【20套精选试卷合集】广东实验中学2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案

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2020年广东省实验中学高考数学模拟试卷(文科)(3月份)

D. 在区间上单调递增
11.已知椭圆，为椭圆的右项点，直线交于、两点，且，则恒过除点以外的定点（）
A. B. C. D.
12.在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则过，，三点的平面截该正方体，所得截面的周长为（）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若曲线与相交于、、三点，求线段的长．
[选修4-5：不等式选讲]
已知函数＝．
（1）若＝，解不等式；
（2）对任意满足的实数，，若总存在实数，使得，求实数的取值范围．
参考答案与试题解析
2020年广东省实验中学高考数学模拟试卷（文科）（3月份）
4.盒中有个大小相同的球，其中白球个，黑球个，从中任意摸出个（摸出后不放回），则至少摸出一个黑球的概率为（）
A. B. C. D.
5.已知向量，，且，则
A. B. C. D.
6.若，则＝（）
A. B. C. D.
7.已知双曲线的一条渐近线与直线＝垂直，则的离心率为（）
A. B. C. D.
已知函数．
（1）当＝时，求的单调区间：
（2）当时，有且仅有个零点，，，且，求证：．
已知抛物线＝的焦点为，准线为直线，、、三点均在抛物线上且过点，过点．
（1）写出点的坐标和直线的方程；
（2）记，的面积分别为，，求的最小值．
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分。（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]

广东省广州市2019-2020学年高考数学三模试卷含解析

广东省广州市2019-2020学年高考数学三模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（） A ．-1 B ．1C ．0D ．2【答案】B 【解析】【分析】化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.【详解】为纯虚数，故且，即.故选：. 【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.2．已知实数,x y 满足,10,1,x y x y y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（）A ．2 B．32C ．1D ．0【答案】B 【解析】【分析】作出可行域，平移目标直线即可求解. 【详解】解：作出可行域：由2z x y =+得，1122y x z =-+ 由图形知，1122y x z =-+经过点时，其截距最大，此z 时最大10y x x y =⎧⎨+-=⎩得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，11,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 当1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，max 1232222z =+⨯=故选：B 【点睛】考查线性规划，是基础题.3．设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】【分析】利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a 的方程即可求解【详解】因为1y a x'=-，且在点()1,0处的切线的斜率为3，所以13a -=，即4a =. 故选：D 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题4．已知数列{}n a 是公比为2的正项等比数列，若m a 、n a 满足21024n m n a a a <<，则()21m n -+的最小值为（） A ．3 B ．5C ．6D ．10【答案】B 【解析】【分析】利用等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数的单调性求得110m n <-<再根据此范围求()21m n -+的最小值．【详解】Q 数列{}n a 是公比为2的正项等比数列，m a 、n a 满足21024n m n a a a <<，由等比数列的通项公式得11111122210242n m n a a a ---⋅<⋅<⋅，即19222n m n -+<<，10222m n -∴<<，可得110m n <-<，且m 、n 都是正整数，求()21m n -+的最小值即求在110m n <-<，且m 、n 都是正整数范围下求1m -最小值和n 的最小值，讨论m 、n 取值.∴当3m =且1n =时，()21m n -+的最小值为()23115-+=.故选：B ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数性质等基础知识，考查数学运算求解能力和分类讨论思想，是中等题．5．在ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若3,4,120a b C ︒==∠=，则c =（）A ．37B ．13C D【答案】D 【解析】【分析】直接根据余弦定理求解即可．【详解】解：∵3,4,120a b C ︒==∠=，∴2222cos 9161237c a b ab C =+-=++=，∴c = 故选：D ．【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题． 6．已知集合A {}0,1,2=，B={}(2)0x x x -<,则A∩B= A ．{}1 B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】先解A 、B 集合，再取交集。

广东省广州市广东实验中学2019-2020学年高三第三次阶段考试文科数学试题

○…………外…………○…………内…………绝密★启用前广东省广州市广东实验中学2019-2020学年高三第三次阶段考试文科数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知集合{}2{|320},21xA x x xB x Z =-+≤=∈>，则A B =（）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．[1,2]D ．{1,2}2．已知复数(1)3z i i +=+，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数．．．．所对应的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量()(),,1,2a x y b ==-，且()1,3a b +=，则2a b -等于（） A ．1B ．3C ．4D ．54．若1a b >>，01c <<，则（） A ．c c a b <B ．c c ab ba <C ．log log b a a c b c <D ．log log a b c c < 5．某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（）①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同；○………○………②支出最高值与支出最低值的比是6:1; ③第三季度平均收入为50万元； ④利润最高的月份是2月份. A ．①②③B ．②③C ．②③④D ．①②④6．2sin18m =，若24m n +==（）A ．1B ．2C ．4D ．87．某同学用“随机模拟方法”计算曲线ln y x =与直线,0x e y ==所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e ]上的均匀随机数x i 和10个在区间[0，1]上的均匀随机数(*1i y i N ∈，10)i ≤≤，其数据如下表的前两行．由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为（） A ．3(1)5e -B ．4(1)5e - C ．1(1)2e - D ．2(1)3e - 8．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为1CC 的中点，点N 为线段1DD 上靠近1D 的三等分点，平面BMN 交1AA 于点Q ，则AQ 的长为 A ．23 B ．12 C ．16 D ．139．直线l 过抛物线24y x =的焦点F 且与抛物线交于A ，B 两点，若线段,AF BF 的长分别为m ，n ，则11m n+等于（） A ．14 B ．12C ．1D ．210．函数图象的大致形状是A ．B ．………○……………○…… C ． D ．11．在△ABC 中，2,6AB C π==，则AC 的最大值为（）A ．B ．C ．D ．12．已知离心率为e ，焦点为12,F F 的双曲线C 上一点P 满足1221sin sin 0PF F e PF F ∠=⋅∠=/，则双曲线的离心率e 的取值范围为（）A ．B ．C ．(1,2)D ．(1,1+第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，*n N ∈，且1233a a a ++=，4566a a a ++=，则12S =__________.14．己知直线l 与正方体1111ABCD A B C D -的所有面所成的角都相等，且l平面11BB D D H =，则l 与平面11BB D D 所成角的正切值是___________. 15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2s i n s i n (2)A B c o s B C <-+，则对任意的2,,,nnnn n N a b c ≥∈，都必须满足___________.16．若定义在R 上的函数()y f x =，其图像是连续不断的，且存在常数()k k R ∈使得()()0f x k kf x ++=对任意实数x 都成立，则称()y f x =是一个“k ～特征函数”．则下列结论中正确命题序号为____________.①()3xf x =是一个“k ～特征函数”；②()3f x x =-不是“k ～特征函数”；③()0f x =是常数函数中唯一的“k ～特征函数”；④“13～特征函数”至少有一个零点；三、解答题……○…………订……※※装※※订※※线※※内※※答※※……○…………订……○…………订……__班级：___________考号：_○…………订……附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++）.临界值表：19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,E F 分别为11,AC BC 的中点，1C F AB ⊥，12AB BC AA ===.（1）求证：1//C F 平面ABE ；（2）求三棱锥1E ABC -的体积. 20．已知函数31()sin .6f x x ax x =-+(1)求函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)若()f x 存在极小值点1x 与极大值点2x ，求证：122 2.x a x -<+21．设椭圆2222:1(0)y x M a b a b+=>>的离心率与双曲线221x y -=的离心率互为倒数，且内切于圆2224x y +=. (1)求椭圆M 的方程；(2)已知R 00(,)x y 是椭圆M 上的一动点，从原点O 引圆R :2200()()8x x y y -+-=的两条切线，分别交椭圆M 于P 、Q 两点，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为12,k k ，试探究22OP OQ +是否为定值并证明你所探究出的结论.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x 2tcos αy tsin α(t =-+=为参数).以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()22ρ45sin θ36+=．()1求l 和C 的直角坐标方程；()2设()P 2,0-，l 和C 相交于A ，B 两点，若PA PB 4⋅=，求sin α的值．23．设函数()2 1.f x k x x =--(1)当1k =时，求不等式()0f x >的解集；(2)当(0,)x ∈+∞时，()0f x b +>恒成立，求k b +的最小值．参考答案1．D 【解析】【分析】分别解出两个集合，注意集合B 中元素全为整数，然后求出交集. 【详解】解2320x x -+≤，即(1)(2)0x x --≤，所以{12}A x x =≤≤，解0212,x x Z >=∈，所以{0,}B x x x Z =>∈ 所以{1,2}A B =故选：D 【点睛】此题考查解一元二次不等式和指数不等式，易错点在于漏掉集合中的限制条件. 2．A 【解析】【分析】根据复数运算法则求出z ，再求出其共轭复数即可得出对应点所在象限. 【详解】由题：23(3)(14221(1(11i i i iz i i i i i++--====-++--））），其共轭复数2z i =+，对应点(2,1) 在第一象限. 故选：A 【点睛】此题考查复数的基本运算，共轭复数，复数所对应的点所在象限，属于简单题目. 3．D 【解析】【分析】先根据已知求出x,y 的值，再求出2a b -的坐标和2a b -的值.由向量()(),,1,2a x y b ==-，且()1,3a b +=，则()(1,2)1,3a b x y +=-+=，解得2,1x y ==，所以()()2,1,1,2a b ==-，所以2(2,1)2(1,2)(4,3)a b -=--=-，所以224(5a b -=+=，故答案为：D【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 4．C 【解析】【详解】试题分析：用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，11223223⨯>⨯，选项B 错误， 3211log log 22>，选项D 错误，因为lg lg log log lg ()lg (),11lg lg lg lg a bb b ab a a b a b ac b c c c a b b a a b a b a --=⋅-=⋅>>∴<<<lg lg 001lg 0log log lg lg a bb a a bc c a c b c b a-∴><<∴<∴<选项C 正确，故选C ．【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 5．A 【解析】【分析】根据统计折线图，逐一检验便可选出正确选项. 【详解】2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率均为-20万元每月，所以①正确；支出最高2月60万元，最低5月10万元，所以比值为6:1，所以②正确；第三季度平均收入为405060503++=万元，所以③正确；2月利润20万元，而3月和10月利润都是30万元，所以④错误. 故选：A 【点睛】此题考查图像识别能力，读取图象提取有效信息，考查综合能力. 6．B 【解析】【分析】根据题意代换化简分子，利用半角公式化简即可求解. 【详解】由题：22cos 271︒==-4sin18cos182sin 362cos542cos54cos54cos54︒︒︒︒︒︒︒====. 故选：B 【点睛】此题考查三角恒等变换，对基本公式考查比较全面，涉及半角公式化简，考查综合能力. 7．A 【解析】【分析】根据“随机模拟方法”，有序数对(,)i i x y 落在曲线ln y x =与直线,0x e y ==所围成的曲边三角形的内部的个数与总个数的比值约等于曲边三角形面积与直线,1,0,1x e x y y ====所围成的矩形的面积之比.【详解】用计算机分别产生在区间[1，e ]上的均匀随机数x i ，在区间[0，1]上的均匀随机数i y ，形成有序数对(,)i i x y 所在区域为直线,1,0,1x e x y y ====所围成的矩形及其内部区域，如图所示，面积1e -，作图：随机产生的十个点，当ln i i y x <时，该点落在曲边三角形内部，共有6个，设曲边三角形面积为S ，则6110S e ≈-，所以3(1)5e S -≈. 故选：A 【点睛】此题考查用“随机模拟方法”解决不规则多边形面积问题，关键在于弄清这种模拟方式，两个区域面积之比近似等于落在该区域点的个数之比. 8．D【解析】如图，将MB 平移至',M A N 为靠近1DD 的三个等分点处， 123D N ∴=， M为1CC 的中点， 'M ∴也为1D D 中点， 11'1,'3D M NM ∴=∴=，根据四点共面， //'QN AM ， 1'3AQ NM ∴==，故选D. 9．C 【解析】【分析】当直线斜率不存在时，直线方程1x =，易解出,AF BF 的长度；当直线斜率存在时，设直线方程为：(1)y k x =-，联立方程：{2(1)4y k x y x=-=，整理后利用抛物线焦半径公式表示,AF BF ，结合韦达定理可得.当直线斜率不存在时，直线方程1x =，代入24y x =，解得122,2y y ==-，所以(1,2),(1,2)A B -，2,2AF BF ==，所以111m n+=；当直线斜率存在时，设直线方程为：(1),0y k x k =-≠，联立方程：{2(1)4y k x y x=-=，整理得： 2222(24)0k x k x k -++=，设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理：212122240,,1k x x x x k +>+==，2121212122422211111411()1121x x k m n x x x x x x k +++++=+===++++++++ 故选：C 【点睛】此题考查直线与抛物线位置关系和焦半径公式基本运算，考查直线与圆锥曲线问题的通式通法，容易出现漏掉直线斜率不存在的情况，虽然不影响结果，但体现思维逻辑的严密性；另外若能熟记一些二级结论的话，此题结果瞬间可得，大大提升解题效率. 10．B 【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再求，利用排除法可得解. 【详解】由题意得，，所以，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A ，C ；令，则，。

广东省实验中学2019_2020学年高二数学上学期开学摸底考试试题(含解析)

