辽宁省沈阳市2022届高考数学领航考试二 理

"辽宁省沈阳市第二十中学2022届高三高考领航考试 二 数学（理）
试题 "
（第I 卷 选择题）
一．选择题（每题5分，只有一个正确答案，共60分，将你所选答案，涂在答题卡上）
1、设,,,a b c R ∈则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是（ ）
（A ）0ad bc -= （B ）0ac bd -= （C ）0ac bd += （D ）0ad bc +=
2、若πtan 34α⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，则cot α等于（ ） Ａ．2- Ｂ．12- Ｃ．1
2
Ｄ．2
3
、
若
直
线
1
+=kx y 与圆
1
22=+y x 相
交
于
⎪⎭⎫ ⎝⎛-72,73⎪⎭⎫ ⎝⎛-214,72⎪⎭⎫ ⎝⎛-72,73⎪⎭⎫ ⎝⎛-214,72
{}n a 1010a =1070S =d =23-13-
13
23
=⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a ,21,27⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54⎪
⎭⎫ ⎝⎛-53,54⎪⎭⎫
-
⎝⎛31,322⎪⎭⎫
-
⎝
⎛31,322⎪⎭⎫
⎝
⎛-31,322111A B C ∆222A B C ∆111A C ∆222A B C ∆111A B C ∆222A B C ∆111A B C ∆222A B C ∆111A B C ∆222A B C ∆f x '（）2
2
21y x b -=l l
105
10
3
5
2
x 2
2
2
(1)10x x k ---+=k k k k
1
31,11,2,01A y y x x B y y x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪
==-≤≤==-<≤⎨⎬⎨⎬
⎩⎭⎪⎪⎩⎭
()2sin (0)f x x ωω=>,34ππ⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
2-ω5
)
1(-ax 3
x
2312
ξξ
22
143
x y +=2()2(0)y m px p -=>x m p m p m p {}n a {}n b q 11221,a b a b a ==≠n S {}n b n (,k m b a m k =2)11(1)k S m a -=-3(i b a i =)q {}n b {}n a q {}n b q ()11ax
x f x e x
-+=
-0a >()y f x =()0,1x ∈()1f x >a ABC ∆AE BC E BAC ∠BC 2ED EC EB =⋅BC ABC
∆2BC =CE AC 4cos ρθ=θϕ=R ϕ∈ϕ53
π
ϕ=
x 21tx tx t ---≤t 1t =x R ∀∈t []1,1-32
α β A B
A ′
B ′ A B
C
D
E Q P A D C
B
O
BD AC =
2222)
2,0,22(--=AQ 1)
PB =-1
cos ,6
233AQ PB AQ PB AQ PB
⋅<>=
=
=
⋅3
1arccos
2
2)
0,22,22(--=AD (0,0,3)
PQ =-),,(z y x n =⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅0
AD n AQ n ⎪⎩⎪⎨
⎧=+=+0
2y x z x )2,1,1(--=n 32
2
PQ n d n
⋅=
=
＝0，直线AB 的方程为： =1，从而点A 的坐标为（1，
23）或（1，－23
） 因为点A 在抛物线上所以p 249=，89=p 2的焦点坐标为（16
9
，0），该焦点不在直线AB 上
（II ）： 假设存在m 、p 的值使2C 的焦点恰在直线AB 上，由（I ）知直线AB 的斜率存在，
故可设直线AB 的方程为(1)y k x =-．
由22(1)
14
3y k x x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩消去y 得2222(34)84120k x k x k +-+-=…①
设A 、B 的坐标分别为（1,1）, （2,2）,
则1,2是方程①的两根，1＋2＝
2
2438k k +
由2()2(1)
y m px y k x ⎧-=⎨=-⎩ 消去得2
()2kx k m px --=
因为C 2的焦点(,)2p
F m '在直线)1(-=x k y 上，
所以(1)2p m k =-，即2kp m k +=代入②有2
()22
kp kx px -=
即22222
(2)04
k p k x p k x -++= …………………③ 由于1,2也是方程③的两根，所以1＋2＝22
(2)
p k k +
从而22834k k +＝22(2)p k k + 解得2
22
8(43)(2)
k p k k =++ ……………………④ 又AB 过C 1、、＼、、C 2的焦点，所以
12121211
()()(2)(2)2222p p AB x x x x p x x =+
++=++=-+-， 则22122
2
312412
4()4.24343
k k p x x k k +=-+=-=++ …………………………………⑤ 由④、⑤式得22222
8412(43)(2)43k k k k k +=+++，即42
560k k --=．
解得2 6.k =
于是4.3
k p ==
因为C 2的焦点),32
(m F '
在直线1)y x =-上，所以26(1)3
m =-
∴
m =
m = 由上知，满足条件的m 、p
存在，且m =
m =43
p =． 20．解：设{}n a 的公差为d ，由11221,a b a b a ==≠，知0,1d q ≠≠，()11d a q =-（10a ≠）
（1）因为k m b a =，所以()()111111k a q a m a q -=+--，
()()()111121k q m q m m q -=+--=-+-，
所以()()()
()1111111111k k a q a m m q S m a q
q
------=
=
=--
（2）()()23111,11i b a q a a i a q ==+--，由3i b a =，
所以()()()()2
2
111,120,q i q q i q i =+----+-=解得，1q =或2q i =-，但1q ≠，
所以2q i =-，因为i 是正整数，所以2i -是整数，即q 是整数，设数列{}n b 中任意一项为
()11n n b a q n N -+=∈，设数列{}n a 中的某一项m a ()m N +∈=()()1111a m a q +--
现在只要证明存在正整数m ，使得n m b a =，即在方程()()1
11111n a q a m a q -=+--中m 有
正整数解即可，()()11
221
111,111
n n n q q
m q m q q q q ----=+---==+++-，所以
222n m q q q -=+++
，
若1i =，则1q =-，那么2111,222n n b b a b b a -====，当3i ≥时，因为1122,a b a b ==，只要考虑3n ≥的情况，因为3i b a =，所以3i ≥，因此q 是正整数，所以m 是正整数，因此数列{}n b 中任意一项为
()11n n b a q n N -+=∈与数列{}n a 的第222n q q q -+++
项相等，从而结论成立。

