黑龙江省绥化市绥棱一中高二下学期月月考数学试卷(理科)含解析

2015-2016学年黑龙江省绥化市绥棱一中高二(下)6月月考数学
试卷（理科）
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={x∈R｜＜2x＜4 },B={x∈R|﹣2＜x≤4｝,则A∩B等于（）
A．（﹣2，2）B．（﹣2，4）C．（,2）D．(，4）
2．在复平面内，复数z满足（i+1）•z=i2013（i为虚数单位）,则复数z所表示的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列说法正确的是（）
A．命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”,则￢p是真命题
B．“x=﹣1”是“x2+3x+2=0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R,x2+2x+3＞0”
D．“a＞1"是“f（x）=log a x（a＞0,a≠1）在(0，+∞）上为增函数"的充要条件
4．若S1=x2dx,S2=dx，S3=e x dx,则S1,S2，S3的大小关系为（）
A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S2＜S3＜S1D．S3＜S2＜S1
5．平面直角坐标系中，已知两点A（3，1），B（﹣1，3），若点C满足=λ1+λ2(O 为原点）,其中λ1，λ2∈R，且λ1+λ2=1，则点C的轨迹是（）
A．直线 B．椭圆 C．圆D．双曲线
6．执行右面的程序框图，如果输入的N=10,那么输出的S=（）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．直线l 过抛物线C ：x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ．
8．数列｛a n ｝满足a 1=1，且2a n ﹣1﹣2a n =a n a n ﹣1（n ≥2），则a n =（ ） A ．
B ．
C ．（)n
D ．（）n ﹣1
9．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且A=60°,c=5,a=7，则△ABC 的面积等于（ )
A ．
B ．
C ．10
D ．10
10．已知抛物线y 2=4px(p ＞0）与双曲线
有相同的焦点F ，点A
是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．四棱锥P ﹣ABCD 的三视图如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点,直线EF 被球面所截得的线段长为，则该球表面积为（ )
A ．12π
B ．24π
C ．36π
D ．48π
12．已知函数f （x)=4﹣x 2，y=g （x)是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，g （x ）=log 2x ，则函数f （x ）•g （x)的大致图象为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
二。

填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b,c ，若c ﹣acosB=（2a ﹣b ）cosA ，则△ABC 的形状是 ． 14．已知向量=（1，2），=（3，0)，若向量+λ与=（1，﹣2）垂直，则实数λ等于 ．
15．定义：min{a,b｝=．在区域内任取一点P(x，y），则x，y满足
min{3x﹣2y+6，x﹣y+4｝=x﹣y+4的概率为．
16．在平面直角坐标系xOy中,使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．已知点P（x，y)
是角θ终边上一点，|OP｜=r（r＞0），定义f(θ）=．对于下列说法：
①函数f（θ）的值域是；
②函数f(θ）的图象关于原点对称；
③函数f（θ)的图象关于直线θ=对称；
④函数f（θ）是周期函数，其最小正周期为2π；
⑤函数f（θ）的单调递减区间是[2kπ﹣,2kπ+]，k∈Z．
其中正确的是．（填上所有正确命题的序号）
三。

解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．已知正项数列满足4S n=（a n+1）2．
(1)求数列｛a n｝的通项公式；
（2）设b n=,求数列｛b n}的前n项和T n．
18．某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人,女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）．
（1）应收集多少位女生的样本数据？
（2）根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示）,其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，(4,6]，（6，8］，(8，10]，（10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．
(3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
P（K2≥k0) 0。

