吉林省长春外国语学校2019届高三下学期第八次月考数学(文)试题含答案

吉林省长春外国语学校2018---2019学年度下学期高三年级第八次月考试题
数学（文）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一.选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.) 1.若集合{|||1,}A x x x R =≤∈，2{|,}B y y x x R ==∈，则A B =
A.{|11}x x -≤≤
B.{|0}x x ≥
C. {}|01x x ≤≤
D.φ
2.在复平面内与复数21i
z i
=
+所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为 A.1i + B.1i - C.1i -- D.1i -+ 3.命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是 A.0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B.0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C.(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =- D.(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- 4.设x R ∈，则“12x <<”是“21x -<”的
A.充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 5.在ABC ∆错误！未找到引用源。

中，∠A 错误！未找到引用源。

60°，||2AB = ，||1AC =，则AB AC ⋅的值为
A.
2
1
B.21-
C.1
D.―1
6.已知数列{}n a ，
点(,)n n a 在函数()sin()3
f x x π
π=+
的图像上，则2015a 的值为
A B ． C ．12
D ．1
2
-
7.已知点)8,2(在幂函数n
x x f =)(的图象上，设
)2
2
(),(ln ),33(
f c f b f a ===π，则c b a ,,的大小关系为 A. a c b << B. a b c << C.
b c a << D.
b a
c <<
8.右图给出的是计算
111
1
246
20
++++
的值的一个程序框图，其中菱形判断框内应
填入条件是 A.8i > B. 9i > C. 10i > D. 11i >
9.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为618.0，这一数值也可以表示为︒=18sin 2m ，若42=+n m ，则 =-1
27cos 22
n
m A ．8
B ．4
C ．2
D ．1
10. 若在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为
A.14
B.13
C.12
D.2
3
11.已知等比数列{a n }的公比q <0，其前n 项的和为S n ，则a 9S 8与a 8S 9的大小关系是
A ．a 9S 8>a 8S 9
B ．a 9S 8<a 8S 9
C ．a 9S 8≥a 8S 9
D ．a 9S 8≤a 8S 9
12.已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝(1
2)x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围
是
A ．[14，＋∞)
B ．(－∞，14]
C ．[12，＋∞)
D ．(－∞，－12]
第 Ⅱ 卷（非选择题 共90分）
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知函数2,3
()1,3
x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩,则((2))f f =____________.
14.函数()x
f x xe =在其极值点处的切线方程为____________.
15.已知偶函数y ＝f (x )满足条件f (x ＋1)＝f (x －1)，且当x ∈[－1,0]时，f (x )＝3x ＋4
9
，则)5(log 3
1f 的值等于
____________.
16.若对定义在R 上的函数f (x )，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有 x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”．给出下列函数： ①y ＝－x 3＋x ＋1; ②y ＝3x －2(sin x －cos x )；
③y ＝e x
＋1; ④f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
ln|x |，x ≠0，
0，x ＝0.
以上函数是“H 函数”的所有序号为____________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 17．(本小题满分12分)
如图所示，在四边形ABCD 中，AC ＝CD ＝12AB ＝1，AB →·AC →＝1，si n ∠BCD ＝3
5
(Ⅰ)求BC 边的长；
(Ⅱ)求四边形ABCD 的面积．
18. (本小题满分12分)
高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：
(Ⅰ)根据上面图表，①②③④处的数值分别为________，________，________，________；
(Ⅱ)在所给的坐标系中画出[85,155]的频率分布直方图；
（Ⅲ）根据题中信息估计总体平均数，并估计总体落在[129,155]中的频率．
19．(本小题满分12分)
圆锥PO如图①所示，图②是它的正(主)视图．已知圆O的直径为AB，C是圆周上异于A，B的一点，D为AC的中点．
(Ⅰ)求该圆锥的侧面积S；
(Ⅱ)求证：平面P AC⊥平面POD；
（Ⅲ）若∠CAB＝60°，在三棱锥A－PBC中，求点A到平面PBC的距离．
20.（本小题满分12分）
已知()()00,0,0,y B x A 两点分别在x 轴和y 轴上运动，且1AB =，若动点(),P x y 满足23OP OA OB =+. (Ⅰ)求出动点P 的轨迹对应曲线C 的标准方程；
(Ⅱ)一条纵截距为2的直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，若以PQ 直径的圆恰过原点，求出直线方程.
21. (本小题满分12分)
函数2()ln ,(),f x x g x x x m ==--
