2019届高考理科数学一轮复习课时提升作业：第10章 10.3《二项式定理》(含答案)
高三数学一轮复习 10.3 二项式定理课时训练解析 新人教A版
第十章 第三节 二项式定理(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．(2011·南昌模拟)若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝4，n ＝3 B ．x ＝4，n ＝4 C ．x ＝5，n ＝4D ．x ＝6，n ＝5解析：∵C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n＝(1＋x )n－1， 代入验证选项可得答案C. 答案：C2．在二项式(x 2＋x ＋1)(x －1)5的展开式中，含x 4项的系数是( ) A ．－25 B ．－5 C ．5D ．25解析：因为(x －1)5中含x 4，x 3，x 2项分别为－C 15x 4，C 25x 3，－C 35x 2，所以含x 4项系数为－C 15＋C 25－C 35＝－5.答案：B3．(2011·海南五校联考)在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A ．－7B ．－28C ．7D ．28解析：依题意，n2＋1＝5，∴n ＝8.二项式为⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8，易得常数项为C 68⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 6＝7.答案：C 4. 若(1－2x )2009＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2009x 2009(x ∈R)，则a 12＋a 222＋…＋a 200922009的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：观察所求数列和的特点，令x ＝12可得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 200922009＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 200922009＝－a 0，再令x ＝0可得a 0＝1，因此a 12＋a 222＋…＋a 200922009＝－1.5．(1＋ax ＋by )n展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为( )A ．a ＝2，b ＝－1，n ＝5B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6D ．a ＝1，b ＝2，n ＝5解析：不含x 的项的系数的绝对值为(1＋|b |)n＝243＝35，不含y 的项的系数的绝对值为(1＋|a |)n＝32＝25，∴n ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧1＋|b |＝3，1＋|a |＝2.答案：D6．(2011·湖南六校联考)已知0<a <1，方程a |x |＝|log a x |的实根个数为n ，且(x ＋1)n＋(x ＋1)11＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 10(x ＋2)10＋a 11(x ＋2)11，则a 1＝( )A ．9B ．－10C ．11D ．－12解析：作出y ＝a |x |(x >0)与y ＝|log a x |的大致图象如图所示，所以n ＝2.故(x ＋1)n＋(x ＋1)11＝(x ＋2－1)2＋(x ＋2－1)11，所以a 1＝－2＋C 1011＝－2＋11＝9. 答案：A二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．在(3x －1x)6的展开式中，x 的指数是整数的项共有________项．解析：因为T r ＋1＝C r6(3x )6－r(－1x)r ＝C r 6(－1)r423r x-，43r 为整数时，r 可以取0,3,6，所以展开式中x 的指数是整数的项共有3项．答案：38．(2010·安徽高考)(x y －y x)6的展开式中，x 3的系数等于________． 解析：(x y －y x )6的通项为T r ＋1＝C r6(x y )6－r (－y x)r ＝C r6(－1)r362r x-332r y-，令6－32r ＝3，得r ＝2，32r －3＝0，故x 3的系数为C 26(－1)2＝15.9．已知函数f (x )＝(1－1x )9，则f ′(x )中1x的系数为________．解析：由函数f (x )＝(1－1x )9，得f ′(x )＝9(1－1x )8×(1－1x )′＝9(1－1x )8·1x2，因为(1－1x )8的二项展开式的通项T r ＋1＝C r8(－1x )r ，T 2＝C 18(－1x )1＝－8x ，所以f ′(x )中1x3的系数为－72. 答案：－72三、解答题(共3小题，满分35分)10．(2011·济南模拟)若(x 2－1ax )9(a ∈R)的展开式中x 9的系数是－212，求0a ⎰sin x d x 的值．解：由题意得T r ＋1＝C r9(x 2)9－r(－1)r (1ax)r＝(－1)r C r 9x18－3r1ar，令18－3r ＝9得r ＝3，所以－C 391a3 ＝－212，解得a ＝2，所以20⎰sin x d x ＝(－cos x )2＝－cos2＋cos0＝1－cos2. 11．已知(x －2x2)n (n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含32x 的项．解：由题意知，第五项系数为C 4n ·(－2)4， 第三项的系数为C 2n ·(－2)2， 则有C 4n－4C 2n－2＝101， 化简得n 2－5n －24＝0， 解得n ＝8或n ＝－3(舍去)．(1)令x ＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1. (2)通项公式T r ＋1＝C r8·(x )8－r·(－2x2)r＝C r8·(－2)r·822rr x --，(r ＝0,1，…，8)，令8－r 2－2r ＝32，则r ＝1，故展开式中含32x 的项为T 2＝－1632x .12．已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．解：(1)令x ＝1，则二项式各项系数和为f (1)＝(1＋3)n＝4n， 展开式中各项的二项式系数之和为2n. 由题意知4n－2n＝992. ∴(2n )2－2n －992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍)或2n＝32，∴n ＝5.由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是T 3＝C 25(23x )3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(23x )2(3x 2)3＝270223x.(2)展开式通项为T r ＋1＝C r 53r·x 23(5＋2r ) 2(52)3r x +．假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r ≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧5！5－r ！r ！×3≥5！6－r ！r －1！，5！5－r ！r ！≥5！4－r ！r ＋1！×3.∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4. ∴展开式中系数最大项为T 5＝C 4523x (3x 2)4＝405263x.。
2019年高考数学一轮复习：二项式定理
2019年高考数学一轮复习：二项式定理二项式定理1．二项式定理(a ＋b )n ＝_____________________(n ∈N *)，这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(a ＋b )n 的二项展开式共有____________项，其中各项的系数____________(k ∈{0，1，2，…，n })叫做二项式系数，式中的____________叫做二项展开式的通项，用T k ＋1表示，即__________________．通项为展开式的第__________项．2．二项式系数的性质 (1)对称性在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，C 2n ＝C n －2n ，…，____________，…，C n n ＝C 0n .(2)增减性与最大值二项式系数C k n ，当____________时，二项式系数是递增的；当____________时，二项式系数是递减的．当n 是偶数时，中间的一项____________取得最大值．当n 是奇数时，中间的两项____________和____________相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于________，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝________.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝________.自查自纠1．C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n an －k b k ＋…＋C n n b nn ＋1C k n C k n a n －k b k T k ＋1＝C k n an －k b kk ＋1 2．(1)C k n ＝C n －kn(2)k ＜n ＋12 k ＞n ＋12C n2n C n －12n Cn ＋12n(3)2n 2n 2n－1(2016·四川)设i 为虚数单位，则(x ＋i )6的展开式中含x 4的项为( )A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20ix 4D ．20ix 4解：由题可知，含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4.故选A.(2017·全国卷Ⅰ)⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35 解：(1＋x )6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x r ，所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为1×C 26＋1×C 46＝30，故选C.(2017·全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( )A ．－80B ．－40C ．40D ．80 解：原题即求(2x －y )5中x 2y 3与x 3y 2系数的和，即为C 35·22·(－1)3＋C 25·23·(－1)2＝40.故选C.(2016·全国卷Ⅰ)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是____________．(用数字填写答案)解：展开式的通项为T r ＋1＝25－rC r 5x5－r2，令5－r2＝3，得r ＝4，故所求系数为2C 45＝10.故填10.(2016·天津)⎝⎛⎭⎫x 2－1x 8的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答)解：二项式展开式通项为T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r⎝⎛⎭⎫－1x r＝(－1)r C r 8x16－3r，令16－3r ＝7，r ＝3，所以x 7的系数为(－1)3C 38＝－56.故填－56.类型一 求特定项(1)⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40解：令x ＝1，可得a ＋1＝2，a ＝1，⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中1x 项的系数为C 3522(－1)3，x 项的系数为C 2523，所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x (2x －1x)5的展开式中常数项为C 3522(－1)＋C 2523＝40.故选D.【点拨】①令x ＝1可得所有项的系数和；②在求出a 的值后，再分析常数项的构成，便可解得常数项．(2)(2015·安徽)⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 7的展开式中x 5的系数是________．(用数字填写答案)解：由题意，二项式⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 7展开的通项为T r ＋1＝C r 7(x 3)7－r⎝⎛⎭⎫1x r＝C r7x 21－4r ，令21－4r ＝5，得r ＝4，则x 5的系数是C 47＝35.故填35.(3)(2017·浙江)已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________．解：a 4为含x 的项的系数，根据二项式定理，a 4＝C 23×12×C 22×22＋C 33×13×C 12×2＝16，a 5是常数项，a 5＝C 33×13×C 22×22＝4.故填16；4.【点拨】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项．可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可．(2)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其系数．(1)已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n的展开式中，第6项为常数项，则含x 2项的系数为________．解：通项T r ＋1＝C r n xn －r3⎝⎛⎭⎫－12rx －r 3＝C r n⎝⎛⎭⎫－12r xn －2r3，因为第6项为常数项，所以r ＝5时，有n －2r3＝0，得n ＝10.令10－2r3＝2，得r ＝2，所以含x 2项的系数为C 210⎝⎛⎭⎫－122＝454.故填454.(2)(2016·北京)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为____________．(用数字填写答案)解：展开式的通项T r ＋1＝C r 6·16－r ·(－2x )r ＝C r 6(－2x )r .令r ＝2得T 3＝C 26·4x 2＝60x 2，即x 2的系数为60.故填60.(3)(2015·全国卷Ⅰ)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( )A ．10B ．20C ．30D ．60解：在(x 2＋x ＋y )5的5个因式中，2个取x 2，剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y ，故x 5y 2的系数为C 25C 13C22＝30，故选C.类型二 展开式的系数和问题在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和． 解：设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数和为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29，偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.(4)令x ＝y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，① 令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)， 得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510，所以奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510，所以偶数项系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102； x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102. 【点拨】①“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法．对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．②若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.(1)(2017浙江温州模拟)在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x 3的系数为( )A ．15B ．45C ．135D ．405解：由题意4n 2n ＝64，n ＝6，T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫3x r＝3r C r 6x6－3r2，令6－3r2＝3，得r ＝2，则x 3的系数为32C 26＝135.故选C.(2)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 9(x －1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为____________．解：令x ＝2，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(4＋m )9，令x ＝0，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝(m ＋2)9，所以有(4＋m )9(m ＋2)9＝39，即m 2＋6m ＋5＝0，解得m ＝－1或－5.故填－1或－5.(3)设⎝⎛⎭⎫22＋x 2n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)2＝_______________________________.解：设f (x )＝⎝⎛⎭⎫22＋x 2n，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)2＝(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n －a 1－a 3－a 5－…－a 2n －1)(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ＋a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＝f (－1)·f (1)＝⎝⎛⎭⎫22－12n ·⎝⎛⎭⎫22＋12n＝⎝⎛⎭⎫－122n ＝⎝⎛⎭⎫14n .故填⎝⎛⎭⎫14n. 类型三 系数最大项问题已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数和大992.(1)求⎝⎛⎭⎫2x ＋1x 2n的二项式系数最大的项；(2)求⎝⎛⎭⎫2x ＋1x 2n的展开式系数最大的项． 解：由题意知，22n －2n ＝992，即(2n －32)(2n ＋31)＝0，所以2n ＝32(负值舍去)，解得n ＝5.(1)由二项式系数的性质知，⎝⎛⎭⎫2x ＋1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大，即C 510＝252.所以T 6＝C 510(2x )51x 5＝C 51025＝8 064.(2)设第r ＋1项的系数最大，因为T r ＋1＝C r 10(2x )10－r1xr ＝C r 10210－r x 10－2r， 所以⎩⎪⎨⎪⎧C r 10210－r ≥C r －110210－r ＋1，C r 10210－r ≥C r ＋110210－r －1， 得⎩⎪⎨⎪⎧C r 10≥2C r －110，2C r 10≥C r ＋110， 即⎩⎪⎨⎪⎧11－r ≥2r ，2（r ＋1）≥10－r ， 解得83≤r ≤113，因为r ∈N ，所以r ＝3.故系数最大的项是第4项，第4项为T 4＝C 31027x 4＝15 360x 4.【点拨】(1)求二项式系数最大项：①如果n 是偶数，则中间一项⎝⎛⎭⎫第n2＋1项的二项式系数最大；②如果n 是奇数，则中间两项(第n ＋12项与第n ＋12＋1项)的二项式系数相等并最大．(2)求展开式系数最大项：如求(a ＋bx )n(a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，列出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1，A r ≥A r ＋1，从而解出r ，即得展开式系数最大的项．已知()x 23＋3x 2n的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等．(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．解：(1)易知n ＝5，故展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项．所以T 3＝C 25()x 233·(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35()x 232·(3x 2)3＝270x223.(2)设展开式中第r ＋1项的系数最大． T r ＋1＝C r 5·(x 23)5－r·(3x 2)r ＝C r 5·3r·x10＋4r3，故有⎩⎪⎨⎪⎧C r 5·3r ≥C r －15·3r －1，C r 5·3r ≥C r ＋15·3r ＋1， 即⎩⎨⎧3r ≥16－r，15－r ≥3r ＋1.解得72≤r ≤92.因为r ∈N ，所以r ＝4，即展开式中第5项的系数最大．T 5＝C 45·x 23·(3x 2)4＝405x 263.类型四 整除问题与求近似值问题(1)已知2n ＋2·3n ＋5n －a 能被25整除，求正整数a 的最小值；(2)求1.028的近似值．