常用逻辑用语-3年高考2年模拟1年备战2019高考精品系列之数学(理)+Word版含解析
高考数学总复习 常用逻辑用语
知识网络:目标认知考试大纲要求：1.理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.4.理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.重点：充分条件与必要条件的判定.难点：根据命题关系或充分(或必要)条件进行逻辑推理。
知识要点梳理知识点一：命题1.定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.（1）命题由题设和结论两部分构成.命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等.（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题.数学中的定义、公理、定理等都是真命题；（3）命题“”的真假判定方式：①若要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。
如：一定推出.②若要判断命题“”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.2.逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.（1）不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.（2）复合命题的构成形式：①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）.（3）复合命题的真假判断（利用真值表）：非真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假①当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；②当p、q同时为真时，“p且q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。
③“非p”与p的真假相反.注意：（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例：一是p成立且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立。
可以类比于集合中“或”.（2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：“p或q”的否定是“p且q”；“p且q”的否定是“p或q”.（3）对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论。
常用逻辑用语近3年高考试题【精品教案】—【教学设计】
中小学教学参考资料教学设计试卷随堂检测近3年（2016——2018）《常用逻辑用语》部分高考真题一．选择题（共22小题）1．（2018•天津）设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（2018•天津）设x∈R，则“|x ﹣|＜”是“x3＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（2018•上海）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件4．（2018•浙江）已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（2018•北京）设a，b，c，d是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（2018•北京）设，均为单位向量，则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（2016•四川）设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（2017•天津）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（2017•天津）设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（2017•北京）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是“•＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．（2017•浙江）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．（2017•山东）已知命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0．命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q13．（2016•山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（2016•浙江）命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（）A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x215．（2016•北京）设，是向量，则“||=||”是“|+|=|﹣|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．（2016•浙江）已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件17．（2016•天津）设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件18．（2016•上海）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件19．（2016•天津）设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件20．（2016•上海）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h （x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题近3年（2016——2018）《常用逻辑用语》部分高考真题参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．（2018•天津）设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由x3＞8得到|x|＞2，由|x|＞2不一定得到x3＞8，然后结合查充分条件、必要条件的判定方法得答案．【解答】解：由x3＞8，得x＞2，则|x|＞2，反之，由|x|＞2，得x＜﹣2或x＞2，则x3＜﹣8或x3＞8．即“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件及其判定方法，是基础题．2．（2018•天津）设x∈R，则“|x﹣|＜”是“x3＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先解不等式，再根据充分条件和必要条件的定义即可求出．【解答】解：由|x﹣|＜可得﹣＜x﹣＜，解得0＜x＜1，由x3＜1，解得x＜1，故“|x﹣|＜”是“x3＜1”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了不等式的解法和充分必要条件，属于基础题．3．（2018•上海）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【解答】解：a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．（2018•浙江）已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据线面平行的定义和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：∵m⊄α，n⊂α，∴当m∥n时，m∥α成立，即充分性成立，当m∥α时，m∥n不一定成立，即必要性不成立，则“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面平行的定义和性质是解决本题的关键，是基础题．5．（2018•北京）设a，b，c，d是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质进行判断即可．【解答】解：若a，b，c，d成等比数列，则ad=bc，反之数列﹣1，﹣1，1，1．满足﹣1×1=﹣1×1，但数列﹣1，﹣1，1，1不是等比数列，即“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质是解决本题的关键．6．（2018•北京）设，均为单位向量，则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的对应进行判断即可．【解答】解：∵“|﹣3|=|3+|”∴平方得||2+9||2﹣6•=9||2+||2+6•，即1+9﹣6•=9+1+6•，即12•=0，则•=0，即⊥，则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的公式进行转化是解决本题的关键．7．（2017•上海）已知a、b、c为实常数，数列{x n}的通项x n=an2+bn+c，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）A．a≥0B．b≤0C．c=0D．a﹣2b+c=0【分析】由x100+k，x200+k，x300+k成等差数列，可得：2x200+k=x100+k x300+k，代入化简即可得出．【解答】解：存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列，可得：2[a（200+k）2+b（200+k）+c]=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化为：a=0．∴使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a≥0．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（2017•天津）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由2﹣x≥0得x≤2，由|x﹣1|≤1得﹣1≤x﹣1≤1，得0≤x≤2．则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键．9．（2017•天津）设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：|θ﹣|＜⇔﹣＜θ﹣＜⇔0＜θ＜，sinθ＜⇔﹣+2kπ＜θ＜+2kπ，k∈Z，则（0，）⊊（﹣+2kπ，+2kπ），k∈Z，可得“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查正弦函数的图象和性质，运用定义法和正确解不等式是解题的关键，属于基础题．10．（2017•北京）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是“•＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．即可判断出结论．【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（2017•浙江）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据等差数列的求和公式和S4+S6＞2S5，可以得到d＞0，根据充分必要条件的定义即可判断．【解答】解：∵S4+S6＞2S5，∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），∴21d＞20d，∴d＞0，故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，故选：C．【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题12．（2017•山东）已知命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0．命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假的真值表，可得答案．【解答】解：命题p：∃x=0∈R，使x2﹣x+1≥0成立．故命题p为真命题；当a=1，b=﹣2时，a2＜b2成立，但a＜b不成立，故命题q为假命题，故命题p∧q，￢p∧q，￢p∧￢q均为假命题；命题p∧￢q为真命题，故选：B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，不等式与不等关系，难度中档．13．（2016•山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”⇒“平面α和平面β相交”，反之不成立．【解答】解：直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”⇒“平面α和平面β相交”，反之不成立．∴“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．14．（2016•浙江）命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（）A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2【分析】特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，依据规则写出结论即可【解答】解：“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2“故选：D．【点评】本题考查命题的否定，解本题的关键是掌握住特称命题的否定是全称命题，书写答案是注意量词的变化．15．（2016•浙江）已知实数a，b，c．（）A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100B．若|a2+b+c|+|a2+b﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100C．若|a+b+c2|+|a+b﹣c2|≤1，则a2+b2+c2＜100D．若|a2+b+c|+|a+b2﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100【分析】本题可根据选项特点对a，b，c设定特定值，采用排除法解答．【解答】解：A．设a=b=10，c=﹣110，则|a2+b+c|+|a+b2+c|=0≤1，a2+b2+c2＞100；B．设a=10，b=﹣100，c=0，则|a2+b+c|+|a2+b﹣c|=0≤1，a2+b2+c2＞100；C．设a=100，b=﹣100，c=0，则|a+b+c2|+|a+b﹣c2|=0≤1，a2+b2+c2＞100；故选：D．【点评】本题主要考查命题的真假判断，由于正面证明比较复杂，故利用特殊值法进行排除是解决本题的关键．16．（2016•浙江）已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f （x）的最小值相等”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求出f（x）的最小值及极小值点，分别把“b＜0”和“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”当做条件，看能否推出另一结论即可判断．【解答】解：f（x）的对称轴为x=﹣，f min（x）=﹣．