高三数学备考冲刺140分问题44算法与其他知识的交汇问题含解析3

问题44算法与其他知识的交汇问题
一、考情分析
算法是高考每年必考内容,多以客观题形式出现,难度为中等或中等以下,考查方式多为程序框图,按题型划分主要有求结果、填补过程、求输入参量三类,并且此类问题常和其他知识交汇,其中与函数、三角、不等式、数列、概率与统计的交汇是高考热点.
二、经验分享
1.应用顺序结构与条件结构的注意点
(1)顺序结构
顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．
(2)条件结构
利用条件结构解决算法问题时,重点是判断框,判断框内的条件不同,对应的下一框中的内容和操作要相应地进行变化,故要重点分析判断框内的条件是否满足．
2.与循环结构有关问题的常见类型及解题策略
(1)已知程序框图,求输出的结果,可按程序框图的流程依次执行,最后得出结果．
(2)完善程序框图问题,结合初始条件和输出结果,分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．
(3)对于辨析程序框图功能问题,可将程序执行几次,即可根据结果作出判断．
三、题型分析
一、算法与函数的交汇
【例1】执行如图所示的程序框图,如果输入的t∈[－1,3],则输出的s属于( )
A．[－3,4] B．[－5,2]
C．[－4,3] D．[－2,5]
【分析】由程序框图得分段函数s ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧3t ，t <1，4t －t 2
，t ≥1.所以当－1≤t <1时,s ＝3t ∈[－3,3)；当1≤t ≤3时,s ＝4t －t 2＝－(t －2)2
＋4,所以此时3≤s ≤4.综上函数的值域为[－3,4],即输出的s 属于[－3,4]． 【答案】A
【点评】含有条件结构的程序框图用在需要对条件进行判断的算法程序中,这一点与分段函数相关问题恰好结合在一起,体现了分类讨论思想的应用.含有嵌套的条件结构,一定要分清外层条件与内层条件及上下逻辑关系,对于分段函数求值,一定要首先判断输入的x 的值, 属于定义域的哪个子集,然后再代入相应的关系式求值.
【小试牛刀】【山东潍坊市2019届高三下学期一模】执行下边的程序框图，如果输出的值为1，则输入的值为（ ）
A ．0
B ．
C ．0或
D ．0或1
【答案】C
【解析】程序对应的函数为y
，
若x ≤0，由y ＝1得e x
＝1，得x ＝0，满足条件．
若x ＞0，由y ＝2﹣lnx ＝1，得lnx ＝1，即x ＝e ，满足条件． 综上x ＝0或e ， 故选：C ．
二、算法与三角的交汇
【例2】执行如图所示的程序框图,若输入的x ∈[0,2π],则输出y 的取值范围是( )
A．[0,1] B．[－1,1]
C．[－
2
2
,1] D．[－1,
2
2
]
【答案】C
【分析】解决本题的关键是读懂程序框图,知道输出的y为sin x,cos x中的较大值
【解析】根据程序框中判断框内的条件,得知y为sin x,cos x中的较大值．在同一个坐标系中画出y＝sin
x,y＝cos x的图象,可知y的取值范围为[－
2
2
,1]．
【点评】本题是条件结构的程序框图,条件结构主要用在一些需要依据条件进行判断的算法中,故条件结构常与比较大小及分段函数相结合.
【小试牛刀】【山东省临沂市2019届高三2月教学质量检测】执行如图所示的程序框图，输出的值为
A．0 B．
C．1 D．－1
【答案】A
【解析】第一次循环，k ＝1，S ＝cos0＝1，k ＝1+1＝2，k ＞4不成立， 第二次循环，k ＝2，S ＝1+cos 1
=，k ＝2+1＝3，k ＞4不成立；
第三次循环，k ＝3，S ＝cos ，k ＝3+1＝4，k ＞4不成立； 第四次循环，k ＝4，S cos
，k ＝4+1＝5，k ＞4成立
退出循环，输出S ＝0， 故选：A ．
三、算法与不等式的交汇
【例3】执行如图所示的程序框图,如果输入的x ,y ∈R ,那么输出的S 的最大值为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【分析】当条件x ≥0,y ≥0,x ＋y ≤1不成立时输出S 的值为1,当条件x ≥0,y ≥0,x ＋y ≤1成立时S ＝2x ＋
y ,下面用线性规划的方法求此时S 的最大值．作出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1
表示的平面区域如图中阴影部分所示,
由图可知当直线S ＝2x ＋y 经过点M (1,0)时S 最大,其最大值为2×1＋0＝2,故输出S 的最大值为2.