(精确到小数点后三位) 解：(1)原式＝4·6n ＋5n －a ＝4(5＋1)n ＋5n －a＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n 52＋C n －1n 5＋C nn )＋5n－a＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n 52)＋25n ＋4－a ，显然正整数a 的最小值为4.(2)1.028＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18·0.02＋C 28·0.022＋C 38·0.023≈1.172.【点拨】(1)利用二项式定理解决整除问题的关键是巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只需证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除．因此，一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常采用“配凑法”“消去法”结合整除的有关知识来处理．注意：0≤余数<除数．(2)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．(1)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 016＋a能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12解：512 016＋a ＝(52－1)2 016＋a ＝522 016＋C 12 016×522 015×(－1)＋…＋C 2 0152 016×52×(－1)2 015＋(－1)2 016＋a 能被13整除，只需(－1)2 016＋a ＝1＋a 能被13整除即可．因为0≤a <13，所以a ＝12.故选D.(2)设n ∈N *，n ≠1，求证33n －26n －1能被676整除．证明：33n －26n －1＝27n －26n －1＝(26＋1)n －26n －1＝26n ＋C 1n 26n －1＋C 2n 26n －2＋…＋C n －2n 262＋C n －1n 26＋C n n －26n －1＝262()26n －2＋C 1n 26n －3＋C 2n 26n －4＋…＋C n－2n＝676()26n －2＋C 1n 26n －3＋C 2n 26n －4＋…＋C n －2n而26n －2＋C 1n 26n －3＋C 2n 26n －4＋…＋C n －2n 为整数．故33n －26n －1能被676整除．类型五 特殊“三项式”(可化为二项式)的展开式求⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |－23展开式中的常数项． 解法一：原式＝（|x |2－2|x |＋1）3|x |3＝（|x |－1）6|x |3，所以 (1－|x |)6的展开式中|x |3的系数C 36(－1)3＝－20就是原式展开式中的常数项．解法二：将原式化为⎝⎛⎭⎫|x |－1|x |6，利用二项式定理求解．解法三：将原式看成三个|x |＋1|x |－2相乘，常数项只可能由|x |·1|x |·(－2)和(－2)3构成，可利用计数原理分成两类再求和．故所求为C 13·C 12·(－2)＋C 33·(－2)3＝－20.【点拨】三项式的展开式问题，通常可用解法二化为二项式问题，或者用解法三化为计数问题．(2015·江西模拟)若(x 2＋ax ＋1)6(a >0)的展开式中x 2的系数是66，则⎠⎛0a sin xdx 的值为____________．解：由题意可得(x 2＋ax ＋1)6的展开式中x 2的系数为C 16＋C 26a 2，故C 16＋C 26a 2＝66，所以a ＝2或a ＝－2(舍去)．故⎠⎛0a sin xdx ＝(－cosx )|20＝1－cos2.故填1－cos2.1．二项展开式的通项主要用于求二项式的指数、项和系数，在运用公式时要注意以下几点：(1)C k n an －k b k是第k ＋1项，而不是第k 项． (2)求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列出方程求出k ，再求所需的某项(有时需先求n )．计算时要注意n ，k 的取值范围及它们的大小关系．(3)求展开式的某一项的系数，先要准确地写出通项，特别要注意符号问题，然后将通项中的系数和字母分离．2．要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别．在(a ＋b )n 的展开式中，系数最大的项是中间项；但当a ，b 的系数不是1时，系数最大的项的位置就不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数的增减性具体讨论而定．3．对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意项与项结合的合理性和简捷性．4．二项式定理的应用方法(1)“赋值法”和“构造法”是解决二项展开式中“系数和”问题的基本思路，也是证明有关组合数恒等式的重要方法．(2)“配凑法”和“消去法”是解决“整除性问题”或“余数问题”的重要方法．(3)整除问题要关注的是展开式的最后几项，求近似值问题关注的是展开式的前几项．(4)有些不等式的证明问题，也常借助二项式定理进行“放缩”处理．(5)要注意二项式定理的逆用，它常用于有关化简和求值问题．1．在⎝⎛⎭⎪⎫x －23x 4的展开式中，常数项为( )A ．－32B ．32C ．－24D ．24解：通项T r ＋1＝C r 4x 4－r (－2)r ·x －r 3＝C r 4(－2)rx 4－4r 3，令4－4r3＝0⇒r ＝3.故所求为－32.故选A. 2．(2015·南昌质检)在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A ．－7B ．7C ．－28D ．28 解：由题意可知n ＝8， T r ＋1＝C r 8⎝⎛⎭⎫x 28－r⎝⎛⎭⎪⎫－13x r ＝⎝⎛⎭⎫128－r (－1)r C r 8·x 8－4r3. 令8－43r ＝0，得r ＝6，⎝⎛⎭⎫122×(－1)6C 68＝7.故选B.3．(2017·广西联考)若二项式⎝⎛⎭⎫55x 2＋1x 6的展开式中的常数项为m ，则⎠⎛1m(x 2－2x )dx ＝( )A.13 B ．－13 C ．－23 D.23 解：因为二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6⎝⎛⎭⎫55x 26－r⎝⎛⎭⎫1x r ＝⎝⎛⎭⎫556－r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，得r ＝4，所以m ＝⎝⎛⎭⎫552C 46＝3，所以⎠⎛1m (x 2－2x )dx ＝⎠⎛13(x 2－2x )dx ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2|31＝⎝⎛⎭⎫13×33－32－⎝⎛⎭⎫13－1＝23，故选D.4．(2016·贵州模拟)在二项式(x 2＋x ＋1)(x －1)5的展开式中，含x 4项的系数是( )A ．－25B ．－5C ．5D ．25 解：因为(x 2＋x ＋1)(x －1)＝x 3－1，所以原式可化为(x 3－1)(x －1)4.故展开式中，含x 4项的系数为C 34(－1)3－C 04＝－4－1＝－5.故选B.5．从⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋1x 20的展开式中任取一项，则取到有理项的概率为( )A.521B.27C.310D.37解：⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋1x 20的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 20(4x )20－k⎝⎛⎭⎫1x k＝C k 20x 5－34k ，其中k ＝0，1，2，…，20.而当k ＝0，4，8，12，16，20时，5－34k 为整数，对应的项为有理项，所以从⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋1x 20的展开式中任取一项，取到有理项的概率为P ＝621＝27.故选B.6．若x 4(x ＋3)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 12(x ＋2)12，则log 2(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 11)等于( )A ．27B ．28C ．7D ．8 解：令x ＝－1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝28，①；令x ＝－3得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 12＝0，②.①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝28，所以a 1＋a 3＋…＋a 11＝27，所以log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝7.故选C.7．(2016·上海)在⎝⎛⎭⎪⎫3x －2x n的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________．解：因为所有项的二项式系数之和为2n ， 所以2n ＝256，所以n ＝8，二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(3x )8－r·⎝⎛⎭⎫－2x r＝(－2)r C r 8x 83－43r ，令83－43r ＝0，得r ＝2，所以T 3＝112.故填112.8．(2016·山东)若⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________．解：因为T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ⎝⎛⎭⎫1x r＝C r 5a 5－rx 10－52r ，所以由10－52r ＝5r ＝2，因此C 25a5－2＝－80a ＝－2.故填－2.9．求证：32n ＋2－8n －9能被64整除(n ∈N *)．证明：因为32n ＋2－8n －9＝32·32n －8n －9＝9·9n －8n －9＝9(8＋1)n －8n －9＝9(C 0n 8n ＋C 1n 8n －1＋…＋C n －1n ·8＋C nn ·1)－8n －9＝9(8n ＋C 1n 8n －1＋…＋C n －2n 82)＋9·8n ＋9－8n －9 ＝9×82(8n －2＋C 1n 8n －3＋…＋C n －2n )＋64n＝64[9(8n －2＋C 1n 8n －3＋…＋C n －2n )＋n ]．所以32n ＋2－8n －9能被64整除．10．已知二项式⎝⎛⎭⎫12＋2x n.(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解：(1)因为C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，所以n 2－21n ＋98＝0， 所以n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.所以T 4的系数为C 37×⎝⎛⎭⎫124×23＝352，T 5的系数为C 47×⎝⎛⎭⎫123×24＝70.当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.所以T 8的系数为C 714×⎝⎛⎭⎫127×27＝3 432. (2)因为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，所以n 2＋n －156＝0，所以n ＝12或n ＝－13(舍去)．设第k ＋1项的系数最大，因为⎝⎛⎭⎫12＋2x 12＝⎝⎛⎭⎫1212(1＋4x )12，所以⎩⎪⎨⎪⎧C k 124k ≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1.所以9.4≤k ≤10.4，所以k ＝10.所以展开式中系数最大的项为第11项，且T 11＝C 1012·⎝⎛⎭⎫122·210·x 10＝16 896x 10. 11. (1)已知(1－x ＋x 2)3(1－2x 2)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 14x 14，求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13的值． (2)已知(x ＋1)2(x ＋2)2 014＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 2 016(x ＋2)2 016，求a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 2 01622 016的值．解：(1)设f (x )＝(1－x ＋x 2)3(1－2x 2)4. 令x 分别取1，－1，则f (1)＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 13＋a 14＝1；f (－1)＝a 0－a 1＋a 2－…－a 13＋a 14＝27.a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝f （1）－f （－1）2＝1－272＝－13.(2)依题意令x ＝－32，得⎝⎛⎭⎫－32＋12⎝⎛⎭⎫－32＋22 014＝a 0＋a 1⎝⎛⎭⎫－32＋2＋a 2⎝⎛⎭⎫－32＋22＋…＋a 2 016⎝⎛⎭⎫－32＋22 016，令x ＝－2得a 0＝0，则a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 2 01622 016＝⎝⎛⎭⎫122 016. 已知()1＋x ＋x 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x 3n (n ∈N *)的展开式中没有常数项，且2≤n ≤8，则n ＝________. 解：因为(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x ＋1x 3n (n ∈N *)的展开式中没有常数项，所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x 3n的展开式中没有常数项，且没有x －1，x －2项.⎝⎛⎭⎫x ＋1x 3n的展开式的通项为T r ＋1＝C r n x n －4r，当n ＝2，3，4时，取r ＝1可知均不符合要求；当n ＝6，7，8时，取r ＝2可知均不符合要求；当n ＝5时，r 取0，1，2，3，4，5均不会产生x －1，x －2及常数项．故填5.。
高三一轮复习《二项式定理》
高三一轮复习《二项式定理》考纲考点：1、掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和证明2、会用二项式的通项公式求展开式中的指定项3、能用二项式定理证明组合恒等式及解决某些关于数的整除问题。
重、难点：二项式定理和性质的应用，求展开式中的指定项。
考情分析：二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活但比较基础，高考对二项式定理的考查，多为选择题、填空题，注意二项式定理在近似计算中的应用。
考查的内容以二项式展开式及通项公式运用为主，要注意展开式的通向公式正、反两个方面的应用：（1）直接运用通项公式求特定项或特定项的系数或与系数有关的问题；（2）需用转化思想化归为二项式问题来处理的问题。
⒈二项展开式(a+b) n = 。
⒉二项展开式的通项：T r+1= . T r+1表示第r+1项⒊二项式系数为0n C ，1n C ，2n C ，…，r n C ，…，n n C .其性质有：⑴m n n m n C C -=；⑵r n r n C r r n C 11+-=+； ⑶0n C +1n C +2n C +……+n n C =2 n ；（4） +++=+++531420n n n n n n C C C C C C = 。
（5）当n 是偶数时， 的二项式系数最大；当n 是奇数时， 的二项式系数相等且最大。
⒋在运用二项式定理解题时，要注意下列问题：⑴展开式的通项是第r+1项，不是第r 项；⑵要区分展开式中某一项．与项的系数．．，区分某一项的系数．．．．．．与二项式系数．．．．．； ⑶注意(a −b) n 展开式中各项的符号；⑷二项式定理对任何实数a 、b 都成立，应注意赋值法的应用.题型一、求二项展开式中的指定项和相关系数的问题（1）18)31(x x -的展开式中含15x 的项的系数为 。
（2）)()24(6R x x x ∈--的展开式中的常数项为 。
（3）设=+++++=-11102121221021,)1(a a x a x a x a a x 则 。
高三数学一轮复习课时作业4：§10.3 二项式定理
§10.3 二项式定理A 组 专项基础训练(时间：45分钟)1．(2014·四川)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( )A ．30B ．20C ．15D ．10答案 C解析 因为(1＋x )6的展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 6x k ，x (1＋x )6的展开式中含x 3的项为C 26x 3＝15x 3，所以系数为15.2．(2014·湖南)(12x －2y )5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．20答案 A解析 (12x －2y )5展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5(12x )5－k ·(－2y )k ＝C k 5·(12)5－k ·(－2)k ·x 5－k ·y k . 当k ＝3时，C 35(12)2·(－2)3＝－20. 3．(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( )A ．－20B ．－15C ．15D ．20答案 C解析 设展开式中的常数项是第k ＋1项，则T k ＋1＝C k 6·(4x )6－k ·(－2－x )k ＝C k 6·(－1)k ·212x －2kx ·2－kx ＝C k 6·(－1)k ·212x －3kx ，∵12x －3kx ＝0恒成立．∴k ＝4， ∴T 5＝C 46·(－1)4＝15. 4．若在(x ＋1)4(ax －1)的展开式中，x 4的系数为15，则a 的值为( )A ．－4 B.52 C ．4 D.72答案 C解析 ∵(x ＋1)4(ax －1)＝(x 4＋4x 3＋6x 2＋4x ＋1)(ax －1)，∴x 4的系数为4a －1＝15，∴a ＝4.5．若(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2·(1－x )2＋…＋a n (1－x )n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n 等于( )A.34(3n －1) B.34(3n －2) C.32(3n －2) D.32(3n －1) 答案 D解析 在展开式中，令x ＝2得3＋32＋33＋…＋3n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ，即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ＝3(1－3n )1－3＝32(3n －1)． 6．若C 3n ＋123＝C n ＋623(n ∈N *)且(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝________.答案 256解析 ∵3n ＋1＋n ＋6＝23，∴n ＝4，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝(3＋1)4＝256.7．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.答案 10解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T k ＋1＝C k 5(1＋x )5－k ·(－1)k ， T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.8．(2013·课标全国Ⅰ改编)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝________.答案 6解析 (x ＋y )2m 展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ，∴a ＝C m 2m .同理，b ＝C m ＋12m ＋1.∵13a ＝7b ，∴13·C m 2m ＝7·C m ＋12m ＋1.∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！(m ＋1)！m ！.∴m ＝6. 9．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.①令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.②(1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094. (3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093. (4)方法一 ∵(1－2x )7展开式中，a 0、a 2、a 4、a 6大于零，而a 1、a 3、a 5、a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187. 方法二 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|，即(1＋2x )7展开式中各项的系数和，令x ＝1，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187.10．已知⎝⎛⎭⎫12＋2x n ， (1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解 (1)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0.∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.∴T 4的系数为C 37⎝⎛⎭⎫12423＝352， T 5的系数为C 47⎝⎛⎭⎫12324＝70， 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.