【单元练】成都第四十九中学九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》经典练习题(培优)

一、选择题
1．已知：如图，四边形AOBC是矩形，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，点A的坐标为（0，3），∠OAB＝60°，以AB为轴对折后，C点落在D点处，则D点的坐标为（）
A．
33
(3,)
22
-B．
33
(3,)
22
-C．
33
(3)
22
D．(3,33)
-A
解析：A
【分析】
如图，作 DE⊥x 轴于点E ，灵活运用三角函数解直角三角形来求点 D 的坐标．【详解】
解：如图，作DE⊥x轴于点E，∵点A的坐标为（0，3），
∴OA＝3．
又∵∠OAB＝60°，
∴OB＝OA•tan∠OAB＝3，∠ABO＝30°．
∴BD＝BC＝OA＝3．
∵根据折叠的性质知∠ABD＝∠ABC＝60°，
∴∠DBE＝30°，
∴DE＝1
2BD＝
3
2
，BE＝
33
2
∴OE＝33333∴E33
(3,)
22
-．
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质以及折叠问题，翻折前后对应角相等，对应边相等；注意构造直角三角形利用相应的三角函数值求解．
2．已知，一个小球由桌面沿着斜坡向上前进了10cm ，此时小球距离桌面的高度为5cm ，则这个斜坡的坡度i 为（ ）
A ．2
B ．1：2
C ．1：2
D ．1：3D 解析：D
【分析】
过B 作BC ⊥桌面于C ，由题意得AB=10cm,BC=5cm,再由勾股定理得AC=53然后由坡度的定义即可得出答案．
【详解】
解：如图，过B 作BC ⊥桌面于C ，
由题意得：AB ＝10cm ，BC ＝5cm ，
∴AC=222210553AB BC -=-=，
∴这个斜坡的坡度i ＝
BC AC ＝553＝1：3 ，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题以及勾股定理;熟练掌握坡度的定义和勾股定理是解题的关键．
3．如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，E 是BC 的中点，AE CE =，3BAC CBD ∠=∠，6266BD =AB 的长为（ ）
A ．6
B ．62
C ．12
D ．102
解析：C
【分析】 作DF BC ⊥于F ，根据题意判断出ABC ∆是等腰直角三角形，求出CBD ∠的度数，进而判断出ACD ∆是等边三角形，设AB a ，在Rt BDF ∆中利用直角三角形的性质求出DF 的长，用a 表示出CF 的长，再根据勾股定理即可得出a 的值，进而得出答案．
【详解】
解：作DF BC ⊥于F ，
AB AC AD ==，E 是BC 的中点，
AE BC ∴⊥，
AE CE =，BE EC =，
90BAC ∴∠=︒，
45ABC ACB ∴∠=∠=︒，
3BAC CBD ∠=∠，
30DBC ∴∠=︒，15ABD ∠=︒，
1801515150BAD ∴∠=︒-︒-︒=︒，
90BAC ∠=︒，
60CAD ∴∠=︒，
AC AD =，
ACD ∴∆是等边三角形，
AB AC AD CD ∴===，
设AB a ，则2BC a =
，AC AD CD a ===，
在Rt BDF ∆中，
30DBF ∠=︒，6266BD = 32362BD DF ∴==，3cos (6266)3692BF BD CBD =∠== 36922CF BF BC a ∴=-=，
在Rt CDF ∆中，由勾股定理可得222CF DF CD +=， 即222(36922)(3236)a a +=，解得12a =或324， ∵324＞6266AB ＞BD ，不符合，
∴AB=12，
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质及含30度角的直角三角形的性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出含30度角的直角三角形，根据直角三角形的性质进行解答．
4．在正方形网格中，小正方形的边长均为1，∠ABC 如图放置，则sin ∠ABC 的值为（ ）
A ．52
B ．55
C ．33
D ．1B
解析：B
【分析】
作AD ⊥BC 于D ，由勾股定理得出BC ＝2231+=10，AB ＝2211+＝2，由△ABC 的面积求出AD ＝
105
，由三角函数定义即可得出答案． 【详解】
解：作AD ⊥BC 于D ，如图所示：
由勾股定理得：BC 2231+10，AB 2211+2，
∵△ABC 的面积＝
12BC×AD ＝12×3×1−12×1×1， ∴1210×AD ＝12×3×1−12
×1×1， 解得：AD 10，
∴sin ∠ABC ＝AD AB =1052
=55； 故选：B ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角函数定义；熟练掌握勾股定理和三角函数定义是解题的关键．
5．如图，点A 为∠α边上的任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（ ）
A ．BD BC
B ．B
C AB C ．A
D AC D ．CD AC
C 解析：C
【分析】
利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α＝∠ACD ，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
