2023届内蒙古自治区呼和浩特市高三上学期质量普查调研考试数学(理)试题(解析版)

2023届内蒙古自治区呼和浩特市高三上学期质量普查调研考试数学
（理）试题
一、单选题
1．设集合{}
24x A x =>，}12{34B ＝，，，，则A B =（ ） A ．{}2
B ．{12}，
C ．{234}，，
D ．{3}4，
【答案】D 【分析】解出集合{}2A x x =>，用交集运算法则即可求得.
【详解】由集合{}
24x A x =>解得，{}2A x x =>，又集合}12{34B ＝，，，，所以{}34A B =，. 故选：D
2．若()i 11z -=，则下列说法正确的是（ ）
A ．复数z
B ．1i z =-
C ．复数z 的虚部为－i
D ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限 【答案】B
【分析】根据复数的乘除运算可化简得1i z =+，即可结合选项逐一求解.
【详解】由()i 11z -=得i
111i z =-=+，所以z =A 错误， 1i z =-，故B 正确，
复数z 的虚部为1，故C 错误，
复数z 在复平面内对应的点为()1,1，在第一象限，故D 错误，
故选：B
3．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （－5，m ），且12sin 13α=-，则1cos 2sin 2αα
-=（ ） A ．512 B ．512- C ．125 D ．125
- 【答案】C
【分析】根据三角函数的定义先求出m 的值，从而求出cos α的值，再由二倍角公式化简然后代入即可得出答案.
【详解】角α终边经过点(5,)P m -，且12sin 013
α=-
<，所以角α的终边在第三象限，则0m <.
12sin 13y OP α===-，解得12=-m , 所以5cos 13
x OP α==-， 21cos 22sin sin 12sin 22sin cos cos 5
ααααααα-===. 故选：C
4．已知2a =，1b =，()()21a a b b +⋅-=，则a 与b 的夹角为（ ）
A ．6π
B ．4π
C ．2π
D ．34
π 【答案】B 【分析】根据题意得2221a a b b +⋅-=，再求出1a b ⋅=，代入公式即可求解. 【详解】因为()()21a a b b +⋅-=，所以2221a a b b +⋅-=，又2a =，1b =，
所以1a b ⋅=，设a 与b 的夹角为()0180θθ≤≤， 所以2cos 2a b a b θ⋅==，所以4
πθ=. 故选：B.
5．设123a -=，1312b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 3c =，则（ ） A ．a c b <<
B ．c<a<b
C ．b<c<a
D ．a b c <<
【答案】B 【分析】结合指数函数，对数函数的单调性，以及临界值0和1，判断即可
【详解】由题意，201313a -<==，故(0,1)a ∈
11
30312212b -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭ 223
1log log 10c =<= 故c<a<b
故选：B
6．数列{}n a 中，如果472n a n =-，则Sn 取最大值时，n 等于（ ）
A ．23
B ．24
C ．25
D ．26
【答案】A 【分析】根据等差数列前n 项和的表达式，利用二次函数求最值即可.
【详解】由题意可知：数列{}n a 是以45为首项，以2-为公差的等差数列， 所以2(1)45(2)462n n n S n n n -=+⨯-=-+， 关于n 的二次函数，开口向下，对称轴46232n =
=， 所以当23n =时，n S 最大，即数列{}n a 的前23项和最大，
故选：A .
7．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，点A 是其渐近线上的一点，若||AF 的最小值为3a ，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．10
B ．22
C ．3
D ．3
【答案】A
【分析】利用点到直线的距离结合双曲线的几何意义求解即可.
【详解】由题可知，双曲线渐近线为0bx ay ±=，
则右焦点(c,0)F 到渐近线距离为
22||333bc b a b a a a b =⇒=⇒=+， 所以2222110c b e a a ==+=， 故选：A ．
8．小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距20米的C ，D 两观测点，且C ，D 与教学楼底部B 在同一水平面上，在C ，D 两观测点处测得教学楼顶部A 的仰角分别为45，30，并测得120BCD ︒∠=，则教学楼AB 的高度是（ ）
A ．20米
B ．2
C ．3
D ．25米
【答案】A
【分析】根据仰角可得BC AB h ==，33BD AB h ==，在三角形BCD 利用余弦定理即可求解.
【详解】设教学楼的高度为h ，
在直角三角形ABC 中，因为45ACB ∠=，所以BC AB h ==，
在直角三角形ABD 中，因为30ADB ∠=，所以
tan 30AB BD
=， 所以33BD AB h ==，
在BCD △中，由余弦定理可得2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅∠，
代入数值可得2102000h h --=解得20h =或10h =-（舍），
故选:A.