广东省实验中学2019-2020学年高二数学上学期开学摸底考试试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.下列六个关系式：①{a,b}{b,a}；②{a,b}={b,a}；③{0}=∅；④0∈{0}；⑤∅∈{0}；⑥∅{0}；其中正确的个数为（）A. 6个B. 5个C. 4个D. 少于4个2.若=（1，2），=（1，0）则与夹角的余弦值为（）A. B. C. D. 13.下列四组函数中，表示同一函数的是（）A. ,B. ,C. ,D. ,4.设a，b∈R，下列不等式中一定成立的是（）A. B. C. D.5.下列四条直线，其倾斜角最大的是（）A. B. C. D.6.使数列的自然数n的最小值为（）A. 8B. 9C. 10D. 117.将函数y=cos x+sin x（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A. B. C. D.8.在直角坐标平面上，点P（x，y）的坐标满足方程x2-2x+y2=0，点Q（a，b）的坐标满足方程a2+b2+6a-8b+24=0则的取值范围是（）A. B.C. D.9.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，∠ACB=90°，BC=CC1=1，，P为BC1上的动点，则CP+PA1的最小值为（）A.B.C. 5D.10.已知函数f（x）=，则方程f（x+-2）=a（a∈R）的实数根个数不可能（）A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个11.若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.12.数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心（外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点B（-1，0），C（0，2），AB=AC，则△ABC的欧拉线方程为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.过△ABC所在平面α外一点，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC．若PA=PB=PC，则点O是△ABC的______ 心．14.圆心为两直线x+y-2=0和-x+3y+10=0的交点，且与直线x+y-4=0相切的圆的标准方程是______．15.已知sinα是方程5x2-7x-6=0的根，α是第三象限角，则•tan2（π-α）=______．16.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数，他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测b2020是数列{a n}中的第______项．三、解答题（本大题共6小题）17.设直线l的方程为（a-1）x+y+a+3=0，（a∈R）．（1）若直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等，求直线l的方程；（2）若直线l不经过第一象限，求实数a的取值范围．18.在等差数列{a n}中，a10=18，前5项的和S5=-15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和的最小值，并指出何时取最小．19.设向量=（λ+2，λ2-cos2α），=（m，+sinαcosα），其中λ，m，α为实数．（1）若α=，求||的最小值；（2）若=2，求的取值范围．20.一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其内部有一个高为xcm的内接圆柱．（1）求圆锥的侧面积．（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值．21.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB=BC1，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．（1）求证：EF∥面BCC1B1；（2）求证：BE⊥面AB1C1；（3）在线段BC1上是否存在一点G，使平面EFG∥平面ABB1A1，证明你的结论．22.对函数Φ（x），定义f k（x）=Φ（x-mk）+nk（其中x∈（mk，m+mk]，k∈Z，m＞0，n＞0，且m、n为常数）为Φ（x）的第k阶阶梯函数，m叫做阶宽，n叫做阶高，已知阶宽为2，阶高为3．（1）当Φ（x）=2x时①求f0（x）和f k（x）的解析式；②求证：Φ（x）的各阶阶梯函数图象的最高点共线；（2）若Φ（x）=x2，则是否存在正整数k，使得不等式f k（x）＜（1-3k）x+4k2+3k-1有解？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了元素与集合关系的判断，以及集合子集的判定，属于基础题．本题利用元素与集合的关系进行判断，以及集合自身是自身的子集、空集是任何集合的子集进行判定即可．【解答】解：根据集合自身是自身的子集，可知①正确；根据集合无序性可知②正确；集合{0}中含有1个元素，不是空集，可知③不正确；根据元素与集合之间可知④正确；根据集合与集合间没有属于关系可知⑤不正确；根据空集是任何集合的子集可知⑥正确．故选C．2.【答案】A【解析】解：∵；∴．故选：A．根据向量的坐标即可求出，从而可求出向量与夹角的余弦值．考查根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量数量积的坐标运算，以及向量夹角的余弦公式．3.【答案】A【解析】解：对于A．f（x）=2x-1，g（u）=2u-1，定义域相同均为R，对应法则一样，故A中两个函数表示同一函数；对于B．y=x0=1（x≠0）与y=1（x∈R），两个函数的定义域不一致，故B中两个函数不表示同一函数；对于C．y=x2，（x∈R）与y=x=x|x|（x∈R），两个函数的定义域一致，对应法则不一样，故C中两个函数不表示同一函数；对于D．y=x-1与y=，y==|x-1|，两个函数的解析式不一致，故D中两个函数不表示同一函数．故选：A．只要两函数的定义域相同，对应关系相同即可，与自变量用哪一个符号表示没有关系．就是相同的函数，对选项一一加以判断即可得到答案．本题考查的知识点是判断两个函数是否为同一函数，熟练掌握判断两个函数是否为同一函数的方法，正确理解两个函数表示同一函数的概念是解答本题的关键．4.【答案】A【解析】解：A：将不等式转化为a2-2a+3=（a-1）2+2＞0恒成立，A对．B：a2+b2≥0，B错C：将不等式转化为a2（a-b）+b2（b-a）=（a-b）（a2-b2）=（a-b）2（a+b）不一定大于等于0，C错．D：如果想要用基本不等式，需要满足a＞0，D错．故选：A．利用不等式的基本性质即可判断出．本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查直线斜率与倾斜角的关系，关键是掌握直线的斜率与倾斜角的关系．根据题意，依次分析选项，求出所给直线的斜率，比较其倾斜角的大小，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、x+2y+3=0，其斜率k1=-，倾斜角θ1为钝角，对于B、2x-y+1=0，其斜率k2=2，倾斜角θ2为锐角，对于C、x+y+1=0，其斜率k3=-1，倾斜角θ3为135°，对于D、x+1=0，倾斜角θ4为90°，而k1＞k3，故θ1＞θ3，故选：A．6.【答案】D【解析】解：令数列前n项积为T n，则T n==，令，即n2+n＞110当n=10时，n2+n=110，当n=11时，n2+n＞110故选：D．令数列前n项积为T n，则T n=，令，可得答案．本题考查的知识点是数列的概念，等差数列求和，难度中档．7.【答案】C【解析】解：将函数y=cos x+sin x=2sin（x+）（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后得到y=2sin（x+m+），所得到的图象关于y轴对称，则m+=kπ+，k∈Z，即m=kπ+，故m的最小值为；故选：C．利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得m的最小值本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题8.【答案】B【解析】解：由x2-2x+y2=0得（x-1）2+y2=1，即P的轨迹是以B（1，0）为圆心半径为1的圆，由a2+b2+6a-8b+24=0得（a+3）2+（b-4）2=1，即Q的轨迹是以A（-3，4）为圆心半径为1的圆，的几何意义为PQ的斜率，由图象知，PQ斜率的最值为两圆的内公切线，A，B的中点C（-1，2），设PQ的斜率为k，则过C的内公切线方程为y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0，圆心B的直线的距离d==1，平方得4k2+8k+4=1+k2，即3k2+8k+3=0，得k===，即斜率的最大值为，最小值为，即的取值范围是[，]，故选：B．利用配方法，求出P，Q的轨迹，结合两点斜率公式得到的几何意义为PQ的斜率，利用数形结合得到斜率的最大值和最小值对应两圆的内公切线，结合直线和圆相切的等价条件求出斜率即可．本题主要考查直线和圆相交的位置关系的应用，利用两点斜率的几何意义，转化为求出两圆内公切线斜率问题是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．9.【答案】C【解析】解：连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，如图所示，连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值．BC1=，A1C1=，A1B=，通过计算可得∠A1C1P=90°又∠BC1C=45°∴∠A1C1C=135°由余弦定理可求得A1C===5．故选：C．连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，不难看出CP+PA1的最小值是A1C 的连线，由余弦定理即可求解．本题考查棱柱的结构特征，余弦定理的应用，考查学生的计算能力，是中档题．10.【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=，即f（x）=．因为当f（x）=1时，x=1或3或或-4，则当a=1时，x+-2=1或3或或-4，又因为x+-2≥0或x+-2≤-4，所以，当x+-2=-4时只有一个x=-2与之对应．其它情况都有2个x值与之对应，故此时所求的方程有7个根，当1＜a＜2时，y=f（x）与y=a有4个交点，故有8个根；当a=2时，y=f（x）与y=a有3个交点，故有6个根；综上：不可能有5个根，故选：A．以f（x）=1的特殊情形为突破口，解出x=1或3或或-4，将x+-2是为整体，利用换元的思想方法进一步讨论．本题重点考查了分段函数、函数的零点等知识，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：由题意，，解①得：a＜-1或a＞0；由②得：＜0，令，则（1-t）2-2（2+t）（t-1）＜0，得t2+4t-5＞0，解得t＜-5或t＞1，则＜-5或＞1，则0＜＜或＞2．即＜a＜0或0＜a＜1．综上，实数a的取值范围为．故选：A．由题意可得，再由对数式的运算性质变形，然后求解对数不等式得答案．本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法，训练了对数不等式的解法，属难题．12.【答案】D【解析】【分析】由于AB=AC，可得：△ABC的外心、重心、垂心都位于线段BC的垂直平分线上，求出线段BC的垂直平分线，即可得出△ABC的欧拉线的方程．本题考查了欧拉线的方程、等腰三角形的性质、三角形的外心重心垂心性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解答】解：由于AB=AC，可得：△ABC的外心、重心、垂心都位于线段BC的垂直平分线上，设线段BC垂直平分线的斜率为k，则kk BC=-1，∴k×=-1，∴k=，又BC中点坐标为（，1），∴△ABC的欧拉线的方程为：y-1=-，整理得：2x+4y-3=0故选：D．13.【答案】外【解析】证明：点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥α，垂足为O，若PA=PB=PC，故△POA，△POB，△POC都是直角三角形∵PO是公共边，PA=PB=PC∴△POA≌△POB≌△POC∴OA=OB=OC故O是△ABC外心故答案为：外．点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥α，垂足为O，若PA=PB=PC，可证得△POA≌△POB≌△POC，从而证得OA=OB=OC，符合这一性质的点O是△ABC外心．本题考查三角形五心，求解本题的关键是能够根据题设条件得出PA，PB，PC在底面上的射影相等，以及熟练掌握三角形个心的定义，本题是一个判断形题，是对基本概念的考查题．14.【答案】（x-4）2+（y+2）2=2【解析】解：联立，解得，∴圆心坐标为：（4，-2）．∵圆与直线x+y-4=0相切，∴圆心（4，-2）到直线x+y-4=0的距离为，∴圆的半径为．∴圆的标准方程为（x-4）2+（y+2）2=2，故答案为：（x-4）2+（y+2）2=2．直接联立方程组求两条直线交点的坐标，即为圆心坐标，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线x+y-4=0的距离，也就是所求圆的半径，然后直接写出圆的标准方程．本题考查了两条直线交点的求法，考查了直线和圆的位置关系，直线和圆相切，则圆心到切线的距离等于圆的半径，此题是中档题．15.【答案】-【解析】解：解得方程5x2-7x-6=0的两根为x1=-，x2=2，由于α是第三象限角，∴sinα=-，则cosα=-，∴•tan2（π-α）=•tan2α=•tan2α=-tan2α=-==-．故答案为：-．求解方程的根，再由角所在的象限确定角的正弦值，进而求出它的余弦值，利用诱导公式把所求的式子进行化简，把此角的正弦值和余弦值代入进行求解．本题的考点是诱导公式和平方关系的应用，注意利用角所在的象限和诱导公式的口诀，正确确定三角函数值的符号，对于符号问题是易错的地方，需要认真和细心．16.【答案】5050【解析】解：根据题意，由图可得：a1==1，a2==3，a3==6，……依此类推：a n=，其中当n=4，5，9，10，14，15，19，20，24，25，29，30……时，a n可以被5整除，即数列{a n}中每10项有4项能被5整除，又2020=4×505，b2020是数列{a n}中第5050项；故答案为：5050．根据题意，分析数列an的通项公式，进而分析可得当n=4，5，9，10，14，15，19，20，24，25，29，30……时，a n可以被5整除，即数列{a n}中每10项有4项能被5整除，据此分析可得答案．本题考查归纳推理的应用，关键是分析数列的变化规律，属于基础题．17.【答案】解：（1）a=1时，直线化为y+4=0，不符合条件，应舍去；当a≠1时，分别令x=0，y=0，解得与坐标轴的交点（0，-a-3），（，0）．∵直线l在两坐标轴上的截距绝对值相等，∴||=|-a-3|，解得a=-3或a=0，a=2．∴直线l的方程为：-4x+y=0，-x+y+3=0或x+y+5=0．（2）直线l的方程（a-1）x+y+a+3=0化为y=-（a-1）x-a-3．∵直线l不经过第一象限，∴，解得a≥1．∴实数a的取值范围是a≥1．【解析】（1）a=1时，直接验证；当a≠1时，分别令x=0，y=0，解得与坐标轴的交点（0，-a-3），（，0）．根据直线l在两坐标轴上的截距绝对值相等即可得出．（2）直线l的方程（a-1）x+y+a+3=0化为y=-（a-1）x-a-3．由于直线l不经过第一象限，可得，解得即可．本题考查了直线的截距式、直线的斜率与截距的意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵等差数列{a n}中，a10=18，前5项的和S5=-15，∴解得a1=-9，d=3，∴a n=3n-12．（2）∵a1=-9，d=3，a n=3n-12，∴==-，∴当n=3或4时，前n项的和S n取得最小值S3=S4=-18．【解析】（1）由等差数列{a n}中，a10=18，前5项的和S5=-15，，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由a1=-9，d=3，a n=3n-12，知=-，由此能求出当n=3或4时，前n项的和S n取得最小值S3=S4=-18．本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意配方法的合理运用．19.【答案】解：（1）当a=时，=（m，+），∴||2=m2++=（m2+m）+=（m+）2+，∴||=（2）∵=2，向量=（λ+2，λ2-cos2α），=（m，+sinαcosα），∴λ+2=2m，λ2-cos2α=m+sin2α∴4m2-9m+4=sin2α+cos2α=2sin（2α+），∵-2≤2sin（2α+）≤2，∴-2≤4m2-9m+4≤2，解得≤m≤2而=2-，∴∈[-6，1]【解析】（1）根据向量的模的定义和二次函数的性质即可求出，（2）根据=2，结合三角函数的恒等变换，求出m的取值范围，再求的取值范围即可．本题考查了平面向量的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，还考查了求函数的最值问题，是综合题．20.【答案】解：（1）圆锥的母线长为=2（cm），∴圆锥的侧面积S1=π×2×2=4π（cm2）．…（6分）（2）画出圆锥的轴截面如图所示：设圆柱的底面半径为r cm，由题意，知=，∴r=，∴圆柱的侧面积S2=2πrx=（-x2+6x）=-[（x-3）2-9]，∴当x=3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6πcm2．…（12分）【解析】（1）求出母线长，然后求解侧面积；（2）设圆柱的底面半径为r cm，求出r=，得到圆柱的侧面积S2的表达式，然后求解最大值．本题考查圆柱的轴截面的面积的求法，考查轴截面面积的最大值的求法，解题时要注意空间思维能力的合理运用．21.【答案】证明：（1）因为E，F分别为线段AC1，A1C1的中点，所以EF∥A1A．因为B1B∥A1A，所以EF∥B1B．又因为EF⊄平面BCC1B1，B1B⊂BCC1B1，所以EF∥面BCC1B1．（2）因为BC⊥BC1，AB⊥BC，AB∩C1B=B，所以BC⊥平面ABC1．因为BE⊂平面ABC1，所以BE⊥BC．又因为BC∥B1C1，所以BE⊥B1C1．因为AB=BC1，E为AC1的中点，所以BE⊥AC1．因为AC1∩B1C1=C1，所以BE⊥面AB1C1．（3）取BC1中点为G，连接GE、GF，又因为E为AC1的中点，所以GE∥AB．因为EG⊄平面A1B1BA，AB⊂平面A1B1BA，所以EG∥平面A1B1BA．同理可证：EF∥平面A1B1BA．又因为EF∩EG=E，所以平面EFG∥平面ABB1A1．所以在线段BC1上是存在一点G，使平面EFG∥平面ABB1A1．【解析】（1）由题意可得：EF∥A1A，所以可得EF∥B1B，再根据线面平行的判定定理可得线面平行．（2）根据题意可得：BC⊥平面ABC1，进而得到BE⊥BC，即得到BE⊥B1C1，因为AB=BC1，E为AC1的中点，所以BE⊥AC1，由线面垂直的判定定理可得线面垂直．（3）取BC1中点为G，连接GE、GF，由题意可得：GE∥AB，所以EG∥平面A1B1BA．同理可证：EF∥平面A1B1BA．再根据面面平行的判定定理可得面面平行．解决此类问题的关键是熟练掌握有关线线、线面、面面平行与垂直的判定定理、性质定理．22.【答案】解：（1）①f0（x）=Φ（x））=2x，x∈（0，2]；f k（x）=Φ（x-2k）+3k=2x-2k+3k，x∈（2k，2k+2]，k∈Z．②∵f k（x）=2x-2k+3k，x∈（2k，2k+2]，k∈Z是增函数，∴Φ（x）的第k阶阶梯函数图象的最高点为P k（2k+2，4+3k），第k+1阶阶梯函数图象的最高点为P k+1（2k+4，7+3k），所以过P k、P k +1这两点的直线的斜率为k=．同理可得过P k+1、P k +2这两点的直线的斜率也为．所以，Φ（x）的各阶阶梯函数图象的最高点共线．（2）若Φ（x）=x2，则f k（x）=（x-2k）2+3k，f k（x）＜（1-3k）x+4k2+3k-1⇔（x-2k）2+3k＜（1-3k）x+4k2+3k-1，整理得出x2-（k+1）x+1＜0．当k=1时，x2-2x+1＜0无解，当k≥2时，x2-（k+1）x+1＜0，得出①又根据x∈（2k，2k+2]，k∈Z②又根据，①②无公共部分，即不存在正整数k满足题意．【解析】（1）利用题目中给出的阶梯函数的定义解决该类问题．关键要理解阶梯函数的定义以及一些字母和符号的含义．为求解函数解析式做准备，证明共线只需说明各点连线的斜率相等；（2）掌握探究性问题的解决方法，要假设存在正整数，寻找相应的关系式进行求解或说明．本题考查新定义型问题的解决方法，属于创新题型．关键要理解阶梯函数的定义，然后写出该函数的解析式，利用单调性写出该函数的最值．掌握探究性问题的研究方法，先假设存在，再寻找字母满足的关系式，进行求解和判断．11。

