2014广州二模数学理试题(含答案)
2014广东省广州市高考数学二模试卷(理科)(含解析)
2014年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）若复数z 满足i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ）．A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i【答案】A【解答】解：∵复数z 满足i 2z =，∴222i2i i i z ===-， 故它的虚部为2-， 故选A ．2．（5分）若函数()y f x =是函数3x y =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）．A ．2log 3-B ．3log 2-C ．19D 【答案】B【解答】解：∵函数()y f x =是函数3x y =的反函数， ∴3()log y f x x ==， ∴3311log log 222f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故选B ．3．（5分）命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是（ ）．A ．存在0x ∈R ，使得3200x x > B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤【答案】C【解答】解：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，∴命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是：存在0x ∈R ，使得3200x x ≤．故选C ．4．（5分）将函数()cos2()f x x x x =+∈R 的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()y g x =，则函数()y g x =（ ）．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数【答案】B【解答】解：函数π()2cos22sin 26f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，图象向左平移π6个单位得到函数()y g x =的图象，所以函数π()2sin 22cos22g x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴函数()y g x =是偶函数．故选B ． 5．（5分）有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是（ ）．A ．16B ．13C ．12D ．38【答案】C【解答】解：两张卡片排在一起组成两位数的基本事件有(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，(2,0)，(3,0)共6种，其中所组成的两位数为奇数有(1,3)，(2,1)，(3,1)共3种， 所以所组成的两位数为奇数的概率是3162=． 故选C ．6．（5分）设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（ ）．ABC ．13D ．16【答案】A【解答】解：∵线段1PF 的中点在y 轴上， 设P 的横坐标为x ，1,(0)F c -， ∴0c x -+=， ∴x c =；∴P 与2F 的横坐标相等， ∴2PF x ⊥轴， ∵1230PF F ∠=︒，∴2112PF PF =，∵122PF PF a +=，∴223PF a =，2121223tan 2a PF PF F F F c ∠===∴ac∴c e a =． 故选A ． 7．（5分）一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）．正视图侧视图俯视图A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+【答案】A【解答】解：由三视图知：几何体是半圆柱与三棱锥的组合体， 半圆柱的高为3，底面半径为2；三棱锥的高为2，底面三角形的两直角边长分别为3，4．∴几何体的体积2111342π2346π322V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+．故选A ．8．（5分）将正偶数2，4，6，8， 按表的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为（ ）．A ．257253【答案】C【解答】解：∵20141612527=⨯+⨯，201482522=⨯-，∴可以看作是1252⨯行，再从251行数7个数，也可以看作252行再去掉2个数，也就是2014在第252行第2列．即252i =，2j =， 所以2522254i j +=+=，故选C ．二、填空题：本大题共5小题，9～13题为必做题，14～15为选做题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．9．（5分）不等式2210x x -<-的解集为__________． 【答案】1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【解答】解：不等式2210x x -<-化为(21)(1)0x x +-<，解得112x -<<．∴不等式2210x x -<-的解集为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭．10．（5分）已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为__________．【答案】8【解答】解：∵312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为341(C 21)rn r r n r r n T x --+⋅-⋅=⋅，展开式的常数项是第7项，∴3460n -⨯=，解得8n =，故答案为8．11．（5分）已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2DE EC = ，2CF FB = ，则AE AF ⋅的值为__________． 【答案】2a【解答】解：∵2DE EC = ， ∴2233DE DC AB == ，又∵2CF FB = ， ∴1133BF BC AD == ， ∴23AE AD DE AB AD =+=+ ，∴13AF AB BF AB AD =+=+ ， ∴2133AE AF AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭222111339AB AD AB AD =++⋅2221033a a =++ 2a =．故答案为：2a ．FCBA12．（5分）设x ，y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪⎩≥≤≥≥若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab的最大值为__________． 【答案】4【解答】解：由(0,0)z ax by a b =+>>得a zx b b=-+，∵0a >，0b >， ∴直线的斜率0ab-<，作出不等式对应的平面区域如图：平移直线得a z x b b =-+，由图象可知当直线a z x b b =-+经过点A 时，直线a zx b b=-+的截距最大，此时z最大．由220840x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得14x y =⎧⎨=⎩，即(1,4)A ，此时目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为8， 即48a b +=，∴84a b =+=≥2， 即4ab ≤，当且仅当44a b ==，即4a =，1b =时取等号． 故答案为：4．13．（5分）已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如 1.52[]-=-，[1.5]1=．设函数()[[]]f x x x =，当*0,)[)(x n n ∈∈N 时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为__________．【答案】21(2)2n n -+【解答】解：∵0,)0,1)1,2)2,3)[[[[,[1)n n n =- ， 当1)[0,x ∈，[[]][00]x x x =⋅=，只有1个， 当2)[1,x ∈，[[]][]1x x x ==，只有1个， 当3)[2,x ∈，{}[[]][2]4,5x x x =∈，有2个， 当4)[3,x ∈，{}[[]][39,10,11]x x x ∈=，有3个， ，当,)[1x n n ∈-，{}2221)1)1,(1)2,,(1)[[]][(1)]1(,(x x n n n n n x n ∈--=+-+--- ，有2(1)(1)1n n n n ---=-个，∴所有A 中的元素个数为2111234(1)(2)2n n n ++++++--=+ ，故答案为：21(2)2n n -+．选做题（坐标系与参数方程选做题）（14～15题，考生从中选做一题）14．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，直线x a t y t =-⎧⎨=⎩（t 为参数）与圆1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）相切，切点在第一象限，则实数a的值为__________． 1【解答】解：圆的参数方程1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）化为普通方程是22(1)1x y -+=，直线的参数方程x a ty t =-⎧⎨=⎩（t 为参数）化为普通方程是x y a +=；直线与圆相切，则圆心(1,0)C 到直线的距离是d r =，1=；解得|1|a -∴1a =，或1a = ∵切点在第一象限，∴1a =；1．三、选做题（几何证明选讲选做题）（14～15题，考生从中选做一题）15．在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接DE ，AC ，AC 与DE 相交于点F ，若AEF △的面积为21cm ，则AFD △的面积为__________2cm ． 【答案】3【解答】解：如图所示FECBAD根据题意，得；∵12AE EB =，∴13AE AE AB CD ==； ∵AE DC ∥， ∴AFE CFD △∽△，∴13AF CF =， ∴14AF AC =； ∴1sin 111213412sin 2AEF ABCAE AF EAFS AE AF S AB AC AB AC BAC ⋅⋅⋅∠==⋅=⨯=⋅⋅⋅∠△△；∴112AEF CDAS S =△△， 又∵219AEF CDF S AE S CD ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，∴13AEF AFD S S =△△， 即233(c )m AFD AEF S S ==△△．故答案为：3．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）如图，在ABC △中，D 是边AC 的中点，且1AB AD ==，BD =． （1）求cos A 的值． （2）求sin C 的值．CBAD【答案】见解析．【解答】解：（1）在ABD △中，1AB AD ==，BD =， ∴22241113cos 22113AB AD BD A AB AD +-+-===⋅⨯⨯；（2）由（1）知，1cos 3A =，且0πA <<，∴sin A ∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==，在ABC △中，2222141cos 243AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅，解得：BC ， 由正弦定理sin sin BC ABA C=得，1sin sin AB A C BC ==．17．（12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(5,15]，(15,25]，(25,35]，(35,45]，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图． （1）求a 的值．（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值．（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为1,2,3,(,)i x i n = ，则样本数据的平均值为112233n n x p x p x p x p =++++ ．）（3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(5,15]内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．a 重量/克【答案】见解析．【解答】解：（1）由题意，得(0.020.0320.018)101a +++⨯=， 解得0.03a =．（2）50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.18424.6x =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）． 由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．（3）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(5,15]内的概率为0.2， 则135B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，．ξ的取值为0，1，2，3，303464(0)C 5125P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，2131448(1)C 55125P ξ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 2231412(2)C 55125P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33311(3)C 5125P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．∴ξ的分布列为：∴64481201231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 18．（14分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ，1EF =，FB FC =，90BFC ∠=︒，AE ．（1）求证：AB ⊥平面BCF ．（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值．FECBAD【答案】见解析．【解答】（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM M B ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =， ∴EF AB ∥，即EF MB∥． ∵1EF M B ==，∴四边形EM BF 是平行四边形． ∴EM FB ∥，EM FB =．在Rt BFC △中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB ． ∴EM =在AEM △中，AE =，1AM =，EM ∴2223AM EM AE +==， ∴AM EM ⊥．∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥． ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥．∵FB BC B = ，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， ∴AB ⊥平面BCF ．（2）连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，取BC 的中点H ，连接OH ，EO ，FH ，则OH AB ∥，112OH AB ==． 由（1）知EF AB ∥，且12EF AB =， ∴EF OH ∥，且EF OH =．∴四边形EOHF 是平行四边形．∴EO FH ∥，且1EO FH ==．由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥，∵FH BC ⊥，AB BC B = ，FH ⊂平面ABCD ，BC 平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD ．∴EO ⊥平面ABCD ．∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO AO ⊥．∵AO BD ⊥，EO BD O = ，EO ⊂平面EBD ，BD 平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD ．∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角．在Rt AOE △中，tan AO AEO EO∠= ∴直线AE 与平面BDEDAB C EF MH O19．（14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意*n ∈N ，都有1(1)n n na S n n +=++． （1）求数列{}n a 的通项公式．（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】见解析．