浙江初三初中数学月考试卷带答案解析

浙江初三初中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.如图所示，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域内的概率为（）
A．B．C．D．
2.已知点P（－1，4）在反比例函数的图象上，则k的值是（）
A．B．C．4D．－4
3.抛物线的对称轴是（）
A．直线x=－1B．直线x="1"C．直线x=2D．直线x=3
4.在△ABC中，已知AB=AC=5cm，BC=8cm，D是BC的中点，以D为圆心作一个半径为3cm的圆，则下列说法正确的是（）
A．点A在⊙D外B．点A在⊙D 上C．点A在⊙D内D．无法确定
5.⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（）
A．相切B．相交C．相离D．不能确定
6.小兰画了一个函数的图象如图，那么关于x的分式方程的解是（）
A．x=1B．x=2C．x=3D．x="4"
7.如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=80°，则∠ACB等于（）
A．100° B．80° C．50° D．40°
8.如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，
∠EDF=∠DCE．则EF等于（）
A．B．C．D．
9.如图，扇形DOE的半径为3，边长为的菱形OABC的顶点A，C，B分别在OD，OE，弧ED上，若把扇形DOE围成一个圆锥，则此圆锥的高为（）
A．B．C．D．
10.下列图形中，阴影部分面积最大的是（）
A．B．
C．D．
11.如图，正方形ABCD中，连接BD.点E在边BC上，且CE=2BE.连接AE交BD于F；连接DE，取BD的中点O；取DE的中点G，连接OG.下列结论：
①BF=OF；②OG CD；③AB=5OG；④sin AFD=；⑤．
其中正确结论的个数是（）
A．5 B．4 C．3 D．2
12.如图，半圆D的直径AB=4，与半圆O内切的动圆O
1与AB切于点M，设⊙O
1
的半径为y，AM=x，则y关于
x的函数关系式是（）
A．B．C．D．
二、填空题
1.已知圆锥的母线长为5
，底面半径为3
，则它的侧面积是__ __
．
2.已知二次函数，当x ＞2时，y 的值随x 值的增大而增大，则实数m 的取值范围是_ __．
3.如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A=70o ，∠C=50o ，那么sin ∠AEB 的值为
__ __．
4.直线
（a ＞0）与双曲线
相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则
的值为 ．
5.如图，菱形ABCD 中，AB ＝2，∠C ＝60°，菱形ABCD 在直线上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作，菱形中心O 所经过的路径总长为（结果保留
π） ．
6.如图所示，点A 1，A 2，A 3在x 轴上，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3，分别过点A 1，A 2，A 3作y 轴的平行线，与反比例函数
（x ＞0）的图象分别交于点B 1，B 2，B 3，分别过点B 1，B 2，B 3作x 轴的平行线，分别于y 轴交于点C 1，C 2，
C 3，连接OB 1，OB 2，OB 3，那么图中阴影部分的面积之和为 ．
三、计算题
1.（1）计算：
． （2）已知：tan60°·sinα＝，求锐角α.
2.如图D ，E 分别是△ABC 的AB ，AC 边上的点，且DE ∥BC ，AD ∶AB=1∶4，
（1）证明：△ADE ∽△ABC ； （2）当DE=2，求BC 的长.
四、解答题
1.如图，路灯（P 点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O 点 ）20米的A 点，沿OA 所在的直线行走14米到B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
2.一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“鄞”、“州”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“鄞”的概率为多少？
（2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图的方法，求出甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“鄞州”的概率P 1；
（3）乙从中任取一球，记下汉字后再放回袋中，然后再从中任取一球，记乙取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“鄞州”的概率为P 2，指出P 1，P 2的大小关系（请直接写出结论，不必证明）．
3.如图，AB 是⊙O 直径，D 为⊙O 上一点，AT 平分∠BAD 交⊙O 于点T ，过T 作AD 的垂线交AD 的延长线于点
C ．
（1）求证：CT 为⊙O 的切线； （2）若⊙O 半径为2，CT=，求AD 的长．
4.某学校的校门是伸缩门（如图1），伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°（如图2）；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°（如图3）．问：校门打开了多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，
cos10°≈0.9848）．
5.鄞州区有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类 野生菌在冷库中最多保存160天，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售． （1）设天后每千克该野生菌的市场价格为y 元，试写出y 与x 之间的函数关系式；
（2）若存放x 天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为元，试写出与x 之间的函数关系式；
（3）李经理将这批野生菌存放多少天后出售可获得最大利润元？ （利润＝销售总额－收购成本－各种费用）
6.如图，抛物线与x 轴交于点A 、B ，且A 点的坐标为（1，0），与y 轴交于点C （0，
1）．
（1）求抛物线的解析式，并求出点B 坐标；
（2）过点B 作BD ∥CA 交抛物线于点D ，连接BC 、CA 、AD ，求四边形ABCD 的周长；（结果保留根号） （3）在x 轴上方的抛物线上是否存在点P ，过点P 作PE 垂直于x 轴，垂足为点E ，使以B 、P 、E 为顶点的三角形与△CBD 相似？若存在请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
浙江初三初中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.如图所示，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域内的概率为（）
A．B．C．D．
【答案】B.
