ABC∞∆BEC
.・.AC BC=BC EC/. (AE+EC) BC=BC:EC
即(^-Ee):4=4:EC.\EC=2
•.・ AE-EC=EB-ED 即 6×2=EB ∙ED
/.EB ∙ED=12
I 线段EB 和ED 的长是正整数，且三角殄两边之和大于第三边
・•・只能是EB=3, EDH 或EB=ED=3
/.BD 的长是7
例如图，正方形ABCD 的面积为5, E. F 分别为CD ∙ DA 的中点，BE 、CF 相交于P,
求AP 的长
岸连
TDF=CE, CD=BC, ZCDF=ZBCE.,. ∆CDF^∆BCE
/./CFD=ZBEC e /ZDCF÷ZCFD=90o √. ZDCT÷ZBEC=90σ
/. ZEP^>90o XZB AF=90o .∙. ZEPC÷ZBAΓ=1S0o
,.F. A. B 、F 四点共圆.∖AP ∙BF=PF ∙AB+AΓ∙PB β∕Δ∞F∞∆CPE.∙.CD: CP=CF S CE=DF 5 PE 5： CP=I PE
.∙.CP-1, PEW .∙.PF=CF-CP-⅞ -1=⅛ ,PB=BE-PE4 A
3__2
5-2
铜4；如图，OQ 丄AB, 0为ZSABC 外僅圜的圆心，F 为亘线OQ 与AB 的交点，BC 与OQ 交于P
点，A. Cf Q 三点共线，求证：O^^oP-QQ.
/. ×A0F=2 ZAOB,又 ZACB=2 ZAOB .-.ZAOF=ZAC B
AA. 0、P. C 四点茯圆∙.∙∙∕C ⅛Q=∕CFQ
'/Z CPQ =Z BPO , .-.Z OAQ =Z BJO 又ZAPC^ZBPO, .∙.ZOAQ=ZAP0 又
ZAOQ=ZPOA, .∖ΔOAQ∞ΔOPA √.0A l OP=OQ l OA, /.
OA 2=CiP-OQ
例5：如图，P 是C ）O 外一点，PA 与（DO 切于点A, PBC
是C ）O 的割线，AD 丄PO 于D,
求证：PB: BD = Pe:CD ・ 例4：如图，OQlAB, 0为厶ABC 外莪圆內圆心. 点，AS G 0三点共线，求证；OA 2=OPOQ
证明，延长OF 交C)O 于E,连接AP 、OB
VOFlAB, AAf=EF
APA=PByOA=OB, OP=OP
/.∆A0P^ZYB0P
/.ZAP O =ZBPO
VOFIABA J ⅛ = ⅛=2 J ⅛
F 为宜线OQ 与AB 的交点，BC 与OQ 交于 F C
例壬如图，P 是OO 外一点，FA 与C)O 切于点A, PBC ⅛Θ0的割线，ADlPo 于D,
求证：FB ： BD=PC: CD
证明过目B 作BEGeD 交Po 于E 连接C)A 、0B> OC
TPA 是G)O 的切线,ΛPA1C∣A XAr>1PO, .∖ PA 2=PD ♦ PO
JPA 是00的切线，・・・ M 5
=PB ∙ pg /.PD ∙ PO=PB ∙ PC
・・・P 、C 、0、D 四点共圆,
.-.ZBDE-Z BCO JOB=CC /.ZBCO=ZCBO t /.Z BDE =Z CBO 又∙.* Z CBID =Z CDO , ΛZBDE =ZCDO
例6：如图，直线AB 、AC 与00分别相切于B 、C 两点，P 为圆上一点，P 到AB 、AC 的距
AC<MD),设K 是Z ∖AOC 与ADOB 的外接圆除点0外的另一个交点, 求证：ZMKO=90°VBE//CD .,.Z EED =Z CDO ・・・Z BDE -Z BED .,
.BD =BE
TBE//CD .∙.PB: BE=PC: CD 离分别为6cm. 4cm>求P 到BC 的距离 例&如图，直线AB 、AC 与OO 分另拥切于玖C 两点，P 为圆上一点，P 到AB 、AC 的距离分
别为6on 、4cm,求P 到EC 的距离
解：険 FB 、FC 、MK NE β∕PM
丄 AB, PE 丄 BC /.
+ZPEB=I 80°
・・・P 、M 、E 、E 四点共圆
二 ZFMS=ZPB E 同理可证
P 、N. U E 四点共圆 ・•・
N NCP =Z NEP TAC 是圆伶切线
/.ZNCP=Z PBE .∖ZPME=ZNEP 同 SWZPEM=ZPblE
/.PM≡ PME ≡ PN
.β.PE ⅛M ∙ PN /.PE 3=6X4=24
/.PE=2 7
例7： 在半OO 中，AB 为直径,
一直线交半圆周于C. D, 交AB 延长线与M (MB<MA>
例人在半C ）O 中∙ AB 为直径•直线CD 交半圜于α D.交AB 延长线于MeMBVMA, ACUMD 〕.
设K 是MOC 与ADQB 的外按圆探点O 外的另一个交点，求证，ZMKo=90°
IiE B 瓦逵接Ba BK. CR. AD,则
ZEMC=ZACD-ZBAC
=ZABD-ZOKC
=ZoDB-ZOKC =ZOKB-ZOKC
=ZBKC
••・B 、l ∆ K 、C 四点共圆
/.ZλKO =Zλ>KB+Z0KB
=ZMCB÷ZODB
=ZBAD÷Z0DB =ZADoi -ZODB
例8：如图，在圆内接四边形ABCD 中，AB=AD, ZBAD=60° , AC—
求：四边形ABCD 的而枳（用“表示）
.∖AOBC+∞
∖βZACB=ZAI)B=60φ ,
ZAeD=ZABD=60。

