高斯定理

2q
−q
5.3 高斯定理
带电平行板电容器的电场线 + + + + + + + + + + + +
均匀电场： 均匀电场： 一组平行且疏密程度一致的电场线。 一组平行且疏密程度一致的电场线。
5.3 高斯定理
5.3.2 电场强度通量 定义： 定义：通过电场中某一个面的电场线数叫 做通过这个面的电场强度通量 Φe 。 v 均匀电场， 垂直平面。 1 均匀电场， 垂直平面。 E
θ是面元dS与球面元dS0间的夹角. 是面元d 与球面元d 间的夹角.
5.3 高斯定理
闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角
dl dl0 = 2π α = dα = ∫ cos θ = ∫ r r l l l
∫
弧度
0
闭合曲面对面内一点所张的立体角
dS 0 Ω = ∫ dΩ = ∫ 2 = 4 π r S S
5.3 高斯定理
4 点电荷系的电场
v v v v v v v v ∫ E ⋅ dS = ∫ E1 ⋅ dS + ∫ E2 ⋅ dS + ⋅ ⋅ ⋅ + ∫ En ⋅ dS
S
= Φe1 +Φe2 +⋅⋅⋅ +Φen
S
S
S
Φeout = 0 i 1 in in Φei = qi ε0 v v 1 n in ∫SE ⋅ dS = ε0 ∑qi i =1
Q r S
v dS v E
dS
v en
θ
+
d
dS′
5.3 高斯定理
17
3 点电荷在闭合曲面外 r v d Φ1 = E1 ⋅ d S1 > 0
v v d Φ2 = E 2 ⋅ d S 2 < 0
v dS1v
v E2
d Φ1 + d Φ 2 = 0 v v ∫ E ⋅ dS = 0
S
E 1
q
+
v dS2
v v 1 Φe = ∫ E ⋅ dS = ε0 S
5.3 高斯定理
∑q
i =1
n
in
i
(5) 仅面内电荷对高斯面电通量有贡献. 仅面内电荷对高斯面电通量有贡献. 电通量有贡献 (6) 特别注意:通过高斯面的电通量只与 ) 特别注意: 面内的电荷有关； 面内的电荷有关；而高斯面上任一点的电 场是面内外所有电荷在该点激发的电场强 度的叠加。 度的叠加。
5.3 高斯定理
v E
v dS
s
qi
二 立体角的概念 ⑴ 平面角
dα
r
dl0 dl
θ
由一点发出的两条射线之间的夹角记做 dα 设射线长r 线元dl 对某点所张的平面角: 设射线长 ，线元 对某点所张的平面角
d l0 d l dα = = cos θ r r
单位： 单位：弧度
dl0 是以r为半径的圆弧
θ 是线段元dl与dl0之间的夹角 是线段元d 与
5.3 高斯定理
⑵ 立体角 面元d 面元dS 对某点所张的角叫做 立体角即锥体的“顶角” 立体角即锥体的“顶角” 对比平面角定义
Hale Waihona Puke dΩrr dS
dS0
dS 0 dS d Ω = 2 = 2 cos θ r r
θ
单位： 单位：球面度
为半径的圆锥对应的球面元, dS0是以r为半径的圆锥对应的球面元,
r≤R
+ +
E
v v 1 πr 2 ∫SE ⋅ dS = E ⋅ 2πrh = ε0 πR 2 λh
h
R
+ +
o
y
λr E= 2 2πε 0 R
5.3 高斯定理
x
+
三
无限大均匀带电平面的电场
设有一无限大均匀带电平面， 设有一无限大均匀带电平面，电荷面密 无限大均匀带电平面 求距平面为r处某点的电场强度 处某点的电场强度. 度为σ ，求距平面为 处某点的电场强度. 对称性分析与 高斯面的选取 v v σS ∫SE ⋅ dS = 2 ES = ε0
R
x
z
M
Q
5.3 高斯定理
v v Φe1 = ∫ E ⋅ dS = ES1 cos π = − ES1 s1 v v Φe 2 = ∫ E ⋅ dS = ES 2 cos θ = ES1 s1
Φe = ∑ Φei = 0
i =1 5
y
N
S1
P
S2
v en
θ
o
v en
v v en E
R
x
z
M
Q
5.3 高斯定理
qr E= 4πε 0 R 3 v q v E= r 3 4πε 0 R
5.3 高斯定理
q
3
q ＋＋ ＋ ＋ ＋ R ＋ ＋ ＋＋ O r ＋ ＋ ＋ ＋＋P
1 2 3 4
v v 1 Φe = ∫ E ⋅ dS = ε0 S
5.3 高斯定理
∑q
i =1
n
in
i
一 均匀带电球体的电场 设有一半径为 一半径为R 均匀带电Q 的球面. 设有一半径为 , 均匀带电 的球面 求 球面内外任意点的电场强度 任意点的电场强度. 球面内外任意点的电场强度 对称性分析： 对称性分析：球对称 高斯面：闭合球面 高斯面： (1) 0 < r < R )
5.3 高斯定理
5.3.4 高斯定理应用 用高斯定理求电场强度的一般步骤 范围：带电体，静电场必须具有高度的 范围：带电体， 对称性。 依据电场强度叠加原理作对称性分析 对称性分析； 对称性分析 根据对称性选择合适的高斯面； 根据对称性选择合适的高斯面； 分别求出通过高斯面的电通量和面内电荷 由高斯定理计算出电场分布. 由高斯定理计算出电场分布.
