青山区高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

青山区高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 将函数x x f ωsin )(=（其中0>ω）的图象向右平移
4
π
个单位长度，所得的图象经过点 )0,43(
π
，则ω的最小值是（ ） A ．31 B ． C ．3
5
D ．
2． 如图在圆O 中，AB ，CD 是圆O 互相垂直的两条直径，现分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个 圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A ．
π
1
B ．
π21 C ．π121- D ．π
2141- 【命题意图】本题考查几何概型概率的求法，借助圆这个载体，突出了几何概型的基本运算能力，因用到圆的几何性质及面积的割补思想，属于中等难度．
3． 极坐标系中，点P ，Q 分别是曲线C 1：ρ=1与曲线C 2：ρ=2上任意两点，则|PQ|的最小值为（ ） A ．1 B
． C
． D ．2
4． 棱长为2的正方体的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．π4 B ．π6 C ．π8 D ．π10
5． 若方程x 2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是（ ）
A ．（2，+∞）
B ．（0，2）
C ．（4，+∞）
D ．（0，4）
6． 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法．．．．．．．．从该地区调查了500位老年人，结果如下：
D
A
B
C
O
由2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22
500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯=
=⨯⨯⨯ 附表：
参照附表，则下列结论正确的是（ ）
①有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无．关”； ②有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有．关”； ③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； ④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 7． 若函数1,0,
()(2),0,
x x f x f x x +≥⎧=⎨
+<⎩则(3)f -的值为（ ）
A ．5
B ．1-
C ．7-
D ．2 8． 在△ABC 中，若A=2B ，则a 等于（ ） A ．2bsinA B ．2bcosA
C ．2bsinB
D ．2bcosB
9． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（ ）
A ．15
B ．
C ．15
D ．15
3.841 6.635 10.828k 2() 0.050 0.010 0.001
P K k ≥
【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．
10．拋物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点与双曲线C ：x 2－y 2＝2的焦点重合，C 的渐近线与拋物线E 交于非原点的P 点，则点P 到E 的准线的距离为（ ） A ．4 B ．6 C ．8
D ．10
11．用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是（ ）
A ．
π B ．2
π
C ．4
π
D ．
π
12．sin 15°sin 5°－2sin 80°的值为（ ）
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．已知f （x ）＝x （e x ＋a e －x ）为偶函数，则a ＝________． 14．已知正整数m 的3次幂有如下分解规律：
113=；5323+=；119733++=；1917151343+++=；…
若)(3
+∈N m m 的分解中最小的数为91，则m 的值为 .
【命题意图】本题考查了归纳、数列等知识，问题的给出比较新颖，对逻辑推理及化归能力有较高要求，难度中等.
15．在正方形ABCD 中，2==AD AB ,N M ,分别是边CD BC ,上的动点，当4AM AN ⋅=时，则MN 的取值范围为 ．
【命题意图】本题考查平面向量数量积、点到直线距离公式等基础知识，意在考查坐标法思想、数形结合思想和基本运算能力．
16．已知平面向量a ，b 的夹角为
3π，6=-b a ，向量c a -，c b -的夹角为23
π，23c a -=，则a 与c
的夹角为__________，a c ⋅的最大值为 ．
【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力.
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，
.若
,f(x-1)≤f(x),则实数a 的取值范围为
A[] B[] C[]
D[
]
18．（本小题满分12分）一直线被两直线12:460,:3560l x y l x y ++=--=截得线段的中点是P 点, 当P 点为()0,0时, 求此直线方程.
19f x =sin x+002
（1）求f （x ）的解析式； （2）求函数g （x ）=f （x ）+sin2x 的单调递增区间．
20．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数3212)(-++=x x x f ．
（I ）若R x ∈∃0，使得不等式m x f ≤)(0成立，求实数m 的最小值M ； （Ⅱ）在（I ）的条件下，若正数,a b 满足3a b M +=，证明：31
3b a
+≥.
21．已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=10． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）求数列{}的前n 项和．
22．如图，在四棱锥 P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，45,1,ADC AD AC O ∠=== 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，2,PO M =为 BD 的中点. （1）证明: AD ⊥平面 PAC ；
（2）求直线 AM 与平面ABCD 所成角的正切值.
青山区高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 【答案】
D
考
点：由()ϕω+=x A y sin 的部分图象确定其解析式；函数()ϕω+=x A y sin 的图象变换． 2． 【答案】C
【解析】设圆O 的半径为2，根据图形的对称性，可以选择在扇形OAC 中研究问题，过两个半圆的交点分别向OA ，OC 作垂线，则此时构成一个以1为边长的正方形，则这个正方形内的阴影部分面积为
12
-π
，扇形OAC 的面积为π，所求概率为π
π
π
12112
-=
-=P ． 3． 【答案】A
【解析】解：极坐标系中，点P ，Q 分别是曲线C 1：ρ=1与曲线C 2：ρ=2上任意两点， 可知两条曲线是同心圆，如图，|PQ|的最小值为：1． 故选：A ．
【点评】本题考查极坐标方程的应用，两点距离的求法，基本知识的考查．
4． 【答案】B 【解析】
考
点：球与几何体 5． 【答案】C
【解析】解：令f （x ）=x 2
﹣mx+3， 若方程x 2
﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，
则f （1）=1﹣m+3＜0， 解得：m ∈（4，+∞），
故选：C ．
【点评】本题考查的知识点是方程的根与函数零点的关系，二次函数的图象和性质，难度中档．
6． 【答案】D
【解析】解析：本题考查独立性检验与统计抽样调查方法．
由于9.967 6.635>，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，②正确；该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好，④正确，选D ． 7． 【答案】D111] 【解析】
试题分析：()()()311112f f f -=-==+=. 考点：分段函数求值． 8． 【答案】D 【解析】解：∵A=2B ，
∴sinA=sin2B ，又sin2B=2sinBcosB ， ∴sinA=2sinBcosB ，
根据正弦定理==2R 得：
sinA=
，sinB=
，
代入sinA=2sinBcosB 得：a=2bcosB ．
故选D
9． 【答案】C
【解析】还原几何体，由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，且VE ^平面
ABCD ，如图所示，所以此四棱锥表面积
为1S =262创
?11
23+2
2622
创创?
15=，故选C ．
46
46
10
10
1
1
32
6
E V
D C
B
A
10．【答案】
【解析】解析：选D.双曲线C 的方程为x 22－y 22＝1，其焦点为（±2，0），由题意得p
2＝2，
∴p ＝4，即拋物线方程为y 2＝8x ， 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ，
由⎩⎪⎨⎪⎧y 2
＝8x y ＝±
x ，解得 x ＝0（舍去）或x ＝8，则P 到E 的准线的距离为8＋2＝10，故选D.
11．【答案】
C
【解析】解：用一平面去截球所得截面的面积为2π，所以小圆的半径为：
cm ；
已知球心到该截面的距离为1
，所以球的半径为：，
所以球的体积为： =4
π
故选：C ．
12．【答案】
【解析】解析：选A.sin 15°
sin 5°－2 sin 80°
＝sin （10°＋5°）sin 5°
－2cos 10°＝
sin 10°cos 5°＋cos 10°sin 5°－2 cos 10°sin 5°
sin 5°
＝sin 10°cos 5°－cos 10°sin 5°sin5 °＝sin （10°－5°）sin 5°
＝1，选A.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．【答案】
【解析】解析：∵f （x ）是偶函数，∴f （－x ）＝f （x ）恒成立， 即（－x ）（e －x ＋a e x ）＝x （e x ＋a e －x ）， ∴a （e x ＋e －x ）＝－（e x ＋e －x ），∴a ＝－1. 答案：－1 14．【答案】10
【解析】3m 的分解规律恰好为数列1，3，5，7，9，…中若干连续项之和，32为连续两项和，3
3为接下来三项和，故3
m 的首个数为12
+-m m .
∵)(3+∈N m m 的分解中最小的数为91，∴9112
=+-m m ，解得10=m .
15．
【答案】
（02x ＃，02y ＃）上的点(,)x y 到定点(2,2)
2，故MN 的取值
范围为．
2
2
y
x
B
16．【答案】
6
π
，18+ 【解析】
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）17．【答案】B
【解析】当x≥0时，
f（x）=，
由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；
当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；
由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2。