（1）若b＜0，则﹣＞﹣，∴当f（x）=﹣时，f（f（x））取得最小值f（﹣）=﹣，即f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等．∴“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的充分条件．（2）设f（x）=t，则f（f（x））=f（t），∴f（t）在（﹣，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，若f（f（x））=f（t）的最小值与f（x）的最小值相等，则﹣≤﹣，解得b≤0或b≥2．∴“b＜0”不是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的必要条件．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，简易逻辑关系的推导，属于基础题．17．（2016•天津）设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】直接根据必要性和充分判断即可．【解答】解：设x＞0，y∈R，当x＞0，y=﹣1时，满足x＞y但不满足x＞|y|，故由x＞0，y∈R，则“x＞y”推不出“x＞|y|”，而“x＞|y|”⇒“x＞y”，故“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件，故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．（2016•上海）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由a2＞1得a＞1或a＜﹣1，即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础．19．（2016•四川）设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立，例如取x=3，y=．【解答】解：由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立：例如取x=3，y=．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20．（2016•北京）设，是向量，则“||=||”是“|+|=|﹣|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得答案．【解答】解：若“||=||”，则以，为邻边的平行四边形是菱形；若“|+|=|﹣|”，则以，为邻边的平行四边形是矩形；故“||=||”是“|+|=|﹣|”的既不充分也不必要条件；故选：D．【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“||=||”与“|+|=|﹣|”表示的几何意义，是解答的关键．21．（2016•天津）设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n+a2n＜0”的（）﹣1A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可．【解答】解：{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，+a2n＜0”不一定成立，若“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1例如：当首项为2，q=﹣时，各项为2，﹣1，，﹣，…，此时2+（﹣1）=1＞0，+（﹣）=＞0；+a2n＜0”，前提是“q＜0”，而“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的必要而不充分条件，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1故选：C．【点评】此题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．22．（2016•上海）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h （x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题【分析】①不成立．可举反例：f（x）=．g（x）=，h（x）=．②由题意可得：f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），可得：g（x）=g（x+T），h （x）=h（x+T），f（x）=f（x+T），即可判断出真假．【解答】解：①不成立．可举反例：f（x）=．g（x）=，h（x）=．②∵f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），前两式作差可得：g（x）﹣h（x）=g（x+T）﹣h（x+T），结合第三式可得：g （x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），同理可得：f（x）=f（x+T），因此②正确．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二．填空题（共2小题）23．（2018•北京）能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f （x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是f（x）=sinx．【分析】本题答案不唯一，符合要求即可．【解答】解：例如f（x）=sinx，尽管f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，当x∈[0，）上为增函数，在（，2]为减函数，故答案为：f（x）=sinx．【点评】本题考查了函数的单调性，属于基础题．24．（2018•北京）能说明“若a＞b，则＜”为假命题的一组a，b的值依次为a=1，b=﹣1．【分析】根据不等式的性质，利用特殊值法进行求解即可．【解答】解：当a＞0，b＜0时，满足a＞b，但＜为假命题，故答案可以是a=1，b=﹣1，故答案为：a=1，b=﹣1．【点评】本题主要考查命题的真假的应用，根据不等式的性质是解决本题的关键．比较基础．。
高三一轮复习：常用逻辑用语
常用逻辑用语一、【知识梳理】（一）四种命题及其关系：1、一般地，用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用p ⌝和q ⌝分别表示p 和q 的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p ，则q ；逆命题： ； 否命题： ； 逆否命题： 。
2、一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系： （1）原命题为真，它的逆命题不一定为真；（2）原命题为真，它的否命题不一定为真； （3）原命题为真，它的逆否命题一定为真；（4）逆命题为真，它的否命题一定为真。
（二）充分条件和必要条件：1、“若p 则q ”是真命题，即q p ⇒；“若p 则q ”为假命题，即q p ⇒。
2、 （1）若q p ⇒，但q p ⇐，则p 叫q 的 ；（2）若q p ⇒，但q p ⇐，则p 叫q 的 ；（3）若q p ⇒，且q p ⇐，则p 叫q 的 ；（4）若q p ⇒，且q p ⇐，则p 叫q 的 ； 3、证明p 是q 的充要条件分两步：（1）充分性，把p 当作已知条件，结合命题的前提条件，推理论证得出q ； （2）必要性：把q 当作已知条件，结合命题的前提条件，推理论证得出p ；（三）逻辑联结词：1、或、且、非这些词叫做逻辑联结词。
或：两个命题中至少一个成立； 且：两个命题都成立； 非：对一个命题的否定；2、了解真值表：（四）含有一个量词的命题：1、短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题。
2、将含有变量x 的语句用p(x)、q(x)、r(x )……表示，变量x 的范围用M 表示，那么全称命题“对M 中任意一个x ，有p(x)成立”可用符号简记为 。
3、短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。
4、存在性命题“存在M 中的一个x ，使p(x)成立”可用符号简记为 。
5、全称命题M x ∈∀，p(x)，它的否定： ，全称命题的否定是存在性命题。
高三数学一轮复习基础导航 1.2常用逻辑用语
1.2常用逻辑用语【考纲要求】1、常用逻辑用语（1）了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.（2）全称量词与存在量词：① 理解全称量词与存在量词的意义； ② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
【基础知识】一、逻辑联结词逻辑联结词：“或”“且”“非”简单命题：不含逻辑联结词的命题复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题。
有三种形式：p q ∧（读作“p q 且”）、p q ∨（读作“p q 或”）、p ⌝（读作“非p ”） 二、复合命题的真假三、全称命题与特称命题1、全称量词：类似“所有”这样的量词，并用符号“∀”表示。
2、全称命题：含有全称量词的命题。
其结构一般为：,()x M p x ∀∈3、存在量词：类似“有一个”或“有些”或“至少有一个”这样的量词，并用符号“∃”表示。
4、特称命题：含有存在量词的命题。
其结构一般为：,()x M p x ∃∈四、全称命题与特称命题的否定1、命题的否定和命题的否命题的区别命题p 的否定 ，即p ⌝，指对命题p 的结论的否定。
命题p 的否命题，指的是对命题p 的条件和结论的同时否定。
2、全称命题的否定全称命题p ：,()x M p x ∀∈ 全称命题p 的否定（p ⌝）：,()x M p x ∃∈⌝ 特称命题:p ,()x M p x ∃∈ 特称命题的否定:p ⌝,()x M p x ∀∈⌝所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
六、温馨提示1、对逻辑联接词“或”的理解:数学中的联接词“或”与生活用语中的“或”的含义不尽相同，生活用语中的“或”带有“不可同时兼有”的意思，而数学中的联接词“或”含有“可同时兼有”的含义，它与并集概念中的“或”含义相同。
2、含有一个量词的全称命题的否定是特称命题，含有一个量词的特称命题的否定是全称命题。
3、命题与集合的关系：命题的“或”“且”“非”对应集合的“并”“交”“补”。
【例题精讲】例1 写出下列命题的否定，并判断真假.(1)∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0；(2)∀x ∈Q ， 13x 2＋12x ＋1是有理数； (3)∃α、β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；(4)∃x ，y ∈Z ，使3x －2y ≠10.【解析】(1)的否定是“∃x ∈R ，x 2＋x ＋1≤0”.假命题.(2)的否定是“∃x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1不是有理数”.假命题. (3)的否定是“∀α，β∈R ，使sin(α＋β)≠sin α＋sin β”.假命题.(4)的否定是“∀x ，y ∈Z ，使3x －2y ＝10”.假命题.例2 设有两个命题：p ：x 2－2x ＋2≥m 的解集为R ；q ：函数f(x)＝－(7－3m)x 是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．【解析】若命题p 为真命题，可知m≤1；若命题q 为真命题，则7－3m>1，即m<2.所以命题p 和q 中有且只有一个是真命题时，有p 真q 假或p 假q 真，即1122m m m ≤⎧⎧∴<<⎨⎨≥⎩⎩m>1或m<2例3 已知m ∈R ，设P ：x 1和x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个根，不等式|m －5|≤|x 1－x 2|对任意实数a ∈[1,2]恒成立；Q ：函数f (x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋43有两个不同的零点.求使“P 且Q ”为真命题的实数m 的取值范围.【解析】由题设x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝－2，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8.当a ∈[1,2]时，a 2＋8的最小值为3.要使|m －5|≤|x 1－x 2|对任意实数a ∈[1,2]恒成立，只须|m －5|≤3，即2≤m ≤8.由已知，得f (x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋43＝0的判别式 Δ＝4m 2－12(m ＋43)＝4m 2－12m －16>0， 得m <－1或m >4.综上，要使“P ∧Q ”为真命题，只需P 真Q 真，即28,14m m m ⎧⎨<->⎩或≤≤28,14m m m ⎧⎨<->⎩或≤≤解得实数m 的取值范围是(4,8].1.2常用逻辑用语强化训练【基础精练】1、下列命题不是全称命题的是 ( )A.在三角形中，三内角之和为180°B.对任意非正数c ，若a ≤b ＋c ，则a ≤bC.对于实数a 、b ，|a －1|＋|b －1|>0D.存在实数x ，使x 2－3x ＋2＝0成立2、已知命题p ：x ∈A ∪B ，则p ⌝是 ( )A.x ∉A∩BB.x ∉A 或x ∉BC.x ∉A 且x ∉BD.x ∈A∩B3、命题p ：若0a b ⋅<，则a 与b 的夹角为钝角。
考点02 常用逻辑用语-2019年江苏高考数学五年真题与三年模拟试题考点分类解读 Word版含解析
内容要求A B C命题的四种形式√充分条件、必要条件、充要条件√简单的逻辑关键词√全称量词与存在量词√1、了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。
2、理解充分条件、必要条件、充分条件的意义，会判断充分条件、必要条件、充要条件。
3、了解或、且、非的含义·4、了解全称量词与存在量词的意义，能准确地对一个量词的命题进行否定·2009年2014年2015年2016年2017年2018年考查了命题以及命题的条件填空题考查了恒成立问题；解答题均考查了恒成立问题和存在问题与圆锥曲线结合的恒成立问题有函数结合的恒成立问题与数列结合的恒成立问题与数列结合的恒成立问题考纲要求近五年高考情况分析从近几年江苏高考可以看出，高考对本章的考查主要体现在函数的恒成立和存在问题，这也是与函数知识点融合的热点问题，这就要引起考生的重视，另外一方面也要重点复习含有量词的否定等含有量词的简单问题以及两个命题的条件的问题。
