2012理立体几何

2012年高考真题理科数学解析分类汇编立体几何
一、选择题
1.【2012高考新课标理7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
()A 6 ()B 9
()C 12 ()D 18
【答案】B
【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3，所以几何体的体积为
93362
1
31=⨯⨯⨯⨯=
V ,选B. 2.【2012高考浙江理10】已知矩形ABCD ，AB=1，BC=2。

将△沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中。

A.存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直.
B.存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直.
C.存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.
D.对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直 【答案】C
【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C 是正确的．
3.【2012高考新课标理11】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）
()
A ()
B ()
C ()D
【答案】A
【解析】ABC ∆的外接圆的半径r =
O 到面ABC 的距离d ==SC
为球O 的直径⇒点S 到面ABC 的距离为2d =
此棱锥的体积为11233ABC V S d ∆=
⨯==
另：1236
ABC V S R ∆<
⨯=
排除,,B C D ,选A. 4.【2012高考四川理6】下列命题正确的是（ ）
A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 [答案]C
[解析]若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A 错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B 错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D 错；故选项C 正确.
[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.
5.【2012高考四川理10】如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面
α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45
角的平面与半球面相交，所
得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的一点P 满足60BOP ∠=，则A 、P
两点间的球面距离为（ ）
A 、arccos
4R B 、4R π
C 、R
D 、3R π
[答案]A
[解析] 以O 为原点，分别以OB 、OC 、OA 所在直线为x 、y 、z 轴，
则A )0,2
3,21(),22,0,22(
R R P R R
4
2
arccos
=∠∴AOP
4
2arccos ⋅=∴R P A
4
2
2=
∙=∠∴R AOP COS
——3——
[点评]本题综合性较强，考查知识点较为全面，题设很自然的把向量、立体几何、三角函数等基础知识结合到了一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数学基本功.
6.【2012高考陕西理5】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，
12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）
A.
C. D. 35
【答案】A.
【解析】法1：设a CB =||，则a CC CA 2||||1==，),2,0(),0,2,0(),,0,0(),0,0,2(11a a B a C a B a A ，
),2,0(),,2,2(11a a BC a a a -=-=∴，5
5
,cos 111111=
>=
<∴BC AB ，故选A. 法2：过点1B 作11//B D C B 交Oz 轴于点D ，连结AD ，设122CA CC CB a ===
，则
113,,AB a B D AD ==，在1AB D ∆中，由余弦定理知直线1AB 与直线1BC 夹
角的余弦值为22211112AB B D AD AB B D +-==
⋅. 7.【2012高考湖南理3】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不
可能是
【答案】D
【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.
【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型. 8.【2012高考湖北理
4】已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为
A ．8π
3
B ．
3π C ．
10π
3
D ．6π
【答案】B
考点分析：本题考察空间几何体的三视图. 【解析】显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.选B. 9.【2012高考广东理6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为
A ．12π B.45π C.57π D.81π 【答案】C
【解析】该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，根据三视图中的数量关系，可得
πππ57533-533
1
2222=⨯⨯+⨯⨯⨯=+=圆柱圆锥V V V ．故选C ．
俯视图
侧视图
正视图
第4题图
4
——5——
10.【2012高考福建理4】一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是
A.球
B.三棱柱
C.正方形
D.圆柱 【答案】D.
【命题立意】本题考查了空间几何体的形状和三视图的概念，以及考生的空间想象能力，难度一般.
【解析】法1：球的三视图全是圆；如图正方体截出的三棱锥三视图全
是等腰直角三角形；正方体三视图都是正方形.可以排除ABC ，故选Ｄ．
法2：球的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；
三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形； 正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形； 圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆。

11.【2012高考重庆理9】设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1
a ，且长为a 的
a 的取值范围是
（A
） （B
） （C
） （D
） 【答案】A
【解析】因为2
2
211)22(
12=
-=-=BE 则BE BF <，222=<=BE BF AB ，
选A ，
12.【2012高考北京理7】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）
A. 28+65
B. 30+65
C. 56+ 125
D. 60+125
【答案】B
【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。

本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：
10=底S ，10=后S ，10=右S ，56=左S ，因此该几何体表面积
5630+=+++=左右后底S S S S S ，故选B 。