【解答】（本小题满分14分）解：（1）当2n ≥时，1(1)n n na S n n +=++，1(1)(1)n n n a S n n --=+-，两式相减得111)1)((1)(n n n n na n a S S n n n n +--=++----，即11)(2n n n na n a a n +-=+-，得12n n a a +-=．当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=．∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列．∴2(1)22n a n n =-=-．（2）∵22log log n n a n b +=，∴221224n a n n n b n n n --=⋅=⋅=⋅．∴021424344n n T n -=+⨯+⨯++⋅ ，①234424344n n T n =+⨯+⨯++⋅ ，②①﹣②得021344444n n n T n --=+++-+⋅14414nn n -=-⋅- (13)413n n -⋅-=． ∴1[(31)41]9n n T n =-⋅+．20．（14分）已知定点(0,1)F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程．（2）若点A 的坐标为(2,1)，直线11:l y kx =+（k ∈R ，且0k ≠）与曲线E 相交于B ，C 两点，直线AB ，AC 分别交直线l 于点S ，T ．试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．【答案】见解析．【解答】解：（1）由题意，点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离，故点M 的轨迹是以点F 为焦点，l 为准线的抛物线．∴曲线E 的方程为24x y =．（2）设点B ，C 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，依题意得，2114x y =，2224x y =． 1y kx =+代入24x y =，消去y 得2440x kx -=-，∴124x x k +=，124x x =-．直线AB 的斜率1111224AB y x k x -+==-， 故直线AB 的方程为121(2)4x y x +-=-． 令1y =-，得1822x x =-+， ∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭． 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭． ∴2222122128816(1)|2222|x x k ST x x k k ⎛⎫-+=---== ⎪++⎝⎭． 设线段ST 的中点坐标为0(1,)x -， 则0121884(44)22222228k x x x k k ⎛⎫+=-+-=-=- ⎪++⎝⎭．∴以线段ST 为直径的圆的方程为222224(1)(1)k x y k k +⎛⎫+++= ⎪⎝⎭． 令0x =，得2(1)4y +=，解得1y =或3y =-．∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点(0,1)，(0,3)-．21．（14分）已知函数()ln (,)f x a x bx a b =+∈R 在点(1,(1))f 处的切线方程为220x y --=． （1）求a ，b 的值．（2）当1x >时，()0k f x x +<恒成立，求实数k 的取值范围． （3）证明：当*n ∈N ，且2n ≥时，22211322ln23ln3ln 22n n n n n n--+++>+ ． 【答案】见解析．【解答】（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()a f x b x'=+． ∵直线220x y --=的斜率为0.5，且过点(1,0.5)-，∴(1)0.5f =-，(1)0.5f '=，解得1a =，0.5b =-．（2）解：由（1）得()ln 0.5f x x x =-．当1x >时，()0k f x x+<恒成立，等价于20.5ln k x x x -<． 令2()0.5ln g x x x x -=，则()1ln g x x x '=--．令()1ln h x x x =--，则1()x h x x-'=． 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0h x h >=，从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0.5g x g >=．∴0.5k ≤．（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 0.502x x x -+<，可化为21ln 2x x x -<， 又ln 0x x >， 从而，21211ln 111x x x x x >=---+． 把2x =，n 分别代入上面不等式，并相加得， 221111111111132112ln23ln32ln 324112122n n n n n n n n n n --+++>-+-++-=+--=-+++ ．。
2014年广东高考理科数学试卷(纯word版含答案)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃= A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1}【品题】B.考查集合的并集，目测就可以得出结果. 2、已知复数z 满足(34)25,i z +=则z = A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 【品题】A.考查复数的运算，()()()25342534343434i z i i i i ⋅-===-++⋅- 3、若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A ．8 B.7 C.6 D.5【品题】C.考查线性规划，求出三条直线的交点为()111,1,(2,1),,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭，故3,36m n m n ==--=，4、若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等C. 实半轴长相等D.焦距相等【品题】D.考查双曲线，注意到两条双曲线的22234c a b k =+=-相等，故而选D. 5、已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是 A ．（-1,1,0）B. （1,-1,0）C. （0,-1,1）D. （-1,0,1）【品题】B.考查向量的夹角与运算，将ABCD 四个选项代入1cos ,cos602a b a b a b⋅===⋅即可选出正确答案6、已知某地区中小学学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了解该地区中下学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A. 100，10B. 200,10C. 100，20D. 200，20【品题】D.考查分层抽样.总人数为10000人，100002%200⋅=，其中高中生抽取20002004010000=⋅人，故抽取的高中生近视人数为4050%20⋅=人7、若空间中四条两两不同的直线1234,,,,l l l l 满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥⊥则下面结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14//l lC ．14,l l 既不垂直也不平行D ．14,l l 的位置关系不确定 【品题】D.考查空间直线的位置关系.可利用正方体来判断，易得答案. 8、设集合(){}12345=,,,,1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为 A.130 B.120 C.90 D.60【品题】A.考查分类计数原理、排列组合.先分成3类，4个0、3个0、2个0 （1）4个0①4个0，1个1：155C =②4个0，1个-1：155C = （2）3个0：①3个0，2个1：2510C =②3个0，1个1,1个-1：115420=C C ⋅年级③3个0，2个-1：2510C =（3）2个0①2个0，3个1：3510C =②2个0，2个1,1个-1：215330C C ⋅= ③2个0，1个1，2个-1：215330C C ⋅= ④2个0，3个-1：3510C =综上所述，所有的可能性有130种【品味小题】选择很基础了，第8题稍微要一点点细心.答案是BACDBDDA ，选项延续了多年答案3221的模式二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9、不等式125x x -++≥的解集为【品题】(][),32,-∞-⋃+∞.考查简单的绝对值不等式，用几何意义很快得出答案. 10、曲线52x y e -=+在点(0,3)处的切线方程为 【品题】53y x =-+.考查复合函数求导、切线方程.'5'05,|5xx y e y -==-=-，故切线方程为53y x =-+.本题易错点在符合函数求导忘记乘以5-.11、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为【品题】16.考查分步技术原理和古典概型.基本事件731010120C C ==种，包括6且6为中位数的，前3个数从0—5六个数中选3个，后三个数只能是7、8、9，故满足题意的事件有3620C =种，从而概率为16.本题主要分析准确6为7个数的中位数这个条件就可以很快做出来.12、在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+， 则ab=【品题】2.考查正余弦定理，边角互化.222222222a b c a c b b c b ab ac+-+-⋅+⋅=，化简即可.13、若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+， 则1220ln ln ln a a a +++=【品题】50.考查等比数列的基础知识.依题意有51011a a e ⋅=，所求等式左边()10501011ln ln 50a a e =⋅==（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_________【品题】()1,1.考查极坐标方程.212:,:1C y x C y ==，联立方程很快得出结果15、（几何证明选讲选做题）如图3,在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AE EB 2=，AC 与DE 交于点F ，则=∆∆的面积的面积AEF CDF 【品题】9.考查相似三角形面积比等于相似比的平方.【品填空题】10是易错点、11题有点新意；10、12、13等等是广东07—13年高考考过的. 【品小题】难度适中，出得不错。
2014年广东省广州市高考数学二模(理科)试题及参考答案
试卷类型：A2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2014.4 本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i 2．若函数()y f x =是函数3x y =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为A ．2log 3-B ．3log 2-C ．19D 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 将函数()2cos 2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数图1俯视图侧视图正视图5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A ．16 B ．13 C ．12D ．38 6．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为 A ．16 B ．13CD7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253 表1 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则A E A F ⋅的值 为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .D CB A a 图3重量/克0.0320.02452515O 13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦， 当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 . （二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且 12A E EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则 △AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，BD =. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值. 图2 17．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样 本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45， 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++. （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.FE D CB18．（本小题满分14分） 如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值. 图4 19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E .(1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两 点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个 定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值； （2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+.2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分） （1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，3BD =，∴222cos 2AB AD BD A AB AD+-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分（2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin A ==. ……………6分 ∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分解得3BC =……………10分 由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分∴1sin sin AB AC BC⋅===. ……………12分17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭. ……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =，M OH FED C B ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt △BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM = ……………3分在△AME中，AE =1AM =，EM = ∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分 （2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ， 则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =，∴EF ∥OH ，且EF OH =.∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO F H == .……………7分 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分∵FH BC ⊥，,ABBC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EOBD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分 在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠== ……………13分 ∴直线AE 与平面BDE……………14分证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ， 则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH ==. ……………7分 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,ABBC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分 以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -.∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分 设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=， 得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分 设直线AE 与平面BDE 所成角为θ， 则sin θ=cos ,n AE⋅=n AE nAE=. ……………11分∴cos 3θ==，sin tan cos θθθ== ……………13分 ∴直线AE 与平面BDE……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分 当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分 整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分 两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列. ∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分 当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分 又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分 （2）解法1：∵22log log n n a n b +=，∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分 ①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=. ……………13分 ∴()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx-++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分 ∴ ()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. (1)分∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分 解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意,得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440xkx --=， 解得1,22x k ==±.∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分令1y =-，得1822x x =-+， ∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分 ∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x kkk+-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分 ∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242kk k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--， 化简得122kk k =. ……………8分 设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分 得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-. 当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x k x x -+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=. 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=. ……………6分 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增， 故()()112g x g >=. ……………7分 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2x f x x =-. 当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分 令()ln 2x k g x x x =-+，则()222112222k x x kg x x x x -+'=--=-.方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<， 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减. 由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>，则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分 （ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分 (ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x =<=>， 则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<. 故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减， 从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<， 得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分 综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x -+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分又ln 0x x >， 从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分 111121n n =+--+ ……………13分223222n n n n--=+. ……………14分。
广东省花都区2014学年中考二模数学试卷
解：(1)5x 10 6x 6 7
5x 6x 10 6 7
———————— 5 分
x 11
x 11
15
16
1
2 或 3.5
—————— 7 分
当
时，则有 2 ( 10) a ( 10) 3 —————— 8 分
—————— 9 分
18、（本小题满分 9 分）
解：（ 1）作出∠ B 的平分线 BD； （图略）
O
（1）求直线 DE 的解析式和点 M 的坐标；
m （2）若反比例函数 y （
E
求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点
N 是否在该函数的图象上；
m
（3）若反比例函数 y
（ x＞0）的图象与△ MNB 有公共点，请直接写出 m 的取值范围．
x
24．（本小题满分 14 分）
不等式 kx+b ＞ 0 的解集是（
）
A． x＞ 3 C.x ＜ -2
B.-2 ＜x＜ 3 D.x ＞ -2
第二部分 非选择题（共 120 分）
二．填空题 （本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
11． 若分式 1 有意义，则实数 x 的取值范围是 _____ x3
12． 拒绝“餐桌浪费” ，刻不容缓 .据统计全国每年浪费食物总量约 50 000 000 000 千克，这
E
保留作图痕迹，不必写作法和证明） ； （2）连接 DE，求证：△ ADE ≌△ BDE 。
C
第 18 题图
A
19．（本小题满分 10 分）
先化简： x
1
x 1 x2 x
(x 1) ，然后从 1 x 2 中选择一个合适的数代入求值。
2014广东高考真题数学理(含答案)
N （
） ． D． {0,1}
C． {1, 0, 2} ） ．
2.已知复数 z 满足 (3 4i) z 25, 则 z （ A． 3 4i B． 3 4i
C． 3 4i
D． 3 4i
yx 3.若变量 x, y 满足约束条件 x y 1且z 2 x y 的最大值和最小值分别为 M 和 m ， 则M m （ ） ． y 1
15.（几何证明选讲选做题） 如图 3， 在平行四边形 ABCD 中， 点 E 在 AB 上且 EB 2 AE ，AC 与 DE 交 于点 F ，则
CDF的面积 ＝ AEF的面积
．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分 12 分）
6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示，为了解该地区中小学生的近视形成原 因，用分层抽样的方法抽取 2 （ ） ． 的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为
A． 200, 20
B． 100, 20
C． 200,10
D． 100,10
7.若空间中四条两两不同的直线 l1 , l2 , l3 , l4 ，满足 l1 l2 , l2 , l3, l3 l4，则下列结论一定正确的是 （ ） ． B． l1 / / l4 C． l1 , l4 既不垂直也不平行 D． l1 , l4 的位置关系不确定 A． l1 l4
π 5 3 已知函数 f ( x) A sin( x ), x R ，且 f ( π) ， 4 12 2 （1）求 A 的值；
（2）若 f ( ) f ( )
3 3 π ， (0, ) ，求 f ( π ) ． 4 2 2
广东省广州市2014届高三调研测试数学理试题 PDF版含答案
115～150 中度污染
150～250 重度污染
＞250 严重污染
从甲城市 2013 年 9 月份的 30 天中随机抽取 15 天的 PM2.5 日均浓度指数数据茎叶图如图 5 所示． （1）试估计甲城市在 2013 年 9 月份 30 天的空气质量类别为优或良的天数； （2）在甲城市这 15 个监测数据中任取 2 个，设 X 为空气质量类别为优或良 的天数，求 X 的分布列及数学期望． 3 5 6 7 8 9 204 5 4 697 807 1809 图5
C
B
M O N
A
．
图4 ．
y x 2 cos （ 为参数， R ）上，则 的取值范围是 x y sin
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16． （本小题满分 12 分） 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 cos （1）求 cos B 的值； （2）若 a 3 ， b 2 2 ，求 c 的值．
1 Sh ，其中 S 为锥体的底面积， h 为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ体的高． 3
一．选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．已知 i 为虚数单位， 则复数
i 的模等于 2i
C．
A． 5
B． 3
3 3
D．
5 5
2．设集合 A x x 2 x 3 0 ， B x x 1 ，则 A B 等于
试卷类型：A
广州市 2014 届高三年级调研测试
数 学（理 科）
本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
2014广州二模数学理科(含答案)
试卷类型：A2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2014.4 本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i2．若函数()y f x =是函数3xy =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为A ．2log 3-B ．3log 2-C ．19D 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 将函数()2cos 2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数图1俯视图侧视图正视图5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为 A ．16 B ．13C．6 D．37．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8, 按表1的方式进行 排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253 表1二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB == ，则A E A F ⋅的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值D CB A 为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)与 圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且 12A E EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则 △AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，3BD =. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值. 图2a 图3重量/克0.0320.02452515O 17．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样 本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45， 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n = ，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++ . （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.FE D CBA18．（本小题满分14分） 如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ，1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值. 图419．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E .(1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两 点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个 定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值； （2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+ .2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分） （1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD+-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分（2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A ==. ……………6分 ∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分解得3BC =……………10分 由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分∴1sin sin 3AB AC BC⋅===. ……………12分17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭. ……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =，M OH FED C B ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt △BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………3分在△AME中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B = ，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分 （2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ， 则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =，∴EF ∥OH ，且EF OH =.∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1E O F H == .……………7分 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EO BD O EO =⊂ 平面EBD ，BD ⊂平面EBD ， ∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分 在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠== ……………13分 ∴直线AE 与平面BDE. ……………14分证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ， 则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH ==. ……………7分 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分 以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -.∴()1,1,1AE =- ，()2,2,0BD =-- ，()1,1,1BE =--. ……………9分设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅= ，n 0BE ⋅=，得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分 设直线AE 与平面BDE 所成角为θ，则sin θ=cos , n AE ⋅=n AEnAE3=. ……………11分∴cos 3θ==，sin tan cos θθθ== ……………13分 ∴直线AE 与平面BDE. ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分 当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分 整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分 两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列. ∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分 当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分 又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分 （2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++ ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅ 14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分 ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++ ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅ .由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠- ， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx-++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦ . ……………13分 ∴ ()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分 解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,1y =+, ……………1分 化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分 (2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,2422k x k ±==± ∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分 令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x x x x x x kk---===+++. ……………7分 ∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x kk++=-=-=-+++. ……………9分 ∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分 ∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分 同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分 设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2x f x x =-. 当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-.……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=. 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=. ……………6分 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增， 故()()112g x g >=. ……………7分 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2x f x x =-. 当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分 令()ln 2x kg x x x=-+，则()222112222k x x k g x x x x -+'=--=-.方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<， 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>， 则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x--+'=-=-<.故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分 (ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x =<=+>， 则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<. 故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减， 从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<， 得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分 综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x-+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分 又ln 0x x >， 从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n = 分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分 111121n n =+--+ ……………13分 223222n n n n--=+. ……………14分。
广东省广州市2014届高三年级调研测试(理数)试卷及答案
广州市2014届高三年级调研测试数 学（理 科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 为虚数单位， 则复数i2i-的模等于 A ．5 B ．3 C ．33 D ．552．设集合{}0322=--=x x x A ，{}12==x x B ，则B A 等于A ．{}1-B ．{}1,3C ．{}1,1,3-D ．R 3．已知向量(3,1)=a ，(,2)x =-b ，(0,2)=c ，若()⊥-a b c ，则实数x 的值为 A ．43 B ．34 C ．34- D ．43- 4．定义在R 上的函数()f x 满足2log (16), 0,()(1), 0,x x f x f x x -≤⎧=⎨->⎩则()3f 的值为A ．4-B ．2C ．2log 13D ．45．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图1所示，则函数()y f x =对应的解析式为 A ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭6．执行如图2的程序框图，如果输入的N 的值是6，那么输出的p 的值是 A ．15 B ．105 C ．120 D ．7207．若点(1,0)A 和点(4,0)B 到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条8．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *2221, ,, .a ab a b b b ab a b ⎧-+-≤⎪=⎨->⎪⎩设()()21f x x =-*()1x -，且关于x 的方程为()()f x m m =∈R 恰有三个互不相等的实数根1x ，2x ，3x ，则321x x x ⋅⋅的取值范围是 A ．1,032⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．1,016⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．10,32⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．在等比数列{}n a 中，若1323a a a =⋅，则4a = ．10．若x ，y 满足约束条件0,0,1,3412,x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩则x y +的最大值为_______．O xy1π611π12图1 O x y 24-2图3是否开始 1,1==p k p p k =⋅?k N <输出p 图22k k =+输入N结束11．如图3，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2y x =图象下方的点构成的区域．在D 内随机取一点，则该点落在E 中的概率为 ． 12．已知点P 在曲线4e 1xy =+（其中e 为自然对数的底数）上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则αtan 的取值范围是 ．13．有4名优秀学生A ，B ，C ，D 全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有 种．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图4，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC 于点M ．若3OC =，1OM =，则MN 的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选讲选做题）若点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，θ∈R ）上，则y x 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos 23A C +=． （1）求cos B 的值；（2）若3a =，22b =，求c 的值． 17．（本小题满分12分）空气质量指数PM2.5 (单位:3/m μg )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重．PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：PM2.5日均浓度0～35 35～75 75～115 115～150 150～250 ＞250空气质量类别优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染从甲城市2013年9月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图5所示． （1）试估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数；3 2 0 4ABCOM N图4（2）在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X 为空气质量类别为优或良的天数，求X 的分布列及数学期望．18．（本小题满分14分）在如图6的几何体中，平面CDEF 为正方形，平面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，BC AB 2=，60ABC ︒∠=，AC FB ⊥．（1）求证：⊥AC 平面FBC ；（2）求直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值． 19．（本小题满分14分）已知数列{a n }满足135a =，1321n n n a a a +=+，*n ∈N ． （1）求证：数列1 1 n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （2）是否存在互不相等的正整数m ，s ，t ，使m ，s ，t 成等差数列，且1m a -，1s a -，1t a -成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m ，s ，t ；如果不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）设函数()313f x x ax =-()0a >，()221g x bx b =+-. （1）若曲线()x f y =与()x g y =在它们的交点()c ,1处有相同的切线，求实数a ，b 的值； （2）当12ab -=时，若函数()()()h x f x g x =+在区间()0,2-内恰有两个零点，求实数a 的取值范围； （3）当1a =，0b =时，求函数()()()h x f x g x =+在区间[]3,+t t 上的最小值．21．（本小题满分14分）如图7，已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，双曲线12222=-by a x 的两条渐近线为21,l l ．过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使1l l ⊥，又l 与2l 交于点P ，设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A ，B ．yAP l 1图6ABCDE F（1）若1l 与2l 的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆C 的方程；（2）求||||AP FA 的最大值．图7数学（理科）参考答案及评分标准说明：1．参考答案及评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 解：（1）在△ABC 中，A B C π++=．………………………………………………………………1分 所以coscos 22A C Bπ+-= …………………………………………………………………………2分 3sin23B ==．………………………………………………………………………3分 所以2cos 12sin2BB =- ……………………………………………………………………………5分 13=．………………………………………………………………………………………7分 （2）因为3a =，22b =，1cos 3B =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，………………………………………………………………9分 得2210c c -+=．……………………………………………………………………………………11分 解得1c =．……………………………………………………………………………………………12分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A D A B C A 题号 9 10 11 12 13 14 15 答案 3 4 13 [)01,- 36 1 33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦17．（本小题满分12分） 解：（1）由茎叶图可知，甲城市在2013年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5天．…………………………………………………………………………………………………1分 所以可估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10天．…………2分 （2）X 的取值为0，1，2，………………………………………………………………………………3分因为()02510215C C 30C 7P X ===，………………………………………………………………………5分 ()11510215C C 101C 21P X ===，……………………………………………………………………………7分()20510215C C 22C 21P X ===．…………………………………………………………………………9分所以X 的分布列为：X0 1 2P73 2110 212所以数学期望32212221101730=⨯+⨯+⨯=EX ．…………………………………………………12分18．（本小题满分14分）（1）证明1：因为BC AB 2=，60ABC ︒∠=，在△ABC 中，由余弦定理可得BC AC 3=．……………………………………………………2分 所以222AC BC AB +=．所以BC AC ⊥．………………………………………………………………………………………3分 因为AC FB ⊥，BF BC B =，BF 、BC ⊂平面FBC ，所以⊥AC 平面FBC ．