【高考一轮复习】2018课标版理数7.3二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题夯基提能作业本

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【高考数学】2018最新高三数学课标一轮复习课件：7.2 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

C
解析答案
第七章
知识梳理双击自测
7.2 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
考情概览知识梳理核心考点学科素养
-7-
��-3�� + 6 < 0, 2.不等式组表示的平面区域是( ��-�� + 2 ≥ 0
)
关闭
x-3y+6<0表示直线x-3y+6=0左上方的平面区域,x-y+2≥0表示直线xy+2=0及其右下方的平面区域.故选C. C
7.2
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
第七章
7.2 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
考情概览知识梳理核心考点学科素养
-2-
2016 2015 2014 2013 年份 2017 简单 3,5 分(理) 14,4 分(理) 13,4 分(理) 13,4 分(理) 的线 4,4 分性规 4,5 分(文) 14,4 分(文) 12,4 分(文) 15,4 分(文) 划 1.了解二元一次不等式的几何意义. 考查 2.掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系,并会求要求解简单的二元线性规划问题. 本节内容是高考必考内容,主要考查用二元一次不等式组考向表示平面区域,求线性目标函数的最值,已知线性目标函数分析的最值求参数及求非线性目标函数的取值范围.试题在考查知识的同时,还注重考查等价转化的数学思想.
第七章
知识梳理单的线性规划问题
考情概览知识梳理核心考点学科素养
-3-
1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域 .我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把边界直线画成实线 . (2)由于对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y) 代入Ax+By+C,所得的符号都相同 ,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的符号 ,即可判断 Ax+By+C>0表示的直线是Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.

(课标通用)高考数学一轮复习第七章不等式第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划课件理

第七章
不等式
第三节
二元一次不等式(组)与简单的线性规划
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组； 2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
知识
梳理诊断
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)在平面直角坐标系中，直线 Ax＋By＋C＝0 将平面内的所有点分成三类：一类在直线 Ax＋By＋C＝0 上，另两类分别在直线 Ax＋By＋C＝0 的两侧，其中一侧半平面的点的坐标满足 Ax ＋ By ＋ C>0 ，另一侧的半平面的点的坐标满足
x＋y－1≥0 A. x－2y＋2≥0 x＋y－1≤0 B. x－2y＋2≤0 x－y＋1≥0 C. x＋2y＋2≥0 x＋y－1>0 D. x－2y＋2>0
)
(2)(2016· 甘肃会宁第一中学第四次月考)已知由不等式组 x≤0， y≥0， y－kx≤2， y－x－4≤0 ( ) A．－3 C．3 B．－1 D．1
若 z＝kx＋y 的最大
[解析]
设直线 x－2y＋4＝0 与 2x－y－4＝0、直线 x－
2y＋4＝0 与 x＝2 的交点分别为 A、B，则 A(4,4)、B(2,3)，z ＝kx＋y 可化为 y＝－kx＋z.当 k＝0，显然不符合题意．当－ k>0，即 k<0 时，A、B 两点都可能是最优点，但代入后检验都矛盾；当－k<0，即 k>0 时，显然点 A(4,4)是最优解，代入 9 后可得 k＝4.
实线直线，此时边界直线画成______ ．
(3)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点

2018届高三数学理一轮总复习江苏专用课件：第七章第三节二元一次不等式组及简单的线性规划问题精品

[题组练透]
x＋y≥2， 1．(2016·徐州一模)不等式组 2x－y≤4，
x－y≥0
所围成的平面区
域的面积为________．
解析：如图，不等式组所围成的平面区域为△ABC，其中A(2,0)，B(4,4)， C(1,1)，所求平面区域的面积为S△ABO－ S△ACO＝12(2×4－2×1)＝3. 答案：3
[典例引领] (2015·陕西高考)某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得最大利润为________.
A(吨) B(吨)
甲乙原料限额
3
2
2．常见的3类目标函数
(1)截距型：形如z＝ax＋by.
求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线
的斜截式：y＝－
a b
x＋
z b
，通过求直线的截距
z b
的最值间接求
出z的最值．
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.
(3)斜率型：形如z＝xy－－ba.
[提醒] 注意转化的等价性及几何意义．
则z＝2x＋4y－3的最大值是________．
解析：满足约束条件xx＋－yy＋≤50≥，0， y≤0
的区域如图所示，目标函数 z＝2x＋4y－ 3 在点(0,0)处取得最大值，则 zmax＝－3. 答案：－3
解析：画出可行域如图阴影所示，∵xy表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，
3.如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．
解析：两直线方程分别为 x－2y＋2＝0与x＋y－1＝0. 由(0,0)点在直线x－2y＋2＝0 右下方可知x－2y＋2≥0，又(0,0)点在直线x＋y－1＝0左下方可知x＋y－1≥0，即xx＋－y2－y＋1≥2≥0， 0 为所表示的可行域．答案：xx＋－y2－y＋1≥2≥0， 0

高考数学一轮复习二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题-教学课件

解析:画出可行域(如图所示),
目标函数 z=-x+3y 在 B(10,20)
点取最大值 zmax=-10+3×20=50. 故选 C.
4.(2013 广东六校高三第三次联考)点 A(3,1)和 B(-4,6)
在直线 3x-2y+a=0 的两侧,则 a 的取值范围是
.
解析:由题意知(3×3-2×1+a)[3×(-4)-2×6+a]<0
解:设该公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,总收益为 z 元,由题意得
x y 300,
500x 200 y 90000,
x
0,
y 0.
目标函数 z=3000x+2000y.
x y 300,
二元一次不等式组等价于
5x 2 x 0,
y
900,
y 0.
∴zmax=3000×100+2000×200=700000(元). 即该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视
台做 200 分钟广告,公司的收益最大,最大收益是
70 万元.
命题探究
含参数的线性规划问题
【典例】 (2013 年高考广东卷)已知变量 x,y 满足约束条件
x y 3 0,
1 x 1, 则 z=x+y 的最大值是
k
2
由
y y
x 2, kx 1,
得
yA=
2k 1 1 k
,
所以 S = △ABC 1 (2- 1 )× 2k 1 = 1 ,
2k
1 k 4
解得 k=1 或 k= 2 < 1 (舍去),所以 k=1.故选 D. 72
考点二求目标函数的最值问题