13.【2012高考全国卷理4】已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1= E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为
A 2 B
C D 1
【答案】D
【命题意图】本试题主要考查了正四棱柱的性质的运用，以及点到面的距离的求解。

体现了转换与化归的思想的运用，以及线面平行的距离，转化为点到面的距离即可。

【解析】连结BD AC ,交于点O ，连结OE ，因为E O ,是中点，所以1//AC OE ,且
12
1
AC OE =
，所以BDE AC //1，即直线1AC 与平面BED 的距离等于点C 到平面BED
——7——
的距离，过C 做OE CF ⊥于F ,则CF 即为所求距离.因为底面边长为2，高为22，所以
22=AC ,2,2==CE OC ,2=OE ,所以利用等积法得1=CF ，选
D.
二、填空题
14.【2012高考浙江理11】已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积等于________cm 3
.
【答案】1
【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形．故体积等于11
312123
⨯⨯⨯⨯=．
15.【2012高考四川理14】如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，
M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________。

N
A 1
【答案】
2
π
【命题立意】本题主要考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，以及异面直线所成角的求法.
【解析】本题有两种方法，一、几何法：连接1MD ，则DN MD ⊥1,又DN D A ⊥11，易知
11MD A DN 面⊥，所以1A M 与DN 所成角的大小是
2
π
；二、坐标法：建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式计算得异面直线1A M 与DN 所成角的大小是2
π
.
16.【2012高考辽宁理13】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______________。

【答案】38
【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为2，所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积，即为2(344131)211238ππ⨯+⨯+⨯+⨯⨯-= 【点评】本题主要考查几何体的三视图、柱体的表面积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，属于容易题。

本题解决的关键是根据三视图还原出几何体，确定几何体的形状，然后再根据几何体的形状计算出表面积。

17.【2012高考山东理14】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别为线段
11,AA B C
上的点，则三棱锥
1D EDF
-的体积为
____________.
【答案】
6
1
——9——
【解析】法一：因为E 点在线段1AA 上，所以2
1
11211=⨯⨯=∆DED S ，又因为F 点在线段C B 1上，所以点
F 到平面
1D E D
的距离为1,即1=h ，所以
6
11213131
1
1
1=⨯⨯=⨯⨯==∆--h S V V D E D D E D F E
D F
D . 法二：使用特殊点的位置进行求解，不失一般性令
E 点在A 点处，
F 点在C 点处，则
6
1
111213131111=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯==∆--DD S V V ADC ADC D EDF D 。

18.【2012高考辽宁理16】已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C
上，若P A ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________。

【解析】因为在正三棱锥P -ABC 中，P A ，PB ，PC 两两互相垂直，所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分，（如图所示），此正方体内接于球，正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点。

球心到截面ABC 的距离为球的半径减去正三棱锥P -ABC
在面ABC 上的
高。

所以正方体的棱长为2，可求得正三棱锥P -ABC 在面ABC 上的
ABC
=【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想，该题灵活性较强，难度较大。

该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱
19.【2012高考上海理8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 。

【答案】
π3
3 【解析】因为半圆面的面积为ππ22
12=l ，所以42
=l ，即2=l ，即圆锥的母线为2=l ，
底面圆的周长πππ22==l r ，所以圆锥的底面半径1=r ，所以圆锥的高
322=-=r l h ，所以圆锥的体积为πππ3
3
331313=
⨯=h r 。

【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意，所求的为体积，不是其他的量，分清图形在展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记牢，属于中低档题.
20.【2012高考上海理14】如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2=BC ，
若c AD 2=，且a CD AC BD AB 2=+=+，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最
大值是 。

【答案】
13
2
22--c a c 。

【解析】过点A 做AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，由AD ⊥BC 可知，BC ⊥平面ADE ， 所以BC S V V V ADE ADE C ADE B ⋅=
+=--31=ADE S 3
2
， 当AB=BD=AC=DC=a 时，四面体ABCD 的体积最大。