∴当x＞0时，。

∵函数f（x）为奇函数，
∴当x＜0时，。

∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），
∴2a 2﹣（﹣4a 2）≤1，解得：。

故实数a 的取值范围是。

18．【答案】16
y x =-
． 【解析】 试题分析：设所求直线与两直线12,l l 分别交于()()1122,,,A x y B x y ,根据因为()()1122,,,A x y B x y 分别在直线12,l l 上，列出方程组，求解11,x y 的值，即可求解直线的方程. 1
考点：直线方程的求解.
19．【答案】
【解析】（本题满分12分）
解：（1）由表格给出的信息知，函数f （x ）的周期为T=2（
﹣0）=π．
所以ω==2，由sin （2×0+φ）=1，且0＜φ＜2π，所以φ=
．
所以函数的解析式为f （x ）=sin （2x+）=cos2x …6分
（2）g （x ）=f （x ）+sin2x=sin2x+cos2x=2sin （2x+），
令2k ≤2x+≤2k ，k ∈Z 则得k π﹣≤x ≤k π+，k ∈Z 故函数g （x ）=f （x ）+sin2x 的单调递增区间是：，k ∈Z …12分
【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的单调性，周期公式的应用，属于基本知识的考查．
20．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查基本不等式、绝对值三角不等式等基础知识，意在考查转化思想和基本运算能力．
21．【答案】
【解析】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=0，a6+a8=10．
∴，解得，
∴a n﹣1+（n﹣1）=n﹣2．
（2）=．
∴数列{}的前n项和S n=﹣1+0+++…+，
=+0++…++，
∴=﹣1++…+﹣=﹣2+﹣=，
∴S n=．
22．【答案】（1）证明见解析；（2
【解析】111]
考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角.
【方法点晴】本题主要考查了直线与平面垂直的判定、直线与平面所成角的求解，其中解答中涉及到直线与平面垂直的判定定理与性质定理、直线与平面所成角的求解等知识点综合考查，解答中熟记直线与平面垂直的判定定理和直线与平面所成角的定义，找出线面角是解答的关键，注重考查了学生的空间想象能力和推理与论证能力，属于中档试题.。