【解析】∵四边形是平行四边形，∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，观察发现：图中阴影部分面积=，∴针头扎在阴影区域内的概率为，故选：B．
S
四边形
【考点】1．几何概率；2．平行四边形的性质．
2.已知点P（－1，4）在反比例函数的图象上，则k的值是（）
A．B．C．4D．－4
【答案】D.
【解析】设反比例函数关系式为，将x=﹣1，y=4代入得k=﹣4，故选D．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式．
3.抛物线的对称轴是（）
A．直线x=－1B．直线x="1"C．直线x=2D．直线x=3
【答案】A.
【解析】∵，∴当y=0时，x=1或 x=﹣3，∴抛物线的对称轴为x=﹣1．故选A．
【考点】二次函数的性质．
4.在△ABC中，已知AB=AC=5cm，BC=8cm，D是BC的中点，以D为圆心作一个半径为3cm的圆，则下列说法正确的是（）
A．点A在⊙D外B．点A在⊙D 上C．点A在⊙D内D．无法确定
【答案】B.
【解析】连结AD，∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵D是BC的中点，即DC=BC÷2=4cm，∴AD=，而圆的半径为3cm，∴点C在⊙D上．故选B．
【考点】点与圆的位置关系．
5.⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（）
A．相切B．相交C．相离D．不能确定
【答案】B.
【解析】∵⊙O的半径为8，圆心O到直线L的距离为4，∵8＞4，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交．故选：B．
【考点】直线与圆的位置关系．
6.小兰画了一个函数的图象如图，那么关于x的分式方程的解是（）
A．x=1B．x=2C．x=3D．x="4"
【答案】A.
【解析】关于x的分式方程的解就是函数中，纵坐标y=2时的横坐标x的值．根据图象可以得
到：当y=2时，x=1．故选A．
【考点】反比例函数的图象．
7.如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=80°，则∠ACB等于（）
A．100° B．80° C．50° D．40°
【答案】D.
【解析】∵∠AOB=80°，∴∠ACB=∠AOB=40°．故选D．
【考点】圆周角定理．
8.如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，
∠EDF=∠DCE．则EF等于（）
A．B．C．D．
【答案】C.
【解析】∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠CBD=∠A，∴△ABC∽△BDC，同理可得：
△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，∴，，，，∵AB=AC，
∴CD=CE，解得：CD=CE=，DE=，EF=．故选C．
【考点】1．相似三角形的判定与性质；2．等腰三角形的判定与性质．
9.如图，扇形DOE的半径为3，边长为的菱形OABC的顶点A，C，B分别在OD，OE，弧ED上，若把扇形DOE围成一个圆锥，则此圆锥的高为（）
A．B．C．D．
【答案】C.
【解析】连接OB，AC，BO与AC相交于点F，∵在菱形OABC中，AC⊥BO，CF=AF，FO=BF，
∠COB=∠BOA，又∵扇形DOE的半径为3，边长为，∴FO=BF=1.5，cos∠FOC=，
∴∠FOC=30°，∴∠EOD=2×30°=60°，∴弧ED的长=，底面圆的周长为：2πr=π，解得：，∵圆锥母线为：3，则此圆锥的高为：，故选：C．
【考点】1．圆锥的计算；2．菱形的性质．
10.下列图形中，阴影部分面积最大的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C.
【解析】 A．根据反比例函数系数k的几何意义，阴影部分面积和为：xy=3，
B．根据反比例函数系数k的几何意义，阴影部分面积和为：3，
C．根据反比例函数系数k的几何意义，以及梯形面积求法可得出：阴影部分面积为：，D．根据M，N点的坐标以及三角形面积求法得出，阴影部分面积为：，
阴影部分面积最大的是4．
故选：C．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
11.如图，正方形ABCD中，连接BD.点E在边BC上，且CE=2BE.连接AE交BD于F；连接DE，取BD的中点
O ；取DE 的中点G ，连接OG.下列结论： ①BF=OF ；②OG
CD ；③AB=5OG ；④sin
AFD=
；⑤
．
其中正确结论的个数是（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2 【答案】B.