过E 做EF ⊥DA ，垂足为点F ，已知EA=ED ，所以△ADE 为等腰三角形，所以点E 为AD 的中点，又12
2
2
2
-=-=a BE AB AE ，∴EF=12222--=-c a AF AE ，
∴ADE S =
EF AD ⋅2
1
=122--c a c ， ∴四面体ABCD 体积的最大值=max V ADE S 32=13
22
2--c a c 。

【点评】本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件构造体积表达式，这是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大.属于中高档试题.
——11——
21.【2012高考江苏7】（5分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，
3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3
．
【答案】6。

【考点】正方形的性质，棱锥的体积。

【解析】∵长方体底面ABCD 是正方形，∴△ABD
中BD ，BD
（它也是11A BB D D -中11BB D D 上的高）。

∴四棱锥11A BB D D -
的体积为123⨯。

22.【2012高考安徽理12】某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是_____．
【答案】92
【命题立意】本题考查空间几何体的三视图以及表面积的求法。

【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱，
几何体的表面积是1
2(25)4(2544922
S =⨯
⨯+⨯++++⨯=． 23.【2012高考天津理10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为
_________m 3
.
【答案】π918+
【命题意图】本试题主要考查了简单组合体的三视图的画法与体积的计算以及空间想象能力.
【解析】根据三视图可知，这是一个上面为长方体，下面有两个直径为3的球构成的组合体，两个球的体积为ππ9)2
3
(3423=⨯⨯，长方体的体积为18631=⨯⨯，所以该几何体的体积为π918+。

24.【2012高考全国卷理16】三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，
1160BAA CAA ∠=∠=︒，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 。

【答案】
3
6 【命题意图】本试题考查了斜棱柱中异面直线的角的求解。

用空间向量进行求解即可。

【解析】如图
设,,,1===设棱长为1，
则,1b a AB +=b c a BC a BC -1+=+=，因为底面边长和侧棱长都相等，且
1160=∠=∠CAA BAA 所以2
1
=
∙=∙=∙
，所以3==
，2== ，2)-()(11=+∙+=∙b c a b a BC AB ，设异面直线的夹角
为θ
，所以3
63
22cos =
⨯=
=
θ. 三、解答题
25.【2012高考广东理18】（本小题满分13分）
如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点 E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE ．
——13——
（1） 证明：BD ⊥平面PAC ；
（2） 若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A 的正切值；
【答案】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面垂直的证明、二面角的求解等问题，考查了学生的空间想象能力以及推理论证能力. 【解析】（1）PC ⊥平面BDE ，BD ⊂面BDE BD PC ⇒⊥ PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂面ABCD BD PA ⇒⊥ 又PA PC P BD =⇒⊥面PAC
（2）AC BD O =由（1）得：B D A C A B ⊥⇒=，
1,22PA AD AB ==⇒=，
PC ⊥平面,BDE BF PC
OF PC ⇒⊥⊥BFO ⇒∠是二面角B PC A --的平面角
在PBC ∆中
，
2,390BP BC PB BC PC PBC BE PC ο⨯===⇒∠=⇒=
=
在
Rt BOF
∆中
，
tan 3BO
BO OE BFO OF
===
⇒∠== 得：二面角B PC A --的正切值为3 26.【2012高考辽宁理18】(本小题满分12分)
如图，直三棱柱///
ABC A B C -，90BAC ∠=，
/,AB AC AA λ==点M ，N 分别为/A B 和//B C 的中点。

(Ⅰ)证明：MN ∥平面//A ACC ;
(Ⅱ)若二面角/
A MN C --为直二面角，求λ的值。

【命题意图】本题主要考查线面平行的判定、二面角的计算，考查空间想象能力、运算求解能力，是容易题. 【解析】（1）连结','AB AC ，由已知=90,=BAC AB AC ∠︒ 三棱柱-'''ABC A B C 为直三棱柱，
所以M 为'AB 中点.又因为N 为''B C 中点 所以//'MN AC ，又MN ⊄平面''A ACC 'AC ⊂平面''A ACC ，因此//''MN AACC 平面 ……6分 （2）以A 为坐标原点，分别以直线,,'AB AC AA 为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系-O xyz ，如图所示
设'=1,AA 则==AB AC λ，
于是()()()()()()0,0,0,,0,0,0,,0,'0,0,1,',0,1,'0,,1A B C A B C λλλλ，
所以1,0,,,,12222M N λλλ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，设()111=,,m x y z 是平面'A MN 的法向量， 由'=0,=0m A M m MN ⎧⎪⎨⎪⎩得1111
1-=022
1+=022
x z y z λλ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，可取()=1,-1,m λ 设()222=,,n x y z 是平面MNC 的法向量，
由=0,=0n NC n MN ⎧⎪⎨⎪⎩得22222-+-=0221+=022
x y z y z λλλ⎧⎪
⎪⎨⎪⎪⎩，可取()=-3,-1,n λ
因为'--A MN C 为直二面角，所以()()2=0,-3+-1-1+=0m n λ⨯即
，解得λ12分
【点评】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定，借助空间直角坐标系求平面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。

