2018_2019学年九年级数学下册小专题(五)与圆的基本性质有关的计算与证明作业课件(新版)湘教版
九年级下册数学知识点归纳关于圆
九年级下册数学知识点归纳关于圆在九年级下册数学教材中，圆是一个重要的概念。
本文将对九年级下册数学中关于圆的知识点进行归纳总结。
1. 圆的定义圆是由平面内到一个确定点的距离恒等于一个常数的所有点组成的集合。
其中，距离常数称为圆的半径。
2. 相关概念- 圆心：圆心是圆上所有点到圆周上所有点的连线的中点。
- 圆心角：圆心角是由圆心所张的弧所对应的角度。
圆心角的度数等于所对应的弧所对应的角度。
- 弧长：弧长是弧上的一部分，它是由圆心角所线的弧所相应的圆周的长度。
- 弧度：弧度是用来表示所对应的圆心角的度量单位，它的定义是沿着圆周的一条弧所对应的圆心角的大小等于弧长与半径的比值。
- 弦：弦是圆上的两个点所确定的线段。
3. 圆的性质- 圆的半径相等：圆上任意两点到圆心的距离相等，即圆的半径相等。
- 弦的性质：等弧长的弦与半径所夹的圆心角相等；等圆心角的弦所夹的弧长相等。
- 弦长公式：已知圆的半径和所对应的圆心角的度数，可以用弧度制表示为l = rθ。
- 同弧度的弧长：在同一个圆中，如果两条弧所对应的圆心角相等，则它们所对应的弧长也相等。
- 圆的内角与弧度的关系：一个内角所对应的弧度等于一个外角所对应的弧度的补角。
- 圆的内接四边形：内接四边形的两个对角线相等。
- 正多边形的内角和：一个正n边形的内角和等于(n-2)×180°。
4. 圆与三角形的关系- 角平分线定理：圆上的角平分线上的点到圆心的距离等于圆上与该角相对的弧所对应的角度的一半。
- 弦切角定理：一个切线和被它所划分的弦与圆心的连线所夹的角相等。
- 直角三角形中圆的性质：在一个直角三角形中，三角形的斜边恰好是以三角形其他两边中点为圆心、斜边中点到圆心的距离为半径所描述的一个圆的圆周。
总结：通过九年级下册数学知识点的归纳，我们对于圆的相关概念、性质及其与三角形的关系有了更深入的了解。
这些知识点不仅在数学学科中有重要应用，还在日常生活中有很多实际应用，如建筑设计、测量等。
数学九年级下册圆知识点
数学九年级下册圆知识点一、圆的定义和性质圆是平面上一个确定的点到另一个确定的点的距离相等的所有点的集合。
圆由圆心和半径决定，圆心是所有点到圆上任意一点的距离相等的点，半径是圆心到圆上任意一点的距离。
圆的性质有以下几点：1. 圆上任意两点之间的距离等于半径的长度。
2. 圆的直径是圆上任意两点的直线段，直径是半径的2倍。
3. 圆的直径和半径都是圆心到圆上任意一点的距离。
4. 圆上任意一点到圆心的距离等于圆的半径长度。
二、圆心角和弧长在圆上，以圆心为顶点的角称为圆心角。
圆心角的度数等于其所对应的弧的弧度数。
圆心角的性质有以下几点：1. 圆心角所对应的弧与圆心角的度数相等。
2. 具有相等弧的圆心角相等。
3. 平行于圆弧的弦所对应的圆心角相等。
4. 圆心角的度数和所对应的弦的长度成正比。
弧长是圆上任意两点之间的弧长，弧长的度数等于所对应的圆心角的度数。
