2018年中考原创押题预测数学卷(附答案)

2018年中考原创押题预测卷
数学试卷
2018．5考
生
须
知1．本试卷共8页，三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟．2．在试卷、机读卡和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和学号．3．选择题在机读卡上作答，其他试题在答题卡上作答，在试卷上作答无效．4．选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束时，请将本试卷、机读卡、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．2017年
10
月
1
日，约110000名群众观看了天安门广场的升旗仪式．将110000用科学记数法表示应为（
）A．11×10
4B．1.1×105C．1.1×104D．0.11×106
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A B C D
3．实数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（
）A．|a|＞b
B．|b|＜a C．﹣a＜a D．﹣b＜a 4.如果2220a a +-=，那么代数式(32)(32)2(41)a a a a +---的值是（）
A.-1
B.-2
C.0
D.1
5．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）
A.圆柱B．三棱柱C．圆锥
D．三棱锥
6．如图，AB∥CD，直线EF 分别交AB，CD 于M，N 两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB=75°，则∠PNM 等于（）
A．15°B．25°C．30°D．45°
7．小宝的妈妈让他从袋子里挑选一颗糖果．小宝无法看到袋子里的糖果．下图是袋子里各种颜色糖果的数量，则小宝选到红色糖果的概率是（）
A ．12
B ．14
C ．15
D ．110
8．甲、乙辆车从A 地驶向B 地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h ，并且甲车中途休息了0.5h ，如图是甲乙辆车行驶的距离y （km ）与时间x （h ）的函数图象．则下列结论：1
乙车行驶1.5h 后追上甲车；2
a=40，m=1；3
乙的速度是80km/h ；4甲比乙迟1.75h 到达B 地．
正确的个数是（）
A.1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9．函数y=的自变量x的取值范围是____________．
10．某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物AB的高度．如图，他们先在点C处测得建筑物AB的顶点A的仰角为30°，然后向建筑物AB前进20m到达点D处，又测得点A的仰角为60°，则建筑物AB的高度是_____m．
11．分解因式：mx2﹣9m=____________．
12．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为______．
13．众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或豪放，或婉约，或思民生疾苦，或抒发己身豪情逸致，文化价值极高．而数学与古诗词更是有着密切的联系．古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字．问两种诗各多少首？设七言绝句有x首，根据题意，可列方程为_________________________．
14．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向上；②与y轴的交点坐标为（0，1）．此二次函数的解析式可以是________________________．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为A（1，0），等腰直角三角形ABC的边AB在x轴的正半轴上，∠ABC=90°，点B在点A的右侧，点C在第一象限，将△ABC绕点A逆时针旋转75°，如果点C的对应点E恰好落在y轴的正半轴上，那么边AB的长为______．
16．下面是“以已知线段为直径作圆”的尺规作图过程．
已知：如图1，线段AB．
求作：以AB为直径的⊙O．
作法：如图2，
（1）分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径
作弧，两弧相交于点C，D；
（2）作直线CD交AB于点O；
（3）以O为圆心，OA长为半径作圆．则⊙O即为所求作的．
请回答：该作图的依据是_________________________________________________________．
三、解答题（本大题共12小题，第17题-23题，每小题5分，第24-26题，每小题6分，第27题7分，第28题8分，共68分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：021(3.14)tan 45+()3π---+︒-．
18．解不等式2121x x +++≥，并把它的解集在数轴上表示出来．
19.如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 边上一点，EF 垂直平分CD ，交AC 于点E ，交BC 于点F ，连结DE ，求证：DE ∥AB ．
20．已知关于x 的方程210x ax a -+-=有两个实数根．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）写出一个满足条件的a 的值，并求此时方程的根．
21．如图，已知点E ，F 分别是□ABCD 的边BC ，AD 上的中点，且∠BAC =90°．
（1）求证：四边形AECF 是菱形；
（2）若∠B =30°，BC =10，求菱形AECF 面积．
22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，过点A （2,0）的直线l ：y=mx-3与y 轴交于点B.
（1）求直线l 的表达式；
（2）若点C 是直线l 与双曲线x
n =y 的一个公共点，AB=2AC ，直接写出n 的值.