2018版高考数学一轮复习第七章不等式 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题理

第七章不等式 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题理1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念3.重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．【知识拓展】1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有(1)当B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方； (2)当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方． 2．最优解和可行解的关系：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．( √ ) (2)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (3)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0.( √ )(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy <0表示．( √ ) (5)线性目标函数的最优解是唯一的．( × )(6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．( √ )(7)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × )1．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3)答案 C解析把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C. 2．(教材改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )答案 C解析用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为C. 3．(2016·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5 答案 C解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，作直线2x ＋y ＝0并平移，当直线过点A 时，截距最大，即z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以A 点坐标为(1,2)，可得2x ＋y 的最大值为2×1＋2＝4.4．(教材改编)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －2≥0，x ＋y －4≤0，x －3y ＋3≤0，则z ＝－3x ＋y 的最小值为________．答案 0解析画出可行域为阴影部分．z ＝－3x ＋y ，即y ＝3x ＋z 过交点A 时，z 最小．解⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －2＝0，x ＋y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，∴z min ＝－3×1＋3＝0.5．(教材改编)投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0解析用表格列出各数据所以不难看出，x ≥0，y ≥0,200x ＋300y ≤1 400,200x ＋100y ≤900.题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1 不含参数的平面区域问题例1 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.34答案 (1)C (2)C解析 (1)(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有C 符合题意．(2)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A (0，43)，B (1,1)，C (0,4)，则△ABC的面积为12×1×83＝43.故选C.命题点2 含参数的平面区域问题例2 (1)(2015·重庆)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43D ．3(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是______________________________．答案 (1)B (2)73解析 (1)不等式组表示的平面区域如图，则图中A 点纵坐标y A ＝1＋m ，B 点纵坐标y B ＝2m ＋23，C 点横坐标x C ＝－2m ，∴S △ABD ＝S △ACD －S △BCD ＝12×(2＋2m )×(1＋m )－12×(2＋2m )×2m ＋23＝m ＋23＝43， ∴m ＝1或m ＝－3，又∵当m ＝－3时，不满足题意，应舍去，∴m ＝1. (2)不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73.思维升华 (1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．(1)若函数y ＝2x图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12 B ．1 C.32D ．2(2)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2 答案 (1)B (2)A解析 (1)在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.(2)由于x ＝1与x ＋y －4＝0不可能垂直，所以只可能x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直或x ＝1与kx －y ＝0垂直．①当x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直时，k ＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求． ②当x ＝1与kx －y ＝0垂直时，k ＝0，检验不符合要求．题型二求目标函数的最值问题命题点1 求线性目标函数的最值例3 (2016·全国丙卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．答案 32解析满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0的可行域为以A (－2，－1)，B (0,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12为顶点的三角形内部及边界，则y ＝－x ＋z 过点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时z 取得最大值32. 命题点2 求非线性目标函数的最值例4 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.(1)若z ＝yx，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围； (2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围．解由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此y x的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)，∴k OB ＝21＝2，即z min ＝2，∴z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．因此x 2＋y 2的最小值为OA 2，最大值为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0,1)，∴OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5， ∴z 的取值范围是[1,5]．引申探究 1．若z ＝y －1x －1，求z 的取值范围．解 z ＝y －1x －1可以看作过点P (1,1)及(x ，y )两点的直线的斜率． ∴z 的取值范围是(－∞，0]．2．若z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3.求z 的最大值、最小值．解 z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1,1)与Q (x ，y )的距离的平方PQ 2，PQ 2max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，PQ 2min ＝(|1－1＋1|12＋－2)2＝12， ∴z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.命题点3 求参数值或取值范围例5 (1)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________.(2)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________. 答案 (1)5 (2)12解析 (1)显然，当m <2时，不等式组表示的平面区域是空集；当m ＝2时，不等式组表示的平面区域只包含一个点A (1,1)．此时z min ＝1－1＝0≠－1. 显然都不符合题意．故必有m >2，此时不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m所表示的平面区域如图所示，平面区域为一个三角形区域，其顶点为A (1,1)，B (m －1,1)，C (m ＋13，2m －13)．由图可知，当直线y ＝x －z 经过点C 时，z 取得最小值，最小值为m ＋13－2m －13＝2－m3.由题意，得2－m3＝－1，解得m ＝5.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a x －，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.思维升华 (1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值． (2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离，x －a2＋y －b2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；② y x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，y －bx －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件．(1)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2(2)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)C (2)[1，32]解析 (1)对于选项A ，当m ＝－2时，可行域如图①，直线y ＝2x －z 的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故A 不正确；对于选项B ，当m ＝－1时，mx －y ≤0等同于x ＋y ≥0，可行域如图②，直线y ＝2x －z 的截距可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故B 不正确；对于选项C ，当m ＝1时，可行域如图③，当直线y ＝2x －z 过点A (2,2)时截距最小，z 最大为2，满足题意，故C 正确；对于选项D ，当m ＝2时，可行域如图④，直线y ＝2x －z 与直线OB 平行，截距最小值为0，z 最大为0，不符合题意，故D 不正确．(2)画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32.所以a 的取值范围是[1，32]．题型三线性规划的实际应用问题例6 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元． (1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.(2)约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋－x －y ，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.∴最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．思维升华解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多) 的量为未知量x ，y ，并列出相应的不等式组和目标函数．(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)． (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)． (5)检验：根据结果，检验反馈．某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机，每台A 型或B 型电视机所得利润分别为6和4个单位，而生产一台A 型和B 型电视机所耗原料分别为2和3个单位，所需工时分别为4和2个单位，如果允许使用的原料为100个单位，工时为120个单位，且A 型和B 型电视机产量分别不低于5台和10台，应当生产每种类型电视机多少台，才能使利润最大？解设生产A 型电视机x 台，B 型电视机y 台，则根据已知条件知线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤100，4x ＋2y ≤120，x≥5，y ≥10，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤100，2x ＋y ≤60，x ≥5，y ≥10，x ，y ∈N .线性目标函数为z ＝6x ＋4y .根据约束条件作出可行域如图中阴影部分整点所示，作直线l 0：3x ＋2y ＝0，当直线l 0平移至点A 时，z 取最大值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝100，2x ＋y ＝60，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝20.所以生产两种类型电视机各20台时，所获利润最大．8．含参数的线性规划问题典例 (1)在直角坐标系xOy 中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤2x ，y ≤k x －－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是________．(2)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝________.错解展示解析 (1)如图，直线y ＝k (x －1)－1过点(1，－1)，作出直线y ＝2x ，当k <－1或0<k <2或k >2时，不等式组表示一个三角形区域．(2)由不等式组表示的可行域，可知z ＝ax ＋y 在点A (1,1)处取到最大值4， ∴a ＋1＝4，∴a ＝3.答案 (1)(－∞，－1)∪(0,2)∪(2，＋∞) (2)3 现场纠错解析 (1)直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，当这条直线的斜率为负值时，该直线与y 轴的交点必须在坐标原点上方，即直线的斜率为(－∞，－1)，只有此时可构成三角形区域．(2)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得A (1,1)．z ＝ax ＋y 等价于y ＝－ax ＋z ，因为z 的最大值为4，即直线y ＝－ax ＋z 的纵截距最大为4. 若z ＝ax ＋y 在A (1,1)处取得最大值，则纵截距必小于2，故只有直线y ＝－ax ＋z 过点(2,0)且－a <0时符合题意， ∴4＝a ×2＋0，即a ＝2. 答案 (1)(－∞，－1) (2)2纠错心得 (1)含参数的平面区域问题，要结合直线的各种情况进行分析，不能凭直觉解答． (2)目标函数含参的线性规划问题，要根据z 的几何意义确定最优解，切忌搞错符号．1．若点(m,1)在不等式2x ＋3y －5>0所表示的平面区域内，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥1 B．m ≤1 C．m <1 D ．m >1 答案 D解析由2m ＋3－5>0，得m >1.2．若函数y ＝log 2x 的图象上存在点(x ，y )，满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 B解析如图，作出不等式组表示的可行域，当函数y ＝log 2x 的图象过点(2,1)时，实数m 有最大值1.3．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个答案 B解析由不等式组画出可行域的平面区域如图(阴影部分)．直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)，且其斜率k ＝－2<k AB ＝－43，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5,0)．4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞B ．(0,1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 答案 D解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求A ，B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是0＜a ≤1或a ≥43.5．(2016·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17 答案 B解析由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小．又知点A 的坐标为(3,0)， ∴z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B.6．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2 答案 B解析画出可行域如图所示．由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，欲求z 的最大值，可将直线y ＝2x 向下平移，当经过区域内的点，且满足在y 轴上的截距－z 最小时，即得z 的最大值，如图，可知当过点A 时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7＝0，x －3y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，即A (5,2)，则z max ＝2×5－2＝8.7．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( ) A ．1 800元 B ．2 400元 C ．2 800元 D ．3 100元答案 C解析设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，则根据题意得x 、y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12.设获利z 元，则z ＝300x ＋400y . 画出可行域如图．画出直线l ：300x ＋400y ＝0，即3x ＋4y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线过点M 时，目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即M 的坐标为(4,4)，∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元)．故选C.8．(2017·枣庄月考)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，则ω＝y ＋1x的最小值是( ) A ．－2 B ．2 C ．－1 D ．1答案 D解析作出不等式组对应的平面区域如图，ω＝y ＋1x的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率，由图象可知当P 位于点D (1,0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝y ＋1x 的最小值为－1－00－1＝1. 故选D.*9.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两个不同实数解，则实数k 的取值范围是( )A ．(－6，－2)B ．(－3,2)C ．(－103，－2)D ．(－103，－3)答案 C解析作出可行域，如图所示，则目标函数z ＝x －2y 在点(1,0)处取得最大值1，在点(－1,1)处取得最小值－3， ∴a ＝1，b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3，1)上有两个不同实数解．令f (x )＝x 2－kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f －，f ，－3<k2<1，Δ＝k 2－4>0⇒－103<k <－2，故选C.10．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的区域面积为________．答案 12或14解析直线kx －y ＋1＝0过点(0,1)，要使不等式组表示的区域为直角三角形，只有直线kx －y ＋1＝0垂直于y 轴(如图(1))或与直线x ＋y ＝0垂直(如图(2))时才符合题意．所以S ＝12×1×1＝12或S ＝12×22×22＝14.11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.12．(2016·宜春中学、新余一中联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________．答案 [3,11] 解析设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋y ＋x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1，设z ′＝y ＋1z ＋1，则z ′的几何意义为动点P (x ，y )到定点D (－1，－1)的斜率．画出可行域如图阴影部分所示，则易得z ′∈[k DA ，k DB ]，易得z ′∈[1,5]，∴z ＝1＋2·z ′∈[3,11]．*13.给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．答案 6解析作出图形可知，△ABF 所围成的区域即为区域D ，其中A (0,1)是z 在D 上取得最小值的点，B ，C ，D ，E ，F 是z 在D 上取得最大值的点，则T 中的点共确定AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BF 共6条不同的直线．14. 已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解 (1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧ 7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]<0，即(14－a )(－18－a )<0，解得－18<a <14.故a 的取值范围是(－18,14)．15．某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z 2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．。