（3）设数列{}n b 中有三项()
,,,,,m n p b b b m n p m n p N +
<<∈成等差数列，则有 2111111,n m p a q a q a q ---=+设(),,,n m x p n y x y N
+
-=-=∈，所以
21y
x
q q
=
+，令1,2x y ==，则3210,q q -+=()()2110q q q -+-=，因为1q ≠，所以210q q +-=，
所以()12q =
舍去负值
，即存在12
q -=使得{}n b 中有三项()13,,m m m b b b m N +
++∈成等差数列。

21、解：（I ） 的定义域为（，1）（1，）
()()()
11'''11ax ax
x x f x e e
x x --++⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
()()
()2
2
2
121121ax ax
ax
x a e e x x e ax a x ---+⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭-⎡⎤=
⨯+-⎣⎦
-
因为()
2
1ax
e x ->-（其中）恒成立，所以
()()2
'020f x ax a >⇔+-> ⑴ 当02a <<时，()'0f x >在（，0）
（1，）上恒成立，所以在（，1）（1，）上为增函数；
⑵ 当时，()'0f x >在（，0）
（0，1）（1，）上恒成立，所以在（，1）（1，）上为增函数； ⑶ 当时，
()220ax a +->的解为：
（，）（t ，1）（1，）
（其中
t
（II ）显然
()01f =
⑴ 当02a <≤时，在区间0，1上是增函数，所以对任意（0，1）都有()()0f x f >；
⑵ 当时，是在区间 0，1上的最小值，即
()()0f t f <，这与题目要求矛盾；
⑶ 若，在区间0，1上是增函数，所以对任意（0，1）都有()()0f x f >。

综合⑴、⑵、⑶ ，a 的取值范围为（，2）
22、1略，21
23、12cos ρθ=，21(,22
- 24、1R ，2[]1,3。