安徽合肥市第八中学导数及其应用多选题试题含答案

安徽合肥市第八中学导数及其应用多选题试题含答案
一、导数及其应用多选题
1．已知函数()3
sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是（ ）
A ．()f x 是奇函数
B ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点
C ．若()f x 为增函数，则1a ≤
D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点
【答案】ACD 【分析】
利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；利用导数分析函数()f x 的单调性，可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，函数()3
sin f x x x ax =+-的定义域为R ，
()()()()3
3sin sin f x x x ax x x ax f x -=-+-+=--+=-，函数()f x 为奇函数，A 选
项正确；
对于B 选项，当3a =-时，()3
sin 3f x x x x =++，则()2
cos 330f x x x '=++>，
所以，函数()f x 在R 上为增函数，又()00f =，所以，函数()f x 有且只有一个零点，B 选项错误；
对于C 选项，()2
cos 3f x x x a '=+-，
由于函数()f x 为增函数，则()0f x '≥对任意的x ∈R 恒成立，即23cos a x x ≤+. 令()2
3cos g x x x =+，则()6sin g x x x '=-，则()6cos 0g x x ''=->，
所以，函数()g x '在R 上为增函数，
当0x <时，()()00g x g ''<=，此时，函数()g x 为减函数； 当0x >时，()()00g x g ''>=，此时，函数()g x 为增函数. 所以，()()min 01g x g ==，1a ∴≤，C 选项正确；
对于D 选项，当3a =时，()3sin 3f x x x x =+-，则()2
cos 33f x x x '=+-.
由B 选项可知，函数()f x '在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，
()()11cos10f f ''-==>，()020f '=-<，
由零点存在定理可知，函数()f x '在()1,0-和()0,1上都存在一个零点， 因此，当3a =时，函数()f x 有两个极值点，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】
结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在极值点；
（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.
2．已知：()f x 是奇函数，当0x >时，()'
()1f x f x ->，(1)3f =，则（ ）
A ．(4)(3)f ef >
B ．2(4)(2)f e f ->-
C ．3(4)41f e >-
D ．2(4)41f e -<--
【答案】ACD 【分析】
由已知构造得'
()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦
，令()()+1x f x g x e =，判断出函数()g x 在0x >时单调递增，由此得()()4>3g g ，化简可判断A ；()()4>2g g ，化简并利用()f x 是奇函数，可判断B ；
()()4>1g g ，化简可判断C ；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，可判断D.
【详解】 因为当0x >时，()'
()1f
x f x ->，所以()'()10f x f x -->，即
()[]
'()+10x
f x f e x ->，所以'
()+10x x e f ⎡⎤
>⎢⎥
⎣⎦
， 令()()+1x
f x
g x e
=
，则当0x >时，()'
>0g x ，函数()g x 单调递增， 所以()()4>3g g ，即43
(4)+1(3)+1
>f f e e ，化简得(4)(3)1>(3)f f e e ef >+-，故A 正确；
()()4>2g g ，即
42
(4)+1(2)+1>f f e e ，化简得222(4)(2)1>(2)f f e e e f >+-， 所以2(4)(2)e f f -<-，又()f x 是奇函数，所以2
(4)(2)e f f -<-，故B 不正确；
()()4>1g g ，即
4
(4)+1(1)+1>f f e e
，又(1)3f =，化简得3
(4)41f e >-，故C 正确； 由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，所以2
(4)41f e -<--，又()f x 是奇函数，所
以2
(4)41f e -<--，故D 正确, 故选：ACD.
【点睛】
关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.