【答案】C
【点评】本题是算法与不等式的交汇,以算法为载体,考查了线性规划问题．在知识交汇处设计问题,是高考算法的一大特点．
【小试牛刀】执行如图所示的程序框图,若输入的x 的值为1,则输出的n 的值为____________.
【答案】3
【解析】运行程序：12
－4×1＋3＝0,x ＝2,n ＝1；22
－4×2＋3<0,x ＝3,n ＝2；32
－4×3＋3＝0,x ＝4,n ＝3；42
－4×4＋3>0,退出循环,输出的n 的值为3.故填3. 四、算法与数列的交汇
【例4】阅读如图所示的程序框图,若输入的9
19
a =
,则输出的k 值是（ ）
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12 【答案】C
【解析】由程序框图知, S 为数列)())((1
21
1212112121+--=+-=k k k k a k 的前k 项和,由裂项法
得,)(S 121121+-=
k ,然后由19
9
121121>
+-=)(S k 得9>k ,所以当10≥k 时程序运行结束,此时11=k ．故选C ．
【点评】解决本类问题先从宏观理清框图是解决什么具体问题的,然后严格按照步骤执行其流程要求．关键是每次循环过后,将每个变量一一列出,如果循环次数较多就要总结规律,如等差、等比数列通项、周期等；
如果循环次数较少,可以全部列出．也可直接由程序运行的实质得到一般性的结论,如本题实为裂项法求数列的和,然后求解即可． 【小试牛刀】如图给出了计算
1111
24660
++++L L 的值的程序框图,其中①②分别是（ ）
（A ）30i <,2n n =+ （B ）30i =,2n n =+ （C ）30i >,2n n =+ （D ）30i >,1
n n =+
【答案】C
【解析】因为2,4,6,8,…,60构成等差数列,首项为2,公差为2,所以2＋2(n －1)＝60,解得n ＝30,所以该程序循环了30次,即i >30,n ＝n ＋2,故选C ． 五、算法与概率统计的交汇
【例5】下图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q 的程序框图,则图中空白框内应填入（ ）
A ．M q i =
B ．M q N =
C ．N q M N =+
D ．M
q M N
=+
【答案】D
【解析】由程序框图可知,M 为及格的人数,N 为不及格人数,所以及格率M
q M N
=+,故选D ．
【点评】解决循环结构的程序框图问题要注意几个常用变量： ①计数变量：用来记录某个事件发生的次数,如i ＝i ＋1. ②累加变量：用来计算数据之和,如S ＝S ＋i . ③累乘变量：用来计算数据之积,如p ＝p ×i .
【小试牛刀】如果执行如图所示的程序框图,输入正整数(2)N N ≥和实数12N a a a L ，，
，,输出A B ，,则（ ）
A ．A
B +为12N a a a L ，，
，的和 B ．
2
A B
+为12N a a a L ，，
，的算数平均数 C ．A 和B 分别是12N a a a L ，，
，中最大的数和最小的数 D ．A 和B 分别是12N a a a L ，，
，中最小的数和最大的数 【答案】C
【解析】据程序框图可知,,A B 分别为12,,,N a a a L 中的最大数和最小数,故选C. 六、算法与数学文化的交汇
【例6】若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ,则记为()mod N n m =,例如()102mod 4=.如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图,则输出的n 等于（ ）
A ．20
B ．21 C.22 D ．23 【答案】C
【解析】由已知中的程序框图得：该程序的功能是利用循环结构计算出并输出同时满足条件：①被3除余1,②被5除余2,最小为两位数,所输出的22n =,故选C. 【点评】数学文化与程序框图的交汇是近几年高考热点. 【小试牛刀】公元263年左右,我国数学家刘徽发现,
当圆内接多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,由此创立了割圆术,利用割圆术刘 徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14,这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计程 序框图,则输出的n 值为（ 3 1.732,sin150.2588︒≈,sin7.50.1305︒≈．
A ． 12
B ． 24
C ． 48
D ． 96 【答案】B
【解析】由程序框图,,n S 值依次为：6, 2.59808n S ==；12,3n S ==；24, 3.10583n S ==,此时满足
3.10S ≥,输出24n =,故选B ．
四、迁移运用
1．【2019届广东省数学模拟试卷（一)】设x 1＝18，x 2＝19，x 3＝20，x 4＝21，x 5＝22，将这5个数依次输入如图所示的程序框图运行，则输出S 的值及其统计意义分别是（ ）
A ．S ＝2，这5个数据的方差
B ．S ＝2，这5个数据的平均数
C ．S ＝10，这5个数据的方差
D ．S ＝10，这5个数据的平均数
【答案】A
【解析】根据程序框图，输出的S 是x 1＝18，x 2＝19，x 3＝20，x 4＝21，x 5＝22这5个数据的方差，因为
，
∴由方差的公式S ＝．
故选：A ．
2．【河南省新乡市2019届高三下学期第二次模拟】某程序框图如图所示，则该程序的功能是（ ）
A．为了计算
B．为了计算
C．为了计算
D．为了计算
【答案】A
【解析】运行程序，，，判断是；，判断是，，……，以此类推，表达式的最后一项的指数比下一个要少，故，退出程序，输出的值.所以程序框图是为了计算，故选A.
