最新高考数学模拟卷汇编【天利38】 答案01
2023届高考理科数学模拟试卷一(含答案及解析)

2023届高考理科数学模拟试题一(含答案及解析)本卷分选择题和非选择题两部分,满分150分,考试时间120分钟。
注意事项:1. 考生务必将自己的姓名、准考证号用黑墨水钢笔、签字笔写在答题卷上;2. 选择题、填空题每小题得出答案后,请将答案填写在答题卷相应指定位置上,答在试题卷上不得分;3. 考试结束,考生只需将答题卷交回。
参考公式:锥体的体积公式13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高 如果事件A 、B 互斥,那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立,那么()()()P A B P A P B *=*第一部分 选择题(共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 已知复数1z i =+,则2z= A . i 2-B .i 2C .i -1D .i +12. 设全集,U R =且{}|12A x x =->,{}2|680B x x x =-+<,则()U C A B =A .[1,4)-B .(2,3)C .(2,3]D .(1,4)-3. 椭圆221x my +=的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m 的值为( ) A .14B .12C . 2D .4 4. ABC ∆中,3A π∠=,3BC =,AB =,则C ∠=A .6πB .4π C .34π D .4π或34π5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2510,55S S ,则过点(,)n P n a 和2(2,)n Q n a(n N +)的直线的斜率是A .4B .3C .2D .16.已知函数),2[)(+∞-的定义域为x f ,且1)2()4(=-=f f )()(x f x f 为'的导函数,函数)(x f y '=的图象如图所示, 则平面区域⎪⎩⎪⎨⎧<+≥≥1)2(00b a f b a 所围成的面积是A .2B .4C .5D .87. 一台机床有13的时间加工零件A ,其余时间加工零件B , 加工A 时,停机的概率是310,加工B 时,停机的概率是25,则这台机床停机的概率为( )A . 1130B .307 C .107 D .1018. 在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数()f x 的图象恰好通过()n n N +∈个整点,则称函数()f x 为n 阶整点函数。
天利38套高三高考能力提升卷(四)(基础必刷)

天利38套高三高考能力提升卷(四)(基础必刷)一、单项选择题(本题包含8小题,每小题4分,共32分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)(共8题)第(1)题如图所示,劲度系数为的轻弹簧下端固定在倾角为的光滑斜面底端,上端连接物块Q,Q同时与平行于斜面的轻绳相连,轻绳跨过定滑轮O与套在足够长的光滑竖直杆上的物块P连接,图中O、B两点等高,间距。
初始时在外力作用下,P在A点静止不动,A、B间距离,此时轻绳中张力大小为。
已知P的质量为,Q的质量为,P、Q均可视为质点。
现将P由静止释放(不计滑轮大小及摩擦,重力加速度取,,,弹簧始终处于弹性限度内),下列说法正确的是()A.物块P上升的最大高度为B.物块P上升至B点时,其速度大小为C.在物块P由A点运动到B点的过程中,弹簧对物块Q一直做正功D.在物块P由A点运动到B点的过程中,物块P机械能守恒第(2)题传感器是一种检测装置,能感受到被测量的信息,并能将感受到的信息,按一定规律变换成为电信号或其他所需形式的信息输出,以满足信息的传输、处理、存储、显示、记录和控制等要求,它是实现自动检测和自动控制的首要环节。
如图所示是测定液面高度h的电容式传感器示意图,E为电源,G为灵敏电流计,A为固定的导体芯,B为导体芯外面的一层绝缘物质,C为导电液体。
已知电流从灵敏电流计左边接线柱流进电流计,指针向左偏。
如果在导电液体的深度h发生变化时观察到指针正向左偏转,则( )A.导体芯A所带电荷量在增加,液体的深度h在增大B.导体芯A所带电荷量在减小,液体的深度h在增大C.导体芯A所带电荷量在增加,液体的深度h在减小D.导体芯A所带电荷量在减小,液体的深度h在减小第(3)题激光陀螺仪是很多现代导航仪器中的关键部件,广泛应用于民航飞机等交通工具。
激光陀螺仪的基本元件是环形激光器,其原理结构比较复杂,我们简化为如图所示模型:由激光器发出的A、B两束激光,经完全对称的两个通道(图中未画出)在光电探测器处相遇,产生干涉条纹。
《天利 套高考模拟试题汇编》数学 理

过椭圆左焦点 云员 的直线 酝云员 是圆 云圆 的切线,则椭圆的右准线与圆 云圆 ( )
粤援相交
月援相离
三、解答题(本大题共 远小题,共 愿园分 援解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤)
员缘援(本小题共 员圆分)
数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 员缘园分,考试时间 员圆园分钟 援
} α∥β
①
β∥γ
α∥γ
} α⊥β
②
皂⊥β
皂∥α
} 皂⊥α
③ 皂∥β
α⊥β
} 皂∥ 灶
④
皂∥α
灶α
其中为真命题的是
()
粤援①④
月援②③
悦援①③
阅援②④
猿援“ω 越圆”是“函数 赠越泽蚤灶(ω曾垣φ)的最小正周期为π”的
粤援充分非必要条件
月援必要非充分条件
()
悦援充分必要条件
阅援既不充分也不必要条件
()
粤援赠越员 员垣原曾曾,曾∈(园,垣肄)
月援赠越员员垣原曾曾,曾∈(员垣肄)
悦援赠越员员垣原曾曾,曾∈(园,员)
阅援赠越曾曾垣原员员,曾∈(园,员)
源援设 皂、灶是两条不同的直线,α、β、γ 是三个不同的平面 援给出下列四个命题:
①若 皂⊥α,灶∥α,则 皂⊥ 灶;
②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;
③若 皂∥α,灶∥α,则 皂∥ 灶;
④若α∥β,β∥γ,皂⊥α,则 皂⊥γ援
其中正确命题的序号是:
()
阅悦所成的角的大小为
援
员员援已知平面向量 葬越(糟燥泽α,泽蚤灶α),遭越(糟燥泽β,泽蚤灶β)(α、β∈砸)援当α 越π圆,β 越π远时,
葬·遭的值为
2023年高考数学全真模拟(全国甲卷乙卷通用)理数01试题(含答案解析)

2023年高考数学全真模拟卷一(全国卷)理科数学(考试时间:120分钟;试卷满分:150分)注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)一、单选题(本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.已知集合{}ln 20A x x x =-=,()(){}130B x x x =+->,则A B = ()A .{}0,3B .{}0,1C .{}1,2D .{}0,1,22.若1i z =-,则2|32i |z +-=()AB .5C .3D .3.2022年卡塔尔世界杯(FIFA World Cup Oatar 2022)是第二十二届国际足联世界杯足球赛,在当地时间2022年11月20日到12月18日间在卡塔尔国内5个城市的8座球场举行,这是世界杯第一次在阿拉伯地区举办,由于夏季炎热,2022年卡塔尔世界杯放在冬季进行,如图是卡塔尔2022年天气情况,下列对1-11月份说法错误的是(A .有5个月平均气温在30℃以上B .有4个月平均降水量为0mm C .7月份平均气温最高D .3月份平均降水量最高4.某高中综合实践兴趣小组做一项关于某水果酿制成醋的课题研究.经大量实验和反复论证得出,某水果可以酿成醋的成功指数M 与该品种水果中氢离子的浓度N 有关,酿醋成功指数M 与浓度N 满足 2.8lg M N =-.已知该兴趣小组同学通过数据分析估计出某水果酿醋成功指数为2.9,则该水果中氢离子的浓度约为( 1.259≈)()A .0.2B .0.4C .0.6D .0.85.数列{}n a 是等比数列,首项为1a ,公比为q ,则()110a q -<是“数列{}n a 递减”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件6.若双曲线2221y x b-=则该双曲线的离心率为()A .12B .2C .2D 7.岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”,是“中国十大历史文化名楼”之一,世称“天下第一楼”.因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC ,如图,测得30DAC ∠=︒,45DBC ∠=︒14AB =米,则岳阳楼的高度CD 约为()1.414≈ 1.732≈)A .18米B .19米C .20米D .21米8.如图为一个三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积为()A .13B .23C .129.在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,22cos 2Ba a c =+,则ABC 为()A .钝角三角形B .正三角形C .直角三角形10.高一(1)班有8名身高都不相同的同学去参加红歌合唱,他们站成前后对齐的2排,每排4人,则前排的同学都比后排对应的同学矮的概率为()A .1384B .34C .38D .11611.在三棱锥S ABC -中,2SAC SBC π∠=∠=,23ACB π∠=,1AC BC ==.若三棱锥S ABC -的体积为1,则该三棱锥外接球的表面积为()A .13πB .373πC .49πD .52π12.已知111a =,b =,11ln 10c =.则()A .a b c>>B .b c a >>C .c b a>>D .b a c>>第II 卷(非选择题)二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.曲线()e e xxf x x =+在1x =处的切线方程为___________.14.已知向量1,,()()1,a m b m ==- ,若(2)a b b -⊥,则b = ________.15.已知直线l 与椭圆22221x y a b+=()0a b >>相切于第一象限的点()00,P x y ,且直线l 与x 轴、y 轴分别交于点,A B ,当AOB (O 为坐标原点)的面积最小时,1260F PF ∠=(12,F F 是椭圆的两个焦点),则该椭圆的离心率是_________.16.已知函数f (x )=cos (ωx +φ)(ω>0,|φ|≤2π),x =-4π为f (x )的零点,x =4π为y =f (x )图象的对称轴,且f (x )在(18π,6π)上单调,则ω的最大值为______.三、解答题(本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答)(一)必考题:共60分17.2020年1月至2月由新型冠状病毒引起的肺炎病例陡然增多,为了严控疫情扩散,做好重点人群的预防工作,某地区共统计返乡人员100人,其中50岁及以上的共有40人.