………………………………………………………………………………4分证明2：因为60ABC ︒∠=，设BAC α∠=()0120α<<，则120ACB α∠=-．在△ABC 中，由正弦定理，得()sin sin 120BC ABαα=-．…………………………………………1分 因为BC AB 2=，所以()sin 1202sin αα-=．整理得3tan 3α=，所以30α=．…………………………………………………………………2分 所以BC AC ⊥．………………………………………………………………………………………3分 因为AC FB ⊥，BF BC B =，BF 、BC ⊂平面FBC ，所以⊥AC 平面FBC ．………………………………………………………………………………4分……………………10分（2）解法1：由（1）知，⊥AC 平面FBC ，FC ⊂平面FBC ，所以FC AC ⊥．因为平面CDEF 为正方形，所以FC CD ⊥．因为AC CD C =，所以⊥FC 平面ABCD ．……………………………………………………6分取AB 的中点M ，连结MD ，ME ，因为ABCD 是等腰梯形，且BC AB 2=，60DAM ∠=， 所以MD MA AD ==．所以△MAD 是等边三角形，且MEBF ．…………………………7分取AD 的中点N ，连结MN ，NE ，则MN AD ⊥．………8分 因为MN ⊂平面ABCD ，ED FC ，所以ED MN ⊥．因为ADED D =，所以MN ⊥平面ADE ． ……………9分所以MEN ∠为直线BF 与平面ADE 所成角． ……………10分 因为NE ⊂平面ADE ，所以MN ⊥NE ．…………………11分因为32MN AD =，222ME MD DE AD =+=，…………………………………………12分 在Rt △MNE 中，6sin 4MN MEN ME ∠==．……………………………………………………13分 所以直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值为64．………………………………………………14分 解法2：由（1）知，⊥AC 平面FBC ，FC ⊂平面FBC ，所以FC AC ⊥．因为平面CDEF 为正方形，所以FC CD ⊥．因为AC CD C =，所以⊥FC 平面ABCD ．……………………………………………………6分所以CA ，CB ，CF 两两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系xyz C -．………………………7分因为ABCD 是等腰梯形，且BC AB 2=，60ABC ︒∠=所以CB CD CF ==．不妨设1BC =，则()0,1,0B ，()0,0,1F ，()3,0,0A，31,,022D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，31,,122E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()0,1,1BF =-，31,,022DA ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1DE =．………………………………………9分MN ABCD EFx AB CDEFyz设平面ADE 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.DA DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即30,220.y x z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩取1x =，得=n ()1,3,0-是平面ADE 的一个法向量．………………………………………11分 设直线BF 与平面ADE 所成的角为θ， 则()()0,1,11,3,06sin cos ,422BF BF BF --⋅θ=〈〉===n n n．……………………………13分 所以直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值为64．………………………………………………14分 19．（本小题满分14分） 解：（1）因为1321n n n a a a +=+，所以111233n n a a +=+．…………………………………………………1分所以1111113n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．…………………………………………………………………………3分 因为135a =，则11213a -=．…………………………………………………………………………4分 所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为31的等比数列．…………………………………………5分（2）由（1）知，112121333n n n a -⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭，所以332nn n a =+．……………………………………7分 假设存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件，则有()()()22,111.s m t m t s a a a +=⎧⎪⎨-=--⎪⎩……………………………………………………………………9分 由332n n n a =+与()()()2111s m t a a a -=--，得2333111323232s m t sm t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．……………………………………………………10分 即232323343m tm t s s ++⨯+⨯=+⨯．……………………………………………………………11分因为2m t s +=，所以3323m t s+=⨯．……………………………………………………………12分因为332323m t m t s ++≥=⨯，当且仅当m t =时等号成立，这与m ，s ，t 互不相等矛盾．……………………………………………………………………13分 所以不存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件．……………………………………………14分 20．（本小题满分14分） 解：（1）因为()313f x x ax =-，()221g x bx b =+-， 所以()2f x x a '=-，()2g x bx '=.…………………………………………………………………1分 因为曲线()x f y =与()x g y =在它们的交点()c ,1处有相同切线, 所以()()11g f =,且()()11g f '='。
2014年高考理科数学广东卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,0,1}M =-,{0,1,2}N =,则M N = ( ) A .{0,1} B .{1,0,2}- C .{1,0,1,2}-D .{1,0,1}- 2.已知复数z 满足(34i)25z +=,则z =( )A .34i -+B .34i --C .34i +D .34i -3.若变量x ,y 满足约束条件,1,1,y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥且2z x y =+的最大值和最小值分别为m 和n ,则m n -=( )A .5B .6C .7D .84.若实数k 满足9k 0＜＜,则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 ( )A .焦距相等B .实半轴长相等C .虚半轴长相等D .离心率相等5.已知向量(1,0,1)=-a ,则下列向量中与a 成60夹角的是( )A .(1,1,0)-B .(1,1,0)-C .(0,1,1)-D .(1,0,1)-6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A .200,20B .100,20C .200,10D .100,10 7.若空间中四条两两不同的直线1l ,2l ,3l ,4l ,满足12l l ⊥,23l l ⊥,34l l ⊥,则下列结论一定正确的是( )A .14l l ⊥B .14l l ∥C .1l 与4l 既不垂直也不平行D .1l 与4l 的位置关系不确定8.设集合12345{(,,,,)|{1,0,1},1,2,3,4,5}i A x x x x x x i =∈-=,那么集合A 中满足条件“12345||||||||||3x x x x x ++++1≤≤”的元素个数为( )A .60B .90C .120D .130二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. （一）必做题（9～13题）9.不等式|1||2|x x -++≥5的解集为 . 10.曲线52xy e-=+在点(0,3)处的切线方程为 .11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为 .12.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,已知cos cos 2b C c B b +=,则ab= . 13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且510119122e a a a a +=,则1220ln ln ln =a a a +++… .姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页）（二）选做题（14-15题,考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,曲线1C 和2C 的方程分别为2s i n c o s ρθθ=和sin 1ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线1C 和2C 的交点的直角坐标为 . 15.（几何证明选讲选做题）如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在AB 上且2EB AE ＝,AC 与DE 交于点F ,则CDF AEF ∆=∆的面积的面积 .三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数π()sin()4f x A x =+,x ∈R ,且5π3()122f =.（Ⅰ）求A 的值； （Ⅱ）若3()()2f f θθ+-=,π(0,)2θ∈,求3π()4f θ-.17.（本小题满分13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件）,获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36. 根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组 频数 频率 [25,30] 3 0.12 (30,35] 5 0.20 (35,40] 80.32(40,45] 1n 1f (45,50]2n2f（Ⅰ）确定样本频率分布表中1n ,2n ,1f 和2f 的值； （Ⅱ）根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图；（Ⅲ）根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率.18.（本小题满分13分）如图,四边形ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD ,30DPC ∠＝,AF PC ⊥于点F ,FE CD ∥,交PD于点E .（Ⅰ）证明：CF ⊥平面ADF ； （Ⅱ）求二面角D AF E --的余弦值.19.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21234n n S na n n +=--,*n ∈N ,且315S =.（Ⅰ）求1a ,2a ,3a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式.20.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为,.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.21.（本小题满分14分）设函数()f x =,其中2k <-.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （Ⅱ）讨论函数()f x 在D 上的单调性；（Ⅲ）若6k <-,求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.数学试卷 第5页（共16页） 数学试卷 第6页（共16页）2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）答案解析一、选择题 1.【答案】C【解析】因为{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，所以{1,0,1,2}M N =-.【提示】根据集合的基本运算即可求解. 【考点】并集及其运算 2.【答案】D 【解析】2525(34i)25(34i)=34i 34i (34i)(34i)25z --===-++-，故选D. 【提示】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，计算求得z 的值.【考点】复数的四则运算 3.【答案】B【解析】画出可行域，如图所示.由图可知在点(2,1)-处目标函数分别取得最大值3m =，在点(1,1)--处目标函数分别取得最小值3n =-，则6m n -=，故选B.【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，进行平移即可得到结论. 【考点】简单的线性规划 4.【答案】A【解析】09k <<，90k ∴->，250k ->，从而可知两曲线为双曲线. 又25(9)34(25)9k k k +-=-=-+，故两双曲线的焦距相等，故选A.【提示】根据k 的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a b c ，，的大小关系即可得到结论.【考点】双曲线的简单几何性质 5.【答案】B 【解析】 A.221cos 2(1)1θ==--+，不满足条件.B.22221cos 21(1)0θ==+-+，满足条件.C.22(0,1,1)1cos 21(1)θ-==-+-不满足条件.D.221)(1,0,1)1cos 21(1)θ-==-+-不满足条件.故选B .【提示】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论. 【考点】数量积表示两个向量的夹角 6.【答案】A【解析】由图1可得出样本容量为(350045002000)2%200++=. 抽取的高中生近视人数为20002%50%20=，故选A.【提示】根据图1可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图2求得样本中抽取的高中学生近视人数. 【考点】频率分布直方图，分层抽样7.【答案】D【解析】由12l l ⊥，23l l ⊥34l l ⊥，将四条直线放入正方体中，如图所示，111A B l =，112B C l =，13CCl =，4l ∈面ABCD ，满足已知条件，4l 为平面ABCD 中的任意一条直线，即可得出结论，14l l ，的位置关系不确定.【提示】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得，14l l ，的位置关系不确定.数学试卷 第7页（共16页） 数学试卷 第8页（共16页）【考点】直线与直线的位置关系 8.【答案】D【解析】A 中元素为有序数组12345(,,,,)x x x x x ，题中要求有序数组的5个数中仅1个数为1±、仅2个数为1±或仅3个数为1±，12345x x x x x ++++可取得1，2，3.和为1的元素个数为112510C C =；和为2的元素个数为：12225540C C A +=；和为3的元素个数为：131122525480C C C C C +=.故满足条件的元素总的个数为104080130++=，故选D.【提示】从条件1234513x x x x x ≤++++≤入手，讨论i x 所有取值的可能性，分为和为1，和为2，和为3三种情况进行讨论. 【考点】集合的元素，排列数与组合数. 二、填空题 9.【答案】(,3)(2,)-∞-+∞【解析】由不等式|1||2|5x x -++≥，可得2215x x <-⎧⎨--≥⎩①，或2135x -≤<⎧⎨≥⎩②，或1215x x ≥⎧⎨+≥⎩③. 解①求得3x ≤-，解②求得x ∈∅，解③求得2x ≥.综上，不等式的解集为(,3)(2,)-∞-+∞.【提示】把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求. 【考点】解绝对值不等式 10.【答案】53y x =-+ 【解析】因为55exy -'=-，所以0|5x y ='=-，所求切线方程为53y x =-+.【提示】利用导数的几何意义求得切线的斜率，点斜式写出切线方程. 【考点】导数的几何意义 11.【答案】16【解析】要使6为取出的7个数中的中位数，则取出的数中必有3个不大于6，另外3个数不小于6，故所求概率为3671016C C =. 【提示】根据条件确定当中位数为6时，对应的条件即可得到结论. 【考点】中位数，简单随机事件的概率 12.【答案】2【解析】由正弦定理知，cos cos sin cos sin cos 2sin b C c B B C C B B +=+=，即s i n ()2s i n B C B +=，sin 2sin A B =，从而2a b =，2ab∴=.【提示】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果. 【考点】正弦定理 13.【答案】50【解析】由题意得，51011912=e a a a a =，又0n a >，所以1220ln ln ln a a a +++=1220ln()a a a =101011ln()a a =510lne ⨯=50.