9．已知函数[]y x =称为高斯函数，其中不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，如图，则输出的S 值为（ ）
A ．42
B ．43
C ．44
D ．45
【答案】D
【分析】根据程序框图的运行过程，得出输出结果是累加计算得S 的值.
【详解】当03i <<时，[]3log 0i =，当39i ≤<时，[]3log 1i =，当927i ≤<时，[]3log 2i =，当27i =时，3log 3i =，所以016218345S =+⨯+⨯+=.
故选：D
10．曲线sin 2cos y x x =+在点()π,2-处的切线方程为（ ）
A ．π20x y ---=
B ．22π20x y ---=
C ．22π20x y +-+=
D ．π20x y +-+= 【答案】D
【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再用点斜式计算可得.
【详解】解：因为sin 2cos y x x =+，所以cos 2sin y x x '=-，
所以π|cos π2sin π1x y ='=-=-，
所以切线方程为()2πy x +=--，即π20x y +-+=.
故选：D
11．已知函数2()23f x x mx m =--，则“m>2”是“()0f x <对[1,3]x ∈恒成立”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．充要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】利用二次函数的图象和性质，求出“()0f x <对[1,3]x ∈恒成立”的m 的取值，再根据集合的包含关系判断选项. 【详解】若()0f x <对[1,3]x ∈恒成立，则(1)240,(3)1860,f m f m =-<⎧⎨=-<⎩
解得3m >， {}3m m >是{}2m m >的真子集，所以“m>2”是“()0f x <对[1,3]x ∈恒成立”的必要不充分条件. 故选:C.
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；
（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；
（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；
（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．
12．定义在R 上的函数()y f x =的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭
成中心对称，对任意的实数x 都有()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭，且()11f -=，()02f =-，则()()()()1232021f f f f ++++的值为（ ） A ．2
B ．1
C ．1-
D ．2-
【答案】A 【分析】根据题意，分析可得函数()f x 是周期为3的周期函数，进而可得()()211f f =-=，
()()302f f ==-，结合函数的对称性可得()1112f f ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭
，进而可得()1f 的值，根据周期性即一个周期内的和()()()1230f f f ++=，即可得答案．
【详解】解：根据题意，()f x 满足()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()332f x f x ⎛⎫+=-+ ⎪⎝
⎭，故()()3f x f x =+， 即函数()f x 是周期为3的周期函数，
则()()211f f =-=，()()302f f ==-,
又由函数()y f x =的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭
成中心对称， 则()1112f f ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭
，进而有()511122f f f ⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则有()()()1230f f f ++=，
则()()()()()()()()()1232021673123122f f f f f f f f f ⎡⎤+++
+=⨯++++=⎣⎦.
故选：A ．
二、填空题
13．若实数x ，y 满足10101x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩
，则2z x y =-的最大值是______．
【答案】4
【分析】作出不等式组表示的平面区域，再根据目标函数的几何意义求解作答.
【详解】作出不等式组10101x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩
表示的平面区域，如图中阴影ABC （含边界），其中点
(1,2),(1,2),(1,0)A B C --，
目标函数2z x y =-，即2y x z =-表示斜率为2，纵截距为z -的平行直线系，
画直线0:2l y x =，平移直线0l 到直线1l ，当直线1l 过点A 时，1l 的纵截距最小，z 最大，则
max 12(2)4z =⨯--=，
所以2z x y =-的最大值是4.
故答案为：4
14．已知圆C 与圆2210100x y x y +++=相切于原点，且过点()0,4A -，则圆C 的标准方程为______.
【答案】22(2)(2)8x y +++=
【分析】设已知圆的圆心为M ，可得M 、O 、C 共线，故圆心C 在直线y x =上，设所求的圆的圆心为(,)C a a ，又所求的圆过点(0,4)A -，可得圆心M 还在直线=2y -上，故可得圆心坐标为(2,2)C --，求得半径AC 的值，可得圆C 的方程．
【详解】解：圆22:10100M x y x y +++=，即：22(5)(5)50x y +++=，故圆心(5,5)M --． 根据两圆相切于原点，可得M 、O 、C 共线，
故圆心C 在直线y x =上，设所求的圆的圆心为(,)C a a ，
又圆C 过点(0,4)A -，又过原点，故圆心C 还在直线=2y -上，故(2,2)C --，半径为222222AC =+=，
故圆C 的标准方程为：22(2)(2)8x y +++=，
故答案为：22(2)(2)8x y +++=．
15．函数()()2sin f x x ωϕ=+π
02,ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列关于()f x 的结论正确的序号为______.