∴T 8的系数为C 714⎝⎛⎭⎫12727＝3 432. (2)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0.∴n ＝12或n ＝－13(舍去)．设第k ＋1项的系数最大，∵⎝⎛⎭⎫12＋2x 12＝⎝⎛⎭⎫1212(1＋4x )12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C k 124k ≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1. ∴9.4≤k ≤10.4，∴k ＝10. ∴展开式中系数最大的项为第11项，且T 11＝C 1012·⎝⎛⎭⎫122·210·x 10＝16 896x 10. B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11．若(x ＋a )2(1x－1)5的展开式中常数项为－1，则a 的值为( ) A ．1B ．9C ．－1或－9D ．1或9答案 D解析 由于(x ＋a )2＝x 2＋2ax ＋a 2，而(1x－1)5的展开式通项为T k ＋1＝(－1)k C k 5·x k －5，其中k ＝0,1,2，…，5.于是(1x－1)5的展开式中x －2的系数为(－1)3C 35＝－10，x －1项的系数为(－1)4C 45＝5，常数项为－1，因此(x ＋a )2(1x－1)5的展开式中常数项为1×(－10)＋2a ×5＋a 2×(－1)＝－a 2＋10a －10，依题意－a 2＋10a －10＝－1，解得a 2－10a ＋9＝0，即a ＝1或a ＝9.12．(2014·浙江)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)等于( )A ．45B ．60C ．120D ．210答案 C解析 因为f (m ，n )＝C m 6C n 4，所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.13．从(4x ＋1x)20的展开式中任取一项，则取到有理项的概率为( ) A.521 B.27 C.310 D.37答案 B解析 (4x ＋1x)20的展开式的通项公式为 T k ＋1＝C k 20(4x )20－k (1x )k ＝C k 20x 354k －，其中k ＝0,1,2，…，20. 而当k ＝0,4,8,12,16,20时，5－34k 为整数，对应的项为有理项， 所以从(4x ＋1x)20的展开式中任取一项， 则取到有理项的概率为P ＝621＝27. 14．在二项式(x －1x)n 的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数是________．答案 －56解析 ∵在二项式(x －1x)n 的展开式中恰好第5项的二项式系数最大， ∴n ＝8，展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 8·x 8－k ·(－1x)k ＝C k 8·(－1)k ·x 8－2k ， 令8－2k ＝2，则k ＝3，∴展开式中含x 2项的系数是－C 38＝－56.15．若(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2的值为________．答案 1解析 设f (x )＝(2－x )10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－…－a 9＋a 10)＝f (1)f (－1)＝(2－1)10(2＋1)10＝1.16．若(x ＋124x)n 展开式中前三项的系数成等差数列，求： (1)展开式中所有x 的有理项；(2)展开式中系数最大的项．解 易求得展开式前三项的系数为1，12C 1n ，14C 2n. 据题意得2×12C 1n ＝1＋14C 2n ⇒n ＝8. (1)设展开式中的有理项为T k ＋1，由T k ＋1＝C k 8(x )8－k (124x )k ＝(12)k C k 8x 1634k -，∴k 为4的倍数，又0≤k ≤8，∴k ＝0,4,8.故有理项为T 1＝(12)0C 08x 16304-⨯＝x 4， T 5＝(12)4C 48x 16344-⨯＝358x ， T 9＝(12)8C 88x 16384-⨯＝1256x 2. (2)设展开式中T k ＋1项的系数最大，则：(12)k C k 8≥(12)k ＋1C k ＋18且(12)k C k 8≥(12)k －1C k －18⇒k ＝2或k ＝3.故展开式中系数最大的项为T 3＝(12)2C 28x 16324-⨯＝7x 52， T 4＝(12)3C 38x 16334-⨯＝7x 74.。
高考数学第一轮复习强化训练 10.3《二项式定理》新人教版选修23
【考纲要求】1、能用计数原理证明二项式定理.2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 【基础知识】1、二项式定理：nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(二项式的展开式有1n +项，而不是n 项。
2、二项式通项公式：r r n r n r b a C T -+=1 （0,1,2,,r n =⋅⋅⋅） （1）它表示的是二项式的展开式的第1r +项，而不是第r 项（2）其中rn C 叫二项式展开式第1r +项的二项式系数，而二项式展开式第1r +项的系数是字母幂前的常数。
（3）注意0,1,2,,r n =⋅⋅⋅3、二项式展开式的二项式系数的性质（1）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。
即m nC =m n n C - （2）增减性和最大值：在二项式的展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大。
（3）所有二项式系数的和等于2n，即n nn n n n n n n n C C C C C C 212210=++++++--奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即15314202-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C4.二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质： 对于2012()n n f x a a x a x a x =++++0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=，0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-5、证明组合恒等式常用赋值法。
【例题精讲】例1 若,,......)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=-求（10a a +）+（20a a +）+……+（20040a a +）解：对于式子：,,......)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=- 令x=0，便得到：0a =1令x=1，得到2004210......a a a a ++++=1又原式：（10a a +）+（20a a +）+……+（20040a a +）=)......(2003)......(2004200421002004210a a a a a a a a a +++++=++++ ∴原式：（10a a +）+（20a a +）+……+（20040a a +）=2004 例2. 已知二项式nxx )2(2-，（n ∈N *）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的 比是10：1，（1）求展开式中各项的系数和（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项 解：（1）∵第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，∴110)2()2(2244=-⋅-⋅CC nn，解得n=8 令x=1得到展开式中各项的系数和为(1-2)8=1(2) 展开式中第r 项, 第r+1项,第r+2项的系数绝对值分别为r n r C--⋅218,r r C 28⋅,1182++⋅r r C ,若第r+1项的系数绝对值最大,则必须满足：r n r C --⋅218≤r r C 28⋅ 并且1182++⋅r r C ≤r rC 28⋅，解得5≤r ≤6；所以系数最大的项为T 7=1792111x ⋅；二项式系数最大的项为T 5=112061x⋅10.3二项式定理强化训练 【基础精练】1．在二项式(x 2－1x)5的展开式中，含x 4的项的系数是 ( )A ．－10B ．10C ．－5D ．52．(2009·北京高考)若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝ ( )A ．45B ．55C ．70D ．80 3．在(1x ＋ 51x3)n的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，则中间项系数是( )A ．330B ．462C ．682D ．7924．如果⎝⎛⎭⎪⎫3x 2－2x3n的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为 ( )A ．10B ．6C ．5D ．35．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －y 25的展开式中，系数大于－1的项共有 ( )A ．3项B ．4项C ．5项D ．6项 6．二项式41(1)n x +-的展开式中，系数最大的项是 ( )A ．第2n ＋1项B ．第2n ＋2项C ．第2n 项D ．第2n ＋1项和第2n ＋2项7．若(x 2＋1x3)n 展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________．8．（ x ＋2x2)5的展开式中x 2的系数是________；其展开式中各项系数之和为________．(用数字作答) 9．若⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －229的展开式的第7项为214，则x ＝________. 10．已知(x －124x)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有有理项．11．设(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，求：(1)a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4；(2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|； (3)a 1＋a 3＋a 5；(4)(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3＋a 5)2.【拓展提高】1．在(3x －2y )20的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项；(3)系数最大的项．【基础精练参考答案】1.B 【解析】：T k ＋1＝C k 5x 2(5－k )(－x －1)k ＝(－1)k C k 5x 10－3k(k ＝0,1，…，5)，由10－3k ＝4得k ＝2.含x 4的项为T 3，其系数为C 25＝10.2.C 【解析】：由二项式定理得：(1＋2)5＝1＋C 152＋C 25(2)2＋C 35(2)3＋C 45(2)4＋C 55·(2)5＝1＋52＋20＋202＋20 ＋42＝41＋292，∴a ＝41，b ＝29，a ＋b ＝70.3.B 【解析】：∵二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等．由题意得，2n －1＝1 024，∴n ＝11，∴展开式共有12项，中间项为第六项、第七项，系数为C 511＝C 611＝462. 4.C 【解析】：∵T k ＋1＝C kn (3x 2)n －k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3k＝(－1)k·C k n 3n －k·2k ·x2n －5k，∴由题意知2n －5k ＝0，即n ＝5k 2，∵n ∈N *， k ∈N， ∴n 的最小值为5.5.B 【解析】：⎝⎛⎭⎪⎫2x －y 25的展开式共有6项，其中3项(奇数项)的系数为正，大于－1；第六项的系数为C 5520⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＞－1，故系数大于－1的项共有4项． 6.A 【解析】：由二项展开式的通项公式T k ＋1＝41k n C + (－x )k＝(－1)k41kn C +x k，可知系数为(－1)k41k n C +，与二项式系数只有符号之差，故先找中间项为第2n ＋1项和第2n＋2项，又由第2n ＋1项系数为(－1)2n41k n C +＝41k n C +，第2n ＋2项系数为(－1)2n ＋12141n n C ++＝－2141n n C ++＜0，故系数最大项为第2n ＋1项．7.10【解析】：展开式中各项系数之和为S ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ＝32，∴n ＝5.T k ＋1＝5kC ()52kx － (1x3)k ＝5k C 1023k k x －－＝5kC 105k x －，∴展开式中的常数项为T 3＝C 25＝10. 8. 10 253【解析】：∵T k ＋1＝C k 5x5－k·(2x2)k ＝C k 5x 5－3k ·2k，由5－3k ＝2，∴k ＝1，∴x 2的系数为10. 令x ＝1得系数和为35＝243.9. －13【解析】：由T 7＝C 6923x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－226＝214， ∴x ＝－13.10.【解析】依题意，前三项系数的绝对值是1，C 1n (12)，C 2n (12)2，且2C 1n ·12＝1＋C 2n (12)2，即n 2－9n ＋8＝0，∴n ＝8(n ＝1舍去)， ∴展开式的第k ＋1项为C k8(x )8－k(－124x)k＝(－12)k C k 8·x 8－k 2·x －k 4＝(－1)k·C k82k ·x 16－3k 4.(1)证明：若第k ＋1项为常数项， 当且仅当16－3k 4＝0，即3k ＝16，∵k ∈Z，∴这不可能，∴展开式中没有常数项． (2)若第k ＋1项为有理项，当且仅当16－3k4为整数，∵0≤k ≤8，k ∈Z，∴k ＝0,4,8， 即展开式中的有理项共有三项，它们是：T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x －2. 11.【解析】设f (x )＝(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5， 则f (1)＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1，f (－1)＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝(－3)5＝－243.(1)∵a 5＝25＝32，∴a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝f (1)－32＝－31. (2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5| ＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5 ＝－f (－1)＝243.(3)∵f (1)－f (－1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)， ∴a 1＋a 3＋a 5＝2442＝122.(4)(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3＋a 5)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5) ＝f (1)×f (－1)＝－243. 【拓展提高参考答案】(3)由于系数为正的项为奇数项，故可设第2k －1项系数最大，于是2222222242424202022222222202220203232,3232k k k k k k k k k k k kC C ----------⎧⎪⎨⎪⎩≥C ≥C 化简得221014310070.10163924k k k k ⎧-⎪⎨+-⎪⎩≤≥0又k 为不超过11的正整数，可得k ＝5，即第2×5－1＝9项系数最大，T 9＝C 820·312·28·x 12·y 8.。
1高考数学新高考一轮复习教师用书：第十章第二讲 二项式定理 含答案
第二讲二项式定理)(1+x)6展开式中x2的系数为() 1.[2017全国卷Ⅰ](1+1x2A.15B.20C.30D.352.[2019广东湛江一模](2x-3y)n(n∈N*)的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数,则(3x-2y)n的展开式的二项式系数之和等于() A.16 B.32 C.64 D.128−x)6的展开式的结论正确的是() 3.[多选题]下列关于多项式(1+2xA.各项系数之和为1B.各项系数的绝对值之和为212C.存在常数项D.x3项的系数为404.[2019安徽十校高三摸底考试](x - y - 2z)6的展开式中含x2y3z的项的系数为.5.[2019天津高考](2x - 1)8的展开式中的常数项为.8x36.[2017 山东高考]已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=.7.[2017 浙江高考]已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=,a5=.考法1 求二项展开式中的特定项或特定项的系数)5的展开式中x4的系数为1(1)[2018全国卷Ⅲ](x2+2xA.10B.20C.40D.80(2)[2019全国卷Ⅲ](1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为A.12B.16C.20D.24(3)[2019太原二模](x2+x+y)4的展开式中x3y2的系数是.(1)利用(x2+2)5的展开式的通项公式求解;x(2)先分别求出(1+x)4和2x2(1+x)4的展开式中x3的系数,再求和即可;(3)把x 2+x +y 看成x 2+x 与y 的和,利用二项展开式的通项公式求解,或把(x 2+x +y )4看成4个因式x 2+x +y 的乘积,利用组合数公式求解.(1)T r +1=C 5r (x 2)5 - r (2x )r =C 5r 2r x 10 - 3r,由10 - 3r =4,得r =2,所以x 4的系数为C 52×22=40,故选C .(2)因为(1+2x 2)(1+x )4=(1+x )4+2x 2·(1+x )4, ..................................................................... (注意各项的分配)其中(1+x )4的展开式中x 3的系数为C 43=4,2x 2·(1+x )4的展开式中x 3的系数为2C 41=8,所以(1+2x 2)(1+x )4的展开式中x 3的系数为4+8=12,故选A .(3)解法一 (x 2+x +y)4=[(x 2+x)+y]4,...................................................... (把“三项”当“两项”看)其展开式的第r +1项的通项公式为T r +1=C 4r (x 2+x)4-r y r , ..................................... (利用通项公式求解)因为要求x 3y 2的系数,所以r =2,即T 3=C 42(x 2+x)4-2y 2=6(x 2+x )2y 2.因为(x 2+x)2的展开式中x 3的系数为2, 所以x 3y 2的系数是6×2=12.解法二 (x 2+x +y )4 表示4个因式x 2+x +y 的乘积,在这4个因式中,有2个因式选y ,其余的2个因式中有一个选x ,剩下的一个选x 2 ,即可得到含x 3y 2 的项, ............................................................................................................... (利用组合数公式求解)故x 3y 2的系数是C 42·C 21·C 11=12.1.(1)在(1 - √x 3)7+(√x +a√x)6的展开式中,若x 2的系数为19,则a = .(2)[2019浙江高考]在二项式(√2+x )9的展开式中,常数项是 ,系数为有理数的项的个数是 .考法2 二项式系数的性质及应用命题角度1 二项展开式中的系数和问题2(1)已知(1 - 2x )n (n ∈N *)的展开式中的第3项与第8项的二项式系数相等,则(1 - 2x )n 的展开式中所有项的系数和为.(2)若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+…+a8)2- (a1+a3+…+a9)2=39,则实数m 的值为.(3)[2015 新课标全国Ⅱ](a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=.(1)利用展开式中的第3项与第8项的二项式系数相等,建立关于n的方程,解方程,求出n的值,再令x=1,即可得展开式中所有项的系数和.(2)给x赋值0,可得(2+m)9=a0+a1+a2+…+a9,再给x赋值- 2,可得m9=a0 - a1+a2 - a3+… - a9,再代入条件,列出方程求解.(3)展开后根据已知条件列方程求解或运用分配律结合通项求解或利用赋值法巧妙求解.(1)因为(1 - 2x)n(n∈N*)的展开式中的第3项与第8项的二项式系数相等,所以C n2=C n7,解得n=9.令x=1,得(1 - 2x)9=(1 - 2)9= - 1,.............................................................................. (对(1 - 2x)n中的x赋值)所以(1 - 2x)n的展开式中所有项的系数和为- 1.(2)令x=0,则(2+m)9=a0+a1+a2+…+a9,令x= - 2,则m9=a0 - a1+a2 - a3+… - a9,又(a0+a2+…+a8)2 - (a1+a3+…+a9)2=(a0+a1+a2+…+a9)(a0 - a1+a2 - a3+…+a8 - a9)=39,所以(2+m)9·m9=39,所以m(2+m)=3,解得m= - 3或m=1,故m的值为- 3或1.