10 0。

05 0。

010 0。

005
k02。

706 3。

841 6。

635 7。

879
附：K2=．
19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1,∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（1）求证:BC⊥平面ACFE；
(2）若点M在线段EF上移动，试问是否存在点M，使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°，若存在,求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
20．已知椭圆C: +=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1的离心率互为倒数，且直线x
﹣y﹣2=0经过椭圆的右顶点．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线与椭圆C交于M、N两点,且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．
21．已知函数f（x)=﹣lnx．
（Ⅰ）若f(x）在x=3处取得极值,求实数a的值；
（Ⅱ）若f(x)≥5﹣3x恒成立，求实数a的取值范围．
[选修4—4：坐标系与参数方程选讲］
22．曲线C1的参数方程为（θ为参数），将曲线C1上所有点的横坐标伸长为原
来的2倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到曲线C2．
(Ⅰ）求曲线C2的普通方程；
（Ⅱ)已知点B(1，1），曲线C2与x轴负半轴交于点A，P为曲线C2上任意一点，求|PA|2﹣｜PB|2的最大值．
2015-2016学年黑龙江省绥化市绥棱一中高二（下）6月
月考数学试卷(理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={x∈R|＜2x＜4 }，B={x∈R｜﹣2＜x≤4}，则A∩B等于（）A．(﹣2，2）B．(﹣2，4）C．（，2) D．(,4）
【考点】交集及其运算．
【分析】利用指数函数的性质先求出集合A，再由交集定义求出集合A∩B．
【解答】解：∵集合A={x∈R｜＜2x＜4 ｝=｛x｜﹣3＜x＜2｝，B={x∈R|﹣2＜x≤4｝,
∴A∩B={x｜﹣2＜x＜2}=（﹣2，2）．
故选：A．
2．在复平面内,复数z满足（i+1）•z=i2013(i为虚数单位）,则复数z所表示的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数单位的幂运算化简，然后利用复数的除法运算法则化简求解即可．【解答】解：在复平面内，复数z满足(i+1）•z=i2013，
可得(i+1）•z=i，即z===,
复数对应点（，）在第一象限．
故选：A．
3．下列说法正确的是（）
A．命题p：“∀x∈R,sinx+cosx≤”，则￢p是真命题
B．“x=﹣1"是“x2+3x+2=0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0”
D．“a＞1”是“f(x）=log a x（a＞0,a≠1)在（0，+∞）上为增函数”的充要条件
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】A．根据全称命题的定义进行判断即可．
B．根据充分条件和必要条件的定义进行判断，
C．根据特称命题的否定是全称命题进行判断，
D．根据对数函数的单调性以及充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解:A．∵sinx+cosx=sin（x+)，∴命题p是真命题,则￢p是假命题，故
A错误，
B．由x2+3x+2=0得x=﹣1或x=﹣2,则“x=﹣1”是“x2+3x+2=0”的充分不必要条件,故B错误，C．特称命题的否定是全称命题，则命题“∃x∈R,使得x2+2x+3＜0"的否定是：“∀x∈R，
x2+2x+3≥0”，故C错误,
D．当a＞1时，f（x）=log a x(a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数成立，即充分性成立，若f(x）=log a x(a＞0,a≠1)在（0，+∞)上为增函数，则a＞1，即必要性成立，故“a＞1”是“f （x)=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件，故D正确，
故选：D
4．若S1=x2dx，S2=dx,S3=e x dx，则S1，S2，S3的大小关系为(）
A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S2＜S3＜S1D．S3＜S2＜S1
【考点】微积分基本定理．
【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可．
【解答】解：由于S1=x2dx=｜=，
S2=dx=lnx|=ln2,
S3=e x dx=e x|=e2﹣e．
且ln2＜＜e2﹣e,则S2＜S1＜S3．
故选:B．
5．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1），B（﹣1，3），若点C满足=λ1+λ2(O为原点)，其中λ1,λ2∈R，且λ1+λ2=1，则点C的轨迹是（）
A．直线 B．椭圆 C．圆D．双曲线
【考点】轨迹方程．
【分析】设C（x,y），欲求点C的轨迹，只须求出坐标x，y的关系式即可，先依据向量的坐标运算表示出x，y,再消去λ1，λ2即得．
【解答】解：设C（x，y)，则=（x，y），=(3，1），=（﹣1，3），
∵=λ1+λ2，
∴，又λ1+λ2=1，
