辽宁省实验中学分校2015届高三数学上学期期中试卷 理

辽宁省实验中学分校2015届高三数学上学期期中试卷 理
第1卷 选择题〔共60分〕
一、选择题：本大题12个小题，每一小题5分，共60分。

在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1、集合{}{}
20,1,2,3,30=M N x x x M N ==-<⋂，则〔 〕
A.{}0
B.{}
0x x < C.{}
3x x 0<< D.{}1,2
2
z 的虚部是( ) A
3、设5
32
3
55
25
25log ,(),()53a b c ===，如此a ，b ，c 的大小关系是〔 〕
A ．c b a >>
B ．c a b >>
C ．a b c >>
D ．b c a >> 4
、函数的零点所在区间是〔 〕
A ． D ． 5、如下选项表示错误的答案是〔 〕
A ．命题“假设1≠x ，如此0232≠+-x x 〞的逆否命题是“假设0232=+-x x ，如此1=x 〞
B ．假设q p ∨为真命题，如此p ，q 均为真命题
C ．假设命题01,:2
≠++∈∀x x R x p ，如此01,:2=++∈∃⌝x x R x p D ．“2>x 〞是“0232>+-x x 〞的充分不必要条件 6、要得到函数()⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
+
=6
52sin πx x f 的图象，只需将函数()sin 23g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭的图象〔 〕
A.向左平移
2π个单位长度 B.向右平移2
π
个单位长度 (2,3)(1,2)x x x f ln 1)(-=
C.向左平移
4π个单位长度 D.向右平移4
π
个单位长度 7、假设实数,x y 满足条件4
200
x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，如此2x y +的最大值是〔 〕
A.8
B.7
C.4
D.2
8、，如此的值是〔 〕
A ．
B ．
C ．
D ．
9、不等式对任意()+∞∈,0,b a 恒成立，如此实数的取值范围是
A ．
()0,2- B ．()()+∞⋃-∞-,02, C ．()2,4- D ．()()+∞⋃-∞-,24,
10、执行如下列图的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，如此输出的S 属于〔 〕 A.[]6,2-- B.[]5,1-- C.[]4,5- D.[]3,6-
11、函数()x f 是定义在R 上的奇函数，()01=f ，当时，有成立，
如此不等式()0>x f 的解集是
A ．
()()+∞⋃-,10,1 B ．()0,1- C ．()+∞,1 D ．()()+∞⋃-∞-,11,
12、函数()224|log |
02151222
x x f x x x x <<⎧⎪
=⎨-+≥⎪⎩，假设存在实数,,,a b c d 满足
x 2162a b x x b a +<
+
22-2
5-
252
sin sin cos ααα-tan 2α=2
()()
0xf x f x x '->0x >
()()()()f a f b f c f d ===其中0d c b a >>>>，如此abcd 的取值范围是〔 〕
A ．()16,21
B ．()16,24
C ．()17,21
D ．()18,24
第2卷 非选择题〔共90分〕
须知事项：第2卷全部是非选择题，必须在答题卡非选择题答题区域内，用黑色钢笔或签字笔作答，不能答在试卷上，否如此答案无效。

二、填空题：本大题共4个小题，每一小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上。

13、()f x 的定义域为[2,3]-,如此(1)-f x 的定义域是
14
、的展开式中的系数为5，如此
15、函数x e x x f ln )1(1)(---=，其中e 为自然对数的底，如此满足0)(<x
e f 的x 的取值范围为
16、函数()sin 2x f x x =∈R ，，将函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短为原来的1
2
倍〔纵
坐不变〕，得到函数()g x 的图象，如此关于()()f x g x ⋅有如下命题: ①函数()()y f x g x =⋅是奇函数； ②函数()()y f x g x =⋅不是周期函数；
③函数()()y f x g x =⋅的图像关于点(π，0)中心对称； ④ 函数()()y f x g x =⋅. 其中真命题为____________ 三、解答题：本大题共6个小题，总分70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、〔本小题总分为12分〕
在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，3
3
2cos =
+C A . 〔1〕求B cos
〔2〕假设2=•BC BA ,22=b ，求a 和c 的值 18、〔本小题总分为12分〕
现有4个人去参加春节联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择。