S
R
O
v v ∫SE ⋅ dS = 0 v E =0
5.3 高斯定理
r
Q
v v Q 2 (2) r > R ) ∫SE ⋅ dS = E ⋅ 4 πr = ε0 2 Q E= 2 4 πε0 r
Q 4πε0 R2
E
Q 4 πε 0 r 2
r
O
o
R
r
5.3 高斯定理
s
Q
v v λh （1） > R ∫ E ⋅ dS = E ⋅ 2πrh = ） r S ε0 h λ E= 2πε 0 r
Φe = ∫ E cos θ d S
S
S1 S2
v dS2
θ2
r en θ v v E2 E
v dS1
= ∫ E cos θ d S + ∫ E cos θ d S
表示： 表示：穿出与穿进封闭面的电场线条数之差
5.3 高斯定理
结论 对封闭曲面 0， (1) 若Φe > 0，即电 场强度通量为正， 场强度通量为正，则 有净的电场线从曲面 之内向外穿出； 之内向外穿出； (2) 若Φe < 0，即电 0， 场强度通量为负， 场强度通量为负，则 有净的电场线从外部 穿入曲面。 穿入曲面。
v E
r en θ
v dS
v E
Φe = ∫ dΦe = ∫
S
v v E ⋅ dS
5.3 高斯定理
4 非均匀电场，闭合曲面S . 非均匀电场，闭合曲面
v e n 规定为封闭曲面的
S S
v v Φ e = ∫ E ⋅ d S = ∫ E cos θ d S
v E
外法线方向 o “穿出”θ < 90 穿出” 穿出 “穿进”θ > 90 o 穿进” 穿进
5.3 高斯定理
5.3.1 电场线 一 规定 曲线上每一点切线方向为电场强度方向 1 曲线上每一点切线方向为电场强度方向 定量规定: 2 定量规定:通过垂直于电场方向单位面积 电场线数为该处电场强度的数值。 电场线数为该处电场强度的数值。 二 特点 始于正电荷， 止于负电荷（ 1 始于正电荷 ， 止于负电荷 （ 或来自无穷 去向无穷远） 远，去向无穷远）。 任何两条电场线不相交. 2 任何两条电场线不相交. 静电场电场线不闭合. 3 静电场电场线不闭合.
q2
A
P *
q Φe1 = ε0
−q Φe2 = 0 Φe3 = ε0
5.3 高斯定理
+q S1
−q
S2
S3
思考 的静电场中， 1 在点电荷 + q 和 −q 的静电场中，做 如下闭合面 S，求通过闭合面的电通量 。
+q
−q
通过闭合面的电通量等于0 通过闭合面的电通量等于0。 闭合曲面S上任意点的电场强度为0 2 闭合曲面S上任意点的电场强度为0吗？
球面度
5.3 高斯定理
三 高斯定理
高斯面
在真空中静电场，穿过任一闭合曲面 在真空中静电场，穿过任一闭合曲面 的电场强度通量， 的电场强度通量，等于该曲面所包围的所 有电荷的代数和除以 ε0 .
v v 1 Φe = ∫ E ⋅ dS = ε0 S
∑q
i =1
n
in
i
5.3 高斯定理
讨论 (1) 高斯面：闭合曲面(假想面). ) 高斯面：闭合曲面(假想面). (2) 电场强度：所有电荷的总电场强度. ) 电场强度：所有电荷的总电场强度. (3) 电通量：穿出为正，穿进为负. ) 电通量：穿出为正，穿进为负. (4) 静电场：有源场 ) 静电场：有源场.
