人教版高中数学选修2-21.1.3导数的几何意义微型试卷(B)

2015.10
导数的几何意义微型试卷（B ）
1．设P 为曲线C ：y ＝f (x )＝x 2＋2x ＋3上一点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角θ
的取值范围为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 B.[]－1，0 C.[]0，1 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1
2．已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))
处的切线方程是( )
A ．y ＝2x －1
B ．y ＝x
C ．y ＝3x －2
D ．y ＝－2x ＋3
3．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋2上一点P (1,2)，求点P 处切线的倾斜角和切线方程．
4．直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切，求a 的值及切点坐标．
参考答案
1、解析：选A.设点P (x 0，y 0)，则
f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
＝[(x 0＋Δx )2＋2(x 0＋Δx )＋3]－(x 20＋2x 0＋3)Δx
＝2x 0Δx ＋(Δx )2＋2Δx Δx
＝(2x 0＋2＋Δx )＝2x 0＋2.
结合导数的几何意义可知0≤2x 0＋2≤1，
解得－1≤x 0≤－12
，故选A. 2、解析：选A.由f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，
得f (2－x )＝2f (x )－(2－x )2＋8(2－x )－8，
即2f (x )－f (2－x )＝x 2
＋4x －4，
∴f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，
∴切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，故选A. 3、解：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)
＝2(1＋Δx )2＋2－2，
∴Δy Δx ＝2(1＋Δx )2＋2－2Δx
＝4Δx ＋2(Δx )2Δx [2(1＋Δx )2＋2＋2]
＝4＋2Δx 2(1＋Δx )2＋2＋2
， ∴过点P 的切线的斜率
k ＝Δy Δx ＝4＋2Δx 2(1＋Δx )2＋2＋2
＝42＋2＋2
＝1， ∴过点P 的切线的倾斜角等于45°. 由点斜式求得过点P 的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.
4、解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)，则y ＝x 3－x 2＋1的导数
y ′＝(x ＋Δx )3－(x ＋Δx )2＋1－(x 3－x 2＋1)Δx
＝3x 2－2x .
由题意知直线l 的斜率k ＝1，即3x 20－2x 0＝1，
解得x 0＝－13
或x 0＝1. 因此切点的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，2327或(1,1)． 当切点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，2327时， 2327＝－13＋a ，a ＝3227
； 当切点为(1,1)时，1＝1＋a ，a ＝0(舍去)．
所以a 的值为3227，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2327.。