三、切线和切点在圆上，连接圆上一点和圆心的直线叫做切线。
切线与半径所在的直线垂直。
切线的性质有以下几点：1. 切线与与圆的切点之间的距离等于半径的长度。
2. 切线与圆弧的交点称为切点。
3. 切线与圆的切点处的切线垂直于半径。
切线和切点在实际应用中有很多重要的作用，比如在工程中切线可以用来获得圆柱的最大面积或最小体积。
四、相交弦和相交角在圆上，连接圆上两点的线段称为弦。
如果两条弦在圆内或圆上相交，那么它们的交点就叫做相交点。
相交弦的性质有以下几点：1. 圆内相交弦的中点连线过圆心。
2. 圆上相交弦的弦长乘积等于切线段的弦长乘积。
相交角的性质有以下几点：1. 圆内相交弦所对应的圆心角的和等于180度。
2. 相等弧所对应的圆心角相等。
3. 相等圆心角所对应的弧相等。
五、圆的应用1. 圆的周长和面积的计算公式：圆的周长等于弧长，公式为C = 2πr。
圆的面积公式为A = πr²。
2. 利用圆的性质可以解决很多实际问题，比如求解物体运动的轨迹、计算圆形花坛的面积等等。
九下数学(北师版)课件-与圆有关的计算和证明
二、直线和圆的位置关系 4．如图，AB 是⊙O 的弦，点 C 为半径 OA 上的一点，过点 C 作 CD⊥OA 交弦 AB 于点 E，连接 BD，且 DE＝DB. (1)判断 BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若 CD＝15，BE＝10，tanA＝152，求⊙O 的直径．
解：(1)BD 与⊙O 相切．证明如下：连接 OB，∵OA＝OB，∴∠1＝∠A， 又∵DE＝DB，∴∠2＝∠3，∴∠1＋∠2＝∠A＋∠3＝∠A＋∠4＝90°，又 OB 为半径，∴BD 与⊙O 相切； (2)作 DH⊥AB 于点 H，延长 AO 交⊙O 于点 F，连接 BF，则 BH＝EH＝5， ∵∠3＋∠5＝90°，∠4＋∠A＝90°，∠3＝∠4，∴∠5＝∠A，∵tanA＝152， ∴tan∠5＝152，即D5H＝152，∴DH＝12，∴DE＝13，∴CE＝15－13＝2， 又 tanA＝A2C＝152，∴AC＝254，AE＝256，设⊙O 的直径为 x，证△ACE∽ △ABF 可得 AC·AF＝AE·AB，即254·x＝256(10＋256)，∴x＝21457，即⊙O 的直 径为21457.
(2)∵AC＝3，AD＝3－2＝1，BC＝6，∴S 阴＝S△ABC－S△ADB－(S 正方形 CDOE－S 扇形 ODE)＝12×3×6－12×1×6－(2×2－903π6×0 22)＝2＋π≈5.14.
四、综合与创新 9．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以 CB 为 半径作⊙C，交 AC 于点 D，交 AC 的延长线于点 E， 连接 BD、BE. (1)求证：△ABD∽△AEB； (2)当ABBC＝34时，求 tanE.
2．已知：如图，BC 为半圆 O 的直径，
，
AC 与 BF 交于点 M.