∴x+2y﹣5=0，表示一条直线．
故选：A
6．执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（)
A．B．
C．D．
【考点】程序框图．
【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．
【解答】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，
S=0+1=1，k=1+1=2；
判断k＞10不成立，执行S=1+，k=2+1=3；
判断k＞10不成立，执行S=1++,k=3+1=4；
判断k＞10不成立，执行S=1+++,k=4+1=5；
…
判断i＞10不成立，执行S=,k=10+1=11；
判断i ＞10成立，输出S=．
算法结束． 故选B ． 7．直线l 过抛物线C ：x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ） A ．
B ．2
C ．
D ．
【考点】定积分．
【分析】先确定直线的方程，再求出积分区间，确定被积函数，由此利用定积分可求直线l 与抛物线围成的封闭图形面积．
【解答】解：抛物线x 2=4y 的焦点坐标为(0，1）， ∵直线l 过抛物线C ：x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直, ∴直线l 的方程为y=1, 由
,可得交点的横坐标分别为﹣2，2．
∴直线l 与抛物线围成的封闭图形面积为 =（ x ﹣）｜=．
故选:C ．
8．数列｛a n ｝满足a 1=1，且2a n ﹣1﹣2a n =a n a n ﹣1(n ≥2)，则a n =（ ) A ．
B ．
C ．（）n
D ．（）n ﹣1
【考点】数列递推式．
【分析】由数列｛a n ｝满足a 1=1，且2a n ﹣1﹣2a n =a n a n ﹣1（n ≥2），可得：﹣
=，
利用等差数列的通项公式即可得出．
【解答】解:∵数列｛a n }满足a 1=1，且2a n ﹣1﹣2a n =a n a n ﹣1(n ≥2）， ∴
﹣
=，
=1．
∴数列｛}是等差数列，公差为，首项为1．
∴=1+（n﹣1）=，
∴a n=．
故选：A．
9．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且A=60°，c=5，a=7,则△ABC的面积等于（）
A．B．C．10D．10
【考点】正弦定理．
【分析】利用余弦定理a2=b2+c2﹣2accosA可求得b,即可求得△ABC的面积．
【解答】解：∵△ABC中，A=60°，c=5,a=7，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，
即49=b2+25﹣2×5b×，
解得b=8或b=﹣3（舍)．
=bcsinA=×8×5×=10．
∴S
△ABC
故选C．
10．已知抛物线y2=4px（p＞0)与双曲线有相同的焦点F，点A 是两曲线的交点,且AF⊥x轴,则双曲线的离心率为(）
A．B．C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设双曲线的左焦点为F’，连接AF’，由抛物线方程求得A（p,2p）,结合双曲线的焦距，得到△AFF’是以AF’为斜边的等腰直角三角形．再根据双曲线定义，得实轴2a=2p （）,而焦距2c=2p,由离心率公式可算出该双曲线的离心率．
【解答】解：设双曲线的左焦点为F’，连接AF'
∵F是抛物线y2=4px的焦点，且AF⊥x轴,
∴设A（p，y0），得y02=4p×p，得y0=2p,A（p，2p)，
因此,Rt△AFF’中,｜AF｜=|FF’｜=2p，得|AF'|=2p
∴双曲线的焦距2c=｜FF’｜=2p，实轴2a=|AF’|﹣｜AF｜=2p（）
由此可得离心率为：e====
故选：B
11．四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为,则该球表面积为（)
A．12πB．24πC．36πD．48π
【考点】球内接多面体；由三视图还原实物图．
【分析】将三视图还原为直观图，得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．由此结合题意，可得正文体的棱长为2，算出外接球半径R，再结合球的表面积公式，即可得到该球表面积．
【解答】解：将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，
且与该正方体内接于同一个球．且该正方体的棱长为a
设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF中点为G,连接OG，OA，AG
根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为2，即正方体面对角线长也是2，
∴得AG==a,所以正方体棱长a=2
∴Rt△OGA中，OG=a=1,AO=，
即外接球半径R=，得外接球表面积为4πR2=12π．
故选A．
12．已知函数f（x)=4﹣x2,y=g（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，g(x）=log2x，则函数f(x）•g（x）的大致图象为（)
A．B．C．D．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】利用函数奇偶性的性质判断函数f（x)•g（x)的奇偶性,然后利用极限思想判断，当x→+∞时，函数值的符号．
【解答】解:因为函数f（x）=4﹣x2为偶函数，y=g（x)是定义在R上的奇函数,
所以函数f（x）•g(x）为奇函数，图象关于原点对称，所∞以排除A,B．
当x→+∞时，g（x)=log2x＞0,f（x）=4﹣x2＜0．
所以此时f(x）•g（x）＜0．
所以排除C，选D．
故选D．
二。

