第八章 无穷级数

第八章 无穷级数 一、基础知识 1.概念： ○
1 ∑∞
=1n n
u 无穷级数○
2 n u 一般项○
3∑==++++=n
k k n
n u u u u u S 1
321...部分和 ○4n
nS S S
∞
→=lim 和○
5 ......
21++=-++n n u u S S 。

余和
2.分类：
○
1数项级数：1）正项级数2）交错级数3）任意项级数 ○
2函数项级数：1）幂级数2）傅里叶级数3）正余弦级数 ○
3几个常用的级数： 1）调和级数
∑∞
=1
1
n n 的敛散性 发散
2）那么∑∞
=-1
n p
n
1级数p ，⎩⎨
⎧>≤，收敛
当发散当1,1p p
3）几何级数
∑∞
=-1
1
n n aq
，⎩⎨
⎧≥<，发散
收敛，1,1q q
3.性质： ○
1级数∑∞
=1
n n
u
和级数
∑∞
=1
n n
v
都收敛，则和也收敛；收敛一个发散，则和发散；若两个都发散，和的敛散性
不确定。

○
2数∑∞
=1
n n
u
收敛，且其和为S ，则它的每一项都乘以一个不为零的常数k,所得到的级数
∑∞
=1
n n
ku
也收敛，且
其和为kS
○3一个级数前面加上（或去掉）有限项，级数的敛散性不变 ○
4级数∑∞
=1
n n
u
收敛，则将这个级数的项任意加括号后，所成的级数
...)...(...)...()...(1211121+++++++++++-+k k n n n n n u u u u u u u 也收敛，且与原级数有相同的和
○
5级数收敛的必要条件）若级数∑∞
=1
n n
u
收敛，则0lim =∞
→n
n u
二、数项级数（正项级数、交错级数、任意项级数） 1.正项级数
○1，如下判定：，发散
0lim 0lim =≠∞
→∞→n
n n n u u ○
2 1）比值法（的连乘式或中含有n n u n !）
ρ=+∞→n
n n u u 1
lim
…………..当1<ρ时，收敛；当1>ρ时，发撒；当1=ρ时，失效
2）根值法为指数幂的因子时）中含有（n u n
ρ
=+∞
→1lim n n u n ………..当1<ρ时，收敛；当1>ρ时，发撒；当1=ρ时，失效
3）比较法
n n v u ≤ ………….当
∑∞
=1
n n v
收敛时，
∑∞
=1
n n
u
也收敛；当
∑∞
=1
n n
u
发散时，
∑∞
=1
n n
v
也发散
比较法的极限形式:
也收敛收敛时，也收敛；当收敛时，当同敛散时，当n n n n n n n
n
n u v A v u A v u A A u v ∞==∞<<=→∞0;,0 (i)
4)定义法
收敛的充要条件是其部分和数列
{}n S 有界
5）利用已知级数的敛散性和级数的性质求 2.交错级数（
∑∞
=-1
)
1(n n n
u ）
莱布尼兹判别法： 若○
11+≥n n u u ○
20lim =∞
→n n u ，则收敛，其和,1u S ≤其余项的绝对值1+≤n n u r 3.任意项级数（
∑∞
=-1
)
1(n n n
u ）
○1，如下：，发散
0lim 0lim =≠→∞
→∞n n n n u u ○2正项级数判别法： 1）若
∑∞
=1
n n
u
收敛，则
∑∞
=1
n n
u
绝对收敛；
2）若
∑∞
=1
n n
u
发散，而
∑∞
=1
n n u 收敛，则称级数∑∞
=1
n n u 条件收敛
此时如果是交错级数用莱布尼茨判别法如果不是交错级数如下判断： a.比值法）ρ=+→∞n
n n u u 1
lim
…………..当1>ρ时，发撒
b.根值法
ρ=+∞
→1lim n n u n ………….当
1>ρ时，发撒
4.数项级数求和
○
1直接法：求部分和，再求部分和极限
○
2构造幂级数法 ○
3傅里叶法 ○
4利用已知级数展开式 三、函数项级数 1.一般函数项级数（
...)(...)()()(2
1
1
++++=∑∞
=x u x u x u x u n
n n
）
利用比值法或根值法
○1()x u u n
n n ρ=+∞→1lim ○
2()）
，解得收敛区间（令b a x ,1<ρ
○
3求x 在a,b 处的敛散性 ○4写出收敛域 2.幂级数
○
1求幂级数的收敛半径和收敛域 1）收敛半径n n n n a n a a R 1
lim
1
==+∞→或 2）
R
x ±=处的敛散性
3）写出收敛域 ○
2幂级数的展开 1） 直接展开法 ()()().......,,.x f x f x f
a ''''''求，
()()().......,,.. x f x f x f b ''''''求，
求，写出泰勒级数..c
)
())((!
1 ))((!21))(()()(00)
(200000x R x x x f
n x x x f x x x f x f x f n n n +-+⋅⋅⋅+-''+-'+=
其中10)1()()!1()
()(++-+=n n n x x n f x R ξ (ξ
介于0x 与x
之间).
2)间接展开法
利用微分、积分、变量替换、四则运算等由已知级数的展开式求 1.几个常见的麦克劳林展开式
①)1,1(,110
-∈=
-∑∞
=x x x
n n
②)1,1(,)1(110
-∈-=+∑∞
=x x x n n n
③),(,!
0+∞-∞∈=∑∞
=x n x e n n
x
④),(,)!12()1(sin 0
12+∞-∞∈+-=∑∞
=+x n x x n n n
⑤),(,)!2()1(cos 0
2+∞-∞∈-=∑∞
=x n x x n n n ⑥)1,1(,)1()1ln(1
1-∈-=
+∑∞=-x n x x n n
n ⑦∑∞
=-∈∙+--=+0)1,1(,!)1)...(1()1(n n x x n n x αααα
○
3幂级数的求和 a.求收敛域
b.将和函数通过微分、积分、变量替换，转换成已知级数的展开式
c.求完后再微分积分变回去 3.傅里叶级数
()()()()(
)(
)()
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧=====++=
+===
=====⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧
++-+=++-=++=⎪⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪⎪
⎪⎨⎧===⎰⎰∑∑⎰
∑⎰∑∑⎰⎰⎰--∞
=+
-+-∞
=∞
=---l
l n l l n n n n n n n n
n n n n n n n n n n n dx l x n x f l b n dx l x
n x f l a l l x n b l x n a a x f l nx a a x f n nxdx x f a b nx b
x f n xdx x f b a f f x f x f x f nx b nx a a b a nx b nx a a
x f nxdx x f b nxdx x f a dx x f a )3,2,1(sin )(1)2,1,0(cos
)(12)sin cos (2)(26cos 2
)(2,1,0cos )(2
0)5sin )(3,2,1n sin )(2
0)4.
2
1
2
1
)sin cos (2..),32)sin cos (2)(2sin )(1cos )(1)(1
11
00
0101
00 其中，周期的傅里叶级数：）周期为是偶函数 ，余弦级数：是奇函数
，正弦级数：有有限个极值点；有有限个第一类间断点，在（）收敛条件
，周期）傅里叶函数：
）傅里叶系数
ππππππ
πππππ
ππππ
π
ππππ
π
π。