(1)若∠FBC＝α，求∠ACB(用 α 表示)；
九年级数学下册圆的知识点整理
九年级数学下册圆的知识点整理圆的应用在数学领域中非常的广泛且常见，下面是小编给大家带来的九年级数学下册《圆》知识点整理，希望能够帮助到大家!九年级数学下册《圆》知识点整理第十章圆重点①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。
☆ 内容提要☆一、圆的基本性质1.圆的定义(两种)2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
3.“三点定圆”定理4.垂径定理及其推论5.“等对等”定理及其推论5. 与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理)⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系)⑶弦切角定义(弦切角定理)二、直线和圆的位置关系1.三种位置及判定与性质：初中数学复习提纲2.切线的性质(重点)3.切线的判定定理(重点)。
圆的切线的判定有⑴…⑵…4.切线长定理三、圆换圆的位置关系初中数学复习提纲1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)2.相切(交)两圆连心线的性质定理3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质四、与圆有关的比例线段初中数学复习提纲1.相交弦定理2.切割线定理五、与和正多边形1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形)2.三角形的外接圆、内切圆及性质3.圆的外切四边形、内接四边形的性质4.正多边形及计算中心角：初中数学复习提纲内角的一半：初中数学复习提纲 (右图)(解Rt△OAM可求出相关元素, 初中数学复习提纲、初中数学复习提纲等)六、一组计算公式1.圆周长公式2.圆面积公式3.扇形面积公式初中数学复习提纲4.弧长公式5.弓形面积的计算方法6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算七、点的轨迹六条基本轨迹八、有关作图1.作三角形的外接圆、内切圆2.平分已知弧3.作已知两线段的比例中项4.等分圆周：4、8;6、3等分九、基本图形十、重要辅助线1.作半径2.见弦往往作弦心距3.见直径往往作直径上的圆周角4.切点圆心莫忘连5.两圆相切公切线(连心线)6.两圆相交公共弦。
北师大版九年级下册圆的知识点
北师大版九年级下册圆的知识点圆是几何学中的一个基本概念，也是数学中非常重要的一个知识点。
在北师大版九年级下册数学教材中，关于圆的知识点涉及到圆的定义、性质、面积和周长的计算等方面。
下面我们就来一起探索一下这些知识点。
首先，我们来看一下圆的定义。
圆是平面上一组离一个定点距离相等的点构成的集合。
这个定点称为圆心，记作O；到圆心距离相等的点称为圆上的点，它们组成了圆。
圆的性质是我们学习圆的关键。
首先，圆的半径是由圆心到圆上任意一点的距离，我们用字母r表示。
半径相等的两个圆互为同心圆。
圆上任意两点与圆心连线的长度相等，这个长度称为弦。
弦通过圆心时，称为直径，直径的长度是半径的两倍，记作d=2r。
圆的面积是我们计算圆的重要指标之一。
圆的面积公式为S=πr²，其中π≈3.14是一个固定的近似值。
在计算圆的面积时，我们需要将半径的平方与π相乘，就可以得到圆的面积。
而圆的周长则是另一个重要的指标。
圆的周长公式为C=2πr，即圆的周长等于半径的二倍乘以π。
对于给定的圆，只要知道了半径，就可以根据公式计算出圆的周长。
正如我们在初中学习的内容一样，圆的知识点离不开实际生活中的应用。
例如，我们常常看到的钟表就是以圆形为基础的，它的指针不断地绕圆形表盘运动。
又如，在木匠工作中，我们需要制作木桶、木头盆等物品时，往往会采用圆的造型。
圆的知识点也有助于我们更好地理解其他几何图形，例如圆柱体、圆锥等等。
最后，我们还可以通过算术方式来深入理解圆的知识点。
例如，可以通过设定一个半径，计算圆的面积和周长，并与其他图形进行对比，从而更好地理解圆形的特点。