这100人中确诊的有10人,其中50岁以下的人占310.(1)试估计50岁及以上的返乡人员因感染新型冠状病毒而引起肺炎的概率;(2)请将下面的列联表补充完整,并依据0.05α=的独立性检验,分析确诊为新冠肺炎与年龄是否有关.确诊为新冠肺炎(单位:人)未确诊为新冠肺炎(单位:人)合计50岁及以上4050岁以下合计10100附表及公式:α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++,其中n a b c d =+++.18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且59a =,864S =.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足()11n n n b n a a *+=∈N ,求数列{}n b 的前n 项和n T .19.如图,在四棱锥P -ABCD 中,平面PCD ⊥平面ABCD PCD 为等边三角形,112AB AD CD ===,90BAD ADC ∠=∠=︒,M 是棱上一点,且2CM MP =.(1)求证:AP ∥平面MBD ;(2)求二面角M -BD -C 的余弦值.20.已知抛物线2:2C y px =(其中6p >-F ,点M 、N 分别为抛物线C 上两个动点,满足以MN 为直径的圆过点F ,设点E 为MN 的中点,当MN EF ⊥时,点E的坐标为()3-.(1)求抛物线C 的方程;(2)直线MF 、NF 与抛物线的另一个交点分别为A 、B ,点P 、Q 分别为AM 、BN 的中点,证明:直线PQ 过定点.21.已知函数()()212ln 11ax xf x x x +=+-+,R a ∈.(1)当2a =时,讨论函数()f x 的单调性;(2)若函数()()()1g x x f x =+在()0,∞+上不单调,求实数a 的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xoy 中,直线l 的参数方程为{15x ty t =+=+(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为23=2+cos2ρθ.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)求C 的上的动点到l 的距离的取值范围.[选修4-5:不等式选讲]23.已知:()1f x x x m =+--,0m >.(1)若2m =,求不等式()2f x >的解集;(2)()()g x f x x m =--,若()g x 的图象与x 轴围成的三角形面积不大于54,求m 的取值范围.2023年高考数学全真模拟卷一(全国卷)理科数学(考试时间:120分钟;试卷满分:150分)注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)一、单选题(本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.已知集合{}ln 20A x x x =-=,()(){}130B x x x =+->,则A B = ()A .{}0,3B .{}0,1C .{}1,2D .{}0,1,2【答案】B【分析】直接解出{0,1,3}A =,{}13B x x =-<<,根据交集的概念即可得到答案.【详解】由题可得{0A xx ==∣或ln |2|0}{0,1,3}x -==,()(){}{}13013B x x x x x =+-<=-<<,所以{}0,1A B = ,故选:B.2.若1i z =-,则2|32i |z +-=()AB .5C .3D .【答案】B【分析】根据复数运算,复数的模计算即可解决.【详解】由题知,22|32i |12i+i 32i 34i 5z +-=-+-=-=,故选:B3.2022年卡塔尔世界杯(FIFA World Cup Oatar 2022)是第二十二届国际足联世界杯足球赛,在当地时间2022年11月20日到12月18日间在卡塔尔国内5个城市的8座球场举行,这是世界杯第一次在阿拉伯地区举办,由于夏季炎热,2022年卡塔尔世界杯放在冬季进行,如图是卡塔尔2022年天气情况,下列对1-11月份说法错误的是()A .有5个月平均气温在30℃以上B .有4个月平均降水量为0mmC .7月份平均气温最高D .3月份平均降水量最高【答案】D【分析】根据给定的图表,逐项分析判断作答.【详解】观察图表知,5月、6月、7月、8月、9月的5个月平均气温均在30℃以上,A 正确;6月、7月、8月、9月的4个月平均降水量为0mm ,B 正确;7月份平均气温最高,C 正确;2月份平均降水量比3月份平均降水量高,D 错误.故选:D4.某高中综合实践兴趣小组做一项关于某水果酿制成醋的课题研究.经大量实验和反复论证得出,某水果可以酿成醋的成功指数M 与该品种水果中氢离子的浓度N 有关,酿醋成功指数M 与浓度N 满足 2.8lg M N =-.已知该兴趣小组同学通过数据分析估计出某水果酿醋成功指数为2.9,则该水果中氢离子的浓度约为( 1.259≈)()A .0.2B .0.4C .0.6D .0.8【答案】D【分析】直接由题目中关系式解氢离子的浓度即可.【详解】由题意知:2.9 2.8lg N =-,整理得lg 0.1N =-,解得0.110N -=,又0.11100.81.259-=≈≈,故0.8N ≈.故选:D.5.数列{}n a 是等比数列,首项为1a ,公比为q ,则()110a q -<是“数列{}n a 递减”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由1(1)0a q -<,解得101(0)a q q >⎧⎨<≠⎩或101a q <⎧⎨>⎩,根据等比数列的单调性的判定方法,结合充分、必要条件的判定方法,即可求解得到答案.【详解】由已知1(1)0a q -<,解得101(0)a q q >⎧⎨<≠⎩或101a q <⎧⎨>⎩,11n n a a q -=,此时数列{}n a 不一定是递减数列,所以()110a q -<是“数列{}n a 递减”的非充分条件;若数列{}n a 为递减数列,可得1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩,所以()110a q -<,所以()110a q -<是“数列{}n a 递减”的必要条件.所以“()110a q -<”是“数列{}n a 为递减数列”的必要不充分条件.故选:B.6.若双曲线2221y x b-=则该双曲线的离心率为()A .12B C .2D 【答案】C【分析】写出双曲线的焦点,渐近线后,列方程求出b ,然后根据离心率定义计算.【详解】依题意得,双曲线的一条渐近线为0bx y -=,一个焦点为),根据点b =,于是2c ==,离心率2ce a==.故选:C 7.岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”,是“中国十大历史文化名楼”之一,世称“天下第一楼”.因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC ,如图,测得30DAC ∠=︒,45DBC ∠=︒,14AB =米,则岳阳楼的高度CD 约为() 1.414≈、1.732≈)A .18米B .19米C .20米D .21米【答案】B【分析】在Rt ADC 中用CD 表示AC ,Rt BDC 中用CD 表示BC ,建立CD 的方程求解即得.【详解】Rt ADC 中,30DAC ︒∠=,则AC =,Rt BDC 中,45DBC ︒∠=,则BC CD =,由AC-BC=AB 147(1)19.124CD CD -=⇒=≈,CD 约为19米.故选:B8.如图为一个三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积为()A .13B .23C .12D .43【答案】B【分析】由三视图画出三棱锥原图,利用13V Sh =锥可得结果.【详解】根据三视图可得几何体是有一条侧棱垂直底面的三棱锥,如图所示,DA ⊥平面ABC ,所以11121223323ABC V S DA ⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△故选:B.9.在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,22cos 2Ba a c =+,则ABC 为()A .钝角三角形B .正三角形C .直角三角形D .等腰直角三角形【答案】C【分析】利用二倍角公式和正弦定理进行化简,结合三角形内角的范围即可得到答案【详解】由22cos2Ba a c =+结合正弦定理可得1cos 2sin sin sin 2B A A C +⋅=+,即sin sin cos sin sin A A B A C +=+,所以()sin cos sin sin sin cos cos sin A B C A B A B A B ==+=+,所以cos sin 0=A B ,因为sin 0B >,所以cos 0A =,因为0πA <<,所以π2A =,故ABC 为直角三角形,故选:C 10.高一(1)班有8名身高都不相同的同学去参加红歌合唱,他们站成前后对齐的2排,每排4人,则前排的同学都比后排对应的同学矮的概率为()A .1384B .34C .38D .116【答案】D【分析】因为8名同学,所以任选两人,身高都不同,只需将抽取的两人安排到一组,高的同学站后即可.【详解】8名身高都不相同的同学站在8个不同的位置有88A 种站法,将8名同学分为4组,每组2人,则有2222864244C C C C A 种分法,4组人有44A 种站法,故所求概率22228642884444C C C C A A 1A 16P ⋅==.故选:D.11.在三棱锥S ABC -中,2SAC SBC π∠=∠=,23ACB π∠=,1AC BC ==.若三棱锥S ABC -的体积为1,则该三棱锥外接球的表面积为()A .13πB .373πC .49πD .52π【答案】D【分析】由条件可知ASC 和BSC 为以SC 为斜边的直角三角形,则SC 的中点O 为外接球的球心.过S 做SH ⊥平面ABC ,垂足为H,由三棱锥的体积可求出高SH =,根据三角形全等可证明H 在ABC ∠的角平分线上,即60HCA ∠=o ,由线面垂直的定理可知AC HA ⊥,从而可计算2CH =,勾股可知SC 的长,从而计算外接球的半径和表面积.【详解】解:因为2SAC SBC π∠=∠=,所以ASC 和BSC 为以SC 为斜边的直角三角形,则SC 的中点O 到各个顶点的距离都相等,则O 为外接球的球心.即SC 为直径.过S 做SH ⊥平面ABC ,垂足为H ,连结HB ,HA ,则1111132S ABC V SH -=⨯⨯⨯⨯,解得:SH = 1AC BC ==,2SAC SBC π∠=∠=,SC SC =,SAC SBC ∴≅V V ,则SA SB=,AH BH 分别为,SA SB 在平面ABC 内的射影,所以有AH BH =,又AC BC =,HC 为公共边,所以AHC BHC ≅V V ,则HCA HCB ∠=∠,所以H 在ABC ∠的角平分线上,60HCA ∠=o ,AC SA ⊥,AC SH ⊥,SA SH S = ,所以有AC ⊥平面SHA ,AH ⊂平面SHA ,则有AC HA ⊥,因为1AC =,60HCA ∠=o,所以2CH =,则SC ==,则R =故外接球的表面积为2452S R ππ==.