3．【贵州省贵阳市普通中学2019届高三年级第一学期期末】秦九韶是我国宋时期的数学家，他在所著的
数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出v的值为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】一次循环，，，成立，则，，
第二次循环，，成立，则，，
第三次循环，，成立，则，，
第四次循环，，成立，则，，
第五次循环，，成立，则，，
第六次循环，，不成立，输出，
故选：C．
4．【陕西省榆林市2019届高三第二次模拟】为计算，设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由程序框图的运行，可得：S＝0，i＝0
满足判断框内的条件，执行循环体，a＝1，S＝1，i＝1
满足判断框内的条件，执行循环体，a＝2×（﹣2），S＝1+2×（﹣2），i＝2
满足判断框内的条件，执行循环体，a＝3×（﹣2）2，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i＝3
…
观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a＝99×（﹣2）99，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+ (100)
（﹣2）99，i＝100，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值，所以判断框中的条件应是i＜100．
故选：A．
5．【晋冀鲁豫名校2019届高三上学期期末】若执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意结合流程图可知流程图输出结果为，
，
.
本题选择C选项.
6．【山东省日照市2018届高三4月校际联考】条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成,用来表示一定的信息,我们通常见的条形码是“”通用代码,它是由从左到右排列的个数字（用
表示）组成,这些数字分别表示前缀部分、制造厂代码、商品代码和校检码,其中是校验码,用来校验前个数字代码的正确性.图（1）是计算第位校验码的程序框图,框图中符号表示不超过的最大整数（例如）.现有一条形码如图（2）所示（）,其中第个数被污损,那么这个被污损数字是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析由流程图可知,S表示的结果为前12项中所有偶数项之和,
T表示的结果为前12项中所有奇数项之和,则：
S=7+7+4+1+9+1=29,T=9+a3+0+0+1+9=19+a3,
M=3×29+19+a3=106+a3,检验知,,可知,
结合选项进行检验：
若,则,不合题意；
若,则,符合题意；
若,则,不合题意；
若,则,不合题意.
本题选择B选项.
7．【2018年4月高三第二次全国大联考】我国古代数学著作《九章算术》中记述道：今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里；驽马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢．问：几日相逢？结合二马相逢的问题设计了一个程序框图如图所示,已知为良马第天行驶的路程,为驽马第天行驶的路程,为良马、驽马天行驶的路程和,若执行该程序框图后输出的结果为,则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意,得良马天的行程为,驽马天的行程为,所以良马、驽马天
的总路程为,当时,；当时,.因为输出,所以．故选C.
n+猜想,是指对于每一个正整数,如果它是奇数,则对它乘3再加1；如果它是偶数,则8.考拉兹猜想又名31
对它除以2.如此循环,最终都能得到1.阅读如图所示的程序框图,运行相应程序,输出的结果i=（）
A ．4
B ．5 C.6 D ．7 【答案】D
【解析】模拟算法：开始：10,1a i ==,1a =不成立；a 是奇数,不成立,5,2a i ==,1a =不成立； a 是奇数,成立,16,3a i ==,1a =不成立；a 是奇数,不成立,8,4a i ==,1a =不成立；a 是奇数,不成立,4,5a i ==,1a =不成立；a 是奇数,不成立,2,6a i ==,1a =不成立；a 是奇数,不成立,1,7a i ==,1a =成立；输出7i =,结束算法.故选D.