此外，还可以通过解决实际问题来应用圆的知识点，例如计算一个花坛的周长或面积，或者计算一个游泳池的圆周长度等等。
在北师大版九年级下册数学教材中，关于圆的知识点仅限于上述内容。
通过学习这些内容，我们可以对圆有一个全面而深入的认识，并能够应用这些知识点进行问题的求解。
总的来说，圆是几何学中非常重要的一个概念，也是数学中基础而重要的知识点。
九年级下圆章节知识点
九年级下圆章节知识点圆是我们初中数学中最重要的几何图形之一，它的相关知识点在九年级下册中被广泛讲解和应用。
本篇文章将对圆的知识点进行深入分析和讨论，从基本概念到圆的性质和应用，帮助学生更好地理解和掌握这一内容。
一、基本概念圆是一个闭合的曲线，由与位于同一平面的一点到另一固定点的距离相等的所有点组成。
圆由圆心和半径组成。
圆心是圆的中心点，通常用字母O来表示；半径是圆心到圆上任意一点的距离。
根据圆的直径的不同，可以分为大圆和小圆，直径是圆的两个任意点之间的最长线段。
二、圆的性质1. 弧度与圆周角圆的周长被称为圆周长，用字母C表示。
对于同一个圆，它的圆周长与直径之间有一个特殊的关系：C = πd，其中π是一个数学常数，约等于3.14159，d是圆的直径。
与圆有密切关系的一个概念是圆心角。
圆心角是以圆心为顶点的角，其两条边分别由圆上的两个点确定。
圆心角所对的弧被称为圆心角所对弧。
圆心角的度数等于其所对弧的弧度数。
2. 弧长与扇形面积弧长是圆的一部分的长度，它是圆周长的一部分。
弧长与圆心角有一个简单的关系：弧长 = 弧度 ×半径。
当弧度为1时，弧长等于半径，也就是弧长等于圆的半径时，所对圆心角的度数为180度。
扇形是由一条弧和与圆心连线所围成的部分，扇形面积可以通过扇形的弧长和半径计算得出：扇形面积 = 弧长 ×半径 / 2。
三、圆的应用圆的应用非常广泛，涉及到物理、建筑、机械以及日常生活中的各个方面。
1. 物理学中的圆在物理学中，圆被广泛应用于描述天体运动的轨道，如行星绕太阳的运动轨道。
行星绕太阳移动总是在几乎完全圆形的椭圆轨道上。
2. 圆在建筑中的运用圆形的建筑物在建筑设计中经常用来表达某种意境或象征含义。
例如，圆形的穹顶被广泛运用于教堂和礼堂，它代表着一种庄严和安定的感觉，同时也能够提供优秀的声学效果。
3. 机械领域中的圆机械领域中，轮胎被设计成圆形，这是因为圆形的轮胎可以更好地承受来自各个方向的压力。
九年级下册圆知识点总结
九年级下册圆知识点总结九年级下册数学课程中，学生们学习了关于圆的各种知识和概念。
下面是对这些知识点的总结：一、圆的基本概念1. 圆的定义：圆是由平面内与一个定点的距离相等于常数的点的集合组成。
2. 圆的元素：圆心、半径、直径、弦、弧等。
二、圆的元素间的关系1. 半径和直径的关系：直径是半径的两倍。
2. 弦的特点：弦是圆上两点之间的线段，它的长度小于或等于圆的直径。
3. 弧的特点：弧是圆上两点之间的部分，也可以看作是弦所对应的圆周的一部分。
三、圆的性质1. 圆心角性质：圆心角的度数等于所对弧的度数。
2. 弦心角性质：当弦AB等于弦CD时，弦AB所对的圆心角大于弦CD所对的圆心角。
3. 弧长与圆心角的关系：当圆心角相等时，弧长也相等。
4. 弧度制：弧度制是一种用弧长除以半径的值来表示角度的方法。
5. 相交弦定理：当两条弦相交时，弦上的两个小弧的乘积等于另外两个小弧的乘积。
6. 切线性质：切线与半径的夹角为90度。
7. 切点定理：一条直线与圆相切，则切点与圆心连线垂直。
四、圆的相关计算1. 圆的周长：圆的周长等于圆周上一圈的长度，可以用公式C = 2πr来计算。
2. 圆的面积：圆的面积等于圆内部区域的大小，可以用公式A = πr²来计算。
五、圆的应用1. 圆与角的应用：如计算圆心角、弦心角等。
2. 圆与图形的应用：如计算圆与矩形、正方形等图形的关系。
3. 圆的环与球的应用：如计算圆环的面积和体积。
总结：通过九年级下册的学习，我们对圆的基本概念、元素间的关系、性质以及相关计算有了更深入的理解。
掌握了这些知识点，我们可以在实际生活和数学问题中灵活运用圆的相关概念和计算方法。
2019届九年级数学下册华东师大版习题课件：微专题5 与圆有关的证明和计算(共28张PPT)
6. (2018·常德)如图，已知⊙O 是等边三角形 ABC 的 外接圆，点 D 在圆上，在 CD 的延长线上有一点 F，使 DF＝DA，AE∥BC 交 CF 于点 E.
