高中数学第二章随机变量及其分布课时作业16正态分布新人教A版选修2-3(2021年整理)

2018版高中数学第二章随机变量及其分布课时作业16 正态分布新人教A版选修2-3
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课时作业 16 正态分布|基础巩固|(25分钟，60分）
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．对于标准正态分布N(0,1)的密度函数f(x)＝错误!e
2
2
x
，下列说法不正确的是( ）
A．f(x)为偶函数
B．f(x）的最大值是错误!
C．f(x）在x〉0时是单调减函数，在x≤0时是单调增函数
D．f（x）关于x＝1是对称的
解析：由正态分布密度函数知μ＝0，即图象关于y轴对称．
答案：D
2．把一正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下列说法不正确的是（）
A．曲线C
2
仍是正态曲线
B．曲线C
1
，C2的最高点的纵坐标相等
C．以曲线C
2
为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2
D．以曲线C
2
为概率密度曲线的总体的期望比以曲线C1为概率密度曲线的总体的期望大2
解析：正态密度函数为φμ,σ（x)＝，x∈（－∞，＋∞)，正态曲线对称轴为x＝μ，曲线最高点的纵坐标为f(μ）＝错误!。

所以C1沿着横轴方向向右移动2个单位后,曲线形状没变,仍为正态曲线，且最高点的纵坐标没变，从而σ没变,所以方差没变，而平移前后对称轴变了,即μ变了，因为曲线向右平移2个单位，所以期望值μ增加了2个单位．答案：C
3．设随机变量ξ~N(2,2），则D(2ξ)＝( ）
A．1 B．2
C。

错误!D．8
解析:∵ξ~N（2,2)，∴D(ξ)＝2.
∴D(2ξ)＝4D（ξ)＝4×2＝8。

答案：D
4．已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2),若P(ξ>2）＝0。

023，则P(－2≤ξ≤2)＝( ）
A．0.447 B．0。

628
C．0。

954 D．0.977
解析：∵随机变量ξ服从标准正态分布N（0，σ2)，
∴正态曲线关于直线x＝0对称，又P（ξ〉2)＝0。

023。

∴P（ξ〈－2)＝0.023。

∴P(－2≤ξ≤2）＝1－2×0。

023＝0。

954.
答案：C
5．随机变量ξ～N（2,10)，若ξ落在区间（－∞，k)和(k，＋∞)的概率相等，则k等于（)
A．1 B．10
C．2 D。

10
解析：∵区间（－∞，k)和(k，＋∞）关于x＝k对称,
所以x＝k为正态曲线的对称轴,
∴k＝2，故选C。

答案:C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．如果是三个正态分布X~N（0,0.25),Y～N（0,1)，Z～N（0,4)的密度曲线，则三个随机变量X,Y,Z对应曲线分别是图中的______、________、______.
解析:在密度曲线中，σ越大,曲线越“矮胖”;σ越小，曲线越“瘦高”．
答案:①②③
7．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，P（ξ>1)＝p，则P（－1<ξ<0)＝________.
解析:因为P（ξ>1)＝p,所以P（0〈ξ〈1）＝0.5－p,
故P（－1<ξ<0)＝P（0<ξ〈1)＝0。

5－p.
答案：0.5－p
8．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2）（σ>0）．若X在（0，1)内取值的概率为0。

4，则X在(0，2)内取值的概率为________．
解析:如图,易得P（0〈X〈1）＝P（1〈X〈2)，
故P（0〈X<2）＝2P(0〈X<1）＝2×0.4＝0。

8。

答案：0。

8
三、解答题(每小题10分,共20分)
9．在一次测试中，测量结果X服从正态分布N（2，σ2）（σ〉0），若X在（0，2）内取值的概率为0。

2,求：
（1)X在(0，4）内取值的概率；(2）P(X〉4)．
解析：(1）由X～N(2，σ2)，
对称轴x＝2，画出示意图，
∵P(0〈X<2)＝P(2〈X<4,)
∴P(0〈X<4）＝2P(0〈X〈2)＝2×0.2＝0.4。

（2）P（X〉4)＝错误![1－P(0<X〈4）]
＝1
2
(1－0。

4）＝0.3。

10．工厂制造的某零件尺寸X服从正态分布N错误!，问在一次正常试验中,取10 000个零件时,不属于区间(3，5)这个尺寸范围内的零件大约有多少个？
解析：不属于区间（3，5)的概率为P（X≤3）＋P(X≥5)＝1－P(3<X<5），因为X～N错误!，所以μ＝4，σ＝错误!。

所以1－P(3〈X<5)＝
1－P错误!＝1－0.997 5＝0。

002 5.
而10 000×0。

002 5＝25，
所以不属于(3,5）这个尺寸范围内的零件大约有25个．
|能力提升｜（20分钟，40分）
11．设X～N（μ1，σ21），Y～N（μ2，σ错误!),这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是( )
A．P(Y≥μ
）≥P（Y≥μ1）
2
B．P(X≤σ
)≤P(X≤σ1）
2
C．对任意正数t，P(X≥t）≥P（Y≥t)
D．对任意正数t，P(X≤t）≥P(Y≤t）
解析：由图象知，μ1<μ2，σ1〈σ2，P(Y≥μ2)＝错误!，
P(Y≥μ1）〉错误!,故P(Y≥μ2)〈P（Y≥μ1)，故A错;
因为σ1<σ2，所以P（X≤σ2）〉P(X≤σ1）,故B错;
对任意正数t,P（X≥t）<P(Y≥t)，故C错；
对任意正数t,P(X≤t)≥P（Y≤t）是正确的,故选D.
答案：D
12．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ,22），且正态分布密度曲线如图所示,若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为________．
解析：依题意可知,μ＝60.5，σ＝2，故P（58。

5<X≤62。

5）＝P(μ－σ〈X≤μ＋σ）＝0。

682 6，从而属于正常情况的人数为1 000×0。

682 6≈683.
答案：683
13．一投资者要在两个投资方案中选择一个,这两个方案的利润ξ（万元）分别服从正态分布N（8，32)和N(3,22）,投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量的大，那么他应选择哪个方案．
解析:由题意知，只需求出两个方案中“利润超过5万元”的概率哪个大，大的即为最佳选择方案．对于第一套方案ξ～N（8,32），则μ＝8,σ＝3.
于是P(8－3〈ξ≤8＋3）＝P(5〈ξ≤11）＝0.682 6。

所以P(ξ≤5)＝错误!［1－P(5<ξ≤11）］
＝错误!(1－0.682 6)＝0。

158 7.
所以P(ξ〉5)＝1－0。

158 7＝0。

841 3.
对于第二套方案ξ－N（3，22），
则μ＝3，σ＝2。

于是P（3－2<ξ≤3＋2)＝P(1〈ξ≤5)＝0。

682 6，所以P(ξ〉5)＝错误![1－P(1<ξ≤5)］
＝1
2
（1－0。

682 6)＝0.158 7.
所以应选择第一方案．
14．已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，某密度函数图象如图所示．
（1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式；
(2）求此地农民工年均收入在8 000~8 500之间的人数百分比．
解析：设农民工年均收入ξ～N(μ，σ2），
结合图象可知μ＝8 000,σ＝500。

（1）此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式P（x)＝
＝，x∈(－∞,＋∞)．
(2)∵P(7 500<ξ≤8 500)
＝P(8 000－500〈ξ≤8 000＋500)
＝0。

682 6.
∴P（8 000〈ξ≤8 500）
＝错误!P(7 500<ξ≤8 500)
＝0.341 3。

∴此地农民工年均收入在8 000～8 500之间的人数百分比为34.13％.。