2、(2017苏州暑假测试）命题“∃x0＞1，x20≥2”的否定是________．【答案】. ∀x＞1，x2＜2【解析】：根据存在性命题的否定规则得“∃x0＞1，x20≥2”的否定是“∀x＞1，x2＜2”．3、(2017无锡期末）命题“∀x≥2，x2≥4”的否定是“________，x2＜4”．【答案】：∃x≥2【解析】：因为命题“∀x≥2，x2≥4”的否定是“∃x≥2，x2＜4”4、(2016泰州期末）若命题“存在x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________．【答案】：(2，＋∞)易错警示转为真命题来处理，二次项系数为参数的不等式恒成立问题，要注意讨论二次项系数为0时能否成立．5、(2016南通、扬州、淮安、连云港二调）命题“∃x∈R,2x>0”的否定是________．【答案】∀x∈R,2x≤0【解析】：根据全称命题的否定法则可得6、(2016扬州期末）已知命题p：“∀x∈R，x2＋2x－3≥0”，则命题p的否定为________．【答案】∃x∈R，x2＋2x－3<0【解析】：根据全称命题的否定法则可得题型二：充分必要条件1、(2018盐城三模）“”是“1sin2x ”成立的条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）．【答案】、充分不必要【规律总结】因为“小范围”可以推出“大范围”，故“小范围”是“大范围”的充分条件，“大范围”是“大范围”的必要条件.2、(2016南京学情调研）已知直线l ，m ，平面α，m ⊂α，则“l ⊥m ”是“l ⊥α”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)． 【答案】：. 必要不充分【解析】：根据直线与平面垂直的定义：若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直．现在是直线与平面内给定的一条直线垂直，而不是任意一条，故由“l ⊥m ”推不出“l ⊥α”，但是由定义知“l ⊥α”可推出“l ⊥m ”，故填必要不充分3、(2016南京、盐城一模） 设向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，则“a ∥b ”是“tan θ＝”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)【答案】必要不充分【解析】：若a ∥b ，则cos 2θ－sin2θ＝0，即cos 2θ－2sin θcos θ＝0.得cos θ＝0或tan θ＝.所以“cos θ＝0或tan θ＝”是“tan θ＝”的必要不充分条件，即“a ∥b ”是“tan θ＝”的必要不充分条件．4、(2016南京三模）记不等式x 2＋x －6＜0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B ．若“xA ”是“xB ”的充分条件，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】(],3-∞-【解析】由得32x -<<，即()3,2A =-，又由0x a ->得x a >，即(),B a =+∞，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，所以，故3a ≤-。
精品三年高考(2019)高考数学试题分项版解析 专题02 常用逻辑用语 文(含解析)
专题02 常用逻辑用语文考纲解读明方向分析解读1.本节主要考查充分必要条件的推理判断及四种命题间的相互关系问题.2.本部分内容在高考试题中多以选择题或填空题的形式出现,考查四种命题的真假判断以及充分条件、必要条件的判定和应用,考查学生的逻辑推理能力.3.会判断含有一个量词的全称命题或特称命题的真假,能正确地对含有一个量词的命题进行否定.4.能用逻辑联结词“或”“且”“非”正确地表达相关的数学内容.5.本节内容在高考中约为5分,属中低档题.命题探究练扩展2018年高考全景展示1．【2018年浙江卷】已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】点睛：充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．2．【2018年文北京卷】能说明“若a﹥b，则”为假命题的一组a，b的值依次为_________.【答案】（答案不唯一）【解析】分析：根据原命题与命题的否定的真假关系，可将问题转化为找到使“若，则”成立的，根据不等式的性质，去特值即可. 详解：使“若，则”为假命题，则使“若，则”为真命题即可， 只需取即可满足，所以满足条件的一组的值为（答案不唯一）点睛：此题考查不等式的运算，解决本题的核心关键在于对原命题与命题的否定真假关系的灵活转换，对不等式性质及其等价变形的充分理解，只要多取几组数值，解决本题并不困难. 3．【2018年天津卷文】设，则“”是 “” 的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．【2018年北京卷文】设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】分析：证明“”“成等比数列”只需举出反例即可，论证“成等比数列”“”可利用等比数列的性质.详解：当时，不成等比数列，所以不是充分条件；当成等比数列时，则，所以是必要条件.综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件，故选B.点睛：此题主要考查充分必要条件，实质是判断命题“”以及“”的真假.判断一个命题为真命题，要给出理论依据、推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例即可，或者当一个命题正面很难判断真假时，可利用原命题与逆否命题同真同假的特点转化问题.2017年高考全景展示1.【2017天津，文2】设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】B【考点】充分必要条件【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：1.根据定义，若,p q q p ⇒≠>，那么p 是q 的充分不必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件，若p q ⇔，那互为充要条件，若p q <≠>，那就是既不充分也不必要条件，2.当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若:,:p x A q x B ∈∈,若A B ≠⊂，那么p 是q 的充分必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件，若A B =，互为充要条件，若没有包含关系，就是既不充分也不必要条件，3.命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p 是q 条件的判断，转化为q ⌝是p ⌝条件的判断.2.【2017山东，文5】已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是 A ．p q ∧ B.p q ∧⌝ C.p q ⌝∧ D.p q ⌝∧⌝ 【答案】B 【解析】试题分析：由0x =时210x x -+≥成立知p 是真命题,由221(2),12<->-可知q 是假命题,所以p q ∧⌝是真命题,故选B.【考点】命题真假的判断【名师点睛】判断一个命题为真命题,要给出推理证明；判断一个命题是假命题,只需举出反例．根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假．3.【2017北京，文13】能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a >b >c ，则a +b >c ”是假命题的一组整数a ,b ,c 的值依次为______________________________． 【答案】-1，-2，-3（答案不唯一） 【解析】试题分析：()123,1233->->--+-=->-相矛盾，所以验证是假命题. 【考点】不等式的性质【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．2016年高考全景展示1.【2016高考四川文科】设p:实数x ，y 满足1x >且1y >，q: 实数x ，y 满足2x y +>，则p 是q 的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】考点：充分必要条件.【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考．有许多情况下可利用充分性、必要性和集合的包含关系得出结论．2.【2016高考天津文数】设0>x ，R y ∈，则“y x >”是“||y x >”的（ ）（A ）充要条件（B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：34,3|4|>-<-,所以充分性不成立；||x y y x y >≥⇒>，必要性成立，故选C 考点：充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 3.【2016高考上海文科】设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】A【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及不等关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、逻辑推理能力等.。
2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理)专题01集合与常用逻辑用语
专题01集合与常用逻辑用语1.【2019年高考全国I 卷理数】已知集合M 二{x|-4 ：：： x ：：： 2}, N 二{x|x 2-X-6 ：：： 0}，则M 门N =A . {x -4 e x c 3} C . {x -2 vx c2} 【答案】C【解析】由题意得 M 叫x | -4 ：： x ：： 2}, N ={ x | x 2 - x - 6 ：： 0} ={x | -2 ：： x ：： 3}, 则 M "N 珂x| _2 ：：x ::: 2}. 故选C .【名师点睛】注意区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者所有的部分.22 .【2019年高考全国H 卷理数】设集合 A={x|x 吒x+6>0} , B={x|x -<0}，则A A B=A . (-°, 1)B . ( Z 1)C . 2 -)D . (3, + g )【答案】A【解析】由题意得， A ={x|x 2 -5x 6 0} ={x|^：：2 或 x 3}, B 二{x| x-1 ：：： 0} = {x |x ：：： 1}，则A^B 二{x|x ：：：1} =(」：,1).故选A .【名师点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目. 3.【2019年高考全国川卷理数】已知集合A ={-1,0,1,2},B ={x|x^1}，则A 「| B =A .〈-1,0,仃B .9,1C . 1-1,1?D . 0,1,2?【答案】A【解析】••• X 2 兰 1,.・.T 兰x 兰1，二 B ={x —1^x 2},B .{x -4 ： xD . {x2vxc3}又A={-1,0,1,2} A^B -「-1,0,1故选A .【名师点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.4.【2019 年高考天津理数】设集合A 二{-1,1,2,3,5}, B 二{2,3,4}, C ={x R |1 乞x ：：： 3}，则（A「|C）UB二 A •② B • ：2,3?C • ；、-1,2,3?D • ^,2,3,4 /【答案】D【解析】因为A「|C ={1,2}，所以（A「|C） JB 二{1,2,3,4}.故选D.【名师点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算•5 •【2019 年高考浙江】已知全集U - \-1,0,1,2,3?,集合A・0,1,2f , B - \-1,0,V，则（e u A）P|B =A •「-1?B •「0,1C • 〈一1,2,3?D • 〈—1,0,1,31【答案】A【解析】••• e u A ={ -1,3} ,••• e U AnB={—1}.故选A.【名师点睛】注意理解补集、交集的运算•6 •【2019年高考浙江】若a>0, b>0，则“ a+b w 4”是“ab w 4”的A •充分不必要条件B •必要不充分条件C •充分必要条件D •既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当a> 0, b> 0时，a ■ b _ 2： ab，则当a • b乞4时，有2、. ab _ a ■ b _ 4，解得ab乞4，充分性成立；当a=1, b=4时，满足ab乞4，但此时a+b =5>4，必要性不成立，综上所述，“ a_4”是“ ab_4”的充分不必要条件•故选A.【名师点睛】易出现的错误：一是基本不等式掌握不熟练，导致判断失误；二是不能灵活地应用“赋值法”，通过取a,b的特殊值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果【答案】C27 .【2019年高考天津理数】设 x ・R ，则“ x -5x ：：：0 ”是“ |x-1|：：：1 ”的A •充分而不必要条件B •必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由 x 2 _5x :：: 0 可得 0 ：： x ：： 5，由 | x -1| ：：： 1 可得 0 ：： x ： 2 , 易知由0 ：： x 5推不出0 ：： x 2,由 0 ：：： x ：：： 2 能推出 0 ：：： x 5 , 故0 x :: 5是0 . x 2的必要而不充分条件，即“ x 2 -5x ：：： 0 ”是“丨x -卅：：：1 ”的必要而不充分条件. 故选B.【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到 x 的取值范围.8.【2019年高考全国n 卷理数】设a, B 为两个平面，则 all B 的充要条件是A . a 内有无数条直线与B 平行 B . a 内有两条相交直线与 B 平行C . a, B 平行于同一条直线D . a, B 垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知： > 内有两条相交直线都与 1平行是:l 1的充分条件； 由面面平行的性质定理知，若：7/ 1，则〉内任意一条直线都与 1平行，所以:内有两条相交直线都与-平行是■■ / ■的必要条件故a// B 的充要条件是 a 内有两条相交直线与 B 平行.故选B .【名师点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断.9.【2019年高考北京理数】设点A , B , C 不共线, 则“ AB 与AC 的夹角为锐角是 “ | AB AC | | BC |【答案】CA .充分而不必要条件 D .既不充分也不必要条件【解析】••• A?B?C 三点不共线，••• I AB +AC |>|£C |二I 天B +KC |>|无-天B I二 IA B +AC I 2>I AC -AB I ^ A B • TC >0：= AB 与K C 的夹角为锐角，故“AB 与 AC 的夹角为锐角"是“A B +KC I >I BC I '的充分必要条件.故选C.【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断 ？平面向量的模？夹角与数量积，同时考查了转化与化归的数学思想.10. 【2019年高考江苏】已知集合 A ={-1,0,1,6} , B 二{x|x O,x ・R }，则AR B = ▲_.【答案】{1,6}【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可 由题意知，A 「|B 二{1,6}.【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.11. 【辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测 (三)数学】已知集合A 二{(x,y)|x • y 空2,x,y ・N }，则A 中元素的个数为 A . 1 B . 5 C . 6 D .无数个【答案】C【解析】由题得 A ={(0,0),(0,1),(0,2),(1 ,0),(1,1),(2,0)}, 所以A 中元素的个数为6. 故选C.【名师点睛】本题主要考查集合的表示和化简，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能 力. 12.【云南省玉溪市第一中学 2019届高三上学期第二次调研考试数学】命题 “ X 。
常用逻辑用语高中数学
常用逻辑用语高中数学在高中数学的学习中，“常用逻辑用语”是一个重要且有趣的部分。
它就像是我们数学世界中的语言规则，帮助我们清晰准确地表达和理解各种数学关系和命题。
首先，我们来聊聊命题。
命题是一个可以判断真假的陈述句。
比如说，“3 大于2”，这就是一个真命题；而“1+1=5”，显然是个假命题。
命题有简单命题和复合命题之分。
简单命题就像是一个独立的个体，比如“今天是晴天”。
复合命题则是由简单命题通过逻辑连接词组合而成的，像“如果今天下雨，那么我就带伞”，这里面就用到了“如果……那么……”这样的逻辑连接词。
在常用逻辑用语中，“且”“或”“非”这三个逻辑连接词可是非常关键的角色。