求证：(1)EA 是⊙O 的切线； (2)BD＝CF.
证明：(1)连结 OA， ∵⊙O 是等边三角形 ABC 的外接圆， ∴∠OAC＝30°，∠BCA＝60°， ∵AE∥BC， ∴∠EAC＝∠BCA＝60°， ∴∠OAE＝∠OAC＋∠EAC＝30°＋60°＝90°， ∴AE 是⊙O 的切线；
(3)相似三角形，适用于三角形边与圆切线及割线有 关的情况，列出比例式来求线段长；
(4)面积法，适用于已知三角形的底边及其高线求另 一边长的情况，此种方法多适用于点到相关线段距离的 计算．
2．证明圆的切线时，可以分以下情况证明： (1)若已知直线与圆的公共点，则采用判定定理法， 其基本思路是：当已知点在圆上时，连结过这点的半径， 证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：有切点，连 半径，证垂直； (2)若未知直线与圆的交点，则采用数量关系法，其 基本思路是：过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长 等于圆的半径，可简述为：无切点，作垂线，证相等．
径，且∠BAE＝∠C．
(1)求证：AE 与⊙O 相切于点 A； (2)若 AE∥BC，BC＝2 7，AC＝2 2，求 AD 的长．
证明：(1)连结 OA，交 BC 于点 F， 则 OA＝OB，∴∠D＝∠DAO. ∵∠D＝∠C，∴∠C＝∠DAO. ∵∠BAE＝∠C，∴∠BAE＝∠DAO.∵BD 是⊙O 的 直径，∴∠BAD＝90°.即∠DAO＋BAO＝90°. ∴∠BAE＋∠BAO＝90°，即∠OAE＝90°.
(2)∵△ABC 是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°， ∵A、B、C、D 四点共圆，∴∠ADF＝∠ABC＝ 60°， ∵AD＝DF，∴△ADF 是等边三角形， ∴AD＝AF，∠DAF＝60°， ∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAF＋∠CAD， 即∠BAD＝∠CAF，
九年级下数学圆的知识点
九年级下数学圆的知识点在九年级下学期的数学课程中，圆是一个重要的几何概念。
学生们需要了解圆的相关概念、性质及其应用。
本文将介绍九年级下数学课程中关于圆的知识点。
一、圆的定义及相关概念在几何学中，圆是由平面上距离一个固定点（圆心）相等的所有点组成的图形。
圆通常用字母“O”表示圆心，用字母“r”表示半径，半径是连接圆心和圆上任意一点的线段长度。
而直径是通过圆心的两个连续点所确定的线段长度，直径的长度是半径长度的两倍。
二、圆的性质1. 圆上任意两点之间的线段是相等的，这是圆的定义所决定的。
2. 圆的半径相等，即所有半径长度都相等。
3. 圆的直径是半径长度的两倍。
4. 圆的周长是所有点到圆心的距离之和，用公式C = 2πr表示，其中C表示圆的周长，r表示半径，π是一个常数，约等于3.14159。
5. 圆的面积用公式A = πr²表示，其中A表示圆的面积。
三、圆的应用1. 在解决实际问题中，圆的应用非常广泛。
例如，在建筑工程中，圆的形状可以用来设计圆形庭院或圆形地板图案。
2. 圆的性质也可以应用于解决几何问题。
例如，利用圆的性质可以求解两个切线的夹角或求解切线和半径的夹角。
3. 在日常生活中，圆的应用也十分普遍，例如我们常见的轮胎、水波纹等形状都是圆的。
四、圆的相关定理1. 弧度制度：圆的长度等于半径R所对应的圆心角的弧长l，其中l = Rθ，此处θ是用弧度来度量的圆心角。
圆的一整个周长为2πR，在弧度制度下，一周的弧度数为2π。