9．执行如图所示的程序框图,若输出
3-=y ,则输入角=θ（ ）
A ．
6π B ．-6π C ．3π D ．-3π
【答案】D
【解析】对于选项A ,当
6π
θ=
时,所以
1sin sin
6
2y π
θ===
,则输出1
2y =
,不符合题意；对于选项B ,当
6π
θ=-
时,所以1sin sin()62y πθ==-=-,则输出12y =-,不符合题意；对于选项C ,当3π
θ=
时,所以
tan tan
3
3
y π
θ===,则输出3y =,不符合题意；对于选项D ,当
3π
θ=-
时,所以
tan tan()3
3y π
θ==-=-,则输出3y =-,符合题意；故应选D ．
10.阅读程序框图,如果输出的函数值在区间1,42
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
内,那么输入的实数x 的取值范围是( )
A. []2,2-
B. []1,2-
C. ()[),21,-∞--+∞U
D. ()(),22,-∞-+∞U 【答案】C
【解析】该程序框图的作用是计算分段函数()[]()()2,2,22,,22,x x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈-∞-+∞⎪⎩
U 的函数值．当[]2,2x ∈-时,
由12,42x
⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得[]1,2x ∈-,当()(),22,x ∈-∞-+∞U 时,()12,22f x ⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
,所以输入的实数x 的取值范
围是()[),21,-∞--+∞U ,故选C.
11.某班有24名男生和26名女生,数据a 1,a 2,…,a 50是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩(成绩不为0),如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均数：A ,男生平均分：M ,女生平均分：－W .为了便于区别性别,输入时,男生的成绩用正数,女生的成绩用其成绩的相反数,那么在图中空白的判断框和处理
框中,应分别填入下列四个选项中的( )
A ．T >0？,A ＝M ＋W
50
B ．T <0？,A ＝M ＋W
50 C ．T <0？,A ＝M －W 50 D ．T >0？,A ＝M －W
50
【答案】D
【解析】 依题意得,全班成绩的平均数应等于班级中所有的学生的成绩总和除以总人数,注意到当T >0时,输入的成绩表示的是某男生的成绩；当T <0时,输入的成绩表示的是某女生的成绩的相反数．因此结合题意得,选D.
12.如图所示,算法框图输出的所有实数对(x ,y )所对应的点都在函数( )
A ．y ＝x ＋1的图象上
B ．y ＝2x 的图象上
C ．y ＝2x
的图象上 D ．y ＝2
x －1的图象上
【答案】D
【解析】 由算法框图可知输出的实数对(x ,y )为(1,1),(2,2),(3,4),(4,8),这些点都在函数y ＝2x －1
的图象
上,故选D.
13.如图,若4n =时,则输出的结果为 .
【答案】
9
4 【解析】开始,1,0k S ==, 故11
0(211)(211)3
S =+
=⨯-⨯⨯+,因为14<,故进入循环.
第二次计算,112k =+=,111123(221)(221)3355
S =+=+=⨯-⨯⨯+⨯；
因为24<,故进入循环. 第三次计算,213k =+=212135(231)(231)5577
S =
+=+=⨯-⨯⨯+⨯； 因为34<,故进入循环,第四次计算,314k =+=,
313147(241)(241)7799S =
+=+=⨯-⨯⨯+⨯；因为44<不成立,所以输出S ,即输出49
14.如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图,第1次到第14次的考试成绩依次记为
A 1,A 2,…,A 14.图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图．那么输出的结果是________．
【答案】10
【解析】从程序框图可知,该图是统计成绩大于或等于90分的考试次数．从茎叶图可知输出的结果为10. 15.已知数列{a n }中,a 1＝1,a n ＋1＝2a n ＋n －1,若利用如图所示的程序框图进行运算,则输出n 的值为________．
【答案】11
【解析】由数列递推关系可得a n ＋1＋(n ＋1)＝2(a n ＋n ),故数列{a n ＋n }是首项为1＋1＝2,公比为2的等比数
列,a n ＋n ＝2×2
n －1
＝2n ,a n ＝2n －n ,所以S n ＝(2＋22＋ (2)
)－(1＋2＋…＋n )＝
2（1－2n
）1－2－n （n ＋1）2
＝2
n
＋1
－2－
n （n ＋1）
2
,当n ＝11时,S 11＝212
－2－66＝4 028>2 015,当n ＝10时,S 10＝211
－2－55<2 015,结合程序
框图可知输出的n ＝11.。