高考数学文科B课标3卷地区通用课件：9.1直线方程与圆的方程

②当m≠0时,直线x+my=0的斜率为- 1 ,直线mx-y-m+3=0的斜率为m.∵- 1 ×m=-1,∴两条直线互
m
m
相垂直,即点P可视为以AB为直径的圆上的点.当点P与点A或点B重合时,|PA|+|PB|有最小值
10 .当点P不与点A,点B重合时,△PAB为直角三角形,且|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.由基本不等式知|
答案 D 由题意得圆的半径为 2 ,故该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故选D.
2.(2013江西,14,5分)若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是 .
答案 解析
(x-2)2+
y
3 2
2
=
25 4
由已知可设圆心为(2,b),半径为r,由22+b2=(1-b)2=r2得b=- 3 ,r2= 25 .故圆C的方程为(x-2)2+
与直线MP都垂直切线,得出直线MP与直线ax-y+1=0平行,从而得出a=kMP=2,考查学生运算求解
能力.
3.(2013四川,15,5分)在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的
点的坐标是
.
答案 (2,4)
解析
由已知得kAC=
6 3
2 1
=2,kBD=
5
(1) 1 7
=-1,
所以AC的方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0, ①
BD的方程为y-5=-(x-1),即x+y-6=0, ②
联立①②解得
x y
2, 4.
所以直线AC与直线BD的交点为P(2,4),此点即为所求点.
因为|PA|+|PB|+|PC|+|PD|=|AC|+|BD|,
由
y y
k(x 2 4x
1),
得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
Δ=16k2+16>0,故x1+x2= 2k 2 4 .
k2
所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)= 4k 2 4 .
k2
由题设知
4k 2 k
2
4
=8,解得k=-1(舍去)或k=1.
因此l的方程为y=x-1.
24
y
3 2
2
=
25 4
.
评析 本题考查了圆的方程和待定系数法,充分利用圆的性质求出圆心的坐标是求解的关键.
3.(2016浙江,10,6分)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是
,
半径是
.
答案 (-2,-4);5
解析 方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则a2=a+2,故a=-1或2.当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+
8y+10=0,即x2+y2+x+2y+
5
∪
3 4
,
3 4
.
评析 本题考查了直线和圆和位置关系;考查了求解弦的中点问题的基本方法;考查了运算求 解能力和数形结合思想,属偏难题.
C组 教师专用题组
考点一 直线的斜率与方程
1.(2013广东,7,5分)垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第Ⅰ象限的直线方程是 ( ) A.x+y- 2 =0 B.x+y+1=0 C.x+y-1=0 D.x+y+ 2 =0
答案 D 已知圆的圆心为(0,3).直线x+y+1=0的斜率为-1,则所求直线的斜率为1.所以所求直 线的方程为y=x+3,即x-y+3=0.故选D.
2.(2014四川,9,5分)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P (x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是 ( )
由题意,可得Δ=36-20(1+t2)>0(*),x1+x2=
1
6 t
2
,
所以x0=
1
3 t
2
,代入直线l的方程,得y0=
1
3t t
2
.
因为
x02 +
y02
=
9 (1 t 2 )2
+
9t 2 (1 t 2 )2
=
9(1 t2 ) (1 t2 )2
=9
1 t2
=3x0,
所以
x0
3 2
2
+
y02
=
9 4
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),
则
y0
( x0
x0 1)2
5, ( y0
x0 2
1)2
16.
解得
x0 y0
3, 2
或
x0 y0
11, 6.
因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.
答案 C 由题知圆心坐标为(-1,0),将直线y=x+3化成一般形式为x-y+3=0,故圆心到直线的距 离d= | 1 0 3 | = 2 .故选C.
12 (1)2
评析 本题考查圆的标准方程及点到直线的距离公式,属中档题.
2.(2018天津,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为
F 0,
由已知条件可得 12 12 D E F 0,
22 2D F 0, D 2,
解得 E 0,
F 0,
所以所求圆的方程为x2+y2-2x=0.
方法总结 常见的求圆的方程的方法: (1)利用圆的几何特征,求出圆心坐标和半径长,从而写出圆的标准方程. (2)利用待定系数法.若利用所给条件易求圆心的坐标和半径长,则常用标准方程求解;若所给 条件与圆心、半径关系不密切或涉及圆上多点,则常用一般方程求解.
.
由(*)解得t2< 4 ,又t2≥0,所以 5 <x0≤3.
5
3
所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为
x
3 2
2
+y2=
9 4
5 3
x
3
.
(3)由(2)知,曲线C是在区间
5 3
,
3
上的一段圆弧.
如图,D
5 3
,
2
5 3
,E
5 3
,
2
5 3
,F(3,0),直线L过定点G(4,0).
圆C的标准方程为
.
答案 (x-2)2+(y-1)2=4 解析 因为圆心在直线x-2y=0上,所以可设圆心坐标为(2a,a),又圆C与y轴相切,所以(2a)2=a2+ ( 3 )2,解得a=±1.又圆C与y轴的正半轴相切,所以a=1,故圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4. 评析 本题考查直线与圆的位置关系以及圆的标准方程的求法,考查学生运算求解的能力以 及运用数形结合思想求解问题的能力.本题的易错点是忽视圆与y轴的正半轴相切.