故选:D.12.已知111a =,b =,11ln 10c =.则()A .a b c >>B .b c a>>C .c b a>>D .b a c>>【答案】B【分析】令()()ln 1f x x x =-+,()()1ln 111g x x x =+-++,利用导数可求得()(),f x g x在()0,1上的单调性,从而确定()ln 1x x >+,()1ln 111x x +>-+,x >,令110x =即可得到大小关系.【详解】令()()ln 1f x x x =-+,01x <<,则()11011xf x x x '=-=>++,()f x \在()0,1上单调递增,()()00f x f ∴>=,即()ln 1x x >+;令()()1ln 111g x x x =+-++,01x <<,则()()()22110111x g x x x x '=-=>+++,()g x ∴在()0,1上单调递增,()()00g x g ∴>=,即()1ln 111x x +>-+;又当01x <<x >,∴当01x <<()1ln 111x x x >>+>-+;则当110x =1111ln 101011>>>,即b c a >>.故选:B.第II 卷(非选择题)二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.曲线()e e xxf x x =+在1x =处的切线方程为___________.【答案】10x y -+=【分析】求出函数的导函数,即可求出切线的斜率,再用点斜式计算可得;【详解】解:因为()e e x x f x x =+,所以()1e 1112ef ⨯=+=,()()e 11exx f x -'=+,所以()()1e 11111ef -'=+=,所以切线方程为21y x -=-,即10x y -+=;故答案为:10x y -+=14.已知向量1,,()()1,a m b m ==- ,若(2)a b b -⊥,则b = ________.【答案】2【分析】首先求向量2a b -的坐标,再根据向量的数量积为0,求23m =,最后代入公式求模.【详解】2(23,,23)0)(a b m a b b m -=-⋅=-+= ,得23m =,所以2b == .故答案为:2.15.已知直线l 与椭圆22221x y a b+=()0a b >>相切于第一象限的点()00,P x y ,且直线l 与x 轴、y 轴分别交于点,A B ,当AOB (O 为坐标原点)的面积最小时,1260F PF ∠=(12,F F 是椭圆的两个焦点),则该椭圆的离心率是_________.【分析】先根据题意点()00,P x y 处的切线方程为:00221xx yy a b +=,进而得20,0a A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,200,b B y ⎛⎫⎪⎝⎭,故220012AOBa b Sx y =,再结合椭圆方程与基本不等式可得0021x yab≥,故AOBS ab ≥,当且仅当002x y a b ==时,AOB 的面积最小.再结合椭圆定义与余弦定理得22143b PF PF =,进而根据等面积法得12223F PF S bc ==,故2232b c =,进而得e =.【详解】解:根据题意结合椭圆性质得椭圆在点()00,P x y 处的切线方程为:00221xx yya b+=,由于直线与l 与x 轴、y 轴分别交于点,A B ,故20,0a A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,200,b B y ⎛⎫⎪⎝⎭,所以222200001212AOBa b a b x y Sx y =⋅⋅=,由于2200002221x y x y a b ab+=≥,所以0012x y ab ≥,所以222200001122AOBa b a b ab x y x y S⋅=⋅≥=,当且仅当002x y a b ==时,AOB 的面积最小.由于1260F PF ∠=,故在12F PF △中用余弦定理得:()2222212212121214343c PF PF PF PF PF PF PFPF a PF PF =+-=+-=-所以22143b PF PF =,所以12221114sin 60223F PF b SPF PF ==⋅⋅另一方面121201122222F PF S F F y c b bc ==⋅⋅所以232bc =,即:2232b c =,由于222b a c =-,所以2252a c=所以5e =.故答案为:516.已知函数f (x )=cos (ωx +φ)(ω>0,|φ|≤2π),x =-4π为f (x )的零点,x =4π为y =f (x )图象的对称轴,且f (x )在(18π,6π)上单调,则ω的最大值为______.【答案】5【分析】先根据4x π=-是()f x 的零点,4x π=是()y f x =图像的对称轴可转化为周期的关系,从而求得ω的取值范围,又根据所求值为最大值,所以从大到小对ω赋值验证找到适合的最大值即可.【详解】由题意可得4424k T T ππ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭,即21212=244k k T ππω++⋅=⋅,解得()=21,k k N ω++∈,又因为()f x 在186,ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调,所以12·618922T ππππω-=≤=,即9ω≤,因为要求ω的最大值,令=7ω,因为4x π=是()y f x =的对称轴,所以()74k k Z πϕπ+=∈,,又2πϕ≤,解得4πϕ=,所以此时()cos 74f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()f x 在3,2828ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减,即()f x 在3,1828ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递减,在3286ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递增,故()f x 在186,ππ⎛⎫⎪⎝⎭不单调,同理,令=5ω,()cos 54f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()f x 在52020,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,因为51862020ππππ⎛⎫⎡⎤⊆ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,,,所以()f x 在186,ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减,满足题意,所以ω的最大值为5.三、解答题(本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答)(一)必考题:共60分17.2020年1月至2月由新型冠状病毒引起的肺炎病例陡然增多,为了严控疫情扩散,做好重点人群的预防工作,某地区共统计返乡人员100人,其中50岁及以上的共有40人.这100人中确诊的有10人,其中50岁以下的人占310.(1)试估计50岁及以上的返乡人员因感染新型冠状病毒而引起肺炎的概率;(2)请将下面的列联表补充完整,并依据0.05α=的独立性检验,分析确诊为新冠肺炎与年龄是否有关.确诊为新冠肺炎(单位:人)未确诊为新冠肺炎(单位:人)合计50岁及以上4050岁以下合计10100附表及公式:α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++,其中n a b c d =+++.【答案】(1)740(2)列联表见解析,认为确诊为新冠肺炎与年龄有关【分析】(1)根据题意,可知50岁及以上的确诊人数为7人,又50岁以上的人数为40,根据古典概型,即可求出结果;(2)由题中的数据,可以直接得出表中的数据,再利用独立性检验公式,计算出2χ,可参考表中的数据可以直接判断..(1)解:因为100人中确诊的有10人,其中50岁以下的人占310,所以50岁以下的确诊人数为3,所以50岁及以上的确诊人数为7,因为50岁及以上的共有40人,所以50岁及以上的返乡人员因感染新型冠状病毒而引起肺炎的概率估计为740.(2)解:补充列联表如下:确诊为新冠肺炎(单位:人)未确诊为新冠肺炎(单位:人)合计50岁及以上7334050岁以下35760合计1090100零假设为0H :确诊为新冠肺炎与年龄无关.计算可得()220.05100757333254.167 3.841406010906x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯.依据0.05α=的独立性检验,推断0H 不成立,即认为确诊为新冠肺炎与年龄有关.18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且59a =,864S =.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足()11n n n b n a a *+=∈N ,求数列{}nb 的前n 项和nT .【答案】(1)21n a n =-(2)21n n T n =+【分析】(1)利用等差数列通项公式和求和公式可构造方程组求得1,a d ,进而得到n a ;(2)由(1)可得n b ,采用裂项相消法可求得n T .【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,则518149878642a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩,解得:112a d =⎧⎨=⎩,()12121n a n n ∴=+-=-.(2)由(1)得:()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭,111111111111233557212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭.19.如图,在四棱锥P -ABCD 中,平面PCD ⊥平面ABCD ,PCD 为等边三角形,112AB AD CD ===,90BAD ADC ∠=∠=︒,M 是棱上一点,且2CM MP = .(1)求证:AP ∥平面MBD ;(2)求二面角M -BD -C 的余弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】(1)根据空间中的线面关系即可证得;(2)通过建立空间直角坐标,将空间的角度问题转化为空间的坐标运算问题即可得到答案.【详解】(1)连接AC ,记AC 与BD 的交点为H ,连接MH.由90BAD ADC ∠=∠=︒,得AB CD ∥,12AB AH CD HC ==,又12PM MC =,则AH PM HC MC =,∴AP MH ∥,又MH ⊂平面MBD ,PA ⊄平面MBD ,∴AP ∥平面MBD.(2)记O 为CD 的中点,连接PO ,BO.