(3)解法一直接将(a+x)(1+x)4展开得x5+(a+4)x4+(6+4a)x3+(4+6a)x2+(1+4a)x+a,由题意得1+(6+4a)+(1+4a)=32,解得a=3.解法二(1+x)4的展开式的通项为T r+1=C4r x r,由题意可知,a(C41+C43)+C40+C42+C44=32,解得a=3.解法三 设(a +x )(1+x )4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5,则a 1+a 3+a 5=32. 令x =1,得(a +1)×24=a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5 ①. 令x = - 1,得0=a 0 - a 1+a 2 - a 3+a 4 - a 5 ②.由① - ②,得16(a +1)=2(a 1+a 3+a 5)=2×32,所以a =3.命题角度2 与二项展开式中的系数有关的最值问题3已知(√x 3+x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x - 1)n 的展开式的二项式系数和大992,则在(2x - 1x )2n 的展开式中,二项式系数最大的项为 ,系数的绝对值最大的项为 .先根据两个二项式系数和的关系求出n ,由n 值来确定(2x - 1x )2n 中二项式系数最大的项.要确定其展开式中系数绝对值最大的项,可列不等式求解.由题意知,22n - 2n =992,即(2n - 32)(2n +31)=0, 故2n =32,解得n =5.由二项式系数的性质知,(2x - 1x )10的展开式中第6项的二项式系数最大,故二项式系数最大的项为T 6=C 105(2x )5( - 1x )5= - 8 064.设第k +1项的系数的绝对值最大,则T k +1=C 10k ·(2x )10 - k ·( - 1x)k =( - 1)k C 10k ·210 - k ·x 10 - 2k ,令{C 10k ·210-k ≥C 10k -1·210-k+1,C 10k ·210-k ≥C 10k+1·210-k -1,得{C 10k ≥2C 10k -1,2C 10k ≥C 10k+1,即{11-k ≥2k,2(k +1)≥10-k,解得83≤k ≤113. 因为k ∈Z,所以k =3.故系数的绝对值最大的项是第4项,T 4= - C 103·27·x 4= - 15 360x 4.故二项式系数最大的项为 - 8 064,系数的绝对值最大的项为 - 15 360x 4.2.(1)[2020山西大同高三调研]若(√x −2x 2)n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是 ( )A.210B.180C.160D.175(2)已知(2x - 1x )n 的展开式中的二项式系数和为32.若(x +ax )(2x - 1x )n 的展开式中的各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为.1.C(1+x)6展开式的通项T r+1=C6r x r,所以(1+1x2)(1+x)6的展开式中x2的系数为1×C62+1×C64=30,故选C.2. A∵(2x- 3y)n(n∈N*)的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数,∴C n n- 1·21·(-3)n- 1=- C n n- 2·22·(- 3)n- 2,解得n=4,24=16,则(3x- 2y)4的展开式的二项式系数之和等于16,故选A.3.BCD由题意可得,(1+2x- x)6的展开式中,各项系数之和为26,各项系数的绝对值之和为212,(1+2x - x)6=[1+(2x- x)]6,该展开式第一项即为常数项,故多项式的展开式中一定存在常数项,由题中的多项式可知,若出现x3项,可能的组合只有(2x )0×(- x)3和(2x)1×(- x)4,则可得x3项的系数为C63×13×C30×20×(- 1)3+C65×11×C51×21×(- 1)4=40.故选BCD.4.120 (x - y - 2z )6的展开式中含x 2y 3z 的项为C 64x 2·C 41(- y )3·(- 2z )=120x 2y 3z ,故展开式中含x 2y 3z的项的系数为120.5.28 二项展开式的通项T r +1=C 8r (2x )8- r (- 18x 3)r =(- 18)r ·28- r ·C 8r x 8- 4r ,令8- 4r =0,可得r =2,故常数项为(- 18)2×26×C 82=28.6.4 由题意可知C n 232=54,所以C n 2=6,解得n =4.7.16 4 由题意知a 4为含x 的项的系数,根据二项式定理得a 4=C 32×12×C 22×22+C 33×13×C 21×2=16,又a 5是常数项,所以a 5=C 33×13×C 22×22=4.1.(1)2 (1- √x 3)7+(√x √)6的展开式中x 2的系数为C 76(- 1)6+C 61(a )1=C 76+a C 61,则a C 61+C 76=19,解得a =2.(2)16√2 5 (√2+x)9的通项公式为T r +1=C 9r(√2)9- r x r (r =0,1,2,…,9),可得常数项为T 1=C 90(√2)9=16√2,当系数为有理数时,r =1,3,5,7,9,有T 2, T 4, T 6, T 8, T 10,共5个项.2.(1)B 解法一 因为(√x −2x 2)n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以n =10,则(√x −2x 2)10的展开式的通项公式为T k +1=C 10k (√x )10- k (- 2x 2)k =(- 2)k C 10k x10- k 2- 2k=(- 2)k C 10k x 5- 52k,令5-52k =0,解得k =2,所以常数项为(- 2)2C 102=180.解法二 因为(√x −2x 2)n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以n =10,则(√x −2x 2)10可以看成10个多项式√x −2x2相乘,要想得到常数项,则需在其中2个多项式中取- 2x2,余下的8个多项式中都取√x ,则常数项为C 102(- 2x 2)2(√x )8=180.(2)40 因为(2x - 1x)n 的展开式中的二项式系数和为32,所以2n =32,所以n =5.令x =1,得(x +ax)(2x -1x)5的展开式中的各项系数的和为(1+a )(2- 1)5=2,即a =1,所以(x +a x )(2x - 1x )5的展开式中的常数项为C 53·(- 1)3·25- 3+C 52·(- 1)2·25- 2=40.。
纪金榜】2019届高考理科数学一轮复习课时提升作业：第10章 10.8《二项分布、正态分布及其应用》(含答案)
课时提升作业七十一二项分布、正态分布及其应用(20分钟 35分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2019·烟台模拟)已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(2≤X≤4)=0.6826,则P(X>4)= ( )A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585【解析】选B.因为X～N(3,1),所以正态分布曲线关于μ=3对称,所以P(X≥3)=0.5,又P(2≤X ≤4)=0.6826,所以P(X>4)=0.5-P(2≤X≤4)=0.5-×0.6826=0.1587.【加固训练】(2019·南昌模拟)在正态分布N中,数值落在(-∞,-1)∪(1,+∞)内的概率为 ( )A.0.097B.0.046C.0.03D.0.0026【解析】选 D.因为μ=0,σ=,所以P(X<-1或X>1)=1-P(-1≤X≤1)=1-P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)=1-0.9974=0.0026.2.一个电路如图所示,A,B,C,D,E,F为6个开关,其闭合的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率是 ( )A. B. C. D.【解析】选B.设A与B中至少有一个不闭合的事件为T,E与F中至少有一个不闭合的事件为R,则P(T)=P(R)=1-×=,所以灯亮的概率P=1-P(T)P(R)P()P()=.3.已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8,则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 ( )A.0.85B.0.819 2C.0.8D.0.75【解析】选B.P=(0.8)3·0.2+(0.8)4=0. 8192.4.1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱中,然后从2号箱中随机取出一球,则两次都取到红球的概率是 ( )A. B. C. D.【解题提示】此问题为从1号箱中取到红球的条件下,从2号箱中也取到红球的条件概率问题. 【解析】选 C.设从1号箱中取到红球为事件A,从2号箱中取到红球为事件B,由题意,P(A)==,P(B|A)==,所以P(AB)=P(B|A)P(A)=×=,所以两次都取到红球的概率为.5.(2019·临沂模拟)端午节那天,小明的妈妈为小明煮了5个粽子,其中2个腊肉馅3个豆沙馅,小明随机取出两个,记事件A为“取到的两个为同一种馅”,事件B为“取到的两个都是豆沙馅”,则P(B|A)= ( )A. B. C. D.【解析】选A.由题意,P(A)==,P(AB)==,所以P(B|A)==.【加固训练】1.(2019·平顶山模拟)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下,第2次抽到的是卡口灯泡的概率为 ( )A. B. C. D.【解析】选D.设事件A为“第1次取到的是螺口灯泡”,事件B为“第2次取到的是卡口灯泡”,则P(A)=,P(AB)=×=.则所求概率为P(B|A)== =.2.设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是 ( )A. B. C. D.【解析】选D.由题意,P()·P()=,P()·P(B)=P(A)·P().设P(A)=x,P(B)=y,则即所以x2-2x+1=,所以x-1=-或x-1=(舍去),所以x=.3.(2019·洛阳模拟)袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球,从A中摸出一个红球的概率是,从B中摸出一个红球的概率为p.若A,B两个袋子中的球数之比为1∶2,将A,B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,则p的值为( ) A. B. C. D.【解题提示】根据A,B两个袋子中的球数之比为1∶2,将A,B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,得到两个方程,即可求得概率.【解析】选B.设A中有x个球,B中有y个球,则因为A,B两个袋子中的球数之比为1∶2,将A,B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,所以=且=.解得p=.【误区警示】本题考查概率的计算,考查学生的理解能力,很容易因得不出方程组而无法求解.二、填空题(每小题5分,共10分)6.(2019·青岛模拟)某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠,若该电梯在底层有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率为,用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数,则P(ξ=4)= .【解析】依题意,ξ～B,故P(ξ=4)=×=.答案：7.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品是相互独立的.则进入该商场的1位顾客仅购买甲、乙两种商品中的一种的概率是 .【解析】设“进入该商场的每一位顾客购买甲种商品”为事件A,“购买乙种商品”为事件B,则P(A)=0.5,P(B)=0.6.设“进入该商场的1位顾客仅购买甲、乙两种商品中的一种”为事件C,则P(C)=P(A∪B)= P(A)·P()+P()·P(B)=0.5×(1-0.6)+(1-0.5)×0.6=0.5,所以进入该商场的1位顾客仅购买甲、乙两种商品中的一种的概率为0.5.答案：0.5【加固训练】甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别用A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是 (写出所有正确结论的编号).①P(B)=;②P(B|A1)=;③事件B与事件A1相互独立;④A1,A2,A3是两两互斥的事件;⑤P(B)的值不能确定,因为它与A1,A2,A3中究竟哪一个发生有关.【解题提示】把事件B的概率转化为P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B),根据事件互斥、事件相互独立及条件概率的概念进行辨析.【解析】显然A1,A2,A3是两两互斥的事件,有P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=,而P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×+×+×=,且P(A1B)=,P(A1)P(B)=×=,所以P(A1B)≠P(A1)P(B),所以判定②④正确,而①③⑤错误.答案：②④(20分钟 35分)1.(5分)(2019·济南模拟)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量,记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0,则p0= .【解析】由X～N(800,502),知μ=800,σ=50,又P(700<X≤900)=0.9544,则P(800<X≤900)=×0.9544=0.4772,所以P(X≤900)=P(X≤800)+P(800<X≤900)=0.5+0.4772=0.9772,故p0=P(X≤900)=0.9772.答案：0.9772【加固训练】1.抛掷红、蓝两颗骰子,设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”,事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”.当已知蓝色骰子的点数为3或6时,则两颗骰子的点数之和大于8的概率为 .【解析】P(A)==.因为两颗骰子的点数之和共有36个等可能的结果,点数之和大于8的结果共有10个.所以P(B)==.当蓝色骰子的点数为3或6时,两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个,故P(AB)=.所以P(B|A)===.答案：2.(2019·厦门模拟)一盒中放有大小相同的10个小球,其中8个黑球、2个红球,现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意抽取2个小球,已知甲取到了2个黑球,则乙也取到2个黑球的概率是 .【解析】记事件“甲取到2个黑球”为A,“乙取到2个黑球”为B,则有P(B|A)===,即所求事件的概率是.答案：2.(5分)在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的最小值为 .【解析】由题设知p(1-p)3≤p2(1-p)2,解得p≥0.4,因为0≤p≤1,所以0.4≤p≤1,所以概率p的最小值为0.4.答案：0.4【方法技巧】n次独立重复试验有k次发生的概率的求法在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=p k(1-p)n-k, k=0,1,2,…,n.在利用该公式时一定要审清公式中的n,k各是多少,解题时注意弄清题意,代入公式时不要弄错数字.【加固训练】在高三的一个班中,有的学生数学成绩优秀,若从班中随机找出5名学生,那么数学成绩优秀的学生数ξ～B(5,),则P(ξ=k)取最大值的k值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选B.依题意,≥·且≥,解得≤k≤,所以k=1.3.(12分)(2019·临沂模拟)乒乓球台面被网分成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次,落点在C上记3分,在D上记1分,其他情况记0分.对落点在A上的来球,小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为;对落点在B上的来球,小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响.求：(1)小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率.(2)两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列.【解题提示】(1)本题考查了相互独立事件的概率.(2)本题考查的是随机变量的分布列及数学期望,先列出ξ的所有值,并求出每个ξ值所对应的概率,列出分布列.【解析】(1)设恰有一次的落点在乙上这一事件为E,P(E)=×+×=.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3,4,6,P(ξ=0)=×=,P(ξ=1)=×+×=,P(ξ=2)=×=,P(ξ=3)=×+×=,P(ξ=4)=×+×=,P(ξ=6)=×=,所以ξ的分布列为4.(13分)在“出彩中国人”的一期比赛中,有6位歌手(1～6)登台演出,由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星,各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人,其中媒体甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,另在2号至6号中随机地选2名;媒体乙不欣赏2号歌手,他必不选2号;媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至6号歌手中随机地选出3名.(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率.(2)X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列.【解析】设A表示事件“媒体甲选中3号歌手”,事件B表示“媒体乙选中3号歌手”,事件C表示“媒体丙选中3号歌手”,则(1)P(A)==,P(B)==,所以P(A)=P(A)P()=×=.(2)P(C)==,因为X可能的取值为0,1,2,3.P(X=0)=P()==××=,P(X=1)=P(A)+P(B)+P(C)=×+××+××=++=,P(X=2)=P(AB)+P(AC)+P(CB)=××+××+××=,P(X=3)=P(ABC)=××=.所以X的分布列为【加固训练】(2019·南昌模拟)某单位有三辆汽车参加某种事故保险,该单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金,对在一年内发生此种事故的每辆汽车,该单位可获9000元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次).设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为,,,且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中：(1)获赔的概率.(2)获赔金额ξ(单位：元)的分布列.【解析】设第k辆车在一年内发生此种事故为事件A k,k=1,2,3,由题意知A1,A2,A3相互独立,且P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,所以P()=,P()=,P()=.(1)该单位一年内获赔的概率为1-P()=1-P()P()P()=1-××=.(2)ξ的所有可能值为0,9000,18000,27000.P(ξ=0)=P()=P()P()P()=××=,P(ξ=9000)=P(A1)+P(A2)+P(A3) =P(A1)P()P()+P()P(A2)P()+P()P()P(A3)=××+××+××==,P(ξ=18000)=P(A1A2)+P(A1A3)+P(A2A3)=P(A1)P(A2)P()+P(A1)P()P(A3)+P()P(A2)P(A3)=××+××+××==, P(ξ=27000)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=××=.综上知,ξ的分布列为。
2019届高考数学一轮第十篇 第3节 二项式定理