【解析】 ∵CE=2BE ，∴，∴
．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=DA ，AD ∥BC ，
∴△BFE ∽△DFA ，∴，∵O 是BD 的中点，G 是DE 的中点，∴OB=OD ，OG=
BE ，OG ∥BC ，
∴BF=OF ，①正确； OG ⊥CD ，②正确；
OG=BC=AB ，即AB=6OG ，③错误，
连接OA ，∴OA=OB=2OF ，OA ⊥BD ，∴由勾股定理得；AF=OF ，∴sin ∠AFD=
，④正
确， ∵OG=
BE ，∴
，设S △ODG =a ，则S △BED =4a ，∴S △BEF =a ，S △AFB =3a ，∴
，⑤正
确．
∴正确的共有4个．故选B ．
【考点】1．正方形的性质；2．垂线；3．相似三角形的判定与性质；4．锐角三角函数的定义．
12.如图，半圆D 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O 1与AB 切于点M ，设⊙O 1的半径为y ，AM=x ，则y 关于x 的函数关系式是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A.
【解析】 连接01M ，OO 1，可得到直角三角形OO 1M ，依题意可知⊙O 的半径为2，则OO 1=2﹣y ，OM=2﹣x ，O 1M=y ．在Rt △OO 1M 中，由勾股定理得
，解得
．
故选A ．
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．
二、填空题
1.已知圆锥的母线长为5，底面半径为3，则它的侧面积是__ __． 【答案】15π．
【解析】 圆锥的侧面积=2π×3×5÷2=15π．故答案为：15π． 【考点】圆锥的计算．
2.已知二次函数，当x ＞2时，y 的值随x 值的增大而增大，则实数m 的取值范围是_ __． 【答案】． 【解析】 抛物线的对称轴为直线
，∵当x ＞2时，y 的值随x 值的增大而增大，∴
，解得
．故答案为：． 【考点】二次函数的性质．
3.如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A=70o ，∠C=50o ，那么sin ∠AEB 的值为
__ __．
【答案】
．
【解析】 ∵∠C=50°，∴∠B=∠C=50°，∵∠A=70°，∴∠AEB=180°﹣∠B ﹣∠A=180°﹣70°﹣50°=60°．∴sin ∠AEB=sin60°=
．故答案为：
．
【考点】1．圆周角定理；2．特殊角的三角函数值． 4.直线（a ＞0）与双曲线
相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则
的值为 ．
【答案】6．
【解析】 将A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点分别代入
中，得：
，则
．故答案
为：6．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
5.如图，菱形ABCD 中，AB ＝2，∠C ＝60°，菱形ABCD 在直线上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作，菱形中心O 所经过的路径总长为（结果保留
π） ．
【答案】
．
【解析】 第一、二次旋转的弧长和=，
第三次旋转的弧长=
，∵36÷3=12，
故中心O 所经过的路径总长=
=
．
【考点】1．弧长的计算；2．菱形的性质．
6.如图所示，点A 1，A 2，A 3在x 轴上，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3，分别过点A 1，A 2，A 3作y 轴的平行线，与反比例函数
（x ＞0）的图象分别交于点B 1，B 2，B 3，分别过点B 1，B 2，B 3作x 轴的平行线，分别于y 轴交于点C 1，
C 2，C 3，连接OB 1，OB 2，OB 3，那么图中阴影部分的面积之和为 ．
【答案】
．
【解析】 根据题意可知
=，∵OA 1=A 1A 2=A 2A 3，A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3∥y 轴，设图中阴影部分的面积从左向右依次为，则
，∵OA 1=A 1A 2=A 2A 3，
∴
，
，∴图中阴影部分的面积分别是
，
，
，
∴图中阴影部分的面积之和=
．故答案为：
．
【考点】1．反比例函数综合题；2．反比例函数系数k 的几何意义；3．规律型．
三、计算题
1.（1）计算：
． （2）已知：tan60°·sinα＝，求锐角α.