23．如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE 是⊙O的直径，连结DE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若
4
sin
5
C ，AC=6，求⊙O的直径．
24．为了解甲、乙两班英语口语水平，每班随机抽取了10名学生进行了口语测验，测验成绩满分为10分，参加测验的10名学生成绩（单位：分）称为样本数据，抽样调查过程如下：收集数据
甲、乙两班的样本数据分别为：
甲班：67946769610
乙班：7897578595
整理和描述数据
规定了四个层次：9分以上（含9分）为“优秀”，8-9分（含8分）为“良好”，6-8分（含6分）为“一般”，6分以下（不含6分）为“不合格”．按以上层次分布绘制出如下的扇形统计图．
请计算：（1）图1中，“不合格”层次所占的百分比；
（2）图2中，“优秀”层次对应的圆心角的度数．
分析数据
对于甲、乙两班的样本数据，请直接回答：
（3）甲班的平均数是7，中位数是_____；乙班的平均数是______，中位数是7；
（4）从平均数和中位数看，_____班整体成绩更好．
解决问题
（5）若甲班50人，乙班40人，通过计算，估计甲、乙两班“不合格”层次的共有多少人？
25．小明研究了这样一个问题：求使得等式20(0)kx x k +-=>成立的x 的个数．小明发现，先将该等式转化为2kx x +=，再通过研究函数2y kx =+的图象与函数y x =的图象（如图）的交点，使问题得到解决．
请回答：
（1）当k ＝1时，使得原等式成立的x 的个数为_________；
（2）当0＜k ＜1时，使得原等式成立的x 的个数为_______；
（3）当k ＞1时，使得原等式成立的x 的个数为________．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
关于x 的不等式240 ()x a a x
+-<＞0只有一个整数解，求a 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y mx m m x -++=与y 轴交于点A （0，3），与x 轴交于点B ，C （点B 在点C 左侧）．
（1）求该抛物线的表达式及点B ，C 的坐标；
（2）抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，若直线y kx b =+经过点D 和点E (1,2)--，求直线DE 的表达式；
（3）在（2）的条件下，已知点P （t ，0）
，过点P 作垂直于x 轴的直线交抛物线于点M ，交直线DE 于点N ，若点M 和点N 中至少有一个点在x 轴下方，直接写出t 的取值范围．
27．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，边BA绕点B顺时针旋转α角得到线段BP，连结PA，PC，过点P作PD⊥AC于点D．
（1）如图1，若α=60°，求∠DPC的度数；
（2）如图2，若α=30°，直接写出∠DPC的度数；
（3）如图3，若α=150°，依题意补全图，并求∠DPC的度数．
28.在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行或与x轴，y轴重合，则称该菱形为点P，Q的“相关菱形”．图1为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图．
已知点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（b，0），
（1）若b=3，则R（﹣1，0），S（5，4），T（6，4）中能够成为点A，B的“相关菱形”
顶点的是；
（2）若点A，B的“相关菱形”为正方形，求b的值；
（3）⊙B的半径为，点C的坐标为（2，4）．若⊙B上存在点M，在线段AC上存在点N，使点M，N的“相关菱形”为正方形，请直接写出b的取值范围．
2018年中考原创押题预测卷
数学试卷
答案与解析
1．【答案】B
【解析】因为用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10﹣n ，其中1≤|a|＜10，n 为整数，所以110000=1．1×105．
故选B．
2．【答案】B
【解析】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不正确；
B.既是轴对称图形又是中心对称图形，故正确；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故不正确；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不正确；
故选B．
3．【答案】A
【解析】根据数轴上点的位置得：a=﹣2，1＜b＜2，
则|a|=2＞b，|b|＞a，﹣a＞a，﹣b＞a，故选A．
4．【答案】B
【解析】222(32)(32)2(41)948224
a a a a a a a a a +---=--+=+-当2220a a +-=时，224a a +-=-2．
5．【答案】C
【解析】因为正视图和左视图都是三角形，所以此几何体为锥体；俯视图是一个圆，所以此几何体为圆锥．
6．【答案】C
【解析】∵AB∥CD，
∴∠DNM=∠BME=75°，
∵∠PND=45°，
∴∠PNM=∠DNM﹣∠DNP=30°，
故选C．
7．【答案】C
【解析】由图可知，红色糖果6颗，橘色糖果5颗，黄色糖果3颗，绿色糖果3颗，蓝色糖果2颗，粉红色糖果4颗，紫色糖果2颗，褐色糖果5颗．所以，总共有6+5+3+3+2+4+2+5=30颗糖果．所以，小宝选到红色糖果的概率是
61305=．8．【答案】D
【解析】①由图可知，在3．5h 时，辆车相遇，此时乙车行驶3．5-2=1．5h ，故正确．②由题意，得m=1．2-0．5=1；120÷（3．5-0．5）=40（km/h ），则a=40，故正确．③120÷（3．5-2）=80（km/h ），故正确．