∵PCD 为等边三角形,∴PO CD ⊥,∵平面PCD ⊥平面ABCD ,平面PCD 平面ABCD =CD ,∴PO ⊥平面ABCD.以O 为原点,OB 为x 轴,OC 为y 轴,OP 为x 轴,建立空间直角坐标系,如下图,则()0,1,0D -,(P,10,3M ⎛ ⎝⎭,()1,0,0B ,()0,1,0C,11,3BM ⎛=- ⎝⎭,()1,1,0BD =-- .设平面BDM 的法向量(),,n x y z =,则1030n BM x y z n BD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=--=⎩,取x =1得1,n ⎛=- ⎝⎭,平面BCD 的一个法向量()0,0,1m =.设二面角M -BD -C 的平面角为θ,则cos m n m nθ⋅==⋅ .∴二面角M -BD -C20.已知抛物线2:2C y px =(其中6p >-F ,点M 、N 分别为抛物线C 上两个动点,满足以MN 为直径的圆过点F ,设点E 为MN 的中点,当MN EF ⊥时,点E的坐标为()3-.(1)求抛物线C 的方程;(2)直线MF 、NF 与抛物线的另一个交点分别为A 、B ,点P 、Q 分别为AM 、BN 的中点,证明:直线PQ 过定点.【答案】(1)24y x =(2)证明见解析【分析】(1)分析可知当点E 为MN 的中点时,FMN 为等腰直角三角形,求出点M 的横坐标,分析可得2M px MF +==,结合抛物线的定义可得出关于p 的等式,解出p 的值,即可得出抛物线C 的方程;(2)分析可知,直线MF 、NF 均不与x 轴重合,设直线MF 的方程为()10x my m =+≠,则直线NF 的方程为11x y m=-+,将直线MF 的方程与抛物线C 的方程联立,列出韦达定理,可求得点P 的坐标,同理可得出点Q 的坐标,分21m =、21m ≠两种情况讨论,求出直线PQ 的方程,并化简,即可求得直线PQ 所过定点的坐标.【详解】(1)解:因为以MN 为直径的圆过点F ,则MF NF ⊥,当点E 为MN 的中点时,MN EF ⊥,则MF NF =,此时FMN 为等腰直角三角形,又点E 、F 在x 轴上,则MN x ⊥轴,所以3M E x x ==-,6p >-,32p ∴>-F 在E的右侧,所以32pEF =-+由抛物线的定义知2M p x MF +==,所以,33222p p -=-+,解得2p =,故抛物线C 的方程为24y x =.(2)证明:若直线MF 与x 轴重合,则直线MF 与抛物线C 只有一个交点,不合乎题意,同理可知,直线NF 与x 轴也不重合,设直线MF 的方程为()10x my m =+≠,则直线NF 的方程为11x y m=-+,联立方程214x my y x=+⎧⎨=⎩得2440y my --=,216160m ∆=+>,设()11,M x y 、()22,A x y ,则124y y m +=,124y y =-,所以()221,2P m m +,同理可得2221,Q mm ⎛⎫+- ⎪⎝⎭,当21m ≠时,()2222221211PQm m m k m m m +==-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭,所以直线PQ 的方程为()222121m y x m m m =--+-,化简得()231m y x m =--,当3x =时,0y =,直线PQ 过定点()3,0.当21m =时,直线PQ 的方程为3x =,直线PQ 必过点()3,0,综上所述,所以直线PQ 过定点()3,0.21.已知函数()()212ln 11ax xf x x x +=+-+,R a ∈.(1)当2a =时,讨论函数()f x 的单调性;(2)若函数()()()1g x x f x =+在()0,∞+上不单调,求实数a 的取值范围.【答案】(1)函数()f x 在()10-,上单调递增,在()0,∞+上单调递减(2)()01,【分析】(1)当2a =时,确定函数解析式,求出定义域,利用导数求函数()f x 的单调性;(2)由()g x 的解析式求出导数,无法直接判断导函数的正负,构造新函数再求导,分类讨论()g x 的单调性,求出实数a 的取值范围.【详解】(1)当2a =时,函数()()()2ln 1ln 11x xf x x x x x +=+-=+-+,定义域为()+∞-1,,易知()1111x f x x x -'=-=++,令()0f x ¢>,得10x -<<,令()0f x '<,得0x >,所以函数()f x 在()10-,上单调递增,在()0,∞+上单调递减.(2)由题意知()()()211ln 12g x x x ax x =++--,则()()ln 1g x x ax '=+-,令()()ln 1x x h ax =+-,0x ≥,则()11h x a x '=-+.①当0a ≤时,()0h x '>,则()g x '在()0,∞+上单调递增,所以当0x >时,()()00g x g ''>=,所以()g x 在()0,∞+上单调递增,不符合题意.②当1a ≥时,()1101h x a a x '=-<-≤+,则()g x '在()0,∞+上单调递减,所以当0x >时,()()00g x g ''<=,所以()g x 在()0,∞+上单调递减,不符合题意.③当01a <<时,由()101h x a x '=-=+,得110x a=->,当10,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()0h x '>,()h x 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,当11,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时,()0h x '<,()h x 在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.易知ln 1≤-x x ,当且仅当x =1时取等号,则当0x >时,1≤,即)ln 21x ≤.所以当x >0时,()()212h x ax a x <--<-+-.取241t a =-,则11t a >-,且()20h t <-=.又()1100h h a ⎛⎫->= ⎪⎝⎭,所以存在011,x t a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,使得()00h x =,所以当()00x x ∈,时,()0h x >,即()0g x '>,当()0,x x ∈+∞时,()0h x <,即()0g x '<,所以()g x 在()00x ,上单调递增,在()0,x +∞上单调递减,故函数()g x 在区间()0,∞+上不单调,符合题意.综上,实数a 的取值范围为()0,1.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xoy 中,直线l 的参数方程为{15x ty t =+=+(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为23=2+cos2ρθ.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)求C 的上的动点到l 的距离的取值范围.【答案】(1)40x y -+=,22+=13yx(2)【分析】(1)对于直线l ,消去参数t 即可求解,对于曲线C ,根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==即可求解;(2)先将曲线C 化为参数方程,再根据点到直线的距离公式即可求解.【详解】(1) 直线l 的参数方程为{15x ty t =+=+(t 为参数),消去参数t 得直线l 的普通方程为40x y -+=,曲线C 的极坐标方程为23=2+cos2ρθ,即222+cos2=3ρρθ,即22222+(cos sin )=3ρρθθ-,222222+cos sin =3ρρθρθ-,又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ,∴曲线C 的直角坐标方程22222(+)+=3x y x y -,即22+=13y x .(2) 曲线C 的直角坐标方程为:22+=13yx ∴曲线C的参数方程为{x y αα=(α为参数),设曲线C上的动点(cos )M αα,则曲线C 上的动点M 到直线l的距离d[]2sin )2,26πα-∈- (,∴曲线C 上的动点到直线l=,故曲线C 上的动点到直线l距离取值范围为:.[选修4-5:不等式选讲]23.已知:()1f x x x m =+--,0m >.(1)若2m =,求不等式()2f x >的解集;(2)()()g x f x x m =--,若()g x 的图象与x 轴围成的三角形面积不大于54,求m 的取值范围.【答案】(1)3,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭;(2)(]0,8.【分析】(1)利用零点分段法求解出绝对值不等式;(2)先求出()21,312,121,1x m x mg x x m x m x m x -++>⎧⎪=+--≤≤⎨⎪--<-⎩,由()0g x =,解得:122121,3m x m x -=+=,则()21444133m x x m ---==+,由函数单调性得到()()max 1g x g m m ==+,根据函数图象与x 轴围成的三角形面积不大于54,列出方程,求出m 的取值范围.【详解】(1)当2m =时,()3,21221,123,1x f x x x x x x >⎧⎪=+--=--≤≤⎨⎪-<-⎩,当2x >时,()32f x =>成立;当12x -≤≤时,()212f x x =->,则322x <≤;试卷第17页,共17页当1x <-时,()32f x =-<不合题意,综上,()2f x >的解集为3,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭;(2)因为0m >,所以()21,12312,121,1x m x m g x x x m x m x m x m x -++>⎧⎪=+--=+--≤≤⎨⎪--<-⎩,由()0g x =,解得:122121,3m x m x -=+=,则()21444133m x x m ---==+,当1x <-时,()g x 单调递增,当1x m -≤≤时,()g x 单调递增,当x >m 时,()g x 单调递减,所以当x m =时,()g x 取得最大值,()()max 1g x g m m ==+,∴图象与x 轴围成的三角形面积为()()221421154233S m m =⨯+=+≤,解得:108m -≤≤,又0m >,则08m <≤,∴m 的取值范围是(]0,8.。
【天利38套】2020原创 高三能力提升卷 数文(3套)

,!*'$
-!*%"
. . 要用于统 计 分 析!体 重 指 数 -<=' 体 重,身 高 的
.!*'"
/!*%$
.
!"!已
知
数
列
!() $的
前
)
项
和
为
,)%()
'
. .
平方"国际单位 B*,C%#!一般认为 -<=指 数 小 于 "4!#为偏瘦%-<=指数在"4!#%5 为正常%-<=
%%)+1!6%*)%)+"+6%)/'0 %则使不等式
. 如下&
第卷 非选择题!共("分
. .
. 二填空题本大题 共 ) 小 题每 小 题 % 分共 $" 分!.
把答案填在题中的横线上!
. .