3．在湖边，我们常看到成排的石柱子之间两两连以铁链，这就是悬链线（Catenary ），其形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名.选择适当的坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数()cosh 2
x x a
a
x e e
f x a a a -+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪
⎝⎭
，其中a 为非零常数，
在此坐标平面上，过原点的直线与悬链线相切于点()()00,T x f x ，则0x a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的值可能为（ ）（注：[]
x 表示不大于x 的最大整数）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
【答案】AC 【分析】
求出导数，表示出切线，令0x t a
=
，可得()()110t t
t e t e --++=，构造函数()()()11x x h x x e x e -=-++，可得()h x 是偶函数，利用导数求出单调性，结合零点存在
性定理可得021x a -<<-或012x
a
<<，即可求出. 【详解】
()2
x x
a
a
e e
f x a -+=⋅
，()
2
x x a
a
e e
f x --'∴=，
∴切线斜率
002
x x a
a
e e
k -
-=
，
()0
002
x x a
a
e e
f x a -+=⋅，
则切线方程为()000002
2x x x x a
a
a
a
e
e e e
y a x x --+--⋅=
-，
直线过原点，()0000022
x x x x a
a
a a
e e e e
a x --+-∴-⋅=
⋅-
令0x t a
=
，则可得()()110t t
t e t e --++=，
令()()()11x
x
h x x e x e -=-++，则t 是()h x 的零点，
()()()()11x x h x x e x e h x --=++-=，()h x ∴是偶函数，
()()x x h x x e e -'=-+，
当0x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，
()1120h e -=>，()22230h e e -=-+<，
()h x ∴在()1,2存在零点t ，由于偶函数的对称性()h x 在()2,1--也存在零点，
且根据单调性可得()h x 仅有这两个零点，
021x a ∴-<
<-或012x
a
<<， 02x a ⎡⎤
∴=-⎢⎥⎣⎦
或1. 故选：AC. 【点睛】
本题考查利用导数求切线，利用导数研究函数的零点，解题的关键是将题目转化为令
0x t a
=
，()()110t t t e t e --++=，求()()()11x x
h x x e x e -=-++的零点问题.
4．对于定义域为R 的函数()f x ，()'f x 为()f x 的导函数，若同时满足：①()00f =；②当x ∈R 且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12x x =时，都有
()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ）
A ．21()x
x f x e
e x =--
B ．2()1x
f x e x =+- C ．31,0
(),0
x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩
D ．42,0
()ln(1),0
x x f x x x >⎧=⎨
-≤⎩
【答案】ACD 【分析】
结合“偏对称函数”的性质，利用导数的方法，分别讨论四个函数是否满足三个条件，即可
得到所求结论． 【详解】
条件①()00f =；
由选项可得：001(0)00f e e =--=，0
2(0)010f e =+-=，03(0)10f e =-=，
4()ln(10)0f x =-=，即ABCD 都符合；
条件②0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨
'>⎩，或0
()0x f x <⎧⎨'<⎩
；
即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增； 对于21()x
x f x e
e x =--，则()()21()11212x x x x
f x e e e e =-+-=-'，
由0x >可得，(
)()
120(1)1x x
f x e e '-=+>，即函数1()f x 单调递增；
由0x <可得，()()1
20(1)1x
x
f x e
e '-=+<，即函数1
()f x 单调递减；满足条件②；
对于2()1x
f x e x =+-，则2()10x f x e =+>'显然恒成立，所以2()1x
f x e x =+-在定义域上单调递增，不满足条件②；
对于31,0
(),0
x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，当0x <时，3()f x x =-显然单调递减；当0x ≥时，
3()1x f x e =-显然单调递增；满足条件②；
对于42,0()ln(1),0
x x f x x x >⎧=⎨
-≤⎩，当0x ≤时，4()ln(1)f x x =-显然单调递减；当0x >时，4()2f x x =显然单调递增，满足条件②； 因此ACD 满足条件②；
条件③当120x x <<且12x x =时，12x x -=，都有()()12f x f x <，即
()()()()21220f x f x f x f x -=-->，
对于21()x
x f x e
e x =--，
()()2121222
11211x x x x f x f x e e e e x x -=-+--+()()()()22222222222222x x x x x x x x x e e e e e e e x e ----=----=-+-，
因为222x x e e -+≥=，当且仅当22x x e e -=，即20x =时，等号成立， 又20x >，所以222x x e e -+>， 则()()(
)()22
2212
2211222x
x x x f x f x e e
e e x
x ----=--->
令()x
x
g x e e
x -=--，0x >，
所以()1110x x e e g x -'=+->=>在0x >上显然恒成立， 因此()x
x
g x e e
x -=--在0x >上单调递增，所以()()00g x g >=，
即()()(
)22
2121120x
x f x f x e e
x -->-->，所以()()1211f x f x >满足条件③；
对于31,0(),0
x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，()()2232311211x x
f x f x e x x e -=--=-+，
令()1x
h x e x =--，0x >，则()10x
h x e '=->在0x >上显然恒成立，
所以()()00h x h >=，则()()23231210x
f x f x e x --=>-，即()()3231f x f x >满足条
件③；
对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨
-≤⎩
，()()()()212122442ln 12ln 1f x f x x x x x -=--=-+， 令()()2ln 1u x x x =-+，0x >， 则()1
221101u x x
'=-
>-=>+在0x >上显然恒成立，所以()()00u x u >=， 则()()()1422422ln 10f x f x x x -=-+>，即()()1442f x f x >满足条件③； 综上，ACD 选项是“偏对称函数”， 故选：ACD. 【点睛】 思路点睛：
求解此类函数新定义问题时，需要结合函数新定义的概念及性质，结合函数基本性质，利用导数的方法，通过研究函数单调性，值域等，逐项判断，即可求解.（有时也需要构造新的函数，进行求解.）
5．已知函数()()
2
2
14sin 2
x x
e x
f x e -=
+，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()y f x =是偶函数，且在(),-∞+∞上不单调 B ．函数()y f x '=是奇函数，且在(),-∞+∞上不单调递增 C ．函数()y f x =在π,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增 D ．对任意m ∈R ，都有()()f m f m =，且()0f m ≥
【答案】AD 【分析】
由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A 、B 、C 、D. 【详解】 解：对A ，
()()
2
22
11
4sin =2cos 2x x x
x e x e f x x e e
-+=
+-，
定义域为R ，关于原点对称，
()2211
=2cos()2cos()()x x x x
e e
f x x x f x e e
--++---=-=， ()y f x ∴=是偶函数，其图像关于y 轴对称，
()f x ∴在(),-∞+∞上不单调，故A 正确；
对B ，1
()2sin x
x
f x e x e '=-
+，
11()2sin()=(2sin )()x x
x x f x e x e x f x e e
--''-=-
+---+=-， ()f x '∴是奇函数，
令1
()2sin x
x g x e x e
=-+， 则1
()+
2cos 2+2cos 0x x g x e x x e
'=+≥≥， ()f x '∴在(),-∞+∞上单调递增，故B 错误；
对C ，1()2sin x x f x e x e
'=-
+，且()'
f x 在(),-∞+∞上单调递增， 又
(0)0f '=，
π,02x ⎛⎫
∴∈- ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，
()y f x ∴=在π,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递减，故C 错误；
对D ，
()y f x =是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，
()()f m f m ∴=，且()(0)0f m f ≥=，故D 正确.
故选：AD. 【点睛】
用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
6．已知函数()sin x
f x x
=
，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在区间(]
0,π上单调递减
B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅
C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[
)0,1 D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减
【答案】ACD 【分析】
先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可， 对于选项A ：当0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减；
当,2x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，最后作出判断； 对于选项B ：由()f x 在区间(]
0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得
1212
sin sin x x x x >，进而作出判断； 对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f π
ππ
==，进而作出判断；
对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin x
g x f x x
''=
=，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]
0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.
【详解】
()2
cos sin x x x
f x x -'=
， (]0,x π∈，
当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <， 所以sin cos x
x x
<
，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<， 所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减， 当,2x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<， 所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递减， 所以()f x 在区间(]
0,π上单调递减，故选项A 正确； 当120x x π<<≤时，()()12f x f x >，
所以12
12
sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误； 由三角函数线可知sin x x <，所以
sin 1x x x x <=，sin ()0f π
ππ
==， 所以当(]0,x π∈时，()[
)0,1f x ∈，故选项C 正确；
对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得： 所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，
所以()()sin x
g x f x x
''=
=，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1， 所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]
0,π上单调递增，因为()0g π'=， 从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]
0,π上单调递减，故选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin x
f x x
=
的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.