广东省广州市2019-2020学年高考数学五模考试卷含解析

广东省广州市2019-2020学年高考数学五模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为，即命题是错误，则是正确的；在边长为4的正方形内任取一点，若的概率为，即命题是正确的，故由符合命题的真假的判定规则可得答案是正确的，应选答案B 。

点睛：本题将古典型概率公式、几何型概率公式与命题的真假（含或、且、非等连接词）的命题构成的复合命题的真假的判定有机地整合在一起，旨在考查命题真假的判定及古典概型的特征与计算公式的运用、几何概型的特征与计算公式的运用等知识与方法的综合运用，以及分析问题解决问题的能力。

2．已知平面向量()4,2a →=，(),3b x →=，//a b →→，则实数x 的值等于（）A ．6B ．1C ．32D ．32- 【答案】A【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示即可求解.【详解】 ()4,2a →=Q ，(),3b x →=，//a b →→， 432x ∴⨯=，即6x =，故选：A【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标运算，属于容易题.3．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（）A ．174πB ．214πC ．4πD ．5π【答案】B【解析】【分析】根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值．【详解】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体1111ABCD A B C D -的四个顶点，即为三棱锥11A CB D -，且长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为2,,a b ，∴此三棱锥的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，且球半径为2222224a b a b R ++++==， ∴三棱锥外接球表面积为()()22222242144514a b a b a ππππ++=++=-+⎝⎭， ∴当且仅当1a =，12b =时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为214π．故选B ．【点睛】（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题．4．已知x，y满足不等式224xyx y tx y≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z＝9x+6y最大值的变化范围[20，22]，则t的取值范围（）A．[2，4] B．[4，6] C．[5，8] D．[6，7] 【答案】B【解析】【分析】作出可行域，对t进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解.【详解】画出不等式组24xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+=⎩所表示的可行域如图△AOB当t≤2时，可行域即为如图中的△OAM，此时目标函数z＝9x+6y 在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合题意t＞2时可知目标函数Z＝9x+6y在224x y tx y+=⎧⎨+=⎩的交点（82433t t--，）处取得最大值，此时Z＝t+16由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故选：B．【点睛】此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.5．已知全集，，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】先求出集合U ，再根据补集的定义求出结果即可．【详解】由题意得， ∵， ∴．故选C ．【点睛】本题考查集合补集的运算，求解的关键是正确求出集合和熟悉补集的定义，属于简单题．6．已知复数z 满足：((1)11)i z i +-=-，则z 的共轭复数为（）A ．12i -B ．1i +C ．1i -+D ．12i + 【答案】B【解析】【分析】转化()(1)11i z i +-=-，为111i z i--=+，利用复数的除法化简，即得解【详解】复数z 满足：()(1)11i z i +-=- 所以()211112i i z i i ---===-+ 1z i ⇒=-1z i ∴=+故选：B【点睛】本题考查了复数的除法和复数的基本概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 7．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′3，那么原△ABC 的面积是( )A 3B ．2C 3D 3【答案】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC 的高为AO 3△ABC 的面积.【详解】由题图可知原△ABC 的高为AO 3∴S △ABC ＝12×BC×OA ＝12×2×33 A 【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.8．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为5m =（） A ．1B ．2C 5D ．3【答案】A【解析】【分析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可.【详解】圆222230x x y y ++--=的标准方程22(1)(1)5x y ++-=,圆心坐标为(1,1)-,5因为直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为25所以直线20x y m ++=过圆心,得2(1)10m ⨯-++=,即1m =.故选：A【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.9．已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为（）A ．22B ．23C ．4D ．26【答案】B【解析】【分析】由三视图可知，该三棱锥如图, 其中底面ABC 是等腰直角三角形，PC ⊥平面ABC ,结合三视图求出每个面的面积即可.【详解】由三视图可知，该三棱锥如图所示：其中底面ABC 是等腰直角三角形，PC ⊥平面ABC , 由三视图知，2,22,PC AB ==因为,PC BC PC AC ⊥⊥,,AC BC AC CB =⊥, 所以2,2AC BC PA PB AB =====所以12222PAC PCB ACB S S S ∆∆∆===⨯⨯=, 因为PAB ∆为等边三角形，所以(22332223PAB S AB ∆===所以该三棱锥的四个面中，最大面积为23故选：B【点睛】本题考查三视图还原几何体并求其面积; 考查空间想象能力和运算求解能力;三视图正确还原几何体是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.10．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6322S S -=，则2823a a 的最小值为 A ．8 B ．16 C ．24 D ．36 【答案】B【解析】【分析】【详解】方法一：由题意得636332()2S S S S S -=--=，根据等差数列的性质，得96633,,S S S S S --成等差数列，设3(0)S x x =>，则632S S x -=+，964S S x -=+，则222288789962212333(3)()()=3a a a a a S S a a a a a S ++-==++2(4)x x+=161682816x x x x =++≥⋅+=，当且仅当4x =时等号成立，从而2823a a 的最小值为16，故选B ．方法二：设正项等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式及6322S S -=，化简可得11653262(3)222a d a d ⨯⨯+-+=，即29d =，则222282222222243()33(6)16163382333a a a d a a a a a a a ++===++≥⋅+816=，当且仅当221633a a =，即243a =时等号成立，从而2823a a 的最小值为16，故选B ． 11．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.【详解】设()ln 1g x x x =--，(1)0g =，则1()ln 1f x x x =--的定义域为(0,1)(1,)x ∈+∞U .1()1g x x '=-，当(1,)x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单增，当(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单减，则()(1)0g x g ≥=.则()f x 在(0,1)x ∈上单增，(1,)x ∈+∞上单减，()0f x >.选B.【点睛】本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断. 12．已知集合A ＝{x ∈N|x 2＜8x}，B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，则()A B C ⋃ð＝（）A ．{2，3，4，5}B ．{2，3，4，5，6}C ．{1，2，3，4，5，6}D ．{1，3，4，5，6，7} 【答案】C【解析】【分析】根据集合的并集、补集的概念，可得结果.【详解】集合A ＝{x ∈N|x 2＜8x}＝{x ∈N|0＜x ＜8}，所以集合A ＝{1，2，3，4，5，6，7}B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，故A C ð＝{1，4，5，6}，所以()A B C ⋃ð＝{1，2，3，4，5，6}.故选：C.【点睛】本题考查的是集合并集，补集的概念，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【20套精选试卷合集】广东省重点名校2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案