填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．在△ABC中，角A,B，C的对边分别是a，b，c，若c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，则△ABC的形状是等腰或直角三角形．
【考点】正弦定理．
【分析】由正弦定理将已知化简为三角函数关系式,可得cosA(sinB﹣sinA）=0，从而可得
A=或B=A或B=π﹣A(舍去），即可判断三角形的形状．
【解答】解:在△ABC中，∵c﹣acosB=（2a﹣b）cosA,C=π﹣(A+B），
∴由正弦定理得：sinC﹣sinAcosB=2sinAcosA﹣sinBcosA，
∴sinAcosB+cosAsinB﹣sinAcosB=2sinAcosA﹣sinBcosA，
∴cosA（sinB﹣sinA）=0,
∵cosA=0，或sinB=sinA,
∴A=或B=A或B=π﹣A（舍去)，
可得△ABC的形状是等腰或直角三角形．
故答案为：等腰或直角三角形．
14．已知向量=（1，2），=（3,0），若向量+λ与=（1，﹣2）垂直，则实数λ等于1．【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】利用向量垂直，数量积为0，得到关于λ的方程解之．
【解答】解：因为向量=（1，2），=（3，0),所以+λ=（1+3λ，2)，
因为向量+λ与=（1,﹣2)垂直,
所以（+λ)•=0即1+3λ﹣4=0，解得λ=1．
故答案为1
15．定义：min｛a,b}=．在区域内任取一点P（x，y）,则x，y满足
min{3x﹣2y+6，x﹣y+4}=x﹣y+4的概率为．
【考点】几何概型．
【分析】本题是一个几何概型,试验包含的所有事件对应的集合Ω={（x，y）|0≤x≤2,0≤y ≤6｝，满足条件的事件A={（x,y）|0≤x≤2，0≤y≤6,x﹣y+4≤3x﹣2y+6}，算出两个集合对应的面积，面积之比就是要求的概率．
【解答】解：本题是一个几何概型，
∵试验包含的所有事件对应的集合Ω=｛(x，y）｜0≤x≤2,0≤y≤6}，
∴SΩ=2×6=12，
∵满足条件的事件A=｛(x，y）|0≤x≤2,0≤y≤6，x﹣y+4≤3x﹣2y+6}，即A={（x,y）｜0≤x≤2，0≤y≤6，2x﹣y+2≥0}，
y=6,x=2
∴S A=12﹣=8
∴由几何概型公式得到P==．
故答案为：．
16．在平面直角坐标系xOy中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．已知点P（x，y)
是角θ终边上一点，|OP｜=r(r＞0),定义f(θ）=．对于下列说法:
①函数f(θ)的值域是；
②函数f(θ）的图象关于原点对称；
③函数f（θ)的图象关于直线θ=对称；
④函数f（θ）是周期函数，其最小正周期为2π;
⑤函数f（θ)的单调递减区间是［2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．
其中正确的是①③④．(填上所有正确命题的序号）
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】由题意可得f（θ）=，再利用函数的周期性、单调性的定义,函数的图象的对称性得出结论．
【解答】解:由已知点P（x,y)是角θ终边上一点，｜OP｜=r=（r＞0),
定义f（θ)==,当x=﹣y＞0时，函数f(θ）取最大值为=;
当x=﹣y ＜0时,f(θ)取最小值为 =﹣，
可得f(θ）的值域是
，故①正确．
由于﹣θ角的终边上对应点为P ′（x ，﹣y ）,|OP ′|=r ，∴f(﹣θ)=
，故 f （﹣θ）≠f （θ)，
故f （θ）不是奇函数,故函数f(θ）的图象不关于原点对称，故排除②． 由于点P （x ，y ）关于直线θ=（即y=﹣x)的对称点为Q （﹣y ，﹣x ），故f （
﹣θ）
=
=f （θ)，
故函数f(θ）的图象关于直线θ=
对称,故③正确．
④由于角θ和角2π+θ的终边相同，故函数f （θ）是周期函数,其最小正周期为2π，故④正
确． ⑤在区间[﹣
，
]上，x 不断增大，同时y 值不断减小，r 始终不变，故f （θ）
=不断增大，故f （θ）=
是增函数，
故函数f （θ）在区间［2k π﹣
，2k π+
],k ∈Z 上不是减函数,故⑤不对,
故答案为：①③④．
三。