“且”表示的是两个条件要同时满足。
比如说，“x 大于 2 且 x小于5”，这意味着 x 既要大于 2 又要小于 5 。
“或”则相对宽松一些，只要满足其中一个条件就行。
像“x 大于 3 或 x 小于0 ”，x 只要符合大于3 或者小于0 其中一个情况就可以。
“非”呢，就是对原命题的否定。
比如命题“x 大于5”的否定就是“x 小于等于5”。
充分条件和必要条件也是我们经常会碰到的概念。
如果有 A 就能推出 B ，那么 A 就是 B 的充分条件；反过来，如果有 B 就一定有 A ，那 A 就是 B 的必要条件。
举个例子，如果“x 是偶数”，那么“x 能被 2整除”，“x 是偶数”就是“x 能被 2 整除”的充分条件；而“x 能被 2 整除”就是“x 是偶数”的必要条件。
再来说说全称量词和存在量词。
“所有”“任意”“一切”这样的词就是全称量词，带有全称量词的命题叫做全称命题。
比如“所有的三角形内角和都是 180 度”。
“存在”“至少有一个”这样的词就是存在量词，带有存在量词的命题称为特称命题。
像“存在一个实数 x ，使得 x 的平方等于1 ”。
在解题的时候，我们要特别注意对命题的真假判断。
对于复合命题，我们要根据逻辑连接词的性质来判断。
而对于充分条件、必要条件的判断，要准确理解它们之间的逻辑关系。
三年高考两年模拟高考数学专题汇编第一章集合与常用逻辑用语3文
第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·湖北，3)命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是( )A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－12.(2014·湖南，1)设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则綈p为( )A．∃x0∈R，x20＋1＞0 B．∃x0∈R，x20＋1≤0C．∃x0∈R，x20＋1＜0 D．∀x∈R，x2＋1≤03.(2014·安徽，2)命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )A．∀x∈R，|x|＋x2＜0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0|＋x20＜0 D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥04.(2014·湖北，3)命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是( )A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝xC．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2＝x5.(2014·福建，5)命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x＜0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0＜0D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥06.(2014·天津，3)已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)e x＞1，则綈p为( )e x≤1A．∃x0≤0，使得(x0＋1)0e x≤1B．∃x0＞0，使得(x0＋1)0C．∀x＞0，总有(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤17.(2014·重庆，6)已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；命题q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )A．p∧綈q B．綈p∧qC．綈p∧綈q D．p∧q8.(2014·辽宁，5)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·四川资阳模拟)下列命题，为真命题的是( ) A.∃x ∈R ，x 2≤x －2 B.∀x ∈R ，2x>2－x 2C.函数f (x )＝1x是定义域上的减函数D.“被2整除的整数都是偶数”的否定是“至少存在一个被2整除的整数不是偶数” 2.(2016·河南适应性模拟练习)已知命题p ：∀x ＞0，x ＋4x ≥4：命题q ：∃x 0∈R ＋，2x 0＝12.则下列判断正确的是( ) A.p 是假命题 B.q 是真命题C.p ∧(綈q )是真命题D.( 綈p )∧q 是真命题3.(2016·长春四校联考)下列命题错误的是( )A.命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” B.命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1＜0，则綈p ：对任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0 C.若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题 D.“x ＜1”是“x 2－3x ＋2＞0”的充分不必要条件4.(2016·广东茂名第二次模拟)已知命题綈p ：存在x ∈(1，2)使得e x－a >0，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为( ) A.(－∞，e) B.(－∞，e] C.(e 2，＋∞)D.[e 2，＋∞)5.(2015·北京西城区高三期末)设命题p ：∀x ＞0，2x ＞log 2x ，则綈p 为( ) A.∀x ＞0，2x＜log 2x B.∃x ＞0，2x≤log 2x C.∃x ＞0，2x ＜log 2xD.∃x ＞0，2x≥log 2x6.(2015·广东湛江二模)下列四个命题中，假命题为( ) A.存在x ∈R ，使lg x ＞0 B.存在x ∈R ，使12x ＝2 C.对于任意x ∈R ，2x＞0D.对于任意x ∈R ，x 2＋3x ＋1＞07.(2015·玉溪一中高三统考)已知命题p ：函数f (x )＝2ax 2－x －1(a ≠0)在(0，1)内恰有一个零点；命题q ：函数y ＝x 2－a在(0，＋∞)上是减函数.若p 且綈q 为真命题，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，＋∞) B.(1，2]C.(－∞，2]D.(－∞，1]∪(2，＋∞)8.(2015·泰安一模)已知命题p：∃x∈R，x2＋1＜2x；命题q：若mx2－mx－1＜0恒成立，则－4＜m≤0，那么( )A.“綈p”是假命题B.“綈q”是真命题C.“p∧q”为真命题D.“p∨q”为真命题9.(2015·浙江金华二模)已知命题p：“存在a>0，使函数f(x)＝ax2－4x在(－∞，2]上单调递减”，命题q：“存在a∈R，使∀x∈R，16x2－16(a－1)x＋1≠0”.若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.解析特称性命题的否定是全称性命题，且注意否定结论，故原命题的否定是：“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”．故选A.答案 A2.解析命题p为真命题，命题q为假命题，所以命题綈q为真命题，所以p∧綈q为真命题，选A.答案 A3.解析对于命题p：因为a·b＝0，b·c＝0，所以a，b与b，c的夹角都为90°，但a，c的夹角可以为0°或180°，故a·c≠0，所以命题p是假命题；对于命题q：a∥b，b∥c 说明a，b与b，c都共线，可以得到a，c的方向相同或相反，故a∥c，所以命题q是真命题．选项A中，p∨q是真命题，故A正确；选项B中，p∧q是假命题，故B错误；选项C中，綈p是真命题，綈q是假命题，所以(綈p)∧(綈q)是假命题，所以C错误；选项D中，p∨(綈q)是假命题，所以D错误．故选A.答案 A4.解析全称命题的否定，要对结论进行否定，同时要把全称量词换成存在量词，故命题p 的否定为“∃x0∈R，x20＋1≤0”，故选B.答案 B5.解析命题的否定是否定结论，同时把量词作对应改变，故命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定为“∃x0∈R，|x0|＋x20＜0”，故选C.答案 C6.解析全称命题的否定是特称命题：∃x∈R，x2＝x，故选D.答案 D7.解析把全称量词“∀”改为存在量词“∃”，并把结论加以否定，故选C.答案 C8.解析 全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：∀x ＞0，总有(x ＋1)e x＞1的否定是 綈p ：∃x 0＞0，使得(x 0＋1)e x0≤1. 答案 BB 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 x 2－x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋74>0，即x 2>x －2，故A 错；当x ＝0时，20<2－02，故B 错；函数f (x )＝1x在其定义域上不是单调函数，故C 错，只有D 正确.答案 D2.解析 当x ＞0时，x ＋4x≥2x ·4x＝4，故p 为真命题，当x ＞0时，2x ＞20＝1，故命题q 为假命题，故选C.答案 C3.解析 p ∧q 为假命题，表示p 与q 不全为真命题. 答案 C4.解析 因为p 是真命题，所以∀x (1，2)，有e x －a ≤0，即a ≥e x ，又y ＝e x 在(1，2)有y <e 2，所以a ≥e 2. 答案 D5.解析 全称命题的否定为特称命题，故选B. 答案 B6.解析 注意“存在”和“任意”的意义，易知A 、B 、C 均正确. 而对于D 中，取x ＝－1，则x 2＋3x ＋1＝－1＜0，故D 不正确. 答案 D7.解析 由题意，命题p ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1＋8a ＞0，f （0）·f （1）＝（－1）·（2a －2）＜0，解得a ＞1.命题q ：2－a ＜0，得a ＞2，∴綈q ：a ≤2，故由p 且綈q 为真命题，得1＜a ≤2，故选B. 答案 B8.解析 对于命题p ，x 2＋1－2x ＝(x －1)2≥0，即对任意的x ∈R ，都有x 2＋1≥2x ，因此命题p 是假命题.对于命题q ，若mx 2－mx －1＜0恒成立，则当m ＝0时，mx 2－mx －1＜0恒成立， 当m ≠0时，由mx2－mx －1＜0恒成立得⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0，即－4＜m ＜0. 因此若mx 2－mx －1＜0恒成立，则－4＜m ≤0，故命题q 是真命题.因此，“綈p ”是真命题，“綈q ”是假命题， “p ∧q ”是假命题，“p ∨q ”是真命题，选D. 答案 D9.解 若p 为真，则对称轴x ＝－－42a ＝2a 在区间(－∞，2]的右侧，即2a≥2，∴0<a ≤1.若q 为真，则方程16x 2－16(a －1)x ＋1＝0无实数根， ∴Δ＝[－16(a －1)]2－4×16<0，∴12<a <32.∵命题“p ∧q ”为真命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，12<a <32，∴12<a ≤1.故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.。
高中数学知识点总结：常用逻辑用语
优选精品优选精品 欢迎下载欢迎下载1 / 2高中数学知识点总结：常用逻辑用语高中学生在学习中或多或少有一些困惑，的编辑为大家总结了高中数学知识点总结：常用逻辑用语，各位考生可以参考。
常用逻辑用语：1、四种命题：⑴原命题：若p 则q;⑵逆命题：若q 则p;⑶否命题：若p;⑶否命题：若 p p 则 q;⑷逆否命题：若q;⑷逆否命题：若 q q 则 p注：注：11、原命题与逆否命题等价、原命题与逆否命题等价;;逆命题与否命题等价。
判断命题真假时注意转化。
2、注意命题的否定与否命题的区别：命题否定形式是、注意命题的否定与否命题的区别：命题否定形式是 ; ; ;否否命题是命题是 . . .命题命题或 的否定是 且 且 的否定是 或 . 3、逻辑联结词：⑴且⑴且(and) (and) (and) ：命题形式：命题形式：命题形式 p q; p q p q p q p p q; p q p q p q p⑵或⑵或(or)(or)(or)：命题形式：命题形式：命题形式 p q; p q; p q; 真真真 真 真 假 ⑶非⑶非(not)(not)(not)：命题形式：命题形式：命题形式 p . p . p . 真真假 假 真 假 假 真 假 真 真假 假 假 假 真或命题的真假特点是一真即真，要假全假且命题的真假特点是一假即假，要真全真非命题的真假特点是一真一假4、充要条件优选精品优选精品 欢迎下载欢迎下载2 / 2 由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件;;由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。
5、全称命题与特称命题：短语所有在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示。
含有全体量词的命题，叫做全称命题。
短语有一个或有些或至少有一个在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号 表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。
高中数学常用逻辑用语(1)
2022年11月20日常用逻辑用语一、命题与量词1、命题：一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以的叫做命题。
2、命题的分类：①真命题②假命题3、全称量词：短语“所有”、“任意”、“每一个”、“一切”等在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示，读作“对任意”。
含有全称量词的命题称为。
4、存在量词：短语“有一个”、“存在一个”、“至少有一个”、“有的”、“有些”、“某个”等在陈述中表示所述事物的个体或部分，在逻辑中叫做存在量词，并用符号表示，读作“存在”。
存在量词的命题称为。
5、基本逻辑联结词：这些词叫做逻辑联结词。
复合命题的构成形式：①p 或q ；②p 且q ；③非p (即命题p 的否定)。
复合命题的真假判断(利用真值表)：pq 非p (p ⌝)p 或q (q p ∨)p 且q (q p ∧)真真真假假真假假二、四种命题的关系1、四种命题的形式：用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用p ⌝和q ⌝分别表示p 和q 的否定，则四种命题的形式为：①原命题：若p 则q ；②逆命题：；③否命题；④逆否命题：。
(1)原命题⇔逆否命题，它们具有相同的真假性。
(2)逆命题⇔否命题，2、否命题与否定命题的区别：“否命题”与“命题的否定”这两个概念，如果原命题是“若p 则q ”，那么这个命题的否命题是“若非p ，则非q ”，而这个命题的否定是“若p 则非q ”。
可见，否命题既否定又否定，而命题的否定只否定。
三、充分条件与必要条件1、定义：“若p 则q ”是真命题⇔q p ⇒⇔p 是q 的充分条件⇔q 是p 的必要条件2、从集合的观点上，建立与p 、q 相应的集合，即p ：})(|{成立x p x A =，q ：})(|{成立x q x B =。
(1)若B A ⊆，则p 是q 的充分条件，若A ≠⊂B ，则p 是q 成立的充分不必要条件；(2)若A B ⊆，则p 是q 的必要条件，若B ≠⊂A ，则p 是q 成立的必要不充分条件；(3)若B A =，则p 是q 成立的充要条件；(4)若B A ⊄且A B ⊄，则p 是q 成立的既不充分也不必要条件。
2019版高考数学：§1.2 常用逻辑用语
也为真;若{an}是递减数列,则an+1<an,∴an+an+1<2an,∴
an
an1 2
<an,故其逆命题也是真命题,则其
否命题也是真命题.故选A.