高考模拟数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，复数21ii -等于A ．l +iB ．-l -iC ．l -iD ．-l+i2．（理）在6的二项展开式中，x2的系数为A ．427-B ．227-C ．227D ．427（文）已知集合M={y|y=sinx, x ∈R}，N={0，1，2}, 则M I N= A ．{-1,0,1} B ．[0,1] C ．{0,1} D ．{0，1,2}3．下列有关命题说法正确的是A ．命题p ：“∃x ∈R ，”，则⌝p 是真命题 B ．“x=－1”是“x2－5x －6=0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x2 +x+1<0“的否定是：“∀x ∈R ，x2+x+1<0”D ．“a>l”是“y=logax （a >0且a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件4．设m ，n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面，给出下列条件,能得到m β⊥的是 A ．αβ⊥，m α⊂ B ．m ⊥α，αβ⊥ C ．m ⊥n,n β⊂ D ．m ∥n,n β⊥5．设函数f （x ）=32sin tan 3x θθ++，其中θ∈50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则导数f '（1）的取值范围是A ．[-2，2]B． C．2⎤⎦ D．2⎤⎦ 6．甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计图所示.则甲、乙、丙三人训练成绩方差222s s s 甲乙丙，，的大小关系是（）A ．222s s s <<乙甲丙 B ．222s s s <<甲乙丙C ．222s s s <<甲乙丙 D ．222s s s <<乙甲丙7．设b a <，函数)()(2b x a x y --=的图象可能是频数环数环数甲乙丙环数8．（理）己知等差数列{an}的首项为a1，公差为d ，其前n 项和为Sn ，若直线y = a1x+m 与圆（x －2）2+ y2 =1的两个交点关于直线x+y+d=0对称，则Sn= A ． n2 B ．－n2 C ．2n －n2 D ．n2－2n（文）已知圆C 的方程为012222=+-++y x y x ，当圆心C 到直线04=++y kx 的距离最大时，k 的值为A ．51-B ．51C ．5-D ．59．（理）设两个向量)cos ,2(22αλλ-+=a 和,(m b =)sin 2α+m，其中αλ,,m 为实数，若b a 2=，则m λ的取值范围是A ．]1,6[-B ．[4，8]C ．]1,6(-D ．]6,1[-（文）已知向量),1(m a =，),2(n b =，),3(t c =，且b a //，c b ⊥，则22||||c a +的最小值为A ．4B ．10C ．16D ．2010．（理）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为A ．24y x =或28y x =B ．22y x =或28y x = C ．24y x =或216y x = D ．22y x =或216y x = （文）已知斜率为2的直线l 过抛物线ax y =2的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为（）A ．x y 42= B ．x y 82= C ．x y 42=或x y 42-= D ．x y 82=或x y 82-=二、填空题(本大题共5小题,每小题5分共25分．把答案填在答题卷中的横线上．)11.(理)如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校的学生连续参观两天，其余学校的学生均只参观一天，则不同的安排方法共有（文）如果函数)0)(6sin()(>+=ωπωx x f 的两个相邻零点之间的距离为12π，则ω的值为12.按如下程序框，最后输出i 的结果是题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案13已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≤+-042042k y x y y x ，且目标函数y x z +=3的最小值为1-，则常数=k _______．14. 已知四棱柱1111D C B A ABCD -中，侧棱⊥1AA 底面ABCD ，且21=AA ，底面ABCD 的边长均大于2，且︒=∠45DAB ，点P 在底面ABCD 内运动，且在AB ，AD 上的射影分别为M ，N ，若|PA|=2，则三棱锥MN D P 1-体积的最大值为______．15．(理)（在下列两题中任选一题，若两题都做，按第①题给分）①．以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数，R ϕ∈）上的点到曲线cos sin 4(,)R ρθρθρθ+=∈的最短距离是 ②．（不等式选做题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 .． 15(文). 若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16、（本题满分12分）在△ABC 中，7cos 25A =-，3cos 5B =.（1）求sinC 的值；（2）设BC ＝5，求△ABC 的面积.17、（本题满分12分）（理）已知数列｛an}满足：a1＝1，1n na +＝2(n 十1)an ＋n （n ＋1），（*n N ∈），（1）若1nn a b n =+，试证明数列｛bn}为等比数列；（2）求数列｛an}的通项公式an 与前n 项和Sn ．（文）已知数列{an}的各项均为正数，其前n 项和为Sn，且n a =1，*n N ∈，数列1b ，21b b -，32b b -……，1n n b b --是首项为1，公比为12的等比数列.（1）求证：数列{an}是等差数列；（2）若n n n c a b =，求数列{cn}的前n 项和Tn.18. （本题满分12分）（理）已知正方形ABCD 的边长为2，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点．（1）在正方形ABCD 内部随机取一点P，求满足||PH <（2）从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ．（2）已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.8．若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率．QPABC19. （本题满分12分）（理）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PC 底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，CD AB //，222===CD AD AB ，E 是PB 的中点.（1）求证：平面⊥EAC 平面PBC ；（2）若二面角E AC P --的余弦值为36，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.（文）在空间几何体PQ ABC -中，PA ⊥平面ABC ，平面QBC ⊥平面ABC ，AB AC =，QB QC =．（1）求证：//PA 平面QBC ；（2）如果PQ ⊥平面QBC ，求证：Q PBC P ABCV V --=．20. （本题满分13分）（理）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为)0,1(1-F ，P 为椭圆G 的上顶点，且︒=∠451O PF（1）求椭圆G 的标准方程；（2）已知直线11:m kx y l +=与椭圆G 交于A 、B 两点，直线)(:2122m m m kx y l ≠+=与椭圆G 交于C 、D 两点，且CDAB =，如图所示.（i ）证明：021=+m m ；（ii ）求四边形ABCD 的面积S 的最大值.（文）四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线2y x =上，A ，C 关于y 轴对称，BD 平行于抛物线在点C 处的切线.（1）证明：AC 平分BAD ∠；（2）若点A 坐标为(1,1)-，四边形ABCD 的面积为4，求直线BD 的方程.21. （本题满分14分）（理）已知)(,2121xxxx=/是函数)0()(223>-+=axabxaxxf的两个极值点．(1)若11-=x，22=x，求函数)(xf的解析式；(2)若22||||21=+xx，求实数b的最大值；(3)设函数)()()(1xxaxfxg--'=，若21xx<，且ax=2，求函数)(xg在),(21xx内的最小值．(用a表示)（文）若函数()x f 满足：在定义域内存在实数0x ，使()()()k f x f k x f +=+00(k 为常数)，则称“f （x ）关于k 可线性分解”．（1）函数()22x x f x +=是否关于1可线性分解?请说明理由；（2）已知函数()1ln +-=ax x x g ()0>a 关于a 可线性分解，求a 的取值范围；参考答案一、选择题：每小题5分，共50分．二、填空题：每小题5分，共25分．11．(理)120（文）12； 12．i =7； 13．9； 14．312-；15．1；○242≤≤-a （文）42≤≤-a 三、解答题：（本大题共6小题共75分）16、解：（1）在ABC ∆中，∵7cos 25A =-，24sin 25A ∴=又∵34c o s s i n 55B B =∴=Q 12544sin cos cos sin )sin(sin =+=+=∴B A B A B A C ;（2）由正弦定理知：625sin sin ==A B BC AC311sin 21=⋅⋅=∴∆C AC BC S ABC17．（理）解：(1)121)1()1(211+=+⇒+++=++n a n a n n a n na nn n n ，)1(222111+=+=+++n an a n a n n n 得，即n n b b 21=+， 21=b 又,{}n b 所以是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由(1)知),12(212b -=⇒=+⇒=n n n nn n n a n a∴231(21)2(21)3(21)(21)nnS n =⨯-+⨯-+⨯-++-K 231222322(123)n n n =⨯+⨯+⨯++⋅-++++K K23(1)12223222n n n n +=⨯+⨯+⨯++⋅-K .令231222322nn T n =⨯+⨯+⨯++⋅K ，则234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅K ，两式相减得：23112(12)22222212n n n n n T n n ++--=++++-⋅=-⋅-K ，22)1(2)21(211+⋅-=⋅+-=++n n n n n n T .∴2)1(22)1(1+-+⋅-=+n n n S n n .(文)解（1）∵1n a =-，21(1)4n n S a ∴=+当2211112,(1)(1)44n n n n n n a S S a a --≥=-=+-+22111(22)4n n n n a a a a --=+--即11()(2)0n n n n a a a a --+--=，12n n a a -∴-= 又11a =故数列{}n a 是等差数列.且21na n =-;（2）∵12132111()()()22n n n n b b b b b b b b --=+-+-++-=-L L∴11121(21)(2)2(21)22n n n n c n n ---=--=--先求数列1212n n --⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n A . ∵2313572112222n n n A --=+++++K2312311135232122222212222211222222n n n n n nn n A n A ----=+++++-∴=+++++-K K211123232336262222n n n n n n n n n A A T n --+++=-∴=-∴=+-.18.（理）解：（1）所有点P 构成的平面区域是正方形ABCD 的内部，其面积是224⨯=．满足||PH <P 构成的平面区域是以H为半径的圆的内部与正方形ABCD 内部的公共部分，它可以看作是由一个以H为半径、圆心角为2π的扇形HEG 的内部（即四分之一个圆）与两个直角边为1的等腰直角三角形（△AEH 和△DGH ）内部构成．其面积是2112111422π⨯π⨯+⨯⨯⨯=+．所以满足||PH <112484π+π=+．（2）从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，任意选取两个点，共可构成28C 28=条不同的线段．其中长度为1的线段有84条，长度为2的线段有6的线段有8条，长度为的线段有2条．所以ξ所有可能的取值为12．且()821287P ξ===，(41287P ξ===， ()6322814P ξ===，(82287P ξ===，(212814P ξ===．所以随机变量ξ的分布列为：ξ122522P27 1731427114随机变量ξ的数学期望为213211225227714714E ξ=⨯++⨯++52225++=4.42 4.62 4.82 4.95.14.78⨯+⨯+⨯++=．所以任意抽取两个文科班学生视力的平均值数对有()4.34.4，，()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，，()4.34.8，，()4.44.5，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.6，，()4.54.7，，()4.54.8，，()4.64.7，，()4.64.8，，()4.74.8，，共15种情形．其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的有()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，，()4.34.8，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.7，，()4.54.8，，()4.64.8，，共10种．所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为102=153 19．（理）解：（1）⊥PC Θ平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，PC AC ⊥∴，2=AB Θ，1==CD AD ，2==∴BC AC222AB BC AC =+∴，BC AC ⊥∴又C PC BC =I ，⊥∴AC 平面PBC ，⊂AC Θ平面EAC ，∴平面⊥EAC 平面PBC（2）以C 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则C （0，0，0），A （1，1，0），B （1，－1，0）.设P （0，0，a ）（a>0），则E （21，21-，2a ），)0,1,1(=CA ，),0,0(a CP =，)2,21,21(aCE -=，取m u r=（1，－1，0）则0m CP m CA ⋅=⋅=u r u u u r u r u u u r ，∴m u r 为面PAC 的法向量设(,,)n x y z =r 为面EAC 的法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=r u u u r r u u u r ，即⎩⎨⎧=+-=+0,0az y x y x ，取a x =，a y -=，2-=z ，则(,,2)n a a =--r，依题意，26cos ,2m n m n m na ⋅<>===+u r r u r ru r r ，则2=a于是(2,2,2)n =--r设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sin cos ,PA n PA n PA nθ⋅=<>==u u u r r u u u r r u u u r r ，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为32（文）解：（I ）如图，取BC 中点D ，连QD ，由QB QC =得QD BC ⊥，∵平面QBC ⊥平面ABC ， ∴QD ⊥平面ABC ，又∵PA ⊥平面ABC ， ∴QD ∥PA ，又∵QD ⊆平面QBC ， ∴PA ∥平面QBC ．（2）连接AD ，则AD BC ⊥．∵平面QBC ⊥平面ABC ，面QBC ∩面ABC BC =， ∴AD ⊥平面QBC ．又∵PQ QBC ⊥平面，∴PQ ∥AD ．又由（1）知，四边形APQD 是矩形， ∴PQ AD =，PA QD =．∴11()32Q PBC P QBC V V BC QD PQ--==⋅⋅⋅⋅，而11()32P ABC V BC AD PA -=⋅⋅⋅⋅，则Q PBC P ABCV V --=．20.（理）解：（1）设椭圆G 的标准方程为12222=+b y a x （a>b>0）因为)0,1(1-F ,︒=∠451O PF ，所以b=c=12222=+=∴c b a∴椭圆G 的标准方程为1222=+y x（2）设A （11,y x ），B （22,y x ），),(33y x C ，D （44,y x ）（i ）证明：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12,221y x m kx y ，消去y 得0224)21(21122=-+++m x km x k 则0)12(8212>+-=∆m k ，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+2212121212122,214k m x x k km x xPA2122122212214)(1)()(x x x x k y y x x AB -++=-+-=∴2212222122122112122212242141k m k k k m k km k++-+=+-⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=同理222222112122k m k kCD ++-+=ΘCD AB =，∴222222212221121222112122k m k k km k k ++-+=++-+Θ21m m ≠，∴021=+m m（ii ）解：由题意得四边形ABCD 是平行四边形，设两平行线AB ，CD 间的距离为d ，则2211k m m d +-=，因为021=+m m ，∴2112k m d +=∴2122122122112122k m k m k k d AB S +⋅++-+=⋅=22212122421)12(24221212221212=+++-≤++-=k m m k k m m k当且仅当212212m k =+时，四边形ABCD 的面积S 取得最大值，且最大值为22（文）（1）设A(x0，x20)，B(x1，x21)，C(－x0，x20)，D(x2，x22)．对y ＝x2求导，得y '＝2x ，则抛物线在点C 处的切线斜率为－2x0．直线BD 的斜率k ＝x22－x21x2－x1＝x1＋x2，依题意，有x1＋x2＝－2x0．记直线AB ，AD 的斜率分别为k1，k2，与BD 的斜率求法同理，得 k1＋k2＝(x0＋x1)＋(x0＋x2)＝2x0＋(x1＋x2)＝0，所以∠CAB ＝∠CAD ，即AC 平分∠BAD ．（2）由题设，x0＝－1，x1＋x2＝2，k ＝2．四边形ABCD 的面积 S ＝ 1 2|AC|·|x22－x21|＝ 1 2|AC|·|x2＋x1|·|x22－x1| ＝12×2×2×|2－2x1|＝4|1－x1|，由已知，4|1－x1|＝4，得x1＝0，或x1＝2．所以点B 和D 的坐标为(0，0)和(2，4)，故直线BD 的方程为y ＝2x ．21．（理）解：)0(23)(22>-+='a a bx ax x f ．(1)因为11-=x ，22=x 是函数)(x f 的两个极值点，所以0)1(=-'f ，0)2(='f ．（2分）所以0232=--a b a ，04122=-+a b a ，解得6=a ，9-=b ．所以x x x x f 3696)(23--=．（4分）(2)因为)(,2121x x x x =/是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点，所以0)()(21='='x f x f ，所以21,x x 是方程)0(02322>=-+a a bx ax 的两根，因为32124a b +=∆，所以0>∆对一切0>a ，R b ∈恒成立，而a b x x 3221-=+，321ax x -=，又0>a ，所以021<x x ，所以||||||2121x x x x -=+=-+=212214)(x x x x a a b a a b 3494)3(4)32(222+=---，由22||||21=+x x ，得22349422=+a a b ，所以-=6(322a b )a ．因为02≥b ，所以0)6(32≥-a a ，即60≤<a ．令)6(3)(2a a a h -=，则a a a h 369)(2+-='．当40<<a 时，0)(>'a h ，所以)(a h 在(0，4)上是增函数；当64<<a 时，0)(<'a h ，所以)(a h 在(4，6)上是减函数．所以当4=a 时，)(a h 有极大值为96，所以)(a h 在]6,0(上的最大值是96，所以b 的最大值是64．(3)因为21,x x 是方程0)(='x f 的两根，且)0(23)(22>-+='a a bx ax x f ，所以321a x x -=，又a x =2，311-=x ，所以))((3)(21x x x x a x f --='))(31(3a x x a -+=，所以)()()(1x x a x f x g --'=+--+=x a a x x a ())(31(3)31)(31(3)31--+=a x x a ，其对称轴为2a x =，因为0>a ，所以),31(2a a -∈，即),(221x x a ∈，所以在),(21x x 内函数)(x g 的最小值==)2()(mina g x g )312)(312(3--+a a a a 221(32)3()=2312a a a a +=-+-（文）解：（1）函数()22x x f x +=的定义域是R ，若是关于1可线性分解，则定义域内存在实数0x ，使得()()()1100f x f x f +=+．构造函数()()()()11f x f x f x h --+=()12212221----++=+x x x x ()1221-+=-x x ．∵()10-=h ，()21=h 且()x h 在[]0,1上是连续的，∴()x h 在[]0,1上至少存在一个零点．即存在[]00,1x ∈，使()()()1100f x f x f +=+．另解：函数()22x x f x +=关于1可线性分解，由()()()11f x f x f +=+，得()3212221++=+++x x x x ．即222+-=x x．作函数()xx g 2=与()22+-=x x h 的图象，由图象可以看出，存在∈0x R ，使222+-=x x ，即()()()1100f x f x f +=+)成立．（2）()x g 的定义域为()+∞,0．由已知，存在00>x ，使()()()a g x g a x g +=+00．即()()1ln 1ln 1ln 20000+-++-=++-+a a ax x a x a a x ．整理，得()1ln ln ln 00++=+a x a x ，即())e ln(ln 00ax a x =+．∴e 00ax x a =+，所以1e 0-=a ax ．由01e 0>-=a a x 且0>a ，得e 1>a ． ∴a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛+∞,e1．高考模拟数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数i ii z (1)1(2+-=为虚数单位)的虚部为（）A ．1 B. -1 C. 1± D. 2．已知全集U=R ，设函数y=lg(x-1)的定义域为集合A ，函数y=22+x 的值域为集合B ，则A∩(C U B)= （） A ．[1,2] B ．[1, 2) C ．(1,2]D ．(1,2)3. 设βα、为两个不同的平面，m 、n 为两条不同的直线，且,m n αβ⊂⊂,有两个命题：p ：若//m n ，则//αβ；q ：若m β⊥，则αβ⊥；那么（）A ．“p 或q ”是假命题B ．“p 且q ”是真命题C ．“非p 或q ” 是假命题D ．“非p 且q ”是真命题 4.在应用数学归纳法证明凸n 变形的对角线为)3(21-n n 条时，第一步检验n 等于（） A. 1 B.2 C ．3 D ．05．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny ++= 上,其中0mn >,则12m n+的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D ．146.已知5OA 1,OB AOB 6π==∠=u u u r u u u r ，点C 在∠AOB 外且OB OC 0.•=u u u r u u u r 设实数,m n 满足OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，则mn等于（）A ．2BC ．-2D ．7. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A ．23π B.8π3 C ．4 3 D.16π38．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝ tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx＋π6的图象重合，则ω的最小值为( ) A.16B. 12C.13D. 14A. 0B. ln 2C. 2ln 2e -+D.1ln 2+10.能够把圆O 1622=+y x 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的 “和谐函数”,下列函数不是．．圆O 的“和谐函数”的是（） A ．()xxf x e e-=+ B ． 5()15x f x nx -=+ C ．()tan 2x f x = D ．3()4f x x x =+ 11．设二元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+014y 2x 0,8y x 0,192y x 所表示的平面区域为M ，使函数y=a x(a>0, a≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是（） A ．[1, 3]B ．[2, 10]C ．[2, 9]D ．[10, 9]12.给出下列四个结论： ①“22ab >”是 “22log log a b >”的充要条件;②命题“若m >0，则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题为：“若方程20x x m +-=没有实数根，则0≤m ”； ③函数(4)ln(2)()3x x f x x --=-只有1个零点。