①()f x 的最小正周期为π；
②()f x 的图象关于直线π6
x =对称； ③若12,,63x x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
且()()12f x f x =，则()123f x x + ④()f x 的图象向左平移θ（θ＞0）个单位得到()g x 的图象，若()g x 图象的一个对称中心是π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则θ的最小值为π6
. 【答案】①③④
【分析】根据函数的零点，结合正弦型函数的对称性、图象变换性质逐一判断即可.
【详解】因为0ω>，所以由正弦型函数的周期公式可知：
2πππ2236ωω⎛⎫=⨯+⇒= ⎪⎝⎭
， 即()()2sin 2f x x ϕ=+， 由π2π2π2sin 0π(Z)333f k k ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=⇒+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 因为π2ϕ<，所以令1k =，所以π3ϕ=，即()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 因为()f x 的最小正周期为2ππ2
=，所以①正确；
因为πππ2sin 22663f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，所以()f x 的图象不关于直线π6x =对称，因此②不对； 因为()()12f x f x =，所以12,x x 关于该函数的一条对称轴对称， 令ππππ2π(Z)(Z)32212
m x m m x m +=+∈⇒=+∈， 因为12,,63x x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
，所以令0m =，即对称轴为：π12x =， ()
12πππ2sin 2663f x x f ⎛⎫⎛⎫+==⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，所以③正确； 因为()f x 的图象向左平移θ（θ＞0）个单位得到()g x 的图象，
所以()()π2sin 223f x x g x θθ=⎛⎫+=++ ⎪⎝
⎭， 因为()g x 图象的一个对称中心是π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 所以ππππ22π(Z)6323
n n n θθ⨯++=∈⇒=-， 因为0θ>，所以当1n =时，θ的最小值为π6
，因此④正确， 故答案为：①③④
【点睛】关键点睛：根据函数经过的零点求出函数的解析式是关键.
16．已知P 是半径为1圆心角为
23
π的一段圆弧AB 上的一点，若2AC CB =，则PA PC ⋅的取值范围是______.
【答案】[1 【分析】建立平面直角坐标系，然后求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算求解即可.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，
则(0,0)O ，(1,0)B ，13(,)22A -，过点C 作CD OB ⊥，垂足为D ， 因为1OA OB ==，且2π3
AOB ∠=，所以3AB =，又2AC CB =， 所以1333CB AB ==，在Rt CDB △中，因为π6CBD ∠=，所以1326
CD CB ==， 12DB =，则12OD =，所以13(,)26C ，设2π(cos ,sin ),03P θθθ≤≤， 则2213131123(cos ,sin )(cos ,sin )cos sin sin 2622443
PC PA θθθθθθθ=-----=-+-+ 231sin 3
θ=-，又2π03θ≤≤，所以0sin 1θ≤≤，则232311sin 133θ-≤-≤， 即PA PC ⋅的取值范围是23[1,1]3
-
， 故答案为：23[1,1]3-.
三、解答题
17．如图，在梯形ABCD 中，//,135,510AB CD BCD BD CD ∠=︒==．
（1）求sin CBD ∠的值；
（2）若ABD △的面积为4，求AD 的长．
【答案】（1）10sin CBD ∠=（2）10AD = 【分析】（1）在BCD △中，由正弦定理结合条件可得答案.
（2）在梯形ABCD 中，由条件可得45CBA ∠=︒，由（1）先求出cos CBD ∠，由4ABD CBD π∠=-∠，
可求出sin ABD ∠，由面积公式可求出AB ，再由余弦定理可得答案.
【详解】（1）在BCD △中，由正弦定理知，
sin sin BD CD BCD CBD =∠∠， 所以sin sin BD CBD CD BCD ⋅∠=⋅∠，
因为34
BCD π∠=
，BD ==
即sin CBD ∠= （2）在BCD △中，135BCD ∠=︒，则CBD ∠为锐角
因为sin CBD ∠=
cos CBD ∠=， 在梯形ABCD 中，//,135AB CD BCD ∠=︒,则45CBA ∠=︒
所以sin sin 4ABD CBD π⎛⎫∠=-∠= ⎪⎝⎭， 显然ABD ∠
为锐角，所以cos ABD ∠=， 因为1sin 42
ABD S AB BD ABD =⋅⋅∠=
，所以AB = 所以2222cos 10AD AB BD AB BD ABD =+-⋅⋅∠=
，所以AD =18．已知数列{}n a 满足()112323(1)22n n a a a na n n N +*+++=-⋅+∈．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设()()111n n n n a b a a +=++，数列{}n b 的前n 项之和为n S ，求证：13n S <． 【答案】（1）*2,n n a n N =∈；（2）证明见解析.