【提示】直接由等比数列的性质结合已知得到51011e a a =，然后利用对数的运算性质化简后得答案.【考点】等比数列的性质，数列的前n 项和，对数的运算 14.【答案】(1,1)【解析】曲线1C 即2(sin )cos ρθρθ=，故其直角坐标方程为：2y x =，曲线2C 为sin 1ρθ=，则其直角坐标方程为1y =，所以两曲线的交点坐标为(1,1).【提示】把极坐标方程化为直角坐标方程，再把两条曲线的直角坐标方程联立方程组，求得两条曲线的交点坐标. 【考点】极坐标与直角坐标的互化15.【答案】9【解析】平行四边形ABCD 中，因为AB CD ∥，又因为DFC EFA ∠=∠，所以CDF AEF △∽△，229CDF CD EB AE AEF AE AE +⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△的面△的面积积.【提示】利用CDF AEF △∽△，可求CDF AEF △的面△的面积积. 【考点】相似三角形的判定与性质数学试卷 第9页（共16页） 数学试卷 第10页（共16页）三、解答题16.【答案】【解析】（Ⅰ）5π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭5ππ3sin +1242A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以3A32=，所以A（Ⅱ）由（Ⅰ）可知π()4f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以ππ3()()442f f θθθθ⎛⎫⎛⎫+-=++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3)]sin cos (sin cos )2θθθθ++-+=，32θ=，cos θ=又π20,θ⎛∈⎫ ⎪⎝⎭，所以sin θ=()3π π4f θθθ-=-=⎛⎪⎭=⎫⎝【提示】（Ⅰ）由函数()f x 的解析式以及5π3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求得A 的值.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得π()4f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据3()()2f f θθ+-=，求得cos θ的值，再由π20,θ⎛∈⎫ ⎪⎝⎭，求得sin θ的值，从而求得3π4f θ-⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【考点】三角函数求值，同角三角函数的基本关系 17.【答案】（Ⅰ）由题意可得1n =7，2n =2，1f =0.28，2f =0.08. （Ⅱ）样本频率分布直方图如图所示：（Ⅲ）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30，35］的概率0.2.设所取的4人中，日加工零件数落在区间（30，35］的人数为ξ，则4,2~()0.B ξ， 4(1)1(0)1(10.2)10.40960.5904P P ξξ≥=-==--=-=.所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，50］的概率约为0.5904. 【提示】（Ⅰ）利用所给数据，可得样本频率分布表中121n n f ，，和2f 的值. （Ⅱ）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图. （Ⅲ）利用对立事件可求概率.【考点】频率分布表，频率分布直方图，古典概型及其概率计算公式 18.【答案】（Ⅰ）PD ABCD ⊥平面，PD AD ∴⊥.又CD AD ⊥，PDCD D =，AD PCD ∴⊥平面，AD PC ∴⊥.又AF PC ⊥，PC ADF ∴⊥平面，即CF ADF ⊥平面.（Ⅱ）设1AB =，则Rt PDC △中，1CD =，又30DPC ∠=︒，2PC PD ∴==，.由（Ⅰ）知CF DF ⊥，DF ∴AF ，12CF ∴.又FECD ∥，数学试卷 第11页（共16页） 数学试卷 第12页（共16页）DE PD ∴=CF=14， DE ∴，同理EF =34，CD =34. 如图所示，以D 为原点，建立空间直角坐标系，则()0,0,10,0A E ⎫⎪⎪⎝⎭，，03,4F⎫⎪⎪⎝⎭,，)0,0P ()0,1,0C . 设,(),m x y z =是平面AEF 的法向量，则m AF m EF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，又330,04AE EF ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎩,，所以30304m AF xz m EF y ⎧=-=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，令4x=，得z =4,(m =.由（Ⅰ）知平面ADF 的一个法向量(PC =，设二面角D AF E --的平面角为θ，可知θ为锐角，cos |cos |m PCm PC m PC θ=<>===19【提示】（Ⅰ）结合已知直线和平面垂直的判定定理可判CF ADF ⊥平面，即得所求. （Ⅱ）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可. 【考点】直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法 19.【答案】（Ⅰ）13a =25a = 37a =（Ⅱ）21n a n =+()n *∈Ν【解析】（Ⅰ）32420a S =-，3332520a S S a =-=+，又315S =，37a ∴=，320842a S -==.又2S =1S +2a 222(27)37a a a =-+=-，25a ∴=，1a =1S =2273a -=.综上知1a =3，2a =5，3a =7.（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想21n a n =+，下面用数学归纳法证明. ①当1n =时，结论显然成立； ②假设当(1)n k k =≥时，21k a k =+，则)7(3521k k S =+++++[3(21)]()22k k k k =+⨯++=，又21234k k S ka k k +=--，21()2234k k k ka k k +∴+=--，解得2+1246k a k =+，+1(11)2k k a +∴=+， 即当1n k =+时，结论成立. 由①②知，当n *∈Ν时，21n a n =+.【提示】（Ⅰ）在数列递推式中取2n =得一个关系式，再把3S 变为32S a +得另一个关系式，进而可求3a ，然后把递推式中n 取1，再结合315S =可求得12a a ，.（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的123a a a ，，的值猜测出数列的一个通项公式，然后利用数学归纳法证明.【考点】数列的项，数学归纳法求数列的通项公式20.【答案】（Ⅰ）22194x y +=（Ⅱ）2213x y +=【解析】（Ⅰ）可知c =，又c a 3a ∴=，2b =2a -2c =4，所以椭圆C 的标准方程为22194x y +=.（Ⅱ）设两切线为1l ，2l .①当1l x ⊥轴或1l x ∥轴时，对应2l x ∥轴或2l x ⊥轴，可知()3,2P ±±.数学试卷 第13页（共16页） 数学试卷 第14页（共16页）②当1l 与x 轴不垂直且不平行时，03x ≠±，设1l 的斜率为k ，则0k ≠，2l 的斜率为1k-，1l 的方程为00()y y k x x -=-，联立22194x y +=，得2200002()()94189()360k y kx kx y kx x ++-+--=. 因为直线与椭圆相切，所以0∆=，得222200009()(94)[()4]0y kx k k y kx --+--=，236k ∴-2004()40y kx +--=，20(9)x ∴-2k 002x y k -2040y +-=，所以k 是方程20(9)x -2x 002x y x -240y +-=的一个根，同理1k-是方程20(9)x -2x 002x y x -2040y +-=的另一个根， 2020419y k k x -⎛⎫∴-= ⎪-⎝⎭，得20x 2013y +=，其中03x ≠±，所以点P 的轨迹方程为2213()3x x y ≠±+=，因为()3,2P ±±满足上式.综上知：点P 的轨迹方程为2213x y +=.【提示】（Ⅰ）根据焦点坐标和离心率求得a 和b ，则椭圆的方程可求得.（Ⅱ）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用0∆=，得出k 和1k-是20(9)x -2x 002x y x -2040y +-=的两个根，再利用韦达定理得出0x 和0y 的关系式，即P 点的轨迹方程.【考点】椭圆的标准方程，圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系 21.【答案】（Ⅰ）(,1(12,12)(12,)k k k-∞------+---+--+∞（Ⅱ）()f x 的单调递增区间为(,1-∞-和(1,1--+()f x 的单调递减区间为(11)--和(1)-++∞（Ⅲ）(11(12,3)(1,12)(12,1k k k ---------+---+--+【解析】（Ⅰ）由题意可知222(2)2(2)30x x k x x k +++++->，2[(2)3]x x k +++2[(2)1]0x x k ++->，223x x k ∴++<-或221x x k ++>，2(1)2(20)x k k ∴+<---->或2(1)2(20)x k k +>-->， ||1x ∴+<或|1|x +>，11x ∴-<-+或1x <-或1x >-+.所以函数()f x 的定义域D 为(,1(12,12)(12,)k k k -∞------+---+--+∞.（Ⅱ）232(2)(22)2(22)()2x x k x x f x +++++'=-23(2+1)(22)x x k x +++=-， 由()0f x '>得2(2+1)(22)0x x k x +++<，即(111)0x x x ++-+<，1x ∴<--11x -<<-结合定义域知1x <-或11x -<<-+所以函数()f x 的单调递增区间为(,1-∞-，(1,1--+， 同理递减区间为(11)--，(1)-+∞. （Ⅲ）由()(1)f x f =得2222(2)2(2)3(3)2(3)3x x k x x k k k +++++-=+++-，222[(2)(3+)]x x k k ∴++-22[(2)(3+)]0x x k k +++-=， 22()220()523x x x k x ∴++++-=，(113)(1)0x x x x ∴+++-+-=，=1x ∴1x =+3x =-或1x =，6k ∴<-，1(1,∴∈--，3(11)-∈---，1-1-1-1>-结合函数()f x 的单调性知()(1)f x f =的解集为：(11(12,3)(1,12)(12,1k k k --------+---+--+数学试卷 第15页（共16页） 数学试卷 第16页（共16页）.【提示】（Ⅰ）由题意可知222(2)2(2)30x x k x x k +++++->，又2k <-，解不等式即可求出函数的定义域.（Ⅱ）根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论. （Ⅲ）根据函数的单调性，即可得到不等式的解集.【考点】函数的定义域，导数的运算，利用导数求函数的单调性，函数单调性的应用。
2014广州二模理科综合试题及参考答案(word版)
试卷类型：B 2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科综合2014.4本试卷共17页。
41小题，满分300分。
考试用时150分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横条贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选型的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目制定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题包括16小题，每小题4分，共64分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对的得4分，选错或不答的得0分．1．下列对“细胞学说”理解合理的是①揭示了动植物体结构的统一性②一切生物都是由细胞和细胞产物构成的③提出了细胞膜结构的流动镶嵌模型④细胞是一个相对独立的有机体A．①②B．②③C．③④D．①④2．下列对一条核苷酸链的说法不合理．．．的是A．碱基C和碱基G的数目可不相等B．组成核苷酸的糖是五碳糖C．磷酸基团与碱基相连接D．可由四种核糖核苷酸组成3．右图表示物质S在酶E的催化下水解成P的反应图解，下列叙述正确的是Array A．酶E可为该反应提供活化能B．酶E水解的产物是H2O、CO2等物质C．若S是麦芽糖，则可用斐林试剂来检测P的生成情况D．若S代表二肽，则E、P可分别代表肽酶、氨基酸4．绿豆芽是在无光条件下由绿豆萌发而成．以下叙述正确的是A．绿豆芽的生长过程只需要生长素的调节B．绿豆萌发成豆芽的过程中有机物总量减少C．绿豆芽尖处于分裂期的细胞中含有两个中心体D．赤毒素通过促进乙烯的合成来促进绿豆芽细胞的伸长5．下表是在适宜条件下测得某植物叶绿体色素吸收光能的情况，有关分析不．正确的是第 1 页共17 页A．O2的释放速率变化与全部色素吸收光能百分比变化基本一致B．由550nm波长的光转为670nm波长的光时，叶绿体中C3的量会增加C．该植物缺乏Mg时，叶绿素a吸收的光能百分比的减少幅度更大D．环境温度降低，该植物对光能的利用能力降低6．某地土壤中小动物的物种数和个体总数如下表，以下有关叙述正确的是A．表中的信息说明群落具有垂直结构B．不同土层中小动物的分布与光照无关C．不同土层中的小动物都是消费者D．土壤中某种小动物个体总数下降则该地物种丰富度随之下降7．化学与生活密切相关，下列说法正确的是A．蛋白质和油脂都是天然高分子化合物B．CO2和CH4都是造成温室效应气体C．蔗糖和麦芽糖水解产物均为葡萄糖D．苯酚和甲苯遇FeCl3均显紫色8．下列叙述Ⅰ和叙述Ⅱ均正确并且有因果关系的是选项陈述Ⅰ陈述ⅡA SiO2是酸性氧化物用盐酸刻蚀石英制品B 氯化钠熔点很高电解熔融氯化钠制备钠C 铝具有还原性铝粉和氧化铁粉末可发生铝热反应D 硬铝是合金材料硬铝在空气中生成致密氧化膜9．设n A为阿伏加德罗常数的数值，下列说法正确的是A．1mol Cl2与过量的镁铁反应，转移2n A个电子B．常温下，16g CH4含有8n A个电子C．1L 0.5 mol·L－1Na2SO4溶液中含有n A个SO42-D．常温常压下，22.4LCO2含有n A个CO2分子10．水溶液中能大量共存的一组离子是A．H+、NO3－、I－、Cl－B．Cu2+、Br－、H+、SO42－C．Al3+、Mg2+、CO32－、NO3－D．NH4+、Cl－、OH－、HCO3－第 3 页 共 17 页11．短周期元素X 、Y 、Z 、W 、R 的原子序数依次增大，X 单质在暗处与H 2剧烈化合并发生爆炸，Y 位于第IA 族，Z 所处的周期序数与族序数相等，W 元素最高正价与最低负价之和为0，R 与X 同族，则A ．原子半径：Z ＞Y ＞XB ．X 与R 的核电荷数相差18C ．气态氢化物稳定性：W ＞RD ．Y 与Z 两者最高价氧化物对应的水化物能相互反应 12．下列实验的现象与对应结论均正确的是选项 操作现象结论A 将新制氯水滴到淀粉KI 试纸上 试纸变蓝色氧化性：I 2＞Cl 2 B 将过量的CO 2通入CaCl 2溶液中 产生白色沉淀酸性：HCl ＞H 2CO 3 C FeSO 4溶液中滴入酸性高锰酸钾溶液紫色褪色 Fe 2+有还原性 DSO 2通入溴水中溶液褪色SO 2有漂白性13．子弹射入静止于光滑水平地面上的木块，则 A ．做功使木块的内能增大 B ．热传递使木块的动能增大C ．子弹损失的能量等于木块增加的内能D ．子弹损失的能量等于木块增加的动能14．如图，a 、b 是航天员王亚平在“天宫一号”实验舱做水球实验时形成的气泡，a 、b 温度相同且a 的体积大，则 A ．a 内气体的内能比b 的小B ．a 内气体的分子平均动能比b 的大 C ．气泡表面水分子间作用力表现为斥力 D ．水球外表面水分子间作用力表现为引力15．跳伞运动员在下降过程中沿竖直方向运动的v t -图像如图，则10~t 过程中A ．速度一直在增大B ．加速度一直在增大C ．机械能保持不变D ．位移为112m v t 16．如图，水平地面上质量为m 的物体连着一个劲度系数为k 的轻弹簧，在水平恒力F 作用下做匀加速直线运动．已知物体与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g ，弹簧没有超出弹性限度，则弹簧的伸长量为A ．mgkB ．mg k μC ．F kD ．F mg kμ-二、双项选择题：本大题共9小题，每小题6分，共54分．在每小题给出的四个选项中，有两个选项符合题目要求，全部选对的得6分，只选1个且正确的得3分，有选错或不答的得0分． 17．水平放置的平行板电容器与线圈连接如图，线圈内有垂直纸面向里（设为正方向）的磁场．为使带负电微粒静止在板间，磁感强度B 随时间t 变化的图像应该是18．23892U 的衰变方程为238234492902U Th He →+，其衰变曲线如图，T 为半衰期，则 A ．23892U 发生的是α衰变 B ．23892U 发生的是β衰变 C ．3k = D ．4k =19．某小型发电站的电能输送示意图如下，变压器均为理想变压器并标示了电压和匝数．若电压14U U =，输电线总电阻为r ，用户端的用电器正常工作，则A ． 23U U =B ． 23U U ＞C ．3124n n n n = D ．3124n n n n ＜ 20．如图，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R 的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M ，万有引力常量为G ，则A ．甲星所受合外力为2254GM R B ．乙星所受合外力为22GM RC ．甲星和丙星的线速度相同D ．