广东省广州市广东实验中学2019-2020学年高三第三次阶段考试理科数学试题(解析版)

广东实验中学2020届高三级第三次阶段考试数学（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}260A x x x =--<，集合{}2|log 1B x x =<，则AB =（）A. ()2,3-B. (),3-∞C. ()2,2-D. ()0,2【答案】A 【解析】【分析】先由二次不等式的解法得{}|23A x x =-<<，由对数不等式的解法得{}|02B x x =<<，再结合集合并集的运算即可得解.【详解】解不等式260x x --<,解得23x -<<,则{}|23A x x =-<<,解不等式2log 1x <,解得02x <<,即{}|02B x x =<<, 即AB =()2,3-,故选:A.【点睛】本题考查了二次不等式的解法及对数不等式的解法，重点考查了集合并集的运算，属基础题.2.己知i 是虚数单位，复数z 满足1zi z=-，则z 的模是( ) A. 1B.12C.2【答案】C 【解析】【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．【详解】1zz=-i ， ∴z ＝i -zi ， ∴z 1(1)11222i i i i i ===++-， ∴|z|2==，故选：C ．【点睛】本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．3.若2,a ln =125b -=，201cos 2c xdx π=⎰，则,,a b c 的大小关系（）A. a b c <<B. b a c <<C. c b a <<D. b c a <<【答案】D 【解析】【分析】利用对数函数的性质，以及微积分定理与12比较即可.【详解】12,2a ln =>=121,25b -=<== ()02111cos sin 22220c xdx x ππ=⎰=⨯=，故选：D【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的性质，微积分定理，考查利用中间量比较大小，属于常考题型.4.若2sin cos 12x x π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则cos2x =（）A. 89-B. 79-C.79D. -1【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式化简得到sin x ，再结合二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】2sin sin 1x x +=，即1sin 3x =所以22cos 212sin 1799x x =-=-= 故选C【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值，属于基础题.5.(,2)m ∈-∞-是方程222156x y m m m +=---表示的图形为双曲线的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分析】方程表示双曲线，可得()()()5320m m m --+<，解得m 范围即可判断出结论，解得m 范围即可判断出结论．【详解】由方程222156x y m m m +=---表示的图形为双曲线，可得()()2560m m m ---<，即()()()5320m m m --+<即2m <-，或35m <<， ∴ (,2)m ∈-∞-是方程222156x y m m m +=---表示的图形为双曲线的充分不必要条件，故选：A【点睛】本题考查了双曲线的标准方程、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.点P 是ABC △所在平面上一点，若2355AP AB AC =+，则ABP △与ACP △的面积之比是（）【A.35B.52C.32D.23【答案】C 【解析】【分析】由向量的线性运算可得32=BP PC ，即点P 在线段AB 上，且32=BP PC ,由三角形面积公式可得:ABP S ∆APC S ∆:3:2BP PC ==，得解.【详解】解：因为点P 是ABC △所在平面上一点，又2355AP AB AC =+，所以2233-=-5555AP AB AC AP ,即23=55BP PC ,即32=BP PC ，则点P 在线段BC 上，且32=BP PC , 又1sin 2APC S AP PC APC ∆=∠，1sin 2ABP S AP BP APB ∆=∠, 又APB APC π∠+∠=，即sin sin APC APB ∠=∠，所以点P 在线段BC 上，且32=BP PC , :ABP S ∆APC S ∆1sin :2AP BP APB =∠1sin 2AP PC APC ∠:3:2BP PC ==，故选C.【点睛】本题考查了向量的线性运算及三角形的面积公式，重点考查了运算能力，属中档题.7.已知()121sin 221x xf x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，则函数()y f x =的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】由函数解析式可得()()f x f x =-，则函数()y f x =为偶函数，其图像关于y 轴对称，再取特殊变量4π得04f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，即可得在()0,∞+存在变量使得()0f x <，再观察图像即可. 【详解】解：因为()121sin 221xxf x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，则()121sin 221x x f x x x ---⎛⎫-=-+⋅ ⎪+⎝⎭=121sin 221xx x x -⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭，即()()f x f x =-，则函数()y f x =为偶函数，其图像关于y 轴对称，不妨取4x π=，则 ()4421(08221f x πππ-=-<+，即在()0,∞+存在变量使得()0f x <，故选D.【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断及函数的图像，重点考查了函数的思想，属中档题.8.某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A. 24 B. 16 C. 8 D. 12【答案】B 【解析】【分析】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解．【详解】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有222A =种情况；（2）将这个整体与英语全排列，有222A =中顺序，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2中情况，则数学、物理的安排方法有224⨯=种，所以不同的排课方法的种数是22416⨯⨯=种，故选B ．【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答红注意特殊问题和相邻问题与不能相邻问题的处理方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．9.已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是（）A. 3(0,]5B. 13[,]25C. 13[,]24D. 15[,)22【答案】B【解析】【分析】先化简()f x ，再根据正弦函数性质列方程与不等式，解得结果.【详解】222()2sin cos ()sin sin (1cos())sin 422x f x x x x x x ωππωωωωω=--=+-- 2sin (1sin )sin sin x x x x ωωωω=+-=因为()f x 在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，所以255,,236222ππωπωπππωπ-≤-≤≤<，即13[,]25ω∈ 故选B点睛】本题考查二倍角余弦公式、辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.10.设变量y 满足约束条件342y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则z ＝|x －3y |的最大值为( )A. 8B. 4C. 2D.5【答案】A 【解析】由题意作出满足条件的可行域如图中阴影部分，【则对于目标函数z=|x ﹣3y |，平移直线y=13x 可知，当直线经过点A （﹣2，2）时，z=|x ﹣3y |取得最大值，代值计算可得z max =|﹣2﹣3×2|=8．故选A ．11.AOB 中，OA a OB b ==，，满足||2a b a b ⋅=-=，则AOB ∆的面积的最大值为（）A. B. 2C.D. 【答案】A 【解析】【分析】利用数量积公式以及平方关系计算得到sin AOB ∠，利用模长公式以及基本不等式得到||||4a b ≤，结合三角形面积公式化简即可求解.【详解】||||cos 2a b a b AOB ⋅=∠=,即2cos ||||AOB a b ∠=2(||||)4sin |||||||a b AOB a b a b -∴∠==⎪⎭22||||2||2a b a a b b -=-⋅+= ，即228||||2||||a b a b =+≥所以||||4a b ≤ 所以22(||||)41111||||sin ||||=(||||)4164=3222|||AOBa b S a b AOB a b a b a b ∆-=∠=-≤-故选A【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.12.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上有一点P ，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点Q 在线段2PF 的延长线上，且1,QF QP ⊥15sin 13F PQ ∠=，则该椭圆离心率的取值范围是（）A. ⎫⎪⎪⎝⎭B. 15⎛ ⎝⎭C. 1,52⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D. 2⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】要求出离心率的取值范围，得列出不等关系，解出e 的取值范围；首先满足QF 1⊥QP ，点Q 在椭圆的内部，故点Q 轨迹在以F 1F 2为直径，原点为圆心的圆上，且圆在椭圆的内部，圆半径c ＜椭圆短半轴b ，由a 2﹣c 2＝b 2，可解得e 的一个范围；其次由sin ∠F 1QF 2，可求得cos ∠F 1QF 2．在△PF 1F 2中，而|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|+|PF 2|＝2a 是定值，由基本不等式可得PF 1|•|PF 2|122()2PF PF +≤；由余弦定理得4c2＝|PF 1|2+|PF 2|2﹣2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1QF 2，结合不等关系即可解出e 的取值范围．【详解】解：∵QF 1⊥QP ，∴点Q 在以F 1F 2为直径，原点为圆心的圆上，∵点Q 在椭圆的内部，∴以F 1F 2为直径的圆在椭圆内，∴c ＜b ；∴c 2＜a 2﹣c 2，∴212e ＜，故0＜e 2∵sin ∠F 1PQ 513=，∴cos ∠F 1PQ 1213=；设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝n ，而|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|+|PF 2|＝m +n ＝2a ，在△PF 1F 2中，由余弦定理得 4c 22212213m n mn =+-⋅． ∴4c 2＝（m +n ）2﹣2mn ﹣2mn •1213；即4c 2＝4a 25013-mn ；∴mn ()222625a c =-；由基本不等式得：mn 2()2m n +≤=a 2，当且仅当m ＝n 时取等号；由题意知：QF 1⊥QP ，∴m ≠n ，∴mn 2()2m n +=＜a 2， ∴()222625a c -＜a 2∴a 2＜26c 2；故2126e ＞，∴e综上可得：26e 2．故选：D ．【点睛】本题考查了椭圆的性质、圆的性质，余弦定理、基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数()3ln 2f x x x x =+，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是___________．【答案】750x y --= 【解析】【分析】先求函数()f x 的导函数()'fx ，再由导数的几何意义，求()'17f =，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线的斜率为7，再由直线的点斜式方程求解即可.【详解】解：因为()3ln 2f x x x x =+，所以()'2ln 16fx x x =++，则()'21ln11617f =++⨯=，即曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是27(1)y x -=-，即750x y --=，故答案为750x y --=.【点睛】本题考查了导数的几何意义、直线的点斜式方程，重点考查了导数的应用及运算能力，属基础题.14.()422x x --的展开式中，3x 的系数为．（用数字填写答案）【答案】40- 【解析】试题分析：()422x x --()422x x ⎡⎤=-+⎣⎦展开后只有()42x +与()33242C x x -+中含3x 项其系数和为133124432240C C C ⨯-⨯⨯=-，故答案为40-.考点：二项展开式定理.15.己知函数sin ()xx af x e-=有极值，则实数a 的取值范围为_____________【答案】( 【解析】【分析】求出函数的导函数，则cos sin ()xx x af x e -+'=有可变零点，求三角函数的值域得到结果.【详解】由sin ()x x a f x e -=可得：cos sin ()xx x af x e -+'=，∵函数sin ()xx af x e-=有极值， ∴cos sin ()xx x af x e-+'=有可变零点，∴cos sin 0x x a -+=，即sin cos 4a x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，∴(a ∈故答案为：( 【点睛】本题考查函数存在极值条件，考查三角函数的值域问题，考查转化思想，属于中档题.16.点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，5,AC =4,BC =将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使B DC '∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后AB '的最小值是_______．【解析】【分析】过点B ′作B ′E ⊥CD 于E ，连结BE ，AE ，设∠BCD ＝∠B ′CD ＝α，则有B ′E ＝4sin α，CE ＝4cos α，2ACE πα∠=-，由此利用余弦定理、勾股定理能求出当4πα=时，AB．【详解】解：过点B ′作B ′E ⊥CD 于E ，连结BE ，AE ，设∠BCD ＝∠B ′CD ＝α，则有B ′E ＝4sin α，CE ＝4cos α，2ACE πα∠=-，在△AEC 中，由余弦定理得：222516402AE cos cos cos πααα⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭＝25+16cos 2α﹣40sin αcos α，在Rt △AEB ′中，由勾股定理得：AB '2＝AE 2+B ′E 2＝25+16cos 2α﹣40sin αcos α+16sin 2α＝41﹣20sin2α， ∴当4πα=时，AB的【点睛】本题考查线段长的最小值的求法，考查余弦定理、勾股定理、直二面角等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比是正数的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，已知．1122331,3,8,15a b a b T S ==+=-= (Ⅰ)求{}{},n n a b 的通项公式； (Ⅱ)若数列{}n c 满足11211222n n n n a c a c a c n +--+++=--对任意*n N ∈都成立；求证：数列{}n c 是等比数列．【答案】（1）1,32n n n a n b -==⋅；（2）证明见解析．