第3节二项式定理【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.在（x2-）n的展开式中,常数项为15,则n的值可以为( D )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:因为=(x2)n-r（-）r=(-1)r x2n-3r,所以(-1)r=15且2n-3r=0,所以n可能是6.故选D.2.设（x-）6的展开式中x3的系数为A,二项式系数为B,则等于( A )(A)4 (B)-4 (C)26(D)-26解析:T k+1=x6-k（-）k=(-2)k,令6-=3,即k=2,所以T3=(-2)2x3=60x3,所以x3的系数为A=60,二项式系数为B==15,所以==4.故选A.3.(2017·咸阳市二模)设a=sin xdx,则（a+）6展开式的常数项为( D )(A)-20 (B)20 (C)-160 (D)240解析:a=sin xdx=(-cos x)=-(cos π-cos 0)=2,则(a+)6=（2+）6展开式的通项公式为T r+1=·(2)6-r·（）r=26-r··.令3-r=0得r=2,所以展开式中的常数项为24·=240.故选D.4.已知（x2+）n的展开式的各项系数和为32,则展开式中x4的系数为( D )(A)5 (B)40 (C)20 (D)10解析:令x=1,得2n=32,所以n=5,则(x2)5-r（）r=x10-3r,令10-3r=4,得r=2,所以展开式中x4的系数为=10.故选D.5.若（x-）n的展开式中第2项与第4项的二项式系数相等,则直线y=nx与曲线y=x2围成的封闭区域面积为( C )(A) (B)12 (C) (D)36解析: 由=,T r+1=a n-r b r知n=1+3=4,直线y=nx=4x与抛物线y=x2的交点的横坐标分别是0与4,因此结合图形(图略)可知,所求的封闭区域的面积等于(4x-x2)dx=（2x2-x3）|=.故选C.6.(2017·南平市一模)(x+)(2x-)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为( D )(A)-40 (B)-20 (C)20 (D)40解析:令x=1则有1+a=2,得a=1,故二项式为(x+)（2x-）5,其常数项为-22×+23=40.故选D.7.(2017·吉林延边模拟)若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则= .解析:通项公式T r+1=(-2x)r=(-2)r x r,令r=3,则a3=(-2)3=-80;令r=2,则a2=(-2)2=40,所以==-2.答案:-28.若（+）n的展开式的第7项与倒数第7项的比是1∶6,则n= .解析:由题知,T7=()n-6（）6,T n+1-6=T n-5=·()6（）n-6.由=,化简得=6-1,所以-4=-1,所以n=9.答案:9能力提升(时间:15分钟)9. “n=5”是“（2+）n(n∈N*)的展开式中含有常数项”的( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:因为（2+）n(n∈N*)展开式的通项T r+1=2n-r,（2+）n的展开式中含有常数项时满足-=0,当n=5时,=0,解得r=3,此时含有常数项;反之,当n=10时,r=6,也有常数项,但是不满足n=5.故“n=5”是“（2+）n(n∈N*)的展开式中含有常数项”的充分不必要条件.故选A.10.(2017·福建龙岩市一模)(x-1)(x+2)6的展开式中x4的系数为( A )(A)100 (B)15 (C)-35 (D)-220解析:由于(x+2)6的展开式的通项公式为T r+1=·x6-r·2r,令6-r=3,r=3,(x+2)6的展开式中x3的系数为8=160;令6-r=4,r=2,可得(x+2)6的展开式中x4的系数为-4,所以(x-1)(x+2)6的展开式中x4的系数为8-4=160-60=100.故选A.11.(2017·陕西渭南市一模)已知f(x)=x+在区间[1,4]上的最小值为n,则二项式（x-）n展开式中x2的系数为.解析:f′(x)=1-=,x∈[1,4].令f′(x)=0,解得x=3.所以x∈[1,3]时,函数f(x)单调递减;x∈(3,4]时,函数f(x)单调递增.所以x=3时,函数f(x)取得最小值6.所以（x-）6的通项公式T r+1=x6-r （-）r=(-1)r x6-2r,令6-2r=2,解得r=2,所以二项式（x-）n展开式中x2的系数为=15. 答案:1512.如果(1+x+x2)(x-a)5(a为实常数)的展开式中所有项的系数和为0,则展开式中含x4项的系数为.解析:因为(1+x+x2)(x-a)5的展开式所有项的系数和为(1+1+12)(1-a)5=0,所以a=1,所以(1+x+x2)(x-a)5=(1+x+x2)(x-1)5=(x3-1)(x-1)4=x3(x-1)4-(x-1)4,其展开式中含x4项的系数为(-1)3-(-1)0=-5.答案:-513.已知（-）n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和;(2)求展开式中含的项.解:由题意知,第五项系数为·(-2)4,第三项的系数为·(-2)2,则有=,化简得n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去).(1)令x=1得各项系数的和为(1-2)8=1.(2)通项公式T r+1=()8-r（-）r=(-2)r·.令-2r=,得r=1,故展开式中含的项为T2=-16.14.(2017·海南三亚模拟)已知f n(x)=(1+x)n.(1)若f2 017(x)=a0+a1x+…+a2 017x2 017,求a1+a3+…+a2 015+a2 017的值;(2)若g(x)=f6(x)+2f7(x)+3f8(x),求g(x)中含x6项的系数.解:(1)因为f n(x)=(1+x)n,所以f2 017(x)=(1+x)2 017,又f2 017(x)=a0+a1x+…+a2 017x2 017,所以f2 017(1)=a0+a1+…+a2 017=22 017, ①f2 017(-1)=a0-a1+…+a2 016-a2 017=0, ②①-②得2(a1+a3+…+a2 015+a2 017)=22 017,所以a1+a3+…+a2 015+a2 017=22 016.(2)因为g(x)=f6(x)+2f7(x)+3f8(x),所以g(x)=(1+x)6+2(1+x)7+3(1+x)8.g(x)中含x6项的系数为+2+3=99.15.(2017·湖北武汉模拟)已知（+2x）n.(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数;(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.解:(1)因为+=2,所以n2-21n+98=0.所以n=7或n=14,当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.所以T4的系数为（）423=,T5的系数为（）324=70,当n=14时,展开式中二项式系数最大的项是T8.所以T8的系数为（）727=3 432.(2)因为++=79,所以n2+n-156=0.所以n=12或n=-13(舍去).设T k+1项的系数最大,因为（+2x）12=（）12(1+4x)12,所以所以9.4≤k≤10.4, 所以k=10.所以展开式中系数最大的项为T11,T11=·（）2·210·x10=16 896x10.。
高三数学一轮复习课时作业10：§10.3 二项式定理
§10.3 二项式定理1．在x 2(1＋x )6的展开式中，含x 4项的系数为( )A ．30B ．20C ．15D ．102．(2015·湖南)已知⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式中含x 32的项的系数为30，则a 等于( ) A. 3 B ．－ 3 C ．6 D ．－63．(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( )A ．－20B ．－15C ．15D ．204．(2015·湖北)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．29B ．210C ．211D ．2125．若在(x ＋1)4(ax －1)的展开式中，x 4的系数为15，则a 的值为( )A ．－4 B.52 C ．4 D.726．若(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a n (1－x )n ，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n 等于( )A.34(3n －1) B.34(3n －2) C.32(3n －2) D.32(3n －1) 7．若(x ＋a )2(1x－1)5的展开式中常数项为－1，则a 的值为( ) A ．1B ．9C ．－1或－9D ．1或98．(2016·北京)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________．(用数字作答)9．(2016·天津)⎝⎛⎭⎫x 2－1x 8的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答) 10．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.11．(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是________．12．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.13.求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除.14.若(x ＋124x )n 展开式中前三项的系数成等差数列，求：(1)展开式中所有x 的有理项；(2)展开式中系数最大的项.答案精析1．C 2.D 3.C 4.A 5.C 6.D 7.D8．60 9.－56 10.10 11.16812．解 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.①令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.②(1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093. (4)方法一 ∵(1－2x )7展开式中，a 0、a 2、a 4、a 6大于零，而a 1、a 3、a 5、a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187. 方法二 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|，即(1＋2x )7展开式中各项的系数和，令x ＝1，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187.13．证明 ∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C n n －1＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n)， 显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除．14．解 (1)易求得展开式前三项的系数为1，12C 1n ，14C 2n . 据题意得2×12C 1n ＝1＋14C 2n ⇒n ＝8. 设展开式中的有理项为T k ＋1，由T k ＋1＝C k 8(x )8－k (124x)k＝(12)k C k 8x 16－3k 4， ∴k 为4的倍数，又0≤k ≤8，∴k ＝0,4,8.故有理项为T 1＝(12)0C 08x 16－3×04＝x 4，T 5＝(12)4C 48x 16－3×44＝358x ，T 9＝(12)8C 88x 16－3×84＝1256x 2.(2)设展开式中T k ＋1项的系数最大，则⎩⎨⎧ (12)k C k 8≥(12)k ＋1C k ＋18，(12)k C k 8≥(12)k －1C k －18⇒k＝2或k ＝3. 故展开式中系数最大的项为T 3＝(12)2C 28x 16－3×24＝7x 52，T 4＝(12)3C 38x 16－3×34＝7x 74.。
【名师一号】2019高考数学(人教版a版)一轮配套题库：10-3二项式定理(理)
第三节 二项式定理(理)时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2018·江西卷)(x 2－2x 3)5展开式中的常数项为( ) A ．80B ．－80C ．40D ．－40 解析 由二项式定理展开式的通项T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r (－2x 3)r ＝C r 5(－2)r x 10－5r ，令10－5r ＝0得r ＝2，故常数项为C 25(－2)2＝40.故选C.答案 C 2．(2018·陕西卷)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1x 6，x<0，－x ，x≥0，则当x>0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15解析 x>0时，f(x)＝－x<0，故f[f(x)]＝f(－x)＝(1x －x)6，其展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(－1)r x r －3，令r －3＝0，得r ＝3时，常数项为T 4＝C 36(－1)3＝－20.故选A.答案 A3．在二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为( ) A ．32B ．－32C ．0D ．1 解析 依题意得所有二项式系数的和为2n ＝32，解得n ＝5.因此，该二项展开式中的各项系数的和等于⎝⎛⎭⎪⎫12－115＝0. 答案 C4．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有( ) A ．3项B ．4项C ．5项D ．6项 解析 T r ＋1＝C r 24(x)24－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r 24x12－5r 6，故当r ＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项． 答案 C5．若(2＋x)10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 10(x ＋1)10，则a 9＝( )A ．9B ．10C ．20D ．5 120 解析 (2＋x)10＝[1＋(1＋x)]10＝1＋C 110(1＋x)＋C 210(1＋x)2＋…＋C 1010(1＋x)10，∴a 9＝C 910＝C 110＝10.答案 B6．(2018·新课标全国卷Ⅰ)设m 为正整数，(x ＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y)2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8 解析 a ＝C m 2m ＝－＋m ！， b ＝C m 2m ＋1＝＋＋m ！. 又13a ＝7b ，∴13(m ＋1)＝7(2m ＋1)，∴m ＝6.答案 B二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2018·安徽卷)若(x ＋a3x)8的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝________. 解析 设展开式第r ＋1项为x 4项，则展开式的通项可得T r ＋1＝C r 8a r x8－43r ；令8－43r ＝4，得r ＝3， ∴C 38a 3＝7，a ＝12. 答案 128．(2018·四川卷)二项式(x ＋y)5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________．(用数字作答) 解析 T r ＋1＝C r 5x5－r y r ，⎩⎪⎨⎪⎧5－r ＝2，r ＝3，∴r ＝3. ∴x 2y 3的系数为C 35＝10. 答案 10 9．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，且a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝126，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1x n 的展开式中的常数项为________． 解析 由题意知，2＋22＋23＋…＋2n ＝126，所以n ＝6.二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 636－r x 6－r 2·(－1)r x －r 2＝(－1)r C r 6·36－r x 6－2r 2. 令6－2r ＝0，得r ＝3.故常数项为－540.答案 －540三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 的展开式中，前三项系数成等差数列． (1)求n ；(2)求第三项的二项式系数及项的系数；(3)求含x 项的系数．解 (1)∵前三项系数1，12C 1n ，14C 2n 成等差数列． ∴2·12C 1n ＝1＋14C 2n ，即n 2－9n ＋8＝0. ∴n ＝8或n ＝1(舍)．(2)由n ＝8知其通项公式T r ＋1＝C r 8·(x)8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1241x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·C r 8·x4－34r(r ＝0,1,2，…，8)， ∴第三项的二项式系数为C 28＝28. 第三项系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 28＝7. (3)令4－34r ＝1，得r ＝4， ∴含x 项的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫124·C 48＝358. 11．已知(a 2＋1)n展开式中各项系数之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的二项式系数最大的项等于54，求a 的值．解 由⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5得， T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 25－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝(165)5－r ·C r 5· 令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0.∴r ＝4.∴常数项T 5＝C 45×165＝16. 又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和等于2n ，由题意得2n ＝16，∴n ＝4.由二项式系数的性质知，(a 2＋1)n 展开式中二项式系数最大的项是中间项T 3，∴C 24a 4＝54.∴a ＝± 3.12．若(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10.(1)求a 2；(2)求a 1＋a 2＋…＋a 10；(3)求(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)2.解 (1)方法1：(x 2－3x ＋2)5＝(x －1)5(x －2)5，(x －1)5展开式的通项公式为C r 5·(－1)r ·x5－r (0≤r≤5)． (x －2)5展开式的通项公式为C s 5·(－2)s ·x 5－s(0≤s≤5)，所以(x 2－3x ＋2)5展开式的通项公式为C r 5·C s 5·(－1)r ＋s ·2s ·x 10－r －s ，令r ＋s ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，s ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，s ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝5，s ＝3. 所以展开式中x 2的系数为 C 35C 5525＋C 45C 4524＋C 55C 3523＝800，即a 2＝800. 方法2：(x 2－3x ＋2)5的本质是5个x 2－3x ＋2相乘，由多项式的乘法法则，产生含x 2的项有两种可能：①5个x 2－3x ＋2中有一个取含x 2的项，其他的取常数项，得到的系数是C 15·24＝80；②5个x 2－3x ＋2中有两个取含x 的项，其他的取常数项，得到的系数是C 25·(－3)2·23＝720. ∴展开式中含x 2的项的系数是80＋720＝800，即a 2＝800.(2)令f(x)＝(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，a 0＝f(0)＝25＝32，a 0＋a 1＋a 2＋…a 10＝f(1)＝0，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝－32.(3)(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－…＋a 10)＝f(1)·f(－1)＝0.。
2019届高考数学一轮总复习 10.3二项式定理练习.doc