甲星和丙星的角速度相同第 5 页 共 17 页21．电子束焊接机中的电子枪如图所示，K 为阴极、电势为K ϕ，A 为阳极、电势为A ϕ，在电场作用下电量为e -的电子从K 运动到A ，则 A ．A 、K 间电势差为A K ϕϕ- B ．电子动能增加A K e ϕϕ-（） C ．电子电势能增加A K e ϕϕ-（） D ．电子克服电场力做功为A K e ϕϕ-（）22．室温下，将一元酸HA 溶液和NaOH 溶液等体积混合，实验数据如表：实验编号 起始浓度c （HA ） 起始浓度c （NaOH ）反应后溶液的pH① 0.1 mol·L －10.1 mol·L －1 9 ②x0.2mol·L －17下列说法正确的是A ．实验①反应前HA 溶液中c （H +）＝c （OH －）＋c （A －）B ．实验①反应后溶液中c （A －）＞c （Na ＋）C ．实验②反应前HA 溶液浓度x ＞0．2 mol·L －1D ．实验②反应后溶液中c （A －）＋c （HA ）＝c （Na +） 23．某小组为研究原电池原理，设计如图装置，下列叙述正确的是A ．装置I ，铜片上有O 2逸出B ．装置I ，锌片溶解，发生还原反应C ．装置II ，电池反应为：Zn ＋Cu 2+＝Zn 2+＋CuD ．装置II ，外电路中，电子从锌电极流向铜电极 24．下列分析正确的是选项 实验内容分析A 组织中脂肪的鉴定 脂肪被苏丹Ⅲ染液染成橘黄色B 观察植物细胞的有丝分裂 盐酸作用：解离根尖的同时也为染色创造酸性环境C 设计并制作生态缸 需考虑不同营养级生物间的比例 D噬菌体侵染细菌的实验证明DNA 是主要的遗传物质25．某种植物（二倍体）叶缘的锯齿状与非锯齿状受叶缘细胞中T 蛋白含量的影响，T 蛋白的合成由两对独立遗传的基因（A 和a ， T 和t ）控制，基因T 表达的产物是T 蛋白，基因A 抑制基CuSO 4溶液○A CuZnH 2SO 4溶液○A CuZnI II因T的表达．基因型为AaTt植株自交，F1中锯齿状植株与非锯齿状植株的比例是13:3，下列分析合理的是A．F1产生的雌雄配子之间的结合是随机的B．叶缘细胞缺少T蛋白的植株，叶缘呈锯齿状C．F1群体中，T基因的基因频率为2 3D．能确定基因型为aaTT的叶缘细胞和根尖细胞中T蛋白的含量相等三、非选择题：本大题共11小题，共182分．按题目要求作答．解答题应写出必要的文字说明、方程式和重要演步骤，只写出最后答案的不能得分．有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位．26．（16分）古生物学家推测：被原始真核生物吞噬的蓝藻有些未被消化,反而能依靠原始真核生物的“生活废物”制造营养物质，逐渐进化为叶绿体．（1）图中原始真核生物与被吞噬的蓝藻之间的种间关系为，原始真核生物吞噬某些生物具有选择性是与其细胞膜上的（物质）有关．（2）据题干信息可知叶绿体中可能存在的细胞器是；叶绿体中DNA的形态为（环状/线状）．（3）被吞噬而未被消化的蓝藻为原始真核生物的线粒体提供了．若调查水体中蓝藻的数量，常用的方法是．（4）古生物学家认为线粒体也是由真核生物吞噬某种细菌逐渐形成，试推测该种细菌的呼吸作用类型是，理由是．27．（16分）人类“软骨发育不全”的致病基因是位于4号染色体上的显性基因D，且致病基因纯合的个体在胎儿期死亡；人类“黏多糖贮积症Ⅱ型”由位于X染色体上的一对基因（E、e）控制．下图是一个家系图（Ⅱ-5和Ⅱ-6是双胞胎姐弟）．请回答（不考虑基因突变）：（1）基因（填E或e）是“黏多糖贮积症Ⅱ型”的致病基因；Ⅱ5可能产生的卵细胞的基因型是．Ⅲ9的致病基因来自于第Ⅰ代的号个体．（2）Ⅱ8是Ⅱ7的姐姐，尚未检测其基因型，据图推测Ⅱ8是杂合子的概率是．（3）DNA探针可用于检测家系成员的基因型，方法和结果如下图所示：①PCR扩增与细胞内DNA复制时获得单链模板的方式分别是．②图二结果A中的杂交斑是由哪两种单链形成的？．若检测图一中Ⅰ2的基因型，检测的结果是图二所示的结果（填：A/B/C）．③在适当时抽取羊水，采用图二所示的方法可诊断胎儿是否携带致病基因，这是因为羊水中含有细胞，体外培养这种细胞时，其分裂方式是．28．（16分）下图为人体产生情绪压力时肾上腺皮质、肾上腺髓质受下丘脑调节的模式图，分析回答以下问题：（1）从反射弧的角度看，肾上腺髓质属于，由此说明肾上腺髓质和中枢神经系统的关系是．激素d分泌量上升能使血糖升高，且肝脏细胞膜上存在激素d的特异性受体，由此推断激素d能促进．而人体内还存在能使血糖降低的激素，分泌该激素的细胞是．（2）下丘脑对激素c分泌的调节与对甲状腺激素分泌的调节类似，由此推断当激素a的分泌量上升会使激素c的分泌量．但健康人体内激素c浓度不会持续过高，其原因是．（3）研究发现，激素c能抑制细胞对的合成和释放，从而使B淋巴细胞的增殖和分化受阻．结合题目信息分析，在的情况下，人体免疫力会有所下降．29．（16分）氧化硫硫杆菌（TT03）是一种化能自养细菌,它能将硫单质氧化为硫酸，常用于改良盐碱地，而盐碱地中的重金属离子会影响改良效果．以下是有关硫酸锌对TT03产酸量影响的研究：试剂与仪器：蒸馏水，两种浓度的硫酸锌溶液，液体培养基，恒温摇床等．（1）实验步骤：第7 页共17 页第一步：在液体培养基中先加入等量硫单质、再分别加入等量蒸馏水和两种浓度硫酸锌溶液并标记．第二步：对配制好的培养基进行．第三步：各组接种后放入恒温摇床中培养7天．第四步：．实验结果：如图所示．（2）分析回答：①TT03将CO2和H2O合成有机物所需能量来源于．②培养TT03的液体培养基与培养大肠杆菌的液体培养基组成成分上最大的区别是．③分析上图可知，硫酸锌对TT03产酸的影响是．（3）研究人员用相同的方法继续研究醋酸铅对TT03产酸量的影响，请设计出记录实验结果的表格．30．（16分）已知反应①：化合物Ⅱ可由化合物Ⅲ合成：（1）化合物Ⅰ的分子式为．反应①的反应类型为．（2）过量的化合物Ⅰ与HOOCCH2CH2COOH发生酯化反应，反应的化学方程式为_______________________________________（注明条件）．（3）化合物Ⅲ的结构简式为．化合物Ⅲ可与NaOH乙醇溶液共热，反应的化学方程式．（4）化合物Ⅰ在一定条件下氧化生成化合物Ⅳ（分子式为C9H10O），化合物Ⅳ的一种同分异构体Ⅴ能发生银镜反应，Ⅴ的核磁共振氢谱除苯环峰外还有三组峰，峰面积之比为为2:2:1，Ⅴ的结构简式为．（5）一定条件下，1分子与1分子也可以发生类似反应①的反应，有机化合物结构简式为．31．（16分）苯乙烯是重要的基础有机原料．工业中用乙苯（C6H5-CH2 CH3）为原料，采用催化脱氢的方法制取苯乙烯（C6H5-CH＝CH2）的反应方程式为：C6H5-CH2 CH3（g）C6H5-CH＝CH2（g）＋H2（g）ΔH1（1）向体积为VL的密闭容器中充入a mol乙苯，反应达到平衡状态时，平衡体系组成（物质的量分数）与温度的关系如图所示：由图可知：在600℃时，平衡体系中苯乙烯的物质的量分数为25%，则：①氢气的物质的量分数为；乙苯的物质的量分数为；②乙苯的平衡转化率为；③计算此温度下该反应的平衡常数（请写出计算过程）．（2）分析上述平衡体系组成与温度的关系图可知：△H10（填“＞、＝或＜”）．（3）已知某温度下，当压强为101.3kPa时，该反应中乙苯的平衡转化率为30%；在相同温度下，若反应体系中加入稀释剂水蒸气并保持体系总压为101.3kPa，则乙苯的平衡转化率30%（填“＞、＝或＜”）．（4）已知：3C2H2（g）C6H6（g）ΔH2C6H6（g）＋C2H4（g）C6H5-CH2CH3（g）ΔH3则反应3C2H2（g）＋C2H4（g）C6H5-CH＝CH2（g）＋H2（g）的ΔH＝．32．（16分）碲（Te）为ⅥA族元素，是当今高新技术新材料的主要成分之一．工业上可从电解精炼铜的阳极泥中提取碲．（1）粗铜中含有Cu和少量Zn、Ag、Au、TeO2及其他化合物，电解精炼后，阳极泥中主要含有TeO2、少量金属单质及其他化合物．电解精炼粗铜时，阳极电极反应式为____________．（2）TeO2是两性氧化物，微溶于水，可溶于强酸或强碱．从上述阳极泥中提取碲的一种工艺流程如下：①“碱浸”时TeO2发生反应的化学方程式为_______________________________________．②“沉碲”时控制溶液的pH为4.5-5.0，生成TeO2沉淀．如果H2SO4过量，溶液酸度过大，将导致碲的沉淀不完全，原因是___________________________；防止局部酸度过大的操作方法是___________________________．③“酸溶”后，将SO2通入TeCl4溶液中进行“还原”得到碲，该反应的化学方程式是__________ __________________________________________________________________________________．33．（16分）（1）某兴趣小组在实验室探究工业合成硝酸的化学原理．第9 页共17 页①氨的催化氧化：图a 是探究氨的催化氧化的简易装置，实验中观察到锥形瓶中铂丝保持红热，有红棕色气体生成或白烟产生．白烟的成分是___________（填化学式）．图a 图b②NO 2的吸收：如图b 所示，将一瓶NO 2倒置于水槽中，在水下移开玻璃片，可观察到的现象是___________________．（2）三价铁盐溶液因Fe 3+水解而显棕黄色，请以Fe （NO 3）3溶液为例，设计实验探究影响盐类水解程度的因素．①写出Fe （NO 3）3水解的离子方程式_______________________________________． ②参照示例完成下表实验方案的设计．限选材料：0.05mol•L -1Fe （NO 3）3、0.5mol•L -1Fe （NO 3）3、1.0mol•L -1HNO 3、1.0mol•L -1NaOH 、NaHCO 3固体、蒸馏水、冰水混合物；pH 计及其他常见仪器．可能影响因素 实验操作预期现象和结论溶液的酸碱性取少量0.5mol •L -1Fe （NO 3）3于试管中，加入几滴1mol •L -1HNO 3．棕黄色溶液颜色变浅，说明溶液酸性增强能抑制Fe （NO 3）3的水解．盐的浓度___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ __________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________34．（18分）（1）如图为“验证力的平行四边形定则”实验．三个细线套123L L L 、、一端共系于一个结点，另一端分别系于轻质弹簧测力计A B 、和重物M 上，A 挂在固定点P ．手持B 拉动细线，使结点静止于O 点．① 某次实验中A 的指针位置如图所示，其读数为__________N ；②实验时要读出A B 、的示数，还要在贴于竖直木板的白纸上记录O 点的位置、__________、__________和__________；③下列实验要求中必要的是__________（填选项的字母代号）． A ．弹簧测力计需要在实验前进行校零 B ．细线套方向应与木板平面平行C ．需要用托盘天平测量重物M 的质量D ．弹簧测力计B 始终保持水平（2）用如图（a ）所示的实验器材及电路测量金属丝的电阻率，实验的主要步骤如下，请完第 11 页 共 17 页成相关内容：①将P 移到金属丝a 位置，开启电源，闭合开关S ，调节电阻箱的阻值到__________（填“最大”或“零”），并读出此时电流表的示数0I ，断开开关S ；②适当向b 端滑动P ，闭合开关S ，调节电阻箱使电流表示数为__________，记录电阻丝aP 部分的长度L 和电阻箱对应的阻值R ，断开开关S ；③重复步骤②，直到记录9组L 和R 值并画出R L -的关系图线如图（b ）所示；④根据R L -图线，求得斜率为__________/m Ω；⑤用螺旋测微器测量金属丝的直径如图（c ），其示数为__________mm ，可算得金属丝的电阻率为__________·m Ω． （④、⑤的计算结果保留三位有效数字）35．（18分）如图，质量为6m 、长为L 的薄木板AB 放在光滑的平台上．木板B 端与台面右边缘齐平，B 端上放有质量为3m 且可视为质点的滑块C ．C 与木板之间的动摩擦因数为13μ=．质量为m 的小球用长为L 的细绳悬挂在平台右边缘正上方的O 点，细绳竖直时小球恰好与C 接触．现将小球向右拉至细绳水平并由静止释放，小球运动到最低点时细绳恰好断裂．小球与C 碰撞后反弹速率为碰前的一半． （1）求细绳能够承受的最大拉力；（2）若要使小球落在释放点的正下方P 点，平台高度应为多大？ （3）通过计算判断C 能否从木板上掉下来．场，MN、PQ为理想边界，I区域高度为d，II区域的高度足够大．匀强电场方向竖直向上；I、II区域的磁感应强度均为B，方向分别为垂直纸面向里和向外．一个质量为m，电量为q的带电小球从磁场上方的O点由静止开始下落，进入场区后，恰能做匀速圆周运动．已知重力加速度为g．（1）试判断小球的电性并求出电场强度E的大小；（2）若带电小球运动一定时间后恰能回到O点，求它释放时距MN的高度h；（3）试讨论在h取不同值时，带电小球第一次穿出I区域的过程中，电场力所做的功．2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科综合参考答案2014.4第13 页共17 页2014年广州二模化学参考答案7 8 9 10 11 12 22 23B C A B D C AC CD30．（16分）（1）C9H12O（2分）取代反应（2分）（2）（3分）CH2COOHCH2COOHCHCH2OHCH3H2SO4CH2-C-O-CH2-CHCH2-C-O-CH2-CHOOCH3CH3H2O +2浓+2（3）CH3CH2CH2Br (2分)（2分）（4）（2分）（5）（3分）31．（16分）（1）①25% ；50% （共4分，各2分）②33% （2分）③（共4分）C6 H5- CH2 CH3 (g) C6 H5- CH=CH2 (g) + H2(g)起始浓度/( mol•L-1) ：a/V 0 0变化浓度/( mol•L-1) ：a/3V a/3V a/3V平衡浓度/( mol•L-1) ：2a/3V a/3V a/3V（2分）K =（a/3V•a/3V）/ （2a/3V）= a/6V （2分）（2）> （2分）；（3）> （2分）；（4）ΔH1+ΔH2ΔH3 （2分）32．（16分）（1）Zn-2e-=Zn2+Cu-2e-=Cu2+（共4分，各2分）（2）① TeO2+2NaOH=Na2TeO3+H2O （3分）②TeO2是两性氧化物，H2SO4过量会导致TeO2继续与H2SO4反应导致损失。
广州天河中考数学二模答案
2014年天河区初中毕业班综合练习二（数学）参考答案说明：1、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，各题组可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2、对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）三、解答题（本题有9个小题, 共102分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分9分）解：解（1）得：x<2，-------3分解（2）得：x≥-1 ，-------6分不等式组的解集为：-1≤x＜2 -------9分18.（本题满分9分）解：解法1：作OD⊥AB交AB于点D，-------1分由垂径定理得：AD=BD,∠AOD=∠DOB,-------3分∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°-------4分在RT△AOD中，∠ADO=90°，AO=20cm，∴sin∠AOD=AD AOsin60°=20AD解得：AD=，-------7分∴AB=2AD=cm-------9分19.（本题满分10分）解：∵b3-2ab=0,∴b(b2-2a)=0, ----------------2分∴b=0或b 2-2a=0, ----------------3分 ∵b=0时，分母为0，分式无意义，舍去， ∴b 2-2a=0,即b 2=2a ----------------5分∴2222(1)1(1)212a b a a ab a a-+--+-=⋅----------------6分 2221212a a a a -++-=222a a=----------------9分 12=----------------10分20.（本题满分10分）解：作PD ⊥AB 于点D ，----------------1分 由已知得:PA=200米，∠APD=45°，∠B=37°，----2分 在Rt △PAD 中， 由cos ∠APD =PAPD，得PD=PAcos45° =200×22=2100米，----------------5分在Rt△PBD 中， 由sin ∠B =PB PD ，得PB = 37sin PD ≈6018.02100≈235米．----------------9分 答：小亮与妈妈的距离约为235米．----------------10分21.（本题满分12分）解：（1）本次抽取的学生有100名；在抽取的学生中C 级人数所占的百分比是30％；条形统计图中B 等级人数为25名。
广东省“十二校”2014届高三第2次联考数学理试题 Word版含答案