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的缘
6.(2018北京,11,5分)能说明“若a>b,则 1 < 1 ”为假命题的一组a,b的值依次为
2019年7月10日
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的缘
8.(2015重庆,2,5分)“x=1”是“x2-2x+1=0”的 ( )
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 若x=1,则x2-2x+1=0;若x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,则x=1.故选A.
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的缘
考点二 充分条件与必要条件
(2014课标Ⅱ,3,5分,0.501)函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:f ‘(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则 ( ) A.p是q的充分必要条件 B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件 C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件 D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件 答案 C ∵f(x)在x=x0处可导,∴若x=x0是f(x)的极值点,则f ‘(x0)=0,∴q⇒p,故p是q的必要条件; 反之,以f(x)=x3为例,f ’(0)=0,但x=0不是极值点,∴p⇒ /q,故p不是q的充分条件.故选C.
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2023高考数学二轮复习专题复习02 常用逻辑用语(解析版)
专题02 常用逻辑用语【考点预测】一、充分条件、必要条件、充要条件 1．定义如果命题“若p ，则q ”为真(记作p q ⇒)，则p 是q 的充分条件；同时q 是p 的必要条件. 2．从逻辑推理关系上看 （1）若p q ⇒且q p ，则p 是q 的充分不必要条件；（2）若pq 且q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；（3）若p q ⇒且q p ⇒，则p 是q 的的充要条件(也说p 和q 等价)； （4）若pq 且q p ，则p 不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件.对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：p q ⇒，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件.所谓“充分”是指只要p 成立，q 就成立；所谓“必要”是指要使得p 成立，必须要q 成立(即如果q 不成立，则p 肯定不成立). 二．全称量词与存在童词（1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M 中的任意一个x ，有()p x 成立”可用符号简记为“,()x M p x ∀∈”，读作“对任意x 属于M ，有()p x 成立”.（2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M 中的一个0x ，使0()p x 成立”可用符号简记为“00,()x M P x ∃∈”，读作“存在M 中元素0x ，使0()p x 成立”（存在量词命题也叫存在性命题）. 三．含有一个量词的命题的否定（1）全称量词命题:,()p x M p x ∀∈的否定p ⌝为0x M ∃∈，0()p x ⌝. （2）存在量词命题00:,()p x M p x ∃∈的否定p ⌝为,()x M p x ∀∈⌝. 注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.【方法技巧与总结】1．从集合与集合之间的关系上看 设{}{}|(),|()A x p x B x q x ==.（1）若A B ⊆，则p 是q 的充分条件(p q ⇒)，q 是p 的必要条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件，即p q ⇒且q p ；注：关于数集间的充分必要条件满足：“小⇒大”.（2）若B A ⊆，则p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件； （3）若A B =，则p 与q 互为充要条件. 2.常见的一些词语和它的否定词如下表(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M 中的一个0x ，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M 中能找到一个0x 使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题.【题型归纳目录】题型一：充分条件与必要条件的判断 题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围 题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假 题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定 题型五：根据命题的真假求参数的取值范围【典例例题】题型一：充分条件与必要条件的判断例1．（2022·河北·模拟预测）“11a <”是“2,20x x x a ∃∈-+<R ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】2,20x x x a ∃∈-+<R ，列出不等式，求出1a <，从而判断出答案.【详解】2,20x x x a ∃∈-+<R ，则要满足440a ∆=->，解得：1a <，因为11a <⇒1a <，但111a a <⇒<故“11a <”是“2,20x x x a ∃∈-+<R ”的必要不充分条件. 故选：B例2．（2022·重庆·三模）已知0a >且1a ≠，“函数()x f x a =为增函数”是“函数()1a g x x -=在()0,∞+上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【详解】函数()xf x a =为增函数,则 1a > ,此时10a ->,故函数()1ag x x -=在()0,∞+上单调递增;当()1a g x x -=在()0,∞+上单调递增时, ,10a ->,所以1a >,故()x f x a =为增函数.故选:C例3．（2022·湖北·模拟预测）在等比数列{}n a 中，已知20200a >，则“20212024a a >”是“20222023a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】直接利用等比数列的通项公式及其充分条件，必要条件的定义求解即可. 【详解】∵公比0q ≠，∴20212024a a >，∴420212020a q a q >，∴4q q >，∴()310q q ->，∴()()2110q q q q -++>， ∴()10q q ->，∴01q <<，又∵20222023a a >，∴2320202020>a q a q ，∴23q q >，∴()210q q ->，∴1q <且0q ≠，∴011q q <<⇒<且0q ≠，即“20212024a a >”是“20222023a a >”的充分不必要条件． 故选：A ．例4．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，n ⊂α，则“m α⊥”是“m n ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质证明充分性成立，由线面垂直的定义判断必要性不成立. 【详解】由线面垂直的性质知，若m α⊥，n ⊂α，则m n ⊥成立，即充分性成立；根据线面垂直的定义，m 必须垂直平面α内的两条相交直线，才有m α⊥，即必要性不成立. 故选：A.例5．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））已知两条直线m ，n 和平面α，则m n ⊥的一个充分条件是（ ） A ．m α⊥且n α⊥ B ．m α∥且n ⊂αC ．m α⊥且n ⊂αD ．m α∥且n α∥ 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质及线面平行的性质，结合充分条件的定义即可得出答案. 【详解】解：对于A ，若m α⊥且n α⊥，则m n ∥，故A 不符题意； 对于B ，若m α∥且n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故B 不符题意； 对于C ，若m α⊥且n ⊂α，则m n ⊥，故C 符合题意；对于D ，若m α∥且n α∥，则m 与n 平行、相交或异面，故D 不符题意. 故选：C.（多选题）例6．（2022·山东临沂·二模）已知a ，b ∈R ，则使“1a b +>”成立的一个必要不充分条件是（ ）A ．221a b +>B ．||||1a b +>C ．221a b +>D ．4110b a b++> 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A 、D 选项，取特殊值说明既不充分也不必要即可；对于B ，先取特殊值说明不充分，再同时平方证必要即可；对于C ，先取特殊值说明不充分，再结合基本不等式证必要即可； 【详解】对于A ，当1a b ==-时，满足221a b +>，不满足1a b +>，即221a b +>推不出1a b +>，不充分；当13,24a b ==时，满足1a b +>，不满足221a b +>，即1a b +>推不出221a b +>，不必要；A 错误；对于B ，当1a b ==-时，满足||||1a b +>，不满足1a b +>，即||||1a b +>推不出1a b +>，不充分； 当1a b +>时，平方得2221a ab b ++>，又()22222221a b a ab b a ab b +=++≥++>，又||||0a b +>，故||||1a b +>，即1a b +>能推出||||1a b +>，必要；B 正确；对于C ，当0a b 时，满足221a b +>，不满足1a b +>，即221a b +>推不出1a b +>，不充分；当1a b +>时，由20,20a b >>，221a b +≥>>，即1a b +>能推出221a b +>，必要；C 正确； 对于D ，当12a b ==时，满足4110b a b ++>，不满足1a b +>，即4110b a b++>推不出1a b +>，不充分； 当2,1a b ==时，满足1a b +>，不满足4110b a b ++>，即1a b +>推不出4110b a b++>，不必要；D 错误. 故选：BC.【方法技巧与总结】1.要明确推出的含义，是p 成立q 一定成立才能叫推出而不是有可能成立.2.充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.3.充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养.题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围例7．（2022·湖南怀化·一模）已知,a R ∈，且“x a >”是“22x x >”的充分不必要条件，则a 的取值范围是___________. 【答案】[2,)+∞ 【解析】 【分析】先确定22x x >的充要条件，再由充分不必要条件的定义求解， 【详解】22x x >等价于0x <或2x >，而且“x a >”是“22x x >”的充分不必要条件，则2a ≥． 故答案为：[2,)+∞．例8．（2022·浙江·高三专题练习）若2()4x a -<成立的一个充分不必要条件是1102x+≤-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,4]-∞ B ．[1,4]C ．(1,4)D ．(1,4]【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式､分式不等式求得题设条件为真时对应x 的范围，再根据条件的充分不必要关系求参数a 的取值范围. 【详解】由2()4x a -<，可得：22a x a -<<+； 由131022xx x -+=≤--，则()()23020x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，可得23x <≤；∵2()4x a -<成立的一个充分不必要条件是1102x+≤-， ∴2223a a -≤⎧⎨+>⎩，可得14a <≤.故选：D.例9．（2022·山西晋中·二模（理））已知条件p ：11x -<<，q ：x m >，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)1,-+∞ B ．(),1-∞- C ．()1,0- D ．(],1-∞-【答案】D 【解析】 【分析】根据充要条件与集合的包含关系可得. 【详解】因为p 是q 的充分不必要条件，所以{11}xx -<<∣ {}x x m >∣，即1m ≤-. 故选：D.例10．（2022·河南平顶山·高三期末（文））若1102x+≤-是()24x a -<成立的一个充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],4∞- B ．[]1,4C ．()1,4D ．(]1,4【答案】D 【解析】 【分析】理解充分不必要条件的含义；解不等式；理解解集间的关系. 【详解】 由题意可得()211042x a x+≤⇒-<- ，而 ()()230131********x x x x x x x --≤⎧-⎪+≤⇔≤⇔⇔<≤⎨---≠⎪⎩()242222x a x a a x a -<⇔-<-<⇔-<<+则2232a a -≤⎧⎨<+⎩ ，故14a <≤， 故选：D例11．（2022·全国·高三专题练习（文））若关于x 的不等式1x a -<成立的充分条件是04x <<，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(－∞，1] B ．(－∞，1) C ．(3，＋∞) D ．[3，＋∞)【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件列不等式，由此求得a 的取值范围. 【详解】1x a -<成立的充分条件是04x <<，则0a >，111x a a x a -<⇒-<<+，所以10314a a a -≤⎧⇒≥⎨+≥⎩. 故选：D例12．（2022·湖南怀化·一模）已知,a R ∈，且“x a >”是“22x x >”的充分不必要条件，则a 的取值范围是___________. 