【解析】(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为(0)q q >2375d q q q d +=+-=由题意得……………………………………………………………2分2375d q q q d +=+-=解得………………………………………………………5分(Ⅱ)由知两式相减：………………………………8分…………………………………………………………………10分当时，，适合上式即是等比数列…………………………18.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.(1)求证：AD⊥平面BFED；(2)点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）θ最小值为60°【解析】【分析】（1）在梯形ABCD 中，利用勾股定理，得到AD ⊥BD ，再结合面面垂直的判定，证得DE ⊥平面ABCD ，即可证得AD ⊥平面BFED ；（2）以D 为原点，直线DA ，DB ，DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面PAB 与平面ADE 法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．【详解】（1）证明：在梯形ABCD 中，∵AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠BCD ＝120°，∴AB ＝2. ∴BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos 60°＝3. ∴AB 2＝AD 2＋BD 2，∴AD ⊥BD .∵平面BFED ⊥平面ABCD ，平面BFED ∩平面ABCD ＝BD ， DE ⊂平面BFED ，DE ⊥DB ，∴DE ⊥平面ABCD ， ∴DE ⊥AD ，又DE ∩BD ＝D ，∴AD ⊥平面BFED .（1）由(1)知，直线AD ，BD ，ED 两两垂直，故以D 为原点，直线DA ，DB ，DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，令EP ＝λ(0≤λ，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (00)，P (0，λ，1)，所以AB ＝(－10)，BP ＝(0，λ1)．设n 1＝(x ，y ，z )为平面PAB 的法向量，由1100n AB n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00x y z λ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，取y ＝1，则n 1＝1λ)．因为n 2＝(0,1,0)是平面ADE 的一个法向量，所以cos θ＝1212n n n n ⋅＝214+. 因为0≤λλ时，cos θ有最大值12，所以θ的最小值为60°.【点睛】本题考查了线面垂直关系的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()12,0F -，点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N . （1）求椭圆C 的方程；（2）以MN 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．【答案】（Ⅰ）22184x y +=；（Ⅱ）经过两定点()12,0P ，()22,0P -. 【解析】试题分析：（Ⅰ）椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=．由点(2,B 在椭圆C 上，得22421a b +=，进而解出,a b 得到椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=联立，解得,E F 的坐标（用k 表示），设出AE ，AF 的方程，解出,M N 的坐标，圆方程用k 表示，最后可求得MN 为直径的圆经过两定点.试题解析：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=．因为点(2,B 在椭圆C 上，所以22421a b+=．由①②解得，a =2b =．所以椭圆C 的方程为22184x y +=．（Ⅱ）因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ，设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．联立方程组22,{184y kx x y =+=消去y 得22812x k =+．所以0x =，则0y =．所以直线AE的方程为y x =+．因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，令0x =得y =，即点M ⎛⎫⎝．同理可得点N ⎛⎫ ⎝．所以MN ==设MN 的中点为P ，则点P的坐标为0,P ⎛ ⎝⎭．则以MN为直径的圆的方程为22x y k ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭2，即224x y y k++=．令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．考点：1、待定系数法求椭圆；2、圆的方程及几何意义.20.某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）. （2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布())2,N μσ，经计算第（1）问中样本标准差s 的近似值为50．用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.参考数据：若随机变量服从正态分布()2N μσ，，则()0.6827P μσξμσ-<+≈…，(33)0.9973P μσξμσ-<+≈…，(22)0.9545P μσξμσ-<+≈….（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券3万元．已知硬币出现正、反面的概率都是0.5方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次．若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k 到1k +）若掷出反面遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第1(1)9n n 剟格的概率为P 试证明{}1n n P P --是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值．【答案】（1）300；（2）0.8186；（3）证明见解析，期望值为201212⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，约2万元.【解析】【分析】 0000(1)利用每组中点值乘以其频率,再求和即可得到平均值； (2)由(1)可知300μ=，利用0.95450.6827(250400)0.95452P X -<≤≈-求解即可；(3)根据题意可知：得出移到第n 格两种方式①遥控车先到第2n -格，又掷出反面；②遥控车先到第1n -格，又掷出正面，由此得到211122n n n P P P --=+，利用定义证明其为等比数列，结合累加法得出n P 的表达式，由此得到19P ，20P ，根据题意得出参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为X 万元，3X =或0，分别求出3X =或0的概率，然后求出期望即可.【详解】（1）0.002502050.004502550.00950305x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.004503550.00150405300+⨯⨯+⨯⨯=（千米）（2）因为X 服从正态分布2(300,50)N所以0.95450.6827(250400)0.95450.81862P X -<≤≈-=（3）遥控车开始在第0格为必然事件，01P =，第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为12,即112P =．遥控车移到第n （219n 剟）格的情况是下列两种，而且也只有两种． ①遥控车先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P - ②遥控车先到第1n -格，又掷出正面，其概率为112n P - 所以211122n n n P P P --=+，1121()2n n n n P P P P ---∴-=--∴当119n 剟时，数列1{}n n P P --是公比为12-的等比数列 2312132111111,(),(),()2222nn n P P P P P P P -∴-=--=--=-⋅⋅⋅-=- 以上各式相加，得2311111()()()()2222nn P -=-+-+-+⋅⋅⋅+-=11()1()32n ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦1211()32n n P +⎡⎤∴=--⎢⎥⎣⎦（0,1,2,,19n =⋅⋅⋅）， ∴获胜的概率2019211()32P ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦失败的概率1920181111232P P ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦（） ∴设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为X 万元，3X =或0∴X 的期望2019202111131()01()21()32322EX ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅-+⋅+=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为201212⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，约2万元.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图求平均数、正态分布求概率，等比数列的证明以及数学期望的求法，题目较为综合，考查面较广，属于难题. 21.已知函数sin ()()cos sin xf xg x x x x x==⋅-，.（1）判断函数()g x 在区间(0)3π，上零点的个数；（2）函数()f x 在区间(0)+∞，上的极值点从小到大分别为1234nx x x x x ，，，，，证明：（Ⅰ）()()120f x f x +<；（Ⅱ）对一切()()()()*1230n n N f x f x f x f x ∈++++<，成立.【答案】（1）两个零点；（2）（I ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】【分析】(1)对()g x 求导，利用导数得出函数()g x 的单调性，结合零点存在性定理即可得出零点的个数； (2) （Ⅰ）对函数()f x 求导，由(1)得出12x x ，的范围，进而得到21x x π>+，利用诱导公式即可得出()()120f x f x +<; （Ⅱ）由（Ⅰ）得出22n ππ+>221n n x x π->+>2n π，结合cos y x =的单调性确定221221()()cos cos 0n n n n f x f x x x --+=+<，且221()0,()0n n f x f x -><，对n 为偶数和奇数进行分类讨论，即可得出对一切()()()()*1230n n N f x f x f x f x ∈++++<，成立.【详解】（1）()cos sin cos sin g x x x x x x x '=--=- 当(]0x π∈，时，sin 0()0x g x '>∴<，()g x 在0π（，）上单调递减，()(0)0g x g <=，()g x ∴在(]0π，上无零点当(],2x ππ∈时，sin 0()0x g x '<∴>，()g x 2ππ（，）上单调递增，()0,(2)20,g g ππππ=-<=>()g x ∴在(]2ππ，上有唯一零点当(]2,3x ππ∈时，sin 0()0x g x '>∴<，()2,3)g x ππ在（上单调递减(2)0,(3)0g g ππ><，(]()2,3g x ππ∴在上有唯一零点综上，函数()g x 在区间()03π，上有两个零点．（2）cos sin ()2x x x f x x-'=（I ）由（1）知()f x 在(]0x π∈，无极值点；在(],2x ππ∈有极小值点，即为1x ；在(]2,3x ππ∈有极大值点，即为2x ，同理可得，在(]3,4ππ有极小值点3x ，在(],(1)n n ππ+有极值点n x .由cos sin 0n n n x x x -=得tan n n x x =21211tan tan tan(),x x x x x π>∴>=+35()0,()10,(2)0,()022g g g g ππππ<=-<>< 1235(,),(2,)22x x ππππ∴∈∈，215,(2,)2x x πππ+∈，由函数tan y x =在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，得21x x π>+，12121212sin sin ()()cos cos x x f x f x x x x x ∴+=+=+，由cos y x =在52,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减得211cos cos()cos x x x π<+=-∴12()()0f x f x +<；（Ⅱ）同理212((21),2),(2,2)22n n x n n x n n πππππ-∈--∈+，22n ππ+ >221n n x x π->+>2n π由cos y x =在2,2()2n n n N πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭上单调递减得221cos cos n n x x -<-221221()()cos cos 0n n n n f x f x x x --∴+=+<，且221()0,()0n n f x f x -><当n 为偶数时，从1()f x 开始相邻两项配对，每组和均为负值，即[][][]12341()(()()()()0n n f x f x f x f x f x f x -++++⋅⋅⋅++<），结论成立；当n 为奇数时，从1()f x 开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，即[][][]123421()()()()()()()0n n n f x f x f x f x f x f x f x --++++⋅⋅⋅+++<，结论也成立．综上，对一切n N +∈，123()()()()0n f x f x f x f x +++⋅⋅⋅+<成立.【点睛】本题主要考查了导数在研究函数性质的应用、零点存在性定理、余弦函数的单调性，考查面较广，属于难题.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=，[)0,2θ∈π. （1）求1C 的直角坐标方程；（2）曲线2C 的参数方程为cos 6sin6x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），求1C 与2C 的公共点的极坐标.【答案】(1) 22(2)1x y -+=(2) 6π⎫⎪⎭【解析】【详解】（1）将222{cos x y xρρθ=+=代入24cos 30ρρθ-+=得：()2221x y -+=. （2）由题设可知，2C 是过坐标原点，倾斜角为6π的直线，因此2C 的极坐标方程为6πθ=或7,06πθρ=>，将6πθ=代入21:30C ρ-+=，解得：ρ=将76θπ=代入1C得ρ=12,C C 公共点极坐标为6π⎫⎪⎭．23.设()f x x 1x 1=-++ . (1)求()f x x 2≤+ 的解集;(2)若不等式()a 12a 1f x a +--≥,对任意实数a 0≠恒成立,求实数x 的取值范围.【答案】(1) []0,2(233)22x x ≤-≥或. 【解析】试题分析：(1)分情况讨论去绝对值求解即可；(2)整理,再结合绝对值三角不等式可得121111112123a a aa a a a+--=+--≤++-=，再解不等式113x x -++≥即可. 试题解析：(1)由()f x x 2≤+有201112x x x x x +≥⎧⎪≤-⎨⎪---≤+⎩或2011112x x x x x +≥⎧⎪-<<⎨⎪-++≤+⎩或201112x x x x x +≥⎧⎪≥⎨⎪-++≤+⎩解得0x 2≤≤,∴所求解集为[]0,2.(2a 12a 1)a+--=111112123a a a a+--≤++-=, 当且仅当11120a a ⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时取等号.由不等式()a 12a 1f x a+--≥对任意实数a 0≠恒成立,可得x 1x 13-++≥,解得33x x 22≤-≥或.。