第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明。

27.【2012高考湖北理19】（本小题满分12分）
如图1，45ACB ∠=，3BC =，过动点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使90BDC ∠=（如图2所示）．
（Ⅰ）当BD 的长为多少时，三棱锥A BCD -的体积最大；
（Ⅱ）当三棱锥A BCD -的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在 棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小．
第19题图
【答案】（Ⅰ）解法1：在如图1所示的△ABC 中，设(03)BD x x =<<，则3CD x =-．
由AD BC ⊥，45ACB ∠=知，△ADC 为等腰直角三角形，所以3AD CD x ==-.
由折起前AD BC ⊥知，折起后（如图2），A D D C ⊥，AD BD ⊥，且BD DC D =，
D A
B
C
A
C
D
B
图2
图1
M E
. ·
——15——
所以AD ⊥平面BCD ．又90BDC ∠=，所以11
(3)22
BCD S BD CD x x ∆=⋅=-．于是
1111
(3)(3)2(3)(3)33212
A BCD BCD V AD S x x x x x x -∆=⋅=-⋅-=⋅--
3
12(3)(3)21233x x x +-+-⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦
， 当且仅当23x x =-，即1x =时，等号成立，
故当1x =，即1BD =时, 三棱锥A BCD -的体积最大． 解法2：
同解法1，得321111
(3)(3)(69)3326
A BCD BCD V AD S x x x x x x -∆=⋅=-⋅-=-+．
令321()(69)6f x x x x =-+，由1
()(1)(3)02
f x x x '=--=，且03x <<，解得1x =．
当(0,1)x ∈时，()0f x '>；当(1,3)x ∈时，()0f x '<． 所以当1x =时，()f x 取得最大值．
故当1BD =时, 三棱锥A BCD -的体积最大． （Ⅱ）解法1：以D 为原点，建立如图a 所示的空间直角坐标系D xyz -．
由（Ⅰ）知，当三棱锥A BCD -的体积最大时，1BD =，2AD CD ==．
于是可得(0,0,0)D ，(1,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)A ，(0,1,1)M ，1
(,1,0)2E ，
且(1,1,1)BM =-．
设(0,,0)N λ，则1
(,1,0)2
EN λ=--. 因为EN BM ⊥等价于0EN BM ⋅=，即
11
(,1,0)(1,1,1)1022
λλ--⋅-=+-=，故12λ=，1(0,,0)2N .
所以当1
2DN =（即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点）时，EN BM ⊥．
设平面BMN 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由,
,BN BM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 及1(1,,0)2BN =-，
得2,
.y x z x =⎧⎨=-⎩
可取(1,2,1)=-n ．
设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ，则由11
(,,0)22
EN =--，(1,2,1)=-n ，可得
1|1|
sin cos(90)||||EN EN θθ--⋅=-===⋅n n 60θ=．
故EN 与平面BMN 所成角的大小为60.
解法2：由（Ⅰ）知，当三棱锥A BCD -的体积最大时，1BD =，2AD CD ==． 如图b ，取CD 的中点F ，连结MF ，BF ，EF ，则MF ∥AD . 由（Ⅰ）知AD ⊥平面BCD ，所以MF ⊥平面BCD .
如图c ，延长FE 至P 点使得FP DB =，连BP ，DP ，则四边形DBPF 为正方形， 所以DP BF ⊥. 取DF 的中点N ，连结EN ，又E 为FP 的中点，则EN ∥DP ， 所以EN BF ⊥. 因为MF ⊥平面BCD ，又EN ⊂面BCD ，所以MF EN ⊥. 又MF BF F =，所以EN ⊥面BMF . 又BM ⊂面BMF ，所以EN BM ⊥. 因为EN BM ⊥当且仅当EN BF ⊥，而点F 是唯一的，所以点N 是唯一的.
即当1
2DN =（即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点），EN BM ⊥．
连接MN ，ME
，由计算得NB NM EB EM ====
， 所以△NMB 与△EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形， 如图d 所示，取BM 的中点G ，连接EG ，NG ，
则BM ⊥平面EGN ．在平面EGN 中，过点E 作EH GN ⊥于H ， 则EH ⊥平面BMN ．故ENH ∠是EN 与平面BMN 所成的角．
在△EGN
中，易得EG GN NE ==，所以△EGN 是正三角形， 故60ENH ∠=，即EN 与平面BMN 所成角的大小为60. 28.【2012高考新课标理19】（本小题满分12分）
如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11
2
AC BC AA ==
，
图a
图b
C A
D B
E F
M
N
图c
B
D
P
C
F N
E
G
M
N H
图d
第19题解答图
——17——
D 是棱1AA 的中点，BD
DC ⊥
1
（1）证明：BC DC ⊥1
（2）求二面角11C BD A --的大小. 【答案】（1）在Rt DAC ∆中，AD AC = 得：45ADC ︒∠=
同理：1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=
得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥
取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H 111111
A C
B
C C O A B =⇒⊥，面111A B C ⊥面1A B
D 1C O ⇒⊥面1A BD 1O H B D C H B D
⊥⇒⊥
得：点H 与点D 重合 且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角 设AC a =
，则1C O =
111230C D C O C DO ︒
==⇒∠= 既二面角11C BD A --的大小为30︒
29.【2012高考江苏16】（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AB AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，
为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ；
（2）直线1//A F 平面ADE ．
【答案】证明：（1）∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC 。

