人教版八年级上册数学《等腰三角形》轴对称说课教学课件

∴∠ABC = 90°， ∴△ABC是直角三角形.
巩固练习
练习8 如图，AC和BD相交于O点，且AB ∥ DC，OA = OB. 求证OC = OD.
证明：
∵OA=OB， ∴∠A=∠B， 又∵AB∥DC， ∴∠C=∠A=∠D=∠B， ∴OC=OD.
巩固练习
练习9 如图，在△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上， ∠AEF＝∠AFE，求证：EF⊥ BC.
∠2 =∠C(两直线平行，内错角相等) ∵∠1 =∠2， ∴∠B =∠C． ∴AB =AC (等边对等角)
针对训练
1、已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB=AD
证明：∵ AD∥BC，
A
∴∠ADB=∠DBC.
∵ BD平分∠ABC， B ∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD.
a
作法：1.作线段AB=a. 2.作线段AB的垂直平分线MN，交AB于点D. 3.在MN上取一点C，使DC=
A
4.连接AC，BC，则△ABC即为所求.
C
M DB
N
小试牛刀
1．在△ABC中，不能判定是等腰三角形的是( D )
A．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶3
B．a∶b∶c＝2∶2∶3
C．∠B＝50°，∠C＝80°
课堂小结
等腰三角形的判定方法： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
（简写成“等角对等边”）．
作业布置
1.习题13.3的1，2，3； 2.完成练习册本课时的习题。
等腰三角形
学习目标
1 .掌握等腰三角形的判定方法.（重点） 2.掌握等腰三角形的判定定理，并运用其进行证明和计算.（难点）
A
符号语言：
∵在△ABC 中，∠B =∠C，
∴AB =AC．
B
C
典例精析
例1、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边， 那么这个三角形是等腰三角形.
已知：∠CAE 是△ABC 的外角,∠1 =∠2,AD∥BC. 求证：AB =AC. 证明：∵AD∥BC ， ∴∠1 =∠B(两直线平行，同位角相等)
于是在△ABC 中，有∠A +∠ABC+ ∠C = x+2x+2x = 180° 解得x = 36°. 所以，在△ABC 中，∠A = 36°，∠ABC =∠C =72°.
探索新知
知识点3 探索等腰三角形的判定定理
我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对 的角相等. 反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们 所对的边有什么关系？
D．2∠A＝∠B＋∠C
2．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是
△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则
图中等腰三角形共有( D )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
小试牛刀
3.如图，已知OC平分∠AOB， CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于 ___3_c_m__.
AD是底边BC上的高. 标出∠B，∠C，∠BAD，∠DAC的度 数，并写出图中所有相等的线段.
巩固练习
练习3 如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°.求∠B和∠C
的度数.
巩固练习
练习4 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AC=BD，求∠B的
度数.
解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD. ∵AD=AC，∴∠ADC=∠C. ∵AD=BD，∴∠BAD=∠B. 设∠B=x，则∠BAC=2∠BAD=2x， ∠C=∠ADC=∠B+∠BAD=2x， ∴∠B+∠BAC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°，∴∠B=36°.
D C
针对训练
2、如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰
三角形吗？为什么？
解：是
由折叠可知，∠EBD=∠CBD.
A E
D
∵AD∥BC，∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=DE，△EBD是等腰三角形.
B
C
方法总结：平分角+平行=等腰三角形
典例精析
例2、 已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为
其他证明
∠B =∠C，
方法吗？
∠AEB = ∠AEC = 90°，
AE = AE，
∴ △ABE ≌△ACE(AA ∴ AB = AC ．
B
E
C
合作探究---等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理：
这又是一个判定两条 线段相等的根据之一.
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 （简写成“等角对等边”）．
探索新知
等腰三角形的性质: 性质1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）； 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、
底边上的高相互重合（三线合一）．
探索新知
由上面的操作过程获得启发，我们可以利用三角形的全等证明 这些性质.
证明：如图，△ABC 中，AB =AC，作底 边BC的中线AD.
AB =AC， ∵ BD =CD，
• R·八年级上册
第十三章 轴对称
13.3.1 等腰三角形
目录
01
02
03
04
05
复
探
巩
课
作
习
索
固
堂
业
导
新
练
小
布
入
知
习
结
置
复习导入
什么是三角形？ 什么是等腰三角形？
探索新知
知识点1 探索并证明等腰三角形的性质 如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把
它展开，得到的△ABC 有什么特点？
巩固练习
练习5 如图，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C =72°，图中一
共有几个等腰三角形？找出其中的一个等腰三角形给予证明．
A
共有3个等腰三角形．
△ABC、 △DAB、 △BCD
D
B
C
巩固练习
练习6 如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是 一个等腰三角形吗？为什么？
解：是等腰三角形
证明：作AD⊥BC，垂足为D. ∵AB=AC，∴∠BAC=2∠CAD. ∵∠AEF=∠AFE， ∴∠BAC=∠AEF+∠AFE=2∠AEF. ∴∠CAD=∠AEF，∴AD∥EF. ∵AD⊥BC，∴EF⊥BC.
巩固练习
练习10 （1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F， 过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于E．问图中哪些三角形是等
求证：BC＝CD.
综合演练
2.如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD交AD的延长线于点E，EF∥AC 交AB于点F. 求证：AF＝FB.