为增加趣味性，
a =2x 5(1)(1)ax x ++
约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目的联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢.
〔1〕求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率
〔2〕用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数，记Y X -=ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望ξE 19、〔本小题总分为12分〕 函数)0(3sin 32
cos 6)(2
>-+=ωωωx x
x f 在一个周期内的图象如下列图,A 为图象的最
高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且ABC ∆为正三角形. 〔1〕求ω的值与函数()f x 的值域
〔2〕假设083()5f x =
,且0102
(,)33
x ∈-,求0(1)f x +的值 20、〔本小题总分为12分〕 函数x
a
x x f -
=ln )(，x ax x f x g ln 6)()(-+=，其中R a ∈. 〔1〕讨论)(x f 的单调性
〔2〕设函数4)(2
+-=mx x x h ，当2=a 时，假设)1,0(1∈∃x ，)2,1(2∈∀x ，总有
)()(21x h x g ≥成立，求实数m 的取值范围
21、〔本小题总分为12分〕 函数1
()x
x f x e -=
. 〔1〕求函数()f x 的单调区间和极值
〔2〕假设函数()y g x =对任意x 满足()(4)g x f x =-,求证：当2x >,)()(x g x f > 〔3〕假设12x x ≠，且12()()f x f x =，求证：421>+x x
请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，如此按所做的第一题记分. 答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22、〔本小题总分为10分〕选修4－1：几何证明选讲
如图AB 是⊙O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ．求证：
〔1〕DFA DEA ∠=∠；
〔2〕AC AE BD BE AB ⋅-⋅=2
23、〔本小题总分为10分〕选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy 取一样
的长度单位，建立极坐标系. 设曲线C 参数方程为⎩⎨⎧==θ
θsin cos 3y x 〔θ为参数〕，直线l 的极坐
标方程为22)4
cos(=-
π
θρ.
〔1〕写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； 〔2〕求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.
24、〔本小题总分为10分〕选修4－5：不等式选讲 函数)51(log )(2a x x x f --+-=. 〔1〕当5=a 时，求函数)(x f 的定义域
〔2〕当函数)(x f 的值域为R 时，求实数a 的取值范围
数学答案----------理科
13、[1,4]- 14 、-1 15、 (0，1) 16、③
17、〔1〕33)22
cos(
=
-
B π
即3
3
sin =B ------- 3分 3
1
2sin 21cos 2
=-=∴B B -------6分 18
、(1)9
1
)31()32()3
1
(44
4334=
+=C C p ----------------4分(2)27
8)32()31()0(2
224=
==C X P ----------------6分
81
40)32)(31()32()31()2(3
14334=
+==C C X P ----------------8分 8117)32()31()4(4
04444
=+==C C X P ----------------10分
81
148
=
EX -----------------------------------------------12分 19、〔1〕由可得:2()6cos 3(0)2x
f x x ωωω=+->
=+
x ωcos 3)3
sin(32sin 3π
ωω+
=x x
又由于正三角形ABC 的高为23,如此BC=4 所以,函数4
82824)(π
ωω
π
=
==⨯=，得，即
的周期T x f ---------4分
所以，函数]32,32[)(-的值域为x f …………………………………6分
〔2〕因为，由53
8)(0=
x f (1)有 ，
5
3
8)3
4
(
sin 32)(0
0=
+
=π
πx x f 54)34(sin 0=+ππx 即 由)32
,310(0-
=x ，得)2,2(340ππππ-∈+x
所以,5
3
)54(1)34(
cos 20
=-=+
π
πx 即 --------------8分 故=+)1(0x f =+
+
)3
4
4
(
sin 320
π
π
πx ]4
)3
4
(
sin[320
π
π
π+
+
x
)
2
2532254(324
sin
)3
4
cos(
4
cos
)34(
[sin 3200
⨯+⨯=+
++
=ππππ
π
πx x
5
6
7=
． --------------------------12分
20、〔1〕)0()(2
'>+=
x x a
x x f 当0≥a 时，)(x f 在),0(+∞上为增函数
当0<a 时，)(x f 在在),0(a -上为减函数，),(+∞-a 上为增函数 --------4分 〔2〕由题可知，)(max x g ≥)(max x h
当2=a 时，)10(ln 52
2)(<<--
=x x x
x x g 2
2'
2
52)(x
x x x g +-=∴ 所以)(x g 的最大值为32ln 5)2
1(-=g -----------------7分 又)21(4)(2
<<+-=x mx x x h
即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥)2()2
1()1()21
(h g h g 即⎩⎨⎧-≥+--≥+-m m 282ln 5352ln 53 ----------------10分
即2ln 58-≥m ------------------------------12分 21、解：⑴∵()f x =
1x x e -，∴()f x '=2x
x
e
-. 令()f x '=0，解得2x =.
∴()f x 在(,2)-∞内是增函数，在(2,)+∞内是减函数. ∴当2x =时，()f x 取得极大值(2)f =
2
1
e . ()
f x 无极小值 -----------------------------4
分
⑵证明：43()(4)x x g x f x e --=-=
，413()()()x
x x x
F x f x g x e e
---=-=-令, ∴()F x '=4244
22(2)()
x x x x x x x e e e e e
-+-----=.
当2x >时，2x -＜0，2x ＞4，从而42x e e -＜0， ∴()F x '＞0，()F x 在(2,)+∞是增函数.
22
、证明：⑴连结AD ，因为AB 为圆的直径，所以∠ADB =90°， 又EF ⊥AB ，∠EFA =90°，如此A 、D 、E 、F 四点共圆， ∴∠DEA =∠DFA. ------------------------------5分 ⑵由(1)知，BD ⋅BE =BA ⋅BF . 又△ABC ∽△AEF ，∴AF
AC
AE AB =
，即AB ⋅AF =AE ⋅AC .
∴ BE ⋅BD －AE ⋅AC =BA ⋅BF －AB ⋅AF =AB (BF －AF ) =AB 2
. ---------------10分
23、解：⑴由cos()224
π
ρθ-
=得(cos sin )4ρθθ+=，
∴:l 40x y +-=.
由3cos sin x y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩得:C 2213x y +=. ----------------------5分
⑵在:C 2
213x y +=上任取一点(3cos ,sin )P θθ，如此点P 到直线l 的距离为
|2sin()4|
|3cos sin 4|322d π
θθθ+-+-==
. ∴当sin()=3πθ+－1，即5
6
θπ=-时，max 3d =. ---------------10分
E
F
A
C
B
O
D。