v dS2
v E
θ2
r en θ v v E2 E
v dS1
5.3 高斯定理
例1 三棱柱体放置在如图所示的匀强电 场中. 求通过此三棱柱体的电场强度通量. 场中 求通过此三棱柱体的电场强度通量 解
Φe = ∑ Φei
i =1 =1
5
y
N
S1
P
S2
= Φe1 + Φe 2
v en
θ
o
v en
v v en E
P
S +q
E2
E1
S
E1
E2
E
-q
5.3 高斯定理
-q
思考题
,P点电场 1 将q2从A 移到B点,P点电场 q1 强度是否变化？ 强度是否变化？穿过高斯面S s q2 B Φe 有否变化？ 有否变化？ 的 变化 不变化 的静电场中， 2 在点电荷 + q 和 − q 的静电场中，做如下 的三个闭合面 S1、S2、S3 ，通过各闭合面的 电场强度通量？ 电场强度通量？
r （2） ≤ R ）
2π rhE = 0
二 无限长均匀带电圆柱面的电场 设有一无限长均匀带电直线， 设有一无限长均匀带电直线，单位长度 上的电荷， 上的电荷，即电荷线密度为λ，求圆柱面内 外任意点的电场强度。 对称性分析与高 v + 斯面的选取 + E
+
r
o +
+ +
y
E=0
x
5.3 高斯定理
思考 如果是无限长均匀带电圆柱体，内外 如果是无限长均匀带电圆柱体， 电场又如何？ 电场又如何？ λ r > R, E = 2πε 0 r v +
5.3.3 电场的高斯定理 一 高斯定理的导出 在点电荷q的电场中，通过求电通量导出. 在点电荷 的电场中，通过求电通量导出 的电场中 库仑定律 电场强度叠加原理 高斯 定理
5.3 高斯定理
高斯 (C.F.Gauss 1777−1855） − ） 德国数学家、 德国数学家、天文学 数学家 家和物理学家 物理学家， 家和物理学家，有“数 学王子”美称， 学王子”美称，他与韦 伯制成了第一台有线电 报机和建立了地磁观测 台，高斯还创立了电磁 量的绝对单位制. 量的绝对单位制.
5.3 高斯定理
电场线密度
v dN E =E= dS ⊥
dS ⊥
v E
v 的大小。 用电场线的疏密程度来表示场强 E 的大小。
点电荷的电场线
正点电荷 负点电荷
+
5.3 高斯定理
一对等量异号点电荷的电场线
+
5.3 高斯定理
一对等量正点电荷的电场线
+
+
5.3 高斯定理
一对不等量异号点电荷的电场线
v E
S
v E
σ
σ E= 2ε 0
5.3 高斯定理
讨论 均匀场
E
σ E= 2ε 0
O
x
(σ > 0)
+σ
v E v v E E
−σ
v E
5.3 高斯定理
无限大带电平面的电场叠加问题
+σ
+σ
+σ
−σ
σ ε0
0
σ ε0
0
σ ε0
0
5.3 高斯定理
四 均匀带电球体的电场 一半径为R 的均匀带电球体。 一半径为R ，带电量为q 的均匀带电球体。 选高斯面为同心球面 (1) r > R 时,高斯面内电荷为q
高
斯
5.3 高斯定理
1 点电荷位于球面中心
q E= 4 πε0 R 2 v v Φe = ∫ E ⋅ dS
S
v dS
+
R
q = dS 2 ∫S 4 πε0 R q = ε0
5.3 高斯定理
2 点电荷在闭合曲面内
q dΦe = dS cos θ 2 4 πε0 r q dS＇ = 2 4 πε0 r dS＇ 立体角 =d 2 r q q Φe = ∫ d = ε0 4πε0
Φe = ES v 均匀电场， 2 均匀电场， 与平面夹 E
S
v E
v en
角θ
Φe = ES⊥ = ES cosθ v v S = Sen v v Φe = E ⋅ S
5.3 高斯定理
θ
S
θ
v E
3 非匀强电场，任意曲面S . 非匀强电场，任意曲面
v v d S = d S ⋅ en
v v dΦe = E cos θdS = E ⋅ dS
v v q 2 ∫SE ⋅ dS = E ⋅ 4πr = ε0
v E= q 4πε 0r v e 2 r
5.3 高斯定理
P
q ＋＋ ＋ ＋ ＋ R ＋ ＋ ＋＋ O ＋ ＋ ＋ r ＋＋
(2) r < R 时，高斯面内电荷为 q′：
4 3 r q ' = ρV = πr = 3 q 4 33 R πR 3 v v q' r 3 E ⋅ dS = E ⋅ 4 πr 2 = = 3 ∫S ε0 R