[推荐学习]课标通用2018年高考数学一轮复习第七章不等式7.2二元一次不等式组与简单的线性规划问题

§7.2 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考纲展示► 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．考点1 二元一次不等式(组)表示平面区域二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)________边界直线，把边界直线画成虚线；不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域(半平面)________边界直线，把边界直线画成实线．(2)对于直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x ，y )，使得Ax ＋By ＋C 的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，如果其坐标满足Ax ＋By ＋C ＞0，则位于另一个半平面内的点，其坐标满足________．(3)可在直线Ax ＋By ＋C ＝0的同一侧任取一点，一般取特殊点(x 0，y 0)，从Ax 0＋By 0＋C 的________就可以判断Ax ＋By ＋C >0(或Ax ＋By ＋C <0)所表示的区域．(4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的________．答案：(1)不包括包括 (2)Ax ＋By ＋C ＜0 (3)符号 (4)公共部分(1)[教材习题改编]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )A BC D答案：C(2)[教材习题改编]已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －2≥0，x ＋y －4≤0，x －3y ＋3≤0，则z ＝－3x ＋y 的最小值为________．答案：0不等式表示平面区域的易错点：方程Ax ＋By ＋C ＝0中Ax ＋By ＋C 的符号与不等式表示的平面区域的关系．(1)不等式2x －y －3＞0表示的平面区域是________．答案：直线2x －y －3＝0的右下方(不包括边界)解析：将原点(0,0)代入2x －y －3，得2×0－0－3＝－3＜0，所以不等式2x －y －3＞0表示直线2x －y －3＝0的右下方(不包括边界)，如图所示．(2)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0表示的平面区域是________．答案：直线x －2y ＋1＝0与x ＋y －3＝0之间的上、下两部分(包括边界) 解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.在平面直角坐标系中作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0和⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，所表示的平面区域．故不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0表示的平面区域如图中的阴影部分所示．[典题1] (1)[2017·山东青岛月考]若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )A ．3 B.52C ．2D ．2 2[答案] C[解析]因为直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)，故|AB |＝2，|AC |＝22，其面积为12×|AB |×|AC |＝2.(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43 D ．3[答案] B[解析] 如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m ＜2，则m ＞－1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－m ，y ＝1＋m ，即A (1－m,1＋m )．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23－43m ，y ＝23＋23m ，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23－43m ，23＋23m ，所围成的区域为△ABC ，则S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12(2＋2m )(1＋m )－12(2＋2m )·23(1＋m ) ＝13(1＋m )2＝43，解得m ＝－3(舍去)或m ＝1.故选B.[点石成金] 确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．(2)当不等式中带等号时，边界应画成实线；不带等号时，边界应画成虚线，特殊点常取原点．考点2 求目标函数的最值(1)[教材习题改编]已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．答案：11解析：由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即A (3,2)．当直线y ＝－3x ＋z 经过点(3,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×3＋2＝11.(2)[教材习题改编]投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为________．(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数)答案：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤1 400，2x ＋y ≤900，x ≥0，y ≥0解析：生产A 产品x 吨，生产B 产品y 吨，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤1 400，2x ＋y ≤900，x ≥0，y ≥0.[考情聚焦] 线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．主要有以下几个命题角度：角度一转化为截距(形如z ＝ax ＋by )[典题2] [2017·山东荣成六中高三月考]若变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x ＋4y ≤3，y ≥0，则z＝x ＋y 的最大值是( )A ．3B ．2C ．1D ．0[答案] A[解析] 可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A (1,0)，B (3,0)，C (－1,1)，所以直线z ＝x ＋y 过点B 时取最大值3，故选A.角度二转化为距离[形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2或z ＝|Ax ＋By ＋c |][典题3] [2017·河南开封模拟]设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤1，x ＋y ≥2，y ≤2，则目标函数z ＝x 2＋y 2的取值范围为( )A ．[2,8]B ．[4,13]C ．[2,13] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，13[答案] C[解析] 作出可行域，如图中阴影部分所示，将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方，从而可得z min ＝|OA |2＝⎝⎛⎭⎪⎫|0＋0－2|12＋122＝2， z max ＝|OB |2＝32＋22＝13.故z 的取值范围为[2,13]．角度三转化为斜率⎣⎢⎡⎦⎥⎤形如z ＝ay ＋bcx ＋dac[典题4] [2015·新课标全国卷Ⅰ]若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．[答案] 3[解析]画出可行域如图中阴影部分所示，∵ y x表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率， ∴ 点(x ，y )在点A 处时y x最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.∴ A (1,3)．∴ yx的最大值为3. 角度四线性规划中的参数问题[典题5] (1)[2015·山东卷]已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3[答案] B[解析] 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知，x ＝2，y ＝0符合题意，∴2a ＋0＝4，此时a ＝2，故选B.(2)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a ＝( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1[答案] D[解析] 由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0,2)，B (2,0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.[点石成金] 1.求目标函数最值的三个步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线l .(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置．(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 2．常见的三类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a. [提醒] 注意转化的等价性及几何意义．考点3 线性规划的实际应用[典题6] [2016·新课标全国卷Ⅰ]某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．[答案] 216 000[解析] 由题意，设产品A 生产x 件，产品B 生产y 件，利润z ＝2 100x ＋900y ，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x∈N，y∈N，可知取得最大值时的最优解为(60,100)，所以z max＝2 100×60 ＋900×100＝216 000(元)．[点石成金] 1.解线性规划应用题的三个步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题．(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题．(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．2．求解线性规划应用题的三个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式.某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )A．31 200元B．36 000元C．36 800元D．38 400元答案：C解析：设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z＝1 600x＋2 400y，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，y －x ≤7，y ＋x ≤21，x ，y ∈N ，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元).[方法技巧] 1.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．2．点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)位于直线Ax ＋By ＋C ＝0的两侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0；位于直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0.[易错防范] 1.在画平面区域时，要注意实虚线．2．在通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距z b取最大值时，z 也取最大值，截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距z b取最大值时，z 取最小值，截距z b取最小值时，z 取最大值．真题演练集训1．[2016·山东卷]若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12答案：C解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设P (x ，y )为平面区域内任意一点，则x 2＋y 2表示|OP |2.显然，当点P 与点A 重合时，x 2＋y 2取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，故A (3，－1)．所以x 2＋y 2的最大值为32＋(－1)2＝10.故选C.2．[2016·北京卷]若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5答案：C解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，故当目标函数z ＝2x ＋y 经过点A (1,2)时，z 取得最大值，z max ＝2×1＋2＝4.故选C.3．[2015·陕西卷]某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 C ．17万元 D ．18万元答案：D解析：设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图中阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18(万元)．4．[2014·新课标全国卷Ⅰ]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2 D ．p 1，p 3答案：C解析：作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －2y ＝4，得交点A (2，－1)．目标函数的斜率k ＝－12>－1，观察直线x ＋y ＝1与直线x ＋2y ＝0的倾斜程度，可知u ＝x ＋2y 过点A 时取得最小值0⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＝－x 2＋u 2，u2表示纵截距.结合题意知p 1，p 2正确．5．[2016·新课标全国卷Ⅲ]若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．答案：32解析：约束条件对应的平面区域是以点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，(0,1)和(－2，－1)为顶点的三角形，当目标函数y ＝－x ＋z 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时，z 取得最大值32.课外拓展阅读非线性目标函数最值的求解类型1 斜率型非线性规划问题的最值(值域) 目标函数形式一般为z ＝ay ＋bcx ＋d(ac ≠0)，求解步骤为 (1)需先弄清其几何意义，z ＝a c ·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－d c 表示的是可行域内的点(x ，y )与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－dc ，－b a 所连直线的斜率的a c倍．(2)数形结合，确定定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－d c ，－b a ，观察可行域的范围．(3)确定可行域内的点(x ，y )，看(x ，y )取何值时，斜率最大(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最大值)；(x ，y )取何值时，斜率最小(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最小值)；通常在三角形或四边形的边界交点处取得最值．[典例1] 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≥0，x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，则f (x ，y )＝x ＋2y2x ＋y的取值范围是________．[思路分析][解析]作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，f (x ，y )＝x ＋2y2x ＋y＝1＋2·y x2＋y x.令y x ＝k ，则g (k )＝1＋2k 2＋k ＝2－32＋k. 而k ＝yx表示可行域内的点P (x ，y )与坐标原点O 的连线的斜率，观察图形可知，k OA ≤k ≤k OB ，而k OA ＝1－03－0＝13，k OB ＝3－01－0＝3，所以13≤k ≤3，即57≤f (x ，y )≤75. [答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤57，75类型2 距离型非线性规划问题的最值(值域)1．目标函数形式为z ＝(x －a )2＋(y －b )2时，求解步骤为： (1)其表示的是可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )之间的距离的平方． (2)数形结合，确定定点(a ，b )，观察可行域的范围．(3)确定可行域内的点(x ，y )，看(x ，y )取何值时，距离最大(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最大值)；(x ，y )取何值时，距离最小(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最小值)；通常在三角形、四边形的边界交点处或定点(a ，b )到可行域边界直线的垂足处取得．2．目标函数形如z ＝|Ax ＋By ＋C |时，一般步骤为： (1)将z ＝|Ax ＋By ＋C |＝A 2＋B 2·|Ax ＋By ＋C |A 2＋B 2，问题转化为求可行域内的点(x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍的最值．(2)确定可行域，通过数形结合的方法求出所求的最值．[典例2] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝(x ＋1)2＋y 2的最大值为( )A ．80B ．4 5C ．25 D.172[思路分析] 作出可行域→结合目标函数的几何意义：两点间距离的平方→数形结合，求得z 的最大值[解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，如图中阴影部分所示．(x ＋1)2＋y 2可看作点(x ，y )到点P (－1,0)的距离的平方，由图可知，可行域内的点A 到点P (－1,0)的距离最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＋5＝0，得点A 的坐标为(3,8)，代入z ＝(x ＋1)2＋y 2，得z max ＝(3＋1)2＋82＝80. [答案] A[典例3]实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．[思路分析][解析] 解法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，即其几何意义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得点B 的坐标为(7,9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.解法二：由图可知，阴影区域内的点都在直线x ＋2y －4＝0的上方，显然此时有x ＋2y －4>0，于是目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，即转化为简单的线性规划问题，显然当直线经过点B 时，目标函数取得最大值，z max ＝21.[答案] 21 技巧点拨解决这类问题时，需充分把握好目标函数的几何意义，在几何意义的基础上加以处理．。