证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠EAC， ∵EF∥AC， ∴∠FEA＝∠EAC， ∴∠FEA＝∠DAF， ∴AF＝FE. ∵BE⊥AE， ∴∠FEA+∠BEF＝90°,∠BAE+∠FBE＝90°, ∴∠FBE＝∠BEF，∴BF＝EF，∴AF＝BF.
腰三角形？
（2）上题中，若去掉条件AB=AC，其他条件不变，图中还有等腰三
角形吗？
解：（1）△ABC，△ADE，△BDF， △CEF，△BCF都是等腰三角形.
巩固练习
（2）△BDF和△CEF是等腰三角形. ∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB， ∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF. 又DE∥BC，∴∠DFB=∠CBF=∠ABF， ∠EFC=∠BCF=∠ACF， ∴DF=DB，EF=EC. ∴△BDF和△CEF是等腰三角形.
AD =AD， ∴ △BAD ≌△CAD（ ∴ ∠B =∠C．
A
B
D
C
探索新知
∴ ∠BAD =∠CAD， ∠BDA =∠CDA．
∵ ∠BDA +∠CDA =180°， ∴ ∠ADB =90°． ∴ AD⊥BC．
A
Ｂ
D
C
探索新知
在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中 “折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用， 由此，你能发现等腰三角形具有什么特征？
A
B
C
合作探究---等腰三角形的判定
我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等， 反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系呢？
已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C. 求证：AB=AC．
证明：过A 点作AE⊥BC，垂足为E.
A
你还有
在△ABE 和△ACE 中，
综合演练
3、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平 分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形． 证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠B＋∠BAC＝90°. ∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACD. ∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC， ∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．
上述过程中，剪刀剪过
B 的c 两条边是相等的。即
A
D C
ΔABC中AB=AC,所以ΔABC是
等腰三角形。
探索新知
仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片，你能发现这个等腰三 角形的特征吗？
同学们剪下的等腰三角形纸片大小不同，形状各异，是否都 具有上述所概括的特征？
在练习本上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，折一折， 上面得出的结论仍然成立吗？由此你能概括出等腰三角形的性质 吗？
∵ △ABD≌ △CDB，
C
AE
D
∴∠ADB=∠CBD，
∴ △EBD是等腰三角形.
B
C
巩固练习
练习7
已知：△ABC，D为AC的中点，BD = 1 AC.
求证：∠ABC = 90°.
2
证明：∵D为AC的中点， BD = 1 AC.
2
∴AD = BD = DC，
∴∠A =∠ABD，∠C =∠DBC.
∵∠A+∠ABC +∠C= 2（∠ABD +∠DBC） = 2∠ABC = 180 °.
4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交 于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋ CN＝9，则线段MN的长为__9__．
课堂小结
今天我们收获了哪些知识？
1、如何判断一个三角形是等腰三角形？ 2、你能说说我们现在学习了哪些判断两条线段相等的方法了？
综合演练
1.已知：如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D. 证明：连接BD. ∵AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB. ∵∠ABC=∠ADC， ∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB， 即∠DBC=∠BDC， ∴BC=CD.
探索新知
已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C. 求证：AB=AC．
证明：过A 点作AD⊥BC，垂足为D.
在△BAD 和△CAD 中，
∠B =∠C，
∠ADB = ∠ADC = 90°，
A
AD = AD，
∴ △ABD ≌△ACD ． ∴ AB = AC ．
B
C
D
探索新知
等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相
a
M
C
（2）作线段AB 的垂直平分线MN，
与AB 相交于点D； （3）在MN上取一点C，使DC =
A
DB
N
（4）连接AC，BC，则△ABC 就是所
求作的等腰三角形.
巩固练习 练习1 在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数.
72°
30°
巩固练习 练习2 如图，△ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°），
等（简写成“等角对等边”）．
A
符号语言：
∵ 在△ABC 中，∠B =∠C，
∴ AB =AC．
B
C
探索新知
知识点4 等腰三角形判定的应用
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，
那么这个三角形是等腰三角形.
E
已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC．
1
求证：AB =AC.
等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线 （顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它 的对称轴．
探索新知
知识点2 等腰三角形性质的运用
例1 如图，在△ABC 中，AB =AC，点D 在AC 上，且BD =BC=AD． 求△ABC 各角的度数．
解： ∵ AB =AC，BD=BC=AD， ∠ABC=∠C=∠BDC，∠A= ∠ABD 设∠A=x，则∠BDC= ∠A+∠ABD=2x， 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x，
回顾旧知
思考：等腰三角形都有哪些性质呢？
性质1：等腰三角形的两个底角相等；（简写 成“等边对等角”）
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的 中线、底边上的高互相重合．（简写成“三线合 一”）
情境导入
如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报 警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发， 能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
A2 D
B
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
探索新知
证明：∵ AD∥BC ， ∴ ∠1 =∠B
（ 两直线平行，同位角相等 ），
∠2 =∠C
（ 两直线平行，内错角相等 ）． ∵ ∠1 =∠2，
∴ ∠B =∠C． ∴ AB =AC
（ 等角对等边 ）．
E
1
A2
D
B
C
探索新知
例3 已知等腰三角形底边长为a ，底边上的高的长为
作法：
（1）作线段AB =a；