2019届高考数学一轮总复习 10.3二项式定理练习一、选择题1.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80 C ．40 D ．－40 解析 由二项式定理展开式的通项T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝C r 5(－2)r x 10－5r ，令10－5r ＝0得r ＝2，故常数项为C 25(－2)2＝40.故选C. 答案 C2．(2014·湖北卷)若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x7的展开式中1x3的系数是84，则实数a ＝( )A ．2 B.54 C ．1D.24解析 二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的通项公式为T r ＋1＝C r7(2x )7－r⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r ＝C r 727－r a r x 7－2r ，令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5，解得a ＝1.答案 C3．(2014·四川卷)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15D ．10解析 含x 3的项是由(1＋x )6展开式中含x 2的项与x 相乘得到，又(1＋x )6展开式中含x 2的项的系数为C 26＝15，故含x 3项的系数是15.答案 C4．(x 2＋2)⎝⎛⎭⎪⎫1x2－15的展开式的常数项是( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3解析 第一个因式取x 2，第二个因式取含1x2的项得：1×C 15(－1)4＝5；第一个因式取2，第二个因式取常数项得：2×(－1)5＝－2，故展开式的常数项是5＋(－2)＝3.答案 D5．若(2＋x )10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 10(x ＋1)10，则a 9＝( )A ．9B ．10C ．20D ．5 120解析 (2＋x )10＝[1＋(1＋x )]10＝1＋C 110(1＋x )＋C 210(1＋x )2＋…＋C 1010(1＋x )10，∴a 9＝C 910＝C 110＝10.答案 B6．(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为( ) A ．－210 B ．210 C ．30D ．－30解析 由题意，(x 2－x ＋1)10＝[x (x －1)＋1]10＝C 010[x (x －1)]0·110＋C 110[x (x －1)]1·19＋C 210[x (x －1)]2·18＋C 310[x (x －1)]3·17＋…＋C 1010[x (x －1)]10·10＝C 010＋C 110x (x －1)＋C 210x 2(x －1)2＋C 310x 3(x －1)3＋…＋C 1010x 10(x －1)10，因为x 3出现在C 210x 2(x －1)2＋C 310x 3(x －1)3＝C 210x 2(x 2－2x ＋1)＋C 310x 3(x 3－3x 2＋3x －1)中，所以x 3前的系数为C 210(－2)＋C 310(－1)＝－90－120＝－210，故选A.答案 A 二、填空题7．(2014·新课标全国卷Ⅱ)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案)解析 设展开式的通项为T r ＋1＝C r10x10－r a r ，令r ＝3，得T 4＝C 310x 7a 3，即C 310a 3＝15，得a ＝12.答案 128．(2015·烟台模拟)求和：3C 1n ＋9C 2n ＋27C 3n ＋…＋3n C n n ＝________(n ∈N *)．解析 3C 1n ＋9C 2n ＋27C 3n ＋…＋3n C n n ＝C 0n ＋3C 1n ＋9C 2n ＋27C 3n ＋…＋3n C n n －1＝(1＋3)n －1＝4n－1.答案 4n－19．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，且a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝126，那么⎝⎛⎭⎪⎫3x －1x n的展开式中的常数项为________．解析 由题意知，令x ＝1，得2＋22＋23＋ (2)＝126，所以n ＝6. 二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 636－rx 6－r 2·(－1)r x －r 2＝(－1)r C r 6·36－r x 6－2r 2.令6－2r ＝0，得r ＝3.故常数项为－540. 答案 －540三、解答题10．已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 的展开式中，前三项系数成等差数列． (1)求n ；(2)求第三项的二项式系数及项的系数； (3)求含x 项的系数．解 (1)∵前三项系数1，12C 1n ，14C 2n 成等差数列．∴2·12C 1n ＝1＋14C 2n ，即n 2－9n ＋8＝0.∴n ＝8或n ＝1(舍)．(2)由n ＝8知其通项公式T r ＋1＝C r 8·(x )8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫1241x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·C r8·x 4－34r (r ＝0,1,2，…，8)，∴第三项的二项式系数为C 28＝28.第三项系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 28＝7.(3)令4－34r ＝1，得r ＝4，∴含x 项的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫124·C 48＝358.11．已知(a 2＋1)n 展开式中各项系数之和等于⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n的展开式的二项式系数最大的项等于54，求a 的值．解 由⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5得，T r ＋1＝C r5⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 25－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1655－r ·C r 5·x20－5r 2. 令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0.∴r ＝4. ∴常数项T 5＝C 45×165＝16.又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和等于2n， 由题意得2n＝16，∴n ＝4.由二项式系数的性质知，(a 2＋1)n展开式中二项式系数最大的项是中间项T 3，∴C 24a 4＝54.∴a ＝± 3.培 优 演 练1．从⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋1x 20的展开式中任取一项，则取到有理项的概率为( )A.521 B.27 C.310D.37解析 ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋1x 20的展开式通项为T k ＋1＝C k 20(4x )20－k (1x)k ＝C k20x 5－34k ， 其中k ＝0,1,2， (20)而当k ＝0,4,8,12,16,20时，5－34k 为整数，对应的项为有理项，所以从⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋1x 20的展开式中任取一项，则取到有理项的概率为P ＝621＝27.答案 B2．(2015·广东广州测试)设a ，b ，m 为整数(m >0)，若a 和b 被m 除的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记a ＝b (mod m )．若a ＝C 020＋C 120·2＋C 220·22＋…＋C 2020·220，且a ＝b (mod10)，则b 的值可以为( )A ．2 011B ．2 012C ．2 013D ．2 014解析 ∵a ＝C 020＋C 120·2＋C 220·22＋…＋C 2020·220＝(1＋2)20＝320＝(32)10＝(10－1)10＝1010－C 110·109＋C 210·108－…－C 910·10＋C 1010＝1010－C 110·109＋C 210·108－…－C 910·10＋1＝10(109－C 110·108＋C 210·107－…－C 910)＋1，因此a 除10的余数为1，即a ＝1(mod10)，因此b 的值可以为2 011，故选A.答案 A3．(2014·安徽卷)设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝⎛⎭⎪⎫1＋x a n的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n.若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.解析 由题意得a 1＝1a ·C 1n ＝na＝3，∴n ＝3a ；a 2＝1a 2C 2n ＝n n －2a2＝4，∴n 2－n ＝8a 2.将n ＝3a 代入n 2－n ＝8a 2得9a 2－3a ＝8a 2，即a 2－3a ＝0，解得a ＝3或a ＝0(舍去)．∴a ＝3.答案 34．已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋15x 35的展开式中的常数项为T ，f (x )是以T 为周期的偶函数，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间[－1，3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围是________．解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋15x 35的通项T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r(5－12x －3)r ＝5－r 2C r 5x 10－5r ，令10－5r ＝0得r ＝2，则常数项为C 25×15＝2，f (x )是以2为周期的偶函数．因为区间[－1,3]是两个周期，所以在区间[－1,3]内函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点可转化为f (x )与r (x )＝kx ＋k 有四个交点．当k ＝0时，两函数图象只有两个交点，不合题意，当k ≠0时，因为函数r (x )的图象恒过点(－1,0)，则若使两函数图象有四个交点，必有0<r (3)≤1，解得0<k ≤14.答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，14。
2019版高考数学理全国一轮复习课时分层作业 六十六 10-3二项式定理 含解析 精品
温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
关闭Word文档返回原板块。
课时分层作业六十六二项式定理一、选择题(每小题5分,共35分)1.化简1+3x+3x2+x3= ( )A.x4B.(x+1)3C.(x+1)4D.(x-1)3【解析】选B.原式=+x+x2+x3=(1+x)3=(x+1)3.2.的展开式中,x2y4的系数是( )A.30B.-30C.60D.-60【解析】选C.T k+1=(-2y)k=(-2)k x6-k y k,由题意,k=4,所以x2y4的系数为(-2)4=60.3.(2016·四川高考)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为( )A.-15x4B.15x4C.-20i x4D.20i x4【解析】选A.二项式(x+i)6展开的通项T r+1=x6-r i r,则其展开式中含x4的项是6-r=4,即r=2,则展开式中含x4的项为x4i2=-15x4.4.(2018·九江模拟)在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是( )A.74B.121C.-74D.-121【解析】选 D.展开式中含x3项的系数为(-1)3++(-1)3+(-1)3 =-121.5.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,且a1+a2+…+a6=63,则实数m的值为( )A.1或3B.-3C.1D.1或-3【解析】选D.令x=0,得a0=(1+0)6=1.令x=1,得(1+m)6=a0+a1+a2+…+a6,又a1+a2+a3+…+a6=63,所以(1+m)6=64=26,故m=1或m=-3.6.(2018·衡水模拟)的展开式中的常数项是( )A.352B.-352C.1 120D.-1 120【解题指南】把三项的乘方问题转化为二项式定理求解.【解析】选C.原式==+(-4)+(-4)2+(-4)3+(-4)4,所以其常数项为42+4(-4)2+(-4)4=1 120.【一题多解】解答本题还可用如下方法:选C.原式==,T k+1=(2x)8-k=(-1)k28-k x8-2k,由8-2k=0,得k=4,所以常数项为:(-1)4×24=1 120.7.(2018·海口模拟)若(x2-a)的展开式中x6的系数为30,则a等于( )A. B.C.1D.2【解析】选D.依题意,注意到的展开式的通项公式是T r+1=〃x 10-r 〃=〃x 10-2r ,的展开式中含x 4(当r=3时)、x 6(当r=2时)项的系数分别为、,因此由题意得-a=120-45a=30,由此解得a=2.【变式备选】(2018·济南模拟)(x+2)2(1-x)5中x 7的系数与常数项之差的绝对值为 ( )A.5B.3C.2D.0 【解析】选 A.常数项为×22×=4,x 7系数为×(-1)5=-1,因此x 7的系数与常数项之差的绝对值为5. 二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2x-3y)4的展开式中二项式系数最大的项为________. 【解析】展开式共有五项,二项式系数最大的项为T 2+1=(2x)2(-3y)2=216x 2y 2.答案: 216x 2y 2【易错警示】解答本题易误填6,出错的原因是题意理解不准,误填二项式系数.9.(2018·兰州模拟)设(x-a)8=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 8x 8,若a 5+a 8=-6,则实数a 的值为________.【解析】由二项展开式的通项公式可得a 5=(-a)3=-56a 3,a 8=(-a)0=1.因为a 5+a 8=-6,所以-56a 3+1=-6,即a 3=,所以a=.答案:10.(2018·山东高考)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=________.【解析】由题意,得(3x)2=54x2,即=6,解得n=4.答案:41.(5分)+(x+1)6+(2x2+y)8的展开式中含x2项的系数和为( )A.24B.-9C.39D.55【解析】选D.对,T2+1=(x2)2=4x2=24x2,对(x+1)6,T4+1=x2×14=15x2,对(2x2+y)8,T7+1=2x2y7=16x2y7.所以,所求和为24+15+16=55.【易错警示】解答本题易误选C,出错的原因是认为(2x2+y)8展开式中没有符合条件的项.2.(5分)(2018·洛阳模拟)已知bx n+1=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a n(x-1)n对任意x∈R恒成立,且a1=9,a2=36,则b= ( )A.4B.3C.2D.1【解析】选 D.因为bx n+1=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a n(x-1)n,而bx n+1=b[1+(x-1)]n+1=b[+(x-1)+(x-1)2+…+(x-1)n]+1,所以b=a1=9,b=a2=36,故n=9,b=1.【变式备选】若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12,则log2(a1+a3+a5+…+a11)等于( )A.27B.28C.7D.8【解析】选C.令x=-1得a0+a1+a2+…+a12=28①;令x=-3得a0-a1+a2-a3+…+a12=0 ②.①-②得2(a1+a3+…+a11)=28,所以a1+a3+…+a11=27,所以log2(a1+a3+…+a11)=7.3.(5分)(2018·大连模拟)设a=sin xdx,则二项式的展开式中的常数项是________.【解析】a=sin xdx=(-cos x)=2,二项展开式的通项是T r+1=(2)6-r=〃26-r〃(-1)r x3-r,令3-r=0,得r=3,故二项展开式中的常数项是-×23=-160.答案:-1604.(12分)求证:1+2+22+…+25n-1(n∈N*)能被31整除.【证明】因为1+2+22+…+25n-1==25n-1=32n-1=(31+1)n-1=×31n+×31n-1+…+×31+-1=31(×31n-1+×31n-2+…+),显然×31n-1+×31n-2+…+为整数,所以原式能被31整除.【变式备选】求S=++…+除以9的余数.【解析】S=++…+=227-1=89-1=(9-1)9-1=×99-×98+…+×9--1=9(×98-×97+…+)-2.因为×98-×97+…+是整数,所以S被9除的余数为7.5.(13分)(2018·长春模拟)已知二项式,(1)若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数.(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.【解析】(1)由题意可得+=2,整理得n2-21n+98=0,解得n=7或n=14,当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5,所以T4的系数为〃〃23=,T5的系数为〃〃24=70.当n=14时,展开式中二项式系数最大的项是T8,所以T8的系数为〃〃27=3 432.(2)由题意可得++=79,整理得n2+n-156=0.解得n=12或n=-13(舍去).设T k+1项的系数最大,因为=(1+4x)12,所以解得9.4≤k≤10.4,所以k=10.所以展开式中系数最大的项为T11,T11=〃〃210〃x10=16 896x10.关闭Word文档返回原板块。
2019届高三理科数学一轮复习教师用书：第10章第3节 二项式定理
第三节二项式定理[考纲传真](教师用书独具)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．[基础知识填充]1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)；(2)通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n.2．二项式系数的性质与(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n ＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)C k n a n－k b k是(a＋b)n的展开式中的第k项．()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．()(3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( )(4)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.( )[解析] (1)错误．应为第k ＋1项．(2)错误．当a ，b 中包含数字时，系数最大的项不一定为中间一项或中间两项．(3)正确．二项式系数只与n 和项数有关．(4)错误．令x ＝1，可得a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128. [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 26的展开式中，常数项的值是( )A ．240B ．60C ．192D ．180A [二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 26展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2r＝26－r C r 6x 6－3r，令6－3r ＝0，得r ＝2，所以常数项为26－2C 26＝16×6×52×1＝240.]3．已知(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 8等于( ) A ．180 B ．－180 C ．45D ．－45A [由题意得a 8＝C 81022(－1)8＝180.]4．(2017·山东高考)已知(1＋3x )n 的展开式中含有x 2项的系数是54，则n ＝________.4 [(1＋3x )n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r n (3x )r .令r ＝2，得T 3＝9C 2n x 2.由题意得9C 2n ＝54，解得n ＝4.]5．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 25的展开式中，x 2的系数是________，各项系数之和为________．(用数字作答)10 243 [x 2的系数为C 15×2＝10；令x ＝1，得各项系数之和为(1＋2)5＝243.]◎角度1 求展开式中的某一项(2018·合肥二测)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －14的展开式中，常数项为________．－5 [由题知，二项式展开式为C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 4·(－1)0＋C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 3·(－1)＋C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2·(－1)2＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ·(－1)3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 0·(－1)4，则常数项为C 04·C 24－C 24·C 12＋C 44＝6－12＋1＝－5.]◎角度2 求展开式中的项的系数或二项式系数(2017·全国卷Ⅰ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( ) A ．15 B ．20 C ．30D ．35C [对于⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6，若要得到x 2项，可以在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2中选取1，此时(1＋x )6中要选取含x 2的项，则系数为C 26；当在⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2中选取1x 2时，(1＋x )6中要选取含x 4的项，即系数为C 46，所以，展开式中x 2项的系数为C 26＋C 46＝30，故选C ．] ◎角度3 由已知条件求n 的值或参数的值(2018·云南二检)在(x －2－1x )n 的二项展开式中，若第四项的系数为－7，则n ＝( )A ．9B ．8C ．7D ．6B [由题意，得C 3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－123＝－7，解得n ＝8，故选B ．][规律方法] 求二项展开式中的特定项的方法求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项T k ＋1＝C k n an －k b k的特点，一般需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围(k ＝0，1，2，…，n ).