【答案】（1）
；（2）30°．
【解析】（1）cos30°=
，tan45°=1，sin60°=
，代入运算即可；
（2）计算出sinα的值，然后即可得出α的度数． 试题解析：（1）原式=；
（2）由题意得，sinα=
，又∵α为锐角，∴α=30°．
【考点】特殊角的三角函数值．
2.如图D ，E 分别是△ABC 的AB ，AC 边上的点，且DE ∥BC ，AD ∶AB=1∶4，
（1）证明：△ADE ∽△ABC ； （2）当DE=2，求BC 的长.
【答案】（1）证明见试题解析；（2）8．
【解析】（1）根据DE ∥BC ，可得∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，∠A=∠A ，即可证明； （2）根据相似三角形对应边成比例即可求解；
试题解析：（1）∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，∠A=∠A ，∴△ADE ∽△ABC ； （2）∵△ADE ∽△ABC ，∴
，AD ：AB=1：4，DE=2，∴
．
【考点】相似三角形的判定与性质．
四、解答题
1.如图，路灯（P 点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O 点 ）20米的A 点，沿OA 所在的直线行走14米到B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
【答案】变短3.5米．
【解析】如图，由于AC ∥BD ∥OP ，故有△MAC ∽△MOP ，△NBD ∽△NOP 即可由相似三角形的性质求解． 试题解析：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP ，∴△MAC ∽△MOP ．∴，即，解得，MA=5米；同理，由△NBD ∽△NOP ，可求得NB=1.5米，∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5
米．
【考点】相似三角形的应用．
2.一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“鄞”、“州”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“鄞”的概率为多少？
（2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图的方法，求出甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“鄞州”的概率P 1；
（3）乙从中任取一球，记下汉字后再放回袋中，然后再从中任取一球，记乙取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“鄞州”的概率为P 2，指出P 1，P 2的大小关系（请直接写出结论，不必证明）．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）由有汉字“美”、“丽”、“鄞”、“州”的四个小球，任取一球，共有4种不同结果，利用概率公式直接求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“鄞州”的情况，再利用概率公式即可求得答案；注意是不放回实验；
（3）首先根据题意画出树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“鄞州”的情况，再利用概率公式即可求得答案；注意是放回实验．
试题解析：（1）∵有汉字“美丽”或“鄞州”的四个小球，任取一球，共有4种不同结果，
∴球上汉字刚好是“鄞”的概率 P=；
（2）画树状图得：
∵共有12种不同取法，能满足要求的有4种，∴；
（3）画树状图得：
∵共有16种不同取法，能满足要求的有4种，∴；∴．
【考点】1．列表法与树状图法；2．概率公式．
3.如图，AB 是⊙O 直径，D 为⊙O 上一点，AT 平分∠BAD 交⊙O 于点T ，过T 作AD 的垂线交AD 的延长线于
点C ．
（1）求证：CT 为⊙O 的切线；
（2）若⊙O 半径为2，CT=，求AD 的长．
【答案】（1）证明见试题解析；（2）2．
【解析】（1）连接OT ，根据角平分线的性质，以及直角三角形的两个锐角互余，证得CT ⊥OT ，CT 为⊙O 的切线；
（2）证明四边形OTCE 为矩形，求得OE 的长，在直角△OAE 中，利用勾股定理即可求解．
试题解析：（1）连接OT ，∵OA=OT ，∴∠OAT=∠OTA ，又∵AT 平分∠BAD ，∴∠DAT=∠OAT ，
∴∠DAT=∠OTA ，∴OT ∥AC ，又∵CT ⊥AC ，∴CT ⊥OT ，∴CT 为⊙O 的切线；
（2）解：过O 作OE ⊥AD 于E ，则E 为AD 中点，又∵CT ⊥AC ，∴OE ∥CT ，∴四边形OTCE 为矩形，∵CT=
，∴OE=，又∵OA=2，∴在Rt △OAE 中，，
∴AD=2AE=2．
【考点】1．切线的判定与性质；2．勾股定理；3．圆周角定理．
4.某学校的校门是伸缩门（如图1），伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°（如图2）；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°（如图3）．问：校门打开了多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，
cos10°≈0.9848）．
【答案】5．
【解析】先求出校门关闭时，20个菱形的宽即大门的宽；再求出校门打开时，20个菱形的宽即伸缩门的宽；然后将它们相减即可．