高考数学一轮复习第七章不等式第三节二元一次不等

.
答案 (1)B (2)(-∞,-2]∪[0,1) 解析 (1)作出可行域,如图所示.
易知B(-2,0),由
3x得 y 故0, A(1, )x. 1,
3
x 3y 2 0 y 3,
∴S△AOB= 1 ×2×3 =3 .
2
故选B.
x 0,
(2)不等式组
y
x,
所表示的平面区域为图中△AOB及其内部.
1-1 (2016北京顺义一模)在平面直角坐标系中,若不等式组
x y 1 0,
x
1
0,
(a为常数)表示的区域面积为3,则a的值为
ax y 1 0
A.-5 B.-2
(D)
C.2 D.5
x y 1 0,
答案 D 不等式组x 1 0, (a为常数)表示的区域如图所示.由题
4.(2016北京海淀一模)若x,y满足
x y
y 0,
4
0,
则z=
1 2
x+y的最大值为(
C
)
A. 5 B.3 C. 7 D.4
2
2
答案 C 画出不等式组表示的平面区域如图所示.
将目标函数z= 1 x+y变形为y=1- x+z.
2
2
先画出l0:y=- 1 x.将l0向上平移至经过点A时z有最大值,
C.(0,+∞) D.(-∞,-1)
答案 B 画出不等式组表示的平面区域如图所示.
x y 0,
因为点(2,-3)不在不等式组x y 2 0,表示的平面区域内,则点(2,-3)在
ax y 1 0
直线ax-y-1=0的下方,
故-3<2a-1.∴a>-1.

高考数学一轮复习第七章不等式 7.2 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题真题演练集训理

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单的线性规划问题真题演练集训理新人教A 版1．［2016·山东卷］若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，，x ≥0则x 2＋y 2的最大值是( ）A ．4B ．9C ．10D ．12答案：C解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设P （x ，y )为平面区域内任意一点，则x 2＋y 2表示|OP ｜2。

显然，当点P 与点A 重合时，x 2＋y 2取得最大值,由错误!解得错误!故A (3，－1）．所以x 2＋y 2的最大值为32＋(－1)2＝10。

故选C. 2．［2016·北京卷］若x ，y 满足错误!则2x ＋y 的最大值为（） A ．0 B ．3 C ．4 D ．5答案：C解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0x ＋y ≤3，x ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示，由错误!解得错误!故当目标函数z＝2x＋y经过点A（1，2)时，z取得最大值,z max＝2×1＋2＝4。

故选C。

3．[2015·陕西卷］某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲乙原料限额A（吨）3212B(吨)128A。

【中小学资料】2018版高考数学一轮复习第七章不等式第3讲二元一次不等式(组)与简单的线性理

第3讲二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、选择题1．不等式x －2y ＞0表示的平面区域是( )．解析将点(1,0)代入x －2y 得1－2×0＝1＞0. 答案 D2．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5>0，2x ＋y －7>0，x ≥0，y ≥0.若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值是( )． A ．14B ．16C ．17D ．19解析线性区域边界上的整点为(3,1)，因此最符合条件的整点可能为(4,1)或(3,2)，对于点(4,1)，3x ＋4y ＝3×4＋4×1＝16；对于点(3,2)，3x ＋4y ＝3×3＋4×2＝17，因此3x ＋4y 的最小值为16. 答案 B 3．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )． A ．(－∞，5) B ．[7，＋∞)C ．[5,7)D ．(－∞，5)∪[7，＋∞)解析画出可行域，知当直线y ＝a 在x －y ＋5＝0与y 轴的交点(0,5)和x －y ＋5＝0与x ＝2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形．故5≤a <7.答案 C4．设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －10≤0，x －2y ＋8≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为( )．A.256B.83C.113D ．4解析由可行域可得，当x ＝4，y ＝6时，目标函数z ＝ax ＋by 取得最大值，∴4a ＋6b＝12，即a 3＋b 2＝1.∴2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋b 2＝136＋b a ＋a b ≥136＋2＝256.答案 A5．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≤a a，x －y ≤0，若目标函数z ＝x ＋y 取得最大值4，则实数a 的值为( )． A ．4B ．3C ．2D.32解析作出可行域，由题意可知可行域为△ABC 内部及边界，y ＝－x ＋z ，则z 的几何意义为直线在y 轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点A 时，目标函数取得最大值4，此时A 点坐标为(a ，a )，代入得4＝a ＋a ＝2a ，所以a ＝2. 答案 C6．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是 ( )． A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元解析设某公司生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，获利为z 元，则x ，y 满足的线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0且y ∈Z ，y ≥0且y ∈Z ，目标函数z ＝300x ＋400y .作出可行域，如图中四边形OABC 的边界及其内部整点．作直线l 0：3x ＋4y ＝0，平移直线l 0经可行域内点B 时，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝12，x ＋2y ＝12，得B (4,4)，满足题意，所以z max ＝4×300＋4×400＝2 800.答案 C 二、填空题7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，x ＋3y －3≥0，则z ＝3x －y 的最小值为________．解析画出可行域，如图所示，将直线y ＝3x－z 移至点A (0,1)处直线在y 轴上截距最大，z min ＝3×0－1＝－1.答案－18．若x ，y 满足约束条件⎝ ⎛x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则x－y 的取值范围是________．解析记z ＝x －y ，则y ＝x －z ，所以z 为直线y ＝x －z 在y 轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中△ABC 区域所示．结合图形可知，当直线经过点B (1,1)时，x －y取得最大值0，当直线经过点C (0,3)时，x －y 取得最小值－3.答案 [－3,0]9．设实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx的最大值是________．解析不等式组确定的平面区域如图阴影部分．设y x ＝t ，则y ＝tx ，求y x的最大值，即求y ＝tx 的斜率的最大值．显然y ＝tx 过A 点时，t 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. 代入y ＝tx ，得t ＝32.所以y x 的最大值为32.答案 3210．设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为________．解析目标函数z ＝x ＋my 可变为y ＝－1m x ＋zm，∵m >1，∴－1<－1m <0，z 与zm同时取到相应的最大值，如图，当目标函数经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1时，取最大值，∴1m ＋1＋m 2m ＋1<2，又m >1，得1<m <1＋ 2.答案 (1,1＋2) 三、解答题11．设集合A ＝{(x ，y )|x ，y,1－x －y 是三角形的三边长}． (1)求出x ，y 所满足的不等式； (2)画出点(x ，y )所在的平面区域．解 (1)已知条件即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >1－x －y >0，x ＋1－x －y >y >0，y ＋1－x －y >x >0，化简即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋12<y <－x ＋1，0<y <12，0<x <12.(2)区域如下图．12．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x 、y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？解 (1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集合，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，3，y ∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5，－52≤x ≤3，且x ∈Z ，当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点；当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点；当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点；当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点；当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点；当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点；∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值．(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解 (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围是(－4,2)．14．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x ，y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x ，y 为何值时，z ＝xP 甲＋yP 乙最大，最大值是多少？解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧P 甲－P 乙＝0.25，1－P 甲＝P 乙－0.05，解得⎩⎪⎨⎪⎧P 甲＝0.65，P 乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P 甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P 乙＝0.4. (2)依题意得x 、y 应满足的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤32，20x ＋5y ≤55，x ≥0，y ≥0，且z ＝0.65x ＋0.4y .作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分，即可行域．作直线l 0：0.65x ＋0.4y ＝0即13x ＋8y ＝0，把直线l 向上方平移到l 1的位置时，直线经过可行域内的点M ，此时z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，4x ＋y ＝11，得x ＝2，y ＝3.故M 的坐标为(2,3)，所以z 的最大值为z max ＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.所以，当x＝2，y＝3时，z取最大值为2.5.。