(Ⅰ)若函数()()()F x f x g x =-，求函数()F x 的极值；
(Ⅱ)若2()()(2)x f x g x x x e +<--在(0,3)x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.
请考生在第22、23 22．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为为参数）
βββ(sin cos 1⎩
⎨⎧=+=y x .以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρcos 4=. (Ⅰ)将1C 的方程化为普通方程，将2C 的方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)已知直线l 的参数方程为）
为参数，且0,2(sin cos ≠<<⎩
⎨⎧==t t t y t x παπ
αα，l 与1C 交于点A ，l 与2C 交于点B ，且3=AB ，求α的值.
23. 选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知()12f x x x =++-
(Ⅰ) 已知关于x 的不等式()21f x a <-有实数解，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)解不等式2()2f x x x ≥-.
高三年级第八次月考答案
一C B D A C B A C C C A A 二13. 3 14 e
1
-
15 1 16 ②③ 17 解析 (1)∵AC ＝CD ＝1
2
AB ＝1，
∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝2cos ∠BAC ＝1.
∴cos ∠BAC ＝1
2，∴∠BAC ＝60°. 在△ABC 中，由余弦定理，有
BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝22＋12－2×2×1×1
2
＝3，∴BC ＝ 3.
(2)由(1)知，在△ABC 中，有AB 2＝BC 2＋AC 2. ∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°. ∴S △ABC ＝12BC ·AC ＝12×3×1＝32
.
又∠BCD ＝∠ACB ＋∠ACD ＝90°＋∠ACD ，sin ∠BCD ＝35，∴cos ∠ACD ＝3
5.
从而sin ∠ACD ＝1－cos 2∠ACD ＝4
5.
∴S △ACD ＝12AC ·CD ·sin ∠ACD ＝12×1×1×45＝2
5.
∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝32＋25＝4＋53
10
. 18 答案 (1)1 ,0.025 ,0.1, 1 (2)频率分布直方图如图．
(3)利用组中值算得平均数：
90×0.025＋100×0.05＋110×0.2＋120×0.3＋130×0.275＋140×0.1＋150×0.05＝122.5；总体落在[129,155]上的频率为6
10
×0.275＋0.1＋0.05＝0.315.
19 解析 (1)由圆锥的正视图可知，圆锥的高h ＝2，底面半径r ＝1，所以其母线长为l ＝3，所以圆锥的侧面积S ＝12l ·2πr ＝1
2
×3×2π×1＝3π.
(2)证明：因为AB 是圆O 的直径，所以AC ⊥BC .又因为O ，D 分别为AB ，AC 的中点，所以OD ∥BC ，所以OD ⊥AC .
因为PO ⊥平面ABC ，所以AC ⊥PO .
因为PO ∩OD ＝O ，PO ，OD ⊂平面POD ，所以AC ⊥平面POD . 因为AC ⊂平面P AC ，所以平面P AC ⊥平面POD .
(3)因为∠CAB ＝60°，AB ＝2，所以BC ＝3，AC ＝1.所以S △ABC ＝
3
2
.
又因为PO ＝2，OC ＝OB ＝1，所以S △PBC ＝33
4
.
设A 到平面PBC 的距离为h ，由于V P －ABC ＝V A －PBC ，得13S △ABC ·PO ＝13S △PBC ·h ，解得h ＝22
3
.
20（1）因为23OP OA OB =
+
，即0000(,)2(,0))(2)x y x y x =
=，所以002,x x y =
所以001,23x x y y ==，又因为||1AB =,所以22001x y +=，即
:22
1())12x y +=,即22143x y += 所以椭圆的标准方程为22
143
x y +=…………………………4分
(2) 直线1l 斜率必存在，且纵截距为2,设直线为2y kx =+
联立直线1l 和椭圆方程222
143y kx x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩
得: 22(34)1640k x kx +++=，由0∆>,得2
14k >()*
设112,2(,),()P x y Q x y ，以PQ 直径的圆恰过原点，所以OP OQ ⊥,0OP OQ ∙=，即12120x x y y +=
也即121
2(2)(2)0x x k x k x +++=，即21
212
(1)2()40
k x x k x
x ++++=，将(1)式代入,得222
4(1)32403434k k
k k
+-+=++ 即2224(1)324(34)0k k k +-++=，解得243k =
,满足（*）式，所以23k =, 所以直线23
3
2+
±
=x y .............12分
22解：（1）曲线1C 消去参数β得2
2
(1)1x y -+=，曲线2C 的极坐标方程为2
4cos 4cos ρθρρθ==即化为直角坐标方程为2
2
4x y x +=，即2
2
(2)4x y -+=.…………5分
（2）把直线l
的参数方程代入曲线1
C 的普通方程22(1)1x y -+=得
22cos 0
t t α-=0,2cos A t t α≠∴=.同理，把直线l 的参数方程代入曲线2C 的普通方程得
24cos 0t t α-=，4cos B t α∴=
.2cos A B AB t t α∴=-==
cos 2
2
π
απα<<∴=-
56πα∴=.综上所述：56πα=.…………10分
23解：（1）因为不等式()21f x a <-有实数解，所以()12min -<a x f ，
()2,312,321>∴>-∴≥-++=a a x x x f .…………5分
（3）()⎪⎩
⎪
⎨⎧-≤+-<<-≥-=1,1221,
32,
12x x x x x x f ①当2≥x 时，.3223232,2122+≤≤∴+≤≤-∴-≥-x x x x x ， ②当21<<-x 时，.21,31,232<<-∴≤≤-∴-≥x x x x ?当1-≤x 时，.1,11,2122-=∴≤≤-∴-≥+-x x x x x 综上得，1,23⎡∈-⎣x …………10分。