【答案】[2,)+∞ 【解析】【分析】先确定22x x >的充要条件，再由充分不必要条件的定义求解， 【详解】22x x >等价于0x <或2x >，而且“x a >”是“22x x >”的充分不必要条件，则2a ≥． 故答案为：[2,)+∞．例13．（2022·重庆·高三阶段练习）若不等式x a <的一个充分条件为20x -<<，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】2a ≥ 【解析】 【分析】根据含绝对值不等式的解法，求解不等式的解集，结合充分条件，列出关系式，即可求解. 【详解】 由不等式||x a <，当0a ≤时，不等式||x a <的解集为空集，显然不成立； 当0a >时，不等式||x a <，可得a x a -<<，要使得不等式||x a <的一个充分条件为20x -<<，则满足{|20}{|}x x x a x a -<<⊆-<<， 所以2a -≥-，即2a ≥ ∴实数a 的取值范围是2a ≥. 故答案为：2a ≥.例14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知集合233|1,,224A y y x x x ⎧⎫⎡⎤==-+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，{}2|1B x x m =+≥．若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，则实数m 的取值范围为________． 【答案】33,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】 【分析】求函数的值域求得集合A ，根据“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件列不等式，由此求得m 的取值范围. 【详解】函数2312y x x =-+的对称轴为34x =，开口向上，所以函数2312y x x =-+在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，当34x =时，min 716y =；当2x =时，max 2y =.所以7,216A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.{}{}22|1|1B x x m x x m =+≥=≥-，由于“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，所以27116m -≤，2916m ≥， 解得34m ≤-或34m ≥，所以m 的取值范围是33,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故答案为：33,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =A ，关于x 的不等式2()(21)0x m x m --+≤的解集为B ．(1)当m ＝2时，求()A B R ；(2)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】(1)1(,][3,)2-∞-⋃+∞；(2)(,2]-∞-. 【解析】 【分析】（1）求对数复合函数定义域、解一元二次不等式求出集合A 和B ，利用集合的并补运算求()A B R ． （2）解含参一元二次不等式求集合B ，根据充分条件有A ⊆B ，列不等式求m 的范围即可． (1)由题设40210x x ->⎧⎨+>⎩得：142x -<<，即函数的定义域A ＝1(,4)2-，则R1(,][4,)2A =-∞-⋃+∞，当m ＝2时，不等式(4)(3)0x x --≤得：34x ≤≤，即B ＝[3,4]，所以()A B R ＝1(,][3,)2-∞-⋃+∞．(2)由2()(21)0x m x m --+=得： x ＝m 2或x ＝21m -， 又2221(1)0m m m -+=-≥，即221m m ≥-，综上，2()(21)0x m x m --+≤的解集为B ＝2[21,]m m -，若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，则A ⊆B ，即241212m m ⎧≥⎪⎨-≤-⎪⎩，得：2m ≤-，所以实数m 的取值范围是(,2]-∞-．例16．（2022·天津·汉沽一中高三阶段练习）不等式5212xx ->+的解集是A ，关于x 的不等式22450x mx m --≤的解集是B .(1)若1m =，求A B ；(2)若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围.(3)设:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中>0a ，命题:q 实数x 满足2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩.若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】(1){}|11A B x x ⋂=-≤<； (2)(][),12,-∞-⋃+∞ (3)(]1,2 【解析】 【分析】（1）分别解出解出集合A ，B ，再求A B ；（2）由A B B ⋃=得到A B ⊆.对m 分类讨论，分0m >， 0m =和0m <三种情况，分别求出m 的范围，即可得到答案；（3）用集合法列不等式组，求出a 的范围. (1) 由5212xx ->+的解集是A ，解得：{}|21A x x =-<<. 当m =1时，22450x mx m --≤可化为2450x x --≤，解得{}|15B x x =-≤≤. 所以{}|11A B x x ⋂=-≤<. (2)因为A B B ⋃=，所以A B ⊆. 由（1）得：{}|21A x x =-<<.当0m >时，由22450x mx m --≤可解得{}|5B x m x m =-≤≤.要使A B ⊆，只需512m m ≥⎧⎨-≤-⎩，解得：2m ≥；当0m =时，由22450x mx m --≤可解得{}0B =.不符合A B ⊆，舍去；当0m <时，由22450x mx m --≤可解得{}|5B x m x m =≤≤-.要使A B ⊆，只需152m m -≥⎧⎨≤-⎩，解得：1m ≤-；所以，1m ≤-或2m ≥.所以实数m 的取值范围为：(][),12,-∞-⋃+∞. (3)设关于x 的不等式22430x ax a -+<（其中>0a ）的解集为M ，则(),3M a a =；不等式组2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩的解集为N ，则(]2,3N =；要使p 是q 的必要不充分条件，只需N M ，即233a a ≤⎧⎨>⎩，解得：12a <≤.即实数a 的取值范围(]1,2.例17．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知条件{}22:4410p A x x ax a =-+-≤∣，条件{}2:20q B xx x =--≤∣．U =R ． (1)若1a =，求()UA B ⋂．(2)若q 是p 的必要不充分条件，求a 的取值范围． 【答案】(1)(){12}UA B x x x ⋂=<>∣或(2)10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）首先求出集合,A B ，代入1a =，得出A ，进而利用集合的交集、补集的定义即可求解.（2）由（1）知，得出集合,A B ，再根据q 是p 的必要不充分条件转化为集合A 是集合B 的真子集，即A B ≠⊂即可求解. (1)由224410x ax a -+-≤，得2121a x a -≤≤+，所以{}2121A xa x a =-≤≤+∣， 由220x x --≤，得12x -≤≤，所以{12}B xx =-≤≤∣ 当1a =时，{13}A xx =≤≤∣.所以{12}A B x x ⋂=≤≤∣ 所以(){12}UA B x x x ⋂=<>∣或；(2)由（1）知，{}2121A xa x a =-≤≤+∣，{12}B x x =-≤≤∣， q 是p 的必要不充分条件，A B ≠∴⊂，所以212211a a +≤⎧⎨-≥-⎩，解得102a ≤≤所以实数a 的取值范围为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【方法技巧与总结】1.集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系.2.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错. 题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假例18.（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模（理））已知01b a <<<，下列四个命题：①(0,)∀∈+∞x ，x x a b >，②(0,1)x ∀∈，log log a b x x >，③(0,1)x ∃∈，a b x x >，④(0,)x b ∃∈，log x a a x >． 其中是真命题的有（ ） A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④【答案】C 【解析】 【分析】作商并结合单调性判断①；作差并结合对数函数性质、对数换底公式判断②；利用指数函数单调性比较判断③；在给定条件下，借助“媒介”数比较判断作答. 【详解】对于①，由01b a <<<得：1a b >，(0,)∀∈+∞x ，01x x x a a a b b b ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则x x a b >，①正确；对于②，(0,1)x ∀∈，log log log log 10x x xx aa b b-=<=，即0log log x x a b <<，则log log a b x x >，②正确； 对于③，函数(01)x y m m =<<在(0,1)上为减函数，而01b a <<<，则a b m m <，即(0,1)x ∀∈，a b x x <，③错误；对于④，当(0,)x b ∈时，1x a <，log log log 1a a a x b a >>=，即log xa a x <，④错误，所以所给命题中，真命题的是①②． 故选：C例19．（2022·江西·二模（理））已知命题1p ：存在00x >，使得0044+≤x x ，命题2p ：对任意的x ∈R ，都有tan 2x =22tan 1tan xx-，命题3p ：存在0x ∈R ，使得003sin 4cos 6+=x x ，其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】取特值可判断1p 和2p ，由辅助角公式化简可判断3p . 【详解】当02x =时，显然1p 成立；当4x π=时，可知2p 不成立；由辅助角得0003sin 4cos 5sin(x )x x ϕ+=+，所以所以003sin 4cos x x +的最大值为5，所以3p 为假. 故选：B例20．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））已知函数()f x 和()g x 的定义域均为[],a b ，记()f x 的最大值为1M ，()g x 的最大值为2M ，则使得“12M M >”成立的充要条件为（ ） A ．[]1,x a b ∀∈，[]2,x a b ∀∈，()()12f x g x > B ．[]1,x a b ∀∈，[]2,x a b ∃∈，()()12f x g x > C ．[]1,x a b ∃∈，[]2,x a b ∀∈，()()12f x g x > D ．[],x a b ∀∈，()()f x g x > 【答案】C 【解析】 【分析】先解读选项ABC ，D 选项是12M M >成立的充分不必要条件，再判断得解. 【详解】解：A 选项表述的是()f x 的最小值大于()g x 的最大值； B 选项表述的是()f x 的最小值大于()g x 的最小值；C 选项表述的是()f x 的最大值大于()g x 的最大值成立的充要条件；D 选项是12M M >成立的充分不必要条件． 故选：C例21．（2022·浙江·高三专题练习）下列命题中，真命题为（ ） A ．存在0x R ∈，使得00x e ≤ B ．直线a b ⊥，a ⊂平面α，平面b αβ=，则平面αβ⊥C ．224sin (,)sin y x x k k Z xπ=+≠∈最小值为4 D ．1a >，1b >是1ab >成立的充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数x y e =的性质，可判定A 为假命题；利用正四面体，举例判定，可得判定B 为假命题；利用基本不等式和正弦函数的性质，可判定C 为假命题，结合不等式的性质和充分、必要条件的判定方法，可判定D 为真命题.【详解】对于A 中，由指数函数x y e =的性质，可得0x e >恒成立， 所以不存在0x R ∈，使得00x e ≤，所以A 为假命题； 对于B 中，如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，设平面11A BCD 为平面α，平面ABCD 为平面β，直线1A B 为直线a ，直线BC 为直线b ， 此时满足a b ⊥，且a ⊂平面α，平面b αβ=，但平面α与平面β不垂直，所以C 为假命题.对于C 中，由224sin 4sin y x x =+≥=， 当且仅当224sin sin =x x时，即2sin 2x =时，等号成立， 显然2sin 2x =不成立，所以C 为假命题对于D 中，由1,1a b >>，可得1ab >，即充分性成立；反之：例如：1,42a b ==，此时满足1ab >，但1,1a b >>不成立，即必要性不成立，所以1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件，所以D 为真命题. 故选：D（多选题）例22．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中的真命题是（ ） A ．∀x ∈R ，2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x <1 D ．∃x ∈R ，tan x ＝2【答案】ACD 【解析】 【分析】对选项A ，根据指数函数值域即可得到A 正确；对选项B ，当1x =时，不满足题意，故B 错误；对选项C ，根据存在1x =，使得lg 1x <，故C 正确；对选项D ，根据正切函数的值域为R ，即可判断D 正确. 【详解】对选项A ，令1t x =-，2t y =，因为x ∈R ，所以20t y =>，故A 正确； 对选项B ，当1x =时，()210x -=，故B 错误；对选项C ，当1x =时，lg101=<，故存在x ∈R ，lg 1x <，C 正确； 对选项D ，因为tan y x =的值域为R ，所以存在x ∈R ，使得tan 2x =. 故选：ACD例23．