!#!已知双曲 线(#%% !-$%% '""('$%-'$#%离 心 率.'
. .
.
槡%%且 双 曲 线 过 点 "槡1%"#%则 (' ! ! ! ! !
斜
角为
5
且;
与3
交
于 "%
两
点 则
以
"%
的
直 径 的 圆 经 过 原 点 则; 的 方 程 为
! !
-!若;4*4则 *3;
#!1 6 $!%!#
,!甲 的 平 均 成 绩 大 于 乙 的 平 均 成 绩
则 "$%' ,!#"$###" .!#"$%##"
2023年高考数学第三次模拟考试及答案解析(新高考Ⅰ卷A卷)

2023年高考数学第三次模拟考试及答案解析(新高考Ⅰ卷A 卷)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.若集合3{|0}3x A x x +=≤-,{}3,1,0,3,4B =--,则A B ⋂的元素个数为()A .2B .3C .4D .5【答案】B 【解析】303x x +≤-,()()330x x ∴+-≤,且3x ≠,33x ∴-≤<,[)33A =-,,又{}3,1,0,3,4B =--,则{}3,1,0A B ⋂=--,A B ⋂的元素个数为3个.故选:B.2.设i(,)z a b a b =+∈R 在复平面内对应的点为M ,则“点M 在第四象限”是“0ab <”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .既不充分也不必要条件D .充要条件【答案】A【解析】由题知,i(,)z a b a b =+∈R 在复平面内对应的点为(,)M a b ,因为点M 在第四象限,即0,0a b ><,ab <,即00a b >⎧⎨<⎩,或00a b <⎧⎨>⎩,所以“点M 在第四象限”是“0ab <”的充分不必要条件,故选:A3.已知{}n a 是各项不相等的等差数列,若14a =,且248,,a a a 成等比数列,则数列{}n a 的前6项和6S =()A .84B .144C .288D .110【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,由248,,a a a 成等比数列,则2428a a a =,即()()()211137a d a d a d +=++,整理可得240d d -=,由数列{}n a 各项不相等,解得4d =,即4n a n =,()()44212n n n S n n+==+,故()6261684S =⨯⨯+=.故选:A.4.已知向量a ,b 满足2a = ,(1,1)= b ,a b += a 在向量b 上的投影向量的坐标为()A .22⎛ ⎝⎭,B .()11,C .()1,1--D .22⎛- ⎝⎭,【答案】B【解析】由(1,1)=b ,得b ==a b + 即42210a b ++= ,则2a b =,所以向量a 在向量b上的投影向量的坐标为()(1,1)a b b b b b==.故选:B .5.函数()1e πcos 1e 2x x f x x ⎛⎫-⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭的部分图象大致形状是()A .B .C .D .【答案】C【解析】因为()1e π1e cos sin 1e 21e x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭的定义域为R .定义域关于原点对称,()()()111e 1e e sin sin sin 11e 1e 1exx x x x xf x x x x f x --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫---=-=-== ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭,所以()f x 是偶函数,图象关于y 轴对称,故排除选项B 、D ,当0x >时,令()0f x =可得0x =或()πx k k =∈Z ,所以0x >时,两个相邻的零点为0x =和πx =,当0πx <<时,1e 01e xx-<+,sin 0x >,()1e sin 01e x x f x x ⎛⎫-=< ⎪+⎝⎭,故排除选项A ,故选:C.6.立德学校于三月份开展学雷锋主题活动,某班级5名女生和2名男生,分成两个小组去两地参加志愿者活动,每小组均要求既要有女生又要有男生,则不同的分配方案有()种.A .20B .4C .60D .80【答案】C【解析】先安排2名男生,保证每个小组都有男生,共有2种分配方案;再安排5名女生,若将每个女生随机安排,共有5232=种分配方案,若女生都在同一小组,共有2种分配方案,故保证每个小组都有女生,共有52230-=种分配方案;所以共有23060⨯=种分配方案.故选:C.7.刍(chú)甍(méng )是中国古代算数中的一种几何体,其结构特征是:底面为长方形,上棱和底面平行,且长度不等于底面平行的棱长的五面体,是一个对称的楔形体.已知一个刍甍底边长为6,底边宽为4,上棱长为2,高为2,则它的表面积是()A .B .24+C .24+D .24++【答案】B【解析】设几何体为EFABCD-,如下图所示:矩形ABCD 的面积为2446=⨯,ABE 、CDF ,两个全等的等腰梯形ADFE 、BCFE,设点E 、F 在底面ABCD 内的射影点分别为G 、H ,过点G 在平面ABCD 内作GM BC ⊥,连接EM ,过点H 在平面ABCD 内作HNCD⊥,连接F N ,FH ⊥ 平面ABCD ,H N、CD ⊂平面ABCD ,FHCD ∴⊥,FH HN⊥,HN CD ⊥ ,FH HN H = ,CD \^平面FHN ,FN ⊂平面FHN ,FN CD ∴⊥,易知2FH =,2HN =,则在CDF 中,斜高为FN===所以,12ABE CDF S S CD FN ==⋅=△△同理可知,梯形BCFE 的高为EM ===,所以,()12ADFEBCFE S S EF BC EM ==+⋅=梯形梯形因此,该几何体的表面积为(24224+⨯=+故选:B.8.如图,椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ,右顶点为A ,点Q 在y 轴上,点P 在椭圆上,且满足PQ y ⊥轴,四边形1F APQ 是等腰梯形,直线1FP 与y 轴交于点N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,则椭圆的离心率为().A .14B C D .12【答案】D【解析】由题意,做PMx ⊥轴于点M,因为四边形1F APQ 是等腰梯形,则1FO AM c ==,OM a c=-则点P 的横坐标为P x a c =-,代入椭圆方程()2222:10x y C a b a b+=>>,可得py =,即PM=因为4N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,则4ON =,由11F NO F PM,则114b FO ONc b F M PM a =⇒=,化简可得,434332160a ac c -+=,同时除4a 可得,43163230e e -+=即()()3221812630e e e e ----=,对于()3281263f e e e e =---当1e =时,()1130f =-<,当2e =时,()210f =>,在()1,2e ∈时,方程()()3221812630e e e e ----=有根,且()0,1e ∈,故应舍,所以12e =.故选:D二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.如图为国家统计局于2022年12月27日发布的有关数据,则()A .营业收入增速的中位数为9.1%B .营业收入增速极差为13.6%C .利润总额增速越来越小D .利润总额增速的平均数大于6%【答案】ABD【解析】由表中数据易知营业收入增速的中位数为9.1%,故选项A 正确;营业收入增速的极差为20.3% 6.7%13.6%-=,故选项B 正确;利润总额增速2022年1-3月累计比2022年1-2月累计上升,故选项C 错误;利润总额增速的平均数(38.0%34.3%5.0%8.5%3.5%1.0%1.0%1.1%++++++-2.1% 2.3% 3.0% 3.6%)12 6.6%----÷=,故选项D 正确;故选:ABD .10.甲袋中装有4个白球,2个红球和2个黑球,乙袋中装有3个白球,3个红球和2个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋,再从乙袋中随机取出一球.用1A ,2A ,3A 分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球,用B 表示乙袋取出的球是白球,则()A .1A ,2A ,3A 两两互斥B .()213P BA =C .3A 与B 是相互独立事件D .()13P B =【答案】AB【解析】对于A ,由题意可知1A ,2A ,3A 不可能同时发生,所以1A ,2A ,3A 两两互斥,所以A 正确,对于B ,由题意可得2221131(),()844912P A P A B ===⨯=,所以()2221()1121()34P A B P B A P A ===,所以B 正确,对于C ,因为321()84P A ==,3131()4912P A B =⨯=1234413137()()()()89494918P B P A B P A B P A B =++=⨯+⨯+⨯=,所以33()()()P A B P A P B ≠,所以3A 与B 不是相互独立事件,所以C 错误,对于D ,由C 选项可知D 是错误的,故选:AB11.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点,12A ⎫⎪⎪⎝⎭是C 上一点,若C的离心率为3,连结2AF 交C 于点B ,则()A .C 的方程为2213x y -=B .1290F AF ︒∠=C .12F AF的周长为2+D .1ABF【答案】ABD【解析】对A ,将点A 的坐标代入双曲线方程,并由222,c e c a b a==+得下列方程组:22222151441a b c a c a b⎧⎪-=⎪⎪⎪⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩,解得2a b c ⎧⎪⎨⎪=⎩,∴双曲线2213xy -=,A 正确;对B ,12(2,0),(2,0)F F -,112,22F A ⎫=+⎪⎪⎝⎭,212,22F A ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,121514044F A F A ⋅=-+= ,∴12F A F A ⊥,B正确;对C,1AF ===,2AF ==,1224F F c ==,周长4=,C 错误;对D ,令2BF m=,则1BF m =,225AB AF BF m =+,在1Rt ABF 中,22211BF AF AB=+,∴11m =,设1ABF 的周长为l ,内切圆半径为r ,11l AF AB BF =++,由三角形面积公式知:1111·22ABFS AF AB lr == ,∴1112ABF S r AF AB BF =++ ,D 正确;故选:ABD .12.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ,若23f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数,123f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称,则下列结论中一定正确的是()A .203f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B .()203f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C .