【详解】
解：∵AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，
∴∠α+∠BCD ＝∠ACD +∠BCD ，
∴∠α＝∠ACD ，
∴cosα＝cos ∠ACD ＝
BD BC ＝BC AB ＝DC AC
， 只有选项C 错误，符合题意．
故选：C ．
【点睛】 此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出∠α=∠ACD 是解题关键．
6．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是BC 的中点，DE BC ⊥，//CE AD ，若2AC =，30ADC ∠=︒，①四边形ACED 是平行四边形；②BCE ∆是等腰三角形；③四边形ACEB 的周长是10213+；则以上结论正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①②
C ．①③
D ．②③A
解析：A
【分析】
证明AC ∥DE ，再由条件CE ∥AD 可证明四边形ACED 是平行四边形；根据线段的垂直平分
线证明AE=EB 可得△BCE 是等腰三角形；首先利用三角函数计算出AD=4，CD=
出AB 长可得四边形ACEB 的周长是10+
【详解】
①∵∠ACB=90°，DE ⊥BC ，
∴∠ACD=∠CDE=90°，
∴AC ∥DE ，
∵CE ∥AD ，
∴四边形ACED 是平行四边形，故①正确；
②∵D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，
∴EC=EB ，
∴△BCE 是等腰三角形，故②正确；
③∵AC=2，∠ADC=30°，
∴AD=4
，CD=cos30AD ⋅︒=
∵四边形ACED 是平行四边形，
∴CE=AD=4，
∵CE=EB ，
∴EB=4
，DB=
∴BC=
∴
==
∴四边形ACEB 的周长是10+③正确；
综上，①②③均正确，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、特殊角三角函数、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．等腰三角形的判定方法．
7．如图，反比例函数k y x
=(0)k ≠第一象限内的图象经过ABC ∆的顶点A ，C ，AB AC =，且BC y ⊥轴，点A ，C ，的横坐标分别为1，3，若120BAC ∠=︒，则k 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2C
解析：C
【分析】 先表示出CD ，AD 的长，然后在Rt △ACD 中利用∠ACD 的正切列方程求解即可．
【详解】
过点A 作AD BC ⊥，
∵点A 、点C 的横坐标分别为1，3，
且A ，C 均在反比例函数k y x =
第一象限内的图象上， ∴(1,)A k ，3,
3k C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴CD=2，AD=k-3
k ， ∵AB AC =，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥，
∴30ACD ∠=︒，90ADC ∠=︒，
∵tan ∠ACD=AD DC
， ∴3DC AD =，即233k k ⎛⎫=
- ⎪⎝
⎭，∴3k =． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，以及反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
8．若菱形的周长为16，高为2，则菱形两个邻角的比为（ ）
A ．6:1
B ．5:1
C ．4:1
D ．3:1B
解析：B
【分析】
由锐角函数可求∠B 的度数，可求∠DAB 的度数，即可求解．
【详解】
如图，
∵四边形ABCD 是菱形，菱形的周长为16，
∴AB=BC=CD=DA=4，
∵AE=2，AE ⊥BC ，
∴sin ∠B=
12
BE AB ＝ ∴∠B=30° ∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD ∥BC ，
∴∠DAB+∠B=180°，
∴∠DAB=150°，
∴菱形两邻角的度数比为150°：30°=5：1，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，能求出∠B 的度数是解决问题的关键． 9．如图，为测量瀑布AB 的高度，测量人员在瀑布对面山上的D 点处测得瀑布顶端A 点的仰角是30，测得瀑布底端B 点的俯角是10︒，AB 与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得27.0CG m =，17.6GF m =（注：C 、G 、F 三点在同一直线上，CF AB ⊥于点F ），斜坡20.0CD m =，坡角40ECD ∠=︒，那么瀑布AB 的高度约为（ ）．（精确到0.1m 3 1.73≈，sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈，sin100.17︒≈，cos100.98︒≈，tan100.18︒≈）
A．44.8m B．45.4m C．47.4m D．114.6m B
解析：B
【分析】