2. 切线定理：一个点到圆的切点与该点所画切线的切线长度相等。
3. 切线和半径的关系：切线与半径的夹角为直角。
4. 弦心定理：圆上的两条弦相交于圆心的充要条件是它们的弦心角相等。
5. 弧长定理：同样的圆心角所对应的弧长之比等于对应的弦长之比。
综上所述，九年级下学期的数学课程中，圆是一个重要的几何概念。
通过学习圆的定义、性质、应用以及相关定理，学生们可以更好地理解圆的特点，并能在解决实际问题中应用圆的性质。
九年级下册北师大数学圆的知识点
九年级下册北师大数学圆的知识点北师大数学圆的知识点圆是数学中一种特殊的几何形状，它在我们的日常生活中无处不在。
在九年级下册的北师大数学课程中，我们将学习关于圆的一系列知识点，包括圆的定义、性质以及相关的定理。
本文将对这些知识点进行介绍，帮助同学们更好地理解和应用圆的概念。
一、圆的定义和性质1. 定义：圆是平面上与给定点距离相等的所有点的集合。
这个给定点称为圆心，距离称为半径。
2. 性质一：圆的半径相等的两条弦相等。
也就是说，在一个圆上，若两条弦的两端点都在圆上，且弦的长度相等，那么这两条弦的中点肯定也在圆上。
3. 性质二：圆的半径垂直于弦。
对于一个圆，若弦的两端点在圆上，那么弦的中点和圆心连线一定垂直于弦。
二、圆的相关定理1. 切线定理：如果一条直线与圆相切，那么它与半径的连线垂直。
2. 切圆定理：如果一条直线与圆只有一个公共点，那么它与圆的切点和圆心连线垂直。
3. 正切定理：如果一条直线能同时切两个圆，并且两个切点分别位于两个圆心对连线的两侧，那么这条直线的两个切点和两个圆心连线的两个交点共圆。
三、圆的计算1. 弧长和扇形面积的计算：对于一个圆，我们可以通过已知半径和角度来计算弧长和扇形面积。
弧长的计算公式为l = rθ，其中l 代表弧长，r 代表半径，θ 代表圆心角的弧度。
扇形面积的计算公式为S = 1/2r²θ，其中 S 代表扇形面积。
2. 弧度和角度的转换：圆心角的弧度和角度之间存在一个转换关系，即角度 = 弧度× 180°/π，其中π 是一个无限不循环小数，它的近似值约为3.14。
四、应用实例1. 圆的应用：圆的应用非常广泛，它在建筑、艺术、科学等领域中都有重要的应用。
比如，我们常见的圆柱体、圆锥体和球体都是基于圆的形状构建的。
2. 弧长和扇形面积的实际问题：弧长和扇形面积的计算在实际生活中也有很多应用。
比如，在设计汽车驶过弯道的路径时，我们需要计算弧长和扇形面积来提供行驶的参考。
九年级数学下册圆的知识点整理
九年级数学下册圆的知识点整理圆的应用在数学领域中非常的广泛且常见，下面是小编给大家带来的九年级数学下册《圆》知识点整理，希望能够帮助到大家!九年级数学下册《圆》知识点整理第十章圆重点①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。
☆ 内容提要☆一、圆的基本性质1.圆的定义(两种)2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
3.“三点定圆”定理4.垂径定理及其推论5.“等对等”定理及其推论5. 与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理)⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系)⑶弦切角定义(弦切角定理)二、直线和圆的位置关系1.三种位置及判定与性质：初中数学复习提纲2.切线的性质(重点)3.切线的判定定理(重点)。