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是_____（写出正确命题的序号） （1）[]0,x a b ∃∈，使()()00f x g x >，只需()()max min f x g x >； （2）[],x a b ∀∈，()()f x g x >恒成立，只需()()min 0f x g x ->⎡⎤⎣⎦； （3）[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∈，()()12f x g x >成立，只需()()min max f x g x >； （4）[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∈，()()12f x g x >，只需()()min min f x g x >． 【答案】（2）（3） 【解析】 【分析】根据不等式恒成立问题和有解问题逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于（1），[]0,x a b ∃∈，使()()00f x g x >，只需()()max max f x g x >，故（1）错误； 对于（2），[],x a b ∀∈，()()f x g x >恒成立，即()()0f x g x ->恒成立， 应需()()min 0f x g x ->⎡⎤⎣⎦，故（2）正确；对于（3），[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∈，()()12f x g x >成立， 即需()()min max f x g x >，故（3）正确；对于（4），[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∈，()()12f x g x >，， 应需()()max min f x g x >，故（4）错误． 综上，正确的命题是（2）（3）． 故答案为：（2）（3）． 【方法技巧与总结】1.全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论.2.全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可. 题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定例24．（2022·四川成都·三模（理））命题“x ∀∈R ，e 20x +>”的否定是（ ）． A ．0x ∃∈R ，0e 20x +≤B ．x ∀∈R ，e 20x +≤C ．0x ∃∈R ，0e 20x +>D ．0x ∀∈R ，0e 20x +<【答案】A 【解析】由全称量词命题的否定可知：“x ∀∈R ，e 20x +>”的否定是“0x ∃∈R ，0e 20x +≤”. 故选：A.例25．（2022·云南昆明·模拟预测（文））已知命题p ：*N n ∀∈，22n n +≥，则p ⌝为（ ） A ．*N n ∀∉，22n n +<B ．*N n ∀∈，22n n +<C ．*0N n ∃∉，202n n +< D ．*0N n ∃∈，202n n +< 【答案】D 【解析】p ⌝：*0N n ∃∈，2002n n +<.故选：D例26．（2022·江西赣州·二模（文））已知命题p ：x ∀∈R ，sin cos x x +≥p ⌝为（ ） A．x ∀∈R ，sin cos x x +<B ．x ∃∉R ，sin cos x x +<C．x ∀∉R ，sin cos x x +<D ．x ∃∈R ，sin cos x x +<【答案】D 【解析】命题p ：x ∀∈R ，sin cos x x +x ∃∈R ，sin cos x x +< 故选：D ．例27．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x ≥-”的否定是（ ） A ．()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x <- B ．()00,x ∃∉+∞，00ln 1x x ≥- C ．()0,x ∀∈+∞，ln 1x x <- D ．()0,x ∀∉+∞，ln 1x x ≥- 【答案】C 【解析】由存在量词命题的否定知原命题的否定为：()0,x ∀∈+∞，ln 1x x <-. 故选：C.例28．（2022·山东潍坊·二模）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（ ）A ．对任意正整数n ，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=都没有正整数解B ．对任意正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解C ．存在正整数2n ≤，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解D ．存在正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解 【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的否定形式，直接写出命题的否定即可 【详解】命题的否定形式为，原命题的题设不变，结论改否定； 故只有D 满足题意； 故选：D例29．（2022·全国·高三专题练习（文））已知命题p ：存在一个无理数，它的平方是有理数，则p ⌝为（ ） A ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 B ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 C ．任意一个无理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方是无理数 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在命题的否定的性质进行判断即可. 【详解】因为存在命题的否定是全称量词命题，所以p ⌝为：任意一个无理数，它的平方不是有理数， 故选：A例30．（2022·山西晋中·模拟预测（理））命题p ：0x ∀≥，222e 3x x -+≤，则¬p 为___________. 【答案】00x ∃≥，22002e 3x x -+>【解析】命题p ：0x ∀≥，222e 3x x -+≤. 则¬p 为：00x ∃≥，22002e 3x x -+> 故答案为：00x ∃≥，22002e 3x x -+>【方法技巧与总结】1.全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论变否定. 1. 全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否. 题型五：根据命题的真假求参数的取值范围例31．（2022·山东青岛·一模）若命题“R x ∀∈，210ax +≥”为真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．0a >B ．0a ≥C ．0a ≤D ．1a ≤【解析】 【分析】结合二次函数的性质来求得a 的取值范围. 【详解】依题意命题“R x ∀∈，210ax +≥”为真命题， 当0a =时，10≥成立， 当0a >时，210ax +≥成立，当0a <时，函数21y ax =+开口向下，210ax +≥不恒成立. 综上所述，0a ≥. 故选：B例32．（2022·浙江·高三专题练习）若命题“存在R x ∈，使220x x m ++≤”是假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞ B ．(),1-∞ C ．()1,+∞ D ．[)1,+∞【答案】C 【解析】 【分析】该命题的否定为真命题，利用判别式可求实数m 的取值范围. 【详解】∵命题“存在R x ∈，使220x x m ++≤” 是假命题， 则其否定“任意R x ∈， 220x x m ++>” 为真命题, ∴2240m ∆=-< ， 所以1m . 故选： C.例33．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）若命题“[]1,4x ∀∈时，2x m >”是假命题，则m 的取值范围（ ） A ．16m ≥ B ．m 1≥ C ．16m < D ．1m < 【答案】B 【解析】 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，将问题转化为不等式能成立求参数的取值范围因为“[]1,4x ∀∈，2x m >”是假命题， 则其否定“[]1,4x ∃∈，2x m ≤”为真命题 则()2minxm ≤而当1x =时，2x 取得最小值1 所以m 1≥ 故选：B例34．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））若命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，则实数x 的取值范围为（ ） A ．[]1,4- B ．50,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦D ．[)51,0,43⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】等价于“[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥”为真命题．令2()(21)30g a x x a x =--++≥，解不等式(1)0(3)0g g -≥⎧⎨≥⎩即得解. 【详解】解：命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，其否定为真命题， 即“[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥”为真命题．令22()23(21)30g a ax ax x a x x a x =-++-=--++≥，则(1)0(3)0g g -≥⎧⎨≥⎩，即22340350x x x x ⎧-++≥⎨-≥⎩，解得14503x x x -≤≤⎧⎪⎨≥≤⎪⎩或，所以实数x 的取值范围为[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦. 故选：C例35．（2022·全国·高三专题练习）若“[,]34x ππ∀∈-，tan x m ≥”是真命题，则实数m 的最大值为___________.【答案】【解析】 【分析】利用正切函数的单调性求出正切函数的最小值，进而可求出结果.若“[,]34x ππ∀∈-，tan x m ≥”是真命题， 则实数m 小于等于函数tan y x =在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值，因为函数tan y x =在[,]34ππ-上为增函数，所以函数tan y x =在[,]34ππ-上的最小值为所以m ≤m 的最大值为故答案为：例36．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()h x 满足'2()()0h x h x +>且21(1)e h =，其中2x 1()e h x >的解集为A .函数21()1x x f x x -+=-，()()1xg x a a =>，若1x A ∀∈，2x A ∃∈使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】()1,3 【解析】 【分析】构造函数2()()x H x h x e =⋅，利用导数结合已知条件可得()H x 的单调性，由(1)1H =，不等式2x1()e h x >等价于()(1)H x H >，由()H x 的单调性即可求得解集A ，再分别求得()f x ，()g x 的值域，由已知可得函数()f x 的值域是函数()g x 的值域的子集，从而可求得实数a 的取值范围. 【详解】解：构造函数2()()x H x h x e =⋅，所以''222'()()2()()2()x x x H x h x e h x e e h x h x ⎡⎤=⋅+⋅=+⎣⎦，因为定义在R 上的函数()h x 满足'2()()0h x h x +>，所以'()0H x >，所以()H x 在R 上单调递增，且2(1)(1)1H h e ==， 所以不等式2x 1()eh x >可化为2()1x h x e ⋅>，即()(1)H x H >， 所以1x >， 所以2x1()e h x >的解集()1,A =+∞，函数221(1)111()1113111x x x x f x x x x x -+-+-+===-++≥=---，当且仅当111x x -=-，0x =或2x =时等号成立，在A 上仅当2x =时等号成立，所以()f x 在A 上的值域为[)3,+∞，()()1x g x a a =>为增函数，所以()g x 在A 上的值域为(),a +∞， 若1x A ∀∈，2x A ∃∈使得()()12f x g x =， 则[)()3,,a +∞⊆+∞， 所以3a <，又因为1a > 即实数a 的取值范围是()1,3. 故答案为：()1,3.例37．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）若命题“0,,63x ππ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦0tan x m >”是假命题，则实数m 的取值范围是__________．【答案】)+∞ 【解析】 【分析】转化为命题的否定是真命题后求解 【详解】由题意得“0,,63x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦0tan x m ≤”为真命题，故0πtan tan3max m x ≥==（）故答案为：)+∞例38．（2022·全国·高三专题练习）若“[]01,1x ∃∈-，020x a +->”为假命题，则实数a 的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】由题意可知命题的否定是真命题，从而可求出a 的取值范围，进而可求得a 的最小值 【详解】“[]01,1x ∃∈-，020x a +->”的否定为“[1,1]x ∀∈-，都有20x a +-≤”， 因为“[]01,1x ∃∈-，020x a +->”为假命题， 所以“[1,1]x ∀∈-，都有20x a +-≤”为真命题， 所以2a x +≥在[1,1]x ∈-上恒成立， 所以3a ≥，所以实数a 的最小值为3，故答案为：3例39．（2022·全国·高三专题练习）在①x ∃∈R ，2220x ax a ++-=，②a ∃∈R ，使得区间()2,4A =，(),3B a a =满足A B =∅这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．已知命题p :[]1,2x ∀∈，20x a -≥，命题q ：______，p ，q 都是真命题，求实数a 的取值范围． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】由命题p 为真命题可得1a ≤，选择①，可得方程2220x ax a ++-=有解，借助判别式求解即得；选择②，由给定条件列出不等式求解即得. 