如图，作DM⊥AB于M，DN⊥EF于N，在Rt△DCN中，求出CN即可得到FN的长，由四边形DMFN是矩形可得DM的长，然后分别在Rt△ADM和Rt△DMB中，解直角三角形求出AM，BM即可解决问题．
【详解】
解：如图，作DM⊥AB于M，DN⊥EF于N，
在Rt△DCN中，CN＝CD•cos40°≈20.0×0.77＝15.4（米），
∵CF＝CG＋GF＝44.6（米），
∴FN＝CN＋CF＝60.0（米），
易得四边形DMFN是矩形，
∴DM＝FN＝60.0（米），
在Rt△ADM中，AM＝DM•tan30°＝
3 1.73
60.060.0=34.6
33
（米），
在Rt△DMB中，BM＝DM•tan10°≈60.0×0.18＝10.8（米），
∴AB＝AM＋BM＝45.4（米），即瀑布AB的高度约为45.4米，故选：B．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是灵活运用三角函数解决问题，属于中考常考题型．
10．如图，在扇形OAB中，120
∠=︒，点P是弧AB上的一个动点（不与点A、B
AOB
CD=，则扇形AOB的面积为（）重合），C、D分别是弦AP，BP的中点．若33
A．12πB．2πC．4πD．24πA
解析：A
【分析】
如图，作OH⊥AB于H．利用三角形中位线定理求出AB的长，解直角三角形求出OB即可解决问题．
【详解】
解：如图作OH⊥AB于H．
∵C、D分别是弦AP、BP的中点．
∴CD是△APB的中位线，
∴AB＝2CD＝63
∵OH⊥AB，
∴BH＝AH＝33
∵OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，
∴∠AOH ＝∠BOH ＝60°，
在Rt △AOH 中，sin ∠AOH ＝AH AO ， ∴AO ＝336sin 3
2
AH AOH ==∠， ∴扇形AOB 的面积为：2120612360
ππ=， 故选：A ．
【点睛】
本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题
11．点A 、B 、C 都在半径为6的O 上，且120AOC ∠=︒，点M 是弦AB 的中点，则CM 的长度的最大值为______．【分析】如图取AO 的中点J 连接JMJC 过点J 作JH ⊥OC 交CO 的延长线于H 求出MJCJ 根据CM≤MJ+CJ 即可解决问题【详解】解：如图取的中点连接过点作交的延长线于的最大值为故答案为：【点睛】本题考
解析：337+
【分析】
如图，取AO 的中点J ，连接JM ，JC ，过点J 作JH ⊥OC ，交CO 的延长线于H ．求出MJ ，CJ ，根据CM≤MJ+CJ 即可解决问题．
【详解】
解：如图，取AO 的中点J ，连接JM ，JC ，过点J 作JH OC ⊥，交CO 的延长线于H ．
120AOC ∠=︒，
60JOH ∴∠=︒，
JH OH ⊥，
90JHO ∴∠=︒，
132
AJ JO OA ===，
3cos602OH OJ ∴=︒=，sin 60JH OJ =︒=， 315622
CH OH OC ∴=+=+=，
CJ ∴===， AM MB =，AJ JO =，
132
MJ OB ∴==， CM MJ JC +，
337CM ∴+，
CM ∴
的最大值为3+
故答案为：3+
【点睛】
本题考查轨迹，三角形中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
12．某人沿坡度是1:2的斜坡走了100米，则他上升的高度是_____米.【分析】先画出图形再根据坡度的可得然后设米从而可得米最后利用勾股定理求出x 的值由此即可得出答案【详解】如图由题意得：米设米则米由勾股定理得：即解得（米）则米即他上升的高度是米故答案为：【点睛】本题考
解析：【分析】
先画出图形，再根据坡度的可得
12
AC BC =，然后设AC x =米，从而可得2BC x =米，最后利用勾股定理求出x 的值，由此即可得出答案．
【详解】 如图，由题意得：90C ∠=︒，100AB =米，1tan 2
AC B BC =
=， 设AC x =米，则2BC x =米，
由勾股定理得：AB =100=，
解得x =（米），
则AC =
即他上升的高度是
故答案为：
【点睛】
本题考查了勾股定理、解直角三角形的应用：坡度问题，掌握理解坡度的概念是解题关键．
13．已知ABC中，
1
6,
3
AB AC cosB
===，则边BC的长度为____________．4【分
析】过A作AD⊥BC于点D则根据等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义可以得到解答【详解】解：如图过A作AD⊥BC于点D则由已知可得△ABC为等腰三角形BD=DC=∴由cosB=得BC=2BD=
解析：4
【分析】
过A作AD⊥BC于点D，则根据等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义可以得到解答．【详解】
解：如图，过A作AD⊥BC于点D，则由已知可得△ABC为等腰三角形，BD=DC=1
2 BC，
∴由 cosB=1
3得
111
,62
333
BD
BD AB
AB
===⨯=，BC=2BD=4，
故答案为4 ．
【点睛】
本题考查等腰三角形和锐角三角函数的综合应用，灵活运用等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义是解题关键．
14．三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是_____.