【20套精选试卷合集】广东省惠州市实验中学2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案

高考模拟数学试卷数学（理）第I 卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设复数z 1，z 2在复平面、内的对应点关于实轴对称，z 1=1+i ，则z 1z 2=(A) -2 (B)2 (C)1一i (D)1+i(2)已知集合A={x|y=2x x -），B= {y| y=ln （1-x ）}，则A U B= (A) [0,1] (B) [0,1) (C) (一∞,1] (D) (一∞,1)(3)已知命题p ：函数f (x)=|cosx|的最小正周期为2π；命题q ：函数y=x 3+sinx 的图像关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是(A)p ∧q (B) p ∨ q (C)( p) ∧( q) (D)p ∨(q)(4)为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据 (x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(3，y 3)，(x 4，y 4)，(x 5，y 5)．根据收集到的数据可知x 1+x 2 +x 3 +x 4 +x 5 =150，由最小二乘法求得回归直线方程为y $= 0.67x+ 54.9，则y 1+y 2+y 3+y 4+y 5的值为 (A)75 (B)155.4 (C)375 (D)466.2 (5)(x 2一x+1)3展开式中x 项的系数为 (A) -3 (B) -1 (C)1 (D)3(6)从1，2，3，4，5，6，7，8中随机取出一个数为x ，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于40的概率为 (A) 34 (B)58(C)78 (D)12(7)若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为 (A)32 (B)94（C)1 (D)2 (8)甲乙两人从4门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有l 门不相同的选法共有 (A)30种 (B)36种 (C)60种 (D)72种(9)已知抛物线C ：y 2 =8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP=3FQ ，则|QF|= (A)83 (B)52(C)3 (D)2(10)如图格纸上小正方形的边长为l ，粗实线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(11)已知点P 在直线x+3y-2=0上，点Q 在直线x+3y+6=0上，线段PQ 的中点为M(x 0，y 0)，且y 0<x 0 +2，则y x 的取值范围是 (A)[一13，0） (B)（一13，0） (C)（一13，+∞） (D)（一∞，一13）U （0,+∞) (12)已知函数f(x)的定义域为D ，若对于∀a ，b ，c ∈D ，．f(a)，f (b)，f(c)分别为某个三角形的三边长，则称f(x)为“三角形函数”．给出‘F 列四个函数：①f(x)f=lnx(x>1)，②f(x)=4+sinx ，③f(x)= 13x (1≤x ≤8)，④f(x)= 2221x x ++，其中为“三角形函数”的个数是(A)1 (B)2 (C)3 (D)4第II 卷本卷包括必考题和选考题两个部分．第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答，第22 题～第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． (13)已知向量a=(1，3)，向量a ，c 的夹角是3π，a ·c=2，则|c|等于。

2020年高考模拟试卷广东省实验中学高考(理科)数学模拟试卷(解析版)