7．对于函数2
ln ()x
f x x =，下列说法正确的是（ ） A
．函数在x =
12e
B ．函数的值域为1,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
C ．()f x 有两个不同的零点 D
．(2)f f f <<
【答案】ABD 【分析】
求导，利用导数研究函数的单调区间，进而研究函数的极值可判断A 选项，作出函数()f x 的抽象图像可以判断BCD 选项. 【详解】
函数的定义域为()0,∞+，求导2
43
1ln 212ln ()x x x
x x f x x x ⋅-⋅-'==
， 令()0f x '=
，解得：x =
所以当x =
2f
e =，故A 正确；
对于BCD ，令()0f x =，得ln 0x =，即1x =，当x →+∞时，ln 0x >，20x >，则
()0f x >
作出函数()f x 的抽象图像，如图所示：
由图可知函数的值域为1,2e ⎛⎤
-∞ ⎥⎝⎦
，故B 正确；函数只有一个零点，故C 错误；又函数()f x 在
)
,e +∞32e π<<<，则(2)3)f f f π<<，故D
正确； 故选：ABD 【点睛】
方法点睛：本题考查利用导数研究函数单调性，函数的极值，函数的值域，及求函数零点个数，求函数零点个数常用的方法：
（1）方程法：令()0f x =，如果能求出解，有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[]
,a b 上是连续不断的曲线，且
()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才
能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
（3）数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
8．设函数()ln x
f x x
=
，()ln g x x x =，下列命题，正确的是（ ） A ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减 B ．不等关系33e e ππππ<<<成立
C ．若120x x <<时，总有()
()()22
212122a x x g x g x ->-恒成立，则1a ≥
D ．若函数()()2
h x g x mx =-有两个极值点，则实数()0,1m ∈
【答案】AC 【分析】
利用函数的单调性与导数的关系可判断A 选项的正误；由函数()f x 在区间(),e +∞上的单调性比较3π、e π的大小关系，可判断B 选项的正误；分析得出函数()()2
2s x g x ax
=-在()0,∞+上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出a 的取值范围，可判断C 选项的正误；分析出方程1ln 2x
m x
+=
在()0,∞+上有两个根，数形结合求出m 的取值范围，
可判断D 选项的正误.
【详解】
对于A 选项，函数()ln x f x x =的定义域为()0,∞+，则()2
1ln x f x x -'=. 由()0f x '>，可得0x e <<，由()0f x '>，可得x e >.
所以，函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减，A 选项正确；
对于B 选项，由于函数()ln x f x x =
在区间(),e +∞上单调递减，且4e π>>， 所以，()()4f
f π>，即ln ln 44ππ>，又ln 41ln 213ln 22043236--=-=>， 所以，ln ln 4143
π
π>>，整理可得3e ππ>，B 选项错误； 对于C 选项，若120x x <<时，总有()
()()22212122a x x g x g x ->-恒成立， 可得()()22112222g x ax g x ax ->-，构造函数()()2222ln s x g x ax x x ax =-=-， 则()()12s x s x >，即函数()s x 为()0,∞+上的减函数，
()()21ln 20s x x ax '=+-≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 即1ln x a x
+≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 令()1ln x t x x +=，其中0x >，()2ln x t x x
'=-. 当01x <<时，()0t x '>，此时函数()t x 单调递增；
当1x >时，()0t x '
<，此时函数()t x 单调递减. 所以，()()max 11t x t ==，1a ∴≥，C 选项正确；
对于D 选项，()()22
ln h x g x mx x x mx =-=-，则()1ln 2h x x mx '=+-， 由于函数()h x 有两个极值点，令()0h x '=，可得1ln 2x m x
+=， 则函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点， 当1x e
>时，()0t x >，如下图所示：
当021m <<时，即当102m <<
时，函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点.
所以，实数m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，D 选项错误.
故选：AC.
【点睛】
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.。