解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17．已知正项数列满足4S n =（a n +1）2． (1)求数列{a n ｝的通项公式； （2）设b n =
，求数列{b n }的前n 项和T n ．
【考点】数列递推式；数列的求和．
【分析】(Ⅰ)由4S n =(a n +1)2．可知当n ≥2时，4S n ﹣1=(a n ﹣1+1)2，两式相减，结合等差数列的通项公式可求 (Ⅱ） 由(1）知
=
,利用裂项求和即可求解
【解答】解:（Ⅰ)∵4S n =（a n +1）2． ∴当n ≥2时，4S n ﹣1=（a n ﹣1+1）2． 两式相减可得，4(s n ﹣s n ﹣1)=
即4a n =
整理得a n ﹣a n ﹣1=2 … 又a 1=1
∴a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1 … （Ⅱ) 由(1)知
=
…
所以
=…
18．某高校共有学生15 000人,其中男生10 500人,女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．
（1）应收集多少位女生的样本数据？
（2）根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2］，（2,4]，（4，6]，（6，8]，（8,10],（10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．
（3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关"．
P（K2≥k0）0。

10 0.05 0.010 0。

005
k0 2.706 3。

841 6.635 7。

879
附：K2=．
【考点】独立性检验．
【分析】（1）根据频率分布直方图进行求解即可．
（2）由频率分布直方图先求出对应的频率，即可估计对应的概率．
（3）利用独立性检验进行求解即可
【解答】解：（1）300×=90,所以应收集90位女生的样本数据．
（2）由频率分布直方图得1﹣2×（0。

100+0。

025）=0。

75，
所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0。

75．
（3)由(2）知,300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的,90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下:每周平均体育运动时间与性别列联表
男生女生总计
45 30 75
每周平均体育运动时间
不超过4小时
每周平均体育运动时间165 60 225
超过4小时
总计210 90 300
结合列联表可算得K2==≈4.762＞3。

