四川省德阳市高中高三数学“三诊”考试 理

四川省德阳市高中
2011级第三次诊断性考试
数学（理）试题
说明：
1．本试卷分第I 卷和第II 卷，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸
上答题无效，考试结束后，将答题卡交回。

2．本试卷满分150分，120分钟完卷。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 P (A +B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么 P (A ·B )=P (A )·P (B )
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概
率k n k k n n P P C k P --=)1()(
球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径
球的体积公式 343
V R π= 其中R 表示球的半径 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

）
1．若集合{|2},{||12}M x x N x x =<=-<，则M N =
（ ） A ．{|12}x x -<< B ．{|2}x x <
C ．{|22}x x -<<
D ．{|13}x x -<< 2．若圆C 与圆22(2)(1)1x y ++-=关于点（0，0）对称，则圆C 的方程为
（ ）
A ．22(2)(1)1x y -+-=
B ．22(2)(1)1x y -++=
C ．22(1)(2)1x y -++=
D ．22(1)(2)1x y ++-=
3．复数
21i i -的虚部为 （ ）
A ．i
B ．-i
C ．1
D ．-1
4．已知:0,:||||p a b q a b a b ⋅=+=-，则p 是q 的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．在同一坐标系中，函数()g x 的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称，函数()()
f x
g x 与的图象关于y 轴对称，若()1,f m =-则m 的值是
（ ） A ．-e B ．1e - C ．e D ．1
e --
6．若二项式5的展开式中第三项为10，则y 关于x 的函数的大致图象是
（ ）
7．若17cos(),sin(2)446ππα
α=-则=
（ ） A ．3132 B ．3132- C ．78 D ．78
- 8．在北纬60︒圆上，有甲、乙两地，它们在纬度圆上的弧上等于
2R π（R 为地球半径），则甲、乙两地间的球面距离为
（ ）
A ．1
3R π B R C R D R
9．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1,()f f x =是导函数'()f x
的图象如图所示，若两正数a 、b 满足2(2)1,2b f a b a ++<+则
的取值范围为
（ ） A ．11(,)32
B ．(,)2π-∞
C ．1(,3)2
D ．1((,)(3,)2-∞+∞
10．如图是一个正方体纸盒的展开图，1、2、3、4、5、6全部随机填
入标有字母A 、B 、C 、D 、E 、F 的小正方形内，再折成正方体，则
所得正方体恰有一个相对面的两个数之和为7的概率为 （ ）
A ．25
B ．815
C ．115
D ．120
11．已知双曲线22
221x y a b
-=的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是双曲线上的一点，212PF F F ⊥原点到直线PF 1的距离为
11||3OF ，则双曲线的离心率为
（ ） A ．3 B
C ．2 D
12．在平面直角坐标系中，定义11n n n n n n
x y x y y x ++=-⎧⎨=+⎩（n 为正整数）为点(,)n n n P x y 到点
111(,)n n n P x y +++的一个变换，将之称为点变换，已知12221(0,1),(,),,(,)n n n P P x y P x y +++…是经
过点变换得到的一列点，并记1n n n a +为点P 与P 间的距离，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则lim
n n n S a →∞的值为
（ ）
A
B
．2C
．1D
．2+ 第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

将答案填在答题卡对应题号后横线上。

13．设函数3()3f x x ax =-,若对任意实数m ，直线0x y m ++=都不是曲线()y f x =的切
线，则a 的取值范围为 。

14．已知随机变量ξ服从正态分布，且关于x 的方程220x x ξ++=有实数根的概率为
12
，若(2)0.8,(02)P P ξξ≤=≤≤则= 。

15．已知点M 是抛物线24y x =上的一点，F 为抛物线的焦点，点A 在圆22(4)(1)1
x y -+-=上，则|MA|+|MF|的最小值为 。

16．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，长度为定值的线段EF 在线段B 1D 1上滑动，现有五个命题
如下：
①AC BE ⊥ ②EF//平面A 1BD
③直线AE 与BF 所成角为定值 ④直线AE 与平面BD 1所成角为定值 ⑤三棱锥A —BEF 的体积为定值。

其中正确命题序号为 。

三、解答题：本大题共6个小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
已知直线1y =与函数2()2cos
cos()(0)23x f x x ωπωω=++>的图象的相邻两个交点为M 、N ，||.2MN π
=
（1）求()f x 的单调减区间；
（2）在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，若1(),3,2
f A c ABC =-
=∆
的面积为a 的值。

18．（本小题满分12分）
某校体育科分别开设了足球、篮球、排球三运动项目的选修课，现有4位同学，每
位同学限选其中之一且都是等可能的。

用ξ表示这4位同学选择篮球项目的人数，求ξ的分布列及数学期望。

19．（本小题满分12分）
在斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，11,,BC AC BA AC ⊥⊥AC=BC=2，
点A 1在底面ABC
上的射影恰为AC 的中点D 。

（1）求证：1AC ⊥平面A 1BC ；
（2）求点C 1到平面A 1AB 的距离；
（3）求二面角A 1—AB —C 的大小。

20．（本小题满分12分） 已知F 1、F 2分别是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，点B 是其顶点，椭圆
的右准线与x 轴交于点N ，且2154,||BF BF BN BN =+=
（1）求椭圆方程；
（2）直线:2m y kx =-与椭圆交于不同的两点M 、Q ，若BMQ ∆为底边的等腰三角形，
求k 的值。

21．（本小题满分12分） 已知ln ()ln ()a x f x x g x x x
=+=和都是定义在区间(]0,e 上的函数。

（1）若()f x 的最小值为-1，求实数a 的值；
（2）若关于x 的方程
(]2()()0,a f x g x e x
-=在上只有一个实数解，求a 的取值范围。

（3）当a=1时，求证1()().2f x g x >+ 22．（本小题满分14分）
设各项均为正数的等比数列1335{},10,40.n a a a a a +=+=中设2log .n n b a =
（1）求数列{}n b 的通项公式；
（2）若111,,:3;n n n n n
b c c c c a +==+<求证 （3）设12111n n T b b b =+++，是否存在关于n 的整式()g n ，使121()n T T T g n -+++⋅对一切不小于2的整数n 都成立？若存在，求出()g n ，若不存在，说明理由。