()203f f ⎛⎫=- ⎪⎝'⎭'D .103f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭'【答案】ABD 【解析】因为2()3+f x 为奇函数,定义域为R ,所以22((33f x f x -+=-+,故4()(3f x f x -=-+,等式两边同时取导数,得4()()3f x f x ''--=-+,即4()()3f x f x ''-=+①,因为1(23f x -的图象关于y 轴对称,则11(2(233f x f x -=--,故2()()3f x f x =--,等式两边同时取导数,得2()()3f x f x ''=---②.由4()(3f x f x -=-+,令23x =-,得22()(33f f =-,解得2()03f =,由2()()3f x f x =--,令0x =,得2(0)(3f f =-,由②,令0x =,得2(0)(3f f ''=--,令13x =-,得11(()33f f ''-=--,解得1()03f '-=,故选:ABD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若()()()()82801281111x a a x a x a x -=+++++++ ,则5a =_____.【答案】448-【解析】令1x t +=可得1x t =-,则()1112x t t -=--=-,所以,()82801282t a a t a t a t -=++++ ,所以,5a 为展开式中5t 的系数,()82t -的展开式通项为()()()88188C 2C 210,1,2,,8kkkk kk k k T t t k --+=⋅-=⋅⋅-= ,所以,()()55358C 215681448a =⋅⋅-=⨯⨯-=-.故答案为:448-.14y 轴交于点A ,与圆221x y +=相切于点B ,则AB =______.【解析】设直线AB 的方程为y b =+0y b -+=则点()0,A b ,由于直线AB 与圆221x y +=相切,且圆心为()0,0O ,半径为1,则12b =,解得2b =±,所以2AO =,因为1BO =,故AB ==15.某市统计高中生身体素质的状况,规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格.现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值(1,2,3,,100)i x i = ,经计算10017200i i x ==∑,()1002211007236i i x ==⨯+∑.若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布()2,N μσ,则估计该市高中生身体素质的合格率为______.(用百分数作答,精确到0.1%)参考数据:若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ,则0().6827P X μσμσ≤≤+≈-,(22)0.9545P X μσμσ-≤≤+≈,3309().973P X μσμσ-≤≤+≈.【答案】97.7%【解析】因为100个数据1x ,2x ,3x ,…,100x 的平均值1001172100i i x x ===∑,方差()()1122222210010011110010072361007236100100100i i i i s x x x x ==⎛⎫⎡⎤=-=-=⨯⨯+-⨯= ⎪⎦⎣⎝⎭∑∑,所以μ的估计值为72μ=,σ的估计值为6σ=.设该市高中生的身体素质指标值为X ,由(22)0.9545P X μσμσ-≤≤+≈,得(72127212)(6084)0.9545P X P X -≤≤+=≤≤≈,()()()()12210.9545842222P X P X P X P X μσμσμσμσ--<<+->=>+=<-=≈所以1(60)(6084)(84)0.9545(10.9545)0.9772597.7%2P X P X P X ≥=≤≤+>≈+⨯-=≈.故答案为:97.7%.16.已知函数()()2e 1,01ln 1,02x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩.若()()0x f x a x -≤,则a 的取值范围是___________.【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】当0x =时,()()00x f x a x -=≤恒成立;当0x <时,此时应有()()0f x a x f x ax -=+≥,即2e 10x ax --+≥.令()2e1xg x ax -=-+,0x <,则()22exg x a-'=-+.设()22e xh x a -=-+,则()24e 0x x -'=>恒成立,所以()h x ,即()g x '单调递增.又()00e10g =-=,则要使()0g x ≥在(),0∞-上恒成立,应有()22e 0xg x a -'=-+≤在(),0∞-上恒成立,即22e x a -≤在(),0∞-上恒成立.又0x <时,22e 2x ->,所以2a ≤;当0x >时,此时应有()()0f x a x f x ax -=-≤,即()1ln 102x ax +-≤.令()()1ln 12x ax k x +=-,则()()121a k x x =-+'.令()()121a x m x =-+,则()()21021m x x '-=<+恒成立,所以()m x ,即()k x '单调递减.又()00k =,则要使()0k x ≤在()0,∞+上恒成立,应有()()1021a x k x =-≤+'在()0,∞+上恒成立,即()121a x ≥+在()0,∞+上恒成立.因为,()121y x =+在()0,∞+上单调递减,所以()11212x <+,所以12a ≥.综上所述,a 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为:1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图,在四边形ABCD 中,已知2π3ABC∠=,π3BDC ∠=,AB BC ==.(1)若BD =AD 的长;(2)求A B D △面积的最大值.【答案】(1)AD ;(2)【解析】(1)在B C D △中,由余弦定理,得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅∠,∴222π2cos3CD CD =+-⨯⋅,整理得2720CD --=,解得CD =CD =-.∴2222221c os 27BD BC CD DBC BD BC +-∠===⋅,而2π(0,)3DBC ∠∈,故sin 7DBC ∠=,∴2π111cos cos cos 3214ABD DBC DBC DBC ⎛⎫∠=-∠=-∠+∠=⎪⎝⎭,故在ABD △中,2222cos AD AB BD AB BD ABD=+-⋅⋅∠221125714=+-⨯=,∴AD ;(2)设,2π(0,)3CBD θθ∠=∈,则在BCD △中,sin sin BC BD BDC BCD=∠∠,则2π)π314sin()2π3sin 3BD θθ-=+,所以π2π11sin sin 2214sin(()33ABD S AB BD ABD θθ=+=⨯⨯∠-⋅△2π34(θ=+,当2πsin ()13θ+=,即π6θ=时,ABD △面积取到最大值18.记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知11a =,223a =,且数列(){}423n n nS n a ++是等差数列.(1)证明:n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列,并求{}n a 的通项公式;(2)设13,,n n n na nb n n a -⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数,求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】(1)证明见解析;13n n n a -=;(2)2122338n n T n +-=+.【解析】(1)∵11a =,223a =,∴11S =,253S =,设()423n n n c nS n a =++,则19c =,218c =,又∵数列{}n c 为等差数列,∴9n c n =,∴()4239n n nS n a n ++=,∴()2349nn n a S n++=,当2n ≥时,()1121491n n n a S n --++=-,∴()()12321401n n n n a n a a nn -+++-=-,∴()()1632101n n n a n a nn -++-=-,又∵210n +≠,∴1301n n a a n n --=-,即:1131n n a an n -=⋅-,又∵1101a =≠,∴n a n ⎧⎫⎨⎩⎭是以1为首项,13为公比的等比数列,∴113n n a n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=,即13n n n a -=;(2)∵13,,n n n na nb n n a -⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数,且13n n na -=,∴1,3,n n n n b n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数,∴()()132121321333n n T n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦()()()221223193311213321988n n n n n n n +--+-⎡⎤-⎣⎦=+=+=+-,∴2122338n n T n +-=+.19.如图,已知斜四棱柱1111ABCD A B C D -,底面ABCD 为等腰梯形,AB CD ∥,点1A 在底面ABCD 的射影为O ,且11AD BC CD AA ====,2AB =,112A O =,1AA BC ⊥.(1)求证:平面ABCD ⊥平面11ACC A ;(2)若M 为线段11B D 且平面MBC 与平面ABCD 夹角的余弦值为7,求直线1A M 与平面MBC 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)7【解析】(1)证明:等腰梯形ABCD 中,2AB =,1BC CD AD ===,作//CE AD 交AB 于E ,如图,则ADCE 是菱形,AE CD EB CE BC ====,BCE 是等边三角形,则60ABC ∠=︒,60DCE ECB ∠=∠=︒,30ACD ACE ∠=∠=︒,所以90ACB ∠=︒,即AC BC ⊥,又1BC AA ⊥,1AA AB A = ,1,AA AB ⊂平面11AAC C ,所以BC ⊥平面11A ACC ,又BC ⊂平面ABCD ,所以平面ABCD ⊥平面11A ACC ;(2)点1A 在底面ABCD 的射影为O ,由(1),得O 在AC 上,且1A O AC ⊥,又111,12A O AA ==,所以AO ,而由(1)知AC =因此2CO =,建立如图所示空间直角坐标系C xyz -,则)A,()0,1,0B,O ⎫⎪⎪⎝⎭,112A ⎫⎪⎪⎝⎭,1,02D ⎫-⎪⎝⎭,则11,022CD BA ⎫==-⎪⎪⎝⎭,又113,022B D BD ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭,111,0,22DD AA ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ,所以1110,,22D ⎛⎫- ⎪⎝⎭,设1113,,022D M D B λ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ (01λ≤≤),131,,2222M λ⎛⎫--+ ⎝⎭,(0,1,0)CB =,131,,2222CM λλ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭ ,设平面MBC 的法向量为(),,n x y z =,则131********n CM x y z n CB y λλ⎧⎛⎫⎧⋅=-+-++=⎪⎪ ⎪⇒⎨⎨⎝⎭⋅=⎪⎪⎩=⎩ ,取1x =,则()n = ,取平面ABCD 的法向量()0,0,1m = ,2cos ,417m n m n m n λ⋅===⇒=,则12λ=(负值舍去),即11,044A M ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,设直线1A M 与平面MBC 所成的角为θ,则111sin cos ,A M n A M n A M n θ⋅===⋅ ,所以,直线1A M 与平面MBC20.