高三数学考点-二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

7．3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的________．我们把直线画成虚线以表示区域________边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应________边界直线，则把边界直线画成________．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都________，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的________即可判断Ax ＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为________．由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做________．另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的________的问题，统称为线性规划问题．(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做________，由所有可行解组成的集合叫做________．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的________．线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内．(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①首先，要根据_________________ (即画出不等式组所表示的公共区域)．②设__________，画出直线l0.③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解．④最后求得目标函数的__________．(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出__________条件，确定__________函数．然后，用图解法求得数学模型的解，即__________，在可行域内求得使目标函数__________．自查自纠1．(1)平面区域不包括包括实线(2)相同符号2．(1)目标函数线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最优解(4)①线性约束条件画出可行域②z＝0④最大值或最小值(5)约束线性目标画出可行域取得最值的解(2016·济南模拟)已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24，7) B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解：根据题意知(－9＋2－a )(12＋12－a )＜0，即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.故选B .(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3，0]B ．[－3，2]C ．[0，2]D ．[0，3]解：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点A (0，3) 处取得最小值z ＝0－3＝－3. 在点B (2，0) 处取得最大值z ＝2－0＝2.故选B .(2016·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5解：作出可行域如图中阴影部分所示，则当z ＝2x ＋y 经过点P (1，2)时，取最大值，z max ＝2×1＋2＝4.故选C .(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．解：由题意，画出可行域如图，目标函数为z ＝3x －4y ，则直线y ＝34x －z4纵截距越大，z 值越小．由图可知，在A (1，1)处取最小值，故z min ＝3×1－4×1＝－1.故填－1.(2017届云南四川贵州百校大联考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≥0，2x ＋y －4≤0，4x －y ＋1≥0，则目标函数z ＝y －3x 的最大值是________．解：作可行域如图所示，由目标函数z＝y－3x得直线y＝3x＋z，当直线y＝3x＋z平移经过点A⎝⎛⎭⎫12，3时，目标函数z＝y－3x取得最大值为32.故填32.类型一二元一次不等式(组)表示的平面区域(2016·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x|≤|y|，|x|＜1的点(x，y)的集合用阴影表示为下列图中的()解：|x|＝|y|把平面分成四部分，|x|≤|y|表示含y轴的两个区域；|x|＜1表示x＝±1所夹含y轴的区域．故选C.【点拨】关于不等式组所表示的平面区域(可行域)的确定，可先由“直线定界”，再由“不等式定域”，定域的常用方法是“特殊点法”，且一般取坐标原点O(0，0)为特殊点．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－2≥0，x＋2y－4≤0，x＋3y－2≥0表示的平面区域的面积为________．解：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易求得|BD|＝2，C点坐标(8，－2)，所以S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝12×2×(2＋2)＝4.故填4.类型二利用线性规划求线性目标函数的最优解(2017·天津)设变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≥0，x＋2y－2≥0，x≤0，y≤3，则目标函数z＝x＋y的最大值为()A.23 B ．1 C.32D ．3解：可行域为四边形ABCD 及其内部，所以直线z ＝x ＋y 过点B (0，3)时取最大值3.故选D .【点拨】线性规划问题有三类：(1)简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；(2)线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；(3)线性规划的实际应用. 一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．(2017·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋ 2y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．9解：如图，画出可行域，z ＝x ＋2y 表示斜率为－12的一组平行线，当过点C (3，3)时，目标函数取得最大值z max＝3＋2×3＝9.故选D .类型三含参数的线性规划问题(1)(北京西城区2017届期末)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥0，x －y ＋6≥0. 若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a－3，则a 的取值范围是( ) A ．[－1，0] B ．[0，1]C ．[－1，1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解：作出不等式组对应的平面区域如图，由z ＝ax ＋y 得y ＝－ax ＋z .因为z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，所以当直线y ＝－ax ＋z 经过点B (3，9)时直线截距最大，当经过点A (3，－3)时，直线截距最小．则直线y ＝－ax ＋z 的斜率－a 满足，－1≤－a ≤1，即－1≤a ≤1.故选C .(2)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0 (a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3解：如图可得阴影部分即为满足x －1≤0与x ＋y －1≥0的可行域，而直线ax －y ＋1＝0恒过点(0，1)，故看作直线绕点(0，1)旋转，若不等式组所表示的平面区域内的面积等于2，则它是三角形，设该三角形为△ABC ，因为△ABC 的点A 和B的坐标分别为A (0，1)和B (1，0)，且S △ABC ＝2，设点C 的坐标为C (1，y )，则12×1×y ＝2⇒y ＝4，将点C (1，4)代入ax －y ＋1＝0得a ＝3.故选D .【点拨】例3(1)考查了简单的线性规划中的斜率问题，通过y ＝－ax ＋z 得到参数－a 是动直线y ＝－ax ＋z 的斜率，z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，则动直线y ＝－ax ＋z 纵截距的最大值为3a ＋9，最优解在三个端点处取得；例3(2)中的ax －y ＋1＝0，即为y ＝ax ＋1，其中a 为动直线的斜率，利用数形结合的方法求解．注意把握两点：①参数的几何意义；②条件的合理转化．(1)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0. 若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为4，即目标函数对应直线与可行域有公共点时，在y 轴上的截距的最大值为4，所以作出过点D (0，4)的直线，由图可知，目标函数在点B (2，0)处取得最大值，有a ×2＋0＝4，得a ＝2.故选B .(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.解：易得出约束条件中三条直线两两所成的交点(k ，k )，(4－k ，k )，(2，2)，且可行域如图，则k ≤2.最小值在点(k ，k )处取得，3k ＝－6，得k ＝－2.故填－2.类型四非线性目标函数的最优解问题(2016·江苏)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．解：可行域如图中阴影部分所示，x 2＋y 2为可行域中任一点(x ，y )到原点(0，0)的距离的平方．由图可知，x 2＋y 2的最小值为原点到直线AC 的距离的平方，即⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2|52＝45.易求得B (2，3)，最大值为OB 2＝22＋32＝13.故填⎣⎡⎦⎤45，13. 【点拨】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2 .(3)斜率型：形如z ＝y －bx －a ，本题属于距离形式．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．解：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A (1，3)与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.故填3.类型五线性规划与整点问题设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＞0，2x ＋y －7＞0，x ≥0，y ≥0，若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值为( )A ．14B ．16C ．17D ．19解：画出可行域如图，令3x ＋4y ＝z ，y ＝－34x ＋z4，过x 轴上的整点(1，0)，(2，0)，(3，0)，(4，0)，(5，0)处作格子线，可知当y ＝－34x ＋z4过(4，1)时有最小值(对可疑点(3，2)，(2，4)，(4，1)逐个试验)，此时z min ＝3×4＋4＝16.故选B .【点拨】求解整点问题，对作图精度要求较高，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，y ≤－nx ＋3n （n ∈N *）所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为a n (a n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝______.解：直线y ＝－nx ＋3n ＝－n (x －3)，过定点(3，0)，由y ＝－nx ＋3n ＞0得x ＜3，又x ＞0，所以x ＝1或x ＝2.直线x ＝2交直线y ＝－nx ＋3n 于点(2，n )，直线x ＝1交直线y ＝－nx ＋3n 于点(1，2n )，所以整点个数a n ＝n ＋2n ＝3n .故填3n.类型六线性规划在实际问题中的应用(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲乙原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A.12万元 B ．16万元 C ．17万元 D ．18万元解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋4y .作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，即可行域．由z ＝3x ＋4y 得y ＝－34x ＋z 4，平移直线y ＝－34x 至经过点B 时，直线y ＝－34x ＋z4的纵截距最大，此时z 最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝12，x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即B (2，3)．所以z max ＝3x ＋4y ＝6＋12＝18.即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨、3吨，能够获得最大利润，最大的利润是18万元．故选D . 【点拨】对于此类有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形在第一象限的某个顶点．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解：设某高科技企业生产产品A 和产品B 分别为x 件，y 件，生产产品A 、产品B 的利润之和为z 元，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域如图所示．当直线z ＝2 100x ＋900y经过点M (60，100)时，z 取得最大值．z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000.故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216 000元．故填216 000.1．解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过原点，则把原点代入Ax ＋By ＋C ，通过Ax ＋By ＋C 的正负和不等号的方向，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置．2．求目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb，通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值．最优解一般在顶点或边界取得．但要注意：①当b ＞0时，截距zb取最大值，z 也取最大值；截距z b 取最小值，z 也取最小值；②当b ＜0时，截距z b 取最大值，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．3．如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值．最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过可行域的一个便是．第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断．特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组．第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点P i 逐一代入目标函数Z P i ＝mx ＋ny ，比较各个ZP i ，得最大值或最小值．1．(2015·烟台模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为( )A ．1 B.12 C.13 D.14解：作出不等式组对应的区域为如图△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.故选D . 2．(湖北孝感市2017届期中)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则目标函数z ＝2x －y 的最大值为( )A ．－3 B.12 C ．5 D ．6解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A (－1，－1)，B (2，－1)，C (0.5，0.5)，将直线2x －y ＝0进行平移，当其经过点B 时，目标函数z 达到最大值．所以z 最大值＝5.故选C .3．(2016·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0.则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17解：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A (0，2)，B (3，0)，C (1，3)，根据目标函数的几何意义，可知当直线y ＝－25x ＋z5过点B (3，0)时，z 取得最小值2×3－5×0＝6.故选B .4．(2017·浙江)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)解：如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2，1)时取最小值4，无最大值．故选D .5．(2016·浙江)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( ) A ．2 2 B ．4 C ．3 2 D ．6解：如图△PQR 为线性区域，区域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成了线段AB .由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0得Q (－1，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0得R (2，－2)，|AB |＝|RQ |＝（－1－2）2＋（1＋2）2＝3 2.故选C .6．(2016·商丘模拟)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2解：作出可行域如图中阴影部分所示，当直线z ＝2x ＋y 通过A (1，－2a )时，z 取最小值，z min ＝2×1＋(－2a )＝1，所以a ＝12.故选B .7．(2016·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解：画出可行域，如图所示阴影部分，易得A (0，1)，B (－2，－1)，C ⎝⎛⎭⎫1，12，可得z ＝x ＋y 在C 点处取得最大值为32.故填32.8．(山西四校2017届联考)已知y ＝－2x －z 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若2x ＋y ＋k ≥0恒成立，则实数k的取值范围为________．解：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A (2，0)，B (－2，－2)，C (0，2)，直线z ＝－2x －y 过点B 时取最大值6，而2x ＋y ＋k ≥0恒成立等价于k ≥[－(2x ＋y )]max ＝6.故填[6，＋∞)．9．(2016·昆明模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，x －y ≤0，求z ＝2x －y 的最大值．解：作出可行域如图中阴影部分所示．当直线过点B (2，2)时，z ＝2x －y 取得最大值2.10．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)假设z 1＝4x －3y ，求z 1的最大值；(2)设z 2＝yx ，求z 2的最小值；(3)设z 3＝x 2＋y 2，求z 3的取值范围．解：作出可行域如图中阴影部分，联立易得A ⎝⎛⎭⎫1，225，B (1，1)，C (5，2)． (1)z 1＝4x －3y ⇔y ＝43x －z 13，易知平移y ＝43x 至过点C 时，z 1最大，且最大值为4×5－3×2＝14.(2)z 2＝y x 表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC 斜率最小．故z 2的最小值为25.(3)z 3＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2＝OB 2＜OA 2＜OC 2＝29.故z 3∈[2，29]．11．(2015·广东模拟)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率大0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率小0.05. (1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分工人(名)资金(万元)甲420乙85解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧甲乙1－P甲＝P乙－0.05，解得⎩⎪⎨⎪⎧P甲＝0.65，P乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P乙＝0.4.(2)依题意得x，y应满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x＋8y≤32，20x＋5y≤55，x≥0，y≥0，且z＝0.65x＋0.4y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．作直线l：0.65x＋0.4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，且l1与原点的距离最大，此时z取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y＝8，4x＋y＝11，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝2，y＝3.故M的坐标为(2，3)，所以z的最大值为z max＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.当实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－4≤0，x－y－1≤0，x≥1时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．解：作出可行域为一三角形，且易求出三个顶点坐标分别为(1，0)，⎝⎛⎭⎫1，32，(2，1)，都代入1≤ax＋y≤4得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a≤4，1≤a＋32≤4，1≤2a＋1≤4.解不等式组可得1≤a≤32.故填⎣⎡⎦⎤1，32.项目用量产品。