15﹣5【分析】过点B作BM⊥FD于点M根据题意
可求出BC的长度然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°进而可得出答案【详解】过点B作BM⊥FD于点M在△ACB中∠ACB＝90°∠A＝60°AC＝10
解析：15﹣53.
【分析】
过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°，进而可得出答案.
【详解】
过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝3
∵AB∥CF，
∴∠BCM=∠ABC=30°，
∴BM＝BC×sin30°＝1
103
＝3
2
CM＝BC×cos30°＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝3
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣3
故答案是：15﹣3
【点睛】
本题考查了解直角三角形，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题的关键.
15．将一副三角板如图摆放，使得一块三角板的直角边AC和另一块三角板的斜边ME重叠，点A与点M重合，已知AB=AC=8，则重叠的面积是__________．
【分析】过Q 作QH ⊥AC 于H 在△QHC 中由于
∠QCH=45°则CH=QH 设CH=则QH=x 在Rt △QHA 中由于∠QAH=60°求得AH=然后利用CH+AH=AC 求得的值再根据三角形面积公式计算得到结 解析：48163-
【分析】
过Q 作QH ⊥AC 于H ，在△QHC 中，由于∠QCH=45°，则CH=QH ，设CH=x ，则QH=x ，在Rt △QHA 中，由于∠QAH=60°，求得AH=
33
x ，然后利用CH+AH=AC 求得x 的值，再根据三角形面积公式计算得到结果．
【详解】 过Q 作QH ⊥AC 于H ，如图，
∠ACB=45°，∠DME=60°，AC=8，
在△QHC 中，∠QCH=45°，
∴CH=QH ，
设CH=x ，则QH=x ，
在Rt △QHA 中，∠QAH=60°，
∴AH=QH tan 60︒3x ， ∵CH+AH=AC ， ∴383x x +
=， 解得：(433x =，
∴QAC 12S =QH•AC ()14338481632=⨯-⨯=-， 故答案为：48163-．
【点睛】 本题主要考查了解直角三角形，作出辅助线构造直角三角形，利用条件求得AC 边上的高是解题的关键．
16．如图，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得1tan 1BA C ∠=，21tan 3BA C ∠=，31tan 7
BA C ∠=，计算4tan BA C ∠=__________，……按此规律，写出tan n BA C ∠=__________（用含n 的代数式表示）．
【分析】作CH ⊥BA4于H 根据正方形的性质勾股定理以及三角形的面积公式求出CHA4H 根据正切的概念求出tan ∠BA4C 总结规律解答【详解】试题
解析：
113， 211
n n -+. 【分析】 作CH ⊥BA 4于H ，根据正方形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求出CH 、A 4H ，根据正切的概念求出tan ∠BA 4C ，总结规律解答．
【详解】
试题
作CH ⊥BA 4于H ，
由勾股定理得，BA 42241=17+A 410，
△BA 4C 的面积=4-2-
32=12， ∴121712
， 解得，17，
则A 4H=223A C CH -=131717
， ∴tan ∠BA 4C=4CH A H =113
， 1
tan 1,BAC ∠= 1=12-1+1， 21tan 3
BA C ∠=，3=22-2+1， 31tan 7BA C ∠=
，7=32-3+1， ∴tan ∠BA n C=
211n n -+. 故答案为:
113， 211
n n -+. 【点睛】
本题考查的是正方形的性质、勾股定理的应用以及正切的概念，掌握正方形的性质、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．
17．如图， 圆O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，22.5A ∠=︒，4OC =，CD 的长为__________． 【分析】根据圆周角定理得由于的直径垂直于弦根据垂径
定理得且可判断为等腰直角三角形所以然后利用进行计算【详解】解：∵∴∵的直径垂直于弦∴∴为等腰直角三角形∴∴故答案是：【点睛】本题考查了垂径定理：垂直