试题解析：如图，校门关闭时，取其中一个菱形ABCD ．根据题意，得∠BAD=60°，AB=0.3米．∵在菱形ABCD 中，AB=AD ，∴△BAD 是等边三角形，∴BD=AB=0.3米，∴大门的宽是：0.3×20≈6（米）；校门打开时，取其中一个菱形A 1B 1C 1D 1．根据题意，得∠B 1A 1D 1=10°，A 1B 1=0.3米．∵在菱形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∠B 1A 1O 1=5°，∴在Rt △A 1B 1O 1中，B 1O 1=sin ∠B 1A 1O 1A 1B 1=sin5°×0.3=0.02616（米），∴B 1D 1=2B 1O 1=0.05232米，∴伸缩门的宽是：0.05232×20=1.0464米；∴校门打开的宽度为：6﹣1.0464=4.9536≈5（米）．故校门打开了5米．
【考点】1．解直角三角形的应用；2．菱形的性质．
5.鄞州区有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入
冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费
用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160天，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．（1）设天后每千克该野生菌的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式；
（2）若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为元，试写出与x之间的函数关系式；
（3）李经理将这批野生菌存放多少天后出售可获得最大利润元？
（利润＝销售总额－收购成本－各种费用）
【答案】（1）（，且x整数）；（2）；（3）100，30000．
【解析】（1）依题意可求出y与x之间的函数关系式；
（2）存放x天，每天损坏3千克，则剩下1000﹣3x，P与x之间的函数关系式为；
（3）依题意化简得出w与x之间的函数关系式，求得x=100时w最大．
试题解析：（1）由题意得y与x之间的函数关系式：（，且x整数）；
（2）由题意得P与x之间的函数关系式：；
（3）由题意得：=，∴当x=100时，w
最大
=30000，∵100天＜160天，∴存放100天后出售这批野生菌可获得最大利润30000元．
【考点】二次函数的应用．
6.如图，抛物线与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，
1）．
（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；
（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长；（结果保留根号）
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角
形与△CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），B（﹣1，0）；（2）；（3）存在，P（，）．
【解析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，点B坐标可由对称性质得到，或令y=0，由解析式得到；（2）关键是求出点D的坐标，然后利用勾股定理分别求出四边形ABCD四个边的长度；
（3）本问为存在型问题．可以先假设存在，然后按照题意条件求点P的坐标，如果能求出则点P存在，否则不存在．注意三角形相似有两种情形，需要分类讨论．
试题解析：（1）∵点A（1，0）和点C（0，1）在抛物线上，∴，解得：a=﹣1，b=1，∴
抛物线的解析式为：，抛物线的对称轴为y轴，则点B与点A（1，0）关于y轴对称，∴B（﹣1，0）；
（2）设过点A（1，0），C（0，1）的直线解析式为，可得：，解得k=﹣1，b=1，∴．∵BD∥CA，∴可设直线BD的解析式为，∵点B（﹣1，0）在直线BD上，∴，得，∴直线BD的解析式为：．将代入抛物线的解析式，得：，解
得：x
1=2，x
2
=﹣1，∵B点横坐标为﹣1，则D点横坐标为2，D点纵坐标为y=﹣2﹣1=﹣3，∴D点坐标为（2，
﹣3）．如答图①所示，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3，AN=1，BN=3，在Rt△BDN中，BN=DN=3，由勾股定理得：BD=；在Rt△ADN中，DN=3，AN=1，由勾股定理得：AD=；又OA=OB=OC=1，
OC⊥AB，由勾股定理得：AC=BC=；∴四边形ABCD的周长为：AC+BC+BD+AD=
．
（3）假设存在这样的点P，则△BPE与△CBD相似有两种情形：（I）若△BPE∽△BDC，如答图②所示，
则有，即，∴PE=3BE．设OE=m（m＞0），则E（﹣m，0），BE=1﹣m，PE=3BE=3﹣
3m，∴点P的坐标为（﹣m，3﹣3m），∵点P在抛物线上，∴，解得m=1或m=2，当m=1时，点E与点B重合，故舍去；当m=2时，点E在OB左侧，点P在x轴下方，不符合题意，故
舍去．因此，此种情况不存在；
（II）若△EBP∽△BDC，如答图③所示，则有，即，∴BE=3PE．设OE=m（m＞0），则E（m，0），BE=1+m，PE=BE=，∴点P的坐标为（，）．∵点P在抛物线上，∴，解得或m=，∵m＞0，故舍去，∴m=，点P的纵坐标为：，∴点P的坐标为（，）．
综上所述，存在点P，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似，点P的坐标为（，
）．
【考点】二次函数综合题．。