五年高考三年模拟2018届高三数学理新课标一轮复习课件：7.3 简单的线性规划精品

突破方法
方法1 求目标函数的最值(范围)
图解法求目标函数最值(范围)的步骤: (1)在平面直角坐标系内作出可行域; (2)利用平移直线的方法在可行域内找到最优解所对应的点; (3)将最优解代入目标函数求最值(范围).
x y 1 0,
例1
(2015课标Ⅱ,14,5分)若x,y满足约束条件
x
2
y
y)与点(a,b)之间的距离;(3) | Ax By C | 表示点(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离;(4) y 表示点(x,y)与
A2 B2
x
原点(0,0)连线的斜率;(5) y b 表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.
xa
x y 1 0,
例2
(2016福建厦门三模,16,13分)实数x,y满足
x
因此 y 的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在,即zmax不存在).
x
由
x y
y 2
1
0,
得B(1,2),∴kOB=
2 1
=2,即zmin=2,
∴z的取值范围是[2,+∞).
(2)z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方.
因此x2+y2的值最小为|OA|2(取不到),最大为|OB|2.
由
x x
y 0
1
0,
得A(0,1),
∴|OA|2=( 02 12 )2=1,∵|OB|2=( 12 22 )2=5,
∴z的取值范围是(1,5].
x2 y2 2x 2 y 1 0,
2-1 (2016安徽宣城三模,13,5分)设O为坐标原点,点A(1,1),若点B(x,y)满足 1 x 2,

2018年高考数学(理)一轮复习文档第六章不等式第2讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题 Word

第讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
．二元一次不等式(组)表示的平面区域
.二元一次不等式(组)的解集
满足二元一次不等式(组)的和的取值构成的有序数对(，)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(，)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．．线性规划的有关概念
．辨明两个易误点
()画出平面区域，避免失误的重要方法就是首先将二元一次不等式化为＋＋>(>)的形式；
()线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．
．求＝＋(≠)的最值方法
将函数＝＋转化为直线的斜截式：＝－＋，通过求直线的截距的最值间接求出的最值．()当>时，截距取最大值时，也取最大值；截距取最小值时，也取最小值；
()当<时，截距取最大值时，取最小值；截距取最小值时，取最大值．
不等式－＋＜表示的区域在直线－＋＝的( )
．右上方．右下方
．左上方．左下方
画出－＋＜的图象如图所示，可知该
区域在直线－＋＝的左上方．故选.
．不等式组表示的平面区域的面积为( )
．．
．．无穷大
不等式组
表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△的面积即所求．求出点，，的坐标分别为(，)，(，)，(，)，则△的面积为＝×(－)×＝.
已知实数，满足约束条件则＝＋的最大值为( )
．
．－．－
画出可行域，如图阴影部分所示．由＝＋，知＝－＋，当目标函数过点(，－)时直线在轴上的截距最大，为.。