【详解】选条件①，由命题p 为真命题，得不等式20x a -≥在[]1,2x ∈上恒成立， 因为[]1,2x ∈，则214x ≤≤，即1a ≤，由命题q 为真命题，即方程2220x ax a ++-=有解，则()()22420a a ∆=--≥，解得1a ≥或2a ≤-， 又p ，q 都是真命题，从而有2a ≤-或1a =， 所以实数a 的取值范围是(]{},21-∞-.选条件②，由命题p 为真命题，得不等式20x a -≥在[]1,2x ∈上恒成立， 因为[]1,2x ∈，则214x ≤≤，即1a ≤，因命题q 为真命题，由区间(),3B a a =得0a >，又A B =∅，即4a ≥或032a <≤，解得4a ≥或203a <≤， 又p ，q 都是真命题，从而有203a <≤， 所以实数a 的取值范围是20,3⎛⎤⎥⎝⎦.例40．（2022·全国·高三专题练习）若f （x ）＝x 2－2x ，g （x ）＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1，2]，∃x 0∈[－1，2]，使g (x 1)＝f (x 0)，求实数a 的取值范围． 【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】分别求两个函数的值域，利用子集关系，求参数a 的取值范围. 【详解】由于函数g （x ）在定义域[－1，2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1，2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，因此问题等价于函数g （x ）的值域是函数f （x ）值域的子集．()()[]22211,1,2f x x x x x =-=--∈-，()[]1,3f x ∈-，函数f （x ）的值域是[－1，3]，因为a >0，所以函数g （x ）的值域是[2－a ，2＋2a ]， 则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即12a ≤．故a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦．【方法技巧与总结】1.在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补级即可.2.全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到.【过关测试】 一、单选题1．（2022·河北·模拟预测）已知2:10p x ax -+=无解，()2:()4q f x a x =-为增函数，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】分别由210x ax -+=无解和()2()4f x a x =-为增函数解出a 的范围，即可判断.【详解】由210x ax -+=无解可得240a -<，解得22a -<<；由()2()4f x a x =-为增函数可得240a ->，解得22a -<<，故p 是q 的充要条件. 故选：C.2．（2022·北京房山·二模）已知,αβ是两个不同的平面，直线l α⊄，且αβ⊥，那么“//l α”是“l β⊥”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据空间线面位置关系，结合必要不充分条件的概念判断即可. 【详解】解：当直线l α⊄，且αβ⊥，//l α，则l β⊂，或l β//，l 与β相交，故充分性不成立， 当直线l α⊄，且αβ⊥，l β⊥时，//l α，故必要性成立， 所以，“//l α”是“l β⊥”的必要而不充分条件. 故选：B3．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）若1z ，2z 为复数，则“12z z -是纯虚数”是“1z ，2z 互为共轭复数”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】分别判断命题的充分性和必要性即可得到答案. 【详解】充分性：令14i z =，22i z =，满足12z z -是纯虚数， 不满足1z ，2z 互为共轭复数，不满足充分性. 必要性：若121z z ==，满足1z ，2z 互为共轭复数， 则120z z -=，不满足12z z -是纯虚数，不满足必要性.所以“12z z -是纯虚数”是“1z ，2z 互为共轭复数”的既不充分也不必要条件. 故选：D4．（2022·全国·高三专题练习）命题“12x ∀≤≤，220x a -≤”是真命题的一个必要不充分条件是（ ） A ．1a ≥ B ．3a ≥C ．2a ≥D ．4a ≤【答案】A 【解析】 【分析】求出当命题“12x ∀≤≤，220x a -≤”是真命题时，实数a 的取值范围，结合题意可得出合适的选项. 【详解】命题“12x ∀≤≤，220x a -≤”是真命题，则2max22x a ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，因此，命题“12x ∀≤≤，220x a -≤”是真命题的一个必要不充分条件是1a ≥. 故选：A.5．（2022·全国·高三专题练习）已知下列四个命题：正确的是（ ）1p ：00x ∃>，使得00ln 1x x >-；2p ：R x ∀∈，都有210x x -+>； 3p ：00x ∃>，使得001ln1x x >-+； 4p ：()0,x ∀∈+∞，使得121log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭．A ．2p ，4pB ．1p ，4pC ．2p ，3pD ．1p ，3p【答案】C 【解析】 【分析】构造函数()ln 1f x x x =-+，求导判断单调性求最大值可判断1p ；对二次函数配方求21x x -+的最小值可判断2p ；举例子如0e x =可判断3p ；举反例如12x =可判断4p ，进而可得正确答案. 【详解】对于1p ，设()ln 1f x x x =-+，则()111x f x x x-'=-=， 由()0f x '>可得01x <<；由()0f x '<可得1x >，所以()ln 1f x x x =-+在()0,1上单调递增，在()1,+∞单调递减， 所以()()max 1ln1110f x f ==-+=，所以()ln 10f x x x =-+≤恒成立， 所以0x ∀>，ln 1≤-x x ，故1p 错误；对于2p ，R x ∀∈，都有22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，故2p 正确；对于3p ：当0e x =时，011ln ln 1ex ==-， 011e x -+=-，此时满足001ln 1x x >-+，故3p 正确；对于4p ，当12x =时，1212⎛⎫= ⎪⎝⎭，121log 12=，不满足121log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭成立，故4p 错误；故正确是2p ，3p ，故选：C ．6．（2022·重庆南开中学模拟预测）命题“2x ∀≥，24x ≥”的否定为（ ）A ．02x ∃≥，204x < B ．2x ∀≥，24x <C ．02x ∃<，204x <D ．2x ∀<，24x <【答案】A 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定：将任意改存在并否定原结论，即可得答案. 【详解】由全称量词命题的否定为存在量词命题，故原命题否定为“02x ∃≥，204x <”.故选：A7．（2022·江西景德镇·模拟预测（理））已知命题：函数32()(21)(0,0)f x x ax m a x m a m =++--->>，。
专题02 集合与常用逻辑用语-2019年高考数学(理)考试大纲解读 Word版含解析
2019年考试大纲解读02 集合与常用逻辑用语（一）集合1．集合的含义与表示（1）了解集合的含义，元素与集合的属于关系.（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义.考向一元素、集合之间的关系样题1 （2018新课标全国Ⅱ理科）已知集合，则A 中元素的个数为A．9 B．8C．5 D．4【答案】A【解析】，当时，；当时，；当时，,所以共有9个元素，选A．【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.考向二集合的基本运算样题2（2018新课标全国Ⅲ理科）已知集合，，则A B= A．{}0B．{}1C．{}012，，12，D．{}【答案】C【解析】易得集合,所以，故选C．样题3 设集合{}1,2,4A B=，则B=A=，．若{}1A．{}1,01,3- B．{}C．{}1,51,3 D．{}【答案】C【名师点睛】集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．两个防范：①不要忽视元素的互异性；②保证运算的准确性．ð样题4（2018新课标全国Ⅰ）已知集合，则A=R A．B．C．D．【答案】B【解析】解不等式得，所以，所以可以求得，故选B．考向三 充要条件的判断样题5 （2018浙江）已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．样题6 已知集合，B ={x |(x −b )2<a }，若“a =1”是“A B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是________． 【答案】(−2,2) 【解析】由＝{x |(x −1)·(x ＋1)<0}＝{x |−1<x <1}，当a =1时，B ＝{x |(x −b )2<1}={x |b −1<x <b ＋1}，此时，A B ≠∅，所以1111b b +>-⎧⎨-<⎩，解得−2<b <2.考向四 命题真假的判断样题7 （2018北京理科）能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．【答案】（答案不唯一）【解析】对于，其图象的对称轴为32x =，则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是单调函数. 样题8 已知命题；命题q ：若x y >，则22x y >．则下列命题为真命题的是A ． p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．D ．()p q ⌝∨【答案】B【解析】显然命题是真命题；命题q ：若x y >，则22x y >是假命题，所以q ⌝是真命题，故()p q ∧⌝为真命题.考向五 特称命题与全称命题样题9 命题“，使得2n x ≥”的否定形式是A ．，使得2n x <B ．，使得2n x <C ．，使得2n x <D ．，使得2n x <【答案】D【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ．样题10 若“”是真命题，则实数m 的最小值为__________________．【答案】1。
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第一章集合与常用逻辑用语
专题2常用逻辑用语（理科）
【三年高考精选】
1.【2017课标1，理】设有下面四个命题
：若复数满足，则；：若复数满足，则；
：若复数满足，则；：若复数，则.
其中的真命题为
A. B. C. D.
【答案】B
【三年高考刨析】
试题来源考查考点数学素养解题关键2018全国理科 1
2018全国理科 2
2018全国理科 3
2017全国理科 1 复数，命题真假判断数学运算，
逻辑推理准确掌握复数的定义，及有关计算，命题真假判断
2017全国理科 2 2017全国理科 3 2016全国理科 1
2016全国理科 2 2016全国理科 3
命题规律总结纵观前三年高考试题, 可以发现高考近几年对常用逻辑用语的考查有所减弱，几乎三年都没涉及，之前对这一部分以考查四种命题真假判断、含有逻辑联结词的复合命题真假
判断、充分条件、必要条件的判断、全称与特称命题的否定等知识点为主，难度不大.高考对本节考查的题型是选择题或填空题.有时在大题的条件或结论中出现，以本节知
识作为工具，以代数中的函数、不等式和几何中的点、线、面以及三角、解析几何为载
体来考查，重点考查学生的推理能力.
【2019年高考命题预测】
预测2019年高考若考，会以基本概念为考查对象，并且以本节知识作为工具，以代数中的函数、不等式和几何
中的点、线、面以及三角、解析几何为载体来考查.题目以选择填空题为主，在总分中占5分，重点考查学生的推理能力.
【2019年一轮复习指引】
由前三年的高考命题形式,在2018年的高考备考中同学们只需要稳扎稳打,加强常规题型的练习, 高考备考中掌握四种命题、逻辑联结词、充分条件、必要条件等基本知识点，对典型的例题加强练习，不宜搞过深过难的题目，关于本专题的高考备考还需要注意以下几点：
1.在命题类的题目中首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系；
2.要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否
命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可.对涉及数学概念的命题的判
定要从概念本身入手；
3.要特别注意一些特殊量词的否定形式,例如至少n个的否定为至多1
n个等；
4.充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件；
5.注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“p?q”而后者是“q?p”；
6.注意理解逻辑联结词与集合的关系；
7.正确区别命题的否定与否命题.
【2019年高考考点定位】
高考对常用逻辑用语的考查有四种形式：一是考查四种命题的真假与转化，二是逻辑联结词、三是特称与全称命
题的否定,四是充分条件和必要条件的判断.难度不大,以本节知识作为工具，以代数中的函数、不等式和几何中
的点、线、面以及三角、解析几何为载体来考查.
考点1 四种命题
典例 1 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟】下列有关命题的说法正确的是（）
A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”
B. 命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题
C. 命题“，使得”的否定是“，都有”
D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题
【答案】B
点睛：判断命题的真假应注意以下几个方面：(l)首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之
间的关系；(2)要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题”“否
命题”“逆否命题”，注意利用“原命题”与“逆否命题”同真假；(3)判断命题真假时，可直接依据定义、定理、性质直接判断，也可使用特值进行排除.
【备考知识梳理】
一、命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断
为假的语句叫做假命题.
二、四种命题
命题表述形式
原命题若p，则q。