841
所以,有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1,∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（1)求证:BC⊥平面ACFE；
（2）若点M在线段EF上移动，试问是否存在点M，使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°，若存在，求出点M的坐标;若不存在，说明理由．
【考点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法．【分析】（1)由AB∥CD且AD=DC，得∠DAC=∠DCA=∠CAB，得根据等腰梯形的性质结
合题中的数据算出∠CAB=∠DAB=30°，得△ABC中∠ACB=90°，从而AC⊥BC．最后根
据平面ACEF⊥平面ABCD,结合面面垂直的性质定理即可证出BC⊥平面ACFE；
（2）以C为坐标原点，AC、BC、CF所在直线分别为x轴、y轴、z轴轴，建立空间直角坐标系如图．结合题中数据得到A、B的坐标，设M（a，0,1）从而得出、的坐标，利用垂直向量数量积为0的方法算出=(1，，）是平面AMB的一个法向量，结
合是平面FCB的一个法向量．利用空间向量的夹角公式算出向量、的余
弦之值,由平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°，建立关于a的方程并得到此方程无实数解．由此可得不存在点M，使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°．
【解答】解：（1）∵在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC，∴∠DAC=∠DCA=∠CAB，
∵梯形ABCD是等腰梯形，得∠DAB=∠ABC=60°，
∴∠CAB=∠DAB=30°,得△ABC中，∠ACB=180°﹣(∠CAB+∠ABC）=90°，即AC⊥BC，
又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC,BC⊂平面平面ABCD,
∴BC⊥平面ACFE；
（2）由(1）知AC、BC、CF两两互相垂直，以C为坐标原点，AC、BC、CF所在直线分别为x轴、y轴、z轴轴,
建立空间直角坐标系如图，
∵Rt△ABC中，BC=1，∠ABC=60°,∴AC=BCtan60°=,
可得A、B的坐标分别为A（，0,0）,B（0，1，0），设M(a,0，1），则
，，
设=(x，y，z）是平面AMB的一个法向量，则
取x=1，得=（1,，），
∵是平面FCB的一个法向量,
∴若平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°，得
cos＜，＞==
化简,得2+（)2=0，显然此方程无实数解，
因此，线段EF上不存在点M使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°．
20．已知椭圆C: +=1(a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1的离心率互为倒数，且直线x﹣
y﹣2=0经过椭圆的右顶点．
(Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线与椭圆C交于M、N两点，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）通过双曲线的离心率，求出椭圆的离心率，求出椭圆的右顶点，求出a，c，b,求出椭圆方程．
（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：y=kx+m•（k≠0，m≠0），M（x1，y1）、N(x2，y2）联立消去y，利用韦达定理，结合直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列．求
出k，设原点O到直线的距离为d，表示出三角形的面积,然后由m的取值范围可得△OMN 面积的取值范围为（0,1)．
【解答】解：（Ⅰ）∵双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率，
又∵直线x﹣y﹣2=0经过椭圆的右顶点，
∴右顶点为（2,0），即a=2，c=，b=1,…
∴椭圆方程为:．…
(Ⅱ）由题意可设直线的方程为：y=kx+m•（k≠0,m≠0），M（x1,y1）、N（x2，y2）
联立消去y并整理得：（1+4k2)x2+8kmx+4（m2﹣1）=0…
则，
于是…
又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列．
∴…
由m≠0得：
又由△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=16（4k2﹣m2+1)＞0，得：0＜m2＜2
显然m2≠1（否则：x1x2=0,则x1，x2中至少有一个为0,
直线OM、ON中至少有一个斜率不存在,与已知矛盾）…
设原点O到直线的距离为d，则
∴故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0，1）…
21．已知函数f（x)=﹣lnx．
（Ⅰ）若f（x）在x=3处取得极值，求实数a的值；
（Ⅱ)若f（x）≥5﹣3x恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;函数在某点取得极值的条件．
【分析】(Ⅰ）先求函数的定义域,然后求出导函数,根据f(x）在x=3处取得极值，则f′（3)=0，求出a的值,然后验证即可；
（Ⅱ）设,然后利用导数研究该函数的最小值，使得最
小值大于等于0,从而可求出a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ)函数f（x）定义域为（0,+∞），．
由f’(3)=0，得a=﹣3．
当a=﹣3时,由f’(x）＞0，得0＜x＜3，由f’（x）＜0,得x＞3，
∴f（x）在（0，3）上单调递增，在（3，+∞）上单调递减,
即f（x)在x=3处取得极大值，符合题意，则实数a=﹣3；
(Ⅱ)设,则当x＞0时，g（x）≥0恒成立，
由g（1）=a﹣2≥0，得a≥2，，
方程g'(x）=0有一负根x1和一正根x2，x1＜0＜x2．其中x1不在函数定义域内，
∴g（x）在（0，x2）上是减函数，在（x2,+∞)上是增函数,即g（x）在定义域上的最小值为g（x2），
依题意只需g（x2)≥0，即，
又∵,
∴,∵,∴，
∴g（x2）=3x2﹣1﹣lnx2+3x2﹣5≥0，即6x2﹣6﹣lnx2≥0．
令h（x）=6x﹣6﹣lnx，则，
当时，h′(x）＞0，
∴h（x）是增函数．
又∵h（1）=0，
∴6x2﹣6﹣lnx2≥0的解集为[1,+∞）,即x2≥1，
∴，即a的取值范围是[2，+∞)．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲］
22．曲线C1的参数方程为（θ为参数），将曲线C1上所有点的横坐标伸长为原
来的2倍,纵坐标伸长为原来的倍，得到曲线C2．
(Ⅰ）求曲线C2的普通方程；
（Ⅱ)已知点B（1，1）,曲线C2与x轴负半轴交于点A,P为曲线C2上任意一点,求｜PA｜2﹣｜PB｜2的最大值．
【考点】参数方程化成普通方程；两点间的距离公式．
【分析】（Ⅰ）由题意可得，曲线C2的参数方程为，再消去参数θ可得+=1，即为所求．
（Ⅱ）由题意可得A(﹣2，0)，设点P（2cosθ，sinθ），求得|PA｜2﹣|PB｜2 =2+2sin(θ+∅），从而求得|PA|2﹣｜PB｜2的最大值．
【解答】解：(Ⅰ）由题意可得，曲线C2的参数方程为,再消去参数θ可得+=1，
即为所求的曲线C2的普通方程．
（Ⅱ)由题意可得A（﹣2，0)，设点P（2cosθ，sinθ），
则|PA｜2﹣|PB｜2 =［(2cosθ+2）2+3sin2θ]﹣[（2cosθ﹣1）2+]
=2+12cosθ+2sinθ=2+2sin（θ+∅），
其中，sin∅=,cos∅=,故｜PA｜2﹣｜PB｜2的最大值为2+2．
2016年10月29日。