【分析】（1）当2n ≥时，得到123123(1)(2)22n n a a a n a n -+++-=-+，两式相减求得2n n na n =⋅，得到即2(2)n n a n =≥，验证12a =适合上式，即可求解； （2）由（1）得到1112121n n
n b +=-++，结合裂项法求和，求得则111321n n S +=-+，即可证得13n S <． 【详解】（1）因为()112323(1)22n n a a a na n n N +*+++
=-⋅+∈， 当1n =时，可得12a =；
当2n ≥时，可得123123(1)(2)22n n a a a n a n -+++-=-⋅+，
两式相减得1(1)2(2)22n n n n na n n n +=-⋅--⋅=⋅，即2(2)n n a n =≥，
显然12a =适合上式，，所以数列{}n a 的通项公式为*2,n n a n N =∈.
（2）由（1）可得()()()()1112111121212121n n n n n n n n n a b a a +++===-++++++，
则21312111111111212121212121321n n n n S ++=
-+-++-=-+++++++， 因为11021n +>+，所以11113213n +-<+，即13
n S <． 19．用水清洗果蔬上残留的农药.对用一定量的水清洗一次的效果做如下假定：用1个单位量的水可以洗掉果蔬上残留农药的一半，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在果蔬上.设用x 单位量的水清洗一次以后，果蔬上残留的农药量与本次清洗前残留的农药的农药量的比值为函数()x ϕ.
(1)试规定()0ϕ的值，并解释其实际意义.
(2)试根据假定写出函数()x ϕ应该满足的条件或性质（三条）.
(3)设()2
11x x ϕ=+，现有()0m m >单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问：用那种方案清洗后果蔬上残留的农药比较少？说明理由.
【答案】(1)规定()01ϕ=，表示没有用水洗时，蔬菜上残留的农药量保持原样；
(2)详见解析；
(3)详见解析.
【分析】（1）根据题意可得；
（2）由题意可得()0ϕ=1，()112
ϕ=，()x ϕ在[0.)+∞上单调递减； （3）根据条件可得两种方法残留的农药量，利用作差法即得结论.
【详解】（1）由题意，规定()01ϕ=，表示没有用水洗时，蔬菜上残留的农药量保持原样. （2）根据题意，函数()x ϕ应该满足的条件和具有的性质是：
()0ϕ=1，()112
ϕ=，()x ϕ在[0.)+∞上单调递减，()01x ϕ<≤.
（3）设仅清洗一次，残留的农药量为211m +， 清洗两次，残留的农药量为2222116[](4)1()2
m m =++， 由22222222
116(8)1(4)(1)(4)m m m m m m --=++++可知，
当
m >m =
0m <<.
20．已知函数()e 2x x x a f x a =-+.
(1)当12
a =时，讨论()f x 的单调性； (2)若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)(),0∞-上单调递减，在[)0,∞+上单调递增. (2)()e,
⎛+∞ ⎝
【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，令()()h x f x ='，利用导数说明()h x 的取值情况，即可得到()f x 的单调性；
（2）令e ()21x x g x x =-，问题转化为y a =与e ()21
x x g x x =-的图象有两个交点，求出函数的导数，根据函数的单调性求出a 的取值范围即可．
【详解】（1）解：当12a =时()1e 2
x x f x x =-+，x ∈R ，则()()1e 1x f x x '=+-， 令()()()1e 1x x h x f x +==-'，则()()2e x h x x '=+，所以当<2x -时()0h x '<，当2x >-时()0h x '>，
即()f x '在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，
又()()22221e 1e 10h ----=-+=--<，()00h =，且当1x <-时e 0x >，10x +<，则()0h x <，
所以当0x <时()0h x <，当0x >时()0h x >，
即当0x <时()0f x '<，当0x >时0f x ，
所以()f x 在(),0∞-上单调递减，在[)0,∞+上单调递增.