解析：2
【分析】
根据圆周角定理得245BOC A ∠=∠=︒，由于O 的直径AB 垂直于弦CD ，根据垂径
定理得CE DE =，且可判断OCE △为等腰直角三角形，所以222CE =
=后利用2CD CE =进行计算．
【详解】
解：∵22.5A ∠=︒
∴245BOC A ∠=∠=︒
∵O 的直径AB 垂直于弦CD
∴CE DE =
∴OCE △为等腰直角三角形 ∴2222CE OC == ∴242CD CE ==．
故答案是：42
【点睛】 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理．
18．在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形纸片折叠，使点C 与点A 重合，则折痕的长是______．
【分析】先利用勾股定理得出AC 根据翻折变换的性质可得
AC ⊥EFOC=AC 然后利用∠ACB 的正切列式求出OF 再求出△AOE 和△COF 全等根据全等三角形对应边相等可得OE=OF 从而求出折痕的长【详解】解
解析：152
【分析】
先利用勾股定理得出AC ，根据翻折变换的性质可得AC ⊥EF ，OC=12
AC ，然后利用∠ACB 的正切列式求出OF ，再求出△AOE 和△COF 全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF ，从而求出折痕的长．
【详解】
解：如图
∵AB=6，BC=8，
∴AC==10，
∵折叠后点C 与点A 重合，
∴AC ⊥EF ，OC=
12AC=12×10=5， ∵tan ∠ACB=OF CO ＝AB CB
，
∴OF 5＝68， 解得OF=
154， ∵矩形对边AD ∥BC ，
∴∠OAE=∠OCF ，
在△AOE 和△COF 中
OAE OCF OA OC
AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AOE ≌△COF （ASA ），
∴OE=OF=
154， ∴EF=152
故答案为152
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
19．如图，△ABC 是等边三角形，AB =3，点E 在AC 上，AE 23
=AC ，D 是BC 延长线上一点，将线段DE 绕点E 逆时针旋转90°得到线段FE ，当AF ∥BD 时，线段AF 的长为____．
1【分析】过点E 作EM ⊥AF 于M 交BD 于N 根据30°
直角三角形的性质求出AM=1再根据∠60°的三角函数值求出EN 的长再依据△EMF ≌△DNE （AAS ）得出MF=EN 据此可得当AF ∥BD 时线段AF 的 解析：13+
． 【分析】
过点E 作EM ⊥AF 于M ，交BD 于N ，根据30°直角三角形的性质求出AM =1，再根据∠60°的三角函数值求出EN 的长，再依据△EMF ≌△DNE （AAS ）得出MF =EN 3=
得，当AF ∥BD 时，线段AF 的长为132
+.
【详解】
如图过点E作EM⊥AF于M，交BD于N．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=3，∠ACB=60°．
∵AE
2
3
=AC，
∴AE=2，EC=1．
∵AF∥BD，
∴∠EAM=∠ACB=60°．
∵EM⊥AF，
∴∠AME=90°，
∴∠AEM=30°，
∴AM1
2
=AE=1．
∵AF∥BD，EM⊥AF，
∴EN⊥BC，
∴EN=EC•sin60°3
=
∵∠EMF=∠END=∠FED=90°，
∴∠MEF+∠MFE=90°，∠MEF+∠DEN=90°，∴∠EFM=∠DEN．
∵ED=EF，
∴△EMF≌△DNE（AAS），
∴MF=EN3
=
∴AF=AM+MF=13
2
+．
故答案为：13
．
【点评】
本题主要考查了直角三角形的性质、特殊角的三角函数值和全等三角形的判定的综合运用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形和全等三角形，熟记特殊角的三角函数值. 20．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是_______．
（3）【分析】如图作B′H⊥y轴于H解直角三角形求出
B′HOH即可【详解】如图作B′H⊥y轴于H由题意：
OA′=A′B′=2∠B′A′H=60°∴∠A′B′H=30°∴AH′=A′B′=1B′H=∴
解析：（3
-，3）
【分析】
如图，作B′H⊥y轴于H．解直角三角形求出B′H，OH即可．
【详解】
如图，作B′H⊥y轴于H，
由题意：OA′=A′B′=2，∠B′A′H=60°，
∴∠A′B′H=30°，
∴AH′=1
2A′B′=1，B′H=3
-
∴OH=3，