第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行,这是我国继北京后第二次举办亚运会.为迎接这场体育盛会,浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛,该市A 社区举办了一场选拔赛,选拔赛分为初赛和决赛,初赛通过后才能参加决赛,决赛通过后将代表A 社区参加市亚运知识竞赛.已知A 社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为12、12、13,通过初赛后再通过决赛的概率均为13,假设他们之间通过与否互不影响.(1)求这3人中至多有2人通过初赛的概率;(2)求这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率;(3)某品牌商赞助了A 社区的这次知识竞赛,给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案:方案一:参加了选拔赛的选手都可参与抽奖,每人抽奖1次,每次中奖的概率均为12,且每次抽奖互不影响,中奖一次奖励600元;方案二:只参加了初赛的选手奖励200元,参加了决赛的选手奖励500元.若品牌商希望给予选手更多的奖励,试从三人奖金总额的数学期望的角度分析,品牌商选择哪种方案更好.【答案】(1)1112;(2)3181;(3)方案二更好,理由见解析【解析】(1)3人全通过初赛的概率为21112312⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭,所以,这3人中至多有2人通过初赛的概率为11111212-=.(2)甲参加市知识竞赛的概率为111236⨯=,乙参加市知识竞赛的概率为111236⨯=,丙参加市知识竞赛的概率为131139⨯=,所以,这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率为211311116981⎛⎫⎛⎫--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(3)方案一:设三人中奖人数为X ,所获奖金总额为Y 元,则600Y X =,且13,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭,所以()()160060039002E Y E X ==⨯⨯=元,方案二:记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z 元,则Z 的所有可能取值为600、900、1200、1500,则()211160011236P Z ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()212111115900C 1112233212P Z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅--+-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()21211111112001C 1232233P Z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+⋅-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()211115002312P Z ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭,所以,()1511600900120015001000612312E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=.所以,()()E Y E Z <,所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析,品牌商选择方案二更好.21.已知抛物线()220C x py p =>:的焦点为F ,准线l 与抛物线C 的对称轴的交点为K ,点()2D t ,在抛物线C上,且DK =.(1)求抛物线C 的方程;(2)若直线()1200l kx y k k --=>:交抛物线C 于()()()112212A x y B x y x x >,,,两点,点A 在y 轴上的投影为E ,直线AE 分别与直线OB (O 为坐标原点)交于点Q ,与直线2l y x =:交于点P ,记OAP △的面积为1S ,OPQ △的面积为2S ,求证:12S S =.【答案】(1)24x y =;(2)证明见解析【解析】(1)作DH l ⊥,垂足为H ,则DFDH=.因为DK =,所以45DKH ∠= ,2DHHK ==.因为点()2D t ,在抛物线C 上,所以2422pt pt =⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去t 得:2440p p -+=,解得21p t ==,.所以抛物线C 的方程为24x y =.(2)设()()1122A x y B x y ,,,,由2204kx y k x y--=⎧⎨=⎩,消去y 得2480x kx k -+=.则216320k k =->∆,因为0k >,所以2k >,则121248x x k x x k +==,.依题意知直线AE 的方程为1y y =,直线OB 的方程为22yy x x =.由1y y y x =⎧⎨=⎩,得P 点的坐标为()11y y ,.由122y y y y x x =⎧⎪⎨=⎪⎩得Q 的坐标为1212y x y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,.要证12S S =,即证111122AP y PQ y ⋅=⋅,即证AP PQ =.即证121112y x y x y y -=-,即证12211220y x y x y y +-=.因为()112y k x =-,()222y k x =-,所以1221122y x y x y y +-=()()()()212211222222k x x k x x k x x -+----()()()222121222428k k x x k k x x k =-+-+-()()222222284248880k k k k k k k k k =-⨯+-⨯-=-=.即12211220y x y x y y +-=,所以12S S =.22.已知函数()ln a f x ax x x=--.(1)若1x >,()0f x >,求实数a 的取值范围;(2)设12,x x 是函数()f x的两个极值点,证明:12()()f x f x a-<.【答案】(1)1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭;(2)证明见解析【解析】(1)依题意,2221()(0)a ax x a f x a x x x x-+'=-+=>.①当0a ≤时,在(1,)x ∈+∞上()0f x '<,所以()f x 在()1,+∞上单调递减,所以()(1)0f x f <=,所以0a ≤不符合题设.②当102a <<时,令()0f x '=,得20ax x a -+=,解得()10,1x =()21,x ∞=∈+,所以当()21,x x ∈时()0f x '<,所以()f x 在()21,x 上单调递减,所以()(1)0f x f <=,所以102a <<不符合题设.③当12a ≥时,判别式2140a ∆=-≤,所以()0f x '≥,所以()f x 在()1,+∞上单调递增,所以()(1)0f x f >=.综上,实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.(2)由(1)知,当102a <<时,()f x 在()10,x 上单调递增,在()12,x x 上单调递减,在()2,x +∞上单调递增,所以1x 是()f x 的极大值点,2x 是()f x 的极小值点.由(1)知,121=x x ,121x x a +=,则21x x a-.综上,要证()()12f x f x -<,只需证()()1221f x f x x x -<-,因为()()()()2212112211121ln x x x x x f x f x a x x a x x x ---+=+--+⋅()()()21222121112122lnln x x x x a x x x x x x x x -=-+--=+()21221121ln 1x x xx x x -=+,设211xt x =>,()21()ln 1t g t t t -=+.所以()()2221414()011g t t t t '=+=+++,所以()g t 在()1,+∞上单调递增,所以()()10g t g >=.所以()()21120x x f x f x --+>,即得()()1221f x f x x x -<-成立.所以原不等式成立.。
《天利38套高考模拟试题汇编》数学-答桉

{
{
{
员 愿 圆 愿 孕 缘 源 缘 源 缘 解法一: 证明: (Ⅰ) , , 员 苑 援 疫孕 粤 月 悦 阅 月 悦 月 悦 阅 ⊥底面 粤 平面 粤 , 亦孕 粤 悦 援 疫∠ 粤 悦 月越 怨 园 毅 亦月 悦 悦 援 ⊥月 ⊥粤 又孕 , 分) 粤 悦越粤 亦月 悦 粤 悦 援( 源 ∩粤 ⊥平面 孕
(
)
・ 答员 ・
员 ・遭 ( ) , 员 员 援 ; 依 员 【解析】 疫葬 越糟 燥 泽 燥 泽 蚤 灶 蚤 灶 燥 泽 α糟 α泽 α原 β 垣泽 β 越糟 β 圆 ・遭越糟 ( 亦当 α 越 π , 越 π 时, 葬 燥 泽 燥 泽 π 原π 越 α原 β)越糟 圆β 远 圆 远 π 越 员; 糟 燥 泽 猿 圆 糟 燥 泽 燥 泽 α越 λ糟 圆 圆 圆 圆 圆 β, 若葬 , 则 越 燥 泽 蚤 灶 燥 泽 蚤 灶 λ遭 糟 α 垣泽 α越 λ (糟 β 垣泽 β) 泽 蚤 灶 蚤 灶 α越 λ泽 β, 圆 , 即得 越 员 越依 员 援 λ λ 员 灶 由二项式 圆 的展开式的二项式系数和为 员 圆 援 原 员 远 园 【解析】 曾 原 曾 员 远 灶 , 可得 圆 , 即得 灶越远 , 于是可得 圆 展开式的通项 远 源 越 远 源 曾 原 曾 则 远 原则 则 原则 则 远 原则 则 远 原 圆 则 公式为 悦 ・ ( ) ・ ( ) ・ ( ) ・ ・ , 曾 原 员 曾 越 原 员 圆 悦 远 圆 远 曾 令远 , 可得 则 , 于是得展开式中的常数项为 原 圆 则 越 园 越 猿 猿 猿 猿 (原 ) ・ 员 圆悦 员 远 园 援 远越原 圆 员 猿 员 原曾 【解 析】疫 造 (曾 )越造 垣 圆 员 猿 援 原 蚤 皂枣 蚤 皂 越造 蚤 皂 圆 越 原曾 曾 圆 原 员 曾 曾 曾 员 →员 →员 员 →员曾 原 原 员 员 且函数 枣 (曾 ) 为正实数集上的连续函数, ( )越 造 蚤 皂 越原 , 亦枣 员 圆 垣 员 曾 →员 曾 员 猿 解之得 葬 员 垣葬 越原 , 越原 援 圆 圆 圆 , ; 【 解析】 由编码表可得, 第 皂行是首项为 员 , 员 源 援 葬 越 灶 原 圆 灶 垣 圆 灶 晕 远 ∈ 灶 垣 公差为 皂原 的等差数列, 则第 皂行的 灶个数为 员 (灶 ) (皂原 ) , 员 垣 原 员 员 圆 , 则有 葬 (灶 ) (灶 )越灶 , 令 皂越灶 员 垣 原 员 原 员 原 圆 灶 垣 圆 灶 ∈晕垣; 灶越 令员 (灶 ) (皂原 )越 , 可得 (皂原员 ) (灶原 )越 , 其整数解为 垣 原 员 员 员 园 园 员 怨 怨