（2）解：因为()f x 有两个零点，所以方程()0f x =有两个不同的根，
即关于x 的方程(21)e x x a x -=有两个不同的解， 当12
x =时，方程不成立，所以12x ≠， 令e ()21x x g x x =-，12x ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，则y a =与e ()21x x g x x =-的图象有两个交点， 又222
(21)e (1)(21)e ()(21)(21)x x
x x x x g x x x ---+'==--， 令()0g x '>，解得12x <-或1x >，令()0g x '<，得1122
x -<<或112x <<， 所以()g x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减， 当1
2
x =-时，()g x 取得极大值1()2g -=
当1x =时，()g x 取得极小值()1e g =， 因为e
，且当0x <时，()0g x >，
所以a 的取值范围是()e,
⎛
+∞ ⎝．
21．已知椭圆22
22:1x y C a b
+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，椭圆的右焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)A 、B 是椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率不为0的直线交椭圆C 于点M 、N ，直线AM 与直线x ＝4交于点P .记P A 、PF 、BN 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，
132
2k k k +是否为定值？并说明理由. 【答案】(1)22
143x y += (2)是定值，理由见解析
【分析】（1）由题意可知1c =，再根据离心率为1
2可求2a =，进而可求椭圆方程；
（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，直线MN 的方程为1x my =+，与椭圆22
143x y +=联立，由韦达定理可得12y y +，12y y 的值，联立直线AM 与直线4x =，求出交点P 的坐标，进而得到2k 的表达式，代入已知求解即可．
【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2(0)c c >，因为椭圆的右焦点F 与抛物线24y x =的焦点1,0（）重合，
所以1c =．
因为椭圆C 的离心率为12，所以
12
c a =，解得2a =， 所以222413b a c =-=-=，
所以椭圆C 的方程为22
143x y +=． （2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，直线MN 的方程为1x my =+， 与椭圆22
143
x y +=联立， 得22(34)690m y my ++-=，
因为直线MN 交椭圆C 于M ，N 两点，所以0∆>， 所以122634
m y y m +=-+，122934y y m =-+，
所以12123()2
my y y y =+． 直线11:(2)2y AM y x x =++与直线4x =的交点P 的坐标为116(4,)2y x +，则12122
y k x =+． 设132k k k λ+=，则1122131122222
y y y k k k x x x λλ==+=+++-， 所以1222121122122121121121213()32(3)33(3)2211111432(1)3()2
y y y y x y my my y y y y x y my y my y y y y y y y λ++++++=+⋅=+=+=+=+=---++- 1313222212k k k k k k λ++=⇒=⇒=，即132
2k k k +为定值. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）.在极坐标系（与直角坐
标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C
的方程为ρθ=. （1）求圆C 的参数方程；
（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，求弦长AB .
【答案】（1
）x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩
（θ为参数）； （2
【分析】（1）先将圆C 的极坐标方程化为普通方程，并化为标准方程，确定圆心和半径，即可写出圆C 的参数方程；
（2）将直线l 的参数方程与圆C 的普通方程联立，得到关于t 的二次方程，列出韦达定理，利用弦长公式
12AB t t =-=
AB . 【详解】（1）25ρθ
=，2sin ρθ∴=．
所以，圆
C 的直角坐标方程为220x y +-
=，即(225x y +=，
所以，圆C
的参数方程为x y θ
θ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）；
（2）将直线l 的参数方程代入圆
C
的直角坐标方程，得2235⎛⎫⎫+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，
即240t -+=，
设两交点,A B 所对应的参数分别为12,
t t ，则1212
4t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩
12AB t t ∴=-=【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，考查直线参数方程的几何意义，常将直线参数方程与曲线的普通方程联立，结合韦达定理求解，属于常考题型，考查计算能力，属于中等题．
23．已知m ≥0，函数()212f x x x m =--+的最大值为4，
(1)求实数m 的值；
(2)若实数a ，b ，c 满足2a b c m -+=，求222a b c ++的最小值. 【答案】(1)m ＝2
(2)23
【分析】（1）利用绝对值三角不等式，可得max ()2f x m =+，结合函数()f x 的最大值为4，即可求实
数m 的值；
（2）根据柯西不等式得：()()()22222221212a b c a b c +++-+≥-⎤⎦+⎡⎣，即可求222a b c ++的最小值． 【详解】（1）()()()2122222222f x x x m x x m x x m m =--+=--+≤--+=+
∵m ≥0，∴()22f x m m ≤+=+，当()()2220x x m -+≥时取等号，
∴()max 2f x m =+，又()f x 的最大值为4，∴m ＋2＝4，即m ＝2.
（2）根据柯西不等式得：()()()22222221212a b c a b c +++-+≥-⎤⎦
+⎡⎣， ∵22a b c m -+==，∴22223a b c ++≥
当且仅当121a b c ==-，即13a =，23b =-，13
c =时等号成立. ∴222a b c ++的最小值为2
3.。