联立直线L的方程与曲线C的方程,消去y整理得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0.
令判别式Δ=0,解得:k=±
3 4
,由求根公式解得交点的横坐标为xH,I=
12 5
∈
5 3
,
3,由图可知:要使直线
L与曲线C只有一个交点,则k∈[kDG,kEG]∪{kGH,kGI},即k∈
2
7
5
,
2
7
解析 (1)圆C1的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),M(x0,y0),
则x0=
x1
x2 2
,y0=
y1
2
y2
.
由题意可知直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx.
将上述方程代入圆C1的方程,化简得(1+t2)x2-6x+5=0.
5 2
=0,亦即
x
1 2
2
+(y+1)2=-
5 4
,不成立,故舍去;当a=-1时,方程为x2+y2+4x+
8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,-4),半径为5.
评析 本题重点考查了圆的一般方程.圆的一般方程除了要求x2,y2的系数相等以外,还要注意 求出的圆的半径的平方必须为正.(对于x2+y2+Dx+Ey+F=0,要求D2+E2-4F>0)
6.(2015广东,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B. (1)求圆C1的圆心坐标; (2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程; (3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不 存在,说明理由.
.
答案 x2+y2-2x=0 解析 本题主要考查圆的方程. 解法一:易知以(0,0),(1,1),(2,0)为顶点的三角形为等腰直角三角形,其外接圆的圆心为(1,0),半 径为1,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0. 解法二:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
取异于P点的任一点P'.
则|P'A|+|P'B|+|P'C|+|P'D|
=(|P'A|+|P'C|)+(|P'B|+|P'D|)
>|AC|+|BD|=|PA|+|PB|+|PC|+|PD|. 故P点就是到A、B、C、D的距离之和最小的点.故应填(2,4).
考点二 圆的方程
1.(2015北京,2,5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 ( ) A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2
方法总结 有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应重视
利用韦达定理进行整体运算的方法和技巧.一般地,求直线和圆的方程,常利用待定系数法.
B组 自主命题·省(区、市)卷题组
考点一 直线的斜率与方程
1.(2014福建,6,5分)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是 ( ) A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0
A.[ 5 ,2 5 ] B.[ 10 ,2 5 ]
C.[ 10 ,4 5 ] D.[2 5 ,4 5 ]
答案 B 直线x+my=0过定点A(0,0),直线mx-y-m+3=0过定点B(1,3). ①当m=0时,过定点A的直线方程为x=0,过定点B的直线方程为y=3,两条直线互相垂直,此时P(0,3), ∴|PA|+|PB|=4.
答案 A 由题意可设圆的切线方程为y=-x+m,因为与圆相切于第Ⅰ象限,所以m>0且d= | m | =
2
1,故m= 2 ,所以切线方程为x+y- 2 =0,故选A.
2.(2013天津,5,5分)已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=
()
A.- 1 B.1 C.2 D. 1
2
2
答案 C 由题意可知,点P(2,2)在圆上,设圆心为M(1,0),则kMP=2,由圆的切线的性质可得,过点
P的切线的斜率为k=- 1 ,又因为切线与直线ax-y+1=0垂直,所以- 1 a=-1,即a=2.故选C.
2
2
评析 本题主要考查圆的切线的性质及两条直线的位置关系,本题也可以利用直线ax-y+1=0
4.(2015湖北,16,5分)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上 方),且|AB|=2.
(1)圆C的标准方程为
;
(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为
.
答案 (1)(x-1)2+(y- 2 )2=2 (2)- 2 -1 解析 (1)记AB的中点为D,在Rt△BDC中,易得圆C的半径r=BC= 2 .因此圆心C的坐标为(1,
2 ),所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y- 2 )2=2.(2)因为点B的坐标为(0, 2 +1),C的坐标为(1, 2 ), 所以直线BC的斜率为-1,所以所求切线的斜率为1.由点斜式得切线方程为y=x+ 2+1,故切线在 x轴上的截距为- 2 -1.
5.(2014山东,14,5分)圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为2 3,则
PA|+|PB|≤2 | PA |2 | PB |2 =2 5 ,
2
∴|PA|+|PB|∈[ 10 ,2 5 ]. 综合①②得|PA|+|PB|∈[ 10 ,2 5 ].
评析 本题考查直线的方程、两直线垂直及基本不等式,解答本题的关键是找到点P的轨迹.
属中档题.
考点二 圆的方程
1.(2016北京,5,5分)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为 ( ) A.1 B.2 C. 2 D.2 2
高考文数 (新课标Ⅲ 专用)
§9.1 直线方程与圆的方程
五年高考
A组 统一命题·课标卷题组
考点 圆的方程
(2018课标全国Ⅱ,20,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A, B两点,|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程. 解析 (t;0). 设A(x1,y1),B(x2,y2).