“十二校”2013—2014学年度高三第二次联考理科数学试题本试卷共6页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U ＝R ，集合{/|1|1}A x x =-<, 1{0}xB xx-=≤,则A ∩(∁U B )＝( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(1, 2) D ． (0,2) x y -3、已知),2(πα∈,5sin =α,则)4tan(α-的值等于（ ）A ．7-B ．71-C ．7D ．714. 等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为32303S x dx =⎰，则公q 的值是（ ）A. 1B.－12 C. 1或－12 D. － 1或－125．定义在R 上的偶函数f (x )在（0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则不等式()0xf x >的解集是( )A ．(0，13)B ．(13 ，＋∞)C ．(- 13，0)∪(13，＋∞)D ．(-∞，-13)∪(0，13)6．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积．．．为A ．π12B ． π3CD 7．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点，若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 8. 已知集合M={(x,y )|y f (x )=}，若对于任意11(x ,y )M ∈，存在22(x ,y )M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合： ①M={1(x,y )|y x=}； ②M={1(x,y )|y sin x =+}； ③M={2(x,y )|y log x =}； ④M={2x(x,y )|y e =-}．其中是“垂直对点集”的序号是（ ） A.①② B .②④ C .①④ D .②③二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（8～13题）9．下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的 概率为 10. 设(5nx 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若240M N -=，则展开式中的常数项_________．11. 下列说法：①“x ∃∈R ，23x >”的否定是“x ∀∈R ，23x ≤”；②函数sin(2)sin(2)36y x x ππ=+- 的最小正周期是π；③命题“函数()f x 在0x x =处有极值，则0()0f x '=”的否命题是真命题；④()f x 是(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，0x >的解析式是()2x f x =，则0x <时的解析式为()2x f x -=-．其中正确的说法是__________．12. 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，则向量a ，b 的夹角是钝角的概率是 ．13．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起， 每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数 为ij a （*,,N j i j i ∈≥），则53a 等于 ，______(3)mn a m =≥.（ ） ▲ 14．在极坐标系中，过点(3,)3π且垂直于极轴的直线方程的极坐标方程是 （请选择正确标号填空）（1）3sin 2=ρθ （2）3cos 2=ρθ （3）3sin 2=ρθ （4）3cos 2=ρθ 15. 如图，在△ABC 和△ACD 中，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ，⊙O 是以AB 为直径的圆，DC 的延长线与AB 的延长线交于点E . 若EB ＝6，EC ＝62，则BC 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分。
2014年广东省数学(理)高考真题含答案(超完美word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A. {0,1}B. {1,0,2}-C. {1,0,1,2}-D. {1,0,1}-2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A. 34i -+B. 34i --C. 34i +D. 34i -3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.5B.6C.7D.84．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是 A.14l l ⊥ B.14//l l C.14,l l 既不垂直也不平行 D.14,l l 的位置关系不确定8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。
2014年广州市普通高中毕业班综合测试 理科数学
2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或儿种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不
再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分，
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14-15题是选做题，考生只能选做一题，。
2014年广东卷数学试题及答案(理)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学理一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1}2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.54.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B. （1,-1,0） C. （0,-1,1） D. （-1,0,1）6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A 、200,20B 、100,20C 、200,10D 、100,107、若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14//l lC ．14,l l 既不垂直也不平行D ．14,l l 的位置关系不确定8.设集合(){}12345=,,,,1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A ．60 B90 C.120 D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。
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图1俯视图侧视图正视图2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 2．若函数()y f x =是函数3x y =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 A ．2log 3- B ．3log 2- C ．19D3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤ 4. 将函数()2cos 2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为 A ．16 B ．13CD7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+D CB A 8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表1 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则A E A F ⋅的值 为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦， 当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且 12A E EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则 △AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，BD =(1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值.图2FED CBAa 图3重量/克0.0320.02452515O 一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样 本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45， 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++. （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分） 如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ； （2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图4已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E .(1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两 点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个 定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值； （2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+.2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分） （1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，3BD =，∴222cos 2AB AD BD A AB AD+-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分 （2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin A ==.……………6分 ∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分 解得BC=……………10分 由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分 ∴1sin sin 33AB AC BC⋅===. ……………12分17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭. ……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==， ∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1= ∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt △BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM = ……………3分 在△AME 中，AE =1AM =，EM =M OH FEDCB∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分 （2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ， 则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =，∴EF ∥OH ，且EF OH =.∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分∵FH BC ⊥，,ABBC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EOBD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分 在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠== ……………13分 ∴直线AE 与平面BDE……………14分 证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ， 则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH ==. ……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥. ∵FH BC ⊥，,ABBC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分 以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -.∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分 设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=， 得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分 设直线AE 与平面BDE 所成角为θ，则sin θ=cos ,n AE⋅=n AE n AE=. ……………11分∴cos 3θ==，sin tan cos θθθ== ……………13分∴直线AE 与平面BDE ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分 即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分 当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分 两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列. ∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分 当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分 又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分 （2）解法1：∵22log log n n a n b +=，∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分 ①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=. ……………13分 ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx-++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分 ∴ ()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分 解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,2422k x k ±==±.∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分 令1y =-，得1822x x =-+， ∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=-⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分 ∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分 设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分 ∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-. 当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x k x x -+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=. ks5u 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=. ……………6分 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增， ks5u 故()()112g x g >=. ……………7分 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2x f x x =-. 当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分 令()ln 2x k g x x x =-+，则()222112222k x x kg x x x x -+'=--=-.方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<， 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>， 则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x =<=>， 则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<.故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减， 从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<，ks5u 得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分 综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x -+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分又ln 0x x >， 从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分 111121n n =+--+ ……………13分 223222n n n n--=+. ……………14分。