2020年高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题1．已知集合A＝{y|y＝1﹣x2，x∈[﹣1，1]}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A．[0，1]B．[﹣1，1]C．（0，1）D．∅2．若复数z满足（3﹣4i）z＝5（1﹣i），其中i为虚数单位，则z的虚部为（）A．1B．﹣C．D．﹣13．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．求下列函数的零点，可以采用二分法的是（）A．f（x）＝x4B．f（x）＝tan x+2（﹣＜x＜）C．f（x）＝cos x﹣1D．f（x）＝|2x﹣3|5．已知角α顶点为原点，始边与x轴非负半轴重合，点P（﹣，1）在终边上，则cos （α﹣）＝（）A．B．﹣C．D．﹣6．汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于，如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（）A．32B．40C．D．7．已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线＝1的两条渐近线分别交于A，B两点，若双曲线的离心率，那么|AB|＝（）A．2B．C．D．8．2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将2013年编号为1，2014年编号为2，…，2018年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析），得到回归直线，其相关指数R2＝0.9817，给出下列结论，其中正确的个数是（）①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个A．0B．1C．2D．39．对一个各边不相等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边染相同的颜色．则不同的染色方法共有（）种．A．24B．30C．36D．12010．已知ω＞0，函数f（x）＝cos（ωx+）在（，π）上单调递增，则ω的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]11．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝•＝2，则点集{P|＝λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（）A．B．C．D．12．设在R上可导的函数f（x）满足f（0）＝0，f（x）﹣f（﹣x）＝x3，并且在（﹣∞，0）上有f′（x）＜x2，实数a满足f（6﹣a）﹣f（a）≥﹣a3+3a2﹣18a+36，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，3]B．[3，+∞）C．[4，+∞]D．（﹣∞，4]二、填空题13．命题“∀x＞1，都有x2+1＞2”的否定是．14．设x，y满足约束条件：，则z＝x﹣10y的取值范围是．15．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则△ABC面积的最大值为．16．将正三棱锥P﹣ABC置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥”P﹣ABC﹣Q，如图，下列关于该“倒影三棱锥”的说法中，正确的有．①PQ⊥平面ABC；②若P，A，B，C在同一球面上，则Q也在该球面上；③若该“倒影三棱锥”存在外接球，则AB＝PA；④若AB＝PA，则PQ的中点必为“倒影三棱锥”外接球的球心．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知等差数列{a n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}中，b1＝1，b2＝2，从数列{a n}中取出第b n项记为c n，若{c n}是等比数列，求{b n}的前n项和T n．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP ＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求BE的长；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．19．如图，已知A（﹣1，0），B（1，0）Q、G分别为△ABC的外心、重心，QG∥AB．（1）求点C的轨迹E的方程．（2）是否存在过P（0，1）的直线L交曲线E与M，N两点且满足，若存在求出L的方程，若不存在请说明理由．20．已知函数f（x）＝xe x﹣a（lnx+x）．（1）若函数f（x）恒有两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意x＞0，恒有不等式f（x）≥1成立．①求实数a的值；②证明：x2e x＞（x+2）lnx+2sin x．21．工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p1，p2，p3，假设p1，p2，p3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q1，q2，q3，其中q1，q2，q3是p1，p2，p3的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数学期望）EX；（Ⅲ）假定1＞p1＞p2＞p3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，A点的直角坐标为（α为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，直线的极坐标方程为．（m为实数）．（1）试求出动点A的轨迹方程（用普通方程表示）（2）设A点对应的轨迹为曲线C，若曲线C上存在四个点到直线的距离为1，求实数m 的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝x﹣|x+2|﹣|x﹣3|﹣m，若∀x∈R，﹣4≥f（x）恒成立．（1）求m的取值范围；（2）求证：log（m+1）（m+2）＞log（m+2）（m+3）．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{y|y＝1﹣x2，x∈[﹣1，1]}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A．[0，1]B．[﹣1，1]C．（0，1）D．∅【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝[0，1]，B＝[﹣2，+∞），∴A∩B＝[0，1]．故选：A．2．若复数z满足（3﹣4i）z＝5（1﹣i），其中i为虚数单位，则z的虚部为（）A．1B．﹣C．D．﹣1【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由（3﹣4i）z＝5（1﹣i），得z＝＝．∴z的虚部为．故选：C．3．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【分析】由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2＜0，20.2＞1，0＜0.20.3＜1，从而得出a，b，c的大小关系．解：a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1，∵0＜0.20.3＜0.20＝1，∴c＝0.20.3∈（0，1），∴a＜c＜b，故选：B．4．求下列函数的零点，可以采用二分法的是（）A．f（x）＝x4B．f（x）＝tan x+2（﹣＜x＜）C．f（x）＝cos x﹣1D．f（x）＝|2x﹣3|【分析】求出函数的值域，即可判断选项的正误；解：f（x）＝x4不是单调函数，y≥0，不能用二分法求零点，f（x）＝tan x+2是单调函数，y∈R，能用二分法求零点．f（x）＝cos x﹣1不是单调函数，y≤0，不能用二分法求零点．f（x）＝|2x﹣3|，不是单调函数y≥0，不能用二分法求零点．故选：B．5．已知角α顶点为原点，始边与x轴非负半轴重合，点P（﹣，1）在终边上，则cos （α﹣）＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】根据题意求出cosα＝，sinα＝，利用两角和与差公式展开代入即可．解：根据题意，cosα＝，sinα＝，则cos（α﹣）＝cosαcos+sinαsin＝＝﹣，故选：B．6．汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于，如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（）A．32B．40C．D．【分析】首先把几何体的三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果．解：根据几何体的三视图：转换为几何体，它有半个圆锥和半个圆柱组成．故：，由于，所以：．故：．故选：C．7．已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线＝1的两条渐近线分别交于A，B两点，若双曲线的离心率，那么|AB|＝（）A．2B．C．D．【分析】分别求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，联立可得A，B的坐标，再由双曲线的离心率公式，以及a，b，c的关系式可得a，b的关系，即可得到所求|AB|．解：抛物线y2＝4x的准线为x＝﹣，双曲线＝1的两条渐近线为y＝±x，可得A（﹣，），B（（﹣，﹣），由e＝＝＝，可得＝，则|AB|＝2•＝2，故选：A．8．2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将2013年编号为1，2014年编号为2，…，2018年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析），得到回归直线，其相关指数R2＝0.9817，给出下列结论，其中正确的个数是（）①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个A．0B．1C．2D．3【分析】由散点图中各点分布情况和R2的值，判断①正确；由回归直线方程判断②正确；由回归直线方程计算x＝7时的值，判断③正确．解：由散点图中各点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又R2＝0.9817趋近于1，所以相关性较强，所以①正确；由回归直线方程，知②正确；由回归直线方程知，当x＝7时，计算得＝13.743×7+3095.7＝3191.9，其估计值为3191.9≈3192，所以③正确；综上知，正确的命题个数为3．故选：D．9．对一个各边不相等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边染相同的颜色．则不同的染色方法共有（）种．A．24B．30C．36D．120【分析】根据题意，分析可得：最短边选取一种颜色有3种情况．如果最短边的两个邻边颜色相同有2种情况；这时最后两个边也有2种情况．如果最短边的两个邻边颜色不同有2种情况，这时最后两个边有3种颜色．根据计数原理得到结果．解：最短边选取一种颜色有3种情况．如果最短边的两个邻边颜色相同有2种情况；这时最后两个边也有2种情况．如果最短边的两个邻边颜色不同有2种情况；这时最后两个边有3种颜色．∴方法共有3（2×2+2×3）＝30种．故选：B．10．已知ω＞0，函数f（x）＝cos（ωx+）在（，π）上单调递增，则ω的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]【分析】根据函数y＝cos x的单调递增区间，结合函数在（，π）上单调递增，得出关于ω的不等式（组），从而求出ω的取值范围．解：∵函数y＝cos x的单调递增区间是[﹣π+2kπ，2kπ]，k∈Z；∴﹣π+2kπ≤ωx+≤2kπ，k∈Z；解得：+≤x≤﹣（k∈Z），∵函数f（x）＝cos（ωx+）在（，π）上单调递增，∴（，π）⊆[+，﹣]（k∈Z），解得4k﹣≤ω≤2k﹣；又∵4k﹣﹣（2k﹣）≤0，且4k﹣＞0，∴k＝1，∴ω∈[，]．故选：D．11．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝•＝2，则点集{P|＝λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（）A．B．C．D．【分析】由两定点A，B满足＝＝2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用A，B的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．解：由两定点A，B满足＝＝2，＝﹣，则||2＝（﹣）2＝﹣2•+＝4，则||＝2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．不妨设A（），B（）．再设P（x，y）．由，得：．所以，解得①．由|λ|+|μ|≤1．所以①等价于或或或．可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，则区域面积为．故选：D．12．设在R上可导的函数f（x）满足f（0）＝0，f（x）﹣f（﹣x）＝x3，并且在（﹣∞，0）上有f′（x）＜x2，实数a满足f（6﹣a）﹣f（a）≥﹣a3+3a2﹣18a+36，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，3]B．[3，+∞）C．[4，+∞]D．（﹣∞，4]【分析】依题意，构造函数，可知函数g（x）为偶函数且在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，进而题设不等式等价于g（6﹣a）≥g（a），即|6﹣a|≥|a|，解出即可求得实数a的取值范围．解：设，则，故在区间（﹣∞，0）上单调递减，又，故函数g（x）为偶函数，在区间（0，+∞）上单调递增，而，故原不等式等价于g（6﹣a）≥g（a），即|6﹣a|≥|a|，解得a≤3．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．命题“∀x＞1，都有x2+1＞2”的否定是∃x＞1，有x2+1≤2．【分析】根据全称命题的否定是特称命题，进行判断即可．解：全称命题的否定是特称命题，得命题的否定是：∃x＞1，有x2+1≤2，故答案为：∃x＞1，有x2+1≤214．设x，y满足约束条件：，则z＝x﹣10y的取值范围是[﹣19，3]．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可解：由z＝x﹣10y得y＝x﹣z，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y＝x﹣z，由图象可知当直线y＝x﹣z，过点A（3，0）时，直线y＝x﹣z的截距最小，此时z最大为z＝3﹣0＝3，由图象可知当直线y＝x﹣z，过点B时，直线y＝x﹣z的截距最大，此时z最小，由，解得，即B（1，2），代入目标函数z＝x﹣10y，得z＝1﹣10×2＝﹣19，故﹣19≤z≤3，故答案为：[﹣19，3]．15．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则△ABC面积的最大值为．【分析】利用同角三角函数间的基本关系化简已知等式的左边，利用正弦定理化简已知的等式右边，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sin C不为0，可得出cos A的值，然后利用余弦定理表示出cos A，根据cos A的值，得出bc＝b2+c2﹣a2，再利用正弦定理表示出a，利用特殊角的三角函数值化简后，再利用基本不等式可得出bc的最大值，进而由sin A的值及bc的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．解：由r＝1，利用正弦定理可得：c＝2r sin C＝2sin C，b＝2r sin B＝2sin B，∵tan A＝，tan B＝，∴＝＝＝，∴sin A cos B＝cos A（2sin C﹣sin B）＝2sin C cos A﹣sin B cos A，即sin A cos B+cos A sin B＝sin（A+B）＝sin C＝2sin C cos A，∵sin C≠0，∴cos A＝，即A＝，∴cos A＝＝，∴bc＝b2+c2﹣a2＝b2+c2﹣（2r sin A）2＝b2+c2﹣3≥2bc﹣3，∴bc≤3（当且仅当b＝c时，取等号），∴△ABC面积为S＝bc sin A≤×3×＝，则△ABC面积的最大值为：．故答案为：．16．将正三棱锥P﹣ABC置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥”P﹣ABC﹣Q，如图，下列关于该“倒影三棱锥”的说法中，正确的有①④．①PQ⊥平面ABC；②若P，A，B，C在同一球面上，则Q也在该球面上；③若该“倒影三棱锥”存在外接球，则AB＝PA；④若AB＝PA，则PQ的中点必为“倒影三棱锥”外接球的球心．【分析】①②由‘’倒影三棱锥‘’的几何特征可知PQ⊥平面ABC．故①正确，当P，A，B，C在同一球面上时，若△ABC的外接圆不是球体的大圆，则Q不在该球面上，故②不正确，进而求解．解：①由‘’倒影三棱锥‘’的几何特征可知PQ⊥平面ABC．故①正确；当P，A，B，C在同一球面上时，若△ABC的外接圆不是球体的大圆，则Q不在该球面上，故②不正确；若该“倒影三棱锥”存在外接球，则三棱锥P﹣ABC的外接球半径与等边三角形ABC 外接圆的半径相等，可设为R，则AB＝2R×＝，所以AB＝，故③不正确；由③推导可知该“倒影三棱锥”外接球的球心为△ABC的中心，即PQ的中点，故④正确，故答案为：①④．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知等差数列{a n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}中，b1＝1，b2＝2，从数列{a n}中取出第b n项记为c n，若{c n}是等比数列，求{b n}的前n项和T n．【分析】（1）设等差数列的公差为d，由通项公式解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）分别求得c1，c2，可得公比，由等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，计算可得所求和．解：（1）差数列{a n}满足，可得a1+a2＝4，a1+a2+a2+a3＝12，设等差数列的公差为d，可得2a1+d＝4，4a1+4d＝12，解得a1＝1，d＝2，则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）由题意可得c1＝a＝a1＝1，c2＝a＝a2＝3，可得数列{c n}的公比为3，c n＝3n﹣1，由c n＝a＝2b n﹣1，可得b n＝（1+3n﹣1），{b n}的前n项和T n＝（1+3+…+3n﹣1）+n＝•+n＝．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP ＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求BE的长；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【分析】（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，求出＝（0，1，1），＝（2，0，0），由＝0，能证明BE⊥DC．（Ⅱ）由＝（0，1，1），能求出BE的长．（Ⅲ）由BF⊥AC，求出，进而求出平面FBA的法向量和平面ABP的法向量，由此利用向量法能求出二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意B（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1），D（0，2，0），＝（0，1，1），＝（2，0，0），∴＝0，∴BE⊥DC．（Ⅱ）解：∵＝（0，1，1），∴BE的长为||＝＝．（Ⅲ）解：∵，＝（2，2，0），由点F在棱PC上，设＝＝（﹣2λ，﹣2λ，2λ），0≤λ≤1，∴＝（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ），∵BF⊥AC，∴＝2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）＝0，解得，设平面FBA的法向量为，则，取c＝1，得＝（0，﹣3，1），取平面ABP的法向量＝（0，1，0），则二面角F﹣AB﹣P的平面角满足：cosα＝＝，∴二面角F﹣AB﹣P的余弦值为．19．如图，已知A（﹣1，0），B（1，0）Q、G分别为△ABC的外心、重心，QG∥AB．（1）求点C的轨迹E的方程．（2）是否存在过P（0，1）的直线L交曲线E与M，N两点且满足，若存在求出L的方程，若不存在请说明理由．【分析】（1）设出G的坐标，椭圆向量相等，转化求解轨迹方程即可．（2）设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合向量关系，转化求解即可．解：（1）设C（x，y）（y≠0）．则，由于QG∥AB则，由①，故轨迹E的方程为．（2）当L与y轴重合时不符合条件．假设存在直线L：y＝kx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2）联立，则有（3+k2）+2kx﹣2＝0，，由于则有x1＝﹣2x2，即，＝由于则有k2＝1即k＝±1，则直线L过（﹣1，0），或（1，0），轨迹E的方程为．所以直线L不存在．20．已知函数f（x）＝xe x﹣a（lnx+x）．（1）若函数f（x）恒有两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意x＞0，恒有不等式f（x）≥1成立．①求实数a的值；②证明：x2e x＞（x+2）lnx+2sin x．【分析】（1）利用导数的运算法则可得f′（x），对a分类讨论，当a≤0时，f'（x）＞0，故f（x）单调递增，舍去．当a＞0时，f'（x）＝0有唯一解x＝x0，此时，求出极值，进而得出答案．（2）①当a≤0时，不符合题意．当a＞0时，由（1）可知，f（x）min＝a﹣alna，故只需a﹣alna≥1．令，上式即转化为lnt≥t﹣1，利用导数研究其单调性极值即可得出．②由①可知x2e x﹣xlnx≥x2+x，因而只需证明：∀x＞0，恒有x2+x＞2lnx+2sin x．注意到前面已经证明：x﹣1≥lnx，因此只需证明：x2﹣x+2＞2sin x．对x分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．解：（1）f（x）＝xe x﹣alnx﹣ax，x＞0，则．当a≤0时，f'（x）＞0，故f（x）单调递增，故不可能存在两个零点，不符合题意；当a＞0时，f'（x）＝0有唯一解x＝x0，此时，则．注意到，因此．（2）①当a＜0时，f（x）单调递增，f（x）的值域为R，不符合题意；当a＝0时，则，也不符合题意．当a＞0时，由（1）可知，f（x）min＝a﹣alna，故只需a﹣alna≥1．令，上式即转化为lnt≥t﹣1，设h（t）＝lnt﹣t+1，则，因此h（t）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）max＝h（1）＝0，所以lnt≤t﹣1．因此，lnt＝t﹣1⇒t＝1，从而有．故满足条件的实数为a＝1．②证明：由①可知x2e x﹣xlnx≥x2+x，因而只需证明：∀x＞0，恒有x2+x＞2lnx+2sin x．注意到前面已经证明：x﹣1≥lnx，因此只需证明：x2﹣x+2＞2sin x．当x＞1时，恒有2sin x≤2＜x2﹣x+2，且等号不能同时成立；当0＜x≤1时，设g（x）＝x2﹣x+2﹣2sin x，则g'（x）＝2x﹣1﹣2cos x，当x∈（0，1]时，g'（x）是单调递增函数，且，因而x∈（0，1]时恒有g'（x）＜0；从而x∈（0，1]时，g（x）单调递减，从而g（x）≥g（1）＝2﹣2sin1＞0，即x2﹣x+2＞2sin x．故x2e x＞（x+2）lnx+2sin x．21．工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p1，p2，p3，假设p1，p2，p3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q1，q2，q3，其中q1，q2，q3是p1，p2，p3的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数学期望）EX；（Ⅲ）假定1＞p1＞p2＞p3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小．【分析】（Ⅰ）可先考虑任务不能被完成的概率为（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）为定值，故任务能被完成的概率为定值，通过对立事件求概率即可．（Ⅱ）X的取值为1，2，3，利用独立事件的概率分别求出概率，再求期望即可．（Ⅲ）由（Ⅱ）中得到的关系式，考虑交换顺序后EX的变化情况即可．解：（Ⅰ）任务不能被完成的概率为（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）为定值，所以任务能被完成的概率与三个人被排除的顺序无关．任务能被完成的概率为1﹣（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）（Ⅱ）X的取值为1，2，3P（X＝1）＝q1P（X＝2）＝（1﹣q1）q2P（X＝3）＝（1﹣q1）（1﹣q2）EX＝q1+2（1﹣q1）q2+3（1﹣q1）（1﹣q2）＝3﹣2q1﹣q2+q1q2（Ⅲ）EX＝3﹣（q1+q2）+q1q2﹣q1，若交换前两个人的派出顺序，则变为3﹣（q1+q2）+q1q2﹣q2，由此可见，当q1＞q2时，交换前两个人的派出顺序可增大均值；若保持第一人派出的人选不变，交换后个人的派出顺序，EX可写为3﹣2q1﹣（1﹣q1）q2，交换后个人的派出顺序则变为3﹣2q1﹣（1﹣q1）q3，当q2＞q3时交换后个人的派出顺序可增大均值故完成任务概率大的人先派出，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，A点的直角坐标为（α为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，直线的极坐标方程为．（m为实数）．（1）试求出动点A的轨迹方程（用普通方程表示）（2）设A点对应的轨迹为曲线C，若曲线C上存在四个点到直线的距离为1，求实数m 的取值范围．【分析】（1）由题意写出A的参数方程，把两式移项平方作和得答案；（2）化直线的极坐标方程为直角坐标方程，画出图形，应用点到直线的距离公式求解．解：（1）设A（x，y），又A点的直角坐标为，∴，把两式移项平方作和得：；（2）由，得，即，如图，要使曲线C上存在四个点到直线的距离为1，则圆C的圆心C（）到直线的距离小于1．即＜1，解得0＜m＜4．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝x﹣|x+2|﹣|x﹣3|﹣m，若∀x∈R，﹣4≥f（x）恒成立．（1）求m的取值范围；（2）求证：log（m+1）（m+2）＞log（m+2）（m+3）．【分析】（1）由∀x∈R，﹣4≥f（x）恒成立，可得m+≥x﹣|x+2|﹣|x﹣3|+4，求出右边的最大值，即可求m的取值范围；（2）利用对数的性质及基本不等式，即可证明结论．【解答】（1）解：∵∀x∈R，﹣4≥f（x）恒成立，∴m+≥x﹣|x+2|﹣|x﹣3|+4，令g（x）＝x﹣|x+2|﹣|x﹣3|+4，则g（x）在（﹣∞，3）上是增函数，（3，+∞）上是减函数，g（x）max＝g（3）＝2，∴m+≥2，∴m＞0；（2）证明：m＞0，可得m+3＞m+2＞m+1＞1，则lg（m+3）＞lg（m+2）＞lg（m+1）＞lg1＝0，∵lg（m+1）lg（m+3）＜＝＜lg2（m+2），∴，∴log（m+1）（m+2）＞log（m+2）（m+3）．。