∴B′（3
-3），
故答案为：（3
-3）．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
三、解答题
21．如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM 的坡比1:3
i=，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上．
（1）求DM的长．
（2）求旗杆AB的高度．（结果保留根号）
解析：（1）DM＝6m；（2）AB＝3
【分析】
（1）根据斜坡CM的坡比i＝1：3，CD为2m，进而可得DM的长；
（2）过点C作CE⊥AB于点E，设BM＝x，根据矩形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】
解：（1）∵CD＝2，tan∠CMD＝CD
DM
＝
1
3
，
∴2
DM ＝
1
3
，
∴DM＝6m；
（2）过点C作CE⊥AB于点E，设BM＝x，
∴BD＝x+6，
∵∠AMB＝60°，
∴∠BAM＝30°，
∴AB3x，
∵四边形CDBE是矩形，
∴BE＝CD＝2，CE＝BD＝x+6，∴AE＝AB﹣BE3﹣2，
在Rt ACE中，
∵tan30°＝AE
CE
，
∴
3＝
32
6
x
x
-
+
，
解得：x＝3
∴AB3x＝（3）（m）．
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义以及矩形的性质，本题属于中等题型．
22．计算：2401112sin 60(5)2π-︒
⎛⎫-++-- ⎪⎝⎭. 解析：5.
【详解】
()
2041112sin60π52-⎛⎫-++-- ⎪⎝⎭ =3123412-+⨯
+- =133-++
=5.
23．如图，O 为ABC 的外接圆，AB 为O 的直径，点D 为BC 的中点．
（1）连接OD ．求证：//OD AC ．
（2）设OD 交BC 于E ，若43BC
=2DE =．求阴影部分面积． 解析：（1）证明见解析；（2）
16433π- 【分析】
（1）先根据圆周角定理可得90ACB ∠=︒，再根据垂径定理的推论可得OD 垂直平分BC ，然后根据平行线的判定即可得证；
（2）设O 的半径为r ，从而可得,2OB r OE r ==-，再根据垂径定理的推论可得
1
2
BE BC =
=Rt OBE 中，利用勾股定理可得r 的值，从而可得OBC ∠的度数，最后利用扇形和三角形的面积公式即可得．
【详解】
（1）AB 为O 的直径， 90ACB ∴∠=︒，即AC BC ⊥，
点D 为BC 的中点，
OD ∴垂直平分BC ，
//OD AC ∴；
（2）设O 的半径为r ，则OB OD OC r ===，
2DE =，
2OE OD DE r ∴=-=-，
由（1）已证：OD 垂直平分BC ，
11
22
BE BC ∴==⨯=
在Rt OBE 中，222OE BE OB +=，即222(2)r r -+=，
解得4r =，
4,2OB OE ∴==，
在Rt OBE 中，1sin 2
OE OBC OB ∠==， 30OBC ∴∠=︒，
又OB OC =，
30OCB OBC ，
180120BOC OCB OBC ∴∠=︒-∠-∠=︒，
则阴影部分面积为21204116236023
OBC OBC S S
ππ⨯-=-⨯=-扇形 【点睛】
本题考查了圆周角定理、垂径定理的推论、扇形的面积公式、正弦三角函数等知识点，熟练掌握并灵活运用各定理和公式是解题关键．
24．已知：如图，在△ABC 中，∠A=30°，点D 是AB 中点，E 在边AC 上，且
∠AED=∠ABC ，如果AE=6，EC=2．
（1）求边AB 的长；
（2）求tan ∠AED 的值．
解析：（1）边AB 的长为46；（2）tan ∠AED 的值为21+．
【分析】
（1）由两个角相等证明△AED ∽△ABC ，利用相似三角形的性质以及线段的和差，解方程求出AB 的长；
（2）由等腰三角的判定与性质，勾股定理的应用，解直角三角形求出tan ∠AED 的值．
【详解】
（1）∵∠AED=∠ABC ，∠A=∠A ，
∴△AED ∽△ABC ，
∴AE AD AB AC
=， ∵点D 是AB 中点，
∴AD=BD=12
AB ， 又∵AC=AE+EC ，AE=6，EC=2，
∴AC=8，
∴21682
AB =⨯， ∴46AB =(负值已舍),
∴边AB 的长为46；
（2）过点C 作CH ⊥AB 交AB 于点H ，如图所示：
∵CH ⊥AB ，∠A=30°，AC=8，
∴CH=
12AC=4， ∴22228443AC CH --=
∴BH=AB- AH=4643-，
∵∠AED=∠ABC ，
∴tan ∠AED= tan ∠ABC=
43214643
CH BH ==+-． 【点睛】