・•・ SgBe=(IQ)AC ∙ BC ♦ SinZACB =(1∕2)AC ∙ BC ∙ sin60o
S CADC =(VS)AC ∙ CD ∙ SInZACD =(l∕2)AC ∙ CD ∙ sιn60o
・・ S 四奶 ABCD=Sd A BC+S ct AJ >C =(" 2)AC ∙ BC ♦ s ιn60o ÷(l(f 2)AC ♦ CD ♦ sin 60Q =(1
⑵AeFn60°∙ CBC+CD)
=("2)AC ∙ S]ΓJ 60Ω
∙ AC
例&如图，在Ii 内接四边形ABcD 中，AB=AD, 积(用R 表示)
解"TABCD 是圆O 的内接四边形
.∖AC ∙ BD=AE I ∙ CD+AD ・ BC
VABCD 是圆0的內接四边形
/.AC ∙ BD=AB ∙ CDMD ∙ BC
β.β AB=AD, ZBAD=60°
•••△A3D 是等边三角形
/.AB=AD=BD
/.AC ∙ BD=BD ∙ CD+BD ∙ BC ZBAD=60° , AC P ,求，四边形ABCD 的面
1、设ABCD为圆內接四边形，现绘出四个关系式：(I)SinA=SinC; (2)SinA+sinC=O;
(3)co s B+cosD=0; (4)CO S B=C OS D；苴中忌能成立的关系式的个数是(B)
AX 一个： BS两个： CS三个： DS四个；
2、下面的四边形有外接园的一定是(C)
AS平行四边形；BS梯形； C、等腹梯形；D、两个角互补的四边形；
3、四边形ABCD內接于圆，ZA： ZB： ZC=7： 6： 3,则ZD等于(E )
A、36°； B> 72°； C、144°； D、54。

；
4> 如图 1,在四边形 ABeD 中，AB=BC=AC=ADΛ AHlCD 于 H, CP丄EC 交 AH 于
P, ^AB=>∕3 > AP=B 则 BD 等于(C)
AS 2近; DX 2； CX 3；DS √7 ；
5.对于命题：①內角相等的圆內接五边理是正五边形; ②
內瀚相等的圆内接四边形是正四边形。