又∵AD ⊂平面ABC ，∴1CC AD ⊥。

又∵1AD DE CC DE ⊥⊂，
，平面111BCC B CC DE E =，，∴AD ⊥平
面11BCC B 。

又∵AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面11BCC B 。

（2）∵1111A B AC =，F 为11B C 的中点，∴111A F B C ⊥。

又∵1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ⊂平面111A B C ，∴11CC A F ⊥。

又∵111 CC B C ⊂，平面11BCC B ，1111CC B C C =，∴1A F ⊥平面111A B C 。

由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ，∴1A F ∥AD 。

又∵AD ⊂平面1, ADE A F ∉平面ADE ，∴直线1//A F 平面ADE 【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。

【解析】（1）要证平面ADE ⊥平面11BCC B ，只要证平面ADE 上的AD ⊥平面11BCC B 即可。

它可由已知111ABC A B C -是直三棱柱和AD D E ⊥证得。

（2）要证直线1//A F 平面ADE ，只要证1A F ∥平面ADE 上的AD 即可。

30.【2012高考四川理19】(本小题满分12分)
如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，平面
PAB ⊥平面ABC 。

（Ⅰ）求直线PC 与平面ABC 所成角的大小； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小。

【答案】本题主要考查直线与平面的位置关系，线面角的概念，二面角的概念等基础知识，考查空间想象能力，利用向量解决立体几何问题的能力.
[解析]（1）连接OC 。

由已知，ABC PC OCP 与平面为直线∠所成的角
——19——
设AB 的中点为D ，连接PD 、CD. 因为AB=BC=CA,所以CD ⊥AB.
因为为，所以，PAD PAB APB ∆︒=∠︒=∠6090等边三角形， 不妨设PA=2，则OD=1，OP=3,AB=4.
所以CD=23，OC=1312122=+=+CD OD . 在Rt 中，OCP ∆tan 1339
13
3=
==
∠OC OP OPC . 故直线PC 与平面ABC 所成的角的大小为arctan 13
39
…………………6分 （2）过D 作DE AP ⊥于E ，连接CE.
由已知可得，CD ⊥平面PAB. 根据三垂线定理可知，CE ⊥PA ，
所以，的平面角——为二面角C AP B CED ∠. 由（1）知，DE=3 在Rt △CDE 中，tan 2==
∠DE
CD
CED 故2arctan 的大小为——二面角C AP B ……………………………12分 31.【2012高考福建理18】如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中AA 1=AD=1，E 为CD 中点. （Ⅰ）求证：B1E ⊥AD1；
（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B1AE ？若存在，求AP 的行；若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由.
（Ⅲ）若二面角A-B 1EA 1的大小为30°，求AB 的长
.
【答案】本题主要考查立体几何中直线与直线、直线与平面的位置关系及二面角的概念与求法等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、基本运算能力，以及函数与方程的思想、数形结合思想、化归与转化思想.
解答：
（Ⅰ）长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA 得：1111111111,,AD A D AD A B A D
A B A A D ⊥⊥=⇔⊥面11A B CD
1B E ⊂面11A B CD 11B E AD ⇒⊥
（Ⅱ）取1AA 的中点为P ，1AB 中点为Q ，连接PQ 在11AA B ∆中，111111