④设甲车休息之后行驶路程y （km ）与时间（h ）的函数关系式为y=kx+b ，由题意，得⎩⎨⎧+=+=b k 5.3120b k 5.140，解得⎩
⎨⎧-==20b 40k ，所以y=40x-20；根据图形得知乙车先到达B 地，把y=260代入y=40x-20得x=7．
又因为乙车的速度为80km/h ，所以乙车用时260÷80=3．25h ．
所以7-（2+3．25）=1．75h ．所以甲比乙迟到1．75h ．故D 正确．
9．【答案】1
2
x ≤【解析】根据题意得：120x -≥，解得：12x ≤．故答案为12
x ≤．
10．【答案】10
【解析】设AB=x ，
在Rt △ABC 中，∠C=30°，
则BC==x ，
在Rt △ABD 中，∠ADB=60°，
则BD==x ，由题意得，
x ﹣x=20，解得：x=10．
即建筑物AB 的高度是10
m ．故答案为10．
11．
【答案】m （x+3）（x ﹣3）
【解析】mx 2﹣9m ，
=m （x 2﹣9）
，=m （x+3）
（x ﹣3）．12．【答案】6
【解析】∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，则内角和是720度．
720÷180+2=6，
∴这个多边形是六边形．
故答案为6．
13．【答案】28x﹣20（x+13）=20
【解析】设七言绝句有x 首，根据题意，可列方程为：
28x﹣20（x+13）=20．
故答案为28x﹣20（x+13）=20．
14．【答案】答案不唯一，如：y=x 2+1，
【解析】由①可设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c(a>0)，由②得到c=1．所以，只要y=ax 2+bx+1(a>0)，故答案可以为y=x 2+1．
15．【解析】设AB 的长为x ．因为△ABC 是等腰直角三角形，所以∠CAB=45°，
又根据旋转的性质，得到AC=AE ，∠CAE=75°．
所以∠OAE=180°-∠CAE-∠CAB=180°-75°-45°=60°．
因为点A 的坐标为A （1，0），所以OA=1，所以AE=12cos cos 60OA EAO ==∠︒
，
所以AC=AE=2，所以，AB=AC=sin ∠CAB=2sin45°．
16．【答案】垂直平分线的判定和圆的定义
【解析】由作法得CD 垂直平分AB，即点O 为AB 的中点，所以⊙O 即为所求作．故答案为垂直平分线的判定和圆的定义．
17．【解析】解：原式
119=-++……………………4分
9=+．………………………………………5分
18．
【解析】解：去分母，得：()()622132x x ++≥+………………………………1分
去括号，得：64263x x ++≥+……………………………………………………2分移项，合并同类项得：2x ≥-………………………………………3分解集在数轴上表示出来为：
…………5分
19．【解析】证明：因为在△ABC 中，AB=AC ，所以∠B=∠C ．………………………1分因为EF 垂直平分CD ，所以DE=CE ，所以∠EDC=∠C ．………………………3分所以∠B=∠EDC ，所以DE ∥AB ．………………………5分
20．【解析】（1）证明：222
()4(1)44(2)0a a a a a ∆=---=-+=-≥ ，…………2分∴方程总有两个实数根．
（2）解：由（1）知2(2)a ∆=-，
x ∴=……………………………………………………………3分121 1.x a x ∴=-=，………………………………………………………………4分当a =3时，122 1.x x ==，（答案不唯一）……………………………………………5分
21．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD=BC ．
在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，点E 是BC 边的中点，
∴AE =CE =12BC ．同理，AF =CF =12
AD ．∴AF=CE ．…………………………………………………………………………………1分∴四边形AECF 是平行四边形．
∴平行四边形AECF 是菱形．………………………………………………………………2分
（2）解：在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，∠B =30°，BC =10，
∴AC=5，AB=．……………………………3分
连接EF 交于点O ，
∴AC ⊥EF 于点O ，点O 是AC 中点．
∴OE =12AB =．
∴EF =．…………………………………………4分
∴菱形AECF 的面积是12AC ·EF 5分22．【解析】解：（1）∵直线l ：y=mx-3过点A （2,0）．
∴0=2m-3………………………………1分∴23=
m …………………………………………2分∴直线l 的表达式为323y -=x ……………………………………3分（2）2923或-=n ………………………………………………5分23．【解析】（1）证明：∵AB =AC ，AD =DC ，∴∠1=∠C =∠B ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分又∵∠E =∠B ，∴∠1=∠E ，
∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ADE =90°，
∴∠E +∠EAD =90°，
∴∠1+∠EAD =90°，
∴AC 是⊙O 的切线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（2）解：过点D 作DF ⊥AC 于点F ，
∵DA =DC ，AC =6，
∴CF =12
AC =3，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分又∵4sin 5C =