本题综合考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，解直角三角形等相关知识，重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是构建直角三角形求出三角函数的值．
25．因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览．当船在A 处时，船上游客发现岸上M 处的临皋亭和N 处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600m 到达B 处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶400m 到达C 处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．求临皋亭M 处与遗爱亭N 处之间的距离（计算结果保留根号）．
解析：临皋亭M 处与遗爱亭N 处之间的距离为(80024006米．
【分析】
过M 作MD ⊥AC 于D ，设MD ＝x ，在直角三角形中，利用三角函数即可x 表示出AD 与CD ，根据AC ＝AD ＋CD 即可列方程，从而求得MD 的长，进一步求得AM 的长；过B 作BE ⊥AN 于E ，在直角三角形中，利用三角函数即可求出AE 与NE ，再求出ME ，从而求得MN ．
【详解】
过M 作MD ⊥AC 于D ，
设MD ＝x ，
在Rt △MAD 中，∵∠MAB ＝45°，
∴△ADM 是等腰直角三角形，
∴AD ＝MD ＝x ，
在Rt △MCD 中，∠MCA ＝90°−60°＝30°，
∴DC ＝MD÷tan30°33，
∵AC ＝600＋400＝1000，
∴x 3＝1000，
解得：x ＝50031），
∴MD ＝50031）m ，
∴AM＝2MD＝500（6−2）（m），
过B作BE⊥AN于E，
∵∠MAB＝45°，∠BA＝75°，
∴∠ANB＝60°，
在Rt△ABE中，∵∠MAB＝45°，AB＝600，
∴BE＝AE＝2
2
AB＝3002，
∴ME＝AM−AE＝500（6−2）−3002＝5006−8002，在Rt△NBE中，∵∠ANB＝60°，
∴NE＝3
3BE＝
3
3
×3002＝1006，
∴MN＝1006−（5006−8002）＝（8002−4006）m，
即临摹亭M处与遗爱亭N处之间的距离是（（8002−4006）m．
【点睛】
本题考查了直角三角形的应用−方向角问题，熟练掌握方向角的概念，正确作出辅助线是解题的关键．
26．计算或解方程：
（1
11 754640.5
83
⎛
⎝
（2360245cos60
︒+︒-︒（3）2430
x x
-+=
解析：（1）332；（2）7
2
；（3）12
31
x x
==
，
【分析】
（1）先将二次根式化为最简，然后去括号，合并同类二次根式即可；（2）根据特殊角的三角函数值计算；
（3）利用因式分解法或配方法解方程．
【详解】
（1）解：原式=5322322．
332
=．
（2）解：原式2133222
=⨯+⨯-． 1312
72=+-
=
（3）解：243x x -=-．
()22441
2121
x x x x -+=-=-=±
∴21x -=或21x -=-，
∴1231x x ==，；
【点睛】
此题考查实数的混合计算和一元二次方程的计算，关键是根据一元二次方程、二次根式和三角函数进行解答．
27．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的一动点，点F 是CD 上一点，,,CE DF AF DE =且相交于点G ．
（1）求证：ADF DCE ∆≅∆；
（2）若BG BC =，求tan DAG ∠的值．
解析：（1）见解析；（2）
12
【分析】
（1）根据正方形的性质得到AD=DC ，90ADF DCE ∠=∠=︒，可以证明()ADF DCE SAS ≅；
（2）过点B 作BM AG ⊥于点M ，先根据（1）证明90AGD ∠=︒，再证明
()ABM DAG AAS ≅，可以求出1tan 2
ABM ∠=，根据ABM DAG ∠=∠，则可以得到DAG ∠的正切值．
【详解】
解：（1）∵ABCD 是正方形，
∴AD=DC ，90ADF DCE ∠=∠=︒
在ADF 和DCE 中，
AD DC ADF DCE DF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ADF DCE SAS ≅；
（2）如图，过点B 作BM AG ⊥于点M ，
∵ABCD 是正方形，
∴AB=BC ，
∵BC=BG ，
∴AB=BG ，
∵BM AG ⊥， ∴12AM AG =
， ∵ADF DCE ≅，
∴DAF CDE ∠=∠，
∵90ADG CDE ADC ∠+∠=∠=︒，