以下四个结论中正
确的是(B)
A、①，②都对；BX①对，②错；
C、①错，②对；
D、①，②都错；
二、填空题
6s 如图 2, ∆ABC≠, ZBN50。

，AC=3cm, U∣J∆ABC 的外接圆半経为空CnU
7.如图3, ∆ABC 中，ZACB=€5% ED丄AC 于D, CElABT则ZAEDV ,Z CED=25φ .
8χ如甌∆ABC中，AD是ZBAC的平分线，延长AD交∆ABC的外接园于E∙己知AB=α , ED=/?, BE=C 贝IJAE=些⅛, DE二比∕⅛°
9.如圏5,正方形ABCD的中心为6面积1989,P为正方形內一点’且
ZOPB=45°,
PA： PB = 5： 14,则 PB=42w°
10、如图6,四边形ABCD內接于以AD为言径的圆中，若AB和13C的长廃各
为1，CD=^
2
那么AD=4。

(此題计算过于复杂！〉
妙
IIS如图C 在AABC中，AD为高线，DE丄AB于E, DF丄AC于F。

求证：B. C、F、E四点共虱
W1：在AABD中，由射影定理得
AD2=AE ∙ AB
同理在A ACD中，由射影逹理得
AD2=AF ∙ AC
・•・ AE ・ AB=AE ∙ AB
∙∙B C、F> E 四点共[≡
证注2：连接EF
VDE 丄 AB,
/. ZAED=90°
VDFlAC
・•・ ZAFD-90°
・•・ ZAED+ZAFD=180φ
・・・A. E、D、F四点共圆
・•・ /ADE=/AFE
V ZEAD+ZB=90^ ，ZEAD+ZADE=9Γ
•・ ZB=ZADE
12s如图©四边形ABCD內接于圆，ADS BC的延长线交于F, AB, DC的延长线交于E, EG平分ZAED交BC于交AD于G, FH平分ZAFB交AB于IL交CD于
・・ ZB=ZAFE
・・B、CS FS E四点共圆
=180c・ZA-∣〔180° -ZA-ZADCllSO o・ZXA-ZABC)
=1804・ZA-J [360〃 -2ZA-(ZADC+ ZABC)]
=180c∙ZA∙180° +ZA+∣ X180。

AEGlFH
证注2：
TA. B. CS D 四点共圆
・•・ ZECM=ZBAD
又ZFGM=ZBAD+ ZAEG=ZBAD÷∣ ZAED ZFMG=ZECM + ZDEG= ZECM÷∣ /AED ・•・ ZFGM=ZFMG
二 FG=FM
XZAFH=ZBFH
/.EGlFH 13、如图9, AB 为圆的直径，ADS 求证：AC ∙
AE+BD ∙ BE=AB 2fr 证明：过点E 作EF 丄AE 于F,则
・・ ZEFB=90Λ , ZC=90°
・・・ ZEFB÷ ZC=180 λ
∙∙B CX EX F 四点共圆 ∙∙∙AE ∙ AC=AF ∙ AB ①
/ ZEFA=90Λ
, ZD=90ft
：• ZEFA÷ ZD=90 λ
/ A. DS EX F 四点共圆
Λ BE ∙ BD=BF ∙ AB ②
(IW 得 二 AE ∙ AC÷BE ∙ BD=AF ♦ AB÷BF ∙ AB \
AF+BF=AB
/ AE ∙ AC÷BE ∙ BD=AB 2 14χ 如图 10, AABC 内接丁
圆，P 为 BC ±一点，PD 丄AB 丁 D PEdJBChE, PFl
AC 于B 。

求证：D 、ES F 三点共线。

证明:连接BP 、CPX DES EF
T ZBDP=ZBEIM)O O
・・・B 、DX ES F 四点共画
・•・ ZDEP÷ZDBP=ISO 0
TZCEA90。

，ZCFP-90°
・•・ ZCEP÷ZCFP=18O Q
・・・P 、E 、C 、F 四点共圆
・•・ ZPCF=ZPEF
TA 、BS P 、C 四点共圆
・・・ZPCF=ZDBP
・•・ ZDBP=ZPEF
・•・ ZDEP+ZPEF-ISO o
••・D 、E. F 三点曙 EC 为圆的两条弦，且ED 与AC 相交于E 。

图图。