专题 天利38套汇总:数列

38套专题训练:数列大题1、(宁波期末)(本题满分15分)如果数列{}n a 同时满足以下两个条件:(1)各项均不为0;(2)存在常数k ,对任意*n N Î,212n n n a a a k ++=+都成立。
则称这样的数列{}n a 为“k 类等比数列”。
(I )若数列{}n a 满足31n a n =+,证明数列{}n a 为“k 类等比数列”,并求出相应的k ; (II )若数列{}n a 为“3类等比数列”,且满足121,2a a ==,问是否存在常数l ,使得21n n n a a a l +++=对于任意*n N ∈都成立?若存在,求出l ;若不存在,请举出反例。
2、(杭州检测)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若n S +n a =n (*N n ∈).(I )求数列{}n a 的通项公式; (II )求证:221...21212133221<nn a a a a ++++. 3、(绍兴期末)20、(本小题满分14分)数列{}n a 是公差不为零的等差数列,56a =.数列{}n b 满足:13b =,11231n n b bb b b +=⋅⋅⋅+.()I 当2n ≥时,求证:111n n n b b b +-=-; ()II 当31a >且3a *∈N 时,3a ,5a ,1k a ,2k a ,⋅⋅⋅,n k a ,⋅⋅⋅为等比数列.()i 求3a ;()ii 当3a 取最小值时,求证:1231231111111141111n n k k k k b b b b a a a a ⎛⎫+++⋅⋅⋅+>+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪----⎝⎭.4、(温州一)19.(本题满分15分)对于任意的n ∈N *,数列{a n }满足1212121212121n na n a a n ---+++=++++ .(Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ) 求证:对于n≥2,231222112nn ++++<- 5、(台州期末)18.(15分)已知数列{a n }的前n 项和S n ,a 1=t (t ≠﹣1),S n +2a n+1+n+1=0,且数列{a n +1}为等比数列. (1)求实数t 的值;(2)设T n 为数列{b n }的前n 项和,b 1=1,且.若对任意的n ∈N *,使得不等式+…≥恒成立,求实数m 的最大值.6、(湖州期末)20、(本小题满分14分)已知数列{}n a 的前n 项和记为n S ,且满足21n n a S -=.()I 求数列{}n a 的通项公式; ()II 设()1nn n b a =--,记12111n nb b b T =++⋅⋅⋅+,求证:2n T <. 7、(诸暨期末)8、(衢州期末)19. (本题满分14分)已知数列{n a }是公差不为0的等差数列,其前n 项和为n S ,124,,a a a成等比数列,5328a S =+ (Ⅰ)求数列{n a }的通项公式;(Ⅱ)若数列{n a }的前n 项和31n n n T a =+,对任意2n ≥且*n N ∈,不等式n b <n kT 恒成立,求实数k 的取值范围.9、(五校联考)21.(本题满分15分)已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =-.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设1n nn a b a +=,记数列{}n b 的前n 和为n T ,证明:1032n nT -<-<.10、(金华十校)11、(金丽衢1)设数列{}n a 的前n 项的和为n S ,且⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列,已知,11=a 12432432=++S S S . (Ⅰ)求{}n a 的通项公式n a ;(Ⅱ)当2≥n 时,1401-≥++λλnn a a 恒成立,求λ的取值范围.12、(杭州2)13、(嘉兴一模)在数列{}n a 中,13a =,n a =2n n b a =-,2n =,3,⋅⋅⋅.()I 求2a ,3a ,判断数列{}n a 的单调性并证明;()II 求证:11224n n a a --<-(2n =,3,⋅⋅⋅); ()III 是否存在常数M ,对任意2n ≥,有23n b b b ⋅⋅⋅≤M ?若存在,求出M 的值;若不存在,请说明理由. 14、(嘉兴检测2)19.(本题满分15分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,设21=a ,有一组圆心在x 轴正半轴上的圆nA ( ,2,1=n )与x 轴的交点分别为)0,1(0A 和)0,(11++n n a A .过圆心n A 作垂直于x 轴的直线n l ,在第一象限与圆n A 交于点),(n n n b aB .(Ⅰ)试求数列}{n a 的通项公式;(Ⅱ)设曲边形11++n n n B B A (阴影所示)的m S S S n≤+++11121 恒成立,试求实数m 的取值范围.15、(宁波二模)19.(本题满分15分)已知m 为实数,且29-≠m ,数列{}n a 的前n 项和S n 满足m a S nn n +⨯+=32134 (Ⅰ)求证:数列{}13+-n n a 为等比数列,并求出公比q ;(Ⅱ)若15≤n a 对任意正整数n 成立,求证:当m 取到最小整数时,对于n ≥4,n ∈N ,都有 4811...n++>-16、(温州二模)20.(本小题14分)已知数列{}n a 满足:2,121==a a ,且1123(2,)n n n a a a n n *+-=+≥∈N .(I )设1()n n n b a a n *+=+∈N ,求证{}n b 是等比数列;(II )(i )求数列{}n a 的通项公式;(ii )求证:对于任意*∈N n 都有47111121221<++++-n n a a a a 成立. 17、(绍兴质检)18、(台州调研)19、(诸暨毕业班)20、(衢州二模)19.(本题满分15分)设各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为q ,[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数(如[]1.21=),设[]n n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,{}n a 的前n 项和为n S . (Ⅰ)若114,2a q ==,求n S 及n T ; (Ⅱ)若对于任意不超过2015的正整数n ,都有21n T n =+ ,证明:12013213q ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.21、(杭二中)18.已知数列{a n }中,111,1,33,n n na n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数, (Ⅰ)求证:数列23{}2n a -是等比数列;(Ⅱ)设n S 是数列{}n a 的前n 项和,求满足0n S >的所有正整数n .22、(学军中学)19.(15分)已知数列{a n },{b n }中,a 1=1,22111(1)n n n n a b a a ++=-⋅,n ∈N *,数列{b n }的前n 项和为S n .(1)若12n n a -=,求S n ;(2)是否存在等比数列{a n },使2n n b S +=对任意n ∈N *恒成立?若存在,求出所有满足条件的数列{a n }的通项公式;若不存在,说明理由;(3)若{a n }是单调递增数列,求证:S n <2.23、(镇海中学)19.(本题满分15分)P 在曲线C : ()11y x x=>上,曲线C 在点P 处的切线与直线y = 4x 交于点A , 与x 轴交于点B .设点A , B 的横坐标分别为,A B x x ,记()A B f t x x =.正数数列{n a }满足()1n n a f a -=*(,2)n N n ∈≥,1a a =. (Ⅰ)写出1,n n a a -之间的关系式;(Ⅱ)若数列{n a }为递减数列,求实数a 的取值范围; (Ⅲ)若2a =,34n n b a =-,设数列{n b }的前n 项和为n S ,求证:()*32n S n N <∈. 24、(绍兴一中)18. (本小题满分15分)已知正项数列{}n a 的前n 项和为11,,2n S a =且满足1241()n n S S n N *+=+∈.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)当1i n ≤≤,1j n ≤≤(,,i j n 均为正整数)时,求i a 和j a 的所有可能的乘积i j a a 之和.25、(五校2)20.(本小题满分14分)已知数列{}n a (*N n ∈,146n ≤≤)满足1a a =, 1,115,1,1630,1,3145,n n d n a a n n d+⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≤其中0d ≠,*N n ∈.(1)当1a =时,求46a 关于d 的表达式,并求46a 的取值范围; (2)设集合{|,,,,116}i j k M b b a a a i j k i j k *==++∈<<N ≤≤.①若13a =,14d =,求证:2M ∈;②是否存在实数a ,d ,使18,1,5340都属于M ?若存在,请求出实数a ,d ;若不存在,请说明理由.26、19.(六校联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,S n *3()2n a n n N =-∈.(I )求证{a n +1}是等比数列,并求数列{a n }的通项公式;(II )证明:27、(金华十校)18.(本题满分15分) 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,其中a 1=1,且1nn nS a a λ+=( n ∈N *).(Ⅰ)求常数λ的值,并写出{a n }的通项公式; (Ⅱ)记3nn na b =,数列{b n }的前n 项和为T n ,若对任意的n k ≥(k ∈N *),都有3144nT n -<,求常数k 的最小值.28、(宁波十校)已知数列{}n a 满足11a =,点()1,n n a a +在直线21y x =+上.数列{}n b 满足11b a =,121111()n n n b a a a a -=+++ (2n ≥且*n N ∈). (I)(i)求{}n a 的通项公式 ;(ii) 证明111n n n n b ab a +++=(2n ≥且*n N ∈); (II)求证:12111101113n b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ . 29、(稽阳联谊)20.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,满足a 1=2,S n +2=2a n ,n ∈N +, (Ⅰ)求a n ;(Ⅱ)求证+…+(Ⅲ)设b 1,b 2,…,b 2015是数列a 1,a 2,…,a 2015的任意一个排列,求()的最大值,并说明何时取到等号.30、(金丽衢2)20. (本题满分14分)在单调递增数列}{n a 中,12a =,24a =,且12212,,+-n n n a a a 成等差数列,22122,,++n n n a a a 成等比数列, ,3,2,1=n .(Ⅰ)(ⅰ)求证:数列}{2n a 为等差数列; (ⅱ)求数列}{n a 的通项公式.(Ⅱ)设数列}1{na 的前n 项和为n S ,证明:43(3)n n S n >+,*n ∈N .。