(1)第m 项：此时k ＋1＝m ，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程； (3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程. 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.(4)求特定项或特定项的系数要多从组合的角度求解，一般用通项公式太麻烦.[跟踪训练] (1)(2017·全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( )A ．－80B ．－40C ．40D ．80(2)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A ．－7B ．7C ．－28D ．28(3)(2018·西宁检测(一))若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x n的展开式中，二项式系数和为64，所有项的系数和为729，则a 的值为________．(1)C (2)B (3)－4或2 [(1)因为x 3y 3＝x ·(x 2y 3)，其系数为－C 35·22＝－40，x 3y 3＝y ·(x 3y 2)，其系数为C 25·23＝80. 所以x 3y 3的系数为80－40＝40. 故选C ．(2)由题意知n 2＋1＝5，解得n ＝8，⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式的通项T k ＋1＝C k 8⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－k ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x k ＝(－1)k 2k －8C k8x 8－43k .令8－4k3＝0得k ＝6，则展开式中的常数项为(－1)626－8C 68＝7.(3)由二项式系数和为64得2n ＝64，解得n ＝6.令x ＝1，得所有项的系数和为(1＋a)6＝729，解得a＝2或a＝－4.](1)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A．212B．211C．210D．29(2)(2015·全国卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.(1)D(2)3[(1)∵(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，∴C3n＝C7n，解得n＝10.从而C010＋C110＋C210＋…＋C1010＝210，∴奇数项的二项式系数和为C010＋C210＋…＋C1010＝29.(2)设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5. ①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5. ②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，∴a＝3.][规律方法]赋值法的应用(1)对形如(ax＋b)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y ＝1即可．(3)一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n展开式中各项的系数的和为g(1)，(a＋bx)n展开式中奇数项的系数和为12[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n展开式中偶数项的系数和为12[g(1)－g(－1)]．[跟踪训练](1)(2018·合肥一检)已知(ax＋b)6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与－18，则(ax＋b)6展开式所有项系数之和为()A ．－1B ．1C ．32D ．64(2)(2018·杭州质检)若⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2n的展开式中所有二项式系数和为64，则n ＝________；展开式中的常数项是________．(1)D (2)6 240 [(1)由题意可得⎩⎨⎧C 26a 4b 2＝135，C 16a 5b ＝－18，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝－3或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝3，则(ax ＋b )6＝(x －3)6，令x ＝1得展开式中所有项的系数和为(－2)6＝64，故选D ．(2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2n的展开式中所有二次项系数和为64，得2n ＝64，n ＝6，则展开式第r ＋1项是T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2r＝C r 6·26－r ×(－1)r x 6－3r，当r ＝2时为常数项，则常数项是C 26×24×(－1)2＝15×16＝240.](1)(2017·豫东名校模拟)设复数x ＝2i1－i(i 是虚数单位)，则C 12 017x ＋C 22 017x 2＋C 32 017x 3＋…＋C 2 0172 017x2 017＝( ) A ．i B ．－i C ．－1＋I D ．－1－i(2)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12 (1)C (2)D [(1)x ＝2i1－i＝－1＋i ， C 12 017x ＋C 22 017x 2＋C 32 017x 3＋…＋C 2 0172 017x2 017＝(1＋x )2 017－1＝i 2 017－1＝－1＋i. (2)512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝C 02 012·522 012－C 12012·522 011＋…＋C 2 0112 012·52·(－1)2 011＋ C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ， ∵C 02 012·522 012－C 12012·522 011＋…＋C 2 0112 012·52·(－1)2 011能被13整除．且512 012＋a能被13整除，·(－1)2 012＋a＝1＋a也能被13整除．∴C20122012因此a可取值12.][规律方法] 1.逆用二项式定理的关键根据所给式的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解.2.利用二项式定理解决整除问题的思路(1)观察除式与被除式间的关系.(2)将被除式拆成二项式.(3)余数是非负整数.(4)结合二项式定理得出结论.[跟踪训练] 1.028的近似值是________．(精确到小数点后三位)1.172[1.028＝(1＋0.02)8≈C08＋C18·0.02＋C28·0.022＋C38·0.023≈1.172.]。
高三数学一轮复习课时作业13：§10.3 二项式定理
§10.3 二项式定理一、选择题1．⎝⎛⎭⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( ) A ．－54 B.54 C ．－1516 D.15162．在⎝⎛⎭⎫1＋x ＋1x 201810的展开式中，x 2的系数为( ) A ．10 B ．30 C ．45 D ．1203．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－14．(3－2x －x 4)(2x －1)6的展开式中，含x 3项的系数为 ( )A ．600B ．360C ．－600D ．－3605．若⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( ) A ．－40 B ．－20 C ．20 D ．406．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．－7 B ．7 C ．－28 D ．287．若⎝⎛⎭⎫x 2－1ax 9(a ∈R )的展开式中x 9的系数是－212，则⎠⎛0a sin x d x 的值为( ) A ．1－cos2 B ．2－cos1 C ．cos2－1 D ．1＋cos28．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512018＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．129．若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2·(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为( )A ．1或－3B ．－1或3C ．1D ．－310．已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项，则展开式中所有的有理项共有( ) A ．5项 B ．4项 C ．3项 D ．2项二、填空题11．若⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________． 12．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝________.13．若⎝⎛⎭⎫x ＋13x n 的展开式中前三项的系数分别为A ，B ，C ，且满足4A ＝9(C －B )，则展开式中x 2的系数为________．三、解答题14．已知f n (x )＝(1＋x )n .(1)若f 2019(x )＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x 2019，求a 1＋a 3＋…＋a 2017＋a 2019的值；(2)若g (x )＝f 6(x )＋2f 7(x )＋3f 8(x )，求g (x )中含x 6项的系数．——★ 参 考 答 案 ★——一、选择题1．『答案』 D『解析』 T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝⎛⎭⎫－12x r ＝⎝⎛⎭⎫－12r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4. ∴常数项为⎝⎛⎭⎫－124C 46＝1516.故选D. 2．『答案』 C『解析』 因为⎝⎛⎭⎫1＋x ＋1x 201810＝⎣⎡⎦⎤(1＋x )＋1x 201810＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x 2018＋…＋ C 1010⎝⎛⎭⎫1x 201810，所以x 2只出现在(1＋x )10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45.故选C.3．『答案』 D『解析』 由二项式定理得(1＋x )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·x r ，所以当r ＝2时，(1＋ax )(1＋x )5的展开式中相应x 2的系数为C 25，当r ＝1时，相应x 2的系数为C 15·a ，所以C 25＋C 15·a ＝5，a ＝－1，故选D.4．『答案』 C『解析』 由二项展开式的通项公式可知，展开式中含x 3项的系数为3×C 3623(－1)3－2×C 2622(－1)4＝－600.故选C.5．『答案』 D『解析』 令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1.∴⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的通项为T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r ·25－r ·C r 5·x 5－2r . 令5－2r ＝1，得r ＝2.令5－2r ＝－1，得r ＝3.∴展开式的常数项为(－1)2×23·C 25＋(－1)3·22·C 35＝80－40＝40.故选D.6．『答案』 B『解析』 由题意知n ＝8，T r ＋1＝C r 8·⎝⎛⎭⎫x 28－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x r ＝(－1)r ·C r 8·x 8－r 28－r ·1x r 3＝(－1)r ·C r 8·x 8－r －r 328－r ， 由8－r －r 3＝0，得r ＝6. ∴T 7＝C 68·122＝7，即展开式中的常数项为T 7＝7.故选B. 7．『答案』 A『解析』 由题意得T r ＋1＝C r 9·(x 2)9－r ·(－1)r ·⎝⎛⎭⎫1ax r ＝(－1)r ·C r 9·x 18－3r ·1a r，令18－3r ＝9，得r ＝3，所以－C 39·1a 3＝－212，解得a ＝2.所以⎠⎛0a sin x d x ＝(－cos x )20＝－cos2＋cos0＝1－cos2.故选A.8．『答案』 D『解析』 512018＋a ＝(52－1)2018＋a ＝522018＋C 12018·522017·(－1)＋…＋C 20172018×52×(－1)2017＋1＋a ，∵522018能被13整除，∴只需a ＋1能被13整除即可，∴a ＝12.故选D.9．『答案』 A『解析』 令x ＝0，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m )9，令x ＝－2，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝m 9，所以有(2＋m )9m 9＝39，即m 2＋2m ＝3，解得m ＝1或m ＝－3.故选A.10． 『答案』 C『解析』 T r ＋1＝C r n x n －r 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－123x r ＝C r n ⎝⎛⎭⎫－12r x n －2r 3，由第6项为常数项 ，得当r ＝5时，n －2r 3＝0，得n ＝10.令10－2r 3＝k ∈Z ，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k ，故k 应为偶数．又0≤r ≤10，故k 可取2,0，－2，即r 可取2,5,8.故第3项，第6项与第9项为有理项，故选C.二、填空题11．『答案』 2『解析』 因为二项式⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6展开后第k 项为C k －16·(ax 2)7－k ⎝⎛⎭⎫b x k －1＝C k －16a 7－k b k －1x 15－3k ，所以当k ＝4时，可得x 3的系数为20a 3b 3，即20a 3b 3＝20，得ab ＝1.故a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，此时a 2＋b 2取得最小值2.12．『答案』 120『解析』 ∵(1＋x )6展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6x r ，(1＋y )4展开式的通项公式为T h ＋1＝C h 4y h ，∴(1＋x )6(1＋y )4展开式的通项可以为C r 6C h 4x r y h .∴f (m ，n )＝C m 6C n 4.∴f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 34＝20＋60＋36＋4＝120.13．『答案』 5627『解析』 易得A ＝1，B ＝n 3，C ＝C 2n 9＝n (n －1)18，所以有4＝9⎝⎛⎭⎫n 2－n 18－n 3，即n 2－7n －8＝0，解得n ＝8或n ＝－1(舍)．在⎝⎛⎭⎫x ＋13x 8中，因为通项T r ＋1＝C r 8x 8－r ·⎝⎛⎭⎫13x r ＝C r83rx 8－2r ，令8－2r ＝2，得r ＝3，所以展开式中x 2的系数为5627. 三、解答题14．解：(1)因为f n(x)＝(1＋x)n，所以f2019(x)＝(1＋x)2019，又f2019(x)＝a0＋a1x＋…＋a2019x2019，所以f2019(1)＝a0＋a1＋…＋a2019＝22019，①f2019(－1)＝a0－a1＋…＋a2017－a2019＝0，②①－②得2(a1＋a3＋…＋a2017＋a2019)＝22019，所以a1＋a3＋…＋a2017＋a2019＝22018.(2)因为g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，所以g(x)＝(1＋x)6＋2(1＋x)7＋3(1＋x)8.g(x)中含x6项的系数为C66＋2C67＋3C68＝99.。
二项式定理 2019年高考数学(理)一轮复习Word版含解析
典例在线()()511x x -+展开式中2x 项的系数是A ．4B ．5C ．8D ．12【参考答案】B【解题必备】这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，把（1+x ）5按照二项式定理展开，可得（1﹣x ）（1+x ）5展开式中x 2项的系数．在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法、求导后赋值、积分后赋值等. （1）二项式系数的性质：①对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式C C m n mn n -=得到.②增减性与最大值.当n 是偶数时，展开式的中间一项12n T +的二项式系数2C n n最大；当n 是奇数时，展开式的中间两项12n T +与112n T ++的二项式系数12Cn n -,12C n n+相等且最大.③二项展开式的各个二项式系数的和为2n.（2）求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项1C k n k kk n T a b -+=的特点,一般需要建立方程求k ,再将k 的值代回通项求解,注意k 的取值范围(0,1,2,,k n =⋅⋅⋅). ①第m 项：此时1k m +=,直接代入通项；②常数项：即该项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；③有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.（3）二项式定理是一个恒等式，即对,a b 的一切值都成立,我们可以根据具体问题灵活选取,a b 的值,一般取1,1-或0.一般地，若12012()n n n n f x a x a x a x a --=+++⋅⋅⋅+，则()f x 展开式中各项系数的和为(1)f .学霸推荐1．()62x y -的展开式中，24x y 的系数为A ．60B ．60-C ．240D ．240-2．已知3()n x x+的展开式中，各项系数之和为A ，各项的二项式系数之和为B ，且72A B +=，则展开式中常数项为A ．6B ．9C ．12D ．183．设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋···＋a 1x ＋a 0，则a 8＋a 7＋···＋a 1等于 A ．366 B ．255 C ．144D ．1221．【答案】C【名师点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.2．【答案】B【解析】由二项展开式的性质，可得各项的二项式系数之和2nB =，令1x =，可得各项系数之和(13)4n n A =+=.因为72A B +=，所以4272n n +=，解得3n =.因为33()x x+的展开式的通项为33321333C ()()3C rrrr r rr T x x x --+==，令3302r -=可得1r =，所以展开式中常数项为1233C 9T =⨯=，故选B. 3．【答案】B【名师点睛】本题考查利用二项式定理求展开式各项系数和，在求解展开式各项系数和时，往往采用赋值法进行求解，关键是观察展开式的通项的未知数的次数，如本题中令0x =和1x =进行求解.。
高三数学一轮复习课时作业7：10.3 二项式定理