//,////////22
PQ A B DE A B PQ DE PD QE PD ⇒⇒⇒面AE B 1
此时111
22
AP AA == （Ⅲ）设11A D
AD O =，连接AO ，过点O 作1OH B E ⊥于点H ，连接AH
1AO ⊥面11A B CD ，1O H B E ⊥1A H B E
⇒⊥ 得：AHO ∠是二面角11A E B A --的平面角30AHO ο
⇒∠=
在Rt AOH ∆中，30,90,22
AHO AOH AH OH ο
ο
∠=∠==⇒=
在矩形11A B CD 中，1,CD x AD ==
111122
22222228
B OE x x
S x ∆=
--⨯-⨯=
122x =⇔=
得：2AB =
32.【2012高考北京理16】（本小题共14分）
如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD,如图2. (I)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；
(II)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；
(III)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由
——21——
【答案】解：（1）
CD DE ⊥，1A E DE ⊥
∴DE ⊥平面1A CD ，
又
1
AC ⊂平面1A CD ， ∴1
AC ⊥DE 又1A C CD ⊥， ∴1
AC ⊥平面BCDE 。

（2）如图建系C xyz -，则()200D -，，
，(00A ，，，()030B ，，，()220E -，，
∴(103A B =-，，,()1210A E =--，， 设平面1A BE 法向量为()n x y z =，，
则1100
A B n A E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
∴3020y x y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩
∴2
z y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴(12n =-，
又∵(10M -，
∴(10CM =-，
∴cos ||||1CM n CM n θ⋅=
===⋅，
∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45︒。

（3）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为()00a ，，，则[]03a ∈，
则(10A P a =-，，，()20DP a =，
， 设平面1A DP 法向量为()
1111n x y z =，，，
y
C
则1111
020ay x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩
∴111112
z x ay ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴(
)136n a =-，。

假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直，
则10n n ⋅=，∴31230a a ++=，612a =-，2a =-，
∵03a <<，∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直。

33.【2012高考浙江理20】(本小题满分15分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面是边
长为BAD ＝120°，且P A ⊥平面ABCD ，P A
＝M ，N 分别为PB ，PD 的中点．
(Ⅰ)证明：MN ∥平面ABCD ；
(Ⅱ) 过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A —MN —Q 的平面角的余弦值．
【命题立意】本题主要考查空间点、线、面的位置关系，二面角所成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。