∴90ADG DAF ∠+∠=︒，
∴90AGD ∠=︒，
∵BM AG ⊥，
∴90BMA ∠=︒，
∴90BAM ABM ∠+∠=︒，
∵90BAM DAG ∠+∠=︒，
∴ABM DAG ∠=∠，
在ABM 和DAG △中，
ABM DAG AMB DGA AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ABM DAG AAS ≅，
∴BM AG =， ∴112tan 2
AG AM ABM BM AG ∠===， ∵ABM DAG ∠=∠， ∴1tan 2
DAG ∠=．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，正方形的性质，锐角三角函数的求解，解题的关键是掌握这些性质定理并结合题目条件进行证明求解．
28．如图，在ABC ∆中，5AC =，3tan 4
A =，45
B ∠=︒．点P 从点A 出发，沿AB 方向以每秒4个单位长度的速度向终点B 运动（不与点A 、B 重合）．过点P 作PH AB ⊥，交折线--A
C B 于点H ，点Q 为线段AP 的中点，以PH 、PQ 为边作矩形PQGH ．设点P 的运动时间为t （秒）．
（1）直接写出矩形PQGH 的边PH 的长（用含t 的代数式表示）；
（2）当点G 落在边AC 上时，求t 的值；
（3）当矩形PQGH 与ABC ∆重叠部分图形是四边形时，设重叠部分图形的面积为S （平方单位）．求S 与t 之间的函数关系式；
（4）当ABC ∆的重心落在矩形PQGH 的内部时，直接写出此时t 的取值范围．
解析：1）3,01774,14t t PH t t <≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩；（2）1411；（3）229,012147814,114t t S t t t ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+≤<⎪⎩
；（4）113122
t <<． 【分析】
（1）分两种情况讨论：当点Q 在线段AC 上时；当点Q 在线段BC 上时；
（2）当点G 落在AC 上，显然H 在BC 上，利用正切定义
tan GQ A AQ =，列方程即可求解；
（3）分情况讨论：当01t ≤＜时， 14111t <<
时，147114
t ≤<时，分别求得S 与t 的关系式即可； （4）根据题意不难写出t 的取值范围即可．
【详解】
解析（1）①当点H 在AC 边上时，
点P 速度为4/s ，时间为ts ，
4AP t ∴=
90APH ∠=︒
tan 3PH AP A t ∴=⋅∠=．
②4AP t =，作CD AB ⊥于D ，
3tan 4CD A AD
∠== 且5AC =，
4AD ∴=，3CD =，
45B ∠=︒，90CDB ∠=︒，
45BCD B ∴∠=︒=∠，
3BD CD ∴==，7AB =，
74BP AB AP t ∴=-=-，
90HPB ∠=︒，45B ∠=︒，
74HP BP t ∴==-
（2）当点G 落在AC 上，如图，
此时4AP t =，122
AQ AP t ==，74GQ PH t ==-
tan GQ A AQ =，即74324t t -=， 解得：1411
t = （3）当01t <≤时，如图，
此时3PH t =，4AP t =，122
AQ PQ AP t === 3tan 2
EQ AQ A t =⋅∠= 213932222PQEH S S t t t t ⎛⎫==
+⋅= ⎪⎝⎭四 当14111
t <<时，如图，
此时重叠部分为五边形，不考虑．
当147114
t ≤<时，如图，
此时74PH t =-，4AP t =，122
AQ PQ AP t === 22(74)814PQGH S S PQ PH t t t t ==⋅=-=-+四．
（4）如图，建立坐标系点A 为原为，点()7,0B ，点()4,3C ，
由重心坐标公式可知，
1133A B C G x x x x ++=
= 13
A B C G y y y y ++== ∴重心011,13G ⎛⎫ ⎪⎝⎭
①0G 第一次进入矩形时0G 在PH 上， 此时11114312
AP t t ==⇒=， ②0G 第一次出去矩形时，0G 在GH 上， 此时031742G PH y t t ===-⇒=
③0G 在GQ 上时，113AQ =，22243AP AQ t ===， 此时11764
t =>不满足题意不考虑； ∴当0G 在矩形内部时，（不含边长），
113122t <<． 【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形的应用，矩形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。