圆的切线的判定有⑴…⑵…4.切线长定理三、圆换圆的位置关系初中数学复习提纲1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)2.相切(交)两圆连心线的性质定理3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质四、与圆有关的比例线段初中数学复习提纲1.相交弦定理2.切割线定理五、与和正多边形1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形)2.三角形的外接圆、内切圆及性质3.圆的外切四边形、内接四边形的性质4.正多边形及计算中心角：初中数学复习提纲内角的一半：初中数学复习提纲 (右图)(解Rt△OAM可求出相关元素, 初中数学复习提纲、初中数学复习提纲等)六、一组计算公式1.圆周长公式2.圆面积公式3.扇形面积公式初中数学复习提纲4.弧长公式5.弓形面积的计算方法6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算七、点的轨迹六条基本轨迹八、有关作图1.作三角形的外接圆、内切圆2.平分已知弧3.作已知两线段的比例中项4.等分圆周：4、8;6、3等分九、基本图形十、重要辅助线1.作半径2.见弦往往作弦心距3.见直径往往作直径上的圆周角4.切点圆心莫忘连5.两圆相切公切线(连心线)6.两圆相交公共弦。
九下数学(沪科版)课件- 基础专题 与圆的基本性质有关的计算与证明
圆心角、弧、弦的关系 1．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C、D 是⊙O 上两点，且 AC＝CD.求证： OC∥BD.
(1)证明：∵∠C＋∠B＝90°，∠C＋∠CNM＝90°，∴∠CNM＝∠B，∵∠CNM ＝∠AND，∴∠AND＝∠B，∵∠D＝∠B，∴∠AND＝∠D，∴AN＝AD；
(2)解：设 OE 的长为 x，连接 OA.∵AN＝AD，CD⊥AB，∴DE＝NE＝x＋1，
∴OD＝OE＋ED＝2x＋1，∴OA＝OD＝2x＋1，∴在 Rt△OAE 中，OE2＋ AE2＝OA2，∴x2＋42＝(2x＋1)2.解得 x＝53或 x＝－3(舍去)，∴OA＝2x＋1＝ 133，即⊙O 的半径为133.
＝BD，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C；
(2)解：连接 OE，过点 A 作 AG⊥DE 于点 G.∵∠CFD＝∠E＝∠C，∴FD
＝CD＝BD＝6.∵cosB＝35，∴AB＝10.∵E
︵
是AB的中点，∴∠AOE＝90°，
∴AE＝5 2.∵∠ADE＝∠BDE＝12∠AOE＝45°，∴DG＝AG＝AD·sin45°＝
(1)如图①，当 PD∥AB 时，求 PD 的长； (2)如图②，当 BP 平分∠OPD 时，求 PC 的长．
解：(1)连接 OD.∵直径 AB＝12，∴OB＝OD＝6，∵PD⊥OP，∴∠DPO＝
90° ，∵PD∥AB，∴∠DPO＋∠POB＝180° ，∴∠POB＝90° ，又∵∠ABC ＝30°，OB＝6，∴OP＝OB·tan30°＝2 3，∵在 Rt△POD 中，PO2＋PD2＝ OD2 ，∴(2 3)2＋PD2＝62，∴PD＝2 6；
九年级下册圆的知识点梳理
九年级下册圆的知识点梳理圆是几何学中的基本图形之一，它具有独特的性质和特点。
下面将对九年级下册圆的知识点进行梳理，以帮助同学们更好地理解和掌握相关概念。
一、圆的定义圆是平面上所有与给定点距离相等的点的集合。
其中，给定点称为圆心，距离称为半径，两倍半径的长度称为直径。