【答案】(Ⅰ)如图连接BD ． ∵M ，N 分别为PB ，PD 的中点， ∴在∆PBD 中，MN ∥BD ． 又MN ⊄平面ABCD ， ∴MN ∥平面ABCD ； (Ⅱ)如图建系：
A (0，0，0)，P (0，0
，，M
(，32，0)， N
，0，0)，C
，3，0)．
——23——
设Q (x ，y ，z )
，则(33)(33CQ x y z CP =
--=-
-，，，，． ∵(3
)CQ CP λ
λ==
-，，∴33)Q λ-，． 由0OQ CP OQ CP ⊥⇒
⋅=，得：1
3
λ=
． 即：2Q ． 对于平面AMN ：设其法向量为()n a b c =，，． ∵33
(0)=(300)2
AM
AN =
-
，，，，，．
则3
0012
30
00a AM n b b AN n c ⎧=
⎪⎪
⎧⎧⋅=+=⎪
⎪⎪⇒⇒
=⎨⎨⋅=⎪⎪
⎩==⎪⎪⎩
． ∴31
(
0)3
n
=，，． 同理对于平面AMN 得其法向量为(31v =，，． 记所求二面角A —MN —Q 的平面角大小为θ， 则10
cos n v n v
θ⋅=
=
⋅． ∴所求二面角A —MN —Q ． 34.【2012高考重庆理19】（本小题满分12分 如图，
在直三棱柱111C B A ABC - 中，AB=4，AC=BC=3，D 为AB 的中点
（Ⅰ）求点C 到平面11ABB A 的距离;
（Ⅱ）若11AB AC ⊥求二面角 的平面角的余弦值.
【命题立意】本题考查立体几何的相关知识，考查线面垂直关系、二面角的求法以及空间向量在立体几何中的应用.
解：（1）由A C B C =,D 为AB 的中点，得CD AB ⊥，又1C D A A ⊥，故11CD A ABB ⊥面,所以点C 到平面11A ABB
的距离为CD =
=(2)如图，取1D 为11A B 的中点，连结1DD ,则111DD AA CC ∥∥,又由（1）知11CD A ABB ⊥面，故1CD A D ⊥1CD DD ⊥，所以11A DD ∠为所求的二面角11A CD C --的平面角。

因1A D 为1AC 在面11A ABB 上的射影，又已知11AB AC ⊥，由三垂线定理的逆定理得11AB A D ⊥，从而111,A AB A DA ∠∠都与1B AB ∠互余，因此111A AB A DA
∠=∠，所以111Rt A AD Rt B A A
，因此，1111
AA A B AD AA =,即2
1118AA AD A B ==,
得1AA =
从而1A D =
=,所以，在11Rt A DD
中，111111cos DD AA A DD A D A D =
==。

35.【2012高考江西理19】（本题满分12分）
在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB=AC=AA 1
BC=4，在A 1在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O 。

（1）证明在侧棱AA 1上存在一点E ，使得OE ⊥平面BB 1C 1C ，并求出AE 的长；
（2）求平面A1B1C 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值。

解：（1）证明：连接AO ，在1A O A 中，作1OE AA ⊥于点E ，因为11//AA BB ，得1O E B B ⊥,
因为1AO ⊥平面ABC ，所以1
AO BC ⊥,因为
AB =C 1
——25——
得AO BC ⊥,所以BC ⊥平面1AAO ,所以BC OE ⊥, 所以OE ⊥平面11BB C C ,
又11,AO AA =
==
得21AO AE AA ==
(2)如图所示，分别以1,,OA OB OA 所在的直线
为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0), C(0,-2,0), A 1(0.0,2),B(0,2,0) 由（1）可知115AE AA =
得点E 的坐标为42
(,0,)55
，由（1）可知平面11BB C C 的法向量是42
(,0,)55
，设平面11A B C 的法向量(,,)n x y z =， 由100
n AB n A C ⎧⨯=⎪⎨⨯=⎪⎩，得200x y y z -+=⎧⎨+=⎩，令1y =，得2,1x z ==-，即(2,1,1)n =-
所以30
cos ,||||
OE n OE n OE n ⨯<>=
=
⨯即平面平面11A B C 与平面BB 1C 1C 。

【点评】本题考查线面垂直，二面角、向量法在解决立体几何问题中的应用以及空间想象的能力. 高考中，立体几何解答题一般有以下三大方向的考查.一、考查与垂直，平行有关的线面关系的证明；二、考查空间几何体的体积与表面积；三、考查异面角，线面角，二面角等角度问题.前两种考查多出现在第1问，第3种考查多出现在第2问；对于角度问题，一般有直接法与空间向量法两种求解方法.
36.【2012高考安徽理18】（本小题满分12分）
平面图形111ABB A C C 如图4所示，
其中11BB C C 是矩形，
12,4BC BB ==，
AB AC ==1111A B AC ==BC 和11B C 折叠，使ABC ∆与111A B C ∆所在平面都与平面11BB C C 垂直，再分别连接111,,AA BA CA ,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。