，∴在Rt △DFC 中，DF =4，DC =5，∴AD =5，．．．．．．．．．．．．4分
由（1）知，∠E =∠C ，∴4sin E =，∴在Rt △ADE 中，sinE=
AD
AE ∴AE =254，∴⊙O 的直径为254
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
24．
【解析】（1）抽取的10人中，甲班不合格的人数为1，10
1×100%＝10%；．．．．．．．1分（2）抽取的10人中，乙班优秀的人数为2，2×360°＝72°；．．．．．．．．2分（3）甲班的平均数是7，中位数是6．5；乙班的平均数是7，中位数是7；．．．．．．．．3分
（4）从平均数和中位数看，乙班整体成绩更好．．．．．．．．．4分
（5）甲班不合格的人数约为：50×10%＝5（人）
乙班不合格的人数约为：40×
310×100%＝12（人）．．．．．．．．5分5＋12＝17（人）
答：甲、乙两班“不合格”层次的共有17人．．．．．．．．．．．6分
25．【解析】（1）当k ＝1时，使得原等式成立的x 的个数为1；……………………1分
（2）当0＜k ＜1时，使得原等式成立的x 的个数为2；……………………………2分（3）当k ＞1时，使得原等式成立的x 的个数为1．……………………………3分解决问题：将不等式240 ()x a a x +-<＞0转化为24 ()x a a x
+<＞0，研究函数2(0)y x a a =+>与函数4y =
的图象的交点．∵函数4y x
=的图象经过点A (1，4)，B (2，2)，函数2y x =的图象经过点C (1，1)，D (2，4)，
若函数2(0)y x a a =+>经过点A (1，4)，则3a =，……………………………………4分
结合图象可知，当03a <<时，关于x 的不等式24(0)x a a +<>只有一个整数解．
也就是当03a <<时，关于x 的不等式240 ()x a a +-
<＞0只有一个整数解．……………………6分26．【解析】解：（1）∵抛物线224y mx m m x -++=与y 轴交于点A （0，3）
，∴43m +=．
∴1m =-．
∴抛物线的表达式为232y x x =-++．……………………………………1分
∵抛物线232y x x =-++与x 轴交于点B ，C ，
∴令0y =，即2320x x +-=+．
解得11x =-，23x =．
又∵点B 在点C 左侧，
∴点B 的坐标为(1,0)-，点C 的坐标为(3,0)．………………………3分
（2）∵2223(1)4y x x x +=---++=，
∴抛物线的对称轴为直线1x =．
∵抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，
∴点D 的坐标为(1,0)．…………………………………………………………4分∵直线y kx b =+经过点D (1,0)和点E (1,2)--，
∴0,2.
k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得1,1.
k b =⎧⎨=-⎩∴直线DE 的表达式为1y x =-．…………………………………………………5分
（3）1t <或3t >……………………………………………………………………6分27．【解析】（1）∵边BA 绕点B 顺时针旋转α角得到线段BP ，
∴BA =BP ，
∵α=60°，∴△ABP 是等边三角形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
∴∠BAP =60°，AP =AC ，
又∵∠BAC =90°，
∴∠PAC =30°，∠ACP =75°，
∵PD ⊥AC 于点D ，
∴∠DPC =15°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（2）结论：∠DPC =75°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（3）画图
过点A 作AE ⊥BP 于E ．
∴∠AEB =90°，
∵∠ABP =150°，∴∠1=30°，∠BAE =60°，
又∵BA =BP ，
∴∠2=∠3=15°，
∴∠PAE =75°，
∵∠BAC =90°，
∴∠4=75°，
∴∠PAE =∠4，
∵PD ⊥AC 于点D ，
∴∠AEP =∠ADP =90°，
∴△APE ≌△APD ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分∴AE =AD ，
在Rt △ABE 中，∠1=30°，∴12AE AB =
，又∵AB =AC ，∴1122
AE AD AB AC ==
=，∴AD =CD ，
又∵∠ADP =∠CDP =90°，
∴△ADP ≌△CDP ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分∴∠DCP =∠4=75°，
∴∠DPC =15°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分28．【解析】（1）如图1中，观察图象可知：R、S 能够成为点A，B 的“相关菱形”顶点．
故答案为R，S．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（2）如图2中，过点A作AH垂直x轴于H点．
∵点A，B的“相关菱形”为正方形，
∴△ABH为等腰直角三角形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分∵A（1，4），
∴BH=AH=4．
∴b=﹣3或5．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（3）如图3中，观察图象可知，满足条件的b的范围为：﹣5≤b≤0或3≤b≤8．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分。