二、圆的性质1. 圆上的任意两点与圆心的距离相等。
2. 圆心到圆上任意一点的距离等于半径的长度。
3. 圆的直径是圆内任意两点之间的最长线段，其长度等于半径的两倍。
4. 圆的直径将圆分成两个半圆，半径是半圆的边界。
5. 圆的周长等于圆周上一个完整的周长，其计算公式为：C = 2πr，其中C为周长，r为半径，π约等于3.14。
6. 圆的面积是圆周内部的所有点的集合，其计算公式为：A = πr^2，其中A为面积，r为半径，π约等于3.14。
三、圆的相关判定和性质1. 判定两个圆相交的条件：两圆的半径之和大于两圆心之间的距离，并且两圆心之间的距离小于两个半径之差。
2. 判定两个圆相切的条件：两圆的半径之和等于两圆心之间的距离。
3. 过圆外一点可以作唯一一条与圆相切的直线，且该直线与半径所在直线垂直。
4. 正切线的长度等于该点到圆心的距离。
5. 弦是圆内连接两点的线段，弦与半径之间的夹角相等的两条弦的长度也相等。
6. 弦长乘积等于弦分割的两个线段的乘积，即：AB×CD = AC×BD。
四、圆的应用1. 圆在几何图形中的运用：圆可用于构建圆形轨迹、圆锥、圆柱等多边体的表面等。
2. 圆在日常生活中的应用：圆形用于建筑物的构造、器皿的设计等。
3. 圆在数学中的应用：圆是数学中的基本图形，也是函数图像的一种形式，常常用于解决几何问题、计算周长面积等。
通过对九年级下册圆的知识点进行梳理，我们可以更加深入地理解和掌握圆的性质、判定条件和应用。
在学习过程中，同学们可以通过课堂练习和实际例题，提升自己的解题能力和思维能力，为今后的数学学习打下坚实的基础。
九年级下册圆主要知识点
九年级下册圆主要知识点九年级下册，数学课程中的一个重要知识点就是圆。
圆是几何中的一个基本图形，具有独特的数学性质和应用价值。
本文将在深入探讨圆的相关概念、性质以及它在生活中的应用方面展开。
首先，我们先来了解一下圆的基本概念。
圆是由一条曲线组成，该曲线的每一点到一个固定的点（称为圆心）的距离都相等。
这个固定的距离称为半径，用字母r来表示。
圆的直径是连接圆上任意两点，并且经过圆心的线段，直径的长度等于半径的两倍。
圆的周长是圆周上的曲线长度，用C表示，而圆的面积则是圆内部的所有点的集合，用S表示。
在研究圆的性质时，我们首先来看看圆的周长和面积公式。
根据已知，圆的周长公式为C=2πr，其中π是一个数学常数，约等于3.14159，而圆的面积公式为S=πr²。
这两个公式是圆的重要性质，可以帮助我们计算圆的周长和面积。
除了基本的周长和面积公式，圆还有许多有趣的性质。
首先，圆内任意两点与圆心的连线都是相等的，这个性质我们称为弦长性质。
其次，对于同一个圆，圆心角相等的弧相等，这是弧长性质。
利用这些性质，我们可以解决许多有关圆的问题，如求弧长、求弦长等等。
在生活中，圆是一个极为常见的图形，我们可以看到许多与圆相关的应用。
比如，轮胎的外形就是圆形的，这是因为圆的外形能够提供更好的稳定性和操控性。
此外，钟面、光盘、CD、DVD等媒介，都是圆形的，这是因为制造过程中能更好地平衡旋转的速度和效果。
圆在建筑设计中也有广泛应用。
许多建筑物的外围设计为圆形，如大型体育馆、剧院等，这不仅能够提供更广阔的区域空间，还能够提高观赏性和舒适度。
除了这些应用外，圆还在科学研究和艺术创作中起着重要的作用。
在物理学中，研究圆的性质可以帮助我们理解星体的运动轨迹，例如行星绕太阳运转的轨道就是近似圆形的。
而在艺术创作中，圆可以被用来制作各种艺术品，如雕塑、画作等，这些作品能够给人以美的享受和情感的共鸣。
总之，圆是数学中的一个重要知识点，在我们的生活中也有许多实际应用。