（Ⅰ）证明：1AA BC ⊥； （Ⅱ）求1AA 的长； （Ⅲ）求二面角1A BC A --的余弦值。

【答案】本题考查平面图形与空间图形的转化，空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定。

空间线段长度和空间角的余弦值的计算等基础知识和基本技能，考查空间想象能力，推理论证能力和求解能力。

【解析】(综合法)
（I ）取11,BC B C 的中点为点1,O O ，连接1111,,,AO OO AO AO ，
则AB AC AO BC =⇒⊥，面ABC ⊥面11BB C C AO ⇒⊥面11BB C C ， 同理：11AO ⊥面11BB C C 得：1111//,,,AO AO A O A O ⇒共面， 又11
,OO BC OO AO O ⊥=⇒BC ⊥面111AOO A AA BC ⇒⊥。

（Ⅱ）延长11AO 到
D ，使1O D OA = ，得：11////O D OA AD OO ⇒， 1OO BC ⊥，面111A BC ⊥面11BB C C 1OO ⇒⊥面111A B C ⇒
AD ⊥面111A B C ，
15AA =
==。

（Ⅲ）11,AO BC AO BC AOA ⊥⊥⇒∠是二面角1A BC A --的平面角。

在11Rt OO A ∆
中，1A O ==
=
在1Rt OAA ∆
中，222
11
1
1
cos 2AO AO AA AOA AO AO +-∠==⨯ 得：二面角1A BC A --
的余弦值为 37.【2012高考上海理19】（6+6=12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA
——27——
底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2=AB ，22=AD ，2=PA ，求： （1）三角形PCD 的面积；
（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小。

[解]（1）因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ，又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面P AD ， 从而CD ⊥PD . ……3分 因为PD=32)22(22
2
=+，CD =2，
所以三角形PCD 的面积为323222
1=⨯⨯.
（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系， 则B (2, 0, 0)，C (2, 22,0)，E (1, 2, 1)，
)1,2,1(=AE ，)0,22,0(=BC . ……8 设与的夹角为θ，则
222224||||cos ===⨯⋅BC AE BC AE θ，θ=4π
. 由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π ……12分 [解法二]取PB 中点F ，连接EF 、AF ，则 EF ∥BC ，从而∠AEF （或其补角）是异面直线 BC 与AE 所成的角 ……8分
在AEF ∆中，由EF =2、AF =2、AE =2
知AEF ∆是等腰直角三角形，
所以∠AEF =4
π. 因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是
4
π
……12分
【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．
38.【2012高考全国卷理18】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，PA=2，E 是PC 上的一点，PE=2EC.
y
A B C
D
P E
F
（Ⅰ）证明：PC ⊥平面BED ；
（Ⅱ）设二面角A-PB-C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小.
【命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用。

从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度，并加以证明和求解。

解：设AC BD O =,以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴建立空间直角坐标系，则
((A C P 设(0,,0),(0,,0),(,,)B a D a E x y z -。

（Ⅰ）证明：由2PE EC =得2(
)33E ， 所以2)PC =-，22(,)33
BE a =，
(0,2,0)BD a =，所以2
2),)03
PC BE a ⋅=-⋅=，
2)(0,2,0)0PC BD a ⋅=-⋅=。

所以PC BE ⊥,PC BD ⊥，所以PC ⊥平面BED ； （Ⅱ） 设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =，又(0,0,2),(2,,0)
AP AB a ==-，由0,0n AP n AB ⋅=⋅=得2
(1,
,0)n a
=，设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =，又
(2,,0),(2,0,2)B C a C P ==-，由0,0m BC m CP ⋅=⋅=，得(1,m =，由
于二面角A PB C --为90，所以0m n ⋅=，解得a =
所以(2,2)PD =-，平面PBC 的法向量为(1,1m =-，所以PD 与平面PBC 所成角的正弦值为
||1
2
||||PD m PD m ⋅=⋅，所以PD 与平面PBC 所成角为6π.
【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题和相似，底面也是特殊
的菱形，一个侧面垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是点E 的位置的选择是一。