10.3 二项式定理一、选择题1．若二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( ) A ．2 B.54 C ．1D.242．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15D ．103．⎝⎛⎭⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5D ．204．若n ∈N *且n 为奇数，则6n ＋C 1n 6n －1＋C 2n 6n －2＋…＋C n －1n6－1被8除所得的余数是( )A ．0B ．2C ．5D ．35．若(1－2x )2009＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2009x 2009(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 200922009的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－26．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．210二、填空题7．(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为__________．(用数字填写答案) 8．(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝__________.(用数字填写答案)9．设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝⎛⎭⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝__________.三、解答题10．已知(a 2＋1)n 展开式中各项系数之和等于⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a 的值．11．若(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10. (1)求a 2；(2)求a 1＋a 2＋…＋a 10；(3)求(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)2.12．已知(1＋2x )n 的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而等于它后一项系数的56.(1)求该展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．答案一、选择题 1．『解析』T k ＋1＝C k 7(2x )7－k ⎝⎛⎭⎫a x k ＝C k 727－k a k x 7－2k ，令7－2k ＝－3，得k ＝5，即T 5＋1＝C 5722a 5x －3＝84x －3，解得a ＝1，选C.『答案』C2．『解析』只需求(1＋x )6的展开式中含x 2项的系数即可，而含x 2项的系数为C 26＝15，故选C.『答案』C3．『解析』由二项展开式的通项可得，第四项T 4＝C 35⎝⎛⎭⎫12x 2·(－2y )3＝－20x 2y 3，故x 2y 3的系数为－20，选A.『答案』A4．『解析』∵6n ＋C 1n 6n －1＋C 2n 6n －2＋…＋C n －1n 6－1＝7n －2＝(8－1)n －2＝8n －C 1n8n －1＋…＋C n －1n 8－3，∴余数为5.『答案』C5．『解析』观察所求数列和的特点，令x ＝12可得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 200922009＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 200922009＝－a 0，再令x ＝0可得a 0＝1，因而a 12＋a 222＋…＋a 200922009＝－1.『答案』C6．『解析』由题意知f (3,0)＝C 36C 04，f (2,1)＝C 26C 14，f (1,2)＝C 16C 24，f (0,3)＝C 06C 34，因此f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝120，选C.『答案』C二、填空题 7．『解析』(x ＋y )8中，T r ＋1＝C r 8x 8－r y r ，令r ＝7，再令r ＝6，得x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20.『答案』－208．『解析』二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10x 10－r a r ，当10－r ＝7时，r ＝3，T 4＝C 310a 3x 7，则C 310a 3＝15，故a ＝12. 『答案』12 9．『解析』由题图可知a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4，由题意知⎩⎨⎧C 1n ·1a＝a 1＝3，C 2n·1a 2＝a 2＝4，故⎩⎨⎧na ＝3，n n －1a2＝8，可得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝9，a ＝3.『答案』3三、解答题 10．『解析』由⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5得，T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫165x 25－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝(165)5－r ·C r5·x 20－5r2 . 令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0. ∴r ＝4.∴常数项T 5＝C 45×165＝16. 又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和等于2n ， 由题意得2n ＝16，∴n ＝4.由二项式系数的性质知，(a 2＋1)n 展开式中二项式系数最大的项是中间项T 3，∴C 24a 4＝54.∴a ＝± 3. 11．『解析』(1)方法一：(x 2－3x ＋2)5＝(x －1)5(x －2)5，(x －1)5展开式的通项公式为C r 5·(－1)r ·x5－r(0≤r ≤5)． (x －2)5展开式的通项公式为C s 5·(－2)s ·x5－s (0≤s ≤5)， 所以(x 2－3x ＋2)5展开式的通项公式为C r 5·C s 5·(－1)r ＋s ·2s ·x 10－r －s，令r ＋s ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3s ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝4s ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5，s ＝3. 所以展开式中x 2的系数为C 35C 5525＋C 45C 4524＋C 55C 3523＝800，即a 2＝800. 方法二：(x 2－3x ＋2)5的本质是5个x 2－3x ＋2相乘，由多项式的乘法法则，产生含x 2的项有两种可能：①5个x 2－3x ＋2中有一个取含x 2的项，其他的取常数项，得到的系数是C 15·24＝80； ②5个x 2－3x ＋2中有两个取含x 的项，其他的取常数项，得到的系数是C 25·(－3)2·23＝720.∴展开式中含x 2的项的系数是80＋720＝800，即a 2＝800. (2)令f (x )＝(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10， a 0＝f (0)＝25＝32，a 0＋a 1＋a 2＋…a 10＝f (1)＝0， ∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝－32.(3)(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－…＋a 10)＝f (1)·f (－1)＝0.12．『解析』(1)第r ＋1项的系数为C r n 2r ，第r 项的系数为C r －1n 2r －1，第r ＋2项的系数为C r ＋1n 2r ＋1， 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧C r n 2r ＝2C r －1n 2r －1，C r n 2r ＝56C r ＋1n 2r ＋1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧C rn ＝C r －1n，C r n ＝53C r ＋1n ，即⎩⎪⎨⎪⎧2r ＝n ＋1，5（n －r ）＝3（r ＋1）. 求得n ＝7，故二项式系数最大的项是第4项和第5项．T 4＝C 37(2x )3＝28032x ， T 5＝C 47(2x )4＝560x 2.(2)假设第r ＋1项的系数最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C r 72r ≥C r －172r －1，C r 72r ≥C r ＋172r ＋1， 即⎩⎪⎨⎪⎧7！r ！（7－r ）！·2r ≥7！（r －1）！（8－r ）！·2r －1，7！r ！（7－r ）！·2r≥7！（r ＋1）！（6－r ）！·2r ＋1，即⎩⎨⎧2r ≥18－r ，17－r ≥2r ＋1，解得133≤r ≤163.又∵r ∈N ，∴r ＝5.∴展开式中系数最大的项为： T 6＝C 57(2x )5＝67252x .。
高考数学总复习课时提升作业10.3二项式定理
高考数学总复习课时提升作业10.3二项式定理一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·宜春模拟)(1+2x)5的展开式中,x2的系数等于( )A.80B.40C.20D.10【解析】选B.T r+1=a n-r b r=15-r(2x)r=×2r×x r,令r=2,则可得含x2项的系数为×22=40.2.二项式(1+x)n展开式的二项式系数之和为64,则(1-x)n展开式第四项的系数为( ) A.15 B.20 C.-20 D.-15【解析】选C.由2n=64,可解得n=6,所以二项式(1-x)6展开式的第四项为T4=(-x)3,其系数为-=-20.3.(2014·湖北高考)若二项式的展开式中的系数是84,则实数a=( ) A.2 B. C.1 D.【解题提示】考查二项式定理的通项公式.【解析】选C.因为T r+1=·(2x)7-r·=·27-r·a r·x7-2r,令7-2r=-3,得r=5,所以·22·a5=84,解得a=1.4.(2015·榆林模拟)的展开式中含x的正整数指数幂的项数是( )A.0B.2C.4D.6【解析】选B.的展开式中第r+1项为()10-r=(-1)r,当5-为正整数时,r=0,2,所以项数为2.5.在的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项是( ) A.-7 B.7 C.-28 D.28【解题提示】由只有第5项的二项式系数最大,可得出n的值,利用二项展开式求出常数项.【解析】选B.由题意可知n=8,T r+1==(-1)r·.令8-r=0,得r=6,所以×(-1)6=7.【加固训练】(2014·遵义模拟)(2-)8展开式中不含x4项的系数的和为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】选B.二项式的通项T k+1=28-k(-1)k()k=28-k(-1)k,令k=8,则T 9=(-1)8x4=x4,所以x4的系数为1,令x=1,得展开式的所有项系数和为(2-1)8=1,所以不含x4项的系数的和为0.6.若二项式的展开式中含有非零常数项,则正整数n的最小值为( ) A.3 B.5 C.7 D.10【解析】选B.展开式的通项公式是T r+1=x3n-3r x-2r=x3n-5r,若二项式的展开式中含有非零常数项,则3n-5r=0,即n=(r=0,1,2,…,n),故当r=3时,此时n的最小值为5.7.(1+x)10(x>0)展开式中的常数项为( )A.1B.()2C.D.【解析】选D.因为(1+x)10=== (x>0),所以T r+1=()20-r=x10-r,由10-r=0,得r=10,故常数项为T 11=,选D.【加固训练】(2013·大纲版全国卷)·的展开式中x2y2的系数是( )A.56B.84C.112D.168【解题提示】展开式中x2y2的项是由(1+x)8展开式中x2项与(1+y)4展开式中y2项相乘得到的.【解析】选D.x2y2的系数为·=168.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2015·宿州模拟)(x-y)10的展开式中,x7y3的系数与x3y7的系数之和等于.【解析】因为T r+1=(-1)r x10-r y r,所以-+(-)=-2=-240.答案:-2409.为落实素质教育,某中学拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目,若重点课题A和一般课题B至少有一个被选中的不同选法种数是k,那么二项式(1+kx2)6的展开式中,x4的系数为.【解析】用直接法:k=++=15+30+15=60,x4的系数为k2=15×3600=54000.答案:5400010.(2014·山东高考)若的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为.【解题提示】本题考查了二项式定理、基本不等式的应用,可先写出已知式子二项展开式的通项,然后利用基本不等式求出最值.【解析】将展开,得到T r+1=a6-r b r x12-3r,令12-3r=3,得r=3.由a3b3=20,得ab=1,所以a2+b2≥2ab=2.答案:2(20分钟40分)1.(5分)(2015·上饶模拟)已知(x+1)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10.若数列a1,a2,a3,…,a k(1≤k≤11,k∈Z)是一个单调递增数列,则k的最大值是( ) A.6 B.7 C.8 D.5【解析】选A.由二项式定理知a n=(n=1,2,3,…,11).又(x+1)10展开式中二项式系数最大项是第6项.所以a 6=,则k的最大值为6.2.(5分)的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为( ) A.-40 B.-20 C.20 D.40【解题提示】乘积展开式的常数项是由中含x及的项分别与及x相乘后再相加得到的.【解析】选D.在中,令x=1,得(1+a)(2-1)5=1+a=2,所以a=1.因为展开式的通项T r+1=(2x)5-r=·25-r(-1)r·x5-2r.令5-2r=1,得2r=4,即r=2,因此展开式中x的系数为25-2(-1)2=80.令5-2r=-1,得2r=6,即r=3,因此展开式中的系数为25-3·(-1)3=-40.所以展开式中常数项为80-40=40.3.(5分)(2015·南昌模拟)(1+ax+by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243,不含y的项的系数绝对值的和为32,则a,b,n的值可能为( )A.a=2,b=-1,n=5B.a=-2,b=-1,n=5C.a=-1,b=2,n=6D.a=1,b=2,n=5【解析】选D.令x=0,y=1,则(1+b)n=243=35,则b=2,n=5,令y=0,x=1,则(1+a)n=32=25,则a=1,n=5.4.(12分)(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.【解析】T 6=(2x)5,T7=(2x)6,依题意有·25=·26⇒n=8.所以(1+2x)8的展开式中二项式系数最大的项为T 5=(2x)4=1120x4.设第r+1项系数最大,则有⇒⇒⇒⇒5≤r≤6.又因为r∈N,所以r=5或r=6,所以系数最大的项为T6=1792x5,T7=1792x6.5.(13分)(能力挑战题)已知在二项式(ax m+bx n)12中,a>0,b>0,mn≠0且2m+n=0.(1)如果在它的展开式中,系数最大的项是常数项,则它是第几项?(2)在(1)的条件下,求的取值范围.【解析】(1)T k+1=(ax m)12-k·(bx n)k=a12-k b k x m(12-k)+nk,令m(12-k)+nk=0,即m(12-k)-2mk=0.因为m≠0,所以k=4,所以常数项是第5项.(2)因为第5项是系数最大的项,所以由①得≤,由②得≥,所以≤≤.【加固训练】在二项式的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列.(1)求展开式的第四项.(2)求展开式的常数项.(3)求展开式的各项系数的和.【解析】第一项系数的绝对值为,第二项系数的绝对值为,第三项系数的绝对值为,依题意有+=×2,解得n=8.(1)第四项T 4=()5=-7.(2)通项公式为T k+1=()8-k=·()8-2k,展开式的常数项满足8-2k=0,即k=4,所以常数项为T 5=·=.(3)令x=1,得展开式的各项系数的和为==.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时提升作业六十六
二项式定理
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.(2019·济宁模拟)二项式展开式中的常数项是 ( )
A.180
B.90
C.45
D.360
【解析】选A.展开式的通项为T k+1
=()10-k=2k,
令5-k=0,得k=2,
故常数项为22=180.
2.(2019·枣庄模拟)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数是 ( )
A.30
B.20
C.15
D.10
【解题提示】先用通项公式求(1+x)6展开式中x2项的系数,再求x(1+x)6展开式中x3项的系数. 【解析】选C.(1+x)6展开式中通项T r+1=x r,
令r=2可得T3=x2=15x2,
所以(1+x)6展开式中x2项的系数为15,
在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为15.
3.(2019·湖北高考)若二项式的展开式中的系数是84,则实数
a= ( )
A.2
B.
C.1
D.
【解题提示】考查二项式定理的通项公式.
【解析】选C.因为T r+1=·(2x)7-r·
=·27-r·a r·x7-2r,
令7-2r=-3,得r=5,
所以·22·a5=84,解得a=1.
4.若(x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为 ( )
A.-16
B.16
C.-1
D.+1
【解析】选B.令x=1得：a0+a1+a2+a3+a4=(1+)4,
令x=-1得：a0-a1+a2-a3+a4=(-1+)4,
则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2
=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)
=(1+)4(-1+)4
=24
=16.
5.在的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项是 ( )
A.-7
B.7
C.-28
D.28
【解题提示】由只有第5项的二项式系数最大,可得出n的值,利用二项展开式求出常数项. 【解析】选B.由题意可知n=8,
T r+1=
=(-1)r·.
令8-r=0,得r=6,
所以×(-1)6=7.
【加固训练】(2-)8展开式中不含x4项的系数的和为 ( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
【解析】选B.二项式的通项T k+1=
28-k(-1)k()k=28-k(-1)k,
令k=8,则T9=(-1)8x4=x4,
所以x4的系数为1,
令x=1,得展开式的所有项系数和为(2-1)8=1,
所以不含x4项的系数的和为0.
6.(2019·保定模拟)展开式中的常数项为 ( )
A.-8
B.-12
C.-20
D.20
【解析】选C.因为=,
所以T r+1=x6-r=(-1)r x6-2r,
令6-2r=0,即r=3,
所以常数项为(-1)3=-20.
7.(2019·吉林模拟)(1+x)10(x>0)展开式中的常数项为 ( )
A.1
B.()2
C.
D.
【解析】选D.因为 (1+x)10
==
=(x>0),
所以T r+1=()20-r=x10-r,
由10-r=0,得r=10,
故常数项为T11=.
【加固训练】·的展开式中x2y2的系数是 ( )
A.56
B.84
C.112
D.168
【解题提示】展开式中x2y2的项是由(1+x)8展开式中x2项与(1+y)4展开式中y2项相乘得到的. 【解析】选D.x2y2的系数为·=168.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.(2019·北京高考)在(2+x)5的展开式中,x3的系数为 (用数字作答).
【解题提示】利用二项展开式的通项可以求出x3的系数.
【解析】含有x3的项为22x3=40x3.所以x3的系数为40.
答案：40
9.(1+x)(1-x)4的展开式中x4的系数是 .
【解析】(1+x)(1-x)4=(1-x2)(1-x)3=(1-x2)(1-3x+3x2-x3),所以x4的系数为-3.
答案：-3
10.设复数z=,则+·z+·z2+·z3+·z4+·z5+·z6+·z7
= .
【解析】由于复数z===i,
所以+·z+·z2+·z3+·z4+
·z5+·z6+·z7=(1+z)8-·z8
=4-i8=(2i)4-(-1)4
=16-1=15.
答案：15
【易错警示】解答本题时易出现以下错误
(1)在逆用二项定理时,误将待求式认为是(1+z)8的展开式而致误.
(2)对复数的运算出错而致误.
(20分钟 40分)
1.(5分)(2019·临沂模拟)的二项展开式17个项中,整式的项数是
( )
A.1
B.3
C.5
D.7 【解析】选B.二项展开式的通项为T k+1
=
=(-1)k
3k3
816k
k22
16
C x y
--
(k∈Z,0≤k≤16),
要使得它为整式,
则-8与16-均为非负整数,
即8≤≤16,k=6,8,10,故有三项.
2.(5分)(2019·洛阳模拟)的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为 ( )
A.-40
B.-20
C.20
D.40
【解析】选D.令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为1+a,
所以1+a=2,所以a=1,
所以=
=x+,
所以展开式中常数项为的与x的系数和,
因为展开式的通项为
T r+1=(-1)r25-r x5-2r,
令5-2r=1得r=2;令5-2r=-1得r=3,
所以展开式中常数项为8-4=40.
3.(5分)72019+72019+72019+…+·7除以9得余数是 .
【解析】原式=(7+1)2019-1
=82019-1=(9-1)2019-1
=92019-92019+92019-…+·9-2,所以除以9所得余数为7.
答案：7
【加固训练】求证：4×6n+5n+1-9能被20整除.
【证明】4×6n+5n+1-9=4(6n-1)+5(5n-1)
=4+5
=20,是20的倍数,
所以4×6n+5n+1-9能被20整除.
4.(12分)已知(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项,而(a2+1)n的展开式的系数最大的项等于54,求正数a的值.
【解析】设的展开式中的常数项为T r+1,则T r+1=
=,
令20-5r=0,得r=4,故常数项T5=·=16,
又(a2+1)n展开式的各项系数之和为2n,
由题意,得2n=16,所以n=4,所以(a2+1)4展开式中系数最大的项是中间项T3,
从而(a2)2=54,所以a=.
5.(13分)已知在二项式(ax m+bx n)12中,a>0,b>0,mn≠0且2m+n=0.
(1)如果在它的展开式中,系数最大的项是常数项,则它是第几项?
(2)在(1)的条件下,求的取值范围.
【解析】(1)T k+1=(ax m)12-k·(bx n)k
=a12-k b k x m(12-k)+nk,
令m(12-k)+nk=0,即m(12-k)-2mk=0.
因为m≠0,所以k=4,所以常数项是第5项.
(2)因为第5项是系数最大的项,
所以
由①得≤,由②得≥,所以≤≤.
【加固训练】在二项式的展开式中,前三项系数的绝对值成
等差数列.
(1)求展开式的第四项.
(2)求展开式的常数项.
(3)求展开式的各项系数的和.
【解析】第一项系数的绝对值为,第二项系数的绝对值为,第三项系数的绝对值为, 依题意有+=×2,
解得n=8.
(1)第四项T4=()5=-7.
(2)通项公式为T k+1=()8-k=·()8-2k,
展开式的常数项满足8-2k=0,即k=4,
所以常数项为T5=·=.
(3)令x=1,得展开式的各项系数的和为==.。