2018届高三数学(理)一轮复习夯基提能作业本：第七章不等式第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规

第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题A组基础题组1.不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是()2.(2016北京,7,5分)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为()A.-1B.3C.7D.83.已知实数x,y满足则z=2x-2y-1的取值范围是()A. B.0,5] C. D.4.已知不等式组表示的平面区域的面积为4,则z=2x+y的最大值为()A.4B.6C.8D.125.某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行,A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型客车不多于A型客车7辆.则租金最少为()A.31200元B.36000元C.36800元D.38400元6.(2016云南昆明七校调研)已知实数x,y满足则z=x+3y的最小值为.7.(2016江苏,12,5分)已知实数x,y满足则x2+y2的取值范围是.8.(2016河南中原名校3月联考)设x,y满足不等式组若M=3x+y,N=-,则M-N 的最小值为.9.已知D是以点A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)为顶点的三角形区域(包括边界),如图所示.(1)写出表示区域D的不等式组;(2)设点B(-1,-6),C(-3,2)在直线4x-3y-a=0的异侧,求a的取值范围.10.(2014陕西,18,12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上.(1)若++=0,求||;(2)设=m+n(m,n∈R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.B组提升题组11.设z=x+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则z的最小值为()A.-3B.-6C.3D.612.(2017黑龙江鸡西一中月考)已知变量x,y满足约束条件若z=x-2y的最大值与最小值分别为a,b,且方程x2-kx+1=0在区间(b,a)上有两个不同实数解,则实数k的取值范围是()A.(-6,-2)B.(-3,2)C.D.13.(2014浙江,13,4分)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是.14.若实数x,y满足不等式组则z=|x+2y-4|的最大值为.15.(2016天津,16,13分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.答案全解全析A组基础题组1.C(x-2y+1)(x+y-3)≤0⇔或画图可知选C.2.C点P(x,y)在线段AB上且A(2,5),B(4,1),如图:设z=2x-y,则y=2x-z,当直线y=2x-z经过点B(4,1)时,z取得最大值,最大值为2×4-1=7.3.D画出不等式组所表示的区域,如图中阴影部分所示,可知2×-2×-1≤z<2×2-2×(-1)-1,即z的取值范围是.4.B如图,a>0,不等式组对应的平面区域为△OBC及其内部,其中B(a,a),C(a,-a),所以|BC|=2a,所以△OBC的面积为·a·2a=a2=4,所以a=2.由z=2x+y得y=-2x+z,平移直线y=-2x,由图象可知当直线y=-2x+z经过点B时,直线的截距最大,此时z也最大,把B(2,2)代入z=2x+y得z=2×2+2=6,∴z max=6.5.C设旅行社租用A型客车x辆,B型客车y辆,租金为z元,则约束条件为目标函数为z=1600x+2400y.可行解为图中阴影部分(包括边界)内的整点.当目标函数z=1600x+2400y对应的直线经过点A(5,12)时,z取得最小值,z min=1600×5+2400×12=36800.故租金最少为36800元,选C.6.答案-8解析依题意,在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域(图略),当直线x+3y-z=0经过点(4,-4)时,目标函数z=x+3y取得最小值,为4+3×(-4)=-8.7.答案解析画出不等式组表示的可行域,如图:由x-2y+4=0及3x-y-3=0得A(2,3),由x2+y2表示可行域内的点(x,y)与点(0,0)的距离的平方可得(x2+y2)max=22+32=13,(x2+y2)min=d2==,其中d表示点(0,0)到直线2x+y-2=0的距离,所以x2+y2的取值范围为.8.答案解析作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示,易求得A(-1,2),B(3,2),当直线3x+y-M=0经过点A(-1,2)时,目标函数M=3x+y取得最小值-1.又由平面区域知-1≤x≤3,所以函数N=-在x=-1处取得最大值-,由此可得M-N的最小值为-1-=.9.解析(1)直线AB,AC,BC的方程分别为7x-5y-23=0,x+7y-11=0,4x+y+10=0.原点(0,0)在区域D内,故表示区域D的不等式组为(2)根据题意有4×(-1)-3×(-6)-a]4×(-3)-3×2-a]<0,即(14-a)(-18-a)<0,解得-18<a<14.故a的取值范围是(-18,14).10.解析(1)解法一:∵++=0,又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),∴解得x=2,y=2,即=(2,2),故||=2.解法二:∵++=0,∴(-)+(-)+(-)=0,∴=(++)=(2,2),∴||=2.(2)∵=m+n,∴(x,y)=(m+2n,2m+n),∴两式相减得,m-n=y-x,令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.B组提升题组11.B不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示:由得A(k,k),易知目标函数z=x+y在点A处取最大值,则12=k+k,故k=6,所以B(-12,6),又目标函数z=x+y在点B处取最小值,∴z的最小值为-6,故选B.12.C作出可行域,如图中阴影部分所示,则目标函数z=x-2y在点(1,0)处取得最大值1,在点(-1,1)处取得最小值-3,∴a=1,b=-3,从而可知方程x2-kx+1=0在区间(-3,1)上有两个不同实数解.令f(x)=x2-kx+1,则⇒-<k<-2,故选C.13.答案解析不等式组表示的区域为以A(1,0),B,C(2,1)为顶点的三角形区域(包含边界),则1≤x≤2,所以1≤ax+y≤4恒成立可转化为≤-a≤恒成立.易知表示可行域内点(x,y)与定点(0,4)连线的斜率,其最大值为-;表示可行域内点(x,y)与定点(0,1)连线的斜率,其最小值为-1,故有-≤-a≤-1,即1≤a≤.14.答案21解析作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.z=|x+2y-4|=·的几何意义为阴影区域内的点到直线x+2y-4=0的距离的倍.由得B点坐标为(7,9),显然点B到直线x+2y-4=0的距离最大,易得z max=21.15.解析(1)由已知得,x,y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:图1(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.图2解方程组得点M的坐标为(20,24).所以z max=2×20+3×24=112.答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.。

2018届高三一轮复习高考直通车二元一次不等式及其简单的线性规划

解析：由图形可知，目标函数在
若目标函数
2 3 z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为 12，求a＋b的最小值
(4,6) 处取得最大值 12， 2 3 12 ∴2a＋3b＝6，从而有a＋b＝6(a 3 b)(2a＋3b) 1 6b 6a ＝6( a ＋4＋9＋ b ) 13 1 6b 6a ＝ 6 ＋6( a ＋ b ) 13 b a 13 ＝ 6 ＋ ( a ＋ b )≥ 6 ＋ 2 25 25 答案： . ＋
解析画出 x、y 满足约束条件的可行域如图所示，
要使目标函数 z＝ax＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线 y＝－ax＋z 的斜率应小于直线 x＋2y－3＝0 的斜率， 1 1 即－a<－，∴a> . 2 2
3x－y－6≤0，例 3.设 x、y 满足约束条件x－y＋2≥0， x≥0，y≥0，
故当 a>0 时，要使 z＝y－ax 取得最大值的最优解不唯一，则 a＝2；当 a<0 时，要使 z＝y－ax 取得最大值的最优解不唯一，则 a＝－1.
x＋2y－3≤0，变式训练：已知变量 x，y 满足约束条件x＋3y－3≥0， y－1≤0，
若目标函数 z＝ax＋y(其
中 a>0)仅在点(3,0)处取得最大值，则 a 的取值范围是__________
xa
率.
2 显然kPC= 最大. 5
答案 B
x＋y－2≤0，例 2x，y 满足约束条件x－2y－2≤0，若 z＝y－ax 取得最大值的最优解不唯一，则 2x－y＋2≥0. 实数 a 的值为________．
解析
如图，由 y＝ax＋z 知 z 的几何意义是直线在 y 轴上的截距，

课标通用2018年高考数学一轮复习第七章不等式7.2二元一次不等式组与简单的线性规划问题学案理201

(1)[教材习题改编]不等式组 Error!表示的平面区域是( )
A
B
-1-
C
D
答案：C
(2)[教材习题改编]已知 x，y 满足 Error!则 z＝－3x＋y 的最小值为________．
答案：0
不等式表示平面区域的易错点：方程 Ax＋By＋C＝0 中 Ax＋By＋C 的符号与不等式表示的平面区域的关系．
-2-
在平面直角坐标系中作出不等式组 Error!和 Error!所表示的平面区域．
故不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0 表示的平面区域如图中的阴影部分所示．
[典题 1] (1)[2017·山东青岛月考]若实数 x，y 满足不等式组 Error!则该约束条件所围成
的平面区域的面积是( ) A．3
§7.2 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
考纲展示► 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组． 2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
考点 1 二元一次不等式(组)表示平面区域
二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式 Ax＋By＋C＞0 表示直线 Ax＋By＋C＝ 0 某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)________边界直线，把边界直线画成虚线；不等式 Ax＋By＋C≥0 所表示的平面区域(半平面)________边界直线，把边界直线画成实线． (2)对于直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点(x，y)，使得 Ax＋By＋C 的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，如果其坐标满足 Ax＋By＋C＞0，则位于另一个半平面内的点，其坐标满足________． (3)可在直线 Ax＋By＋C＝0 的同一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从 Ax0＋By0＋C 的________就可以判断 Ax＋By＋C>0(或 Ax＋By＋C<0)所表示的区域． (4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的 ________．答案：(1)不包括包括 (2)Ax＋By＋C＜0 (3)符号 (4)公共部分

高考数学复习讲义：二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题

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[解析] (1)作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．由 z＝3x＋2y，得 y＝－32x＋2z.
作直线 l0：y＝－32x. 平移直线 l0，当直线 y＝－32x＋2z过点(2,0)时， z 取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
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(2)
由
条
件
得
x＋1≤y， y≤2x，
即
x－y＋1≤0， 2x－y≥0，
返回
[方法技巧]
解决求平面区域面积问题的方法步骤 (1)画出不等式组表示的平面区域； (2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解． [提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．
x<2y 选项 B 所表示的区域，故选 B. 答案：B
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3x＋y－6≥0， 2．(2019·河南豫北联考)关于 x，y 的不等式组x－y－2≤0，
x＋y－4≤0
表示的平面区域的面积为
()
A．3
B．52
C．2
D．32
解析：平面区域为一个直角三角形 ABC，其中 A(3,1)，
B(2,0)，C(1,3)，所以面积为12|AB|·|AC|＝12× 2× 8＝2，
－dc，－ba连线的斜率的ac倍的取值范围、最值等
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对形如 z＝|Ax＋By＋C|型的目标函数，可先点到直线变形为 z＝ A2＋B2·|Ax＋A2B＋y＋B2C|的形式，将距离型问题化为求可行域内的点(x，y)到直线 Ax＋
By＋C＝0 的距离的 A2＋B2倍的最值
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考法三线性规划中的参数问题

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第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
A组基础题组
1.不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是()
2.(2016北京,7,5分)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为()
A.-1
B.3
C.7
D.8
3.已知实数x,y满足则z=2x-2y-1的取值范围是()
A. B.[0,5] C. D.
4.已知不等式组表示的平面区域的面积为4,则z=2x+y的最大值为()
A.4
B.6
C.8
D.12
5.某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行,A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型客车不多于A型客车7辆.则租金最少为()
A.31 200元
B.36 000元
C.36 800元
D.38 400元
6.(2016云南昆明七校调研)已知实数x,y满足则z=x+3y的最小值为.
7.(2016江苏,12,5分)已知实数x,y满足则x2+y2的取值范围是.
8.(2016河南中原名校3月联考)设x,y满足不等式组若M=3x+y,N=-,则M-N的最小值为.
9.已知D是以点A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)为顶点的三角形区域(包括边界),如图所示.
(1)写出表示区域D的不等式组;
(2)设点B(-1,-6),C(-3,2)在直线4x-3y-a=0的异侧,求a的取值范围.
10.(2014陕西,18,12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上.
(1)若++=0,求||;
(2)设=m+n(m,n∈R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.
B组提升题组
11.设z=x+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则z的最小值为()
A.-3
B.-6
C.3
D.6
12.(2017黑龙江鸡西一中月考)已知变量x,y满足约束条件若z=x-2y的最大值与最小值分别为a,b,且方程x2-kx+1=0在区间(b,a)上有两个不同实数解,则实数k的取值范围是()
A.(-6,-2)
B.(-3,2)
C.
D.
13.(2014浙江,13,4分)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是.
14.若实数x,y满足不等式组则z=|x+2y-4|的最大值为.
15.(2016天津,16,13分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:
现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.
(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.
答案全解全析
A组基础题组
1.C (x-2y+1)(x+y-3)≤0⇔
或画图可知选C.
2.C 点P(x,y)在线段AB上且A(2,5),B(4,1),如图:
设z=2x-y,则y=2x-z,
当直线y=2x-z经过点B(4,1)时,z取得最大值,最大值为2×4-1=7.
3.D 画出不等式组所表示的区域,如图中阴影部分所示,可知2×-2×-1≤z<2×2-2×(-1)-1,即z的取值范围是.
4.B 如图,a>0,不等式组对应的平面区域为△OBC及其内部,其中B(a,a),C(a,-a),
所以|BC|=2a,所以△OBC的面积为·a·2a=a2=4,所以a=2.
由z=2x+y得y=-2x+z,平移直线y=-2x,由图象可知当直线y=-2x+z经过点B时,直线的截距最大,此时z 也最大,把B(2,2)代入z=2x+y得z=2×2+2=6,∴z max=6.
5.C 设旅行社租用A型客车x辆,B型客车y辆,租金为z元,则约束条件为目标函数为z=1 600x+2 400y.
可行解为图中阴影部分(包括边界)内的整点.
当目标函数z=1 600x+2 400y对应的直线经过点A(5,12)时,z取得最小值,z min=1 600×5+2400×12=36 800.故租金最少为36 800元,选C.
6.答案-8
解析依题意,在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域(图略),当直线x+3y-z=0经过点(4,-4)时,
目标函数z=x+3y取得最小值,为4+3×(-4)=-8.
7.答案
解析画出不等式组表示的可行域,如图:
由x-2y+4=0及3x-y-3=0得A(2,3),由x2+y2表示可行域内的点(x,y)与点(0,0)的距离的平方可得
(x2+y2)max=22+32=13,(x2+y2)min=d2==,其中d表示点(0,0)到直线2x+y-2=0的距离,所以x2+y2的取值范围为.
8.答案
解析
作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示,易求得A(-1,2),B(3,2),当直线3x+y-M=0经过点A(-1,2)时,目标函数M=3x+y取得最小值-1.又由平面区域知-1≤x≤3,所以函数N=-在x=-1处取得最大值-,由此可得M-N的最小值为-1-=.
9.解析(1)直线AB,AC,BC的方程分别为7x-5y-23=0,x+7y-11=0,4x+y+10=0.
原点(0,0)在区域D内,
故表示区域D的不等式组为
(2)根据题意有[4×(-1)-3×(-6)-a][4×(-3)-3×2-a]<0,即(14-a)(-18-a)<0,
解得-18<a<14.
故a的取值范围是(-18,14).
10.解析(1)解法一:∵++=0,
又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),
∴解得x=2,y=2,即=(2,2),故||=2.
解法二:∵++=0,
∴(-)+(-)+(-)=0,
∴=(++)=(2,2),
∴||=2.
(2)∵=m+n,∴(x,y)=(m+2n,2m+n),∴两式相减得,m-n=y-x,
令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.
B组提升题组
11.B 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示:
由得A(k,k),易知目标函数z=x+y在点A处取最大值,则12=k+k,故k=6,所以B(-12,6),又目标函数z=x+y在点B处取最小值,∴z的最小值为-6,故选B.
12.C 作出可行域,如图中阴影部分所示,则目标函数z=x-2y在点(1,0)处取得最大值1,在点(-1,1)处取得最小值-3,∴a=1,b=-3,从而可知方程x2-kx+1=0在区间(-3,1)上有两个不同实数解.令f(x)=x2-kx+1,
则⇒-<k<-2,故选C.
13.答案
解析不等式组表示的区域为以A(1,0),B,C(2,1)为顶点的三角形区域(包含边界),则1≤x≤2,
所以1≤ax+y≤4恒成立可转化为≤-a≤恒成立.
易知表示可行域内点(x,y)与定点(0,4)连线的斜率,其最大值为-;表示可行域内点(x,y)与定点(0,1)连线的斜率,其最小值为-1,故有-≤-a≤-1,
即1≤a≤.
14.答案21
解析作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.
z=|x+2y-4|=·的几何意义为阴影区域内的点到直线x+2y-4=0的距离的倍.
由得B点坐标为(7,9),显然点B到直线x+2y-4=0的距离最大,易得z max=21.
15.解析(1)由已知得,x,y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:
图1
(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.
考虑z=2x+3y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距,当
取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.
图2
解方程组得点M的坐标为(20,24).
所以z max=2×20+3×24=112.
答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.。

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